bab 1 barisan dan deret
Post on 04-Jan-2016
947 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 1
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. a. 12 nU n
31211.21 U51412.22 U71613.23 U91814.24 U1111015.25 U
b. 3nUn
1131 U
8232 U
27333 U
64434 U
125535 U
c. 12 nUn
11211.2 21 U
71812.2 22 U
1711813.2 23 U
3113214.2 24 U
4915015.2 25 U
d. nnUn 2
01121 U
31222 U
81323 U
151424 U
241525 U
e. nnU 2
22 11 U
42 22 U
82 33 U
162 44 U
322 55 U
f.11
nn
U n
020
1111
1
U
31
1212
2
U
21
42
1313
3
U
053
1414
4
U
32
64
1515
5
U
g. 1 nnUn
22.11111 U 63.21222 U 124.31333 U 205.41444 U 306.51555 U
h. 52 nU n
751.21 U952.22 U1153.23 U1354.24 U1555.25 U
i. 31
nn
U n
41
3111
1
U
101
3221
2
U
181
3331
3
U
281
3441
4
U
401
3551
5
U
j.1
2
nn
U n
21
1112
1
U
34
1222
2
U
BAB 1BARISAN & DERET
Latihan Kompetensi Siswa 1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 2
49
1332
3
U
516
1442
4
U
625
1552
5
U
k.n
Un
11
01111
11 U
21
212
21
12
U
32
313
31
13
U
43
414
41
14
U
54
515
51
15
U
l.
nUn 4
1sin
221
41
sin.1.41
sin1
U
121
sin.2.41
sin2
U
221
43
sin.3.41
sin3
U
0sin.4.41
sin4
U
221
45
sin.5.41
sin5
U
m.n
nUn
2
31
2112
11
U
31
2422
22
U
311
329
32
33
U
29
418
4216
42
44
U
527
5225
52
11
U
n.
nU
n
n
1
1
11 1
1
U
21
21 2
2
U
31
31 3
3
U
41
41 4
4
U
51
51 5
5
U
o. 12341
nnUn
11
1.11
11.231.41
1
U
151
3.51
12.232.41
2
U
451
5.91
13.233.41
3
U
911
7.131
14.234.41
4
U
1531
9.171
15.235.41
5
U
2. a. .....,3,2,1Tiga suku berikutnya : 6,5,4
nUn b. .....,7,5,3
Tiga suku berikutnya : 13,11,9,.....13,11,9,7,5,3
2 2 2 21,2,31 mbU
Pendekataan nnnmb m 2
!12
!1
bUUn 1Pendekatan 232 n12 n
c. .....,0,4,8 Tiga suku berikutnya : 12,8,4
,.....12,8,4,0,4,81 Ub 4 4 4
sama di tingkat 1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 3
1,4,81 mbU
Pendekataan nnnmb m 4
!14
!1
bUU n 1Pendekatan 484 n124 n
d. .....,9,12,15Tiga suku berikutnya : 0,3,6
,.....0,3,6,9,12,151 Ub 3 3 3
sama di tingkat 11,3,151 mbU
Pendekataan nnnmb m 3
!13
!1
bUU n 1Pendekatan 3153 n
183 ne. .....,9,4,1
Tiga suku berikutnya : 36,25,16
nU.....,,36,25,9,4,12222222 ,.....,6,5,4,3,2,1 n
Maka, 2nUn f. .....,4,2,1
Tiga suku berikutnya : 16,11,7Awal : ,...16,11,7,4,2,1Tingkat 1 : 1 2 3 4Tingkat 2 : 1 1 1
Pendekataan 1 22
21
!21
nn
Langkah 1 :Awal : 7421
1082
21
21
29
21
Tingkat 1 : 21 2
1 21
Pendekataan 2 nn21
!112
1
Langkah 2 :Hasil Operasi 1 : 10 2
121
111121 2
321
Pendekatan 13 0 0 0(stop)
nU Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +Pendekatan 3
121
21 2 nn
1121 nn
g. .....,27,8,1Tiga suku berikutnya : 216,125,64
nU,.....,216,125,64,27,8,13333333 ,.....,6,5,4,3,2,1 n
Maka, 3nU n h. .....,8,4,2
Tiga suku berikutnya : 64,32,16Awal : 16,8,4,2Tingkat 1 : 2 2 2
1,2 mr
Pendekataan 1 nn
mn
r 22 !1! Awal : 16842
1111
16842
(stop)1Pendekatan.1nU
nn 22.1 i. .....,1,2,4
Tiga suku berikutnya : 81
41
21 ,,
Awal : 81
41
21 ,,,1,2,4
Tingkat 1 : 21 2
1 21
1,21 mr
Pendekataan 1 nnmn
r 21
21 !1!
Awal : 21124
8888161
81
41
21
(stop)1Pendekatan.8nU
n213.2
nn 33 22.2j. .....,2,2,1
Tiga suku berikutnya : 24,2,22Awal : 24,4,22,2,2,1
Tingkat 1 : 2 2 2
1,2 mr
Hasil Operasi 1 :
Hasil Operasi 2 :
Pendekatan n2 :
Pendekatan n2 :Pendekatan 1 221 n :
Pendekatan 2 n21 :
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 4
Pendekataan 1 2!1! 222nn
mn n
r
Awal : 22221
22
22
22
22
42222
1Pendekatan.22nU
1
122
12
21
22.22
nn
121
21
2 22 nn
k. .....,64,27,8Tiga suku berikutnya : 343,216,125
nU,.....,216,125,64,27,8333333 ,.....,6,5,4,3,2 n
Jadi, 31nU n
3. a. ,.....2,2,2,2
nnU 12 b. ,.....2,2,2,2
112 nnU
c. ,.....27,9,3,1 ,.....271,91,31,1,1
Bilangan kiri : ,.....1,1,1,1
1,11 11
112 1,...,1 n
Bilangan kanan : ,.....27,9,3,11210 3,.....,3,3,3 n
kananBilangankiriBilangan nU
11 31 nn
13 n
d. ,.....,,,1 81
41
21
Awal : 81
41
21 ,,,1
Tingkat 1 : 21 2
1 21
1,21 mr
Pendekataan 1 nnmn
r 21
21 !1!
Awal : 81
41
211
2222
161
81
41
21
(stop)1Pendekatan.2nU
n212
nn 11 2.12.2.1
e. ,.....,1,2,4 21
Awal : ,.....,1,2,4 21
21 2
1 21
1,21 mr
Pendekataan 1 nnmn
r 21
21 !1!
Awal : 21124
8888161
81
41
21
(stop)1Pendekatan.8nU
n 2.2 3
n 32f. ,.....,,,1 4
131
21
,.....,,, 41
31
21
11
Pembilangan dari setiap bilangan padabarisan itu adalah 1, berarti 1Pembilang UPenyebut dari setiap bilangan padabarisan itu adalah ,.....,4,3,2,1
nU Penyebut
Jadi,nU
UU n
1
Penyebut
Pembilang
g. ,.....,,, 1671
851
431
211
1Pembilang UPenyebut merupakan perkalian antarabilangan kiri dan bilangan kanan.Bilangan kiri : 12,.....,7,5,3,1 nBilangan kanan : n2,.....,16,8,4,2
nnU 212Penyebut
Jadi, nn nUU
U212
1
Penyebut
Pembilang
h. ,.....,,, 161
81
41
21
1Pembilang UnU 2Penyebut
nnn U
UU 2
21
Penyebut
Pembilang
i. ,.....,,, 1251
641
271
81
1Pembilang U
3Penyebut 1nU
3
3Penyebut
Pembilang 11
1
nnU
UUn
Pendekatan n2 :
Pendekatan n21 :
Pendekatan n21 :
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 5
j. ,.....4,3,2, 21
21
21
21
Bilangan di luar akar : ,.....,,, 21
21
21
21
21
akarluardiBilangan U
Bilangan di dalam akar : ,.....4,3,2,1
nU akardalamdiBilangan
akarluardiBilangannUakardalamdiBilangan
n21
4. a. ,.....7,5,3 64
Bilangan di luar atas tanda akar :,.....8,6,4,2
2 2 2 nnU n 2222
Bilangan di dalam tanda akar :,.....9,7,5,3
2 2 2 12232 nnU n
nn nU 2 12
b. ,.....63,23,32
atau ,.....63,23,23
Bilangan kiri : ,.....3,3,3,3
3kiri UBilangan kanan : 10,6,2,2
4 4 4 424kanan nU
64 nkanankiri UUU n
643 n
n463 c. ,.....69,47,25
Bilangan kiri : ,.....11,9,7,5Bilangan di dalam akar :
,.....11,9,7,52 2 2
252akardalamkanan nU32 n
32kiri nUBilangan di dalam akar :
,.....8,6,4,22 2 2
222akardalamkanan nUn2
kanankiri UUUn
nn 232
5. a. banUn akan ditunjukkan : aUU nn 1
banbnaUU nn 11
banbaan a
b. Jika 1 nn arU
akan ditunjukkan :rU
U
n
n 11
1
2
1
111
n
n
n
n
n
n
arar
arar
UU
1212 rr nn
rr
11
B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a. 13 nUn
211.31 U512.32 U813.33 U1114.34 U1415.35 U
Jadi, lima suku pertamanya adalah14,11,8,5,2
b. 194nU maka ?n19413 n
11943 n1953 n
653
195 n
Jadi, 194 adalah suku ke–65
2. a. 12 2 nUn
111.2 21 U
712.2 22 U
1713.2 23 U
3114.2 24 U
4915.2 25 U
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 6
Jadi, lima suku pertamanya adalah :49,31,17,7,1
b. 199nU19912 2 n
11992 2 n2002 2 n
22002 n
1002 n10100 n
Jadi, 199 adalah suku ke–10
3. a. 13 nU n
01131 U
71232 U
261333 U
631434 U
1241535 U
Jadi, lima suku pertamanya adalah :124,63,26,7,0
b. 727.1nU
727.113 n1727.13 n
728.13 n3 728.1n12n
Jadi, 727.1 adalah suku ke–12
4. a. .....,26,17,10,5,2Awal : ,.....26,17,10,5,2
3 5 7 9Tingkat 2 : 2 2 2
Pendekatan 1 22
!22
nn
Langkah 1Awal : 171052
1111
16941
Pendekatan 2 12Pendekatan1Pendekatan nU
12 n
b. ,.....28,24,22,2
,.....28,24,22,21 Bilangan kiri : ,.....8,4,2,1
2 2 2Pendekatan 1 : n
n
22 !1 Bilangan kiri awal : 8421
21
21
21
21
16842
(stop)1Pendekatan.2
1kiri U
nn 2.22. 121
12 n
Bilangan kanan : ,.....2,2,2
2kanan UJadi, kanankiri UUU n
2.2 1 n
c. .....,19,13,9,7Awal : 19,13,9,7
2 4 6Tingkat 2 : 2 2
Pendekatan 1 22
!22 nn
Langkah 1Awal : 191397
3456
16941
Tingkat 1 : 1 1 1
Pendekatan 2 nn 1
!11
Langkah 2Hasil Operasi 1 : 3456
77774321
0 0 0Pendekatan 3 7
nU Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +Pendekatan 3
72 nnd. ,.....2,2,2,2
422 2222
,.....2,2,2,2422 2222
n
nU 22
Tingkat 1 :
Hasil Operasi 1 :
Pendekatan 1 2n :
Pendekatan 1 :
Tingkat 1 :
Pendekatan 1 2n :
Hasil Operasi 1 :
Pendekatan 1 n2 :
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 7
e. ,.....53,53,53 Bilangan kiri : ,.....3,3,3
3kiri U
Bilangan kanan : ,.....5,5,5
51kanannU
kanankiri UUU n
513 n
f. ,.....34
1,
231
,12
1
1Pembilang UBilangan Penyebut :
34,23,12
nnU 1Penyebut
nnUU
U n
11
Penyebut
Pembilang
5. 1,1 nnX
1,1
1
1
nX
X
n
n
a.n 1 2 3 4 5
nX 121
31
41
51
11 X
1
1
2
22 111
1X
XX
XX
21
111
2
2
3
33 111
1X
XX
XX
31
1 2321
21
21
3
3
4
44 111
1X
XX
XX
41
1 3431
31
31
4
4
5
55 111
1X
XX
XX
51
1 4541
41
41
b. Pola :n
Xn
1
101,
91,
81,
71,
61
109876 XXXXX
81
101
810 XX
401
802
80108
6. 2&1,1 nnnF
3,12 nFF nn
a. Ditanya ?&? 3020 FFn
nF nnF n
nF1 1 11 89 21 10.9462 1 12 144 22 17.7113 2 13 233 23 28.6574 3 14 377 24 46.3685 5 15 610 25 75.0256 8 16 987 26 121.3937 13 17 1.597 27 196.4188 21 18 2.584 28 317.8119 34 19 4.181 29 514.229
10 55 20 6.765 30 832.040Jadi, 040.832&765.6 3020 FF
b. akan ditunjukkan : 101100102101100 2 FFFFF
Bukti :101100101100102101100 FFFFFFF
101100 22 FF 1011002 FF
7. a. ,.....2,1,4,2 21
21 U42 U
122
232
3 U
2
142
144
U
212
25
221 nn
nUUU
1,2 nnU 2,4 n
3,2
21 nUU nn
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 8
b. ,.....121,9,2,111 U22 U
223 2139 U
221 UU
224 9211121 U
232 UU Maka,
1,1 nnU 2,2 n
3,212 nUU nn
c. ,.....0,9,9,6,331 U62 U
3.393 U 12336 UU
3.394 U 23369 UU
0.305 U 34399 UU
Maka,1,3 n
nU 2,6 n 3,3 21 nUU nn
d. ,.....36,6,18,221 U182 U
3663 U
21182 UU
108364 U
32618 UU
0.305 U 34399 UU
Maka,1,2 n
nU 2,18 n
3,12 nUU nn
8. a. 11 U1,.1 nUnU nn
11.1.112 1122 UUU 21.2.213 2133 UUU 62.3.314 3144 UUU 246.4.415 4155 UUU 12024.5.516 5166 UUU
Enam suku pertamannya adalah :120,24,6,2,1,1
b. 1,1 nnU 2,2 n
3,2
1
nUU
n
n
11 U22 U
212
1
2
23
133
UU
UUU
122
2
3
24
144
UU
UUU
21
3
4
25
155
UU
UUU
21
121
4
5
26
166
UU
UU
U
Jadi, enam suku pertamanya adalah :
21
21 ,,1,2,2,1
c. 1,0 nnU
2,2 1 nnU
01 U1222 0
2112 UUU
2222 13
213 UUU
4222 24
314 UUU16222 4
5415 UUU
536.65222 166
516 UUUJadi, enam suku pertamanya adalah :
536.65,16,4,2,1,0
C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. a. ,.....56,35,20,10,4,1
111 U 21.22.12114 U
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 9
32121110
31.32.23.1 U 32121120
4321
41.42.33.24.1 U 32121135
543214321
51.53.43.34.25.1 U ...2312.1 nnnU n
1.13.2 nnn b. ,.....127,70,35,15,5
10 20 35 5710 15 22
5 72
Barisan tingkat 4
Pendekatan 112!4
2 44 nn
Awal : 7035155
3
1464
1133
411259
364
427
34
121
12105 12
175 12245
1270 12
70
Pendekatan 2 221270
1235
!2nn
Hasil Operasi 1 :3
1464
113341
1259
22223
644
2734
121
Pendekatan 3 222
12354
121 nnU n
c. ,.....184.5,216,9,83
133 3.2
23
83
202 3.239 3333 3.23.2216
46 3.2184.5
?nUBarisan pangkat bilangan pertama :
,.....6,3,0,33 3 3
Pendekatan 1 n3Awal : 6303
6666
12963
Pendekatan 2 663 nUn
Barisan pangkat bilangan kedua :,.....4,3,2,1
nUn
Maka formula ke– nnn 3.2 63 d. ,.....3712.259.1,3296.1,3,3 3
4
31 U
39
12334
2 U
333.23912 21211
332 12 33.23296.1 44
3 U
33.23712.259.1 964 U
Barisan menjadi :
,.....33,2,33.2,33.2,3 964412
Barisan pangkat dari 2 mulai suku ke–2,.....8,6,4,2 2212 nnUn
Barisan pangkat dari 3 mulai suku ke–2,.....9,4,1
5 5Pendekatan 1 15 nAwal : 14941
6666
2015105
115615 nnUn
jadi
1,3 nnU
2,33.2 11522 nnn
Pendakatan 1 12
4n :Hasil Operasi 1 :
Pendakatan 2 21235 n :
Pendakatan 1 n3 :
n5
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 10
2.
52
5151n
nn
nU
52
51....5.1.
51.51.
51....5.1.
51.5.1.
25
2502525
223225
124125
025025
2502525
223225
124125
025025
CC
CC
CC
CC
525.25.2
...525..2
25
252525
232325
3325125
CC
CC
52
555
...5552
25
122525
112325
325125
rCC
CC
52
55
...552
25
122525
112325
325125
CC
CC
2525232532512524 ...21 CCCC
3. a. ,.....2,2,0,2 21
21 Barisan bilangan tersebut merupakanperkalian dari dua buah barisan bilangan
,.....21,2,20,2 21
21 Barisan sebelah kiri :
,.....1,,0, 21
21
21 2
1 21
21
21
21
kiri nU
121 n
Barisan sebelah kanan :
,.....2,2,2,2
2kanan UJadi, kanankiri UUU n
2121
n
b. ,.....3,1,3, 21
21
21
Suku ganjil : ,.....,1, 23
21
21 2
1
nUn 21
Suku genap : ,.....3,3,3 21
21
21
Maka 321
nU
Jadi,
,.....7,5,3,1,321 n
nU
,.....8,6,4,2,321 n
c. ,......3,2,3,2,1 32
32
331 3 33
11,1 nUn
2,2 nUn
Untuk suku ganjil merupakan perkalian
antara 331
dengan suku sebelumnya.
Untuk suku genap merupkan perkalianantara 3 dengan suku sebelumnya
Jadi,1,1 n2,2 n
nU
,.....7,5,3,331
1 nU n
,.....8,6,4,3 1 nU n
d. ,.....0,2,1,2,0 21
21
221 2 22
1 221
Jadi,1,0 n
,.....8,5,2,221
1 nUn
,.....9,6,3,2 1 nU n
,.....10,7,4,221
1 nUn
4.0;,1 nn
nmA . 0&0;1,1 nmmA ,1,,1 nmAmA
0&0 nm
nU
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 11
Ditanya : ?3,2A 0;1101,0 mA 1,110,1 AA
11,0 A 11,1,111,1 AAA
0,1,0 AA 11,0 A
1,120,2 AA 0&0;11,1 nmA
11,2,121,2 AAA 0,2,1 AA
11,1 A 12,2,122,2 AAA
1,2,1 AA 11,1 A
13,2,123,2 AAA 2,2,1 AA
11,1 AJadi, 13,2 A
5.
1;2
nA
na
221
11
n
aAan
n
Jika, 2A , tuliskan 4 suku pertamanya
122
21 Aa
11
12122 2
121
aA
aaA
aa
23
2121
12
121
22
13133 2
121
aA
aaA
aa
1217
617.
212
23
21
23
1217
334
21217
21
21
aA
aa
408577
204577
21
1724
1212
21
Jadi, empat suku pertamanya adalah :
408577
1217
23 ,,,1
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. D. 2
Jumlah n suku pertama 1 nn ff
dengan nnfn 2
nU Jumlah n suku pertama –
Jumlah 1n suku pertama
211 nnnn ffff
212 nnn fff
11012021010 2210U
210210 2 864981110100
25614490
2. E. zx 21
zyx ,, membentuk deret aritmetika makaxy akan sama dengan yz
yzxy xzyy zxy 2
zxy 21
3. E. 25Barisan ,.....395,430,465,500Suku negatif, berarti 0nUDari barisan diketahui :
500a35500465 b
bnaUn 1 351500 n
3535500 nn35535
0nU035535 n
53535 n
35535
n
Latihan Kompetensi Siswa 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 12
3510
15n
Ambil bilangan bulat terkecil yang lebih
besar dari351015 yaitu 16
Maka suku negatif pertama adalah :163553516 U
5650535 25
4. D.
21nn
Barisan bilangan bulat positif :,.....6,5,4,3,2,1
Barisan dari jumlah bilangan bulat positif :,.....4321,321,21,1
,.....10,6,3,1Merupakan barisan tingkat 2Awal : ,.....15,10,6,3,1Tingkat 1 : 2 3 4 5Tingkat 2: 1 1 1
Pendekatan 1 22
21
!21
nn
Awal : 10631
2182
23
21
29
21
21 2
1 21
Pendekatan 2 nn21
21
21
21
Hasil Operasi 1 : 21 23
21
000021 2
321
(stop)Maka nU Pendekatan 1 + Pendekatan 2
nn21
21 2
121
nn
21
nn
Jadi, jumlah n bilangan bulat positif
pertama adalah
21nn
5. E. nn21
21 2
Sama seperti pada no. 4Jumlah n bilangan bulat posistif pertama
2
1
nn
222 nn
nn21
21 2
6. C. 22Deret aritmetika :
000.246U 000.245 ba
000.1810U
000.64000.189
bba
4000.6
b
500.1b000.245 ba
000.24500.15 a000.24500.7 a
500.7000.24 a500.31a
bnaUn 1 500.11500.31 n
n500.1000.33 Jika, 0nU maka ?n
0nU0500.1000.33 n
000.33500.1 n
500.1000.33
n
22n
7. D. 10Jika 23,5 nUa dan 1038 UUDitanya : ?n
1038 UU 1027 baba
105 b
25
10b
bnaU n 1 nn 32215
23nU2323 n
3232 n
Pendekatan 1 221 n :
Hasil Operasi 1 :
Pendekatan 2 221 n :
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 13
202 n 102
20n
8. B. 16Tiga bilangan membentuk barisanaritmetika, misalkan bilangan tersebut
zyx ,,Diketahui : 36 zyx dan
536.1.. zyxDitanya : Bilangan terbesar ?Karena zyx ,, membentuk barisanaritmetika, maka :
yzxy 02 zyx …..(i)
36 zyx …..(ii)Eliminasi (i) & (ii)
02 zyx
363
36yyyx
336
y
12yMasukkan 12y ke persamaan (ii)
36 zyx3612 zx4zx
xz 24 …..(iii)536.1.. zyx …..(iv)
Masukkan 12y & persamaan (iii) ke (iv)
536.124.12. xx 12824 xx
0128242 xx0128242 xx
0816 xx16x 8x
xz 24 xz 241624 824
8 16Barisan aritmetikanya adalah :
8,12,16 atau 16,12,8Jadi, bilanagan terbesarnya adalah 16
9. E. 32,25,18Tiga bilangan membentuk barisan aritmetikatersebut cba ,,maka bcab
02 cba …..(i)
Diketahui : 75 cba …..(ii)Eliminasi (i) dan (ii)
02 cba
75375
bcba
375b
25bMasukkan 25b ke (i)
02 cba 0252 ca
50caac 50 …..(iii)
Diketahui :70022 ac
70050 22 aa masukkanPersamaan (iii)
700100500.2 22 aaa800.1100 a
18aMasukkan 18a ke persamaan (iii)
ac 501850 c
32cJadi, barisan tiga bilangan tersebut adalah
32,25,18
10. B. 124,8,3 aa membentuk barisan aritmetika
Diketahui : ?a aaa 8438
aaa 8438aa 428842 aa
12a12a
11. B. 150Sudut–sudut segilima membentuk deretaritmetika, misalkan 54321 ,,,, XXXXX
dengan 661 X (sudut terkecil)
Ditanya : sudut terbesar ?5 XJumlah sudut pada bangun segilima adalah
450Sudut–sudutnya adalah
54321 ,,,, XXXXX
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 14
atau ,266,66,66 bb bb 466,366
Jumlah seluruhnya bb 26666,66
bb 466366 b10330
adalah 540 54010330 b 21010 b
21bMaka sudut terbesar bX 4665
21.466 8466
150
12. B. 25Barisan aritmetika ,.....80,84 2
1
842180,84 ba
213
213184 nUn
nUn 213
2187
Jadi, 0nU maka ?n0nU
0213
2187 n
2187
213 n
25n
13. C. n3Barisan aritmetika
93 U675 UU
Ditanya : ?nU93 U
92 ba 1842 ba365 7 UU
3664 baba
186
36102bba
3b
92 ba93.2 a
69 a3a bnaU n 1 313 nU n
nU n 3
36. C. 36Diketahui :
721197531 UUUUUUDitanya : ?1161 UUU
721197531 UUUUUU bababaa 642
72108 baba72306 ba
7256 ba125 ba …..(i) babaaUUU 1051161
ba 153 ba 53 n [masukkan (i)]
12.336
15. C. 39Banyak bilangan asli antara 100 dan 300Yang habis dibagi ?5Barisan bilangannya adalah
295,.....,115,110,105Merupakan barisan aritmetika dengan
105a dan 110b 51105 nUn
n5100 Jika, 295nU maka ?n
295nU2955100 n
1955 n39n
B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a. ,.....9,13,17 417131713 b
b. ,.....14,11,83811 b
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 15
c. ,.....4,7,103107 b
d. ,.....37,44,5175144 b
e. ,.....3,3,3 21
41
41
341
3 b
f. ,.....2,3,5 21
21
1521
3521
3 b
g. ,.....12,5,2 72525 b
h. ,.....7,2,3 532 b
i. ,.....54,4,6,24,16,24 b
j. ,.....231,221,21,1
2121 b
k. ,.....23625
,3,23
1
231
3b
23
1233
2362
23163
2
23322
2. a. 11,2,1 nba bnU n 11 2111111 U
212.101 b. 14,2,3 nba
bnaU n 1 3111314 U
423.133 c. 17,5,2 nba
bnaU n 1 5117217 U
785.162
d. 8,3,3 nba bnaUn 1 31838 U 18373
e. 22,31
,7 nba
bnaUn 1
31
122722 U
1431
217
f. 50,1,100 nba bnaUn 1
115010050 U 51149100
g. 31,21
,10 nba
bnaUn 1
21
1311031 U
521
3010
h. 101,5,0,0 nba bnaU n 1 5,011010101 U 505,0100
3. a. ,.....9,13,17 4,17 ba
bnaUn 1 41121712 U
274417 b. ,.....14,11,8
3,8 ba bnaUn 1 3121812 U
41c. ,.....4,7,10
3,10 ba bnaUn 1 31211021 U
50
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 16
d. ,.....3,1,5 4,5 ba
bnaU n 1 4120520 U
71e. ,.....37,44,51
7,51 ba bnaU n 1 71175117 U
61f. ,.....12,3,5 2
1
21
8, ba
bnaU n 1
21
8199599 U
8335828
4. a. 2110 U dan 115 U2110U 219 ba
105114
bba
2b219 ba212.9 a
1821a3a
Jadi, 3a dan 2bb. 178 U dan 133 U
178U 177 ba
305
132bba
6b177 ba
1767 a4217a
25aJadi, 25a dan 6b
c. 124 U dan 2812 U 124U 12ba
168
2811bba
2b
123 ba 1223 a
612 a6a
Jadi, 6a dan 2b
5. Barisan aritmetika : ,.....23,13,12 nnn
Ditanya ?nKarena merupakan barisan aritmetika, maka
2312 UUUU 13231213 nnnn
33631233 nnnn32n1n
Jadi, 1n
6. jadi suku pertama dari barisan aritmetikayaitu : baaba ,,Diketahui : 21 baaba
213 a7a
Diketahui : 197222 baaba
19722 22222 babaababa19723 22 ba19727.3 22 b1972147 2 b502 2 b252 b
5bJika 5b maka barisannya
12,7,2 (menaik)Jika 5b maka barisannya
2,7,12 (menurun)Hasil kali ketiga suku pertama tersebut
1681272
7. Diketahui barisan aritmetika dengan30,50,2 712 UUna
Ditanya : ?b30712 UU
30611 baba305 b
530
b
6b
1115U
133U
2812U
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 17
Jadi, 6b
8. a. Bilangan antara 000.1 dan 600.1 yanghabis dibagi 3 antara lain
599.1,.....,008.1,005.1,002.1Merupakan barisan aritmetika dengan
3,002.1 ba bnaU n 1
Jika, 599.1nU maka
31002.1599.1 n 59713 n
1991n200n
Banyak bilangan bulat positif antara000.1 dan 600.1 yang habis dibagi 3
sebanyak 200 buahb. Bilangan antara 0 dan 150 yang habis
dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi 5 ,adalah bilangan kelipatan 3 yang bukankelipatan 15Bilangan keliptan 3 : 147.....,,9,6,3
bnU n 11 11 313147 1 n
1473 1 n491 n
Bilangan keliptan 15 : 135,.....,30,15 bnaUn 122 15115135 2 n
13515 2 n92 n
Banyak bilangan antara 0 dan 150 yanghabis dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi5 adalah
21 nn 40949 buah
9. a. 55,.....,15,10,5 bnaU n 1 51555 n
n55511n
Banyak suku 11b. 26,.....,2,1,4
bnaUn 1 31426 nn3726
333 n11n
Banyak suku 11c. 36,.....,18,15,12
bnaU n 1 311236 nn3936
273 n9n
Banyak suku 9d. xaxaxa 38,.....,2,2
bnaUn 1 xaxanxaxa 221238 xnxaxa 41238
xxnxaxa 44238 xaxxaxn 38424
xxn 444
xxn
444
11nBanyak suku 11
10. tiga suku pertama barisan aritmetikabaaba ,,
Dengan jumlah tiga suku pertama 6 6 baaba
63 a2a
Jumlah kubik tiga suku pertama 197 197333 baaba
197222 333 bb 33223 22.32.32 bbb 1972.32.32 3223 bbb
19768868 22 bb1972412 2 b17312 2 b
121732 b
12173b
Maka tiga suku pertamanyabaaba ,, adalah
121732,2,
121732
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 18
13. Untuk setiap barisan aritmetikaa. akan ditunjukkan
nmnmn UUU 2
Bukti bmnaUU mnmn 1 bmna 1
bbna 222 bbna 2
bna 12
nU2b. akan ditunjukkan
brqpaUUU rqp 33 Bukti
rqp UUU
brabqabpa 111 bbbbbb raqapa
brqpa bbb 33 brqpa 33
c. akan ditunjukkan
nnn UUU 23 2Bukti
bnabnaUU nn 1133 bnbabnba 3
bnba 242 bnba 22
bna 122
nU 22
12. na suku ke-n dari barisan aritmetikaDiketahui :
09321 aaa dan
15543 aaaDitanya : ?54321 aaaaa
09321 aaa 092 babaa
0933 ba933 ba
93 ba3ba …..(i)
15543 aaa 15432 bababa
1593 ba 1533 ba
53 ba …..(ii)
Eliminasi (i) ke (ii)3ba
22
53bba
1b3ba31a2a
54321 aaaaa babababaa 432
ba 105 1.102.5 201010
13. ,,, cba merupakan suku-suku barisanaritmetika , maka
bcab cab 2
2cab
22
2222
2ccaacba
222
2
424ccacaa
22
45
42
45 caca
22 52541 caca
14. Panjang sisi sebuah trapezium membentukbarisan aritmetika.
Diketahui : ,cm10,cm3
1841
2 aL
cm3
16t
2
41 taaL
2
33
184 316
11
baa
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 19
3
18432
616
1 ba
3
184310.238 b
8184
320 b
23320 b33 b1b
101 a1111012 baa
121.210213 baa131.310314 baa
Keliling 1312110 cm46
15. a. 702010 UU 70199 baba
7010 b7b
b. 1715 UU 1614 baba
18 b
81b
C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. Tiga suku pertama barisan aritmetika
adalahcba1
,1
,1
a. akan dibuktikan
cbba
ca
Bukti
2312 UUUU
bcab1111
bacb
abbc
bacb
ac
cbba
ca
b. akan ditunjukkan
caacb
2
Bukti
2312 UUUU
bcab1111
cabb1111
acac
b2
accab 2
caacb
2
2. Jika, cba ,, merupakan tiga suku pertamaderet aritmetikaberarti 2312 UUUU
bcab cab 2
2cab
a. akan dibuktikan bahwaabcabc1,1,1
merupakan barisan aritmetika, berartiakan dibuktikan bahwa barisan tersebut
memenuhi2
cab
2312 UUUU
caabbcca1111
abcbc
abcab
bcab cabb cab 2
2cab
b. akan dibuktikan barisan ,, accb ba juga merupakan barisan aritmetika
2312 UUUU acbacbac
cbba cabb cab 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 20
2
ca
b
2ca
b
3. Jika, cba ,, barisan aritmetika akan
dibuktikan acbca 22 4BuktiJika cba ,, barisan aritmetika maka
abbc
kuadratkan24
2222 accab
cab
acaccab 424 222 accaacb 244 222
224 caacb
4. a. 02 bca
Jikacba1
,1
,1
adalah barisan aritmetika
Akan dibuktikan : 22 2ln2lnln cacacbaca
Bukti
Jikacba1
,1
,1
barisan aritmetika maka
bacca
bca2211
caac
b
2
bcacacbaca 2ln2lnln
ca
accaca
22ln
ca
accaca
4ln
2
acacca 42ln 22
acca 2ln 22
22 2ln caca
Terbukti
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. E. 68
Suku tengah2
1 nt
UUU
6821315
2. D. 24Panjang sisi segitiga siku-siku membentukbarisan aritmetika.Sisi miring 40
Sisi siku-siku terpendek 244053
3. B. cm32Panjang sisi-sisi segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika, yaitumisalkan kkk 5,4,3Jika sisi siku-siku terpendek cm24
Sisi siku-siku yang lain cm322434
kk
4. B. cm20Panjang sisi-sisi segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika, yaitumisalkan kkk 5,4,3 .Sisi siku-siku terpanjang cm16
Sisi miring cm20cm1645
kk
5. E. 6082 bxx punya akar 1x dan 2x
Dengan 21 xx dan 01 x dan 02 xJika 121 3,, xxx membentuk barisanaritmetikaDitanya : ?b
121 3,, xxx membentuk barisan aritmetika,maka
2112 3 xxxx
12 42 xx
12 2xx …..(i)
Persamaan kuadrat 082 bxx8. 21 xx
82 11 xx (masukkan persamaan (i))
82 21 x
421 x
21 xMasukkan 21 x ke persamaan (i)
12 2xx 2.22 x
42 x
Latihan Kompetensi Siswa 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 21
Jika, bxx 21
b426b
6b
6. D. 4Bilangan antara 12 dan 18 disisipkan xbilangan sehingga terbentuk barisanaritmetika dengan beda y denganjumlah 60Ditanya : ?yx
11218
11
x
yk
bb
16
x
y …..(i)
Barisannya : 18,12,.....,212,12,12 xyyy
Jumlah barisan 60 601812...1212 xyy
60.
21
121812
y
xxx
60
16
.2
11230
xxx
x
6031230 xx306015 x
2x
126
16
xy
236
422 yx
7. D. 0pUqU qp ,
qU p qbpa 1
pqbqppbqa
111
pqbqp
qppq
b
pqpq
1 qbpa 1 qpa 11
qpa 11 qpa
Masukkan 1 qpa dan 1b ke bqpaUp qp 1
111 qPqp 011 qpqp
8. A. 5 atau 20Akar persamaan kuadrat
0102 kxkx adalah dan log,log,log membentuk barisan
aritmetikaDitanya : ?k
Karena log,log,log membentuk barisan aritmetika, maka
loglogloglog
loglog
2
222
0322
0322
052 …..(i)
Persamaan kuadarat 0102 kxkx10 k
k masukkan ke persamaan (i)
0510 2 kk05100202 kkk0100252 kk
0520 kk20k 5k
9. D. 216Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku
membentuk barisan aritmetika, misalkan sisi-sisinya kkk 5,4,3
Diketahui : keliling 72Ditanya : luas = ?
Keliling 7272543 kkk7212 k6k
Maka panjang sisi siku-sikunya adalah18633 k dan 24644 k
Luas 2162
2418
pU q
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 22
10. D. 36Panjang sisi-sisi segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika, misalkan
kkk 5,4,3Diketahui : Luas 2cm54Ditanya : keliling = ?
Luas 54
5424.3
kk
546 2 k96 2 k92 k
39 kPanjang sisi-sisinya
cm93.33 kcm123.44 kcm153.55 k
Keliling cm3615129
11. D. 0,0 baPersamaan kuadrat 02 baxxmemiliki akar-akar 1x dan 2xjika 2211 ,, xxxx merupakan barisanaritmetika, maka 212121 xxxxxx
21 xx 021 xx …..(i)
Karena 1x dan 2x adalah akar persamaan
kuadrat maka axx 21 …..(ii)Eliminasi (i) dan (ii)
021 xx
a
axx00
21
0aKarena persamaan kuadrat punya 2 akaryang berlainan (dilihat dari 021 xxmaka 21 xx ), jadi
0D042 acb0.1.42 ba0402 b04 b0b maka 0b
Sehingga, 0a dan 0b
12. D. 400.14Tiga bilangan baaba ,, membentukbarisan aritmetika 75 baaba
753 a25a
70022 baba 70022 2222 babababa
7004 ab700.25.4 b700100 b7b
72525.725. baaba32.25.18
400.14
13. C. 226Kelompok bilangan genap positif : ,....20,18,16,14,12,10,8,6,4,2
Kelompok 1 dengan 1 anggota,…..,Kelompok 4 dengan 4 anggotaSuku-suku awal kelompok
14,8,4,2 membentuk barisan2 4 6 tingkat 2
2 2
Pendekatan 1 22
!22
nn
Awal : 14842
110116941
1 1 1
Pendekataan 2 nn
1
!11
Hasil Operasi 1 : 2101
22224321
Pendekatan 3 2Suku awal kelompok ke-n= Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +
Pendekatan 322 nn
Suku awal kelompok ke-15212215152
Suku akhir kelompok ke-15b142122.14212
24028212
Pendekatan 1 2n :
Hasil Operasi 1 :
Pendekatan 1 2n :
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 23
Suku tengah kelompok ke-15
2240212
2262
452
14. C. 723,14,8 42 nUUU
Ditanya : ?n
224224
nUUUU n
2823
2814
n
215
26
n
2153
n
1523 n52 n7n
15. B. 2024321 UUU dan 102
13 UUDitanya : ?4 U
24321 UUU 242 babaa
2433 ba 243 ba
8baab 8 …..(i)
10213 UU
102 2 aba 1082 2 aaa
0216 aa 023 aa
3a atau 2a
ab 8628
Tidak mungkin, karena barisan adalahbilangan positif
baU 34 6.32
20182
B. Evaluasi pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a. sisipkan tujuh bilangan antara 13 dan 15
41
82
171315
'
b
'56 baU
41
.513
41
1445
13
'78 baU
41
.713
43
1447
13
b. sisipkan sembilan bilangan antara–15 dan –5
11010
19155'
b
15a9753 UUUU
babababa 8642 ba 204
1.20154 402060
2. ,.....14,11,8,5Diantara dua bilangan disisipkan 7 bilangan
83
1758'
b
'1100100 baU
83995
8337
829740
3. 23,5 nUa1038 UU
Ditanya :a. ?n
1038 UU 1027 baba
105 b2b
23nU 231 bna
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 24
23215 n 1812 n
91n10n
b. ?tU
2nUa
Ut
142
235
4. Barisan aritmetika ,.....19,15,11,7disisipkan dua suku
34
12711'
b
Beda yang baru34
'1920 baU
34197
397
37612
'2930 baU
34297
3137
311612
5. Empat bilangan babaaba 2,,, membentuk barisan aritmetika 322 babaaba
3224 ba 3222 ba
162 baab 216 …..(i)
2762 2222 babaaba
222 216216 aaaaa
2762162 2 aa
222 16163 aaa
276323 2 a
27610241929 2 aa0276153632020 2 aa
20:063160126032020
2
2
aaaa
079 aa
9a atau 7a ,
ambil 7aPersamaan (i) : ab 216
7.216b2b
5271 baU72 aU
93 baU1124 baU
1151173142 UUUU21618
6. 2,2,6 2 kUb22 U
2ba26 a8a
1'
kbb
236
126
'910 baU 102.98
'2425 baU 402.248
7. Lima bilangan membentuk barisanaritmetika yaitu :
babaababa 2,,,,2 Jumlah lima bilangan 75 7522 babaababa
755 a15a
Bilangan terkecil Bilangan terbesar 161 16122 baba
1614 22 ba 161415 22 b
1614225 2 b644 2 b
162 b16b
4Ditanya : ?22 22 baba
2222 4.2154.21522 baba22 723
48049529
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 25
8. Persamaan suku banyak0283912 23 xxx
akar-akarnya membentuk barisan aritmetika,misalkan akar-akarnya ,,Persamaan 0283912 23 xxx
28,39,12,1 dcba
ab
1123
123 4
ad ..
12823
2844 23 64284 2
4362
92
39 Akar-akarnya adalah 34,4,34 yaitu :
7,4,1Beda 314
9. Diantara bilangan 1 dan 31 disisipkan msuku sehingga membentuk barisanaritmetika, berarti 1a
1131'
mb
130'
m
b
30'' bmb'30' bmb …..(i)
95
1
7 mU
U
95
'2'6
bmaba
95
'2'161 1
bmb
b
95
'2'301'61
bb
b
95
'331'61
bb
'3315'619 bb
'15155'549 bb 146'69 b
69146
'b
Persamaan (i) '30' bmb
''30
bb
m
130
1'
30
69146
b
1146
6930
14694.1
146146070.2
10. Jika zyx xzy log15,log,log,1 membentuk barisan aritmetika, tentukanhubungan ?,, zyx
231 2UUU
xy yz log2log1 1log2log xy yz …..(i)
yzx zxy log2log15log Masukkan persamaan (i) maka
1log22log15log xzx yxy
2log4log15log xzx yxy
zxx xyy log152log4log
zyxx xyyy log15logloglog 24
zxxy xy log15log 4
2
zyx xy log15log 23
1523 loglog zyx xy
zyx xyy log15loglog 23
Hubungan : zx xy log152log3
C. Evaluasi kemampuan Analisis1. cba ,, merupakan barisan aritmetika
a. akan dibuktikan bahwa bacacbcba 222 ,,
Juga merupakan barisan aritmetikaBukti :Jika cba ,, barisan aritmetika
Maka bca 2 atau bca 2
…..(i)
Akan ditunjukkan acbbaccba 222 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 26
Bukti : baccba 22
2222 bcaccaba 2222 accabcba
accabca 22
acbbacca .222
abcbacb 222 2 abcabcb 224 3
23 .2.24 bbb 2.2 bca cab 22
b. akan dibuktikan
baaccb 1,1,1
Jadi, akan dibuktikan
cabacb
211
Bukti
22
11
caca ac
4
24
2
11
caca ac
22
2
1
2
1
21
21
caacca
caacca
22
2
22
2
caacca
ccacaa
2222
22222
caccacacaa
caca
224222
22222
accacaccaa
cacaa
222222
2222
cacacaca
cacaa
2222
222222
cacacaca
cacaa
222
2222
cacaca
cacaa
222
2222
ca
2
Terbukti
2. jika 222 ,, cba adalah barisan aritmetikaa. akan dibuktikan
baaccb 1,1,1
juga barisan
aritmetikaBuktikanJika 222 ,, cba adalah barisan aritmetika,
maka 222 2bca atau2
222 ca
b
atau2
22 cab
akan dibuktikan :cabacb
211
bacb
11
22
2222
11
caca ac
222122
21
2
1
2
1
caacca
2222 22
2
22
2
caacca
2222
22
2222
2222
caacca
ccaa
222222
22
224222
22222
cacaccacaa
caca
cacacaca
caca
222
22222
22
22
cacaca
caca
222
22222
22
22
ca
2
b. akan dibuktikan
bac
acb
cba
,, adalah barisan
aritmetika berarti akan ditunjukkan
acb
bac
cba
2
bac
cba
bacb
cbcbaa
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 27
bccababccbaba
2
22
bcacabcbabca
ca
2
22
22
bcaccaab
cabb
2.2
212
212
21
2
accabcab
cabb2
222
21
21
cacacab
cabb
21
212
ca
bcabca
cabb
22
21
21
3. Diketahui :
282118 zyx
4
314
976
34
914
67
,,
,,
yzxzxy
zyzxyx
Akan dibuktkan
zxx xzy log27
231,log3,log723,3
Merupakan barisan aritmetikaAkan ditunjukkan
xx yz log
723
2log33
xzx zzz log3log3log33
xx yy log3log343
14943
xx yy log1
3log343
43
149
xx yy log4log7
18
xylog7
46
xylog
723
2
Akan dibuktikan
xzx zxy log33log27231log
723
zx xy log27231log
723
149
914
34 log
27231log
723 xzxz
xx zz log.27231log1.
723
914149
34
xx zz log19681
.27231
log2869
xx zz log196693
log2869
xz log
196693483
xzlog196176.1
xx zz log32log6
4. 32log,12log,2log xx barisanaritmetikaDitanya : nilai ?x
12log232log2log xx
212log322log xx
212322 xx
12.2262.22
xxx
052.422
xx
01252 xx
52 x atau 12 x
5log2xtidak mungkin
Jadi, nilai x yang mungkin adalah 5log2
5. Diketahui : 222 ,, baaccb barisan aritmetika
akan ditunjukkan :
baaccb 1
,1
,1
juga barisan aritmetika
Bukti :Jika, 222 ,, baaccb barisanaritmetikamaka 222 2 acbacb
22 22 acbacbbacb
222 ;22 accaacbacbca
2222 cacabacb
2
2
ca
bacb
Jika,baaccb
1,1,1barisan aritmetika
Akan dibuktikanacbacb
211
bacb
cbbabacb
11 ; (masukkan (i))
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 28
cacacaca
ca
2
2
2
caca
22
ac
2
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. B. 47
nnSn 134 2
///
21
nnn SSU
8.21
138 n
178 n178.88 U
471764
2. C. 4nnSn 62 2
64/ nSn
4// nSb
3. E. bnnS 1
21
bnanS 1221
bnanS 122
nSbna 212
bnnSa 122
2
12 bna n
S
bnnSa 1
21
4. B. 115
116115
2...64212...531
n
n
116115
Penyebut
Pembilang n
n
SS
116
11522
121
2
2
n
nn
n
116115
222
n
n
nn 221152.116 nn 230230232
2302 n115n
5. D. 40019,13 107 UU
Ditanya : ?20 S137U 136 ba
63
199bba
2b136 ba132.6 a
1213a1a
bnanSn 122
21201.22
2020 S
40038210
6. C. 29.....,7,5,3,1
225nSDitanya : ?n
bnaUn 1 211 n
221 n12 n
225nS
2252
nUan
225122
nn
22522
nn
2252 n225n
15n
Latihan Kompetensi Siswa 4
1910U
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 29
115.2 nU115.215 U
29130
7. D. ann log121
?.....log...logloglog 32 naaaaDeret tersebut merupakan deret aritmetikadengan aa log
aab loglog 2
aaa loglog
2
nn aU log
nn UanS 2
naan loglog2
naan .log2
1log2
nan ann log12
ann log121
8. C. 860.4 buah
12080 UanU n 1001.2080
nn Uan
S 2
18.20801002
1818 S
4401009 860.4
9. C. 661.66Bilangan bulat antara 250 dan 1000yang habis di bagi 7 :
994,.....,266,259,252994,7,25 nUba
bnaU n 1 71252994 n
25299417 n 74217 n 1061 n
107n
9942522
107107 S
246.12
107
661.66623107
10. C. 768 Bilangan asli antara 1–100 yang habis
dibagi 496,.....,12,8,4
96,4,4 nUba bnaUn 1 41496 n
964 n24n
9642
2424 S
200.1 Bilangan asli antara 1–100 yang habis
dibagi 4 dan 6 :96,.....,36,24,12
96,12,12 nUba bnaU n 1 1211296 n
9612 n8n
961228
8 S
432108.4 Jumlah bilangan asli antara 1–100 yang
habis dibagi 4 tetapi tidak habisdibagi 6
768432200.1
11. C. 12180,2,4 nSba
Ditanya : ?n
bnanSn 122
214.22
180 nn
2282
180 nn
622
180 nn
nn 3180 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 30
018032 nn 01215 nn
15n atau 12n
Tidak mungkin
12. C. 122
knn
k
Deret aritmetika
.....321 n
nn
nn
n
nna 1
nn
nnb 12
nn
nn 112
bkakS k 122
nk
nnk 1112
2
nk
nnk 112
2
1122
knn
k
1222
knn
k
122
knn
k
13. A. nnSn 92 46 nUn
1041.61 Ua
12 UUb 41.642.6
61016
1/
kb
b
236
126
/22
bnanSn
2.110.22
nn
22202
nn
1822
nn
nnSn 92
14. C. 84Baruisan aritmetika awal .....,33,18,3disisipkan 4 bilangan
4,15318,3 kba
1/
kbb
35
1514
15
3.173.227
7 S
8418627
15. B. 35230,11 2035 SU
Ditanya : ?10 S 113U 112 ba …..(i)
23012022
2023020 baS
23019210 ba23192 ba ….(ii)
Eliminasi (1) ke (ii)11ba 2 242 ba
4515
23192bba
3b112 ba113.2 a
611a17a
3.11017.22
1010 S
3527345
16. C. 10020151296 UUUU
2014118(5 babababa20384 ba
201922 ba10192 ba (i)
23192 ba 1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 31
baS 12022
2020
ba 19210 10.10 (masukkan (i))
100
17. C. 920 nnnSn 45 2
Ditanya : ?2 nU
1222 nnn SSU
1241252425 22 nnnn
1241445820 22 nnnn
4852020820 22 nnnnn920 n
18. B. 31337 S
13317227
ba
1336227
ba
13337 ba193 ba .....(i)1206 S
12016226 ba
120523 ba4052 ba …..(ii)
Eliminasi (i) ke (ii)193 ba 2 3862 ba
24052
bba
193 ba 1923 a
619 a25a
baU 1112 21125
32225
19. B. 2 174 S
1714224
ba
17322 ba1764 ba …..(i)
588 S
5818228
ba
58724 ba58288 ba …..(ii)
Eliminasi (i) ke (ii)1764 ba 14 2388456 ba
64321748424
aba
3264a
2a
20. D. yxn 41
xUU 21
xbaa xba 2 …..(i)
yUU nn 1
ybnabna 21 ybna 322 …..(ii)
Dari persamaan (i) ke (ii) bnabayx 3222
bna 1324 bna 224 bna 122
bnanSn 122
(masukkan (iii))
yxn
21
.2
yxn
4
21. D. 280108,4 5 Ua
nn UanS 2
55 25 UaS
cm208108425
22. E. nol
nS adalah jumlah n suku pertama suatuderet aritmetika
4052 ba 1
58288 ba 3
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 32
nnnn SSSS 113 33
nnnnnn SSSSSS 11223 22 nnnnnn SSSSSS 11223 2
123 2 nnn UUU
1223 nnnn UUUU 1223 nnnn UUUU
0 bb
23. C. 122 nba
nn SS 2
nnnn SSSS 112 _ nnnn SSSS 112
12 nn UU bnabna 1112 nbabna 1 bnna 12 bna 122
24. C. 275Diketahui :
21,4,25 5 UbUt
Ditanya : ?nS 215 U
214 ba214.4 a2116 a5a
2
nt
UaU
tn UUa 2aUU tn 2525.2
45550 bnaU n 1 41545 n
54514 n
4401n
101n11n
4552
1111 S
275502
11
25. D. 150Barisan bilangan positif genap
n2.....,,8,6,4,2306,2,2 nSba
Ditanya : ?5 nn SS306nS
306212.22
nn
306222
nn
03062 nn 01718 nn
18n atau 17n
Tidak mungkin517175 SSSS nn
1217 SS
21122.22
1221172.2
217
26212
362
17
15056306
B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a. 10...642 U224,2 ba
21102.22
1010 S
110225 b. 20...048 U
484,8 ba
4120822
2020 S
600761610 c. 11...20 Uxx
xba ,0
xS 1110.22
1111
xx 55102
11
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 33
d. 15...91215 U31512,15 ba
311515.22
1515 S
9042302
15
e. 1621 ...131418 U
21
21821
15,18 ba
25
11618.22
1616S
122
75368
f. 2132
21
31 ... U
21
32
,31
ba
61
634
61
11231
.2221
21S
61
12131
.2221
310
32
221
424.2
21
g. 6...21
11
211
U
211
1,21
1
ba
21121
2122
2122
1621
1.2
26
6S
21
151021
23
21
2583
2121524
h. 10...31
121
311
U
31
121
,31
1ba
312231
31233
31233
11031
1.2
210
10S
312
392731
25
312
392745
312
29235
312345115
2. a. 32 xxf1fa
131.2 12 ffb
31.222.2 21
2150122
5050 S
400.29625 b. xxf 318
1fa 151.318
12 ffb 1.3182.318
31512
315015.22
5050 S
925.211725 c. 34 ttf
1fa 731.4
12 ffb 431.432.4
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 34
41507.22
5050 S
250.521025 d. 123 ttf
1fa 911.23 12 ffb 6912.23
61509.22
5050 S
800.731225
3. a. 56,5 18 UaDitanya : b dan ?18 S
1818 218 UaS
5495659 5618 U5617 ba56175 b3b
b. 5,33,5,0 12 UaDitanya : b dan ?12 S
5,3312 U5,3311 ba5,3315,0 b
3311 b3b
1212 212 UaS
2045,335,06 c. 30,2,16 nba
Ditanya : 30U dan ?30 SbaU 2930 22916
425816
42162
3030 S
3902615
d. 164,31,10 nn SUaDitanya : b dan ?n
nn Uan
S 2
31102
164 n
412
164n
841
2164
n
318 8 Un317 ba31710 b217 b3b
e. 570,6,4 nSbaDitanya : ?n
570122
bnan
Sn
57061422
nn
5706682
nn
5701462
nn
057073 2 nn
aacbb
n2
42
2,1
3.2
5703.477 2
6889.67
3.2
5703.477 2
6837
6889.67
6837
1
n atau
6837
2
n
156
76
Tidak mungkinMaka 15n
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 35
4. 200,2 105 UUaDitanya : 20U dan ?20 S
200105 UU 20094 baba 2009242 bb
0200368184 2 bbb01962636 2 bb0981318 2 bb
049182 bb
2b atau1849
b
Tidak mungkin, karena barisan adalahbilangan positif
2020 220
UaS
42040210
5. a. 313
32
3 ...
313,
3332,
3 nUba
313nU
3
131 bna
3
133
13
n
313
3 n
13n
nn UanS 2
3
193
1332
13
b. eeee21531 ...
eU
eeeb
ea n
21,213,1
eUn
21
e
bna 211
ee
ne
21211
een
e2112
en
e222
eeeSn
1212112
11
6. a. Bilangan bulat positif antara 200–600yang habis dibagi 4
596,.....,208,204596,4,204 nUba
596nU 5961 bna 59641204 n
5964200 n
994
396n
600.395962042
99nS
b. Bilangan bulat positif yang habis dibagi3 antara 1.000–1.600
599.1,.....,008.1,005.1,002.1599.1,3,002.1 nUba
599.1nU 599.11 bna 599.131002.1 n
599.19993 n6003 n200n
599.1002.12
200nS
100.260601.2100 c. Bilangan bulat positif antara 200–600
600 yang habis dibagi 4 :596,.....,208,204
Pada jawaban 6. a. didapat 600.39nSBilangan bulat positi antara 200–600yang habis dibagi 4 dan 3 :
588,.....,228,216,204588,12,204 nUba
588nU 588121204 n
58819212 n
3312
396 n
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 36
068.135882042
33nS
Jumlah bilangan positif antara 200–600yang habis dibagi 4 tetapi tidak habisdibagi 3 adalah :
532.26068.13000.39 d. Bilangan positif antara 1.000 dan 1.600
yang habis dibagi 3 dan 2596.1,.....,014.1,008.1,002.1
596.1,6,002.1 nUba 596.1nU
596.161002.1 n596.19966 n
6006 n100n
596.1002.12
100nS
900.129598.250 Bilangan positif antara 1.000–1.600 yanghabis dibagi 2, 3, dan 4 adalah bilangankelipatan 12 :
596.1,.....,020.1,008.1596.1,12,008.1 mUba
596.1nU 596.1121008.1 n
596.199612 n
5012600
n
596.1008.12
50nS
100.65604.225 Jumlah bilangan positif antara 1.000–1.600 yang habis dibagi 4 adalah :
100.65900.129 800.64
7. a. akan ditunjukkanbSSS nnn 12 2
Bukti :
nnn SSS 12 2
nnnn SSSS 112
nnnn SSSS 112
12 nn UU bnabna 1112
nbbn 1nbbnb
b
b. bnSS nn2
2 2 Bukti :
nn SS 22
bnanbnan 122
21222
2
bnnanbnnan 12122
bnbnbnbn 2222bnbn2
c. akan ditunjukkan nnn SSS 23 3
Bukti : nn SS 23
bnanbnan 12
2122
22
bnn
anbnnan2
11223
bnn
nanan2
11223
bnn
nan2
1123
bnn
an2
133
bnan 132
23
bnan
1322
3
nS3
8. nmnUmU mn ,,Ditanya : ?mnS
mUn mbna 1
nmbmn
nbma111
nmbmn
mnnmb
nmnm
11
1
b
mbna 1 mna 11
mna 11 nma
nUm
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 37
bmnamn
S mn 122
11122
mnmnmn
1122
mnmnmn
12
mnmn
9. Diketahui : 2
2
mn
SS
m
n
Akan dibuktikan1212
mn
UU
m
n
Bukti :
2
2
mn
SS
m
n
2
2
2
2
12
12
mn
bma
bnam
n
bmamnbnanm 12
212
222
bmanmnbnammn 122
122
nbmnambnma 1212 nbmnbnambnmbma 22
nbmbnama 22 bnmanm 22
bnm
nma22
bnm
nma
2
ba21 …..(i)
bma
bnaUU
m
n
11
bmb
bnb
1
1
2121
(masukkan (i))
2121
m
n
1212
212
212
mn
m
n
10. Diketahui : ab 2
Akan dibuktikan : 2
2
mn
SS
m
n
bma
bnaSS
m
n
m
n
1212
2
2
amam
anan212212
aamam
aanan222222
2
2
2
2
22
mn
aman
11. Diketahui : ,00.800.8.RpSn
,000.250.Rpa ,000.20.Rpb
bnan
Sn 122
000.201000.25022
000.800.8 nn
000.20000.20000.5002
000.800.8 nn
2000.10000.240000.800.8 nn 0000.800.8000.240000.10 2 nn0880242 nn
02044 nn
44n atau 20n
Tidak mungkinJadi, hutang akan lunas dalam 20 bulan
12. Penurunan kuat arus%,.....19%,22%,25
%3%25%22%,25 baPengukuran kelima
%34%2545 baU
10012
10025
%1310013
Besar penurunan kuat arus padapengukuran kelima
mA8,12496010013
Jadi, beasr kuar arus pada pengukurankelima mA2,8358,124960
13. Tarif km1 pertama ,000.6Rp
Tarif km berikutnya km,500.2 Rp
Tarif km15 Tarif km1 pertama +Tarif km berikutnya 14
14500.2,000.6 RpRp ,000.35,000.6 RpRp
,000.41Rp
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 38
14. Diketahui : 20n15a
51520 bDitanya : ?20 S
512015.22
2020 S
250.1953010 bangku
15. Selama delapan tahun, populasi jenistumbuhan bertambah dari 75.230 menjadi125.280Penambahan selama 8 tahun 8S
050.50230.75280.125 050.508 S
050.50180.228 b
050.507.4 b050.5028 b
5,787.128050.50 b
Jadi, rata–rata pertumbuhan populasiadalah 1.788 pohon pertahunnya.
C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. Terdapat dua jumlah deret nS1 dan nS2
Jika15783
2
1
nn
SS
n
n
Tentukan ?2
1 n
n
UU
Jika 1n
151.781.3
2
1
aa
21
2211
2
1
2
1 aa
aa
212 aa atau 21 21 aa …..(i)
Jika 2n 152.7
82.3
222
111
baabaa
2914
22
22
11
baba
Masukkan 212 aa …..(i)
2914
22
22
11
baba
2914
2 22
11
baba
2212 21429 baba
2212 14282929 baba
122 2914 bba …..(i) Jika 3n
153.7
83.322
22222
11111
babaababaa
3617
3333
22
11
baba
3617
3333
22
11
baba
2211 1736 baba
2211 17173636 baba
2212 17173618 baba
122 3617 bba …..(iii)Masukkan (iii) ke (ii)
1212 29143617 bbbb
12 73 bb
12 37
bb ….(iv) atau
21 73 bb …..(v)
Masukkan (iv) ke (ii)
122 2914 bba
112 293714 bba
11 31129
398 bb
12 311ba atau 21 11
3 ab …..(vi)
Masukkan (v) ke (ii)122 2914 bba
273
2914 22 bba
22 711
78714 bb
22 711ba atau 2
117
2 ab …..(viii)
22
11
2
1
11
bnabna
UU
n
n
; masukkan (i),
(vi) dan (vii)
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 39
211
72
2113
221
11
anaana
22
22111
117
2
113
21
2
nana
11422
1611
nn
1414226611
nn
nn
14856
2. Diketahui : dua deret aritmetika, denganjumlah deret masing–masing nS1 dan nS2
dengan27417
2
1
nn
SS
n
n
Ditanya : ?2
1 n
n
UU
Jika 1n
271.411.7
2
1
aa
318
2
1 aa
21 318 aa atau 12 8
31aa …..(i)
Jika 2n
272.412.7
22
22
11
baba
3515
22
22
11
baba
Jadi,73
22
22
11
baba
Menurut 2211 2327 baba
2211 36714 baba
1221 73614 bbaa
1222 73631814 bbaa
122 73631
112 bba
122 733174 bba
7421793 12
2 bba
7493217 21
2
bba
.....(ii)
Jika 3n
273.413.7
3333
22
11
baba
39
2233
22
11
baba
2211 22223939 baba
1221 39222239 bbaa
1222 392222318
.39 bbaa
122 392231
682312 bba
122 392231470
bba
470682209.1 21
2
bba
…..(iii)
Masukkan (iii) ke (ii)
7493217
470682209.1 2121 bbbb
2121 710.43990.101468.50466.89 bbbb
21 758.6524.12 bb
21 262.6379.3 bb atau 12 379.3
262.6 bb …..(iv)
Masukkan (iv) ke (ii)
212 7493
74217 bba
11 379.3262.6
7493
74217 bb
1379.374366.582243.733 b
1046.250609.315.1 b …..(v)
Masukkan (iv) ke (ii)
212 7493
74217 bba
27493
2262.6379.3
.74
217bb
2262.674366.582243.733 b
2388.463609.315.1 b …..(vi)
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 40
22
11
2
1
21
bnabna
UU
n
n
2609.315.1
388.4632
2609.315.1
046.250231
8
11
anaana
388.4631609.315.1
046.2501512.339
nn
221.852388.463466.89046.250
nn
3.nn aaaaaa
13221
1...11
nn
nn
aaaa
aaaa
aaaa
1
1
32
32
21
21 ...
baaaaaa nn
13221 ...
baa n
1
nn
n
aaaa
1
1
4. Diketahui : kUUU 221 ,....., adalah deretaritmetika yang bukan nol
22
24
23
22
21 ... kUUUUU
22
2112 kUU
kk
Bukti bkUU k 1212
1212
kUUb k …..(i)
22
212
24
23
22
21 ... kk UUUUUU
...432121 UUUUUU kkkk UUUU 212212
...1111 bUUbUU bkUbkU 1222 11
bkUbkU 1222 11 ...522 11 bbUbbU
bbkU 342 1
bkU
bUbUb
342
...522
1
11
bkU
bUbUb
342
...522
1
11
bkbb
UUUb
34...5
2...22 111
34...512 1 kbkUbDeret aritmetika dengan
34,4,1 kUba k
Substitusi persamaan (i)
3412
212 1
12 kk
bkUk
UU k
24
22
12 121 kkbkU
kUU k
12.212 121
kkbkUk
UU k
bkUkk
UU k 122..12 121
bkUUkk
UU k 12.12 1121
kk UUUUkk
212112
22
2112 kUU
kk
5. Diketahui : n ,....., 21 barisan aritmetika
dengan beda bakan dibuktikan ...secsecsecsec 3221
b
nnn sin
tantansecsec 111
Bukti : ...secsecsecsec 3221 nn secsec 1
b11 sec.sec ...2secsec 11 bb
bnbn 1sec2sec 11
21 cos
1.cos
1
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. E. nn
nU 3.2 12
Yang merupakan barisan geometri adalahnn
nU 3.2 1 karena bentuk tersebut bisadiubah ke bentuk
1 nn arU sebagai berikut :
Latihan Kompetensi Siswa 5
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 41
nnnU 3.2 1
n
n
n
n
32
22.32
31
.2.22
11
32
.34
32
.32
.2
nn
2. D. Aritmetika dengan pembanding blog2,.....log,log,log 2
222
ba
baa adalah barisan ?
abaUUb loglog 22
12
aba logloglog 222 blog2
ba
baUUb loglog 2
22
23
ba
bba log1.log 22
ba
bba log1loglog 222
122 log1log bb
blog2Karena beda antara dua suku selalu tetapmaka barisan tersebut adalah barisanaritmetika dengan beda blog2
3. E. aritmetika dengan bedabalog
,....log,log,log 2
32
ba
baa
adalah barisan ?
abaUU loglog
2
12
aba logloglog 2 ba loglog
balog
ba
baUU
2
2
3
23 loglog
ba
aa
ba 22
log.log
aa
ba
ba 22
logloglog
balog
Karena selisih dua suku yang berurutanselalu tetap, maka barisan tersebut adalah
barisan aritmetika dengan bedabalog
4. E. 2 ,.....7,1,2 aaa adalah barisanGeometriDitanya : rasio ?r
2
3
2
1
UU
UU
r
17
21
aa
aa
2172 aaa121427 22 aaaaa
11425 aa153 a
5a
21
1
2
aa
UU
r
236
2515
Jadi, rasio 2
5. C. 18Barisan 54,,,,6 zyx adalah barisangeometri
Ditanya : ?yxz
61 aU542 U
45 arU
4654 r94 r
4 24 39 r
333 21
42
3.62 arUx
183622
3 arUy
3183633
4 arUz
Jadi, 1818
318.36 yxz
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 42
6. D.2716
Diketahui : xrqpl ,,,, adalah geometri
43
: qp dan31
q
Ditanya : ?x
43
43
pq
qp
jadi34
pq
r
235 rUU
22
34
.31
34
.
qx
2716
9.316
7. A. 2Diketahui : zyx ,, barisan geometri
Ditanya : ?log1
log1
yy zx
Jika zyx ,, barisan geometri, maka
yz
xy atau xzy 2
2log xzy …..(i)
yy zx log1
log1
yyyy
zx
xz
loglogloglog
yyyy
xzzx loglogloglog
1
yyzx xzyy logloglog.log
yzxyzx xyyzyy log.log.loglog.log.log
yxzyx xyzyy log.log.log.log.log
yzyx yyyy log.loglog.log
1.log1.log zx yy
zx yy loglog
2log xzy (dari persamaan (i))
8. D. 6Diketahui : 42
733
2 ,, aUaUaU k
Ditanya : ?k
56
2
7 rarar
UU
3
42
2
7
aa
UU
3425 ar455 ar
51
45ar 9ar
213 rUU
2912 aa618121812 aaaa
Maka 6k
9. B. 405Diketahui : 935.10,3 8 UrDitanya : ?5 U
78 arU
348 .rarU
358 .rUU
338
5 3935.10
UU
U
40527935.10
10. C. 4Diketahui : 52
824
1 ,, aUaUaU x
Dintanya : ?x7
18 .rUU 7452 .raa
564524
527 aa
aa
r
756
ar r8ar
48412 .. aaaUU
Maka 4x
rUU 12 9
13 .aUa
9
3
1 aaU
931
aU12
1aU
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 43
11. B. 212 pt
nt adalah suku ke- n dari deret geometri
Ditanya : ?. 533 pp tt untuk 3p
Jika nt adalah suku ke-n dari deret
geometri maka 1 nn art
15313533.
pp
pp arartt4342 ppra pra 42
2.22 pra 22 par
212 pt
12. B. 486Diketahui : 54,162,13 3 UUn t
Ditanya : ?11 USuku tengah 162tU dengan
21nt 7
2113
Maka 1627 U
54162
3
7 UU
54162
2
6
arar
34 r41
3r8
311 .rUU
4863.543.54 28
41
13. A. 3 28 mm
Deret geometri 25
3 ,0 mUmma Ditanya : ?21 U
45 arU
432 .rmm
31
2
3
24
mm
mmr
35
312 mm
354 mr
4135
mr 125
mr
2021 arU
12100
31
125
31
.20
mmmm 325
31
325
31
. mmm32
324
326 mm
3 288 32
mmm
14. C. 1Persamaan kuadrat 02 2 qxxpunya akar 1x dan 2x
2121
,2,1 , xxxx adalah barisan geometri
Ditanya : ?qJika persamaan kuadrat 02 2 qxxpunya akar 1x dan 2x maka
ac
xx 21.
2. 21
qxx …..(i)
ab
xx 21
21
21 xx …..(ii)
Dari barisan geometri 2121
,2,1 ,xxxx maka
2122 2
1. xxxx
212 2
1xx …..(iii)
Masukkan persamaan (iii) ke (ii)
21
21 xx
0212
121
1 xx
20120
12
1
21
1212
1
xxxx
011 11 xx11 x …..(iv)
Masukkan 11 x ke (ii)
21
21 xx
211 2 x
121
2 x
21
2 x
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 44
Masukkan 11 x dan21
2 x ke (i)
2. 21
qxx
221
.1q
Maka 1q
15. B. 22
3
qpq
Barisan geometri ,31 pUU qUU 42
Ditanya : ?4 UpUU 31
para 2 …..(i)
qUU 42
qarar 3
qarar 2 (masukkan (i))qpr .
pqr
pUU 31
para 2
pra 21
ppqa
2
1
ppq
a
2
2
1
pp
qpa
2
22
22
3
qppa
34 arU
3
3
22
33
22
3
.pq
qpp
pq
qpp
22
3
qpq
16. E. ppDiketahui : deret geometri
pUUp
UU 1, 82
6
4
Ditanya : ?1 U
prpararp
UU 2
5
3
6
4
21pr …..(i)
pUU 1
82
17. parar182 pra142 ppa
4
12
ppa
32 pa 21
23
.pppa
pp
17. B. 2Diketahui : Barisan geometri 22 n
nUDitanya : ?r
21
2
1 22
n
n
n
n
UU
r
12
2
3
2
2.22
22
n
n
n
n
2221 1
1
18. B. 10Diketahui : tiga bilangan arar
a ,, adalahbarisan geometri jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27.Ditanya : ?31 UU
13321 UUU
13 arara
…..(i)
27.. 321 UUU
27.. arara
273 a33 3a
3a
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 45
Masukkan 3a ke persamaan (i)
13 arara
13333
rr
1033
rr
101
3
r
r
3101
rr
3311r
ratau
31
31
rr
maka31
r atau 3r
untuk 3a dan31
r maka
bilangannya : 1,3,9,, arara
untuk 3a dan 3r maka
bilangannya : 9,3,1,, arara
Bilangan 1 + Bilangan 3 9119 10
19. E. 243243,244 4361 UUUU
Ditanya : ?r24461 UU
2445 ara …..(i)24343 UU
243. 32 arar24352 ra243.5 aar
aar 2435 …..(ii)
Masukkan persamaan (ii) ke persamaan (i)2445 ara
244243
a
a
2442432
a
a
aa 2442432 02432442 aa
243a atau 1a
untuk 243a masukkan ke (i)2445 ara244243243 5 r1243 5 r15 r
5
55
31
31
2431
r
31
r
untuk 1a masukkan ke (i)2445 ara2441 5 r2435 r
55 3r3r
20. D.xyx
Diketahui : yUxU 111 ,Ditanya : ?6 U
10111 .rUU
10.rxy 101
10
xyr
xyr
5
56
101
xyxUrU
21
105
xyx
yxx
xyx
B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a. ,.....9,3,1
313 r
b. ,.....18,6,2
326 r
c. ,.....3,6,12
121
126 r
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 46
d. ,.....23,6,2
32
3226
r
e. ,.....18,6,2
326
r
f. ,.....,,1,10 1001
101
101
r
g. ,.....1,1,1,1
111
r
h. ,.....1,, 31
91
339
1391
9131
r
i. ,.....1,1,2 21
41
4923
4121
21
r
32
1812
9243
2. a. 12 nnU
122 0111 U
222 1122 U
422 3133 U
822 3144 U
1622 4155 U
Lima suku pertama 16,8,4,2,1
b. 135 nnU
0111 3535 U
51.5 112
2 3535 U 1535
2133 3535 U
4595
3144 3535 U
135275
4155 3535 U
40581.5 Lima suku pertama
405,135,45,15,5
c.1
31
6
n
nU
631
631
6011
1
U
231
631
6112
2
U
32
31
631
6213
3
U
92
31
631
6314
4
U
272
31
631
6415
5
U
Lima suku pertama 272
92
32 ,,,2,6
3. a. ,.....9,3,1
313,1 ra
111 33.1 nnnn arU
13 nnU
b. ,.....,, 121
61
31
21
63,
31
3161
ra
11
21
31
nn
n arU
16 nnU
c. ,.....12,6,3
236,3 ra
11 23 nnn arU
16 nnU
d. ,.....18,6,2
326,2 ra
11 32 nnn arU
16 nnU
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 47
e. ,.....1,3,6
21
63
,6 ra
11
21
6
nn
n arU
1122.3
n n 12.2.3nn 211 2.32.3
nnU 22.3
f. ,.....1,3,9
31
93
,9 ra
11
31
9
nn
n arU
112 33
n n 12 3.3nn 312 33
nnU 33
4. Ditanya : r dan ?5 Ua. 48,6 4 Ua
484 U483 ar486 3 r83 r
283 rJadi, 2r dan 965 U
b. 200,50 3 Ua2003 U
2002 ar20050 2 r44 r
2rJadi, 2r dan
8005 Uc. 10,20 2 Ua
102 U10ar1020 r
2010
r
21
r
Jadi,21
r dan45
5 U
5. a. 536.1.....,,24,12,6
536.1,26
12,6 nUra
1 nn arU
12.6536.1 n
2566536.1
2 1 n
2562 1 n
81 22 n
81n9n
Banyak suku adalah 9b. 768.....,24,12,6,3
768,236,3 nUra
1 nn arU
123768 n
2562 1 n
81 22 n
81n9n
Banyak suku adalah 9c. 748.8
1361
121
41 ,.....,,,
748.81
,31
124
,41
41
121
nUra
1 nn arU
1
31
41
748.81
n
748.84
31
1
n
187.21
31 1
n
7
1
31
31
n
71
31
31
n
71n8n
Banyak suku adalah 8
45 arU
42.69616.6
Untuk 2r4
5 arU
8002.50 4 Untuk 2r
45 arU
800250 4
45 arU
4
2120
45
61.20
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 48
d. 250.31.....,,50,10,2
250.31,52
10,2 nUra
1 nn arU
15.2250.31 n
625.155 1 n
61 55 n
61n7n
Banyak suku adalah 7
6. bababa 14,6,2 merupakan barisangeometri dengan 0aa. Ditanya : b dalam ?a
Jika bababa 14,6,2 barisangeometri, maka
bababa 1426 2
2222 142281236 bababababa abaaba 16281236 22
baabaa 16281236 aabb 36281612
ab 84
48 ab
ab 2Jadi, ab 2
b. Ditanya : ?r
1
2
UUr
baba
26
; masukkan ab 2
aaaa
2226
248
aa
Jadi, rasio 2
7. Diketahui : cba ,, barisan geometriAkan dibuktikan : cba log,log,logMerupakan barisan aritmetika, berarti akanditunjukkan bahwa cab logloglog2
Bukti :Karena cba ,, barisan geometri, maka
acb 2 atau 21
acb …..(i)
21
log2log2 acb ; masukkan (i)
aclog21
.2
aclog.1aclog
ca loglog Karena telah dibuktikan bahwa
cab logloglog2 makacba log,log,log adalah barisan aritmetika
8. Diketahui : 2sin,cos,cossin adalah barisan
geometri dengan 0cos akan ditunjukkan :
02cos2cos2 2 Bukt :Jika 2sin,cos,cossin barisangeometri, maka
2sin.cossincos2 cos.sin2.cos.sincos.cos
2sin21
21
sin2
1cossin 22
1cos21 2
21
cos2 .....(i)
21
cos2
42
21
cos
221
241
221
cos …..(ii)
2cos2cos2 2
2221
.221
.2 ; masukkan (i)
dan (ii)211 022
Terbukti
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 49
9. Diketahui : Bilangan cba ,, adalah barisan bilangan
aritmetikamaka bca 2
02 bca …..(i) Bilangan 2,, cba adalah barisan
geometrimaka 22 cab …..(ii)
12 cba …..(iii)Ditanya : ? cbaEliminasi (i) ke (iii)
02 bca
123
12bbca
4bMasukkan 4b ke (i)
02 bca 042 ca
8caca 8 ….(iv)
Masukkan persamaan (iv) dan 4b ke (ii) 22 cab
2842 ccccc 216816 2
062 cc 06 cc
0c atau 6c
Tidak mungkinMasukkan 6c ke (iv)
ca 868a
2aJadi, 6,4,2 cba
48642 cba
10. Diketahui : Bilangan cba ,, adalah barisan
aritmetikamaka cab 2
02 ca …..(i) Bilangan 2,2, cba adalah barisan
goemetri
maka 22 2 cab …..(ii) ac 42 maka
24 ac …..(iii)
Masukkan (iii) ke (i)02ca
024 baa225 ba …..(iv)
Masukkan (iii) ke (ii)
22 2 cab
2242 2 aab
22 42 ab
22 22 ab ab 22 22 ba …..(v)
Eliminasi (iv) dan (v)225 ba 1 225 ba
6
424aba
Masukkan 6a ke (v)262 a26.2 b
14bMaka beda 12 UU
ab8614
11. cba ,, barisan aritmetikaMaka cab 2
02 bca …..(i)Diketahui : 5 cba …..(ii)Eliminasi (i) dan (ii)
02 bca
513
51bbca
17b , maka beda 17Masukkan 17b ke persamaan (i)
02 bca017.2 ca
ca 34 …..(iii)Diketahui : cba ,9, barisan geometri,
Maka acb 29
cc 4917 2
22 348 cc 064342 cc
0232 cc32c atau 2c
Untuk 32c , maka51 cba513217 a2a
22 ba 2
; substitusi nilai bdan (iii)
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 50
Untuk 2c , maka51 cba51217 a32a
Barisan aritmetikanya adalah 32,17,2atau 2,17,32jadi, suku pertamanya 2 atau 32
12. a. Barisan aritmetika ,.....,, 321 aaa
621 ,, aaa membentuk barisan geometri,
Maka 6122 aaa
baaba 5112
1 baabbaa 1
21
21
21 52
052 12
1 babba03 1
2 bab 03 1 abb
0b atau 03 1 ab
13ab …..(i)
Diketahui : 42621 aaa 425111 babaa
4263 1 ba 421363 1 aa
42183 11 aa4221 1 a21 a
Maka (i) 13ab 2.3b
6bJadi, beda barisan adalah 6
b. baS 11022
10110
2906.92.25
13. a. Barisan geometri ,.....,, 321 UUU24461 UU
2445 ara …..(i)243. 43 UU
243. 32 arar24352 ra243. 5 ar
aar
2435 …..(ii)
Substitusi (ii) ke (i)2445 ara
244243 a
a
aa 2442432 02432442 aa
01243 aa243a atau 1a
Untuk 1a , maka2445 ara244.11 5 r2435 r
55 3r Untuk 243a , maka
2445 ara24243243 5 r1243 5 r
55
31
2431 r
31
r
Jadi, rasio adalah 3 atau31
b. untuk 3,1 ra maka
7293.1 667 arU
Untuk31
,243 ra
66
7 31243
arU
31
729243
Jadi, suku ketujuh adalah 729 atau31
14. ,....., 3,21 UUU barisan aritmetika
rqp UUU ,, membentuk barisan aritmetika
Maka rpq UUU .2
brabpabqa 111 2
222 112 bqabqa
22 1111 brpabpabra
bqaqb 2112 brpprb 11111
apraq 1112
bqbrp 2111
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 51
aprq 1112
bqrp 2111
b
prqqrpa .
1112111 2
…..(i)
Karena rqp UUU ,, barisan geometri,
maka rasio bpa
bqaU
U
p
q
11
bpb
bqb
prqqrp
prqqrp
1.
1.
1112111
1112111
2
2
111211121111
111211121111
2
2
prqprqpqrp
prqprqqqrp
b
b
prqpqqrppr
prqqqqrppr
21121
211212
2
prqpprpqqqrppr
prqpqrqqqqrppr
222
22222
22
pqqp
prpqrqq
222
2
pqqp
rqprqq
222
qppq
rqpqqpqp
rqpq
qprq
Jadi, terbukti rasioqprq
15. Barisan geometriarUaU x
x 11
brUbU yy 1
1
crUcU zz 1
1
ba
UU
y
x
ba
rUrU
y
x
11
11
bar yx 11
yx
bar
1
…..(i)
ca
UU
z
x
ca
rUrU
z
x
11
11
ca
r zx
yx
ca
r
1
…..(ii)
cb
UU
z
y
cb
rUrU
z
y
11
11
cb
r zy
zy
cb
r
1
…..(iii)
(i) = (ii)zxyx
ca
ba
11
zxyx
zxyx
ca
zxyxba
11
yxzx
ca
ba
xyyxzzzx caba
xz
xy
yx
zx
bc
aa
xzxyyxzx bca xyxzzy cba …..(iv)
(ii) = (iii)zyzx
cb
ca
11
zxzy
cb
ac
xzzxyzzy cbca
yz
xzzxzy
ccb
a
xyzxzy cba …..(v)(iv) = (v)
xyzxxzxy cbbc
xzxz
bb
1
12xzb
1xzb1xzb
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 52
Masukkan ke (iv)xyxzzy cba .
xyzy ca .1xyzy ca …..(vi)
cyxbxzazy logloglog yxxzzy cba logloglog ; (vi)
1log1loglog xyxy cc
xyxy coc log1logxyxy cc loglog
0Terbukti
C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. cba ,, adalah barisan geometri,
Maka acb 2 …..(i)Akan dibuktikan :
ba
abcabcbaba
22
Bukti :
abbbcacaba
abcabcbaba
2
222
; (i)
cbab
cbaa
ba
Terbukti
2. cba ,, adalah barisan geometri,
Maka acb 2 …..(i)Akan dibuktikan :
cbbba 1,
21,1
barisan aritmetika,
berarti akan dibuktikan
bcbba 21211
Bukti : cbba
bacbcbba
11
bcbacabcba
2
2
bcbbabcba
22
2; (i)
bcbabcba
222
cbabcba
22
bb 21
21
Terbukti
Karena
bcbba 21
211
maka
cbbba 1,
21,1
adalah barisan aritmetika
3. ba ,...,..., adalah barisan geometri
Jika suku tengah nn
nn
t babaU
11
Maka nilai n yang memenuhi ?Suku tengah barisan geometri
nt UUU 1 ; bUaU n ,1
abbaba
nn
nn
11
abbaba
nn
nn
211
abbabna
babannn
nnnn
22
22
112121
112222 2 nnnn baba abbaba nnnn 222
112222 2 nnnn baba111212 2 nnnn baabba
12122222 nnnn abbaba012221222 nnnn abbbaa0.... 12121212 nnnn babbabaa
01212 abbbaa nn
01212 babbaa nn
01212 baba nn
Maka :baba 0 atau
12121212 0 nnnn babaJadi, nilai n yang memenuhi adalahsemua nilai 0n yang positif
4. 02 22222 cbxcabxbaadalah persamaan kuadrat dengan cba ,,dan Rxakan ditunjukkan bahwa cba ,, adalahbarisan geometri dengan x sebagai rasionyauntuk mencari nilai x yang memenuhi
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 53
persamaan kuadrat, perhatikan bahwa untuknilai x tunggal maka
0D maka
042 22222 cbbacab 2222222 4844 bacabcbba
0444 22422 cbbca0448 4222 bcacab02 2224 cacabb
022 acbacbMaka 02 acb
acb 2
Karena acb 2 maka cba ,, adalah barisangeometrisekarang tentukan rasio,sebelumnya diketahui bahwa penyelesaianpersamaan adalah
222
2ba
Dcabx
222
02ba
cab
; karena x tunggal
caa
cabacacab
2
ab
Karenaab
adalah rasio dari suku kedua
terhadap suku pertama sedangkanabx ,
maka x merupakan rasio barisan geometritersebut.
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. E.
33.2 nnS
333.2 11S jadi 3a
1533.2 22 S
122 SSU 12315
233 SSU
1533.2 3 361551
Jadi, 36,12,3 321 UUU
Kesimpulan
2312 UUUU dan
2
3
1
2
UU
UU
Maka deret tersebut bukan merupakan deretaritmetika maupun geometri.
2. B.nnSn 22
111.2 211 SU11 U
122 SSU 122.2 2
516 Maka 52 U
233 SSU
22.233.2 22 9615
Karena 44312 UUUUMaka deret tersebut merupakan deretaritmetika dengan beda 4
3. A.Deret geometrir rasioa suku pertamaU suku ke-n
11
rraS
n
n
1
raarn
1.1
rararn
1.
rarU
4. E.Deret ...2log2log2log 1263 Apakah deret geometri ?
2
3
1
2
UU
UU
2log2log
2log2log
6
12
3
6
6log.2log3log.2log 21226 6log3log 126
Latihan Kompetensi Siswa 6
?
?
?
?
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 54
2.6log1
2.3log1
63
2log11
2log11
63
Ternyata2
3
1
2
UU
UU
, maka deret tersebut
bukan deret geometriapakah deret aritmetika :
2312 UUUU
2log2log2log2log 61236
6log
1
12log
1
3log
1
6log
12222
6log.12log
12log.6log
3log.6log
6log3log22
22
22
22
3log2log3log2log
log2
3log3log2log
log2
2222126
22263
3log13log2
log2
3log3log1
log2
2221
2221
3log13log2
1
3log3log1
12222
Maka deret bukan aritmetikaJadi, deret bukan deret aritmetika maupungeometri
5. D.Deret geometri
1173 S
1172 arara …..(i) 1171 2 rra …..(ii)
313
654 UUU
313543 ararar
3
1323 ararar ; masukkan (i)
313
117.3 r
1173
133 r
351133 r
33
31
271
r
Maka31
r substitusi ke (ii)
1171 2 rra
11731
31
12
a
1179
139
a
1179
13. a
139117
a
81a4
5 arU
18181
31
.814
6. A.Deret geometri dengan 33 1 n
nS
1
12
1
2
SSS
UUr
33
333311
1112
39
39327
36
624
7. C.Deret geometri
2020 23 arU …..(i)
8065 UU
8054 arar80.. 3222 rarrar ; masukkan (i)
0802020 32 rr08023 rr
022 2 rrrMaka 02r
2rPersamaan (i) 202 ar
202 2 a20a
?
?
?
?
?
?
?
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 55
115
5
rra
S
12
125 5
55
3335
8. E.Deret geometri
34
2 U …..(i),2716
4 U
27163
4 arU
2716
. 2 rar
2716
. 22 rU ; masukkan (i)
2716
.34 2 r
942 r
32
r
Untuk arUr 232
32
.34
a
2a
Untuk arUr 232
32
34
a
2a
Untuk32
,2 ra
rra
S
11 5
5
31
24332
32
532 12
112
81422
243211
6
Untuk32
,2 ra
3
2
532
5 112
S
81110
243275
56
Jadi, 5S adalah81
422atau
81110
9. D.Deret geometri dengan rasio 2
1
23
1
13
n
nn
nn
nn
UUU
SSSS
11
1213
n
nn
ararar
n
nn
ararar 12
rr
arrrar
n
n
22
6222
10. D.Deret geometri dengan suku positif
81
3 U …..(i)
27 U
26 ar2. 42 rar2. 4
3 rU
281 4 r
164 r44 2r
Maka 42rAmbil r positif
12
127321
7
S
32
1271128
321
Jadi,32
1277 S
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 56
11. C.Jumlah penduduk kota A mengikuti deretgeometri
45 U .....(i)
25,131 UU …..(ii)Persamaan (i)
45 U
44 ar
ar 44
ar 22 …..(iii)
Persamaan (ii)25,131 UU
25,12 ara
25,12
. a
aa ; (iii)
25,12. aa
025,12 aa
05,05,2 aa
5,2a atau 5,0a
Tidak mungkin21
21
a
2
21
a
41
a
Substitusi41
a ke (i)
45 U
44 ar
4.41 4 r
44 r2r3
4 arU
248
241 3
Jadi, banyak penduduk kota A padatahun keempat sebesar 2 juta orang
12. D.124.3 1 n
nS
Periksa bentuk ?nU
nnn SSU 1 124.3124.3 111 nn
12 4.34.3 nn
144.3 1 n
3.4.3 1 n
21 4.4.9 n
14.144 n
Maka 14.144 nnU
Banyak nU adalah bentuk barisangeometri dengan rasio 4
13. D.Peningkatan hasil produksi pertahun
%10 hasil produksi pertahun meningkat%10%100
1,1%10 Jadi, hasil produksi tahun berikutnyasebesar 1,1 kali lebih besar dari tahunsebelumnya. Sehingga hasil produksi tahunke tahun merupakan suatu deret geometridengan rasio 1,1rDiketahui : 641.145 UDitanya ?3 U
45 arU
225 .rarU
235 .rUU
23 1,1641.14 U
000.1221,1641.14
3 U
Jadi, hasil produksi awal tahun ketigasebesar 000.12 unit
14. B.Seutas tali dipotong menjadi 6 bagianmengikuti barisan geometri
96,3 61 UU5
6 arU 5.396 r
325 r5 32r2r
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 57
116
6
rra
S
189
163.3
12123 6
Jadi, panjang tali semula cm189
15. A.Deret geometri
680.3271 U dan
0; mm
r
dengan , adalah
akar persamaan 0124232 mxmx
23 mab
Maka 23 m 23m …..(i)
124 m …..(ii)Diketahui :
m
m …..(iii) 23mm ; masukkan (i)mm 32
m22 …..(iv)Masukkan (iii) dan (iv) ke (ii)
124 m 12422 mmm
012422 2 mmm062 mm
023 mmMaka 3m atau 2m
Tidak memenuhikarena 0m
(iv) m2283.2
Jadi, 8
83
83
rm
r
116
6
rra
S
1
1
83
683
283.52680.327
144.262415.261
58
283.52680.327
545
58
104
40
16. D.Tabungan awal = uang yang ditabungkan
pada 1 januari 2000= 2.000.000
Besar tabungan akhir tahun pertamaTabungan awal + bunga
000.000.2%20000.000.2 000.000.2.2,1
,000.400.2Jumlah tabungan Budi pada tahun ke-nmengikuti deret geometri dengan
000.400.21 U dan 2,1rBudi menabung sebanyak 10 kali, berartidari tahun 2000–2009Total tabungan Budi pada akhir
102009 S
1
1101
10
rrUS
12,1
12,1000.400.2 10
12,12,0000.400.2 10
12,1000.000.12 10 Jadi, pada tahun 2010 tabungan Budisebesar 12,1000.000.12 10 Rp
17. D.Jumlah penduduk kota A dari tahun1980 – 1990 adalah tetap
.,.......................,......,......... BA1990198219811980
Persentase pertumbuhan pendudukmengikuti pada deret aritmetikaSuku tengah adalah suku ke
19852
19901980
Jadi, 1990,19801985 UUU
ABMaka banyak penduduk tahun 1985
sebesar AB
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 58
18. E.Pertumbuhan penduduk mengikuti aturanderet geometri
24 96 ?1984 1985 1986…………1991
1n 3n 119841991 n6n
213 rUU 5
6 arU 22496 r 768224 5
42 r2r
Pertumbuhan penduduk tahun 1991sebesar 786 orang
19. C.Penjualan suatu barang meningkat %2perminggu, berarti penjualan mingguberikutnya akan menjadi
02,1%2%100 kali banyakPenjualan minggu sebelumnya
5001 UJika 000.10nS maka ?n
000.10nS
410102,1102,1500
n
410102,102,0
500 n
4,0102,1 n
4,102,1 n
4,1log02,1log n
4,1log02,1log n
02,1log4,1logn
1001021014
loglog
100log102log10log14log
2102log114log
20. C.Deret geometri
544 U …..(i)
374.48 U
374.4. 44 rU
374.4.54 4 r814 r
44 3r3r3
4 arU
2754
3.54 3 aa
2a
115
5
rra
S
242
13132 5
Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 242
21. C.Deret geometri
21 U
41.
41 3
14 rUU
41.2 3 r
813 r
33
21
r
21r
rrUS
11 6
16
64114
112
21
621
64252
64634
16153
64603
22. A.Bakteri membelah diri menjadi dua setelahsatu detik 2 r
10251 U bakteri
?320 nU n
32011 nrU
320.10 1 nr
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 59
321 nr51 2nr
651 nnJadi, bakteri akan menjadi 320 setelah6 detik
23. C.Populasi hewan A berkurang menjadisetengahnya setiap 10 tahun,
Jadi rasio21r
?1 U2 juta 1 juta
1960 1970………….1990 20001n
1
101960000.2
n
5nMaka juta15 U
juta141 rU
juta121 4
1
U
16juta11 Ujuta161 U
Jadi, pada tahun 1960 populasi hewan Asebesar 16 juta
24. D.Deret geometri
21 U
1133
11
335
110
1510
r
rUrrU
SS
1331 510 rr 13311 555 rrr
3315 r325 r
55 2rMaka 2r
642.2 5516 rUU
Jadi, suku keenam adalah 64
25. C.Deret geometri
2r 33
1133
5
5
rraS
3312
12 5
a
333
132 a
3a32
43 ararUU
32 rra
32 223 12843
Jadi, 1243 UU
B. Evaluasi Pemahaman dan penguasaanMateri.
1. a. 10,.....9,3,1 n
313
,1 ra
910 arU
561.63.1 9
841.913131 10
10
S
Jadi, 561.610 U dan 841.910 Sb. 8,.....32,64,128 n
21
12864
,128 ra
7
8 21
.128
U
1128128
2
1
821
8 11128
S
2561
13
256256255
.3
256
853
255
Jadi, 110 U dan 8510 S
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 60
c. 7,.....32,16,8 n
28
16,8 ra
5122.8 67 U
12128 7
7
S
016.1127.8 Jadi, 5127 U dan 016.17 S
d. 9,.....45,15,5 n
35
15,5 ra
805.323.5 89 U
13135 9
9
S
205.49682.1925
Jadi, 805.329 U dan 205.4910 Se. 6,.....,, 8
141
21 n
21
,21
2141
ra
641
21
.21 5
6 U
21
6
21
21
6 11
S
6463
641
1
Jadi,641
6 U dan6463
6 S
f. 100,.....1,1,1,1 n
11
1,1
ra
111 99100 U
11
111 100
100
S
01121
Jadi, 1100 U dan 0100 S
g. 10,.....,, 278
94
32 n
32
23
94
,32
3294
ra
9
10 32
32
U
049.59024.1
32
10
10
32
1032
32
10 11
S
049.59050.116
049.59024.1
12
Jadi,049.59
024.110 U dan
049.59050.116
10 S
h. 5,.....,, 509
103
21 n
53
106
,21
21
103
ra
3
4 53
21
U
25027
12527
.21
5
3
4
53
21
4 11
S
625544
.165
62581
116
5
12534
Jadi,25027
4 U dan12534
4 S
i. 12,.....2,2,1 n
2,1 ra
11
12 21U
2322.2 215
12
12112
12
S
12631212
.12
63
Jadi, 23212 U dan 126312 S
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 61
j. 6,.....7,72,14 n
221
1427
,14
ra
5
6 221
4
U
247
3224
14
21
2114
21
6
21
6
S
2121
.2121
114
2121
21
891
21
81
2
21
14
9121.
891
2121
228
91
Jadi, 247
6 U dan 22891
6 S
2. a. 1262.....22 2 n
222
,22
ra
126nS
126
12122
n
6312 n
642 n
622 n
6nJadi, 6n
b. 3633.....333 32 n
333,3
2
ra
363nS
36313133
n
372613 n
2433 n
533 n
5nJadi, 5n
3. .....931
313
,1 ra
11
rra
Sn
n
1321
13131
bn
Jadi, 1321
nnS
39nS
391321
n
7813 n
793 n
79log3log n
79log3log n
3log79log
n
935,3nJadi, nilai n terkecil sehingga 39nSadalah 4n
4. Deret geometri2,1 ra
11
rraS
n
n
12
12121
nn
710nS71012 n
1102 7 n
110log2log 7 n
110log2log 7 n
2log
110log 7 n
25,23301,07 n
25,23nMaka n terkecil adalah 24
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 62
5. a. 202 1,1.....1,11,11 201,1,1,1,1 nUra
1 nn arU
120 1,111,1 n
120 1,11,1 n
201n21n
11,111,11 21
21
S
002,644002,610 b. 202 05,1.....05,105,11
21,05,1,1 nra
105,1
105,11 21
21
S
719,35786,105,01
c. 2021 05,1.....05,105,11
21,05,1,1 1 nra
1
211
21 05,1105,111
S
462,13359,0105,005,1
d. 1021 1,1.....1,11,11 11,1,1,1 1 nra
1
111
11 1,111,111
S
145,7649,01,01,1
6. Deret geometri9,0,1 ra
nn
nS 9,01109,019,011
510nSKarena nilai suku pertama lebih besar daripada 510 (ingat 1a ) maka tidk ada nbulat positif yang memenuhi sehingga
510nS . Karena tidak ada n yangmemenuhi, maka n terkecil pun tidak adayang memenuhinya.
7. antaraac
dancd
disisipkan m bilangan
sehingga terjadi deret geometri.
kcdU
acU n ,,1 banyak sisipan m
1
1
k n
UU
r
12
2
1 mm
dccd
cd
12
11
.2
mm
cd
cd
Maka rasio dari deret geometri tersebut
adalah1
2
m
cd
8. Diantara 1 dan 100 disisipkan k bilangansehingga terbentuk deret geometri
100,11 nUU
1
1100kr
12
101001 kk
Berarti, sekarang terbentuk deret geometri
dengan 11 U dan 12
10 kr dari bilangan1–100 terdapat 2k suku
1
12
2
rra
Sk
k
110
110
110
1101
12
12
12
12
21
k
kk
k
kk
110
110
10
1101
2
11
12
111 21
1
2
k
k
k
kk
110110.10
10110
12
12
12
12 2
1
2
k
k
k
k
110110.100
12
12
k
k
Maka110
110.1001
2
12
2
k
k
kS
Jika 000.12 kS maka ?k
310110
110.1001
2
12
k
k
11010110.10 12
12 32 kk
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 63
332 1010.10110.10 12
12
kk
11010.1010.10 323 12
12
kk
99910.900 12
k
900999
10 12
k
11,110 12
k
11,1log10log 12
k
11,1log10log.1
2
k
0453,01
2
k 210453,0 k
0453,00453,02
k
13,43kMaka nilai–nilai k yang memenuhi
000.12 kS adalah 44k
9. antara212 dan 80 disisipkan 4 bilangan ,
sehingga terbentuk deret geometri
4,25 ka
232280 514
21
r
Banyak suku 2k624
116
6
rraS
2
31512126
25
Jadi, jumlah deretnya adalah2
315
10. Deret geometri n suku4421 araUU …..(i)
41 ra
ra
14
…..(ii)
1081 nn UU
10812 nn arar 1082 arar n ; masukkan (i)
1084.2 nr272 nr …..(iii)
Diketahui :121nS maka
12111
rra n
1211
1. 22
rrra n
; masukkan (ii)
dan (iii)
1211
127 21
4
rrr
111211274 2 rrr1211214108 22 rr
11713 2 r92 r092 r
3r atau 3r
Untuk 3rr
a
1
4
131
4
Untuk 3r 314
a
22
4
Jadi , 1a dan 3r atau2a dan 3r
11. Investasi dengan bunga mejemuk investasipertahun ,00.100Rp dengan bungamajemuk %10Investai setelah 5 tahun karena bungamajemuk, maka total investasi setelah5 tahun mengikuti aturan deret geometridengan
000.110000.1001,11 U1,1r
1
151
5
rrU
S
11,1
11,1000.110 5
,561.671RpJadi, total uang setelah 5 tahun
,561.671Rp
12. Total pinjaman uang selama n tahundengan bungan majemuk %8 pertahunmengikuti deret geometri dengan
08,1%8%100 r
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 64
000.160.2000.000.208,11 UTotal pinjaman selama 10 tahun
108,1
108,1000.160.2 10
10 S
1589,1,000.000.27 Rp93,974.290.31Rp
13. Uang ,000.200Rp dibungakan selama14 tahun pertama dan 6 bulan berikutnyadengan bunga majemuk %5 pertahun.Besar uang yang dibungakan selama 14tahun pertama mengikuti deret geometridengan
05,1%5%100 r ,000.210000.20005,11 RpU
Besar uang pada akhir tahun ke-14 1313
1 05,1000.210. rU32,986.395Rp
Bunga majemuk untuk 6 bulan berikutnya
sebesar 004166,012%5 perbulan
Besar uang setelah 14 tahun 6 bulan 6004166,01 besar uang akhir tahun
ke-14 ,32.986.395004167,1 6 Rp ,67,989.405Rp
Jadi, setelah 14 tahun 6 bulan, uang sebesar,000.200Rp yang dibungakan akan
menjadi ,67,989.405Rp dengan bungamajemuk %5 pertahun
14. Deret geometriAkan dibuktikan
12 n
n
n rSS
Bukti :
11
11
2
2
rrarra
n
nn
n
SS
1
11112
n
nn
n
n
rrr
rr
1 nrTerbukti
15. a. 2521
41
21 .....1
26,21
nr
rra
Sn
11
26
26
21
2621
21
121
11
25
21
2
b. 203.....2793 Merupakan deret geometri dengan
20,339,3 nra
13
133 20
20 S
134
3 0
Maka jumlah deret tersebut adalah
134
3 0
c. 2561
161
41 .....1
5,41
nr
41
541
5 111
S
256257
.54
2561
154
640257
C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. nUUU ,.....,, 21 adalah deret geometri
dengan 1rnUUUS .....21
nUUUT 1.....11
21
Akan dibuktikan : nUUTS .1
Bukti :
n
n
n UUUUU
UUS
1
21
1
.....
n
n
nn UUU
UUU
UUU
11
2
1
1 .....
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 65
11
1
21
11
1 1......
..
1UarU
rUarU
rUU nn
n
131
1...
111UararU nn
n
1
2211
1.....
111UararU nn
n
121
1.....
111UUUU nnn
nUUU1
.....11
21
T
TUUS
n
1
atau nUUTS
1
Terbukti
2. Jika 321 ,, SSS merupakan jumlah n suku,
n2 suku, dan n3 suku pertama dari deretgeometria. akan dibuktikan
212231 SSSSS Bukti :
,11
,11
221
nn r
ra
Srr
aS
11
33
nr
ra
S
231 SSS
1
11
11
123 nnn r
ra
rr
ar
ra
nnn rrr
r
a 232
2
11
11
12
2
2
nnn rrrr
a
nrrra n 22
22
.11
22
11
nn rrr
a
2
2
1
nn rr
ra
2
2 111
nn rr
ra
2
2 111
nn rr
ra
2
2 11
11
nn r
rar
ra
212 SS
TerbuktiJadi, 212231 SSSSS
b. akan dibuktikan : 32122
21 SSSSS
Bukti :22
21 SS
2
22
11
11
nn rr
ar
ra
22 1
21
1nn r
ra
rr
a
1
1.1
12 2nn r
ra
rr
a
2
2 21
nn rrr
a
11
12 2
2nn rr
ra
222
21
nn rrr
a
11
2 232
nnn rrr
ra
12
21 23
222
nnn
nn
rrr
rrr
a
22224
424
1 23
23242
nnnn
nnnn
rrrr
rrrr
ra
221
222
nnn rrr
ra
211
322
nnn rrr
ra
2111
32
nnn rrr
ra
ra
11
11
132 nnn rr
ra
rr
a
1
1
11
1 3
2
n
nn
r
r
ra
rr
a
11
111
1 3
2
n
n
n
rr
a
rr
a
rr
a
321 SSS TerbuktiJadi, 321
22
21 SSSSS
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 66
3. barisan geometri dari bilangan real dengan304321 UUUU …..(i)
34024
23
22
21 UUUU
3031
2111 rUrUrUU
301231 rrrU
340231
221
21
21 rUrUrUU
3401 64221 rrrU
3401.
1
900 246
223
rr
rrr
1900 246 rrr 223 1340 rrr
1900 246 rrr
223223 112340 rrrrrr
1900 246 rrr
1222340 22334546 rrrrrrrrr
1900 246 rrr
123432340 23456 rrrrrr
0560680120360.1120680560 23456 rrrrrr
0141733431714 23456 rrrrrr
0141828181421
2 234
rrrrrr
maka 02 r atau 021 r
2r21r
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. C.
.....133 Merupakan deret geometri tak hinggakonvergen dengan
33,3 ra
raS
1
333
33
31
3
6
3393333.
339
3323
Maka 3321
1 S
2. E.
Deret tak hingga .....221122
adalah deret geometri tak hingga konvergen
dengan22
,2 ra
ra
S
1
222
22
21
2
24
2242222
.22
4
224222
Maka 224S
3. D.Deret tak hingga
.....81
41
21 2log
12log
12log
1
adalah deret tak hingga konvergen dengan
10log122log
1
221
a
101102 110log 12
Maka101a
1
2
UUr
10log1
10log2
21
41
2
2
2log1
2log1
2
2
1
2
10log
10log
1010
22
12
22
101
10010
Maka101r
raS
1
91
1 109
101
101
101
Latihan Kompetensi Siswa 7
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 67
Jadi,91
S
4. D.
Nilai ?25log ....2log2log2log 32
Perhatikan pangkatBentuk pangkatnya merupakan deretgeometri tak hingga konvergen
2loga dan 2log2log2log2
r
raS
1pangkat
2log10log2log
2log12log
5log2log
log2log
210
2log5
Maka ....2log2log2log 32
25
2log22log 55
525 425 22log 25
Jadi ....2log2log2log 32
25
22log4log
510log.22log.2
5log10log2 ; diketahui : 699,05log
301,02699,012 602,0
5. C.Deret geometri dengan 6S dan
2genap S
6S
61
ra
ra 16 …..(i)
2genap S
21
rar
; subtitusi (i)
2116
rr
26 r
31r
Masukkan ke persamaan (i) nilai r ra 16
31
16
432.6
Maka, suku pertama adalah 4
6. E.
.....41
213 a
a merupakan deret dimana suku kedua danseterusnya maerupakan deret geometri tak
hingga konvergen dengan21
1 U dan
21
2141
r
Makar
Ua
1
3 1
4131
321
21
4 a4loglog 22 ab
22log 22 2 b
.....logloglog 32 bbb aaa
adalah deret geometri tak hingga konvergendengan
bU alog1 2log22log 24
1.21
2log.21 2
21
dan1
2
UU
r
21
2212
loglog
bb
a
a
21
21
41
Makar
US
1
1
31
1 2321
21
21
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 68
Jadi,31
S
7. D......5log5log5log 32 p
p adalah deret geometri tak hinggakonvergen dengan
5loga dan 5log5log5log2
r
Makar
ap
1
5log10log5log
log15log
2log5log
log5log
510
Maka 5log2p
Nilai 522 5log2
p
Jadi, 52 p
8. C.Deret tak hingga konvergen
214
12593
2532
51
31 ..... xxxx
21S dengan xa
31 dan
xx
r31
251
21
1
ra x
53
;21
1 53
31
xx
| r ||
21
1 53
31
x
x
xx
531
21
31
xx303
21
31
21
103
31
xx
21
301 x
230x
15xJadi, nilai x yang memenuhi 15
9. C.Deret geometri tak hingga .....log32log3232 2 xxxxxkonvergen dengan suku-suku negatifuntuk mendapatkan suku negatif terdapatdua kemungkinan :1. 0a dan 0r2. 0a dan 0rSyarat deret konvergen adalah | r ||Deret di atas memiliki
32 xa dan xr log kemungkinan 1 : 0a dan 0r
a. syarat 0a032 x
23x ….. 1
b. syarat 0rkarena deret konvergen maka nilai rdibatasisyarat konvergen| r ||
11 r ; karena 0r maka01 r
0log1 x1loglog10log 1 x
1101
x
11,0 x ….. 2Syarat numerus : 0x ….. 3
Dari 1 , 2 , dan 3 maka daerahirisannya himpunan kosong
kemungkinan 2 : 0a dan 0ra. syarat 0a
032 x32 x
23x ….. 1
b. syarat 0r1log0 x
10loglog1log x101 x ….. 2
c. syarat numerus : 0x ….. 3Daerah irisan 1 , 2 , dan 3 adalah
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 69
23
1 x
10. D.Deret tak hingga
.....5432 52
43
52
53
52
Perhatkan bahwa deret tersebut merupakanpenjumlahan dari dua deret geometri takhinga Deret suku ganjil
.....52
52
52
53
Adalah deret geometri tak hinggakonvergen dengan
52
a dan 252
52
513
r
251
52
ganjil 1S
25
252452
Deret suku genap
.....53
53
53
642
Adalah deret geometri tak hinggakonvergen dengan
253a dan 2
53
53
51
2
4 r
raS
1genap
2524253
51
53
2
2
1
81
243
Sehingga genapganjil SSS
961240
81
125
2413
Jadi, jumlah deret tersebut adalah2413
11. E.
Diketahui :x
xSlog1
34
xx
ra
log13
1 4
Berarti xa 3
xr log11 4xr log4
Syarat konvergen deret adalah1r
11 r ; xr log41log1 4 x
4loglog4log 4414 x44 1 x
441 x
Maka batas-bats nilai x sehingga derettersebut konvergen adalah
441 x
12. C.
Segitiga 21TOT adalah segitiga siku-siku
sama dengan 211 TTOT
Diketahui : aTT 21 maka
aOTTT 221 dan2
112
21 TTOTOT
222 aaa 45321 TTT
Jadi, ∆ 321 TTT adalah segitiga siku-sikusama kaki dengan
13132 21
OTTTTT
221
a
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 70
Lihat ∆ 543 TTT adalah segitiga sama kaki
dengan siku-siku di 3T
22443 21 OTTTTT
a21
Deret .....433221 TTTTTT
.....212
21 aaa
Merupakan deret geometri dengan
aU 1 dan 22122
1
a
ar
Jadi total panjang garis tersebut
rU
1
1
222
21 21
aa
222
222
aa
13. B.Bola jatuh
Bola jatuh dari ketingian m10 dan
memamtul kembali dengan43r
Lintasan boa sampai berhenti= Bola jatuh pertama + Pantulan pertama +
Jatuh kedua + Pantulan kedua +…..
= Bola jatuh pertama + 2 {pantula pertama+ Pantulan kedua + Pantulan ketiga+…..}
414
30
43
43
2101
10.210
7030.210 meter( karena lintasan Pantulan pertama
= Jatuh kedua.Lintasan Pantulan kedua = Jatuh ketiga )
dan seterusnya
41. A. Persegi 1 memiliki sisi a
21 aaaL
Persegi 2 memiliki sisi22
21
21
aa
221 a
2212
21
2 aaL
2
21 a
Persegi 3 memiliki sisi22
241
241
aa
a21
aaL21
21
3
2
41
a
Deret luas persegi adalah
...41
21... 222
321 aaaLLL
adalah deret geometri tak hingga dengan
21 aU dan
21
2
221
aa
r
rUS
11
Luas
2
21
2
21
aa
15. A.
210 x
Deret tak hingga dari.....cossincossinsin 2 xxxxx
adalah deret konvergen dengan
xx
xxrxU cos
sincossin
,sin1
rU
S
11
xx
xx
cos1sin
cos1sin
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 71
16. E.
20 x
Deret tak hingga dari.....sincossincoscos 2 xxxxx
adalah deret konvergen dengan
xx
xxrxU sin
cossincos
,cos1
rU
S
11
xx
sin1cos
17. D.Deret tak hingga dari
xxxx 0.....,sincossinMerupakan deret geometri tak hinggakonvergen dengan
xa sin dan xx
xxr cos
sinsincos
xx
raS
cos1sin
1
18. D.
20 x
.....sincossincossin 533 xxxxxadalah deret konvergen dengan Suku-suku ganjil
.....sinsinsin 53 xxx
xx
xx
S 22ganjil cossin
sin1sin
Suku-suku genap.....coscoscos 53 xxx
xx
xx
S 22genap sincos
cos1cos
genapganjil SSS
xx
xx
22 sincos
cossin
xxxx
22
33
cossincossin
19. C.Deret tak hingga
.....30tan30tan30tan1 642
.....271
91
31
1
Adalah deret goemetri tak hinggakonvergen dengan
1a dan31
131
r
ra
S
1
431
11
34
31
20. D.Deret geometri tak hingga konvergendengan 5,1 SaUsyarat deret tersebut konvergen adalahjika | r ||
raS
1
55
15 ar
ra
….. 1
| r ||11 r ; masukkan 1
15
51 a
555 a100 a
Maka nilai a berada di 100 a
21. A.Deret tak hingga konvergen
aaaa 4.....1 211
araU
1,1
4S
ar
U4
11
aa
a
41 1
aa
aa
41
aaa
41
2
142 aaaaaa 44 22
043 3 aa 043 aa
Maka 0a atau34
a
Tidak memenuhi
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 72
Jadi,34
a
22. B. 0,; xRxxxxf
Jika didapat deret geometri dengan
21
23
;1 //1 xxffU
23
1.23
21
21
43
;1 ////2
xxffU
43
1.23
21
21
2343
1
2 UU
r
rU
S
11
31 2
123
21
23
Jadi, jumlah deret tersebut adalah 3
23. DBola pingpong jatuh dan memantulmengikuti pola atursan deret geometri
dengan43r
Lintasan pantulan ketiga= Lintasan jatuh pertama 3r
6427.2
432
3
3227
Maka panjang lintasan dri pantulan ketigasampai berhenti = lintasan pantulan ke-3 +lintasan jatuh ke-4 + lintasan pantulan ke-4+ lintasan jatuh ke-5 +…..
2 { lintasan pantulan ke-3 + lintasanpantulan ke-4 +…..}
413227
43
3227
21
2
75,64
2714
3227
2 meter
24. C.
Ternyata R adalah diagonal bidang untukpersegi 1Jika sisi pesegi 11 a , maka diagonal
bidang 21aDiameter lingkaran 1 = diagonal bidang
22 1aR
22
222
21 RRRa
Keliling pesegi 241 11 rRaK Diagonal persegi 2 sisi pesegi 1
2RMisal sisi pesegi 22 aKarena diagonal bidang persegi 2= sisi persegi 1
222 Ra Ra 2
Keliling persegi RaK 442 22 Jadi, deret keliling persegi
.....21 KK
.....424 RRadalah deret geometri dengan
241 RU dan 221
244 R
Rr
rUS
11
Keliling
2224
2124
21
RR
2228
R
Jadi, KelilingS adalah2228
R
25. E.Deret geometri tak hingga
32
.....loglogloglog 7252322 xxxx
Deret tersebut konvergen dengan
Lingkaran 1 jari-jari R
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 73
xU log21 dan x
xx
r 222
32
logloglog
rU
S
11
xx22
2
log1log
32
xx log3log12 222 02log3log2 222 xx
01log22log 22 xx2log2 x atau 1log2 2 x
222 2loglog x21
log2 x
22x 21
2loglog 22 x
41
x 21
2x
2xSyarat konvergen adalah | r ||
Jika41x maka
xr 22log
2222 2log41log
222log2log 2222
14
Maka41x tidak memenuhi
Jika 21
22 x makaxr 22log
21
21
21
2log.2log2log 2222
141
21
21
Maka 2x memenuhiJadi, nilai x yang memenuhi adalah
2x
B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a. .....92
31
21
32
96,
21
3192
1 rU
Karena | r || maka deret konvergen
rU
S
11
23
1 3121
32
21
b. .....12 21
21
,21 rU
Karena | r || maka deret konvergen
rUS
11
421
2
21
21
c. .....421
212,11 rU
Karena | r || maka deret tidak konvergend. .....2793
339,31 rU
Karena | r || maka deret tidak konvergene. .....111
11
1,11
rU
Karena | r || maka deret tidak konvergenf. .....1111
111,11 rU
Karena | r || maka deret tidak konvergeng. .....009,009,09,0
1,0101
9,009,0
,9,01
rU
Karena | r || maka deret konvergen
1,019,0
1,019,0
S
818,01,19,0
h. .....1 21
21
22
21
1,1 2
1
1
rU
Karena | r || maka deret konvergen
222
22
11
1
S
2222.
222
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 74
2221
4222
i. .....32 41
41
41
41
,41
1 rU
Karena | r || maka deret konvergen
rUS
11
31
1 4341
41
41
j. .....278
94
23
278
32
94,
23
23
94
1 rU
Karena | r || maka deret konvergen
rUS
11
273523
278
23
1
7081
3527
23
k. .....33
133
313
3
1313.
133
a
3321
1333
313
333
1
2
UUr
3333.
3313
933223
331
632
Karena | r || maka deret konvergen
ra
S
1
333
21
31
21 33
3133
23
Jadi,23
S
l. xxffff 21.....;321
.....3212
211
21
21
,21
1 rU
Karena | r || maka deret konvergen
11 2
121
21
21
S
Jadi, 1S
2. a. .....1 648
63 xx
8
3
18
3 xxr
Agar deret tersebut konvergen,maka 1r
18
13
x
88 3 x 333 22 x
22 xJadi, batas nilai x agar deret konvergenadalah 22 x
b. .....8192 64 xxx
Agar deret konvergen, maka 1r
9
2
29
4
xx
rx
1r 9
2x<1
09
;19
022
xx
90 2 x092 x
033 xx
33 xMaka nilai x yang memenuhi agar deretmenjadi konvergen ada diinterval
33 x
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 75
3. Deret geometri
52r dan 15S
raS
1
521
15
a
52115a
2157
15
Jadi, suku pertama adalah 21
4. Deret geometri
31a dan
32S
raS
1
r
132 3
1
23
311 r
211 r
21
211 r
Jadi, rasio21
5. Deret geometri.....1 25
151 adalah deret konvergen
Dengan51
,1 ra
nn
nS51
145
111
5151
Jadi000.11
nS maka tidak ada nilai n
positif terkecil yang memenuhi, karena
1000.11
1 aS
6. a. rasio 2xrAgar deret konvergen maka
1r
12 x
121 x31 x
Batas-batas nilai x yang memenuhi adalah31 x
b. rasio 2log xrAgar deret konvergen maka
1r
12log x
12log1 x 10log2log10log 1 x
10log2log101log x
102101 x
121021 x ….. 1
Syarat numerus :202 xx ….. 2
Irisan daerah 1 dan 2 adalah
121021 x
Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi
adalah 121021
x
c. rasio 1log3 xAgar deret konvergen maka
1r
11log3 x
11log1 3 x
3log1log31log 333 x
3131 x
434 x ….. 1
Syarat numerus :101 xx ….. 2
Irisan daerah 1 dan 2 adalah
434
x
Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi
adalah 434
x
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 76
7. Deret geometri
,51
nnU maka51
51
11 U
51
1 U
251
51
22 U
251
2 U
1
2
UUr
51
255
51
251
51 r
rUS
11
41
1 5451
51
51
41 S
8.
gambar di samping merupakan gambarsegitiga siku-siku ABC dengan sisi a
60sin21 2aLABC
321
.21 2a
341 2a
Sisi segitiga aCBA21///
60sin21
21 2
///
aL
CBA
321
.41 2a
3161 2a
Sisi segitiga aCBA41//////
60sin41
21 2
//////
aL CBA
321
.321 2a
3641 2a
.....///////// CBACBAABC LLL
.....3161
341 22 aa
Adalah deret geometri dengan
341 2
1 aU
33
241
2161
aa
r
41
164
rUS
11
Luas
331
13 2
41
241
aa
Jadi, jumlah luas segitiga seluruhnya adalah
331 2a satuan luas
9.
a. sisi-sisi cmaABCDEF keliling cm6aABCDEF sisi-sisi ////// FEDCBA misalkan 2amaka berlaku aturan kosinuslihat ∆ //BBA adalah segitiga sama kakidengan
30,120,30 // BBA
aBBaABaBA21,
21, //
2//
/sinsin
///
BBA
BBA
segienam beraturan
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 77
30sin120sin212 aa
21
21
21
2
3aa
aa 321
2
Keliling 2////// 6 aFEDCBA
a321
.6
a33Deret keliling seluruhnya :
.....336 aa adalah deret geometri
dengan aU 61 dan 321
633 a
ar
316
21Keliling
aS
32126
232
aa
3232.
3212
a
1
3212 a 3212 a
Jadi, jumlah semua keliling
3212 a
b. lihat gambar setiap61
bagian dari
segienam tersebut adalah segitiga samasisi ( karena sudutnya sama besar yaitu
60 )Luas segienam 6 segitiga sama sisi
341.6 2S
323 2S
Luas 323 2aABCDEF
Luas 323 2
2////// aFEDCBA
3321
23 2
a
3.3.41.
23 2a
389 2a
Deret luas seluruhnya :
.....3893
23 22 aa
Adalah deret geometri dengan
323 2
1 aU dan43
33
223
289
aa
r
rUS
11
Luas
361
3 2
43
223
aa
Jumlah semua segienam 22 cm36a
10. Deret tak hingga 1.....111 32 xxx
1xa1xr
1S
1
111
x
x
11x
x
xx 112 x
21x ..... 1
Syarat konvergen adalah1r11 r111 x20 x ….. 2
Daerah irisan210 x
Jadi, batasan nilai x adalah210 x
11. Diketahui :1.....1 2 xxxm
1.....1 2 yyynAkan dibuktikan
1.....1 3322
nmmnyxyxxy
Buktim adalah deret konvergen karena
1x dengan xra ,1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 78
mx
xm
11
11
….. 1
n adalah deret konvergen karena
1y dengan yra ,1
ny
yn 11
11
….. 2
Deret tak hingga.....1 3322 yxyxxy
Adalah deret konvergen karena 1x dan
1y maka 1xy dengan
xyra ,1Maka jumlah deret
xyra
11
1
yxxyyx
2111
; masukkan
1 dan 2
yxyxxyyx
111
11111
xyyxyx
mnn
nmm
nm111111 .
1
11
111
nmmn
mnnm
Terbukti
C. Evaluasi Kemampuan Analisis
1. a. .....12
2233212
1
1a
636
3212
r
ra
S
1
6
3666
36
1
1
1
366
366.
366
6
263636
3666
2627
3666
229
229.
229
3662
73
62393469212542
73
313611212542
Jadi,
73313611212542
S
b. .....216725
8223
2212
1
adalah deret geometri tak hingga dengan
1a dan2212 r
22.
2212
422
raS
1
4
2244
22
11
1
2222.
224
2222
224
Jadi, 222 S
2. Jika .....1 32 aaa rrrA.....1 32 bbb rrrB
Akan dibuktikanba
BB
AA
r11
11
Bukti :A adalah deret geometri tak hingga dengan
arrU ,11
rU
A
1
1
Ar
rA a
a
11
11
Ar a 1
1
AA
r a 1
a
AA
r1
1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 79
B adalah deret geometri tak hingga dengan6
1 ,1 rrU
Br
rB b
b
111
1
Br a 11
BBr b 1
b
BBr
1
1
Terbukti bahwaba
BB
AA
r11
11
3. Diketahui : .....1 21 p
p rrS
.....1 22 pp
p rrSAkan dibuktikan
2121 2 pppp SSSS Bukti :
pp rS
11
1 atau1
11
p
p
Sr
pp rS
11
2 atau2
11
p
p
Sr
pr
11
Maka
pppp rrSS
11
11
21
21
11 .2
11111
pp SSpp
pp
rrr
21122
21
ppSS
SSpp
Terbukti
4. 34412lim 2 XXXax
34412lim 22 xxxx
344144lim 22 xxxxx
d e f p q rkarena pd maka
pq
de
a22
424
424
22.2
8
Maka 2a
Deret : .....sinlogsinlog1 2 aa
20 menjadi
.....sinlogsinlog1 222 Adalah deret konvergen jika
1sinlog2 r
1sinlog1 2
2sin21 ; karena nilai
1sin1
1sin21
Untuk nilai 1sin21 dan untuk
20 maka nilai yang memenuhi
adalah26
5. jika2
0
12sec.....2secsec nS 2secsec
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 80
A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. C.
30.....12963
10
1
3k
k
110
11
13k
k
11
2
33k
k
2. A.
2111
53
32 .....1
2111
53
32
21 .....
Pembilang : 11,.....,3,2,1Adalah barisan aritmetika 11, niUi
Penyebut : 21,.....,3,2,1 adalah barisanaritmetika dengan 2b
12 bU i , makaNotasi sigma deret tersebut
11
1 121i
i
3. C.
212
23
12
3
25353ii
ii
10
1
57i
i
4. B.
121
12
21
2
61565kk
kk
20
1
15k
k
20
1
20
1
15k k
k
20
2120.20
.2
030.120050.1
5. A.
83
88
3
8 4828
42
aa aa
aa
11
0 410
a aa
atau
111
10 41101
a aa
12
1 511
a aa
6. A.
3215
1
23232323n
n
54 2323
2913511 49
7. D.
2
1
6
1
26
3
22 444n nn
nnn
6
1
24n
n
3646
13764
8. A.
211
.....5.4.3
14.3.2
13.2.1
1
nnn
n
i iii1 211
9. B.
23
1 kki
i
yx
2
1
3
1 kk
ii yx
21
3
1
yyxi
i
3
121
iixyy
32121 xxxyy
10. A.
30
541 25
i
a
25430
45441
i
a
26
1
25i
ia ..... 1
Latihan Kompetensi Siswa 8
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 81
26
1
26
1
26
1
33i i
ii
i aa
25326 532578
B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.
1. a.
250
1
25012501k
b.
10
1
552
11010
k
k
c.
7
1
282
177
k
k
d.
5
1
23 225
2155
k
k
e.
100
1
100
1
100
1
3232a aa
aa
1003
2101100
.2
800.9300100.10
f.
100
1
100
1
22 121i i
iii
100
1
100
1
100
1
2 12i i i
ii
100
2101100
26
201101100
350.328
g.
4
0
21 2222k
k
43 22 168421
11
h.
3
03210 10
110
1101
101
101
aa
001,0001,01,01 111,1
i.
4
1 161
81
41
21
21
kk
161248
1615
2. a.
n
k nk
12lim
n
k
kn 1
2
1lim
2
1.
1lim 2
nnn
21
21
lim
n
n
b.
n
i ni
13lim
n
i
in 1
23
1lim
6
121.
1lim 3
nnnn
3
23
632
limn
nnn
31
62
c.
n
a nna
1
21lim
ann
n
a
11
2lim
1
2
112lim
nnn
nn
2
132lim
nn
nn2
26lim
326
d.
n
k nnk
1
2 221lim
n
k
n
a
knn 1
2
1
21
2lim
6
12122lim
nnnn
nn
6
1212lim
nnn
nPangkat n pembilang lebih besar daripangkat n penyebut maka nilailimitnya .
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 82
3. a.
5
1
21 121k
k k
212211 12.2111.21
214213 14.2113.21
215 15.21
b.
5
2
2
322
k k
34.22
33.22
32.22 42
35.225
c. 15141312115
1
1
xxxxxxk
k
d.
5
2
2
322
k k
11.2.1
1.2.1 11.2110.2 x
ax
13.21
12.21 13.2312.22 xx
13.2
1 14.24
x
e.
4
1
12
122
i i
11.22
11.22 1211
14.2
213.2
2 1413
f.
7
32 1
1
i
i
i
55
144
133
12
5
2
4
2
3
77
166
12
7
2
6
g.
4
0
2
221
i
ii
ix
22.2
121.2
120.2
1 2.221.210.20 xxx
24.2
123.2
1 4.243.23
xx
f. 1312113
1
1
31
21
111
xxxxkk
k
4. a.
41
141 33
k
S
41
1
41
1
33k k
k
341242.413
706.2123583.2
b.
50
150 32
i
iS
50
1
50
1
32ii
i
50.3251.503
400.2150550.2
c.
8
1
18 2
k
kS
4312
121 7
d.
8
18 2
i
iS
25412122 7
5. a.
8
0
210....5432k
k
b.
9
0
22322 110.....321k
k
c. 201
41
31
21 ....1
19
0
2
11
.1k
k
kd. 39
171
51
31 ....1
0
2
121.1
k
k
k
6. a.
n
in
n
ii
1
134
23 1
....2
b.
n
in i1
21
31
21 1
....1 222
c.
n
in
i
n
n
1
1
2
181
41
21
21
....1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 83
d.
n
i
in in1
2121 .11....941
7. a.
3
4
3
4 32
313n
k
n
k kk
kk
b.
3
423
1n
k k
c.
3
4
3
43
2
3
13
21
21n
k
n
kk
k
k
k
d.
3
4
213 31n
k
k k
3
4
22 31n
k
k k
8. a.
5
1
4
1
23ii
ia
b.
11
1
4
1
12ii
ia
c.
1
1
4
1
12ii
ia
d.
1
1
4
1
131
iiia
9. a.004.2003.2
004.2.....
32004.2
21004.2
004.2003.21
.....32
121
1400.2
003.2
1 11004.2
i ii
003.2
1 111004.2
i ii
1003.211004.2
003.2004.2003.2
004.2
b.
2360
1
2 sin212cos;sin
2cos21
21360
1
360
1
360
1
2cos21
21
1800.21
360.21
02cos89189
1
..... 1
12cos90
02cos17991179
91
..... 1
12cos180
Karena periode Total 3600
10102 00.2
Fungsi 2cos
Nilai
360
1
2cos
saling meniadakan
10.110
1110
1110
1002.2003.2004.2
110
1110
1..... 2003002.2
1101
2004
004.2
004.2 1101
nn
004.2
1
1
004.2 1101
1101
1101
nn
nn
004.2
1
004.2
1 1101
111
1101
nn
nn
004.2
1 1101
1101
21
nnn
11
1101
101
n
n
n
n
n
n 101101
10101
110
1110
1
nn
1101
10110
nn
n
1101
110 n
n
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 84
Maka deretnya menjadi :
004.2
1
121
n
21004.2004.2
21
C. Evaluasi Kemampuan Analisis
1. a.
n
k
kk1
2 126
n
k
n
k
n
k
kk1 11
2 126
nnnnnn
21.2
61216
12121 nnnn 12132 2 nnnn
232 nn
b.
n
i ii1 21.
11
n
i ii1 21
11
21
111
n 21
21
n
222222
nn
nn
c.
n
k kk12 14159
1
n
k kk1 43131
n
k kk1 431
131
31
431
131
.....701
71
71
41
31
nn
431
41
31
n 434443
31
nn
4344343
31
nn
nn
d.
n
i iiii
ii1 11.
11
n
i
n
i
iiii
ii
11
11
1
nn 1.....
2312
1111 nn
2. a. 1444
1.....13.91
9.51
5.11
nn
n
i ii1 14341
n
i ii1 141
341
41
141
341
.....91
51
51
11
41
nn
14114
41
1411
41
nn
n
14
nn
b. .....12276252231
n
i
iii1
1212
n
i
ii1
1
1.....1201 nn
nn 0
c.10....321
1.....
3211
211
11
281
211
151
101
61
311
551
451
361
10
1
10
12 12
11
i ii iii
10
1 1112
i ii
111
101.....
31
21
21
112
1120
11112
d.24315
8114
2713
912
311
5
1 31
.i
ii
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 85
243216.1
81325
2782
919
34
243216.1975738513324
243766.3
3. a.
10
1 2cos
k
k
5cos.....23coscos
2cos
1010101010 1
b.
20
1 3tan
k
k
3033
3.....03
3143.14
c.
n
r
r
k
k1 1
n
r
n
r
rrrr
1
2
1 21
21
n
r
n
r
rr1 1
2
21
21
6121
21 nnnnn
112
31
141
nnn
42
311
41 nnn
42121 nnn
d.
n
k
k
1
12 2....221
.....221211 2
12 2.....221 n
.....121212 321
12 n
nn 2.....222 321
nn nn
12212122
4. a.
2222
11.....
41
131
121
1n
2
2
2
111
kkn
kn
22
11k
kkn
k
,
31313
,2
121222
.....
51515
,4
141422
22
11.
11111
nnn
nnn
.....5.7.5
4.6.
43.5
.3
2.4.
21.3
2222
22
11.
12.
nnn
nnn
222
1.
211
.22
nn
nn
221
nn
b. 1......2312.1 nnnn
2161
nnn
Untuk n genap 1......2312.1 nnnn .....2312.1 nnn
1.2.13.2 nnn 2.1121..1 nnnn
122
.11.122
..... nnnn
122
.....12.12 nnnn
24
.2
.....124
6322
2 2 nnn
nn
nnn
241262
.2
.....2
2 2 nn
nnnn
21
21.....12622
2.....212
nn
nn
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 86
21.12
12
2 2
nn
n
A. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaaanMateri.
1. a. 3
12122.....642 2222 nnnn
Misal : 3
121221
2
nnniPn
in
Langkah pertama
1
1
21 3
11.2111.22
i
iP
3
3.2.222: 2
1
1
2 i
iPRK
3
11.2111.2
Jadi, 3
11.2111.22
1
1
21
i
iP
jadi, terbukti benar Langkah kedua
Anggap kP benar, yaitu
k
ik
kkkiP
1
2
3121.2
2
Akan dibuktikan 1kP benar
1
1 1
2221 1222
k
i
k
ik kiiP
22123
1212 kkkkk
3
66123212 2
kkkkk
3
66212 2
kkkk
3
67212 2
kkk
3
32212
kkk
3
112212 kkk
Jadi, 1kP terbukti benarKesimpulan :
3
12122
1
2
nnniP
n
in
(Terbukti)
b. 3
121212.....531 2222
nnn
n
Misal :
n
in
nnniP
1
2
31212
12
Langkah pertama
1
1
21 3
11.211.2112i
iP
1
1
22
3311
112:i
iPRK
3
21.211.21
Jadi,
1
1
21 3
11.211.2112i
iP
Langkah keduaAnggap kP benar, yaitu
k
ik
kkkiP
1
2
311
12
Akan dibuktikan 1kP benar
1
1
21 12
k
ik iP
k
i
ki1
22 11212
3
1233
1212 2
kkkk
3
123121212
kkkkk
3
36212 2
kkk
3
13212
kkk
3
1121121
kkk
Jadi, 1kP terbukti benarKesimpulan :
n
in
nnniP1
2
3121212
(Terbukti)c. 1212.....531 223333 nnn
misal
n
in nniP
1
223 1212
Langkah pertama
1
1
331 11.212
i
iP
Latihan Kompetensi Siswa 9
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 87
1
1
331 11.212:
i
iPPRK
113 11.21 2
Jadi, 1P bernilai benar Langkah kedua
Anggap
k
ik kkiP
1
223 1212
Bernilai benarAkan dibuktikan
k
ik kkiP
1
223 112112
1
1
31 12
k
ik iP
k
i
ki1
33 11212
322 12212 kkk
322 1212 kkk 12.34.382 2324 kkkkk
161182 234 kkkk 12281282 2234 kkkkkk
12281282 2234 kkkkkk
1214642 2234 kkkkkk
24 112 kk
1.1112 222 kkk
1121 22 kkJadi, 1kP benar
Kesimpulan :
n
in nniP
1
223 1212
(Terbukti)
d. 3333 2.....642 n
Misal :
n
in nniP
1
223 122
Langkah pertama
1
1
2231 111.22
i
iP
1
1
2223 111.22.22i
iPRK
Jadi,
1
1
2231 111.22
i
iP benar
Langkah kedua
Anggap
k
ik kkiP
1
223 122
BenarAkan dibuktikan
1
1
2231 2122
k
ik kkiP
1
1 1
1
1
333 222:k
i
k
i
k
ki
iiiPRK
322 1212 kkk 322 1812 kkk
1412 22 kkk
4412 22 kkk 22 212 kk
Jadi, 2231 2122 kkiPk
Kesimpulan :
n
in nniP
1
223 122
(Terbukti)2. a. nnPn 212.....6.54.32.1
3
141
nnn
Langkah pertama
1
11 3
114111212
i
iiP
2.11.2112: PRK
3114111
Jadi, 1P bernilai benar Langkah kedua
Anggap
k
ik
kkkiiP
1 3141
212
Bernilai benarAkan dibuktikan
1
11 212
k
ik iiP
3
11421
kkk
Bernilai benar
1
1
212k
i
ii
k
i
kkii1
1211222
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 88
3
122133
141
kkkkk
3
61241 2
kkkk
3
3421
kkk
3
11421
kkk
Kesimpulan :
n
in
nnniiP
1 3141
212
(Terbukti)b. 1212.....7.55.33.1 nnPn
3
164 2
nnn
1
1
1121121212i
n iiP
33.1
311.61.41 2
1P bernilai benar Langkah kedua
Anggap
k
ik iiP
1
212
3
164 2
kkkbenar
Akan dibuktikan
1
11 1212
k
ik iiP
3
11141 2 kkk
Bernilai benar
1
11 1212
k
ik iiP
k
i
ii1
1212
112112 kk
32123
164 2
kkkkk
3
3843364 223
kkkkk
3923184 23
kkk
3
91441 2
kkk
3
116141 2
kkk
Kesimpulan :
3
164212
2
1
nnniiP
n
in
(Terbukti)
c. 21
.....5.3
14.2
13.1
1
nn
Pn
214
53
nnnn
n
in nn
nnii
iP
1 21453
2 Langkah pertama
424
813.1
13.1
12
11
11
i iiP
21114
51.31
1P bernilai benar Langkah kedua
Anggap
k
ik kk
kkii
P1 214
532
1
Bernilai benarAkan dibuktikan
1
11 324
51312
1k
ik kk
kkii
P
Bernilai benar
1
1 1211
12
12
1k
i
k
ikkiiii
31
1214
53
kkkkkk
3214819143 23
kkkkkk
3214
831 2
kkk
kk
21114
5131
kk
kk
n
in nn
nnii
P1
21453
21
(Terbukti)
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 89
d. 11
1 232
62
12
n
n
iin
niP
Langkah pertama
5612
1122
121
11111
i
i
iP
112
3126
1P bernilai benar
Langkah kedua
Anggap
k
ikik
kiP1
11 2326
212
BenarAkan dibuktikan
1
11111 2
3126
212k
ikik
kiP
Bernilai benar
1
1 111111 2
1122
122
12k
i
k
ikiik
kiiP
kk
kk2
122
3261
k
kk2
123226
k
k2
526
112
3126
k
k
n
inn
nii
P1
12326
21
(Terbukti)
e.
n
ix
xxnix
n aaa
aP1
1
1 Langkah pertama
1
1
11
1 1ix
xxxix
aaaaaP
1
1 11:
ix
xxxix
aaaaaPRK
1
11
x
xx
aaa
Jadi,
1
1
11
1 1ix
xxix
aaaaP
(Benar)
Langka keduaAnggap kP benar, yaitu
k
ix
xxkix
k aaaaP
1
1
1Akan dibuktikan bahwa
1
1
2
1 1
k
ix
xxkix
k aaa
aP
1
1 1
1
1
:k
i
k
i
k
ki
ixixix aaaPRK
xk
x
xxk
aa
aa 11
1
11
.1
11
x
xk
x
xxk
aa
aa
aa
1
111
x
xkxxkxxk
aaaaa
1
2
x
xxk
aaa
Jadi,
1
1
2
1 1
k
ix
xxkix
k aaa
aP
BenarKesimpulan :
n
ix
xxnix
n aaaaP
1
1
1Terbukti
3. a. nnPn 23 habis dibagi 3
32112131P habis dbagi 3
1P benar
Anggap kkPk 23 habis dibagi 3(benar)
Adib 121 31 kkPk
habis dibagi 3 (Benar)
121 31 kkPk
22133 23 kkkk3332 23 kkkk
132 23 kkkk
habis dibagi 3 habis dibagi 3
1 kP habis dibagi 3Kesimpulan :
nnPn 23 habis dibagi 3(Terbukti)atau 3 faktor dari nn 23
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 90
b. 35 nnP habis dibagi 4
83511 P habis dibagi 4
1P benar
Anggap 35 kkP habis dibgi 4
(Benar)Adib 35 1
1
kkP habis dibagi 4
(Benar)151535.55 1
1
kkkP
12355 k
habis dibagi 4 habis dibagi 4
1 kP habis dibagi 4
Kesimpulan :35 n
nP habis dibagi 4(Terbukti)atau 4 faktor dari 35 n
c. 1212 32 nnnP habis dibagi 5
11.211.21 32 P
33 32 35278 habis dibagi 5
1P benar
Anggap 1212 32 kkkP habis dibagi 5
(Benar)Akan dibuktikan
1121121 32
kkkP habis dibagi 5
(Benar) 112112
1 32 kk
kP1212 3.92.4 kk
1212 3542.4 kk
121212 3.53.42.4 kkk
121212 3.5324 kkk
kP habis dibagi 5 habis dibagi
1kP habis dibagi 5 (Benar)Kesimpulan :
1212 32 nnnP habis dibagi 5 atau
5 faktor dari 1212 32 nn
d. nnnPn 23 23 habis dibagi 6
61.21.31 231P habis dibagi 6
1P benar
Anggap kkkPk 23 23 habis dibagi 6 (Benar)
Adib 12131 231 kkkPk
habis dibagi 6 (Benar) 12131 23
1 kkkPk
233 3133 kkkk2236 kk
69323 223 kkkkk 23323 223 kkkkk
habis dibagi 6 habis dibagi 6
1kP benarKesimpulan :
nnnPn 23 23 habis dibagi 6
Atau 6 faktor dari nnn 23 23
4. a. 12 .....321 nnxxx
xnx
xx nn
11
12
xnx
xx
ixPnnn
i
in
111
21
1
1
12
1111
1 1.111
11i x
xxxxP
xx
xx
1
.111 1
2
1
1P benar
Anggap kP benar
1
12
1
111k
i
kki
k xkx
xx
ixP
Adib
1
1
1
2
11
1 11
11k
i
kki
k xxk
xxixP
1
1 1
1111 1k
i
k
i
kii xkixix
k
kkxk
x
kx
x
x1
11
12
2
2
1
111
x
xkxkxx kkk
2
2
1
1211
x
xkxxkxx kkk
222
1
...2
.21
x
xxxkxxx
xkxxkxkxxkkk
kkkkk
21111
1
..221
x
xxxkxxkx kkkk
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 91
2111
111
1
..
1
x
xxxkxx
xkxkxkkk
kkk
2
11
1
.11
x
xxkkxx kk
21
2
1
1
11
1
1
x
xkx
x
x kk
xxk
x
x kk
11
1
1 1
2
1
Jadi, 1kP benarKesimpulan untuk setiap n berlaku
12 .....321 nnxxx
xnx
xx nn
11
12
b. nUUUU .....,,log 321
nUUU log.....loglog 21
n
iii
n
i
UU11
log
1
11
1
11 ;log
iiii
i
PUUUP benar
Anggap
k
iii
k
ik UUP
11
loglogBenar
Akan dibuktikan
1
1
1
11 loglog
k
iii
k
ik UUP (Benar)
11
1
11 logloglog
ki
k
ii
k
ik UUUP
k
iki UU
11loglog
1
1
logk
iiU
1 kP benarKesimpulan :
nUUU .....,log 21
nUUU log.....loglog 21
5. a. 12 1 nnP nn
111 21 P
01 (Benar)
1P benar
Anggap 12 kk kP benar
Adib 111 21
kk kP benar
111 2.2121
kkk kP
12.21 kk1121 kk
1 kP benarKesimpulan :
1,2 1 nn n
b. 214 22 nnnPn
222 1242 P
98 (Benar)
2P benarAnggap
12441 221 kkkPk
24121 22 kkkk
22 1144 kkk
221 1141 kkPk
1kP benarKesimpulan :
2,14 22 nnn
c. 31 23 nnPn
233 133 P
1627 (Benar)
Anggap 23 1 kkPk benar
Adib 231 111 kkPk
Benar 1331 233 kkkk
1331 22 kkk
2541 23 kkk 2344 22 kkkk
222 2;232 kkkk
0 untuk 3kJadi, 23 21 kkKesimpulan :
23 1 nnPn dengan 3n
d. 6;12 2 nnP nn
266 162 P
4964 benar
6P benar
Anggap 212 kP kk benar
Adib 211 112
kP kk benar
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 92
1222 21 kkk
242 2 kk 244 22 kkk
0 untuk 6k442 kk
22kJadi, 1kP benarKesimpulan :
212 nP nn dengan 6n
B. Evaluasi Kemampuan Analisis1. 1;5 nm
nmS , 1;2,1 nS nm
1;21, nS nm
12,, nmSP nmnm
Untuk m,n bulat positif Langkah pertama
11121,11 SP
1;5: 1,1 nmSPRK14
1112 Jadi, 1P benar
Langkah keduaAnggap 12,, kjSP kjkj
(Benar)Adib 1,11,1 kjkj SP
1112 kj1;2,11,1 kSS kjkj
221,1 kjS
2222,1 kjS
1;2.1,1 jKS j
kS j 221,
kS j 2221,1
kjS 22.1,1
5;225 1,1 Skj12222 kj
1112 kjJadi, 1,1 kjP benar
Kesimpulan : 12,, nmSP nmnm
untuk nm, bilangan bulat positif
2. Biaya pos yang dapat menggunakanperangko 500.1.Rp dan 000.3.Rp
3. akan dibuktikan nnnn ,6,!3 bulat
Misal : !3 nP nn
Langkah pertama!131
1 P!133: 1 PRK
Sehingga !131 Jadi, !131
1 P (Benar) Langkah kedua
Andai !3 kP kk
Adib : !13 11
kP kk (Benar)
13;3!.3.33 1 kkkk
Untuk 6k 1!. kk
1......3.2.1 kk !1k
Jadi, !13 1 kk
1kP benarKesimpulan :
,!3 nP nn untuk nn ;6 Bulat
A. Pilihan Ganda1. D.
Deret .....242221
41
2,221
,41
321 UUU
Uji Kompetensi Akhir BAB 1
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 93
222
41
21
1
2 UU
22224
22
21
2
3 UU
karena 2
3
1
2
UU
UU
r konstanta
maka deret tresebut adlah deret goematridengan pembanding sebesar 22
2. A......27log9log3log 555
3log51 U
2552 3log9log U
3log2 5355
3 3log27log U
3log.3 5Periksa bahwa 3log5
2312 UUUUAdalah tetap, maka deret tersebutmerupakan deret aritmetika dengan beda
3log5 .
3. A.
Deret aritmetika 17321 nnSn
1 nnn SSU
17131
21173
21 nnnn
203
21
21
217
23 2 nnnn
10
2310
23
217
23 22 nnnnn
102310
217 nnn
103 nMaka 103 nUn
4. B.Suatu deret memiliki nnSn 43 2
91010 SSU
9.49.310.410.3 22 53207260
Jadi, suku kesepuluh adalah 53
5. B. Bilangan antara 1–150 yang habis
dibagi 4. 148,.....,16,12,8,4
merupakan barisan aritmetika dengan448,41 bU
1484.14148 nUn
1484 n37n
812.214842
3737 S
Bilangan antara 1–150 yang habisdibagi 4 dan 7 adalah
140,112,84,56,28420401128456284 S
Maka jumlah semua bilangan asli antara1–150 yang habis dibagi 4 tetapi tidakhabis dibagi 7 adalah
392.2420812.2
6. E......8log4log2log
Adalah deret aritmetika dengan2loga
2log4log b2log2log 2 2log2log2
2log
bnanSn 122
2log12log22
nn
2log12
nn
2log121 nn
7. D.Mobil meluncur dengan mengikuti aturanbarisan aritmetika
jam140 jankm
1 dkm40
Pada waktu selama 2 jamjam145jam140 jam
kmjam
km2 d
854540 Beda 22 dd
454085 Maka jarak pada waktu setelah t jam adalah
11 tddt beda
45140 t454540 t
1;545 tt
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 94
8.B.Suatu deret memiliki nS n
n 52
488765 SSUUUU 4.528.52 48 26036296
9. A.Deret geometri tak hingga
8S dan38
genap S
8S
81
ra
ra 18 …..(i)
38
genap S
38
1 2 rar
; masukkan (i)
38
118
2
rrr
3
811
18
rr
rr
rr 8824 816 r
168r
rar 1821
42118
45 arU
41
214
4
10. A.
3
0
6
4
22 121n n
nnn
2222 13121110 15.2514.24 22
16.262 251694101
56
11. A.Deret aritmetika
285;47,15 1515 SUn
nn UanS 2
1515 215 UaS
472
15285 a
3847 a4738a
9aSuku pertama adalah –9
12. E.Diantara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10bilangan sehingga terbentuk deretaritmetika 10,112,81 kUU n
sekarang, banyak suku 2kn210n
12n
nn UUS 1212
1286 7201206
13. A.Deret aritmetika
204225205 baS
202225
ba
2025 ba42 ba ….. 1
324... /5
/4
//1 2
UUUU
32435343231 UUUUUUUU 32422 bbbb
3244 4 b814 b
3bUntuk 3b
ba 24 ; lihat persamaan (i)3.24a
2aUntuk 3b
ba 24 3.24
10
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 95
Untuk 2a dan 3b
3.72228
8 S
68174 Untuk 10a dan 3b
3710228
8 S
414 Jadi, 8S adalah 68 atau –4
14. E.tiga buah bilangan cba ,, adalah deretaritmetika, maka
cab 2 ….. 1abc 2 ….. 2
Diketahui : 6ac makaac 6 ….. 3
Barisan 3,, cba adalah barisangeometri, maka
32 cabaacb 32 ; masukkan 2 dan 3
aacca
2
2
aaaaa 3626 2
aaaa 363 22 aaaaa 3696 22
93 a3a
ac 69936 c
cab 21293
62
12 bb
222222 963 cba126
12. E.
1,4
log,log 22 xx adalah deret geometri
Konvergen. Karena barisan tersebut adalahbarisan geometri, maka
2122 UUU
1.log4
log 22
2 xx
xx log4loglog 2222
xx log2log 222 0log4log4log 2222 xxx04log5log 222 xx
01log4log 22 xx4log2 x atau 1log2 x
422 2loglog x 2loglog 22 x42x 2x
16x Untuk 16x
42log
1x
r
121
4log1
log1
24
162
16x memenuhi syarat konvergen Untuk 2x
422log
1r
11
1log1
212
Karena 11 maka2x tidak memenuhi
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 16
16. D.Deret geometri tak hingga konvergen
21 U
genapganjil 5 SS
22 15
1 rar
ra
51
51 rr
raS
1
5,2252
12
54
51
17. D.Akar-akar persamaan kuadrat berikutadalah 1x dan 2x
016132 2 xkx
8:2
162121 xx
ac
xx
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 96
21
8x
x ..... 1
2121 ,, xxxx membentuk barisan goemetri,
maka
21122 . xxxx
8.122 xx
88
22
1122
xxxx ….. 2
213
21 k
abxx
Maka2
1321
kxx ….. 3
1 = 2
88 2
2
2 x
x
6432 x
44 233
2 xx
2488
21
xx
21 xPersamaan 3
213
21
kxx
213
42
k
413 k53 k
35
k
Nilai k memenuhi adalah35
18. D.
Suatu deret memiliki 1
1
326
n
n
nS
344 SSU
13
13
14
14
326
326
916
2732
2716
274832
Maka2716
4 U
19. C.Kelompok bilangan ,.....22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2Suku awal kelompok :
148422 4 6
2 2Barisan tingkat 2
Pendekatan 1 : 22
!22 nn
Langkah 1Awal : 14842
210116941
1 1 1
Pendekatan 2 : nn /
!11
Langkah 2Hasil Operasi 1 : 2101
22224321
Pendekatan 3 = 222 nnU n
Suku awal kelompok 15212215152
15 UBanyak suku di kelompok tersebut adalah15 maka 2,15,2121 bnU
Suku tengah adalah suku ke 82151
2.72128 U22614212
20. B.Deret sincoscossin2sin 2
20.....sin4cossincos2 3
Suku-suku ganjil...sincossincossin 42
2cos,sin ra
2ganjil cos1sin
S
Suku-suku genap sincos2cossin2 3
.....sincos2 5 2cos,cossin2 ra
Hasil Operasi 1 :
2n :
n :
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 97
genapganjil SSS
22 cos1cossin2
cos1sin
2cos1cossin2sin
2sin
cos21sin
sincos21
21. B.
Untuk3 barisan
,.....21,
21,
21
42 sinsin tt
menjadi
,.....21,
21,
21 3
sin3
sin 42
,.....
21,
21,
21
4212
21 33
Perkalian barisan tersebut
.....21
.21
.21
4
212
21 33
.....331
4
212
21
21
Pangkat merupakan deret geometri dengan
1a dan433
21 2
r
raS
1
41
1
43
Perkalian barisan menjadi161
21 4
22. B. 4
1212 xnnU
Deret konvergen jika 1r maka cari dulu
rasio
1
2
UUr
4124
12412
21
22
20
xxx
Syarat konvergen : 1r11 r
121 412
x; pangkat 02
0220 412
x
Perhatikan batas atas022 4
12
x maka
0412 x
021
21
xx
Maka21
21 x
Jadi, deret konvergen untuk21
21
x
23. A.
n
i iS
12 141
n
i ii1 1221
1221
.....
5.21
3.21
3.21
1.21
122
1122
1nn
1221
21
n
1222
122112
nn
nn
12
nn
24. C.Deret geometri
243,3,1 1 nUra2
1
nn arU
23.1243 n
2433 2 n
52 33 n
Maka 52n7n
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 98
117
7
rra
S
2186.
21
13131 7
093.1Jadi, jumlah n suku pertama 093.1
25. A.
89
1
tanloga
a
89tanlog....2tanlog1tanlog 89tan.....tan.1tanlog
Untuk 1tan0891 a
Pecahanlog dari pecahan bernilai negatif
89tan.....2tan1tanlog
Perkalian pecahan sehingga nilainyamendekati 0untuk numerus 0 maka nilai lognyamendekati – 60
B. Bentuk Uraian1. Deret aritmetika
baS 322417174
ba 6417 ….. 1
baS 722868688
ba 7217 ….. 21 2
ba 6417 1 ba 6417
b
ba817
14434
1817
b
ba 7217 1772 ba
18336119
171817
.7
18217
36217a
baU 1920
36429
1817
.1936
217
2. 150nS deret geometri
516016512 nn SS52 nU
nnn SSU 11
10150160
1
2
n
n
UUr
21
105
Jadi, rasio adalah21
3. a.
21log
1log
9
1i jj
109log.....
32log
101log
109.....
43.
32.
21log
110log 1
b.
6
1
6
1 11
log1
11log
ii iiii
7.61
log.....3.2
1log
2.11
log
7.61
.6.5
1.
5.41
.4.3
1.
3.21
.2.1
1log
16 6288,3.10log800.628.3
1log
6288,3log6
c.
5
1
121 2222k
k k
5623 22.....22 6222 16
d. 1010510410310 ..... CCCC
!7!3!10
!6!4!10
!5!5!10
!4!6!10
!3!7!10
!10!0!10
!9!1!10
!8!2!10
21025221012096811045120
ba 7217 2
Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 | Page 99
4. .....533
12122
1212
1212
nn
nn
nn
nS
1212
2
1212
11212
1212
3
12122
1212
1212
1212
312122
1212
21
22
.....3
nn
nn
nn
nnn
nn
nn
nn
nnn
nn
nn
n
S
S
S
2
12.
1212
21212
121212 2
nnn
nn
Sn
nnn
12
121212
122 2
nn
nn
Sn n
212122 nnSn
121221 2 nnSn
1214421 2 nnn
nn 2421 2
Jika 36nS maka akan dibuktikan 4n
nn 2421
36 2
07224 2 nn0362 2 nn
0492 nn
29
n atau 4n
jadi, terbukti nilai 4n jika 36nS
5. akan dibuktikan nnnP 5 habis dibagi 5
untuk 1n 0111 5 P habis dibagi 5
andaikan nP benar
Akan dibuktikan 1nP benar
145 nnnnnP 11 22 nnn 111 2 nnnn
111 5 nnnP 2345 10105 nnnn
115 nn nnnnnn 2345 225
nP benar kelipatan 5
1nP benarKesimpulan : nnnP 5 habis dibagi 5
top related