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MATEMÁTICA
Aula 2 – Teoria dos Conjuntos
Prof. Anderson
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSCONCEITO
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma
coleção de objetos bem definidos.
Estes objetos são chamados de elementos ou membros do
conjunto.
Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros
conjuntos, etc.
Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos números inteiros.
Os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSREPRESENTAÇÃO
A representação de um conjunto é feita por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Seus integrantes, são denominados de elementos, são colocados entre chaves separados por vírgulas.
Exemplos:
• A ={a, e, i, o, u}
• B = {2, 3, 5}
O conjunto dos números naturais menores que 6 será:
• A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
O conjunto pode ser determinado através de uma sentença.
• A = {x/x é uma letra do alfabeto}
• B = {y/y é um número}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSREPRESENTAÇÃO
Para facilitar o entendimento de exercícios sobre Teoria dos Conjuntos, é muito útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada.
Tal representação recebe o nome de Diagrama de Venn.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSPERTINÊNCIA
Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou que x está em A. Neste caso, escrevemos x A. (O símbolo “ " é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1888). O símbolo é às vezes usado para escrever x A, ou "x não pertence a A".
Exemplos:
• A = {2, 4, 6, 8}
No conjunto A, temos que:
• 2 pertence a A: 2 A
• 3 não pertence a A: 3 A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSIGUALDADE E DESIGUALDADE
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
• A = B
Exemplo:
• Dados os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = {x / x é ímpar, positivo, menor que 7}, temos que: A = B
Dois conjuntos são diferentes quando existe pelo menos um elemento que pertence a um dos conjuntos e não pertence ao outro.
• A ≠ B
Exemplo:
• Dados os conjuntos A = {9, 11, 13, ...} e B = {x � x é ímpar, positivo, maior ou igual a 7}, temos que: A ≠ B
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos
1 Utilizar os símbolos ∈ e ∉, relacionando os elementos com os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d, f, g}.
a a e A
b u e B
c c e B
d d e A
Soluçãoa a ∈ A
b u ∉ B
c c ∈ B
d d ∉ A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos
2. Representar abreviadamente e por extenso o conjunto A dos múltiplos negativos de 3.
SoluçãoAbreviadamente: A = {x ⏐ x < 0 e x é múltiplo de 3}Por extenso: A { ..., -12, -9, -6, -3}
3. Relacionar os conjuntos utilizando os símbolos de = ou ≠.a A = {1, 3, 5, 7} e B = {x ⏐ x é um número ímpar, positivo e
menor que 9}b A = {verde, amarelo} e B = {x ⏐ x é uma cor da bandeira do
Brasil}Solução
A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 5, 7}; portanto A = BA = {verde, amarelo} e B = {verde, amarelo, azul e branco}; portanto A ≠ B.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSINCLUSÃO – SUBCONJUNTOS
Um conjunto “A” diz Sub-conjunto de um conjunto “B”, e escreve-se A ⊂ B se, e somente se, todo elemento de “A” for também elemento de “B”.
Onde:
A ⊂ B
Lê-se: A é subconjunto de B ou A está contido em B.
Observações:
A ⊃ B significa que "A contém B"
A ⊄ B significa que "A não está contido em B"
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSINCLUSÃO – SUBCONJUNTOS
Teorema: O conjunto vazio é sub-conjunto de qualquer conjunto.
Simbolicamente
∅ ⊂ A, ∀ A
Atenção
Para relacionar elemento com conjunto, usam-se os símbolos ∈e ∉.
Para relacionar conjunto com conjunto, usam-se os símbolos (⊂e ⊄ ).
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercício Resolvido
Utilizar os símbolos ⊂ ou ⊄, relacionando os conjuntos: A = { x ⏐x é letra do alfabeto latino}, B = {a, e, i, o, u} e C = { x ⏐ x éconsoante do alfabeto latino}
a A e B
b A e C
c B e C
d C e A
e a e B
f {a} e A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercício Resolvido
Solução
a A ⊄ B (nem todo elemento de A pertence ao conjunto B)
b A ⊄ C (nem todo elemento de A pertence ao conjunto C)
c B ⊂ A (cada elemento de B também pertence ao conjunto A)
d C ⊂ A (cada elemento de C também pertence ao conjunto A)
e a ⊄ B ( a é um elemento, e como tal não pode ser sub-conjunto)
f {a} ⊂ A (o conjunto formado pelo elemento a está contido no conjunto A pois cada elemento do conjunto pertence também a A)
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos "A" e "B", chama-se. união desses conjuntos e escreve-se A ∪ B ao conjunto constituído pelos elementos de "A" ou de "B".
A ∪ B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplos
a) A = {1, 2, 3, 4) B = {4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que o conjunto A possui 4 elementos, e o conjunto B possui 3 elementos. No entanto a união de A e B possui 6 elementos, onde se conclui que a união de dois conjuntos não é a soma dos elementos de cada um deles.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Diagrama:
A B
4 1 3 2
5 6
Isso se deve ao fato dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos não poderem ser contados duas vezes. Portanto pode-se dizer que o número de elementos de A ∪ B é a soma dos elementos de A com B, descontados os elementos que pertencem aos dois conjuntos.
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
b) A = (3, 4, 5) B = {7, 8}
A ∪ B = (3, 4, 5, 7, 8)
Diagrama:
A 346
B 78
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos "A" e "B", chama-se intersecção desses conjuntos e escreve-se A ∩ B ao conjunto constituído pelos elementos comuns de "A" e de "B".
A ∩ B = {x/x ∈ A e x ∈ B}
Exemplos
Achar o conjunto intersecção nos casos seguintes:
A = {1, 4, 6, 8, 10}
B = {2, 3, 5, 8, 10}
Então: A ∩ B = {8, 10}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Diagrama:
A B
8 10
1 4 6
235
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
A = {2, 4, 6, 8, 9}
B = {4, 6}
A ∩ B={4,6}=B
Diagrama:
A B
9 2 4 6 8
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSUNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Observação
"Se A ∩ B = ∅, diz-se que A e B são Disjuntos".
Exemplo
A = {a, b, c}; B = {e, i, o}
A ∩ B = ∅ → São Disjuntos
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos
1 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} e C = {1, 3, 5}, determinar os seguintes conjuntos:
a A ∪ B
b A ∪ C
c B ∪ C
d A ∩ B
e A ∩ C
f B ∩ C
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos
Solução
a A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
c B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
d A ∩ B = {0, 2, 4}
e A ∩ C = {1, 3, 5}
f B ∩ C = {}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos
1 Utilizando os símbolos ⊂ ou ⊄, relacione os conjuntos A = {0, -1, -3, -5}, B = {-3, 5} e C = {0, -1}
a A e B
b B e A
c A e C
d C e A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos
Solução:
a A B
b B A
c A C
d C A
⊄
⊂
⊃
⊄
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos
2 Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x ⏐ x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro).
a 2 ∈ B
b {4, 5} ∈ C
c B ⊂ A
d A ⊂ B
e {2, 3, 4} ⊂ (A ∪ C)
f {2, 3} ∉ C
g 2 ⊄ A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos
2 Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x ⏐ x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro).
a 2 ∈ B V
b {4, 5} ∈ C F o conjunto está contido em C
c B ⊂ A F B não está contido em A
d A ⊂ B V Obs: 0 é par por convenção
e {2, 3, 4} ⊂ (A ∪ C) V
f {2, 3} ∉ C F o conjunto está contido em C
g 2 ⊄ A F 2 pertence a A
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSDIFERENÇA DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos “A” e “B”, chama-se diferença entre "A" e "B" ao conjunto dos elementos de "A" que não pertençam a "B".
A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B}
Exemplos
{a, b, c, d} - {a, b, c} = {d}
{1, 2, 3} - {2, 3, 4} = {1}
{5, 6, 8} - {5, 6, 8} = ∅
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSDIFERENÇA DE CONJUNTOS
O complemento (ou complementar) de um conjunto "B" em relação a um conjunto "A", assim se define:
Para B ⊂ A
CBA= A – B
Exemplo
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4, 5}
CBA = A – B = { 1, 3 }
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos
1 Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2} e C = {0, -1, -2}, obter os conjuntos:
a CAB
b CAC
c CBA
d CCA
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Resolvidos
Solução
a CAB = B – A = ∅
a CAC = C – A = ∅
c CBA = A – B = {-2, -1}
c CCA = A – C = {1, 2}
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos
1 Dados os conjuntos A = {0, -1, -2, -3, -4}, B = {0, -1} e C = {-2, -3, -4}, obter os conjuntos:
a CAB
b CAC
c CBA
d CCA
AULA 2 – TEORIA DOS CONJUNTOSExercícios Propostos
Solução
a CAB = B – A = ∅
a CAC = C – A = ∅
c CBA = A – B = {-2, -3, -4}
c CCA = A – C = {0, -1}
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