aula 13 sinais e sistemas – capítulo 3 simon haykin
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Aula 13
Sinais e Sistemas – Capítulo 3
Simon Haykin
Aula 13
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Desenvolvemos a DTFT a partir da DTFS, onde um sinal não periódico é descrito como o limite de um sinal periódico de período fundamental N aproximando-se do infinito.
Mn
MnMnxnx
,0
,~ Seja
Onde é um sinal periódico de período N=2M+1. nx~
Aula 13
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT) A medida que M se eleva, as réplicas periódicas de x[n] presentes em se distanciam da origem. Quando M->∞, as réplicas movem-se para infinito.
nx~
Aula 13
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Então, podemos escrever
M
nxnx ~lim
Como é um sinal periódico, então podemos representá-lo pela usando o par de DTFS, isto é
nx~
M
Mk
njkekXnx 0][~
M
Mn
njkenxM
kX 0~12
1][
Aula 13
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Como , então MnMnxnx ,~
n
njkM
Mn
njk enxM
enxM
kX 00
12
1
12
1][
Definimos agora uma função contínua de frequência
cujas amostras em são iguais aos coeficientes da DTFS normalizados por 2M+1, ou seja
n
njj enxeX ][
0k
12
][][
0
M
eXkX
jk
Aula 13
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Substituindo a definição de X[k] na DTFS
1220 M
M
Mk
njkekXnx 0][~
temos
M
Mk
njkjk eeXM
nx 00 ][12
1~
Como , então
000 ][
2
1~
M
Mk
njkjk eeXnx
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT) A medida que M se eleva, Ωo diminui (de a para c), provando um decréscimo no espaçamento harmônico.
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT) Desde que , onde
Mnxnx ~lim
000 ][
2
1~
M
Mk
njkjk eeXnx
então
000 ][
2
1lim
M
Mk
njkjk
MeeXnx
Observe que estamos somando valores de uma função avaliados em kΩo, multiplicados pela largura entre amostras, Ωo. Esta consiste em uma aproximação pela regra retangular para integração.
njkjk eeX 00 ][
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)Deste modo,
é uma aproximação para
000 ][
2
1lim
M
Mk
njkjk
MeeXnx
deeXnx njj
][
2
1
onde foi considerado que Ω=kΩo, de modo que dΩ=Ωo, e que
0lim M
M
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)A DTFT inversa
nos diz que x[n] é uma superposição ponderada de senóides discretas, onde a superposição é proporcionada pela integral e a ponderação é dada por
deeXnx njj
][
2
1
deX j ][2
1
onde é a DTFT.
n
njj enxeX ][
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Dizemos que e x[n] são um par de DTFT. ][ jeX
Ao obter a DTFT, é considerado que x[n] tem duração finita.Podemos também aplicar esses resultados a sinais x[n] com duração infinita, mas para isso temos que considerar as condições sob as quais a DTFT converge.
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Condição 1: Se x[n] é absolutamente somável, isto é
então a DTFT convergirá uniformemente para uma função contínua de Ω.
n
nx ][
Condição 2: Se x[n] não for absolutamente somável, mas tiver energia finita, isto é
n
nx2
][
então pode-se mostrar que a DTFT converge, mas não ponto a ponto.
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Muitos sinais físicos encontrados na prática da engenharia satisfazem as condições citadas. Entretanto, existem sinais não periódicos de uso comum, por exemplo o degrau unitário, que não satisfaz àquelas condições. Veremos como tratar esses casos no capítulo seguinte.
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Exemplo: Encontre a DTFT de
Solução: A DTFT de x[n] é dada por
nunx n
0
][n
njn
n
njnj eenueX
O último somatório diverge para |α|≥1. Para |α|<1 temos a série geométrica convergente
1,1
1][
0
j
n
njj
eeeX
Se α é real, então o módulo e a fase são como segue.
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
cos21
1
sencos1
1][
2222 jeX
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
cos1
sentan][ 1
jeX
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Exemplo: Encontre a DTFT de um pulso retangular definido como
Solução: A DTFT de x[n] é dada por
M
Mn
nj
n
njj eenxeX ][
Mn
Mnnx
,0
,1][
Fazendo m=n+M, temos
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
A penúltima expressão pode ser simplificada fazendo-se a simetria das potências da exponencial do numerador e denominador, conforme a seguir.
4,2,0,12
4,2,0,1
1
][
12
2
0
2
0
Me
ee
ee
eeX
j
MjMj
M
m
mjMj
M
m
Mmjj
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Aplicando L’Hopital, temos que
2sen
122
sen
][222
212212212
M
eee
eeeeeX
jjj
MjMjMjMjj
12][ MeX j
Consequentemente, temos que
,
2sen
122
sen][
MeX j
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Exemplo: Encontre a DTFT inversa de
Solução: A DTFT inversa é dada por
W
WeX j
,0
,1][
0,sen1
2
1
2
1
][2
1
nWnnW
We
njde
deeXnx
njW
W
nj
njj
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Usando L’Hopital, mostra-se que W
x 0
Logo, podemos escrever Wnn
nx sen1
com o entendimento que o valor em n=0 é obtido como o limite.
Também podemos escrever
WnW
nx sinc
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
WnW
nx sinc
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Exemplo: Encontre a DTFT de
Solução: A DTFT é dada por
Consequentemente
1][
n
njj eneX
Consequentemente
1][
n
njj eneX
n
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Exemplo: Encontre a DTFT inversa de
Solução: A DTFT inversa é dada por
,
2
1][
2
1
denx nj
Sinais Não Periódicos de Tempo Discreto: A Transformada de Fourier de Tempo Discreto
(DTFT)
Observe, no exemplo anterior, que podemos definirPara todos os Ω, escrevendo-o como uma soma infinita de funções delta deslocadas por múltiplos inteiros de 2π, ou seja,
jeX
k
j keX 2
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