apuntes electrotecnia ii
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-
1
ELECTROTECNIA
CORRIENTE ALTERNA
Ley de ohm
ZIV donde
V = Voltaje
Z = Impedancia
I = corriente
XRZ R = Resistencia
X = reactancia
jwLx
jwcx
L
c
1
En corriente alterna manejamos diferentes sistemas:
Sistema 3 (trifsicos) * 3 5 hilos (f
1, f
2, f
3, neutro y tierra fsica)
* 3 4 hilos (f1, f
2, f
3, neutro)
* 3 3 hilos (f1, f
2, f
3)
Sistema 2
(bifsico)
* 2 3 hilos * 2 2 hilos
Sistema 1
(monofsico)
* 1 3 hilos * 1 2 hilos
X = reactancia
jwLx
jwcx
L
c
1
-
2
Para analizar circuitos en CA necesitamos tener conocimiento de los
nmeros complejos y de sus distintas operaciones. Al final hay un
pequeo repaso para quien haya olvidado trabajar con estos nmeros.
Ejemplo:
Esta es la forma de operar en un sistema de CA para obtener
reactancias inductivas y Capacitivas.
Valor de la reactancia capacitiva:
Valor de la reactancia inductiva:
EJERCICIO:
APLICANDO LA 2 LEY DE KIRCHHOFF CALCULE LAS IS DE MALLA
tsenV 50020
H1010
mmf10
2.0)10)(500(
110
jj
Xc
5000)10)(500( jjXl
-
3
P/M1
30 0 V +5I1+(J5) (I1- I2)=0
(5+J5I1)-J5I2=30 0 V (1)
P/M2
(2+J3)I2 + (J5) (I2-I1) + 6 (I2-I3) = 0
-J5I1 + (8+8J) I2 6I3 = 0 (2)
P/M3
6 (I3-I1) + 4I3 + 20 0 V = 0
-6I2 + 10I3 = 20 0 V (3)
DE FORMA MATRICIAL
5+J5 -J5 0 I1 30
-J5 8+J8 -6 I 2 = 0
0 -6 10 I3 20
I1= 5.015 - 1.5628J AMP
I2= 3.4523 0.5779J AMP
I3= 4.0714 0.3467J AMP
Ejercicio:
Del Siguiente circuito calcular:
a) La Zeq del circuito
b) La IT del circuito
c) Trazar el triangulo de potencias
-
4
a)
b)
VARsenQ
WattsP
VAVIS T
5.6)3.9(28.40
75.39)3.9(cos28.40
3.928.40)7.2002.2)(3020(*
C)
Ejemplo:
Del siguiente circuito calcular:
a) Las corrientes de malla
b) Dibujar su diagrama vectorial
c) Calcular la potencia de cada una de las fuentes
5 8
4
8j
4j
V3020
Ampj
VI
IZV
jjZ
jjj
jj
T
Teq
eqT
71.2002.258.174.9
3020
*
58.174.958.174.45
58.174.443.185)88()44(
)88)(44(
VAS 28.40VARQ 5.6
WattsP 75.39
3.9
-
5
ampj
jI
ampj
jI
jjj
jjjjj
jjjjj
j
jjjjjjj
I
I
I
j
jj
jj
IjI
IIjII
MP
IjIj
IIIj
MP
IIjIj
IIIIjIj
MP
07.9587.5173985
5850500
14.1301.9173985
5009000
17505250)7)(59)(100()50)(53)(7(
5850500)53)(100)(311()50)(7)(7()311)(50)(12(
5009000)50)(53)(311()311)(59)(100(
173985
)53)(53)(311()59)(7)(7()311)(59)(12(
0
050
0100
31107
05953
75312
3...........0)311(7
043)(7
3/
2..............050)59()53(
00506))(53(
2/
1..........01007)53()12(
0)(7))(53()42(0100
1/
22
11
3
2
1
3
2
1
31
3313
21
212
321
31211
100 0 V
10
3
6
50 0 V
J4
-j5
7
4 J3
-
6
85.29189.35
07.955.293)07.9587.5)(050(*
82.24040.877
14.13901)14.1301.9)(0100(*
39.2853.5173985
17505250
2
1
3
3
j
VAVIS
j
VAVIS
Potencias
ampj
jI
Ejercicio:
Teniendo en cuenta el siguiente circuito, calcular:
a) Calcular la IT
b) Calcular la potencia que aporta la fuente
c) Trazar el triangulo de potencias e indicar si la I esta atrasada o
adelantada respecto al voltaje
a)
b)
c)
4
01006j
3j
1200)87.36(2000
99.1599)87.36(cos2000
87.36200012001600)12816)(0100(
121634
0100
34
*
senQ
WattsP
VAjjVS
VIS
jjR
VI
jZ EqT
-
7
La corriente se encuentra adelantada
Ejercicio:
Calcular
a) La IT del circuito
b) Diagrama fasorial e indicar si esta atrasado o adelantada la I
con respecto al voltaje
c) Calcular la IT por reduccin, mallas y por admitancias
a)
86.36
VARQ 1200
WattsP 99.159910
VAS 2000
10
6j
8
4j
3
050
VARsenQ
WattsP
VAjVS
VIS
93.249)43.18(56.790
01.750)43.18(cos56.790
43.1856.790)55)(050(
*
51543.1881.15
86.36568
050
13.531043
050
0510
050
321
3
2
1
jIIII
jI
jI
R
VI
RIV
T
-
8
b) la corriente se encuentra atrasada
c) por reduccin
Por mallas (I1=I
T)
0)211()43(
0))(43()68(
/
0)43()413(10
0))(43()(10
/
0501010
0)(10050
/
32
233
3
321
3212
2
21
21
1
IjIj
IIjIj
MP
IjIjI
IIjII
MP
II
II
MP
5.225.1
5.525.7
5.525.12
0
0
050
)211()43(0
)43()413(10
01010
3
2
1
321
321
321
jI
jI
jI
IjIjI
IjIjI
III
43.18
VAS 56.790
WattsP 01.750
VARQ 93.249
Ampjj
I
jj
j
jjj
jj
T 5153
050
3)2410(
)24)(10(
24)68()43(
)68)(43(
-
9
Por admitancias:
ZY
1 1.0
10
11 Y 16.012.013.532.0
13.535
1
43
12 j
jY
06.008.09.361.09.3610
1
68
13 j
jY
435.1832.01.00306.008.016.012.01.0 jjjYT
Z
VI
ZY
1
YZ
1
51543.188.15)435.1832.0)(050( jVYI
IMPEDANCIA COMPLEJA Y NOTACIN FASORIAL
Se analiza el siguiente circuito:
valor eficaz
2
mRMS
VV por ejemplo si mV =1 voltsVRMS 7071.0
2
1
jwt)( mVtV de a cuerdo a Euler senwtjVwtVV mmm cosjwt
si aplicamos la 2 ley de kirchoff al circuito anterior
0)(
)(jwt dt
tdiLtRVm
dt
diLtVL )(
jwt)()( mVdt
tdiLtRi (1) esta
ecuacin es de 1 orden y su deduccin particular es de la forma
jwt)( Keti (2). sustituyendo 2 en 1 tenemos: jwtjwtjwt eVjwLkeRke m de
donde
jwlR
Vk m
e jwt)( e
jwlR
Vti m
-
10
La relacin entre las funciones de tensin en intensidad de corriente,
pone de manifiesto que la impedancia (z) es un numero complejo
cuya parte real es R y la imaginaria wL
jwlR
ejwlR
V
eV
ti
tvZ
m
m
jwt
jwt
)(
)(
La relacin entre las funciones de tensin e intensidad de corriente,
pone de manifiesto que la impedancia (Z) es un nmero complejo,
cuya parte real es R y la imaginaria es wL.
Ejercicio:
Hallar la intensidad de la corriente de mallas I 3
+
-
20V
2
j5
4j 5
6
+
-
30V
5
P/M1
0)(55030 211 IIJI
0305)55( 21 IJIJ (I)
P/M2
0)(6)32()(5 32212 IIIJIIJ
06)88(5 321 IIJIJ (II)
P/M3
00204)(6 323 III
020106 32 II (III)
La matriz queda como:
1I
2I 3I
020
0
030
1060
6885
0555
3
2
1
I
I
I
jj
jj
0 0
-
11
La solucin es:
AmpereJI 77.110.31
AmperejI 11.132.12
AmperejI 82.15037.167.020.13
Este mismo ejercicio se puede resolver por el siguiente mtodo:
+
-
20V
2
j5
4j 5
6
+
-
30V
5
Hallar la intensidad de la corriente de malla I 3
P/SM1
00300204)32()32(555 332321 IIjIjIII
010)311()37(5 321 IjIjI (I)
P/SM2
00306)32()32(555 332321 IIjIjIII
030)37()313(5 321 IjIjI (II)
P/SM3
00305555 1321 IjIII
03055)55( 321 IIIj (III)
La matriz queda como:
0 0
-
12
030
030
010
5555
373135
311375
3
2
1
I
I
I
j
jj
jj
La solucin es:
3I =-1.204 + J0.67 = 1.37 150.9 Ampere
TEOREMA DE THEVENING Y NORTON EN C.A
Un circuito en el cual todas las impedancias permanecen fijas, se
pueden resolver tanto por el mtodo de las corrientes de malla,
tambin conocido como la 2 LKV. Tambin se puede resolver por el
mtodo de las tensiones en los nodos conocida como la 1 LKV.
Considerando el siguiente circuito.
En los que Z 1 , Z 2 se pueden conectar entre los puntos A y B o grupo A.
Alcanzar el circuito obtendremos admitancias o impedancias
diferentes en consecuencia para este caso en particular habr 3
soluciones diferentes.
La mayor parte del trabajo que es muy engorroso para este tipo de
circuitos se puede sustituir el circuito A por un circuito equivalente que tiene los mismos efectos de circuitos A sobre la carga que el circuito equivalente.
GRUPO A GRUPO B
Z A
Z B
Z C
Z D Z 1 Z 2 V S
-
13
TEOREMA DE THEVENIN
Establece que cualquier circuito Lineal activo con terminales de
salida A y B, este se puede sustituir por un equivalente como el circuito
que continuacin se indica.
Pasos para la solucin de un circuito de Thevenin.
1 Paso: Obtener la Zeq
entre A y B = Z th
2 Paso: Obtener el V th = V AB
Calcular el equivalente en thevenindel siguiente circuito
Zcarga
j5
5
+
-j5
+
-
50
1 pas para obtener la Z th entre A y B
Si el circuito original tiene fuentes de voltajes, estas se colocan
en corto circuito y si hay fuentes de Is independientes se abren para
facilitar su anlisis.
Nota: Si por alguna razn hay fuentes dependientes de Vs e Is
este mtodo no
Aplica.
A
B
Circuito
Lineal
Activo V th
Z th Z
acarg
A
B
j5
5
+
-j5
A
Zeq
0
-
14
5-5j
4507.755
555
555
i
jj
jjZ eq
Z equivalente
Regresando al circuito original y calculando el voltaje
Calculando el Vab por medio de divisor de voltaje tenemos:
voltsj
V 457.705
)050)(55(2
El circuito queda como:
j5
5
+
-j5
50 0
A
B
70.5 45
A
B
5-j5
-
15
j5
5
+
-j5
+
-j5
j5
5
TEOREMA EN NORTON
Colocando el circuito en corto circuito
Por anlisis tenemos que las impedancias en paralelo son iguales a
cero de tal modo el circuito queda de la siguiente manera:
Calculando por ley de Ohm
AmperejR
VI 9010
5
050
El circuito equivalente en Norton queda como:
50 0
50 0
A
B
A
B
9010
-
16
Calcular:
Colocando las fuentes en cortocircuito, tenemos:
Calculando la Zeq:
15.2303.3667.3413
)10)(43(1 j
j
jZeq
15.28515.23 jjZeq
+
-j2.15
8
Regresando al circuito original y calculando la fuente de corriente
tenemos :
5+ -
10
+
-
+
-j4
3
A
B
20 0
10 45
5
10+
-j4
3
A
B
-
17
5+ -
10
+
-
+
-j4
3
+
-j2.15
8
Resolviendo por mallas
P/M1
0)(10020)43( 211 IIIj
02010)413( 21 IIj (I)
P/M2
054510020)(10 212 III
66.2873.141510 21 II
Resolviendo el sistema de ecuaciones
66.2873.14
020
1510
10413
2
1
I
Ij
Solucin:
2I = ccI =0.2296-j1.3668=1.38 Ampere46.80
El equivalente en Norton es:
A
B
20 0
10 45
1I
2I
A
B
46.8638.1
-
18
Zl+
-j2
2
j4
3
2
+
-
TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Calcular la ZL con la que obtendremos la mxima transferencia de
potencia.
Qu potencia mxima transfiere la fuente al circuito.
1.- Para calcular la ZL entre los puntos A y B se cortocircuitan las
fuentes de voltaje y las de corriente se abren en caso de existir en el
circuito.
4.05.148.1456.1
432
4321 j
j
jZ eq
9050
A
B
+
-j2
2
j4
3
2
Zeq1
B
A
-
19
Zl+
-j2
2
j4
3
2
+
-
118.0137.196.514.1
224.05.1
22)4.05.1(j
jj
jjZ eq
118.0137.1 j
Regresando al circuito original
1 por divisor de voltaje
+
-j2
2
j0.4
1.5
Zeq
9050
A
B Zeq
-
20
2 Calculando el valor de la fuente de thevenin del circuito original
conocer el Vab
6.05.267.1362.2
25
22)43(
j
jjZ eq
+-j0.6
2.5
2
+
-
Utilizando divisor de voltaje
volts
jV 8309329
6.05.4
90506.05.22
Calculando la potencia de la carga queda como
VA
Z
vS
VIS
1627.73796.514.1
93.8329
*
22
1.137+j0.118
1.137-j0.118
+
-
9050
-
21
TEOREMA DE SUPERPOSICION
A.-Calcule la i que se muestra en la figura anterior por el mtodo de
superposicin.
1.-Activando la fuente de .
Primero se tiene que calcular la Z equivalente del circuito. La J5 est
en paralelo con 3+J4 y despus esta se encuentra en serie con la de 5
OHm.
J5
3homs
J4
5homs
50 0 v 50 90 v i
5homs
50 90 v 3homs
J4
J5
-
22
5.28333.5)5()5.28333.0(
5.28333.0543
5431
JJZ
JJJ
JJZeq
Ya teniendo la Z equivalente se calcula la I total y despus por divisor
de Corriente se calcula la I1 que seria la primera parte de la i que
deseamos calcular.
AJJ
JII
AJJ
IT
12.434.024.710.393
5
24.710.35.28333.5
9050
1
1
Despus se activa la fuente de .
Calculando la Z equivalente vemos que la resistencia de 5 OHM est en
paralelo con la de 3+J4 y despus esta en serie con la J5.
25.65.2)5()25.15.2(
25.15.2)43()5(
)43(51
JJJZ
JJ
JZeq
Ya teniendo la Z equivalente se calcula la I total y despus por divisor
de Corriente se calcula la I1 que seria la segunda parte de la i que
deseamos calcular.
50 0 v
50 0 v
J5
3homs 5homs
J4
-
23
AJJJ
II
AJ
IT
13.434.0)89.675.2()43(5
5
89.675.225.65.2
50
11
1
La i que buscamos es la suma de los dos efectos que encontramos al
activar cada una de las dos fuentes.
AJIIi 2621.86945.0111
TEOREMA DE COMPENSACION
Calcular la fuente de compensacin para sustituir las impedancias en
paralelo J10 y 3+J4.
Para obtener la fuente de compensacin que pueda sustituir a las
impedancias en paralelo se necesita conocer su Zeq y la I que circula
por esas resistencias, que en este caso es la I total.
20v
5 OHM
J10
3
J4
-
24
AJJJ
I
JJJ
JJZeq
T 22.149.2)10()17.346.1(
20
17.346.1)10()43(
)10)(43(
Teniendo la Z y la I que circula por las resistencias se aplica la ley de
OHM (V=RI).
vV
vJV
JJV
09.3970.9
11.652.7
)22.149.2)(17.346.1(
La fuente de compensacin que dara de la siguiente forma:
TEOREMA DE RECIPROCIDAD
Este teorema solo aplica en circuitos que tengan una sola fuente. Este
consiste en cambiar la fuente de posicin en el circuito y calcular la
corriente que circula en el lugar donde anteriormente estaba la
fuente.
56 -17v
5
OHM
OHOH
MMs
J5
2 J3
6 2I1II
-
25
Para la resolucin y la obtencin de la I que se indica se utilizara la
segunda ley de Kirchhoff.
AJI
AJI
I
I
JJ
JJ
IJIJ
IJIIJ
M
IJIJ
IIJI
M
0206.034.3
31.537.5
0
1756
885
555
0)88()(5
0))(38()(5
1756)(5)(55
0)(55)1756(
2
1
2
1
21
212
2
21
211
1
Ahora hacemos el cambio de la fuente hacia la segunda malla.
Obtenemos la I buscada utilizando la segunda ley
5
homs
J5
8 J3
2I1II
56 -17v
-
26
AJI
AJI
I
I
JJ
JJ
IJIJ
IJIIJ
M
IJIJ
IIJI
M
31.336.3
0206.034.3
1756
0
885
555
1756)88()(5
01756))(38()(5
0)(5))(55(
0)(55
2
1
2
1
21
212
2
21
211
1
Como la I2 del primer circuito y la I1 en el segundo son iguales el
teorema se cumple.
TEOREMA DE MILLMAN
Este teorema es utilizado para circuitos con una gran cantidad de
mallas con la finalidad de obtener un circuito ms sencillo. En este
mtodo se utilizan las transformaciones Norton y Thevenin.
A
B
6
A
2
8
hom
s
3 A
A
B
6A
6
v
2
2
4
A
B
6A
6v
6 A 1.5 A 4
A
B
-
27 CBA
BC
CBA
CA
CBA
BA
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
3
2
1
SISTEMAS POLIFASICOS
3 3 hilos
3 4 hilos
3 5 hilos
Sistemas a trabajar:
Delta
Estrella
Segn el diagrama anterior se muestran a continuacin las formulas
de transformacin entre los dos sistemas:
Transformacin estrella-delta. Transformacin
delta-estrella.
7.5 A 4
A
B
A
B
30 v
F1
F2
F3
F1
F2
F3
Neutro
F1
F2
F3
Neutro Tierra fsica
-
28
1
323121
2
323121
3
323121
))(())(())((
))(())(())((
))(())(())((
Z
ZZZZZZZC
Z
ZZZZZZZB
Z
ZZZZZZZA
Nota.- En un sistema delta el voltaje de fase es igual al voltaje de fase
y la corriente de lnea es 1.73 veces ms grande que la de fase. En un
sistema estrella las corrientes son iguales y el voltaje de lnea es 1.73
veces ms grande que el de fase.
Potencia en sistemas polifsicos:
trifasicoVIS *3 Si los sistemas 3 son balanceados, entonces la transformacin de
estrella a delta ser:
1
1
2
1
1
111111 33
ZZ
Z
Z
ZZZZZZZA
Por lo que para la transformacin de delta a estrella quedara de la
siguiente forma:
31
AZZ
La potencia entonces ser:
***
3
***
333 CCBBAA
CCBBAA
IVIVIVS
IVIVIVS
-
29
m
L
m
L
V
V
V
V
2
230cos
373.173.1
30cos2
LLmmL
mL
VVVVV
VV
TENSIONES EN UN SISTEMA TRIFASICO 3
Nota: la eleccin de una tensin como referencia con un ngulo de
fase cero 0 nulo determina los ngulos de fase de todas las dems tensiones del sistema. Ejem:
-
30
voltsVV
voltsVV
voltsVV
V
CA
BC
AB
ABC
0
1
0
1
0
1
240
0
120
0
0
0
1503
303
903
LCN
LBN
LAN
VV
VV
VV
Voltajes 3 v2543
440
Voltajes 3 v1273
220
Sistema trifsico con un sistema ABC que alimenta una carga
alimentada en delta de 3 impedancias iguales con
valores: 0455AZ . Determinar las intensidades en las lneas IA,
IB, IC de acuerdo a la siguiente figura.
Para calcular las corrientes de fase:
-
31
0
0
0
7544455
120220
ABI ;
0
0
0
4544455
0220
BCI ;
0
0
0
16544455
240220
CAI
BCCAC
ABBCB
CAABA
III
III
III
000
000
000
16521.76454416544
7521.7675444544
4521.76165447544
C
B
A
I
I
I
La corriente de fase debe ser < a la corriente de lnea.
LLA
LLALLA
CLCBLBALA
CLCBLBALA
CCBBAA
IVIVIV
IVIVIVS
IVIVIVS
IVIVIVS
33
33
3
3
3333
33 LAAL
IIII
-
32
LLLL
LALAAA
IVIV
S
VVIVIVS
33
3
3
3
1
Calcular las corrientes de lnea y la corriente que circula por el
neutro de la siguiente figura.
a) Calcular las corrientes de lnea y la corriente que pase por el
neutro.
b) Dibujar su diagrama fasorial.
-
33
Si nuestro sistema es una carga en estrella alimentada a 150v (Nota:
a nivel nacional este tipo de voltaje no existe; es solo para fines de
ejercicio.).
a)
AmpI
AmpI
AmpI
C
B
A
0
0
0
0
0
0
0
0
0
030305
30150
12030305
150150
12030305
90150
000 0301203012030
N
CBAN
I
IIII
0NI
b)
Calcular las corrientes de lnea y la corriente que circula por el
neutro de la siguiente figura.
a) Calcular las corrientes de lnea y la corriente que pase por el
neutro.
b) Dibujar su triangulo de potencias
-
34
a) Para las corrientes de lnea:
ANBNLN
ABBNLB
ANABLA
III
III
III
0
0
0
0
0
0
0
0
0
87.367.1213.5310
90127
13.537.1213.5310
0127
87.812213.5310
135220
AN
BN
AB
I
I
I
AmpI
AmpI
AmpI
LN
LB
LA
000
000
000
87.17196.17)87.367.12()13.537.12(
96.8125.32)87.8122()13.537.12(
7.6525.32)87.367.12()87.8122(
La corriente que circula por el neutro es ILN.
b) Para el triangulo de potencias:
ANBNABT SSSS
-
35
VAS
VAS
VAS
AN
BN
AB
000
000
000
13.539.161287.367.12*)90127(
13.539.161213.537.12*)0127(
13.53484087.8122*)135220(
VAST0000 13.538.8065)13.539.1612()13.539.1612()13.534840(
51.638115.4786 jST
Qu bibliografa utilisaste para
realizar tus notas, por lo menos
indica la que se les di en la
antologa?
HAY MUCHSIMOS ERRORES DE
ORTOGRAFA HAY QUE CORREGIRLOS
ATTE.
ING. GENARO CAMPOS CASTILLO
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