aplicación de las transformaciones lineales 2.ppt

EQUIPO 4: REFLEXION

Reyna González Nery Karina

Hernández Torres Estefanía.

Pérez Lara Alejandra.

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.

Transformación Lineal

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

T(u+v) = T(u) + T(v)

T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

Clasificación de las transformaciones lineales

Monomorfismo: Si T : V W es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 

Epimorfismo: Si  T : V W es sobreyectiva (exhaustiva).

Isomorfismo: Si T : V W es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

Endomorfismo: Si  T : V Vo sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

Automorfismo: Si  T : V V

es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Propiedades básicas de las transformaciones lineales.

Sea una transformación lineal . Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,…, vn en V y todos los escalares α1, α2, …, αn.

1.- T(0) = 0.2.- T(u-v) = Tu – Tv.3.- T(α1 v1 +α2 v2+…+ αn vn) = α1 T v1 + α2 T v2 + … + αn T vn.

Las TL pueden descomponerse, ponerse en serie, una tras otra y la consecuencia es que la composición de las TL es otra TL.

La composición de las TL genera un producto entre matrices de tal forma que el producto de dos matrices da una matriz que representa la matriz de la TL compuesta.

Existen dos tipos de transformaciones de especial interés, la transformación lineal de espacios vectoriales entre si mismos y la transformación lineal de un espacio entre el espacio unidimensional.

WVT :

Transformaciones lineales especiales de R2 en R2.

REFLEXIÓN

En matemáticas, una reflexión es una función que transforma un objeto en su imagen especular. por ejemplo, una reflexión de la letra catalana b alta respecto de una línea vertical, aparece como una d. para reflejar una figura plana hace falta que el "espejo" sea una línea ("el eje de reflexión"), mientras que para reflexiones en el espacio de tres dimensiones se tiene que emplear un plan como espejo.

DEFINICIÓN:Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano. cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0) la matriz de transformación es sencilla.

Pues es similar a la matriz identidad, aunque siendo –1 el elemento que representa a la coordenada que es nula en el plano de reflexión. así, las matrices de reflexión para los planos xy, xz e yz son:

Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso se complica notablemente. la técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje arbitrario. en este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano, y la normal al plano en ese punto.

PROCESO DE REFLEXIÓN

Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas

 Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia.

 Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado

 Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original.

Transformación de reflexión.

La matriz transforma el vector (x,y) de R2 en (-x,y), también R2.

Reflexión respecto del eje Y.

1 0

0 1

PROPIEDADES.

Determinar la matriz de reflexión F que mapea cada punto (x, y) del plano a su imagen de espejo respecto a la línea y = √3x. Determinar la imagen del punto P = (√3, 1).

Una rotación de 30º mapea la línea y = √3x sobre el eje y. Tal rotación se representa por la matriz:

LA ROTACIÓN DE 30º

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ F Y LA IMAGEN DE ESPEJO DEL PUNTO DADO.