analisis multivariado
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CONFIABIL IDAD
(FIABILIDAD) ALFA-CRONBACH
Existen tres procedimientos para determinar el coeficiente “” o alfa :
1. Sobre la base de la varianza de los ítems, con la aplicación de la
siguiente
fórmula:
En donde N representa el número de ítems de la escala, “s2 (Yi)” es
igual a la
sumatoria de las varianzas de los ítems y “s2x” equivale a la varianza
de toda la
escala.
2. Sobre la base de la matriz de correlación de los ítems, el
procedimiento
sería:
a) Se aplica la escala.
b) Se obtienen los resultados.
c) Se calculan los coeficientes de correlación r de Pearson entre todos
los ítems (todos contra todos de par en par).
d) Se elabora la matriz de correlación con los coeficientes obtenidos.
Por
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ejemplo:
Los coeficientes que se mencionan como “ya fue calculado”, se
ubican en la
parte superior de las líneas horizontales (guiones). Es decir, cada
coeficiente se incluye una sola vez y se excluyen los coeficientes que
vinculan al ítem o
puntuación consigo misma (1 con 1, 2 con 2, 3 con 3 y 4 con 4).
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3. Mediante otra fórmula que se basa en la correlación promedio
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Los métodos de análisis multivariado
Los métodos de análisis multivariado son aquellos en que se analiza
la relación
entre diversas variables independientes y al menos una dependiente.
Son métodos más complejos que requieren del uso de computadoras
para efectuar los cálculos necesarios
Entre las técnicas más comunes se encuentran (1) Análisis de componentes
principales y factores comunes, (2) regresión y correlación múltiple, (3) análisis
discriminante múltiple, (4) análisis multivariado de varianza y covarianza, (5)
análisis conjunto, (6) correlación canónica, (7) análisis de clusters, (8) escala
multidimensional. Otras técnicas nuevas incluyen (9) análisis de
correspondencia, (10) modelos de probabilidad lineal tales como el logit y
probit, y (11) modelos de ecuación simultaneas / estructurales. A continuación
se describen brevemente éstas técnicas.
Análisis de componentes principales y de factores comunes
Es un método estadístico que puede usarse para analizar las interrelaciones
entre un gran número de variables y explicar esas variables en términos de sus
dimensiones subyacentes comunes. El objetivo es hallar la forma de sintetizar
la información contenida en un número de variables originales, dentro de un
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conjunto más pequeño de variates (factores) con mínima pérdida de
información.
Regresión múltiple
En un método de análisis adecuado cuando el problema de investigación
involucra una variable dependiente única que se presume se relaciona a dos o
más variables independientes medibles. El objetivo es predecir el cambio en la
variable dependiente de respuesta con cambios en las variables
independientes, normalmente con el método de mínimos cuadrados.
Por ejemplo se pueden predecir los montos gastados en cenas a partir de
ingresos de las familias (variable dependiente), su tamaño, y la edad del padre
(variables independientes).
Análisis discriminante múltiple (MDA)
Se aplica cuando la variable dependiente es dicotómica (vgr. hombre – mujer) o
multitómica (vgr. Alto – medio – bajo) y por tanto no medible. Como en la
regresión las variables independientes deben ser medibles. Se aplica cuando la
muestra total se puede dividir en grupos con base en una variable no medible
caracterizando varias clases conocidas. Su objetivo es comprender las
diferencias entre grupos y predecir la probabilidad de que una entidad (objeto
individual) pertenezca a una clase o grupo particular con base en varias
variables independientes medibles o métricas.
Por ejemplo el análisis discriminante se puede utilizar para distinguir entre
innovadores y no innovadores de acuerdo a su perfil demográfico y
psicográfico.
Análisis multivariado de varianza y covarianza (MANOVA)
Es un método estadístico para explorar simultáneamente la relación entre
varias variables categóricas independientes (referidas como tratamientos) y dos
o más variables dependientes medibles o métricas. Es una extensión del
ANOVA univariado. El análisis multivariado de covarianza (MANCOVA) se
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puede usar en conjunto con el MANOVA para remover (después del
experimento) el efecto de cualquier variable métrica independiente no
controlada (conocida como covariada) en la variable independiente.
Análisis conjunto
Se aplica a nuevos productos para evaluar la importancia de los atributos del
nuevo producto así como los niveles de cada atributo, mientras que el
consumidor evalúa solo unos pocos perfiles del producto como combinaciones
de los niveles de producto.
Por ejemplo asumir un producto con tres atributos (precio, calidad y color),
cada uno en tres niveles posibles (vgr. Rojo, amarillo y azul). En vez de tener
que evalur las 27 combinaciones posibles (3x3x3), se evalúa un subconjunto de
9 o más combinaciones con base en su atractivo para el consumidor, de
manera que el investigador no solo conozca la importancia de cada atributo,
sino además la importancia de cada nivel (atractivo del rojo vs amarillo vs azul).
Correlación canónica
El análisis de correlación puede ser visto como una extensión lógica de la
regresión múltiple. Donde se trata de correlacionar simultáneamente varias
variables dependientes medibles o métricas y varias variables independientes
medibles. El principio es establecer una combinación lineal de cada conjunto de
variables (dependientes e independientes) para maximizar la correlación entre
los dos conjuntos (obteniendo ponderacións adecuados para las variables).
Análisis de conglomerados (Clusters)
Es una técnica analítica para desarrollar sugrupos significativos de individuos u
o objetos. Específicamente, el objetivo es clasificar una muestra de entidades
(individuos u objetos) en un número más pequeño de grupos más pequeños
con base en las similitudes entre entidades. A diferencia del análisis
discriminante, los grupos no están definidos, más bien se usa para
identificarlos.
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Normalmente se realiza en tres pasos. El primero es la medición de alguna
forma de similitud o asociación entre las entidades para identificar cuantos
grupos realmente existen en la muestra. El segundo paso es el proceso en sí
de conglomerados, donde las entidades se particionan en grupos
(conglomerados o clusters). El paso final es perfilar las personas o variables
para determinar su composición. Muchas veces esto último se realiza con el
análisis discriminante.
Escala multidimensional
El objetivo es transformar los juicios del consumidor de similitud o preferencias
(vgr. Preferencia por tiendas o marcas) en distancias representadas en un
espacio multidimensional. Si los objetos A y B se juzgan por el consumidor
como similares, comparados con cualquier otro par de objetos, la técnica
posiciona los objetos A y B de manera que la distancia entre ellos en un
espacio multidimensional es más pequeño que la distancia entre cualquier otro
par de objetos. Al final se muestra un mapa perceptual con la posición relativa
de los objetos.
Análisis de correspondencia
Facilita tanto la reducción dimensional de objetos en un conjunto de atributos y
el mapa perceptual de objetos respecto a estos atributos. En su forma más
elemental es una tabla de contingencia o tabulación cruzada de dos variables
categóricas. Transforma los datos no métricos a un nivel medible y realiza una
reducción dimensional (similar al análisis de factores) y un mapa perceptual
(similar al análisis multidimensional).
Por ejemplo, las preferencias de marcas de los consumidores pueden ser
tabuladas contra variables demográficas (vgr. Género, categorías de ingresos,
ocupación) indicando cuanta gente prefiere cada una de las marcas que caen
en cada categoría de las variables demográficas. Por medio del análisis de
correspondencia, la asociación o “correspondencia” de marcas y las
características distintivas de aquellos que prefieren las marcas se muestran en
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un mapa tridimensional o bidimensional tanto de marcas como de las
características que distinguen a aquellos que prefieren cada marca.
Modelos de probabilidad lineal (Análisis Logit)
Son una combinación de regresión múltiple y análisis discrimínante. Es similar
al análisis de regresión múltiple excepto que la variable dependiente es
categórica no métrica como en el análisis discriminante.
Modelos de ecuaciones estructurales
A veces se refiere como el nombre del software LISREL, es una técnica que
permite separar las relaciones del conjunto de variables dependientes. En su
forma más sencilla proporciona el modelo más adecuado y la técnica de
estimación más eficiente para una serie de ecuaciones de regresión múltiple,
evaluadas simultáneamente. Se caracteriza por dos componentes básicos: (1)
el modelo estructural y (2) el modelo de medición.
El modelo estructural es la “vía” que relaciona variables dependientes e
independientes. El modelo de medición permite al investigador a usar varias
variables (indicadores) para una variable dependiente e independiente.
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Los datos para HATCO son los siguientes:
Variables / Tipo
Percepciones / Medibles (Métricas)
X1 Tiempo de entrega - entrega del producto con la orden confirmada
X2 Nivel de precios - nivel de precio percibido ponderacióndo por
proveedores
X3 Flexibilidad de precios - flexibilidad para negociar precios
X4 Imagen de la empresa - general
X5 Servicio en general - nivel necesario para mantener relaciones
X6 Imagen de la fuerza de ventas - general
X7 Calidad del producto – calidad percibida en desempeño o rendimiento
Resultados de compras / Medibles (Métricas)
X9 Nivel de utilización - que porcentaje de producto es surtido por Hatco
X10 Nivel de satisfacción – que tan satisfecho esta el cliente con Hatco
Características del comprador / No Medibles (No Métricas)
X8 Tamaño de la empresa - 1- Grande 0 - pequeño
X11 Especificación de compra - 1-Evalúa por el valor total y 0- especificación
X12 Estructura de abastecimiento – 1- centralizado 0 - descentralizado
X13 Tipo de industria - 1- industria A 0 – otras industrias
X14 Tipo de situación de compra – 1- nueva 2- modificada 0- tradicional
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ANOVA (análisis de varianza de k direcciones )
El ANOVA es similar a la regresión en el sentido de que se utiliza para
investigar y modelar la relación entre una variable de respuesta y una o más
variables independientes. Sin embargo, el ANOVA difiere de la regresión en
dos aspectos: las variables independientes son cualitativas (categóricas), y no
hay supuestos acerca de la naturaleza de la relación (o sea que el modelo no
incluye coeficientes para variables). En efecto el ANOVA extiende la prueba de
dos muestras con prueba t para probar la igualdad de dos poblaciones a una
hipótesis más general al comparar más de dos medias, versus que no sean
iguales.
Definición: Es una prueba estadística para evaluar el efecto de dos o
más variables independientes sobre una variable dependiente.
Responde a esquemas como el que se muestra en la figura:
Constituye una extensión del análisis de varianza unidireccional,
solamente
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que incluye más de una variable independiente. Evalúa los efectos
por separado de cada variable independiente y los efectos conjuntos
de dos o más variables independientes.
Variables: Dos o más variables independientes y una dependiente.
Nivel de medición de las variables: La variable dependiente (criterio)
debe estar
medida en un nivel por intervalos o razón, y las variables
independientes (factores) pueden estar en cualquier nivel de
medición, pero expresadas de manera categórica.
Interpretación y ejemplo
Hi: La similitud en valores, la atracción física y el grado de
retroalimentación
positiva son variables que inciden en la satisfacción sobre la relación
en parejas de novios.
Contexto: Muestra de parejas de adultos jóvenes (23-29 años),
pertenecientes a estratos económicos altos (n=400).
El ANOVA efectuado mediante un paquete estadístico computacional
como
SPSS produce los siguientes elementos básicos:
• Fuente de la variación (source of variation). Es el factor que origina
variación en la dependiente. Si una fuente no origina variación en la
dependiente, no tiene efectos.
• Efectos principales (main effects). Es el efecto de cada variable
independiente
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por separado; no está contaminado del efecto de otras variables
iindependientes ni de error. Suele proporcionarse la suma de todos
los efectos principales.
• Interacciones de dos direcciones (2-way interactions). Representa el
efecto
conjunto de dos variables independientes, aislado de los demás
posibles efectos de las variables independientes (individuales o en
conjuntos). Suele
proporcionarse la suma de los efectos de todas estas interacciones.
• Interacciones de tres direcciones (3-way interactions). Constituye el
efecto
conjunto de tres variables independientes, aislado de otros efectos.
Suele
proporcionarse la suma de los efectos de todas estas interacciones.
• Puede haber efecto de K-direcciones, esto dependie del número de
variables
independientes.
En nuestro ejemplo, tenemos los resultados siguientes:
TABLA ANOVA
VARIABLE DEPENDIENTE: SATISFACCIÓN EN LA RELACIÓN
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrados
medios
Estadístico F Significancia
de Fc = P
Efectos
principales
(main
effects
22.51 .001**
SIMILITUD 31.18 0.001**
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ATRACCIÓ
N
21.02 0.001**
RETROALIM 11.84 0.004**
SIMILITUD
ATRACCIÓ
N
-4.32 0.04*
SIMILITUD
RETROALIM
2.18 0.11
ATRACCIO
N
RETROALIM
1.56 0.190
SIM –
RETROL-
ATRACCIO
N
8.01 0.02*
NOTA: Normalmente interesa saber si las razones “F” resultaron o no
significativas; por tanto, sólo se incluyen estos valores. Se
recomienda concentrarse en dichos valores y evitar confusiones.
Desde luego, el investigador experimentado acostumbra estudiar
todos los valores.
**— Razón “F” significativa al nivel del 0.01 (p < 0.01)
*—Razón “F” significativa al nivel del 0.05 (p < 0.05)
Como podemos ver en la tabla, la similitud, la atracción y la
retroalimentación tienen un efecto significativo sobre la satisfacción
en la relación.
Respecto a los efectos de dos variables independientes conjuntas,
sólo la similitud y la atracción tienen un efecto, hay un efecto
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conjunto de las tres variables independientes. La hipótesis de
investigación se acepta y la nula se rechaza. Asimismo, se recuerda al
lector que en el capítulo 5 del presente disco: Otros diseños
experimentales (en el apartado sobre diseños factoriales) se explica
la noción de interacción entre variables independientes. Cabe agregar
que el ANOVA es un método estadístico propio para los diseños
experimentales factoriales.
Ejemplo:
Un experimento se realizó para probar cuanto tiempo toma usar un modelo
nuevo y un modelo anterior de calculadora. Seis ingenieros trabajando en un
problema estadístico y uno de ingeniería se les toma el tiempo para resolver el
problema. Los ingenieros se consideran como bloques en el diseño
experimental.
Hay dos factores: Tipo de problema y modelo de calculadora – cada uno con
dos niveles, se hacen experimentos donde esos niveles de los factores se
cruzan. Los datos se muestran a continuación:
SolveTime Engineer ProbType Calculator3.1 Jones Stat New7.5 Jones Stat Old2.5 Jones Eng New5.1 Jones Eng Old3.8 Williams Stat New8.1 Williams Stat Old2.8 Williams Eng New5.3 Williams Eng Old3 Adams Stat New7.6 Adams Stat Old2 Adams Eng New4.9 Adams Eng Old3.4 Dixon Stat New7.8 Dixon Stat Old2.7 Dixon Eng New5.5 Dixon Eng Old3.3 Erickson Stat New6.9 Erickson Stat Old2.5 Erickson Eng New5.4 Erickson Eng Old3.6 Maynes Stat New7.8 Maynes Stat Old
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2.4 Maynes Eng New4.8 Maynes Eng Old
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
1 Abrir la worksheet EXH_AOV.MTW.
2 Stat > ANOVA > Balanced ANOVA.
3 Responses, poner SolveTime.
4 Model, poner Engineer ProbType | Calculator.
5 En Random Factors, poner Engineer.
6 Click Results. En Display means corresponding to the terms, poner ProbType | Calculator. Click OK cada cuadro de diálogo.
Los resultados obtenidos son los siguientes:
ANOVA: SolveTime versus Engineer, ProbType, Calculator
Factor Type Levels ValuesEngineer random 6 Adams, Dixon, Erickson, Jones, Maynes, WilliamsProbType fixed 2 Eng, StatCalculator fixed 2 New, Old
Analysis of Variance for SolveTime
Source DF SS MS F PEngineer 5 1.053 0.211 3.13 0.039ProbType 1 16.667 16.667 247.52 0.000Calculator 1 72.107 72.107 1070.89 0.000ProbType*Calculator 1 3.682 3.682 54.68 0.000Error 15 1.010 0.067Total 23 94.518
S = 0.259487 R-Sq = 98.93% R-Sq(adj) = 98.36%
Means
ProbType N SolveTimeEng 12 3.8250Stat 12 5.4917
Calculator N SolveTimeNew 12 2.9250Old 12 6.3917
ProbType Calculator N SolveTimeEng New 6 2.4833Eng Old 6 5.1667
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Stat New 6 3.3667Stat Old 6 7.6167
Interpretación de los resultados:
Se muestran los factores (fijos y aleatorios), niveles y valores. Después se
muestra la tabla de ANOVA, donde se indica de acuerdo al valor P que hay una
interacción significativa entre el tipo de problema y el modelo de calculadora, lo
que implica que la reducción en tiempo de proceso de la calculadora depende
del tipo de problema.
En la lista de promedios se observa un menor tiempo entre la calculadora
nueva y la anterior.
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ANÁLISIS MULTIVARIADO DE VARIANZA (MANOVA)
Es un modelo para analizar la relación entre una o más variables
independientes y dos o más variables dependientes. Es decir, es útil
para estructuras causales del tipo:
La técnica posee varios usos, entre los que destacan:
- Evaluar diferencias entre grupos a través de múltiples variables
dependientes
(medidas por intervalos o razón). La(s) variable(s) independiente(s)
es(son)
categórica(s) (no métricas). Tiene el poder de evaluar no solamente
las diferencias totales, sino diferencias entre las combinaciones de las
dependientes.
En este sentido representa una extensión del análisis de varianza
(ANOVA)
para cubrir casos donde hay más de una variable dependiente y/o
cuando las
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
variables dependientes simplemente no pueden ser combinadas. En
otras
palabras, reconoce si los cambios en la(s) variable(s)
independiente(s) tienen un efecto significativo en las dependientes.
Señala qué grupos difieren en una
variable o en el conjunto de variables dependientes.
- Identificar las interacciones entre las variables independientes y la
asociación
entre las dependientes.
Las tres clases principales del MANOVA son:
1) Hotelling's T. Es parecida a la prueba t (dos grupos) pero con más
dependientes: una variable independiente dicotómica y varias
dependientes.
2) MANOVA unidireccional. Análogo al ANOVA de una sola vía, pero
con más
dependientes: una variable independiente multicategórica y varias
dependientes.
3) MANOVA factorial. Similar al ANOVA factorial, solamente que con
dos o más dependientes: varias independientes categóricas y varias
dependientes.
Los modelos del MANOVA tienen en común que forman
combinaciones lineales de las dependientes que discriminan mejor
entre los grupos en un experimento o una situación no experimental.
Es una prueba de significancia de las diferencias en los grupos en un
espacio multidimensional donde cada dimensión está definida por
combinaciones lineales del conjunto de variables dependientes.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Una pregunta que suele hacer el estudiante al revisar el MANOVA es
¿por qué
no hacemos ANOVAS separados, uno para cada dependiente? La
respuesta: las dependientes están correlacionadas muy
frecuentemente, por lo cual los
resultados de varios ANOVA pueden ser redundantes y difíciles de
integrar. He
aquí una síntesis de la explicación de Wiersma (1999) sobre este tipo
de análisis:
Al incluir dos o más variables dependientes simultáneamente no se
consideran
las diferencias entre las medias en cada variable, sino las diferencias
en variables canónicas. El interés no sólo es saber si los grupos
definidos por las variables independientes difieren en las variables
canónicas, sino conocer la naturaleza de éstas. Una variable canónica
es una variable artificial generada a partir de los datos. Representa
constructos y se compone de variables reales, las cuales deben ser
descritas en términos de variables dependientes. Lo anterior se
efectúa por medio de las ponderacións de los coeficientes de
correlación entre una variable dependiente y una variable canónica.
Si una ponderación entre la variable canónica y la dependiente es
positiva y elevada, significa que altos valores en la dependiente se
asocian con altos valores en la canónica. Por ejemplo, si una variable
dependiente consiste en puntuaciones a una prueba sobre
innovación, y dichas puntuaciones se correlacionan en forma
considerable con una variable canónica, inferimos que la variable
canónica representa un constructo que involucra esencialmente a la
innovación.
En los cálculos que se hacen en el MANOVA, se generan variables
canónicas
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
hasta que se encuentra que no hay una diferencia estadística
significativa entre las categorías o los grupos de las variables
independientes; o bien, hasta que se agotan los grados de libertad de
las variables independientes (lo que ocurra
primero). El número de variables canónicas no puede exceder el
número de variables dependientes, pero es común que el número de
dependientes sea mayor que el de variables canónicas
estadísticamente significativas o los grados de libertad.
La hipótesis general de investigación en el MANOVA postula que las
medias de
los grupos o las categorías de la(s) variable(s) independiente(s)
difieren entre sí en las variables canónicas. La hipótesis nula postula
que dichas medias serán iguales.
Se calculan diversas estadísticas para evaluar ambas hipótesis, entre
las que
destacan: F (total, toma en cuenta el modelo completo), la prueba
Hotelling's TSquare, T2 (cuando hay dos grupos formados por las
variables independientes), Wilks' lambda, U (cuando hay más de dos
grupos formados por las variables independientes), y Pillai-Bartlett
(cuando hay coeficientes canónicos); y si resultan significativas en un
nivel de confianza, se acepta la hipótesis de investigación de
diferencia de medias. Esto indica que hay, por lo menos, una variable
canónica significativa (pero puede haber varias). Si diversas variables
canónicas son significativas, esto muestra que se presentan
diferencias en las variables canónicas en cuestión, entre los grupos o
categorías de las independientes.
Los paquetes estadísticos que contiene el MANOVA suelen posicionar
a los
grupos de las variables independientes por puntuaciones
discriminantes; éstas son calculadas con una función discriminante,
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
que es una ecuación de regresión para un compuesto de variables
dependientes. A cada grupo se le asigna una puntuación
discriminante en cada variable canónica. Las puntuaciones
discriminantes de una variable independiente pueden ser cero o tener
un valor positivo o negativo. Una puntuación discriminante positiva y
elevada para un grupo, indica que éste se coloca por encima de los
demás en la respectiva variable canónica. Y deben considerarse las
ponderacións, las cuales son positivas o negativas. Las puntuaciones
discriminantes son utilizadas para interpretar las separaciones de los
grupos en las variables canónicas, en tanto que las ponderacións se
usan para evaluar y ligar los resultados de las variables dependientes
(Wiersma, 1999). Un ejemplo de las ponderacións de los coeficientes
de correlación entre las variables dependientes y las variables
canónicas así como las puntuaciones discriminantes se muestran en
las tablas siguientes:
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Como observamos en la última tabla, se obtuvieron tres constructos
subyacentes en las puntuaciones recolectadas de la muestra:
motivación intrínseca, atribución de causalidad externa y desempeño
laboral. Vemos en la tabla que los grupos (niveles en la empresa)
están separados en las tres variables canónicas (los grupos difieren),
particularmente en la primera variable canónica (motivación
intrínseca) y los obreros ocupan la posición más baja. Las variables
dependientes enmarcadas en un recuadro en la primera variable
canónica se ponderaciónn en ella; en consecuencia, los ejecutivos
tienen las puntuaciones más altas en motivación intrínseca medida
por la escala mencionada, en atribuciones internas y en sentimientos
de éxito en el trabajo. Así se interpretan todas las variables canónicas
y dependientes.
En el MANOVA se incluyen razones F y análisis de varianza. Algunos
paquetes
estadísticos agregan una prueba denominada correlación canónica,
que es muy similar al MANOVA. Ésta es la máxima correlación que
llega a obtenerse entre los conjuntos de puntuaciones y las relaciones
entre las variables independientes, entre las variables dependientes y
entre los conjuntos de ambas (dependientes e independientes)
(Kerlinger, 1979). Las variables en el MANOVA y la correlación
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
canónica asumen que las variables dependientes están medidas en
un nivel de intervalos o razón. Tal correlación se interpreta como
otras; pero el contexto de interpretación varía de acuerdo con el
número de variables involucradas.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Ejemplo con Minitab
Se realiza un estudio para determinar las condiciones óptimas para extruir
película plástica. Se miden tres respuestas – Tear, gloss y opacity – cinco
veces en cada combinación de dos factores – tasa de extrusión y cantidad de
aditivo – cada grupo se pone en niveles bajos y altos. Se utiliza el MANOVA
balanceado para probar la igualdad de las medias.
DATOS
Tear Gloss Opacity Extrusion Additive
6.5 9.5 4.4 1 1
6.2 9.9 6.4 1 1
5.8 9.6 3 1 1
6.5 9.6 4.1 1 1
6.5 9.2 0.8 1 1
6.9 9.1 5.7 1 2
7.2 10 2 1 2
6.9 9.9 3.9 1 2
6.1 9.5 1.9 1 2
6.3 9.4 5.7 1 2
6.7 9.1 2.8 2 1
6.6 9.3 4.1 2 1
7.2 8.3 3.8 2 1
7.1 8.4 1.6 2 1
6.8 8.5 3.4 2 1
7.1 9.2 8.4 2 2
7 8.8 5.2 2 2
7.2 9.7 6.9 2 2
7.5 10.1 2.7 2 2
7.6 9.2 1.9 2 2
Instrucciones de Minitab
1 Abrir el archivo EXH_MVAR.MTW.
2 Seleccionar Stat > ANOVA > Balanced MANOVA.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
3 En Responses, poner Tear Gloss Opacity.
4 En Model, poner Extrusion | Additive.
5 Click Results. En Display of Results, seleccionar Matrices
(hypothesis, error, partial correlations) y Eigen analysis.
6 Click OK en cada cuadro de diálogo.
Los resultados se muestran a continuación:
Results for: Exh_mvar.MTW
ANOVA: Tear, Gloss, Opacity versus Extrusion, Additive
MANOVA for Extrusion
s = 1 m = 0.5 n = 6.0
Test DF
Criterion Statistic F Num Denom P
Wilks' 0.38186 7.554 3 14 0.003
Lawley-Hotelling 1.61877 7.554 3 14 0.003
Pillai's 0.61814 7.554 3 14 0.003
Roy's 1.61877
SSCP Matrix for Extrusion
Tear Gloss Opacity
Tear 1.740 -1.505 0.8555
Gloss -1.505 1.301 -0.7395
Opacity 0.855 -0.739 0.4205
SSCP Matrix for Error
Tear Gloss Opacity
Tear 1.764 0.0200 -3.070
Gloss 0.020 2.6280 -0.552
Opacity -3.070 -0.5520 64.924
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Partial Correlations for the Error SSCP Matrix
Tear Gloss Opacity
Tear 1.00000 0.00929 -0.28687
Gloss 0.00929 1.00000 -0.04226
Opacity -0.28687 -0.04226 1.00000
EIGEN Analysis for Extrusion
Eigenvalue 1.619 0.00000 0.00000
Proportion 1.000 0.00000 0.00000
Cumulative 1.000 1.00000 1.00000
Eigenvector 1 2 3
Tear 0.6541 0.4315 0.0604
Gloss -0.3385 0.5163 0.0012
Opacity 0.0359 0.0302 -0.1209
MANOVA for Additive
s = 1 m = 0.5 n = 6.0
Test DF
Criterion Statistic F Num Denom P
Wilks' 0.52303 4.256 3 14 0.025
Lawley-Hotelling 0.91192 4.256 3 14 0.025
Pillai's 0.47697 4.256 3 14 0.025
Roy's 0.91192
SSCP Matrix for Additive
Tear Gloss Opacity
Tear 0.7605 0.6825 1.931
Gloss 0.6825 0.6125 1.732
Opacity 1.9305 1.7325 4.901
EIGEN Analysis for Additive
Eigenvalue 0.9119 0.00000 0.00000
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Proportion 1.0000 0.00000 0.00000
Cumulative 1.0000 1.00000 1.00000
Eigenvector 1 2 3
Tear -0.6330 0.4480 -0.1276
Gloss -0.3214 -0.4992 -0.1694
Opacity -0.0684 0.0000 0.1102
MANOVA for Extrusion*Additive
s = 1 m = 0.5 n = 6.0
Test DF
Criterion Statistic F Num Denom P
Wilks' 0.77711 1.339 3 14 0.302
Lawley-Hotelling 0.28683 1.339 3 14 0.302
Pillai's 0.22289 1.339 3 14 0.302
Roy's 0.28683
SSCP Matrix for Extrusion*Additive
Tear Gloss Opacity
Tear 0.000500 0.01650 0.04450
Gloss 0.016500 0.54450 1.46850
Opacity 0.044500 1.46850 3.96050
EIGEN Analysis for Extrusion*Additive
Eigenvalue 0.2868 0.00000 0.00000
Proportion 1.0000 0.00000 0.00000
Cumulative 1.0000 1.00000 1.00000
Eigenvector 1 2 3
Tear -0.1364 0.1806 0.7527
Gloss -0.5376 -0.3028 -0.0228
Opacity -0.0683 0.1102 -0.0000
Por default se muestra la tabla para las cuatro pruebas multivariadas (Wliks,
Lawley, Hotelling, Pillai y Roy) para cada uno de los términos en el modelo.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Los valores s, m y n se utilizan para los cálculos de los estadísticos de prueba
Fc, el cual es exacto si s = 1 o 2 de otra forma es aproximado.
Examinando los valores P de las pruebas para Extrusión y Aditivo se observa
que son significativas para un nivel de 0.05, no así la interacción.
Las matrices SSCP se usan para evaluar la contribución a la variabilidad de
manera similar a la suma de cuadrados en la ANOVA univariada. La matriz
SSCP para Extrusion es la suma de cuadrados de la hipótesis y matriz de
productos cruzados H para las tres respuestas con el término de modelo
Extrusión. Los elementos diagonales de esta matriz, 1.740, 1.301 y 0.405 son
las sumas de cuadrados univariados para el término del modelo Extrusión
cuando las variables de respuesta son Tear, Gloss y Opacity respectivamente.
Los elementos fuera de la diagonal son los productos cruzados.
La matriz SSCP para el error es la suma de cuadrados de los errores y
productos cruzados E. Los elementos diagonales de la matriz 1.764, 2.6280, y
64.924 son las sumas de cuadrados de los errores para las variables de
respuesta Teat, Gloss y Opacity, respectivamente. Los elementos fuera de la
diagonal de esta matriz son los productos cruzados.
La matriz de correlaciones parciales para el error SSCP, se usa para evaluar
que tanto se relacionan las variables de respuesta. Las correlaciones parciales
entre Tear y Gloss son pequeñas con 0.00929 y entre Gloss y Opacity -
0.04226. Y la correlación parcial entre Tear y Opacity es de -0.28687 tampoco
es grande. Como la estructura de las correlaciones es débil, se pueden realizar
análisis univariados de ANOVA para cada una de las respuestas.
Se puede utilizar el análisis de valores característicos o Eigenvalores, para
evaluar como difieren los promedios de las respuestas entre los niveles de los
diferentes términos del modelo. El análisis de Eigenvalores es E-1 H donde E es
la matriz SCCP del error y H es la matriz SCCP de las variables de respuesta.
Estos son los eigenvalores utilizados para calcular las cuatro pruebas de
MANOVA.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Poner la mayor importancia en los eigenvectores que corresponden a valores
altos de eigenvalores. En el ejemplo, el segundo y tercer eigenvalores son
pequeños, no signiicativos. Para ambos factores, Extrusion y Additive, los
primeros eigenvalores contienen información similar. Para Extrusion is 0.6541,
-0.3385, 0.0359 and for Additive it is -0.6630, -0.3214, -0.0684. El mayor valor
absoluto dentro de esos eigenvalores corresponde a la respuesta Tear, el
segundo a Gloss y el valor para Opacity es pequeño. Esto implica que Tear
tiene la mayor diferencia entre los dos niveles de los factores ya sea Extrusion
o Additive, el Gloss tiene las siguientes mayores diferencias y op.citp. tiene solo
pequeñas diferencias.
Para un análisis más general utilizar General MANOVA con diseños
balanceados y no balanceados, incluso si se tienen covariados.
1 Seleccionar Stat > ANOVA > General MANOVA.
2 En Responses, seleccionar hasta 50 columnas numéricas conteniendo las
variables de respuesta.
3 En Model, introducir los términos del modelo que se quiera ajustar.
4. Click OK.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ANÁLISIS DE COVARIANZA
Definición: Es un método estadístico que analiza la relación entre una
variable
dependiente y dos o más independientes, con el que se elimina o
controla el
efecto de al menos una de estas independientes. Similar al ANOVA,
excepto que permite controlar la influencia de una variable
independiente, la cual con
frecuencia es una característica antecedente que puede variar entre
los grupos
(Mertens, 2005) o influir los resultados y afectar la claridad de las
interpretaciones.
Perspectivas o usos: Wildt y Ahtola (1978, pp. 8-9) destacan tres
perspectivas
para el análisis de covarianza:
A. Perspectiva experimental. Se aplica a aquellas situaciones en que
el interés
del investigador se centra en las diferencias observadas en la variable
dependiente, por medio de las categorías de la variable
independiente (o variables independientes). Pero el experimentador
asume que hay otras variables independientes cuantitativas que
contaminan la relación y cuya influencia debe ser controlada.
Pág. 30
MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Y el investigador únicamente se interesa por conocer la relación entre
las
variables independientes categóricas y la variable dependiente.
Desea al mismo tiempo remover y controlar el efecto de las variables
independientes cuantitativas no categóricas (continuas). Es decir,
desea tener un esquema como el de la figura
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
El objetivo es “purificar la relación entre las independientes
categóricas y la
dependiente, mediante el control del efecto de las independientes no
categóricas o continuas”.
Ejemplos de variables independientes categóricas serían: género
(masculino,
femenino), inteligencia (alta, media, baja), ingreso (menos de un
salario mínimo, dos a cuatro salarios mínimos, cinco a 10 salarios
mínimos, 11 o más salarios mínimos).
Los niveles de medición nominal y ordinal son categóricos en sí
mismos, mientras que los niveles de intervalos y razón deben
transformarse en categorías más discretas. Estos últimos son en sí:
cuantitativos, continuos y de categorías múltiples. Por ejemplo, el
ingreso en su “estado natural” (ponderacións, dólares, euros, etc.)
varía de la categoría cero hasta la categoría (K)k, ya que puede haber
millones de categorías.
Variable categórica — unas cuantas categorías o un rango medio.
Variable continua — muchas categorías (a veces una infinidad).
A dichas variables independientes cuantitativas continuas, cuya
influencia se
controla, se les denomina “covariables”. Una covariable se incluye en
el análisis
para remover su efecto sobre la variable dependiente, e incrementar
el
conocimiento de la relación entre las variables independientes
categóricas de
interés y la dependiente, lo cual aumenta la precisión del análisis.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
En esta perspectiva, el análisis de covarianza puede ser concebido
primero
como un ajuste en la variable dependiente respecto a diferencias en
la covariable o las covariables y, posteriormente, como una
evaluación de la relación entre las variables independientes
categóricas y los valores ajustados de la variable dependiente (Wildt
y Ahtola, 1978). En términos de Creswell (2005):
El procedimiento “ajusta” las puntuaciones en la dependiente para
dar cuenta por la covarianza (por decirlo en términos sencillos: “hace
equivalentes a los grupos en la(s) covariable(s)” y controla influencias
potenciales que pueden afectar a la variable dependiente).
B. Perspectiva de interés por la covariable. Esta perspectiva se
ejemplifica con
aquellas instancias en las cuales el interés principal se centra en
analizar la relación entre la variable dependiente y la covariable
(variable cuantitativa continua) o las covariables. Aquí el enfoque es
distinto; la influencia que se remueve es la de las variables
independientes categóricas. Primero se controla el efecto (en este
caso contaminante) de estas variables y después se analiza el efecto
“purificado” de las covariables.
C. Perspectiva de regresión. En esta tercera perspectiva, tanto las
variables
independientes categóricas como las covariables resultan de interés
para el
investigador, quien puede desear examinar el efecto de cada variable
independiente (covariables y no covariables, todas) y después ajustar
o corregir los efectos de las demás variables independientes.
En cualquier caso, el análisis de covarianza elimina influencias no
deseadas
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
sobre la variable dependiente. Se puede utilizar en contextos
experimentales y no experimentales. La mayoría de las veces la
función del ANCOVA es “remover” la varianza compartida entre una o
más covariables y la dependiente, de este modo, se valora en su justa
dimensión la relación causal entre la(s) variable(s) independiente(s)
de interés y la dependiente (Creswell, 2005).
Veámoslo conceptualmente pero de forma gráfica con un ejemplo
simple:
Ejemplo:
Estudio: Al investigador le interesa analizar el efecto en el aprendizaje
de la
computación, por medio un nuevo método para su enseñanza a niños.
La hipótesis es: El nuevo método de enseñanza de la computación
(MA-RH) provocará un mayor aprendizaje en los niños que un método
tradicional.
Entonces, implementa el siguiente experimento: A un grupo de
infantes lo
expone al nuevo método de enseñanza de computación (MA-RHS); a
otro grupo no lo expone al nuevo método, éste aprende con el
método tradicional;
finalmente, a un tercer grupo, de control, no recibe ningún tipo de
enseñanza en computación.
La variable independiente es el tipo de método con tres categorías o
niveles
(método nuevo, método tradicional y ausencia de método), la
dependiente es el
aprendizaje en computación (medida por una prueba estandarizada a
nivel de
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
intervalos). Se tiene un esquema como el de la figura
Con el experimento el investigador desea conocer la varianza en
común entre método y aprendizaje (cuantificarla), la relación XY
(pura). Si los niños son asignados al azar a los grupos del
experimento y tiene grupos de tamaño aceptable, por el diseño
mismo, remueve la influencia de las covariables que
pudieran afectar. Pero si no es factible hacerlo y tiene un diseño
cuasiexperimental (grupos intactos), debe remover tal influencia con
el análisis de covarianza (eliminar al mínimo posible la varianza del
aprendizaje
no explicada), para evitar que las covariables impidan ver con
claridad la relación XY. Por ejemplo, el nivel educativo tecnológico
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
de los padres puede influir (hace variar al aprendizaje) y este efecto
debe ser controlado, al introducirlo como covariable.
Lo que el investigador desea también se puede expresar gráficamente así:
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Wildt y Ahtola (1978, p. 13) definen algunos usos del análisis de
covarianza:
1. Incrementar la precisión en experimentos con asignación al azar.
2. Eliminar influencias extrañas o contaminantes que pueden resultar
cuando
las pruebas o los individuos no son asignados al azar a las diferentes
condiciones experimentales (grupos de un experimento).
3. Eliminar efectos de variables que confundan o distorsionen la
interpretación
de resultados en estudios no experimentales.
Nivel de medición de las variables: La variable dependiente siempre
está medida por intervalos o razón y las variables independientes
pueden estar medidas en cualquier nivel.
Interpretación: Depende de cada caso específico, ya que el análisis de
covarianza efectuado mediante un programa estadístico
computacional, produce un cuadro de resultados muy parecido al del
análisis de varianza. Los elementos más comunes pueden obssevarse
en la tabla ANOVA.
La razón F es, igual que en el análisis de varianza, una razón de
varianzas. El
razonamiento estadístico es el mismo y F se interpreta igual, incluso
se utiliza el mismo cuadro de la distribución F. Solamente que las
inferencias y conclusiones se hacen al considerar que las medias de
la variable
dependiente, a través de las categorías de las variables
independientes, se han
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ajustado, de este modo eliminan el efecto de la covariable o
covariables.
Ejemplo:
Diseño de investigación que utiliza el análisis de covarianza
Hi: Los trabajadores que reciban retroalimentación verbal sobre el
desempeño de parte de su supervisor mantendrán un nivel mayor de
productividad que los
trabajadores que reciban retroalimentación sobre el desempeño por
escrito, más aún que los trabajadores que no reciban ningún tipo de
retroalimentación.
__ __ __
Hi: X1 > X2 > X3
(verbal) (por escrito) (ausencia)
El investigador plantea un diseño experimental para intentar probar
su
hipótesis. Sin embargo, no puede asignar aleatoriamente a los
trabajadores a los tres grupos del experimento. El diseño sería con
grupos intactos
(cuasiexperimental) y se esquematizaría así:
Asimismo, el investigador presupone que hay un factor que puede
contaminar los resultados (actuar como fuente de invalidación
interna): la
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
motivación. Diferencias iniciales en motivación pueden invalidar el
estudio.
Como la asignación al azar está ausente, no se sabe si los resultados
se ven influidos por dicho factor. Entonces, el experimentador decide
eliminar o controlar el efecto de la motivación sobre la productividad
para conocer los efectos de la variable independiente: tipo de
retroalimentación. La motivación se convierte en covariable.
El esquema es el que se muestra en la figura
Cabe destacar que, para introducir una covariable en el análisis, de
preferencia
debe medirse antes del inicio del experimento.
El análisis de covarianza “quita” a la variabilidad de la dependiente lo
que se
debe a la covariable. Ajusta la varianza de la variable dependiente en
las categorías de la independiente, al basarse en la covariable. En el
ejemplo, ajusta la varianza de la productividad debida a la
motivación, en las categorías experimentales (tratamientos o grupos).
El ajuste se realiza sobre la base de la correlación entre la covariable
y la dependiente. Esto se muestra esquemáticamente en la tabla.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Una vez realizado el análisis de covarianza, se evalúa si F es o no
significativa.
Cuando F resulta significativa se acepta la hipótesis de investigación.
Si el resultado fuera:
G1 = 35
G2 = 36
La correlación entre la calificación en motivación y las puntuaciones
en
productividad es la base para el ajuste.
G3 = 38
Gl entre = K – 1 = 3 – 1 = 2
Gl intra = N – K = 107
F = 1.70
Comparamos con el valor de la tabla respectiva: en el nivel de 0.05 es
igual a
3.07, y nuestra razón F a 1.70 es menor a este valor. Por lo tanto,
rechazamos la hipótesis de investigación y aceptamos la hipótesis
nula. Esto se contrasta y
profundiza con las medias ajustadas de los grupos que proporcione el
análisis de covarianza (no las medias obtenidas en el experimento por
cada grupo, sino las ajustadas con base en la covariable).
Recordemos que SPSS nos proporciona automáticamente la
significancia de F.
Ejemplo:
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Determinar si hay diferencia en la resistencia de una fibra
monofilamento producida por tres máquinas diferentes. El diámetro
de la fibra parece tener influencia en la resistencia como se muestra
abajo (covariado de Y).
Datos de resistencia - Y es la respuesta, X es el covariado.
Y X Maq36 20 141 25 139 24 142 25 149 32 140 22 248 28 239 22 245 30 244 28 235 21 337 23 342 26 334 21 332 15 3
La relación entre X y Y es significativa como se observa en la
siguiente gráfica:
En Minitab:
1. Stat > Regresión > Fitted line plot
2. Introducir Y y X, seleccionar Linear
3. OK
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
X
Y
32.530.027.525.022.520.017.515.0
50
45
40
35
30
S 1.78174R-Sq 88.1%R-Sq(adj) 87.2%
Fitted Line PlotY = 14.14 + 1.080 X
Para el ANOVA con Covariados, las instrucciones de Minitab son las
siguientes:
1. Stat > ANOVA > General Linear Model
2. Introducir en Response Y, en Model X y Maquina
3. En Covariates X
4. En Results en Display Least Square Means corresponding to the terms Maq
5. En Graphs seleccionar Normal plot for residuals
6. OK
Los resultados se muestran a continuación:
General Linear Model: Y versus Maq
Factor Type Levels ValuesMaq fixed 3 1, 2, 3
Analysis of Variance for Y, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PX 1 305.13 178.01 178.01 69.97 0.000Maq 2 13.28 13.28 6.64 2.61 0.118Error 11 27.99 27.99 2.54Total 14 346.40
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
S = 1.59505 R-Sq = 91.92% R-Sq(adj) = 89.72%
Term Coef SE Coef T PConstant 17.177 2.783 6.17 0.000X 0.9540 0.1140 8.36 0.000
Unusual Observations for Y
Obs Y Fit SE Fit Residual St Resid 7 48.0000 45.1080 0.7489 2.8920 2.05 R
R denotes an observation with a large standardized residual.
Means for Covariates
Covariate Mean StDevX 24.13 4.324
Least Squares Means for Y
Maq Mean SE Mean1 40.38 0.72362 41.42 0.74443 38.80 0.7879
Conclusión:
Se observa que no hay diferencia en las máquinas una vez que eliminamos la
variabilidad introducida por el diámetro de la fibra, en caso de no haber tomado
en cuenta la covarianza del diámetro en la resitencia, se hubiese concluido al
revés, que si hay diferencia en las máquinas, como se muestra a continuación:
Con Minitab:
1. Stat > ANOVA > One way
2. Response Y Factor Maquina
3. OK
Los resultados son los siguientes:
One-way ANOVA: Y versus Maq
Source DF SS MS F PMaq 2 140.4 70.2 4.09 0.044Error 12 206.0 17.2Total 14 346.4
S = 4.143 R-Sq = 40.53% R-Sq(adj) = 30.62%
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev +---------+---------+---------+---------1 5 41.400 4.827 (---------*----------)2 5 43.200 3.701 (---------*---------)3 5 36.000 3.808 (---------*---------) +---------+---------+---------+--------- 32.0 36.0 40.0 44.0
Pooled StDev = 4.143
Conclusión: Como P value es menor a 0.05 aparentemente si hay diferencia
entre máquinas.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ANALISIS DISCRIMINANTE
El análisis discriminante, se aplica cuando las variables
independientes son medidas por intervalos o razón, y la dependiente
es categórica. Tal análisis sirve para predecir la pertenencia de un
caso a una de las categorías de la variable dependiente, sobre la base
de varias independientes (dos o más). Se utiliza una ecuación de
regresión llamada función discriminante. Por ejemplo, si queremos
predecir el voto obtenido por dos partidos contendientes (variable
dependiente nominal con dos categorías) sobre la base de cuatro
variables independientes, aplicaremos el análisis discriminante, para
resolver una ecuación de regresión; así se obtienen las predicciones
individuales. En el ejemplo, hay dos categorías (votar por A o votar
por B); por tanto, los valores a predecir son 0 y 1 (A y B,
respectivamente). Si el sujeto obtiene una puntuación más cercana a
cero, se predice que pertenece al grupo que votará por A; si logra una
puntuación más cercana a 1, se predice que pertenece al grupo que
votará por B. Además, se consigue una medida del grado de
discriminación del modelo.
Usar el Análisis Discrimínate para clasificar observaciones en dos o
más grupos si se tiene una muestra con grupos conocidos. Se puede
utilizar también para investigar como contribuyen las variables a la
separación de grupos.
Se pueden hacer análisis discriminantes lineales y cuadráticos. Los
lineales asumen que todos los grupos tienen la misma matriz de
covarianza, los cuadráticos no hacen este supuesto y no son bien
comprendidos.
Para el caso de clasificar las observaciones nuevas en una de dos
categorías, la regresión logística puede ser superior al análisis
discriminante.
Pág. 45
MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Ejemplo:
Para regular la pesca de salmón, se desea identificar si el pescado es originario
de Alaska o de Canadá. Cincuenta peces de cada lugar de origen fueron
capturados y pesados cuando vivían en agua dulce y cuando vivieron en agua
salada. El objetivo es el de poder identificar si los nuevos pescados vienen de
criaderos en Alaska o Canadá. Los datos se muestran a continuación:
SalmonOrigin Freshwater Marine SalmonOrigin Freshwater MarineAlaska 108 368 Canada 129 420Alaska 131 355 Canada 148 371Alaska 105 469 Canada 179 407Alaska 86 506 Canada 152 381Alaska 99 402 Canada 166 377Alaska 87 423 Canada 124 389Alaska 94 440 Canada 156 419Alaska 117 489 Canada 131 345Alaska 79 432 Canada 140 362Alaska 99 403 Canada 144 345Alaska 114 428 Canada 149 393Alaska 123 372 Canada 108 330Alaska 123 372 Canada 135 355Alaska 109 420 Canada 170 386Alaska 112 394 Canada 152 301Alaska 104 407 Canada 153 397Alaska 111 422 Canada 152 301Alaska 126 423 Canada 136 438Alaska 105 434 Canada 122 306Alaska 119 474 Canada 148 383Alaska 114 396 Canada 90 385Alaska 100 470 Canada 145 337Alaska 84 399 Canada 123 364Alaska 102 429 Canada 145 376Alaska 101 469 Canada 115 354Alaska 85 444 Canada 134 383Alaska 109 397 Canada 117 355Alaska 106 442 Canada 126 345Alaska 82 431 Canada 118 379Alaska 118 381 Canada 120 369Alaska 105 388 Canada 153 403Alaska 121 403 Canada 150 354Alaska 85 451 Canada 154 390Alaska 83 453 Canada 155 349Alaska 53 427 Canada 109 325Alaska 95 411 Canada 117 344Alaska 76 442 Canada 128 400Alaska 95 426 Canada 144 403Alaska 87 402 Canada 163 370Alaska 70 397 Canada 145 355Alaska 84 511 Canada 133 375
Pág. 46
MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Alaska 91 469 Canada 128 383Alaska 74 451 Canada 123 349Alaska 101 474 Canada 144 373Alaska 80 398 Canada 140 388Alaska 95 433 Canada 150 339Alaska 92 404 Canada 124 341Alaska 99 481 Canada 125 346Alaska 94 491 Canada 153 352Alaska 87 480 Canada 108 339
Las intrucciones de Minitab son las siguientes:
1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.
2 Stat > Multivariate > Discriminant Analysis.
3 En Groups, poner SalmonOrigin.
4 En Predictors, poner Freshwater Marine. Click OK.
Los resultados obtenidos se muestran a continuación:
Discriminant Analysis: SalmonOrigin versus Freshwater, Marine
Linear Method for Response: SalmonOrigin
Predictors: Freshwater, Marine
Group Alaska CanadaCount 50 50
Summary of classification
True GroupPut into Group Alaska CanadaAlaska 44 1Canada 6 49Total N 50 50N correct 44 49Proportion 0.880 0.980
N = 100 N Correct = 93 Proportion Correct = 0.930
Squared Distance Between Groups
Alaska CanadaAlaska 0.00000 8.29187Canada 8.29187 0.00000
Linear Discriminant Function for Groups Alaska CanadaConstant -100.68 -95.14Freshwater 0.37 0.50Marine 0.38 0.33
Summary of Misclassified Observations SquaredObservation True Group Pred Group Group Distance Probability 1** Alaska Canada Alaska 3.544 0.428
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Canada 2.960 0.572 2** Alaska Canada Alaska 8.1131 0.019 Canada 0.2729 0.981 12** Alaska Canada Alaska 4.7470 0.118 Canada 0.7270 0.882 13** Alaska Canada Alaska 4.7470 0.118 Canada 0.7270 0.882 30** Alaska Canada Alaska 3.230 0.289 Canada 1.429 0.711 32** Alaska Canada Alaska 2.271 0.464 Canada 1.985 0.536 71** Canada Alaska Alaska 2.045 0.948 Canada 7.849 0.052
Interpretando los resultados
El Análisis Discriminante identificó correctamente 93 de los 100 peces, a pesar
de que la probabilidad de clasificar correctamente un pez de Alaska fue menor
(44/50 o 88%) que la probabilidad de clasificar correctamente un pez de
Canadá (49/50 o 98%). Para identificar el origen de un pez recientemente
capturado depende de cual valor discriminante sea mayor. Se puede correr el
análisis discriminante de nuevo y predecir a que grupo pertenecen las nuevas
observaciones.
El resumen de las observaciones mal clasificadas muestra la distancia al
cuadrado desde el punto mal clasificado a los centroides del grupo (vectores
medios) y las probabilidades posteriores. Las observaciones son asignadas al
grupo con la mayor probabilidad posterior.
Si en Options introducimos en Predict membership for: 100 130, la
clasificación aparece como:
Prediction for Test Observations SquaredObservation Pred Group From Group Distance Probability 1 Canada Alaska 78.448 0.000 Canada 55.194 1.000
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ANÁLISIS DE CONGLOMERADOS
Se cuenta también con el análisis de conglomerados o clusters (técnica paraagrupar los casos o elementos de una muestra en grupos con base en una omás variables).
Usar Análisis de componentes principales para ayudar a comprender la
estructura de datos y/o a formar un pequeño número de variables no
correlacionadas (por ejemplo para evitar multicolinealidad en la regresión).
Ejemplo:
Se registran las siguientes características para 14 censos: Población total (Pop), mediana de años escolares (School), empleo total (Employ),empleo en servicios de salud (Health), y valor mediano del valor de la casa (Home). Los datos se muestran a continuación:
Pop School Employ Health Home5.935 14.2 2.265 2.27 2.911.523 13.1 0.597 0.75 2.622.599 12.7 1.237 1.11 1.724.009 15.2 1.649 0.81 3.024.687 14.7 2.312 2.5 2.228.044 15.6 3.641 4.51 2.362.766 13.3 1.244 1.03 1.976.538 17 2.618 2.39 1.856.451 12.9 3.147 5.52 2.013.314 12.2 1.606 2.18 1.823.777 13 2.119 2.83 1.81.53 13.8 0.798 0.84 4.25
2.768 13.6 1.336 1.75 2.646.585 14.9 2.763 1.91 3.17
Se realiza un análisis de components principales para comprender la estructura de datos subyacente. Se usa la matriz de correlación para estandarizar las mediciones dado que no se mide con la misma escala.
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.
2 Stat > Multivariate > Principal Components.
3 En Variables, Pop-Home.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
4 En Type of Matrix, seleccionar Correlation.
5 Click Graphs y seleccionar Scree plot.
6 Click OK en cada cuadro de diálogo.
Los resultados se muestran a continuación:
Principal Component Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home
Eigenanalysis of the Correlation Matrix
Eigenvalue 3.0289 1.2911 0.5725 0.0954 0.0121Proportion 0.606 0.258 0.114 0.019 0.002Cumulative 0.606 0.864 0.978 0.998 1.000
Variable PC1 PC2 PC3 PC4 PC5Pop -0.558 -0.131 0.008 0.551 -0.606School -0.313 -0.629 -0.549 -0.453 0.007Employ -0.568 -0.004 0.117 0.268 0.769Health -0.487 0.310 0.455 -0.648 -0.201Home 0.174 -0.701 0.691 0.015 0.014
Component Number
Eigenvalu
e
54321
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Scree Plot of Pop, ..., Home
Interpretando los resultados
El primer componente principal tiene varianza (eigenvalor) 3.029 y acumula el
60.6% de la varianza total. Los coeficientes para el PC1 muestran como
calcular el nivel del componente principal.
PC1 = .558 Pop .313 School .568 Employ .487 Health + .174 Home
Notar que la interpretación de los components principales es subjetiva, sin
embargo, frecuentemente surgen patrones obvios. Por ejemplo, se podría
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
pensar que el primer componente represente el efecto del tamaño de la
población total, el nivel de escolaridad, empleo y servicios de salud, dado que
los coeficientes de estos términos tienen el mismo signo y no son cercanos a
cero.
El segundo componente tiene varianza 1.2911 y acumula el 25.8% de la
variabilidad de los datos. Se calcula de los datos originales usando los
coeficientes listados en PC2. Este componente podría ser pensado como nivel
de contraste de escolaridad y valor de la casa con salud y empleo de alguna
manera.
Juntos el primero y segundo componentes representan el 86.4% y 97%,
respectivamente, de la variabilidad total. Así, la mayoría de la estructura de
datos puede ser capturada en dos o tres dimensiones relevantes. Los
componentes remanentes solo tienen una menor proporción de probabilidad y
no son importantes. La gráfica Scree proporciona una visión gráfica de lo
anterior.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ANÁLISIS FACTORIAL
El análisis factorial es un método cuyo propósito principal es definir la
estructura subyacente de una matriz de datos. Atiende el problema de analizar
la estructura de las interrelaciones (correlaciones) entre un gran número de
variables (vgr. Respuestas de cuestionarios) al definir un conjunto de
dimensiones subyacentes comunes, conocidas como factores. Con el análisis
factorial se identifican las dimensiones separadas de la estructura y después se
determina que tanto cada variable es explicada por cada dimensión. Una vez
que se determinan las dimensiones y se explican las variables por cada
dimensión, se puede hacer un resumen y reducción de datos.
El análisis factorial es una técnica de interdependencia en la cual todas las
variables son consideradas de manera simultanea, cada una relacionada a las
otras, y empleando el concepto de variate, composición lineal de variables. De
hecho las variates (factores) se forman para maximizar su explicación de todo
el conjunto de variables, no para predecir una variable dependiente(s). Una
variate (factor) es una variable dependiente que es función del conjunto total de
variables.
Se usa el Análisis factorial, de manera similar al análisis de componentes
principales, para resumir la estructura de covarianza de los datos en una pocas
dimensiones de los mismos. Sin embargo, el énfasis en análisis factorial es la
identificación de los “factores subyacentes” que pueden explicar las
dimensiones asociadas con la gran variabilidad de los datos.
Se pueden tener tres tipos de datos de entrada:
Columnas de datos unitarios
Una Matriz de correlaciones o covarianzas
Columnas conteniendo ponderaciones de factores
Con los datos del ejemplo anterior de Componentes principales, realizar un
análisis factorial como sigue:
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Nos gustaría investigar que “factores” pueden explicar la mayor parte de la
variabilidad. Como primer paso del análisis factorial, se utiliza la extracción de
componentes principales y se examinan los eigenvalores en gráfica como
ayuda para decidir el número de factores.
PROCESO DE DECISIÓN DE ANÁLISIS FACTORIAL
Paso 1. Objetivos del Análisis factorial
El propósito es encontrar una forma de condensar (resumir) la información
contenida en un cierto número de variables originales, en un grupo más
pequeño de dimensiones nuevas, compuestas o variates (factores) con un
mínimo de pérdida de información.
Por ejemplo si hay datos de 100 cuestionarios en 10 características, el análisis
factorial se aplica a la matriz de correlación de variables y se denomina
Análisis Factorial R, para identificar las dimensiones que están latentes o no
son fácilmente observables.
El análisis factorial también se puede aplicar a una matriz de correlación de los
cuestionarios individuales basados sus características, referido como Análisis
Factorial Q, es un método de condensar o combinar un grupo grande de gente
en diferentes grupos distintos dentro de una población grande, para esto se
utiliza el análisis de conglomerados (clusters).
Paso 2. Diseño del análisis factorial
Incluye tres decisiones básicas: (1) cálculo de los datos de entrada (una matiz
de correlación) para cumplir con los objetivos especificados de agrupar
variables o cuestionarios; (2) el diseño del estudio en términos del nñumeor de
variables, propiedades de medición de las variables, y el tipo de variables
permitidas y (3) el tamaño de muestra necesario (al menos 5 veces el númro de
variables analizadas), ambos en términos absolutos y como función de del
número de variables en el análisis.
Paso 3. Supuestos del análisis factorial
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Es deseable algún grado de multicolinealidad entre variables dado que el
objetivo es identificar conjuntos de variables interrelacionadas, no son tan
importantes la normalidad, homoestacidad y linealidad a menos que
disminuyan significativamente las correlaciones observadas.
La matriz de correlación debe indicar valores mayores a 0.3 para aplicar el
análisis de correlación. También si las correlaciones parciales entre variables
(correlación entre variables cuando el efecto de las otras variables se toma en
cuenta) son pequeñas dado que la variable puede explicada por los factores
(variates con ponderacións para cada una de las variables). Si las
correlaciones parciales son altas, no hay factores subyacentes “verdaderos” y
el análisis factorial es inapropiado.
La prueba de esfericidad de Bartlett mide la presencia de correlaciones entre
las variables, proporciona la probabilidad de que la matriz de correlación tenga
correlaciones significativas en algunas de las variables. Otro indicador es el
“Measure of Sampling Adequacy (MSA)”, con rango de 0 a 1, donde 0.8 o más
es meritorio; 0.07 o más es regular; 0.60 o más es mediocre; 0.50 o más
miserable y debajo de 0.50 inaceptable.
El supuesto básico en el análisis factorial es que existe una estructura
subyacente en el conjunto de variables seleccionadas.
Paso 4. Identificando factores y evaluando el ajuste del modelo
Una vez que se especifican las variables y se prepara la matriz de correlación,
se toman decisiones en relación a (1) el método de extracción de los factores
(análisis de factores comunes versus análisis de componentes) y (2) el número
de factores seleccionados para representar la estructura subyacente en los
datos.
Análisis de componentes
El análisis de componentes se usa cuando el objetivo es resumir la mayor parte
de la información original (varianza) en un mínimo número de factores para
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
propósitos de predicción. Considera la varianza total y determina factores que
contienen pequeñas proporciones de varianza única y, en algunos casos,
varianza del error.
Análisis factorial
En contraste el análisis de factores comunes se utiliza para identificar los
factores subyacentes o dimensiones que reflejan aquello que las variables
comparten en común.
En este método se tienen tres tipos de varianzas: (1) común, (2) específica
(única), y (3) error. La varianza común se define como la varianza en una
variable que es compartida por todas las demás variables. La varianza
específica es la varianza asociada solo con una variable específica. La
varianza del error es la varianza debida a la incertidumbre en el proceso de
recolección de datos, errores de medición, o componente aleatorio en el
fenómeno medido.
Criterios para el número de factores a extraer
El método primero extrae la combinación de variables explicando la mayor
cantidad de varianza y después continua con combinaciones que representan
menos y menos cantidades de varianza.
La selección de factores a extraer equivale a enfocar un microscopio
normalmente se hace por prueba y error contrastando los resultados.
Criterio de Raíz Latente: su racional es que cualquier factor individual debe
contener la varianza de al menos una variable. Como cada variable contribuye
con 1 al eigenvalor total o raíz latente. Se seleccionan solo los factores con
eigenvalores mayores a uno, cuando se tienen menos de 20 variables, los
factores extraídos son pocos.
Criterio a Priori: en este método el investigador ya tiene una idea clara de los
factores a extraer y así lo indica en la computadora.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Criterio de porcentaje de varianza: Enfoque basado en lograr un porcentaje
acumulado de varianza total extraído por factores sucesivos. Normalmente el
proceso para al acumular 95%.
Criterio Scree Test: Se usa para identificar el número óptimo de factores que
pueden ser extraídos antes de que la cantidad de varianza única empiece a
dominar la estructura de varianza común.
Paso 5. Interpretando los factores
Se obtiene la matriz no rotada para estimar el número de factores a extraer. La
matriz de factores contiene ponderacións de factores para cada variable en
cada factor. El primer factor puede verse como la mejor combinación lineal
incluida en los datos, con cada factor con ponderacións significativos y acumula
la mayor parte de a varianza; el segundo factor es la segunda mejor
combinación lineal de variables, sujeta a que es ortogonal al primer factor, se
basa en la porción residual de la varianza una vez removido el primero, así
sucesivamente.
Los ponderacións de los factores representan la correlación de cada una de las
variables y el factor, entre mayores sean, mayor será la representatividad del
factor por la variable.
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Eigenvalor
1
Número de factores
8
MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
La rotación de los factores más simple es una rotación ortogonal, en la cual
se mantienen los ejes a 90 grados. Se pueden rotar los ejes sin mantener los
90 grados entre los ejes de referencia. Cuando no hay restricción de
ortogonalidad, el procedimiento de rotación se denomina rotación oblicua.
Fig. 1 Rotación ortogonal de factores (observar la ponderación o ponderación de factores I y
II en la variable V2, es más clara cuando se rotan los factores)
En la figura se observan dos conglomerados de variables (V1 y V2) y (V3, V4 y
V5), sin embargo con los factores sin rotar no es muy obvia su ponderación o
ponderación de los factores I y II. Después de la rotación de los ejes de
factores, las variables 3, 4 y 5 tienen una ponderación o ponderación fuerte de
factor I, y las variables 1 y2 tienen una ponderación o ponderación fuerte en el
factor II. Siendo más obvia la distinción entre conglomerados en dos grupos.
Métodos de rotación ortogonal
En la práctica el objetivo de todos los métodos de rotación es simplificar las
filas y columnas de la matriz de factores para facilitar la interpretación. En una
matriz de factores las columnas representan factores, con cada renglón
correspondiente a la ponderación de las variables a través de los factores. Al
simplificar los renglones, se hacen tantos valores en cada fila tan cercanos a
cero como sea posible (i.e. maximizando la ponderación de una variable con un
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+1 Factor II sin rotar
+1 Factor I sin rotar
-1
-1
V1
V2
V5
V3
V4
+1 Factor I rotado
+1 Factor II rotado
MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
factor único). Simplificando las columnas, se hacen tantos valores en las
columnas tan cercanos a cero como sea posible (i.e. hacer el máximo número
de ponderacións “altas” como sea posible). Se han desarrollado tres métodos
para lo anterior como sigue:
Quartimax: para simplificar las filas de la matriz; o sea, que Quartimax se
enfoca a rotar los factores iniciales de manera que las variables tengan la
mayor ponderación posible de un factor y la mínima de los otros. Aunque este
método no ha sido eficiente.
Varimax: se centra en simplificar las columnas de la matriz factorial. La
máxima simplificación posible se logra cuando solo hay 1’s y 0’s en la columna.
Es decir que VARIMAX maximiza la suma de variancias de ponderacións
requeridas de la matriz factorial. Este método ha probado ser un método
analítico efectivo para obtener una rotación ortogonal de factores.
Equimax:
Es un compromiso entre las anteriores. Trata de simplificar los renglones y las
columnas, no se utiliza frecuentemente.
Métodos de rotación oblicua:
Estos métodos son similares a las rotaciones ortogonales excepto que permiten
factores correlacionados en vez de mantener la independencia de los factores
rotados.
En general no hay reglas para seleccionar uno de los métodos anteriores.
Criterios para la significancia de ponderación de factores en las variables
De manera práctica si las ponderacións son de 0.30 se considera que
cumplen el nivel mínimo; ponderacións de 0.40 son importantes; 0.50 o
mayores son significativas en la práctica. Como la ponderación del factor es la
correlación de la variable y el factor, la ponderación al cuadrado es la cantidad
representada de la varianza total por el factor. De esta forma con 0.3 se tiene
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
un 10% de explicación y un 0.5 de ponderación denota que un 25% de la
varianza es representada por el factor.
Evaluando la significancia estadística
Con base en un nivel de significancia de 0.05, un nivel de potencia del 80% y
errores estándar asumidos se el doble de los coeficientes de correlación
convencionales, se tiene la tabla siguiente:
Ponderación
del factor
Tamaño de
muestra requerida
para tener
significancia
0.30 350
0.35 300
0.40 250
0.45 200
0.50 150
0.55 100
0.60 85
0.65 70
0.70 60
Resumiendo las guías para la significancia de los factores son:
(1) entre mayor sea el tamaño de muestra, el valor de ponderación
significativo se reduce.
(2) Entre más variables sean consideradas en el análisis, más pequeña es
la ponderación que se considera significativa.
(3) Entre más factores haya, mayor es la ponderación en los factores
adicionales para que sea considerada significativa.
Cada columna de números en la matriz representa un factor por separado. Las
columnas de números representan las ponderacións para cada una de las
variables. Identificar la más alta ponderación para cada variable. Recordar que
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
para tamaños de muestra similares a 100 se considera significante 0.3. La
comunalidad para cada variable representa la cantidad de varianza
considerada por la solución factorial para cada variable. Evaluar la comunalidad
de las variables, es decir identificar las que tengan más del 50%, ya que las
que tengan menos no tienen suficiente explicación. El nombre de los factores
se desarrolla de manera intuitiva, con base en las variables con una mayor
ponderación se consideran más importantes y tienen una mayor influencia para
el nombre seleccionado para representar al factor.
Validación del análisis factorial
Se trata de evaluar el grado de generalización de los resultados en la población
y la influencia potencial de casos individuales en los resultados totales.
El alfa de Cronbach es una medida del coeficiente de confiabilidad que evalua
la consistencia de toda la escala. Este índice es la relación positiva del número
de ítems en la escala, donde 0.7 se considera adecuado.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Ejemplo con datos de HATCO
Prueba de la adecuación del modelo, utilizando Minitab:
1. Stat > Basic statistics > Correlation
2. Variables X1, X2, X3, X4, X6, X7
3. Display p values
4. OK
Correlations: X1, X2, X3, X4, X6, X7
X1 X2 X3 X4 X6X2 -0.349 0.000
X3 0.476 -0.472 0.000 0.000
X4 0.050 0.272 -0.095 0.618 0.006 0.347
X6 0.077 0.186 -0.015 0.788 0.446 0.064 0.880 0.000
X7 -0.483 0.470 -0.407 0.200 0.177 0.000 0.000 0.000 0.046 0.078
Cell Contents: Pearson correlation P-Value
De la matriz, 7 de 15 correlaciones son significativas estadísticamente. El valor
de MSA de 0.665 cumple con con el criterio para aplicar el análisis factorial.
Análisis factorial con Minitab:
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
1 Cargar los datos de HATCO.
2 Stat > Multivariate > Factor Analysis.
3 En Variables, X1, X2, X3, X4, X6, X7
4 En Number of factors to extract, 2.
5 En Method of Extraction, seleccionar Principal components
6 En Type of Rotation, seleccionar Varimax.
7 Click Graphs y seleccionar Loading plot for first 2 factors y Scree Plot.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
8 Click Results y seleccionar Sort loadings. Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.
Los resultados se muestran a continuación:
Factor Analysis: X1, X2, X3, X4, X6, X7
Principal Component Factor Analysis of the Correlation Matrix
Unrotated Factor Loadings and Communalities
Variable Factor1 Factor2 CommunalityX1 0.618 -0.517 0.649X2 -0.763 0.079 0.588X3 0.695 -0.357 0.610X4 -0.502 -0.793 0.881X6 -0.434 -0.827 0.873X7 -0.761 0.170 0.609
Variance 2.4664 1.7425 4.2089% Var 0.411 0.290 0.701
El primer factor contiene la mayor parte de la varianza y es un factor general
con alta ponderación en cada variable. Las ponderacións para el segundo
factor muestra tres variables que también tiene alta ponderación (X1, X4 y X6).
La interpretación es sumamente difícil y sin significado, por lo que se debe
considerar la rotación de factores como sigue:
Rotated Factor Loadings and CommunalitiesVarimax Rotation
Variable Factor1 Factor2 CommunalityX1 -0.783 0.188 0.649X2 0.718 0.268 0.588X3 -0.781 0.010 0.610X4 0.097 0.934 0.881X6 0.020 0.934 0.873X7 0.758 0.186 0.609
Variance 2.3231 1.8858 4.2089% Var 0.387 0.314 0.701
Las variables X1, X2 y X3 ponderaciónn significativamente al factor 1 y las
variables X4 y X6 ponderaciónn significativamente al factor 2.
Si se considera como punto de corte las ponderacións con 0.55 o más, el
factor 1 tiene cuatro ponderacións significativas y el factor 2 tiene 2. Para el
factor 1, se ven dos grupos de variables. Las primeras son el nivel de precios
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
(X2) y la calidad del producto (X7) ambas con signos positivos y varían como
conjunto. Las otras dos, tiempo de entrega (X1) y flexibilidad de precios (X3)
tienen signos negativos también varían como conjunto.
En el factor 1, ambos grupos varían en sentido contrario, tal vez este factor sea
el valor básico y representa un compromiso entre percepciones de precio o
calidad del producto y percepciones de tiempo de entrega y flexibilidad de
precios.
En el factor 2, la variable X4 (imagen de fabricación) y X6 (imagen de la fuerza
de ventas) tal vez se pueda agrupar en imagen, ambas variables tienen el
mismo signo, actuando en la misma dirección.
La variable X5 (servicio en general) no se incluyó en al análisis.
Se tienen ahora dos factores como combinación lineal de las variables para
efectos de realización de estudios:
Factor Score Coefficients
Variable Factor1 Factor2X1 -0.356 0.154X2 0.297 0.097X3 -0.343 0.058X4 -0.020 0.498X6 -0.054 0.503X7 0.320 0.050
Para verificar la validez del modelo se pueden hacer dos grupos de 50
observaciones y comparar sus matrices rotadas.
Data 1 – 50: Rotated Factor Loadings and CommunalitiesVarimax Rotation
Variable Factor1 Factor2 CommunalityX1_1 -0.827 0.085 0.691X2_1 0.603 0.376 0.506X3_1 -0.686 -0.177 0.502X4_1 0.156 0.919 0.869
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
X6_1 0.136 0.924 0.871X7_1 0.702 0.201 0.533
Variance 2.0548 1.9178 3.9726% Var 0.342 0.320 0.662
Data 51 – 100: Rotated Factor Loadings and CommunalitiesVarimax Rotation
Variable Factor1 Factor2 CommunalityX1_2 0.741 -0.313 0.647X2_2 -0.785 -0.190 0.652X3_2 0.815 -0.154 0.688X4_2 -0.041 -0.949 0.903X6_2 0.052 -0.923 0.854X7_2 -0.824 -0.154 0.703
Variance 2.5127 1.9338 4.4466% Var 0.419 0.322 0.741
Como se ve las dos rotaciones VARIMAX son comparables en términos de
ponderacións y comunalidades para las seis percepciones. Así se puede
asegurar que los resultados son estables dentro de la muestra.
De la gráfica Scree Plot con los Eigenvalores de los factores se tiene:
Factor Number
Eigenvalu
e
654321
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Scree Plot of X1, ..., X7
Sólo dos factores serán mantenidos si se toma como referencia el Eigenvalor
de 1 o tres si se toma como referencia el criterio Scree.
La gráfica de ponderacións por variables se muestra a continuación,
identificando tres grupos de variables:
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First Factor
Seco
nd F
act
or
0.50.0-0.5-1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X7
X6 X4
X3
X2
X1
Loading Plot of X1, ..., X7
En resumen se identifican dos dimensiones Valor básico e Imagen, ahora se
pueden hacer planes alrededor de estas dos dimensiones en lugar de
considerar todas las variables separadas.
Ejemplo con datos del archivo EXH_MVAR
Se registran las siguientes características de 14 regiones censadas: población total (Pop), promedio de escolaridad (School), empleo total (Employ), empleo en servcios de salud (Health), y valor promedio de casa (Home). Se desea investigar que “factores” podrían explicar la mayor parte de la variabilidad. Como primer paso del análisis factorial, se usa el método de extracción de componentes principales y se examina la gráfica de eigenvalores (Scree) para apoyarnos en decidir sobre el número de factores.
Pop School Employ Health5.935 14.2 2.265 2.271.523 13.1 0.597 0.752.599 12.7 1.237 1.114.009 15.2 1.649 0.814.687 14.7 2.312 2.58.044 15.6 3.641 4.512.766 13.3 1.244 1.036.538 17 2.618 2.396.451 12.9 3.147 5.523.314 12.2 1.606 2.183.777 13 2.119 2.831.53 13.8 0.798 0.84
2.768 13.6 1.336 1.756.585 14.9 2.763 1.91
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.
2 Stat > Multivariate > Factor Analysis.
3 En Variables, poner Pop-Home.
4 Click Graphs y seleccionar Scree plot. Click OK in each dialog box.
Los resultados se muestran a continuación:
Factor Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home
Principal Component Factor Analysis of the Correlation Matrix
Unrotated Factor Loadings and Communalities
Variable Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5 CommunalityPop -0.972 -0.149 0.006 0.170 -0.067 1.000School -0.545 -0.715 -0.415 -0.140 0.001 1.000Employ -0.989 -0.005 0.089 0.083 0.085 1.000Health -0.847 0.352 0.344 -0.200 -0.022 1.000Home 0.303 -0.797 0.523 0.005 0.002 1.000
Variance 3.0289 1.2911 0.5725 0.0954 0.0121 5.0000% Var 0.606 0.258 0.114 0.019 0.002 1.000
Factor Score Coefficients
Variable Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5Pop -0.321 -0.116 0.011 1.782 -5.511School -0.180 -0.553 -0.726 -1.466 0.060Employ -0.327 -0.004 0.155 0.868 6.988Health -0.280 0.272 0.601 -2.098 -1.829Home 0.100 -0.617 0.914 0.049 0.129
Factor Number
Eigenvalu
e
54321
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
Scree Plot of Pop, ..., Home
Interpretación de resultados
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Cinco factores describen estos datos perfectamente, pero la meta es reducir el
número de factores requeridos para explicar la variabilidad de los datos. La
proporción de la variabilidad explicada por los dos últimos factores es mínima
(0.019 y 0.002 respectivamente) y pueden ser eliminadas sin afectar al
resultado. Los primeros dos factores juntos representan 86% de la variabilidad
mientras que tres factores representan 98% de la variabilidad. La cuestión es si
usar dos o tres factores, se requieren otras corridas para decidir si usar dos o
tres factores.
Se seleccionan dos factores como el número que representa los datos del
censo en base al análisis de componentes principales. Se realiza una
extracción de máxima verisimilitud y rotación varimax para interpretar los
factores.
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
1 Abrir la worksheet EXH_MVAR.MTW.
2 Stat > Multivariate > Factor Analysis.
3 En Variables, Pop-Home.
4 En Number of factors to extract, 2.
5 En Method of Extraction, seleccionar Maximum likelihood.
6 En Type of Rotation, seleccionar Varimax.
7 Click Graphs y seleccionar Loading plot for first 2 factors.
8 Click Results y seleccionar Sort loadings. Click OK en cada uno de los
cuadros de diálogo.
Los resultados se muestran a continuación:
Factor Analysis: Pop, School, Employ, Health, Home
Maximum Likelihood Factor Analysis of the Correlation Matrix
* NOTE * Heywood case
Unrotated Factor Loadings and Communalities
Variable Factor1 Factor2 CommunalityPop 0.971 0.160 0.968School 0.494 0.833 0.938
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Employ 1.000 0.000 1.000Health 0.848 -0.395 0.875Home -0.249 0.375 0.202
Variance 2.9678 1.0159 3.9837% Var 0.594 0.203 0.797
Rotated Factor Loadings and CommunalitiesVarimax Rotation
Variable Factor1 Factor2 CommunalityPop 0.718 0.673 0.968School -0.052 0.967 0.938Employ 0.831 0.556 1.000Health 0.924 0.143 0.875Home -0.415 0.173 0.202
Variance 2.2354 1.7483 3.9837% Var 0.447 0.350 0.797
Sorted Rotated Factor Loadings and Communalities
Variable Factor1 Factor2 CommunalityHealth 0.924 0.143 0.875Employ 0.831 0.556 1.000Pop 0.718 0.673 0.968Home -0.415 0.173 0.202School -0.052 0.967 0.938
Variance 2.2354 1.7483 3.9837% Var 0.447 0.350 0.797
Factor Score Coefficients
Variable Factor1 Factor2Pop -0.165 0.246School -0.528 0.789Employ 1.150 0.080Health 0.116 -0.173Home -0.018 0.027
First Factor
Seco
nd F
act
or
1.000.750.500.250.00-0.25-0.50
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
HomeHealth
Employ
School
Pop
Loading Plot of Pop, ..., Home
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Estos resultados indican un caso Heywood (las varianzas menores al límite de
convergencia especificado se ponen a cero y sus comunalidades a 1).
Se tienen tres tablas de ponderaciones y comunalidades: no rotadas, rotadas,
ordenadas y rotadas. Los factores no rotados explican el 79.7 de la variabilidad
de los datos y los valores de comunalidad indican que todas las variables sin
Home están bien representadas por esos dos factores (comunalidad son 0.202
para Home, 0.875 – 1.0 para otras variables). El porcentaje de la variabilidad
total representada por los factores no cambia con la rotación, sino después de
rotar, pero después de rotar, estos factores son mas claramente balanceados
en el porcentaje de variabilidad que ellos representan, siendo 44.7% y 35%,
respectivamente.
El ordenamiento es realizado por la ponderación máxima absoluta para
cualquier factor. Las variables que tienen la mayor ponderación absoluta en el
factor 1 se muestran primero en orden. Después las variables con la
ponderación mayor en el factor 2 y así sucesivamente. El factor 1 tiene su
ponderación mayor positiva en Health (0.924), Employ (0.831) y Pop (0.718), y
-0.415 en Home, mientras que la ponderación en School es baja. El factor 2
tiene una ponderación positiva en School de 0.967 y ponderación de 0.556 y
0.673 en Employ y Pop respectivamente, y una ponderación pequeña en
Health y Home.
Se pueden ver las ponderaciones rotadas gráficamente en la gráfica de
ponderaciones (load graph). Ahí se muestra para factor 1 con ponderaciones
altas en Pop, Emply, y Health y ponderación negativa en Home. School tiene
una ponderación alta positiva para el factor 2 y algo menor para Pop y Employ.
De los resultados se puede pensar en que el factor 1 sea un factor relacionado
con “Cuidado de la salud – tamaño de la población”. El factor 2 puede ser
considerado como un factor relacionado con “educación – tamaño de la
población”.
En forma adicional Minitab muestra una tabla de coeficientes del factor.
Muestran como se calculan los factores. Minitab calcula los valores
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
multiplicando los coeficientes y los datos después de corregirlos centrándolos
al restarle sus medias.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
Es una técnica estadítica que se puede usar para analizar la relación entre una
variable dependiente simple (respuesta, criterio) y varias variables
independientes cuyos valores son conocidos para predecir la variable
dependiente. Los pesos denotan la contribución relativa de las variables
independientes a la predicción general y facilitar la interpretación de la
influencia de cada variable en la predicción, lo que se complica si hay
correlación de las variables independientes.
El conjunto de variables independientes con sus pesos forma el Variate de
regresión, ecuación de regresión o modelo de regresión, que es una
combinación lineal de las variables independientes que mejor predicen la
variable dependiente.
Los supuestos de un análisis de regresión múltiple son los siguientes:
Linealidad del fenómeno medido
Varianza constante de los términos de error
Independencia de los términos de error
Normalidad de la distribución de los términos de error.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Ejemplo:
Familia Tarjetas Tamano Ingreso
1 4 2 14
2 6 2 16
3 6 4 14
4 7 4 17
5 8 5 18
6 7 5 21
7 8 6 17
8 10 6 25
Total
Las instrucciones de Minitab para correr el ejemplo son:
1 Cargar datos en Minitab.
2 Stat > Regression > Regression.
3 En Response, seleccionar Tarjetas.
4 En Predictors, seleccionar Tamano e Ingreso.
5 Click Graphs.
6 En Residuals for Plots, seleccionar Standardized.
7 En Residual Plots, seleccionar Individual Plots. Seleccionar Histogram of residuals, Normal plot of residuals, y Residuals versus fits. Click OK.
8 Click Options. en Display, seleccionar PRESS y predicted R-square. Click OK en cada uno de los cuadros de diálogo.
Los resultados se muestran a continuación:
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Standardized Residual
Perc
ent
3210-1-2-3
99
95
90
80
70
605040
30
20
10
5
1
Normal Probability Plot of the Residuals(response is Tarjetas)
Regression Analysis: Tarjetas versus Tamano, Ingreso
The regression equation isTarjetas = 0.48 + 0.632 Tamano + 0.216 Ingreso
Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.482 1.461 0.33 0.755Tamano 0.6322 0.2523 2.51 0.054Ingreso 0.2158 0.1080 2.00 0.102
S = 0.780990 R-Sq = 86.1% R-Sq(adj) = 80.6%
PRESS = 8.02177 R-Sq(pred) = 63.54%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 2 18.9503 9.4751 15.53 0.007Residual Error 5 3.0497 0.6099Total 7 22.0000
Source DF Seq SSTamano 1 16.5143Ingreso 1 2.4360
Interpretación de resultados
Salida de sesión
El valor P en la tabla de ANOVA (0.000) muestra que el modelo estmado
por el procedimiento de regresión es significativo a un alfa de 0.05,
indicando que al menos un coeficiente es diferente de cero.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Los valores P de los coeficientes estimados para tamano es de 0.054
indicando que es significativo a un nivel alfa de 0.054. Sugiriendo que el
modelo de regresión simple es adecuado.
El valor de R cuadrado indica que los predoctores explican el 87.4% de
la varianza en Tarjetas. La R cuadrada ajustada es 85.9%, que
representa la contribución del número de predictores en el modelo.
Ambos valores indican que el ajuste es adecuado.
El valor pronosticdo R cuadrado es 78.96%, dado que es parecido a R
cuadrado y r cuadrado ajustado, el modelo no parece estar
sobreajustado y tiene una buena habilidad de predicción
Las observaciones 4 y 22 se identifican como no usuales dado que el
valor estandarizado de los residuos es mayor a 2. Indicando puntos
aberantes o outliers.
Salida gráfica
El histograma de los residuos muestra un patrón consistente con la
distribución normal. El histograma es más efectivo para grupos de más
de 50 observaciones. La gráfica de probabilidad normal es más fácil de
interpretar con pequeñas muestras.
En la gráfica normal también sobresalen los outliers 4 y 22.
La gráfica de residuos contra valores de predicción muestra que los
residuos son más pequeños conforme conforme los valores ajustados se
incrementan, indicando que no tienen varianza constante.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Ejemplo con datos de Hatco
Hacer un estudio de correlación entre las variables independientes:
1 Cargar datos en Minitab.
2 Stat > Basic statistics > Correlation
3 Variables X1 – X7 X9 indicar Show P value
4 OK
Los resultados son los siguientes:
Correlations: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X9
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7X2 -0.349 0.000
X3 0.476 -0.472 0.000 0.000
X4 0.050 0.272 -0.095 0.618 0.006 0.347
X5 0.612 0.513 0.064 0.299 0.000 0.000 0.524 0.003
X6 0.077 0.186 -0.015 0.788 0.241 0.446 0.064 0.880 0.000 0.016
X7 -0.483 0.470 -0.407 0.200 -0.055 0.177 0.000 0.000 0.000 0.046 0.586 0.078
X9 0.676 0.083 0.556 0.225 0.701 0.257 -0.192 0.000 0.412 0.000 0.024 0.000 0.010 0.055
Cell Contents: Pearson correlation P-Value
La variable X5 (servicio en general) está más correlacionado con la respuesta
X9 con r = 0.701. X1 también está correlacionada con la respuesta sin embargo
tiene correlación con X5 por lo que el uso de ambas es cuestionable.
Las instrucciones de Minitab para correr el ejemplo son:
1 Cargar datos en Minitab.
2 Stat > Regression > Regression.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
3 En Response, seleccionar X9 (utilización del producto).
4 En Predictors, seleccionar X1 – X7.
5 Click Graphs.
6 En Residuals for Plots, seleccionar Standardized.
7 En Residual Plots, seleccionar Individual Plots. Seleccionar Histogram of residuals, Normal plot of residuals, y Residuals versus fits. Click OK.
Regression Analysis: X9 versus X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7
The regression equation isX9 = - 9.25 + 1.96 X1 + 1.28 X2 + 3.27 X3 - 0.004 X4 + 4.60 X5 + 1.23 X6 + 0.426 X7
Predictor Coef SE Coef T PConstant -9.255 4.949 -1.87 0.065X1 1.956 2.045 0.96 0.341X2 1.280 2.155 0.59 0.554X3 3.2702 0.4059 8.06 0.000X4 -0.0039 0.6714 -0.01 0.995X5 4.600 4.012 1.15 0.255X6 1.2305 0.9537 1.29 0.200X7 0.4261 0.3557 1.20 0.234
S = 4.45075 R-Sq = 77.2% R-Sq(adj) = 75.5%
PRESS = 2144.13 R-Sq(pred) = 73.20%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 7 6177.81 882.54 44.55 0.000Residual Error 92 1822.44 19.81Total 99 8000.26
Source DF Seq SSX1 1 3659.76X2 1 927.88X3 1 1424.10X4 1 80.48X5 1 18.20X6 1 38.97X7 1 28.43
Unusual Observations
Obs X1 X9 Fit SE Fit Residual St Resid 7 4.60 46.000 58.734 1.379 -12.734 -3.01R 11 2.40 32.000 41.365 1.014 -9.365 -2.16R 14 3.70 38.000 47.833 1.098 -9.833 -2.28R 22 3.40 35.000 34.870 2.711 0.130 0.04 X 55 3.80 39.000 33.433 2.712 5.567 1.58 X100 2.50 33.000 43.721 1.049 -10.721 -2.48R
R denotes an observation with a large standardized residual.X denotes an observation whose X value gives it large influence.
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MÉTODOS ESTADÍSTICOS MULTIVARIADOS P. REYES / OCT. 2006
Normplot of Residuals for X9
Standardized Residual
Perc
ent
3210-1-2-3
99.9
99
95
90
80706050403020
10
5
1
0.1
Normal Probability Plot of the Residuals(response is X9)
Fitted Value
Sta
ndard
ized R
esi
dual
6050403020
2
1
0
-1
-2
-3
Residuals Versus the Fitted Values(response is X9)
Pág. 77
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