algunos teoremas, principios y conceptos: aplicaciones

Algunos Teoremas, Principios y Conceptos:Aplicaciones

Prof. A. Zozaya, Dr.

1Laboratorio de Electromagnetismo Aplicado (LABEMA)Departamento de Electrónica y Comunicaciones

Universidad de Carabobo

Valencia, mayo/2009

a.z. @ ‘abema (LaBeMa) T., p. y c.: aplicaciones Valencia, mayo/2009 1 / 22

Contenido

Aplicaciones del Principio de EquivalenciaAntenas de aperturaApertura en un plano conductor infinitoAntenas linealesProblemas de dispersión

Aplicaciones del Principio de Equivalencia Antenas de apertura

Principio de EquivalenciaAntenas de apertura

. Dada una antena deapertura: ciertas fuentes im-presas J i yM i , confinadas enel interior de cierta región,producen un campo E y Hque es irradiado al exteriora través de una apertura enel conductor que envuelve laregión.

. La apertura irradia en un medio simple (", —), de extensión infinita.

. SC : superficie exterior del conductor.

. Sa: superficie de la apertura a ras de SC .Se puede definir un problema equivalente que permita, eventualmente,resolver los campos E y H en el exterior de la antena a partir de losvalores de los campos E(Sa) y H(Sa) en la aperturaa.

aEsto presupone que tales campos en la apertura se conocen conexactitud. Como ello, en general, no es cierto, la solución debeconsiderarse aproximada

. Dada una antena deapertura: ciertas fuentes im-presas J i yM i , confinadas enel interior de cierta región,producen un campo E y Hque es irradiado al exteriora través de una apertura enel conductor que envuelve laregión.

. La apertura irradia en un medio simple (", —), de extensión infinita.

. SC : superficie exterior del conductor.

. Sa: superficie de la apertura a ras de SC .Se puede definir un problema equivalente que permita, eventualmente,resolver los campos E y H en el exterior de la antena a partir de losvalores de los campos E(Sa) y H(Sa) en la aperturaa.

aEsto presupone que tales campos en la apertura se conocen conexactitud. Como ello, en general, no es cierto, la solución debeconsiderarse aproximada

. SH = SC +Sa es una super-ficie imaginaria, denominadasuperficie de Huygens.. SH encierra la antena deapertura y está separada deésta una distancia infinites-imal.. Sobre SH serán definidaslas fuentes equivalentesJeqs y Meq

. Las fuentes equivalentes sobre SH se definen con base en los valores delas componentes tangenciales de los campos en ella.. Se comprueba que an ˆ E(SC ) = 0 y por tanto Meq

s (SC ) = 0.. Se sustrae todo del interior de SH, llenando lo, por ahora, con el mismomaterial del medio (", —) y se impone un campo nulo.. Las fuentes equivalentes quedan suspendidas en el medio (", —), dis-tribuidas sobre SH en estricta relación con las componentes tangencialesde los campos.. Jeqs y Meq

s irradian los campos E y H fuera de SH y uno nulo dentro.

s .. Las fuentes equivalentes sobre SH se definen con base en los valores delas componentes tangenciales de los campos en ella.. Se comprueba que an ˆ E(SC ) = 0 y por tanto Meq

s (SC ) = 0.

. Se sustrae todo del interior de SH, llenando lo, por ahora, con el mismomaterial del medio (", —) y se impone un campo nulo.. Las fuentes equivalentes quedan suspendidas en el medio (", —), dis-tribuidas sobre SH en estricta relación con las componentes tangencialesde los campos.. Jeqs y Meq

s .. Las fuentes equivalentes sobre SH se definen con base en los valores delas componentes tangenciales de los campos en ella.. Se comprueba que an ˆ E(SC ) = 0 y por tanto Meq

s (SC ) = 0.. Se sustrae todo del interior de SH, llenando lo, por ahora, con el mismomaterial del medio (", —) y se impone un campo nulo.. Las fuentes equivalentes quedan suspendidas en el medio (", —), dis-tribuidas sobre SH en estricta relación con las componentes tangencialesde los campos.. Jeqs y Meq

. Dentro de SH podemos in-troducir ahora un PEC .

. La presencia del PEC noinfringe la premisa de camponulo dentro de SH.. Pero, el PEC «cortocircui-ta» las corrientes eléctricasequivalentes Jeqs .

. Solo «Sobrevive» la corriente magnética Meqs sobre la superficie Sa de

la apertura.. Meq

s irradia en el medio (", —) en presencia de un PEC que tiene laforma geométrica de la antena de apertura (volumen interior de SH).. Este problema (equivalente) resultante conserva, prácticamente, la mis-ma dificultad del original (¿Por qué?).. Para geometrías sencillas de la antena –SH–, es posible, aun, reducirel problema equivalente a otro realmente simple usando la Teoría deImágenes.

. Dentro de SH podemos in-troducir ahora un PEC .. La presencia del PEC noinfringe la premisa de camponulo dentro de SH.

. Pero, el PEC «cortocircui-ta» las corrientes eléctricasequivalentes Jeqs .

la apertura.. Meq

. Dentro de SH podemos in-troducir ahora un PEC .. La presencia del PEC noinfringe la premisa de camponulo dentro de SH.. Pero, el PEC «cortocircui-ta» las corrientes eléctricasequivalentes Jeqs .

la apertura.. Meq

. Dentro de SH podemos in-troducir ahora un PEC .. La presencia del PEC noinfringe la premisa de camponulo dentro de SH.. Pero, el PEC «cortocircui-ta» las corrientes eléctricasequivalentes Jeqs .

la apertura.. Meq

. Formalmente podemosdefinir una corriente magnéti-ca imagen M im que se dis-tribuye de alguna manera enel interior de SH.

. El PEC puede ahora serreemplazado por M im.. Y M im y Meq

s irradian enel medio (", —) en ausenciade obstáculos.

. Los campos E y H puede ser resueltos, ahora, mediante la integraciónde las fuentes M im y Meq

E = `1"rˆ F H = `|!

»1»2rr ´ F + F

–donde F = "

RVHM im e`|»R

R d� 0 + "

RSaMeqs

e`|»R

R ds 0

. Formalmente podemosdefinir una corriente magnéti-ca imagen M im que se dis-tribuye de alguna manera enel interior de SH.. El PEC puede ahora serreemplazado por M im.

. Y M im y Meqs irradian en

el medio (", —) en ausenciade obstáculos.

E = `1"rˆ F H = `|!

»1»2rr ´ F + F

–donde F = "

RVHM im e`|»R

R d� 0 + "

RSaMeqs

e`|»R

R ds 0

. Formalmente podemosdefinir una corriente magnéti-ca imagen M im que se dis-tribuye de alguna manera enel interior de SH.. El PEC puede ahora serreemplazado por M im.. Y M im y Meq

E = `1"rˆ F H = `|!

»1»2rr ´ F + F

–donde F = "

RVHM im e`|»R

R d� 0 + "

RSaMeqs

e`|»R

R ds 0

. Formalmente podemosdefinir una corriente magnéti-ca imagen M im que se dis-tribuye de alguna manera enel interior de SH.. El PEC puede ahora serreemplazado por M im.. Y M im y Meq

E = `1"rˆ F H = `|!

»1»2rr ´ F + F

–donde F = "

RVHM im e`|»R

R d� 0 + "

RSaMeqs

e`|»R

R ds 0

. En la zona lejana, los campos E y H serán campos de radiación y seles puede calcular como:

E =|»

"ar ˆ Fz‘ H = `|!(Fz‘ ` Fz‘rar )

donde Fz‘ = "

4ıe`|»r

r (L1 + L2) con

M ime`|»ar ´r d� 0

Meqs e`|»ar ´r ds 0

Aplicaciones del Principio de Equivalencia Apertura en un plano conductor infinito

Principio de EquivalenciaApertura sobre un plano conductor

. Para una apertura sobre unPEC plano infinito, la M im

se puede resolver con facili-dad.

. En efecto: M im = Meqs .

. El potencial vectorial F enla zona lejana de la aperturaasume la clásica forma:

Fz‘ ="

4ıe`|»r

[`2an ˆ E(sa)]e`|»ar ´r ds 0

se puede resolver con facili-dad.. En efecto: M im = Meq

. El potencial vectorial F enla zona lejana de la aperturaasume la clásica forma:

Fz‘ ="

4ıe`|»r

se puede resolver con facili-dad.. En efecto: M im = Meq

s .. El potencial vectorial F enla zona lejana de la aperturaasume la clásica forma:

Fz‘ ="

4ıe`|»r

Aplicaciones del Principio de Equivalencia Antenas lineales

Principio de EquivalenciaAntenas lineales

. Para determinar los campos de radiaciónde las antenas lineales, los cuales consisten,predominantemente, de los campos de dis-persión de los conductores, se integran lascorrientes eléctricas inducidas sobre los con-ductores, como si fueran fuentes primarias.

. Se hace uso implícito del Principio deEquivalencia.

. El problema: ciertas fuentes impresas J i irradian en presencia de losalambres conductores que forman la antena lineal engendrando los camposE y H.. Solución formal: la de la ecuación diferencial no homogénea + valoresen la frontera conductor/espacio libre y en el infinito.

(r2 + »2)E = |!—

„1»2r0r0 ´ J i + J i

. Para determinar los campos de radiaciónde las antenas lineales, los cuales consisten,predominantemente, de los campos de dis-persión de los conductores, se integran lascorrientes eléctricas inducidas sobre los con-ductores, como si fueran fuentes primarias.. Se hace uso implícito del Principio deEquivalencia.

(r2 + »2)E = |!—

„1»2r0r0 ´ J i + J i

. El problema: ciertas fuentes impresas J i irradian en presencia de losalambres conductores que forman la antena lineal engendrando los camposE y H.

. Solución formal: la de la ecuación diferencial no homogénea + valoresen la frontera conductor/espacio libre y en el infinito.

(r2 + »2)E = |!—

„1»2r0r0 ´ J i + J i

(r2 + »2)E = |!—

„1»2r0r0 ´ J i + J i

. Una solución «cerrada» de estaecuación diferencial solo es posible para unascuantas geometrías simples (la mayoría sinningún interés práctico) de los conductores.

. Con todo, siendo el espacio libre un mediosimple, la solución se puede obtener aplican-do superposición.. El problema original se escinde en dosproblemas.

. Problema 1: se eliminan los alambres conductores y se retienen lasfuentes impresas J i , las cuales irradian los campos E i y H i en el espaciolibre.. Problema 2: se eliminan las fuentes impresas y se retienen los dis-persores, pero conservando los valores de an ˆ E = 0 y an ˆ H sobre lasuperficie de los alambres (condiciones de frontera en la superficie de laantenaa). Los dispersores producen los campos E s y Hs en el espacio libre.

aEn el infinito los campos son nulos

. Una solución «cerrada» de estaecuación diferencial solo es posible para unascuantas geometrías simples (la mayoría sinningún interés práctico) de los conductores.. Con todo, siendo el espacio libre un mediosimple, la solución se puede obtener aplican-do superposición.

. El problema original se escinde en dosproblemas.

. Una solución «cerrada» de estaecuación diferencial solo es posible para unascuantas geometrías simples (la mayoría sinningún interés práctico) de los conductores.. Con todo, siendo el espacio libre un mediosimple, la solución se puede obtener aplican-do superposición.. El problema original se escinde en dosproblemas.

. Problema 1: se eliminan los alambres conductores y se retienen lasfuentes impresas J i , las cuales irradian los campos E i y H i en el espaciolibre.

. Problema 2: se eliminan las fuentes impresas y se retienen los dis-persores, pero conservando los valores de an ˆ E = 0 y an ˆ H sobre lasuperficie de los alambres (condiciones de frontera en la superficie de laantenaa). Los dispersores producen los campos E s y Hs en el espacio libre.

. La solución del Problema 1 es el cam-po impreso E i (H i) y constituye la solu-ción particular de la ecuación diferencial delproblema original.

. El campo eléctrico impreso se obtiene co-mo:

E i = `|!„

1»2rr ´ Ai + Ai

«donde Ai = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0.

. La solución del Problema 2 es el campo disperso E s (Hs) y es lasolución homogénea de la ecuación diferencial del problema original (+condiciones de borde):

(r2 + »2)E s = 0

. La solución del Problema 1 es el cam-po impreso E i (H i) y constituye la solu-ción particular de la ecuación diferencial delproblema original.. El campo eléctrico impreso se obtiene co-mo:

E i = `|!„

1»2rr ´ Ai + Ai

«donde Ai = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0.

(r2 + »2)E s = 0

. La solución del Problema 1 es el cam-po impreso E i (H i) y constituye la solu-ción particular de la ecuación diferencial delproblema original.. El campo eléctrico impreso se obtiene co-mo:

E i = `|!„

1»2rr ´ Ai + Ai

«donde Ai = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0.

(r2 + »2)E s = 0

. Para obtener el campo disperso se em-pleará el principio de equivalencia:

. Se define una superficie de Huygens SHalrededor de los alambres.. Suspendemos sobre ella la corrienteequivalente Jeqs = an ˆ H(SC ).. Substraemos los alambres conductores,definimos un campo `E i y `H i dentro deSH y llenamos con espacio libre.. El campo eléctrico disperso se obtiene co-mo:

E s = `|!„

1»2rr ´ As + As

«. Se integran las Jeqs como fuentes primarias de As :

As = —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. Para obtener el campo disperso se em-pleará el principio de equivalencia:. Se define una superficie de Huygens SHalrededor de los alambres.

. Suspendemos sobre ella la corrienteequivalente Jeqs = an ˆ H(SC ).. Substraemos los alambres conductores,definimos un campo `E i y `H i dentro deSH y llenamos con espacio libre.. El campo eléctrico disperso se obtiene co-mo:

E s = `|!„

1»2rr ´ As + As

As = —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. Para obtener el campo disperso se em-pleará el principio de equivalencia:. Se define una superficie de Huygens SHalrededor de los alambres.. Suspendemos sobre ella la corrienteequivalente Jeqs = an ˆ H(SC ).

. Substraemos los alambres conductores,definimos un campo `E i y `H i dentro deSH y llenamos con espacio libre.. El campo eléctrico disperso se obtiene co-mo:

E s = `|!„

1»2rr ´ As + As

As = —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. Para obtener el campo disperso se em-pleará el principio de equivalencia:. Se define una superficie de Huygens SHalrededor de los alambres.. Suspendemos sobre ella la corrienteequivalente Jeqs = an ˆ H(SC ).. Substraemos los alambres conductores,definimos un campo `E i y `H i dentro deSH y llenamos con espacio libre.

. El campo eléctrico disperso se obtiene co-mo:

E s = `|!„

1»2rr ´ As + As

As = —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. Para obtener el campo disperso se em-pleará el principio de equivalencia:. Se define una superficie de Huygens SHalrededor de los alambres.. Suspendemos sobre ella la corrienteequivalente Jeqs = an ˆ H(SC ).. Substraemos los alambres conductores,definimos un campo `E i y `H i dentro deSH y llenamos con espacio libre.. El campo eléctrico disperso se obtiene co-mo:

E s = `|!„

1»2rr ´ As + As

. Se integran las Jeqs como fuentes primarias de As :

As = —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. Para obtener el campo disperso se em-pleará el principio de equivalencia:. Se define una superficie de Huygens SHalrededor de los alambres.. Suspendemos sobre ella la corrienteequivalente Jeqs = an ˆ H(SC ).. Substraemos los alambres conductores,definimos un campo `E i y `H i dentro deSH y llenamos con espacio libre.. El campo eléctrico disperso se obtiene co-mo:

E s = `|!„

1»2rr ´ As + As

As = —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. Finalmente, el campo radia-do por la antena, vendrá dado porE = `|!

` 1»2rr ´ A + A

´, donde

A = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0 + —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

. En general, los campos de radiación de lasfuentes impresas, por su carácter cuasiesta-cionario, son muy débiles.

. Éstos se pueden despreciar frente a los campos de radiación de lasfuentes equivalentes. En la zona lejana E ı E s y:

E ı `|!(Asz‘ ` Asz‘rar )

donde Asz‘ =—

4ıe`|»r

RSCJeqs e|»ar ´r 0 ds 0

. Usualmente Jeqs constituye la corriente filamentaria en la antena queno se conoce a priori porque depende de los campos no conocidos E y H.

` 1»2rr ´ A + A

´, donde

A = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0 + —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

donde Asz‘ =—

4ıe`|»r

` 1»2rr ´ A + A

´, donde

A = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0 + —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

donde Asz‘ =—

4ıe`|»r

` 1»2rr ´ A + A

´, donde

A = —

RV 0 J

i e`|»RR d� 0 + —

RS0CJeqs e`|»R

R ds 0

donde Asz‘ =—

4ıe`|»r

Aplicaciones del Principio de Equivalencia Problemas de dispersión

Problemas de dispersiónEquivalencia inductiva vs. Equivalencia física

. Cierto objeto metálico es «ilu-minado» por un campo incidente«impreso»: E i , H i .

. Sobre la superficie exterior delobjeto se inducen corrientes deconducción que dan lugar a uncampo disperso: E s , Hs .

. Se establece finalmente un campo resultante: E = E i+E s , H = H i+Hs .

. Asumiendo que el campo incidente se conoce, se desea estimar el campodisperso.. El Principio de Equivalencia física y el Teorema de la Inducción puedenser utilizados para calcular los campos de dispersión de manera aproxima-da.. Procederemos a ilustrar como.

. Cierto objeto metálico es «ilu-minado» por un campo incidente«impreso»: E i , H i .. Sobre la superficie exterior delobjeto se inducen corrientes deconducción que dan lugar a uncampo disperso: E s , Hs .

. Asumiendo que el campo incidente se conoce, se desea estimar el campodisperso.

. El Principio de Equivalencia física y el Teorema de la Inducción puedenser utilizados para calcular los campos de dispersión de manera aproxima-da.. Procederemos a ilustrar como.

. Asumiendo que el campo incidente se conoce, se desea estimar el campodisperso.. El Principio de Equivalencia física y el Teorema de la Inducción puedenser utilizados para calcular los campos de dispersión de manera aproxima-da.

. Procederemos a ilustrar como.

. En ambas aplicaciones tenemos un objeto PEC iluminado por un campoincidente.

. En el equivalente inductivo seintroduce una densidad de corri-ente Meq

s = an ˆ E i. M i

s = an ˆ E i irradia en pres-encia del PEC.

. En el equivalente físco se in-troduce una densidad de corrienteJeqs = an ˆ H. Jeqs = an ˆ H irradia en el es-pacio libre.

s = an ˆ E i. M i

s = an ˆ E i

. M is = an ˆ E i irradia en pres-

encia del PEC.

s = an ˆ E i. M i

. En el equivalente físco se in-troduce una densidad de corrienteJeqs = an ˆ H

. Jeqs = an ˆ H irradia en el es-pacio libre.

s = an ˆ E i. M i

. Ambos problemas poseen un grado de dificultad idéntico al problemaoriginal.

. En el equivalente inductivo:forma cerrada de la Ec.:

(r2 + »2)Hs = `|!"(r0r0´Meqs

»2+Meqs )

. En el equivalente físco: formacerrada de la corriente y de la in-tegral:

Es = `|!—RS0 (r0r0´Jeqs

»2+ Jeqs ) e

`|»RR ds 0

(r2 + »2)Hs = `|!"(r0r0´Meqs

»2+Meqs )

»2+ Jeqs ) e

`|»RR ds 0

(r2 + »2)Hs = `|!"(r0r0´Meqs

»2+Meqs )

»2+ Jeqs ) e

`|»RR ds 0

Problemas de dispersiónEquivalencia inductiva vs. Equivalencia física: aproximaciones

. Ambos problemas equivalentes permiten obtener soluciones aproxi-madas, ej.: «Blancos» eléctricamente grandes.

. Superficie localmente plana.

. Teoría de imágenes.

. El resto del blanco poca influ-encia local.. Corriente inducida función solodel campo incidente.

. El resto del blanco poca influ-encia local.

. Corriente inducida función solodel campo incidente.

. El PEC es reemplazado poruna M im

s = Meqs .

. M ims y Meq

s irradian en el espa-cio libre.

. Jeqs se aproxima como Jeqs =an ˆ 2H i .. Corriente inducida función solodel campo incidente.

s = Meqs .

. M ims y Meq

s = Meqs .

. M ims y Meq

. Jeqs se aproxima como Jeqs =an ˆ 2H i .

. Corriente inducida función solodel campo incidente.

s = Meqs .

. M ims y Meq

s = Meqs .

. M ims y Meq

. Hs y E s en la zona lejana del dispersor vienen dados por

Hs =` |!(Fz‘ ` Fz‘rar )E s =”Hs ˆ ar

. donde

Fz‘ = "4ı

e`|»rr

RS (2an ˆ E

i )e|»ar ´r0ds 0

E s =` |!(Az‘ ` Az‘rar )”Hs =ar ˆ E s

. donde

Az‘ = —4ı

e`|»rr

RS (2an ˆ H

i )e|»ar ´r0ds 0

. Hs y E s en la zona lejana del dispersor vienen dados por

Hs =` |!(Fz‘ ` Fz‘rar )E s =”Hs ˆ ar

. donde

Fz‘ = "4ı

e`|»rr

RS (2an ˆ E

i )e|»ar ´r0ds 0

E s =` |!(Az‘ ` Az‘rar )”Hs =ar ˆ E s

. donde

Az‘ = —4ı

e`|»rr

RS (2an ˆ H

i )e|»ar ´r0ds 0

. Ulterior simplificación

. S 0 se reduce a la porción iluminada del blanco.

. Donde la corriente superficial se presume más intensa.

Problemas de dispersiónEquivalencia física vs. Equivalencia inductiva: ejemplo

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

. E s = `|!Az‘aEn la dirección de

iluminación

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

r 2abay a. Hs = `|!Fz‘ y E s = ”Hs ˆ az

aEn la dirección deiluminación

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

iluminación

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

iluminación

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

. E s = `|!Az‘

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

iluminación

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

iluminación

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

r 2abay a

. Hs = `|!Fz‘ y E s = ”Hs ˆ azaEn la dirección de

iluminación

. Lamina PEC aˆ b

. Jeqs = 2”ax .

. Az‘ = —

4ıe`|»r

r2”abax a

iluminación

. Ms = 2ay .

. Fz‘ = "

4ıe`|»r

. Lamina PEC aˆ b

E s = `|»ab2ıe`|»r

. y como ff = l«ımr!1 4ır 2E s2

ff =»2(ab)2

. Lamina PEC aˆ b

E s = `|»ab2ıe`|»r

ff =»2(ab)2

. Lamina PEC aˆ b

E s = `|»ab2ıe`|»r

ff =»2(ab)2

. Lamina PEC aˆ b

E s = `|»ab2ıe`|»r

ff =»2(ab)2

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