algebră - edituradp.ro · ecuaţii matriceale, rangul unei matrice. polinom caracteristic al unei...
Post on 11-Sep-2019
29 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Cuprins
Algebră
Capitolul 1 Permutări............................................................................................................ 4
Capitolul 2 Matrice................................................................................................................ 6
Capitolul 3 Determinanţi..................................................................................................... 13
Capitolul 4 Matrice şi determinanţi, matrice inversabile, ecuaţii matriceale, rangul unei matrice. Polinom caracteristic al unei matrice ......................... 22
Capitolul 5 Sisteme de ecuaţii liniare ................................................................................ 31 I. Sisteme de tip Cramer. Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor:
proprietatea Kronecker− Capelli, proprietatea Rouché.............................. 31 II. Transformări elementare ale matricelor. Metoda Gauss şi metoda
Gauss − Jordan de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare. Alte aplicaţii ale acestor metode ................................................................ 37
Capitolul 6 Exerciţii recapitulative .................................................................................... 43
Capitolul 7 Probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori................... 49
Capitolul 8 Exerciţii şi probleme în vederea pregătirii concursurilor şi olimpiadelor de matematică ........................................................................ 53
Soluţii – Algebră................................................................................................. 59
CuprinsCuprinsCuprinsCuprins
470
Analiză matematică
Capitolul 1 Inegalităţi clasice. Mulţimi. Funcţii. Ecuaţii. Inecuaţii .............................. 162 I. Numere reale. Inegalităţi clasice (forma discretă) ................................... 162
II. A. Mulţimi ............................................................................................... 164 B. Funcţia caracteristică unei mulţimi...................................................... 165 C. Funcţii. Proprietăţi algebrice ............................................................... 166
D. Mulţimi mărginite ............................................................................... 174 E. Operaţii cu intervale de numere reale. Vecinătăţi................................ 176
F. Principii de numărare........................................................................... 177 G. Transportul operaţiilor cu mulţimi printr-o funcţie ............................. 178 H. Ecuaţii. Inecuaţii (cu module şi parte întreagă)................................... 179
Capitolul 2 Şiruri ............................................................................................................... 181
I. Termenul general al unui şir de numere reale ...................................... 181
II. Monotonie şi mărginire ........................................................................ 183 III. Limita unui şir ...................................................................................... 185
IV. Şiruri convergente şi şiruri divergente. Criterii privind calculul limitelor de şiruri .................................................................... 189
V. Şiruri recurente. Studiul convergenţei şi determinarea limitei ............. 197
Capitolul 3 Limite de funcţii ............................................................................................. 200
Capitolul 4 Continuitatea funcţiilor ................................................................................. 206
Capitolul 5 Derivabilitatea funcţiilor ............................................................................... 216
I. Derivata unei funcţii într-un punct. Probleme ce conduc la noţiunea de derivată ........................................................................ 216
II. Funcţii derivabile. Operaţii cu funcţii derivabile ................................ 217
III. Derivata de ordinul întâi şi ordinul al doilea. Derivata de ordin n...... 219 IV. Puncte critice, puncte de extrem ale unei funcţii, teorema
lui Fermat ............................................................................................ 225 V. Teoremele lui Rolle, Lagrange şi Cauchy. Consecinţe ....................... 226
VI. Regulile lui l′Hôspital. Calculul limitelor de funcţii........................... 232
VII. Monotonia şi convexitatea (concavitatea) funcţiilor. Aplicaţii în geometrie şi mecanică..................................................................... 235
Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a
471
Capitolul 6 Grafice de funcţii ........................................................................................... 241
Capitolul 7 Teste recapitulative. Exerciţii şi probleme pentru pregătirea examenului de bacalaureat ........................................................................... 243
Probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori .................... 247
Capitolul 8 Exerciţii şi probleme în sprijinul pregătirii concursurilor şi olimpiadelor de matematică ...................................................................... 251
A. Şiruri ...................................................................................................... 251
B. Limite de funcţii..................................................................................... 252 C. Funcţii continue...................................................................................... 253
D. Funcţii derivabile ................................................................................... 254
Soluţii – Analiză matematică............................................................................ 257
Bibliografie ...................................................................................................... 467
Algebră
· Permutări
· Matrice
· Determinanţi
· Matrice şi determinanţi, matrice inversabile,
ecuaţii matriceale, rangul unei matrice.
Polinom caracteristic al unei matrice
· Sisteme de ecuaţii liniare
· Exerciţii recapitulative
· Probleme date la examenele de bacalaureat
din anii anteriori
· Exerciţii şi probleme în vederea pregătirii concursurilor
şi olimpiadelor de matematică
EEEEnunţurinunţurinunţurinunţuri –––– Algebra Algebra Algebra Algebra
4
Capitolul 1
PermutăriPermutăriPermutăriPermutări
1. Să se determine numărul de inversiuni şi semnul pentru următoarele permutări:
a) ϕ =
42314321 , ϕ ∈ S4;
b) τ =
1254354321 , τ ∈ S5;
c) σ =
426531654321 , σ ∈ S6;
d) ϕ =
35612747654321 , ϕ ∈ S7;
e) θ =
−…−…−…++…
nnnnnnnn
22242127531212214321 , θ ∈ S2n;
f) σ =
…−−…−…++…
13321228642212214321
nnnnnnnn , σ ∈ S2n.
2. Să se determine i şi j astfel încât:
a) σ =
26758387654321
jisă fie o permutare impară, σ ∈ S 8;
b) θ =
7894321987654321
ji să fie o permutare pară, θ ∈ S9.
3. Fie permutările σ, τ, θ ∈ S6, σ =
123456654321 ;
τ =
563412654321 ; θ =
463125654321 .
Să se calculeze: a) τ � σ � θ; b) (σ τ) θ; c) σ (τ θ); d) σ2; e) τ3. 4. Să se scrie inversele următoarelor permutări:
a) ϕ =
3521454321 , ϕ ∈ S5;
b) σ =
7564321887654321 , σ ∈ S 8.
Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a
5
5. Fie permutările σ, τ, θ ∈ S4.
σ =
24314321 , τ =
21434321 şi θ =
12344321 .
a) Să se verifice egalitatea (σ τ) θ = σ (τ θ). b) Să se scrie σ−1, τ−1, θ−1, (τθ)−1 şi să se arate că (τ θ)− 1 = θ − 1 · τ − 1. c) Să se verifice dacă σ · τ · θ = θ · τ · 5.
6. Fie permutările σ =
2345154321 şi τ =
4215354321 .
Să se rezolve ecuaţiile: a) τ x = σ; b) σ2 x = τ; c) x τ3 = σ; d) τ x σ = σ τ. 7. Să se rezolve în S4 ecuaţiile x
2 = σ, dacă:
a) σ =
12434321 ; b) σ =
12344321 .
8. Să se arate că ∀ σ ∈ Sn, există p ∈ n* astfel încât σ p = e. Aplicaţie pentru
σ ∈ S4, σ =
31424321 .
9. Fie H ∈ Sn, H ≠ Φ şi având proprietatea că ∀ σ, τ ∈ H, rezultă că σ τ ∈ H. Să se arate că e ∈ H şi că dacă τ ∈ H, atunci τ−1 ∈ H.
10.* a) Dacă σ ∈ Sn atunci ε (σ) = ∏≤<≤
−σ−σ
njiji
ji
1
)()(.
b) Dacă σ, τ ∈ Sn atunci ε (σ τ) = ε (σ) · ε (τ).
c) Să se verifice a) şi b) pentru σ =
31424321 şi τ =
42134321 .
11.* Să se arate că mulţimea Sn conţine 2!n permutări pare şi
2!n permutări
impare. 12.* Pentru orice permutare σ ∈ Sn, n ∈ n, n > 2, definim permutarea
σ ∈ Sn astfel încât σ (i) = σ (n − i + 1), ∀ i = n,1 .
a) Să se arate că m(σ) + m(σ ) = C 2n , ∀ σ ∈ Sn.
b) Să se calculeze ∑∈σ
σnS
m )( .
13. Să se scrie ca produs de transpoziţii (schimbări de poziţie) următoarele permutări:
a) σ =
4521354321 ; b) σ =
153264654321 .
14. Să se arate că orice permutare pară (respectiv impară) este un produs de un număr par (respectiv impar) de transpoziţii.
15. Fie σ ∈ Sn (n ≥ 3) astfel încât στ = τσ, ∀ τ ∈ Sn. Să se atare că σ = e.
EEEEnunţurinunţurinunţurinunţuri –––– Algebra Algebra Algebra Algebra
6
Capitolul 2
MatriceMatriceMatriceMatrice
1. Să se precizeze care dintre următoarele matrice sunt matrice simetrice,
antisimetrice, superior (inferior) triunghiulare, strict superior triunghiulare, diago-nale, scalare, matrice de permutare, matrice conjugate.
a) A ∈ M4 (r), A =
−
−
−
0710
7152
1543
0231
;
b) B ∈ M3(c), B =
π−
π−
−
0
03
30
i
i
;
c) C ∈ M4(z), C =
−
−
6000
5500
4120
2311
;
d) A ∈ M4(z), A =
− 0123
0012
0004
0000
;
e) A ∈ M3(r), A =
−
−
400
020
001
;
f) S ∈ M3(r), S =
a
a
a
00
00
00
, a ∈ r;
Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a
7
g) D ∈ M3(c), D =
π
π−
−−
0
03
30
i
i
;
h) P ∈ M3(n), P =
100
001
010
;
i) A = (aij), unde aij = max (i, j); i, j = n,1 , A ∈ Mn (r);
j) B = (bij), unde bij = i − j; i, j = n,1 , B ∈ Mn(r);
k) A = (aij), i, j = n,1 dacă aij = | i − j |, A ∈ Mn (r).
2. Să se determine numărul de matrice din următoarele mulţimi:
a) G =
∈
}5,4,3,2,1{,|
2yx
xy
yx;
b) M3, 2 =
∈
}3,2,1,0{|
3231
2221
1211
ija
aa
aa
aa
;
c) M3 = {(aij) | aij ∈ {−1, 1}, ∀ i, j = 3,1 }
d) Mm, n (F) − mulţimea tuturor matricelor de tipul (m, n) având ca elemente numere din mulţimea F, ştiind că |F| = p (cardinalul lui F).
3. Să se determine x, y, z ∈ c astfel încât să avem următoarele egalităţi de matrice:
a)
+−+
+−=
−
+−
yxy
yyxy
xyx
yxx
11
4
5
231;
b)
+−
−+
−
=
−+
+
−
xxx
yxi
zyy
zixzy
zxi
xyx
32
2)1(
2
32
2
2 ;
4. Fie A, B, C ∈ M2, 3 (c), A =
++−
+−
iii
ii
31211
132,
B =
−
−
ii
i
02
11şi C =
−
−−
23
1410
ii
i. Să se calculeze:
a) (A + B) + C; b) A + (B − C); c) (A + (− B)) + (− C).
Analiză matematică
· Inegalităţi clasice. Mulţimi. Funcţii. Ecuaţii. Inecuaţii
· Şiruri
· Limite de funcţii
· Continuitatea funcţiilor
· Derivabilitatea funcţiilor
· Grafice de funcţii
· Teste recapitulative. Exerciţii şi probleme
pentru pregătirea examenului de bacalaureat
· Exerciţii şi probleme în sprijinul pregătirii concursurilor
şi olimpiadelor de matematică
EnunţuriEnunţuriEnunţuriEnunţuri –––– Analiză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematică
162
Capitolul 1
InegalităţiInegalităţiInegalităţiInegalităţi clasice. clasice. clasice. clasice. Mulţimi. Funcţii. Mulţimi. Funcţii. Mulţimi. Funcţii. Mulţimi. Funcţii.
EcuaţiiEcuaţiiEcuaţiiEcuaţii.... IIIInecuaţiinecuaţiinecuaţiinecuaţii
I. Numere reale. Inegalităţi clasice (forma discretă)
Teoremă: Media aritmetică a n numere strict pozitive, a1, a2, …, an, este mai mare
sau egală cu media lor geometrică: n
aaa n+…++ 21 ≥ n naaa ⋅⋅⋅ …21 .
Inegalitatea CauchyInegalitatea CauchyInegalitatea CauchyInegalitatea Cauchy----BuniakovskiBuniakovskiBuniakovskiBuniakovski----SchwarzSchwarzSchwarzSchwarz Teoremă: Fie a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn, numere reale, atunci (a1b1 + a2 + … + + anbn)
2 ≤ ( 21a + 2
2a + … + 2na )( 22
221 nbbb +…++ ).
Inegalitatea lui HölderInegalitatea lui HölderInegalitatea lui HölderInegalitatea lui Hölder
Teoremă: Fie a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn > 0, n ≥ 2 şi p, q ∈ r *+ astfel încât
p
1 + q
1 = 1, atunci are loc inegalitatea:pn
i
pia
1
1
∑=
qn
i
qib
1
1
∑=
≥∑=
n
i
iiba1
.
Inegalitatea lui MinkovskiInegalitatea lui MinkovskiInegalitatea lui MinkovskiInegalitatea lui Minkovski
Teoremă: Fie a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn > 0, n ≥ 2 şi p un număr real cu p > 1,
atunci are loc inegalitatea: pn
i
ii ba
1
1
)(
+∑
=
≤ pn
i
pia
1
1
∑=
+ pn
i
pib
1
1
∑=
.
Inegalitatea lui CebâsevInegalitatea lui CebâsevInegalitatea lui CebâsevInegalitatea lui Cebâsev
Teoremă: a) Dacă a1 ≥ a2 ≥ … ≥ an, b1 ≥ b2 ≥ … ≥ bn (în principiu seturile de
numere trebuie să aibă aceeaşi monotonie), atunci n
∑=
n
i
iiba1
≥
∑=
n
i
ia
1
∑=
n
i
ib
1
.
b) Dacă mulţimile de numere nu au aceeaşi monotonie inegalitatea devine:
n
∑=
n
i
iiba1
≤
∑=
n
i
ia1
·
∑=
n
i
ib1
.
Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a
163
Inegalitatea lui JensenInegalitatea lui JensenInegalitatea lui JensenInegalitatea lui Jensen
Definiţie. Fie f : I → r, unde I este interval. Vom spune că f este convexă
(concavă) pe I dacă ∀ x1, x2 ∈ I şi ∀ t ∈ [0, 1], avem: f [t x1 + (1 − t)x2 t f (x1) + + (1 − t) f (x2).
Teoremă: a) Fie f : I → r. Atunci f este convexă pe I w ∀ x’1, x2, …, xn ∈ I şi
(λ1, λ2, …, λn) ∈ [0, 1] cu ∑=
λn
i
i
1
= 1, atunci: f
λ∑
=
n
i
iix
1
≤ ∑=
λn
k
ii xf
1
)( .
b) Dacă f este concavă pe I, atunci avem: f ∑∑==
λ≥
λ
n
i
ii
n
i
ii xfx
11
)( .
Aplicaţii 1
1. Să se arate că ∀ n ∈ n* avem: 21 ·
43 ·
65 · …·
n
n 12 − ≤ 12
1
+n.
2. Să se arate că ∀ n ∈ n* avem: !11 +
!21 + … +
!1n <
n
n 12 − .
3. Să se arate că ∀ n ∈ n* avem:
a) n
n
3
< n! < n
n
2
. b) n 2n
< n! < n
n
+
21 .
c) n n − 1 < n
2 , n ≥ 2, n ∈ n*. d) 2n + 1 < 121
2 −+n
n.
e)
−
2
11
−
3
11 …
−n
11 < 22n
.
f) k
n
+ 11 < 1 +
n
k + 2
2
n
k , (k ≤ n n fixat).
4. Fie a, b ∈ (0, +∞) şi n a + n b ∈ q, ∀ n ∈ n*, n ≥ 2, atunci a = b = 1.
5. Dacă a1, a2, …, an ∈ r *+ şi a1 · a2 · … · an = 1 atunci avem:
1a + 2a + … + na ≤ a1 + a2 + … + an.
6. Să se arate că dacă ai ∈ n* (i = n−1 ), atunci avem:
222
21 naaa +…++ ≥
312 +n ( a1 + a2 + … + an).
7. Să se arate că dacă n, p ∈ n* şi
+++
n
1211 … =
+++
p
1211 … , atunci
n = p.
≥ ≤
EnunţuriEnunţuriEnunţuriEnunţuri –––– Analiză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematică
164
Aplicaţii 2
1. Să se arate că ∀ a, b, c ∈ r, avem: (a2 · b + b2 · c + c2 · a)(a · b2 + b · c2 + c · a.2) ≤ (a2 + b2 + c2)(a4 + b4 + c4). 2. Să se arate că ∀ a, b, c ≥ 0, avem: (a + b + c)(ab + bc + ac) ≥ 9 abc.
3. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: ba
c
ca
b
cb
a
++
++
+ ≥
23.
4. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: b
bac
a
acb
c
cba )()()( 222 −+−+− ≥ 0.
5. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: accbba +
++
++
111 ≤ 21
++
cba
111 .
6. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem:
a
1 (b + c − a)3 + b
1 (a + c − b)3 +c
1 (a + b − c) ≥ a2 + b2 + c2.
7. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: ba
c
ca
b
cb
a
++
++
+222
≥ 2
cba ++ .
8. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: (a + b + c) ∑ +++ ))(2( cbcba
a ≥ 89 .
9. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: ∑ ++cb
abca3 ≥ ab + bc + ac.
10. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 pentru care abc = 1, avem: ∑ + )(1
3 cba≥
23.
A. Mulţimi (Exerciţiile marcate cu steluţă sunt recomandate pentru orele opţionale sau cercurile de pregătire)
Exerciţii referitoare la principalele operaţii cu mulţimi: 1. A \ B = A g A ∩ B = Ø. 2. A \ B = Ø g A ⊂ B. 3. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C. 4. A ⊂ B şi C ⊂ D e A \ D ⊂ B \ C. 5. A ∆ (A ∆ B) = B. 6. A ∆ B = A ∆ C e B = C. 7. A ∆ B = C ∆ B e A = C. 8. Dacă C ≠ Ø, atunci A × C ⊂ B × C e A ⊂ B. 9. Dacă C ≠ Ø, atunci C × A ⊂ C × B e A ⊂ B. 10*. (A × C) \ (C × D) = [(A − C) × B] ∪ [A × (B \ D)]. 11. Determinaţi mulţimea A ⊂ R pentru care funcţia:
f : R → A, f (x) = 134
2
2
+++−
xx
xx este surjectivă?
Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a
165
12. Se consideră mulţimile: A = {x ∈ z *+ |
12
2
+xx }; B = {y ∈ z *
+ | 13
2
+yy }
a) Să se analizeze dacă în mulţimile A şi B există elemente comune. b) Să se determine x, y ∈ z astfel încât A ⊂ z şi B ⊂ z. 13*. Să se determine mulţimea: {(x, y) ∈ n × n | x + y = 1960 }.
14. Să se arate că 3 2 ∉ {a + b r | a, b r ∈ q}. 15. Să se determine mulţimea:
x ∈ q | există y ∈ q astfel încât 5x2 − 3x + 16 = y2}.
16. Fie funcţia f : r → r, f (x) = 1
32
2
+++
x
baxx .
Să se determine a, b ∈ r astfel încât: Imf = [−3, 5].
17*. Să se determine mulţimea: A = {x | x ∈ z şi z = 12 +− xx ∈ z}.
18*. Fie a0 ∈ n şi mulţimea A = {a1, a2, …, an, …,} unde an+1 = 12 +na , ∀ n ∈ n.
1) Să se arate că A \ q ≠ Ø. 2) Să se arate că mulţimea A \ q este o mulţime infinită. 19*. Fie r1 < r2 < … < rn < … numere naturale. Fie a ∈ n. Pentru orice
număr natural k notăm: Ak = {a + rk · m | m ∈ n}. Să se arate că mulţimile Ak (k ≥ 1) nu au nici un element comun.
20. Să se arate că:
−∈
+++=∈ }1{\,1
1|2
RR aa
aaxx = (−∞, − 3] ∪ [1, +∞).
21. Să se arate că dacă x + x
1 ∈ z, atunci:
∈+ *,1
Nnx
xn
n ⊂ z.
22*. Fie mulţimile: A = {(x, y) ∈ r × r | x + y − 1 = 0}; B = (x, y) ∈ r × r | x3 + y3 − 2x2 − 2y2 − xy + 2x + 2y − 1 = 0}. Să se determine: a) A \ B; b) B \ A.
B. Funcţia caracteristică a unei mulţimi (Este recomandată pentru orele opţionale sau cercurile de pregătire)
Definiţie. Fie U o mulţime totală şi P (U) mulţimea tuturor părţilor mulţimii U. Fie A ∈ P (U) pe mulţimea A vom defini funcţia fA : U → {0, 1},
fA(x) =
∉∈Ax
Ax
dacă,0
dacă,1.
top related