álgebra(i bim)
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ESCUELA:
NOMBRES:
ÁLGEBRA
FECHA:
Ciencias de la Computación
Ing. Ricardo Blacio
ABRIL /AGOSTO 2009
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CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE)
1. Conceptos fundamentales del Álgebra.2. Ecuaciones y desigualdades.3. Funciones y gráficas.4. Funciones polinomiales y racionales.5. Funciones exponenciales y logarítmicas.
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1. Conceptos fundamentales del ÁlgebraNumeros complejo
s
Números reales
Números racionale
s
Enteros
Negativos 0 Positivos
Números irracionales
R
C
Q Q΄
Z
Z- Z⁺
Números reales
Recta de números reales
4
0 1⁄2 1-1-1 2 3∏
R- R⁺
Notación científicaa= c x 10n , donde 1<=c<10 y n es un entero
412 en notación científica es 4.12 X 102
0.000000098 en notación científica es 9.8 X 10-8
Ejemplo:
Exponentes
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Leyes
a0 = 1 (a/b)n = an /bn a-n = 1/an am/an = a m-n aman = a m+n am/an = 1/a n-m (am)n = a mn a-m/b-n = bn/am (ab)n = anbn (a/b)-n = (b/a)n
Radicales
5
Leyesn√a.b = n√a n√b n√ (a/b) = n√a / n√bm√n√a = mn√a
Exponentes racionales
a1/n = n√ a
am/n = (n√a)m = n√ am
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Expresiones algebraicas
Monomio axn
Polinomio anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0
Operaciones:
•Suma•Resta•Multiplicación•División
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Fórmulas de Productos
(x + y)(x – y) = (x2-y2)
(x ± y)2 = (x2 ± 2xy+y2)
(x ± y)3
=(x3±3x2y+3xy2±y3)
Fórmulas de factorización
( x2- y2) =(x + y)(x – y)
(x3- y3) = (x - y)(x2 + xy+y2)
(x3+ y3) = (x + y)(x2 -xy+y2)
Expresiones fraccionarias Cociente El denominador es
cero si:Dominio
6x2- 5x + 4 x2 - 9
x = ±3 Toda x ≠ ±3
x3 – 3x2y + 4y2
y – x3y = x3 Toda x y y tales
que y ≠ x3
Ecuaciones Ecuaciones Lineales: son de la forma ax
+ b = 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol. Ecuaciones Cuadráticas: su forma:
ax2+bx+c = 0;a≠0 2 sol. Se puede resolver mediante:Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática.
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2. Ecuaciones y desigualdades
Otro tipo de ecuaciones como son:
Ecuaciones con valor absoluto. Solución de una Ecuación por
agrupación. Ecuaciones con exponentes
racionales Ecuaciones con radicales
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Desigualdades (Inecuaciones)
Infinito número de soluciones.
Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas
Desigualdad con valor absolutoPropiedades|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b o a > b
12w
3. Funciones y gráficasSistema de coordenadas rectangulares
II I
III IV
P(a,b)
a
b
O
Fórmula de la distancia entre dos puntosd(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2
El punto medio M de un segmento entre P1y P2 M= x2+x1 , y2+y1
2 2
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Gráfica de ecuacionesIntersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0
Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto • Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación.• Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación.• Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.
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Rectas• La ecuación de la recta tiene la forma
ax + by = c
• La pendiente de la recta es M = (y2-y1) / (x2-x1)
Circunferencias:
La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2
Definición de funciónUna función es una relación en la que
se agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango.
Variables:x se denomina variable independiente.Y se denomina variable dependiente.
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Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(b) > f(a) siempre que b > a en el intervalo I.
f es decreciente en I si f(b) < f(a) siempre que b < a en el intervalo I.
f es constante en I si f(b) = f(a) siempre que b = a en el intervalo I.
Función creciente, decreciente o constante
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Gráficas de Funciones
Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica
Al reemplazar la variable x por –x:Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) la función es impar
Si f es par entonces es simétrica al eje vertical ySi f es impar entonces es simétrica respecto al origen
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Paridad de una función
Operaciones con funcionesSuma, resta, multiplicación y división función resultante será (f o g )(x) = f (g (x)) y en caso de (g o f)(x) = g (f (x))
4. Funciones polinomiales y racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2.Sí ƒ es de grado n y todos los coeficientes excepto an
son cero entonces: f(x)=axn en donde a=an≠0
Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen
Si n es par es una función par por tanto simétrica respecto a y
19Guía para trazar la gráfica de una función polinomial revise pág49 de la guía didáctica
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Tienen la forma f(x) = g(x) donde h(x) ≠ 0 h(x)
Teorema asíntotas horizontales:R(x)= amxm+.......+a1x+a0 bnxn+.......+b1x+b0 donde am,bn≠0
1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=ambn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.
Funciones racionales.
Guía para trazar la gráfica de una función racional, pág. 295, texto base
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5. Funciones exponenciales y logarítmicasFunción exponencial
Tienen la forma f(x)=ax
En donde x es cualquier número real. Si a >1 la función exponencial ƒ con base a, es creciente para todos los reales.
Función exponencial naturalLa base e.- el número irracional e es el que se usa con mayor frecuencia como base exponencial tanto para fines teóricos como prácticos. De hecho: f(x)=ex
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Función logarítmicaLa inversa de una función exponencial de base a, se llama función logarítmica de base a y se representa por loga Sus valores se representan como loga(x) o como logax, puesto que: f−1(x) sí y solo sí x=f(y)La definición de loga se puede expresar de la siguiente manera:
y=loga(x) sí y solo sí x=ay
Ecuaciones exponenciales y logarítmicaPara resolver este tipo de ecuaciones se usan las propiedades y leyes de los logaritmos
Desarrollo de cada uno de los temas con ejercicios que se desarrollaran en la tutoría virtual
Ing. Ricardo BlacioDocente – UTPLCorreo electrónico: rpblacio@utpl.edu.ec
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