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Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 1/27
Álgebra Matricial y OptimizaciónMa130
Traza de una Matriz CuadradaDepartamento de Matemáticas
ITESM
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 2/27
Definiciones y propiedades básicas
Definici onSea A una matriz m × m, la traza de A se definecomo la suma de los elementos de la diagonalprincipal:
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 2/27
Definiciones y propiedades básicas
Definici onSea A una matriz m × m, la traza de A se definecomo la suma de los elementos de la diagonalprincipal:
tr(A) =m
∑
i=1
aii
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 2/27
Definiciones y propiedades básicas
Definici onSea A una matriz m × m, la traza de A se definecomo la suma de los elementos de la diagonalprincipal:
tr(A) =m
∑
i=1
aii = a11 + a22 + · · · + amm
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 2/27
Definiciones y propiedades básicas
Definici onSea A una matriz m × m, la traza de A se definecomo la suma de los elementos de la diagonalprincipal:
tr(A) =m
∑
i=1
aii = a11 + a22 + · · · + amm
En particular:tr(In) = n
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 2/27
Definiciones y propiedades básicas
Definici onSea A una matriz m × m, la traza de A se definecomo la suma de los elementos de la diagonalprincipal:
tr(A) =m
∑
i=1
aii = a11 + a22 + · · · + amm
En particular:tr(Jn) = n
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 3/27
Ejemplo
Determine la traza de la matriz:
A =
1 −1 2
0 −3 −1
−2 −3 8
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 3/27
Ejemplo
Determine la traza de la matriz:
A =
1 −1 2
0 −3 −1
−2 −3 8
Soluci onDirectamente de la definición
tr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6⋄
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 4/27
Lema
Sean A y B matrices m × m:
1.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 4/27
Lema
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)
2.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 4/27
Lema
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)
2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
3.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 4/27
Lema
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)
2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
3. tr (A′) = tr (A)
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 4/27
Lema
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)
2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
3. tr (A′) = tr (A)
Demostraci on1. Tomemos C = k A, así cij = k aij y por tanto
tr (kA) = tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
(k aii) = k
m∑
i=1
aii = k tr (A)
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 4/27
Lema
Sean A y B matrices m × m:
1. tr (kA) = k tr (A)
2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
3. tr (A′) = tr (A)
Demostraci on3. Si C = A
′, cij = aji y así cii = aii:
tr (A′) = tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
aii = tr (A) ⋄
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 5/27
Ejercicio 1
Sean A y B matrices m × m, demuestre que
tr (A + B) = tr (A) + tr (B)
Sugerencia
Tome C = A + B, así cii = aii + bii. Apliqueahora la definición de la traza.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 6/27
Ejercicio 2
Demuestre que si A y B matrices m × n yn × m respectivamente: entonces
tr (AB) = tr (B′A
′)
Sugerencia
Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y lapropiedad de la transpuesta de un producto.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 7/27
Ejercicio 3
Verifique que las matrices siguientescumplen la propiedad:
tr (AB) = tr (B′A
′)
A =
[
1 2 3
3 2 1
]
y B =
−2 1
2 3
4 1
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 8/27
Lema
Sea A una matriz cuadrada particionada talque
A =
A11 A12 · · · A1k
A21 A22 · · · A2k
......
. . ....
Ak1 Ak2 · · · Akk
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 8/27
Lema
Sea A una matriz cuadrada particionada talque
A =
A11 A12 · · · A1k
A21 A22 · · · A2k
......
. . ....
Ak1 Ak2 · · · Akk
Entonces
tr (A) = tr (A11) + tr (A22) + · · · + tr (Akk)
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 9/27
La traza de un producto
Teorema
Sean A y B matrices m × n y n × m
respectivamente.
tr (AB) = tr (BA)
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 10/27
Demostraci onTomemos C = AB, así
cij =n
∑
k=1
aikbkj
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 10/27
Demostraci onTomemos C = AB, así
cij =n
∑
k=1
aikbkj
Para j = i la fórmula anterior queda:
cii =n
∑
k=1
aikbki
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 10/27
Demostraci onTomemos C = AB, así
cij =n
∑
k=1
aikbkj
Para j = i la fórmula anterior queda:
cii =n
∑
k=1
aikbki
Así:
tr (C) =m
∑
i=1
cii
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 10/27
Demostraci onTomemos C = AB, así
cij =n
∑
k=1
aikbkj
Para j = i la fórmula anterior queda:
cii =n
∑
k=1
aikbki
Así:
tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
n∑
k=1
aikbki
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 10/27
Demostraci onTomemos C = AB, así
cij =n
∑
k=1
aikbkj
Para j = i la fórmula anterior queda:
cii =n
∑
k=1
aikbki
Así:
tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
n∑
k=1
aikbki =n
∑
k=1
m∑
i=1
aikbki
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 10/27
Demostraci onTomemos C = AB, así
cij =n
∑
k=1
aikbkj
Para j = i la fórmula anterior queda:
cii =n
∑
k=1
aikbki
Así:
tr (C) =m
∑
i=1
cii =m
∑
i=1
n∑
k=1
aikbki =n
∑
k=1
m∑
i=1
aikbki =n
∑
k=1
m∑
i=1
bkiaik
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 11/27
Por otro lado si D = BA, así
dij =m
∑
k=1
bikakj
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 11/27
Por otro lado si D = BA, así
dij =m
∑
k=1
bikakj
Para j = i la fórmula anterior queda:
dii =m
∑
k=1
bikaki
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 11/27
Por otro lado si D = BA, así
dij =m
∑
k=1
bikakj
Para j = i la fórmula anterior queda:
dii =m
∑
k=1
bikaki
Así:
tr (D) =n
∑
i=1
dii =n
∑
i=1
m∑
k=1
bikaki
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 12/27
Comparando las fórmulas:
tr (AB) =n
∑
k=1
m∑
i=1
bkiaik y tr (BA) =n
∑
i=1
m∑
k=1
bikaki
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 12/27
Comparando las fórmulas:
tr (AB) =n
∑
k=1
m∑
i=1
bkiaik y tr (BA) =n
∑
i=1
m∑
k=1
bikaki
Concluimos que, intercambiando los nombres delos índices i y k, tr (AB) = tr (BA)⋄
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 13/27
Ejercicio 4
Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que
tr (AB) 6= tr (A) · tr (B)
Sugerencia
Piénselo fácil. Tome por ejemplo
A =
[
1 0
0 0
]
.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 14/27
Ejercicio 5
Verifique que las matrices siguientescumplen la propiedad:
tr (AB) = tr (BA)
A =
[
1 2 3
3 2 1
]
y B =
−2 1
2 3
4 1
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 15/27
Ejercicio 6
Demuestre que si A, B y C son matricesn × n se cumple
tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)
Sugerencia
Para la primera igualdad tome D = AB yE = C y aplique el teorema 5.3. Para lasegunda igualdad tome D = A y E = BC yaplique el mismo teorema.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 16/27
Ejercicio 7
Demuestre que si A, B y C son matricesn × n se cumple
tr (ABC) = tr (B′A
′C
′) = tr (A′C
′B
′)
Sugerencia
Para la primera igualdad tome D = AB yE = C y aplique como válido el ejercicio 2.Para la segunda igualdad tome D = A yE = BC. y aplique el mismo teorema 5.3.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 17/27
Ejercicio 8
Demuestre que si A, B y C son matricesn × n sim etricas se cumple
tr (ABC) = tr (BAC)
Sugerencia
Utilice como válido el ejercicio anterior y queX
′ = X para las matrices simétricas.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 18/27
Ejercicio 9
Encuentre matrices cuadradas A, B y C
2 × 2 que cumplen
tr (ABC) 6= tr (BAC)
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 19/27
Ejercicio 10
Sea A una matriz m × n, demuestre que elelemento (i, i) de AA
′ esn
∑
j=1
a2
ij
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 20/27
Ejercicio 11
Sea A una matriz m × n, demuestre que
tr (AA′) =
m∑
i=1
n∑
j=1
a2
ij
Sugerencia
Utilice como válido el resultado del ejercicioanterior.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 21/27
Ejercicio 12
Utilice el resultado anterior para determinartr (AA
′) Si
A =
[
1 2 3
3 2 1
]
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 22/27
Ejercicio 13
Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 siy sólo si tr(A′
A) = 0.Sugerencia
Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asumacomo válido el resultado del ejercicio 11. Yrecuerde que la suma de cantidadesmayores o iguales a cero es cero si y sólo sicada cantidad es cero.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 23/27
Ejercicio 14
Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 siy sólo si A′
A = 0.Sugerencia
Tome como válido el resultado del ejercicioanterior.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 24/27
Lema
Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, yn × p respectivamente.
AB = AC si y sólo si A′AB = A
′AC
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 24/27
Lema
Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, yn × p respectivamente.
AB = AC si y sólo si A′AB = A
′AC
Demostraci onClaro que AB = AC implica que A
′AB = A
′AC.
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 25/27
Si suponemos queA
′AB = A
′AC
Entonces, desarrollando
(AB − AC)′ (AB − AC) =
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 25/27
Si suponemos queA
′AB = A
′AC
Entonces, desarrollando
(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 25/27
Si suponemos queA
′AB = A
′AC
Entonces, desarrollando
(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)
= (B − C)′ (A′AB − A
′AC)
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 25/27
Si suponemos queA
′AB = A
′AC
Entonces, desarrollando
(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)
= (B − C)′ (A′AB − A
′AC)
= 0
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 25/27
Si suponemos queA
′AB = A
′AC
Entonces, desarrollando
(AB − AC)′ (AB − AC) = (B − C)′ A′ (AB − AC)
= (B − C)′ (A′AB − A
′AC)
= 0
Por el ejercicio anterior, AB − AC = 0⋄
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 26/27
Ejercicio 15
Sea A una matriz m × m que cumpleA
′A = A
2. Muestre que1. tr ((A − A
′)′(A − A′)) = 0.
2. A es simétrica.
Sugerencia
Para el primer inciso desarrolle el productode matrices, utilice la hipótesis, y tome comoválido el resultado del ejercicio 1. Para elsegundo inciso, utilice como válido elresultado del ejercicio 13.
TrazaEjemplo 1Lema 1Ejercicio 1Lema 2Traza de unproductoEjercicio 5Ejercicio 10Lema 3Ejercicio 15
Traza de una Matriz Cuadrada Ma130 - p. 27/27
Ejercicio 16
La traza y la tecnologıaAsumiendo que una matriz ya estáalmacenada en memoria. Indique cómodeterminar la traza de tal matriz en■ una calculadora científica (HP o TI)■ en Maple■ en Matlab
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