algebra de boole

CAMILA ANDREA CARDOZO.CAMILA ANDREA CARDOZO.

DANNY CUBILLOSDANNY CUBILLOS

ALGEBRA ALGEBRA DEDE

BOOLE BOOLE

ALGEBRA DE BOOLEALGEBRA DE BOOLE

Es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

OPERACIONESOPERACIONESHemos definido el conjunto A = {0,1} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación sumaOperación sumaLa operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

a +b=c

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo

Ejemplo:Ejemplo:“Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0”

a b a + b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Operación productoOperación producto

La operación producto ( *) ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

a*b=c

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores:

•solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0

a b a*b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Operación negaciónOperación negaciónLa operación negación presenta el opuesto del valor de a

a ¬a

0 1

1 0

Operación combinadasOperación combinadas

a b ¬a ¬a+b

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 1

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

¬a+b

ALGEBRA DE BOOLEALGEBRA DE BOOLELógica Lógica Razonamiento humano Razonamiento humano

Características:Características:

1- Se han definido funciones binarias que llamaremos:1- Se han definido funciones binarias que llamaremos: aditiva (x+ y) aditiva (x+ y) multiplicativa (x*y)multiplicativa (x*y)

monaria (de un solo parámetro)  por x'.monaria (de un solo parámetro)  por x'.

2- Se han definido dos elementos (que designaremos 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) por 0 y 1)

Además, es una herramienta que permite modelar Además, es una herramienta que permite modelar los sistemas digitales. los sistemas digitales.

FUNCIONES BÁSICAS FUNCIONES BÁSICAS BOOLEANASBOOLEANAS

IgualdadIgualdad Unión (fuUnión (función =O) nción =O) Intersección (función Intersección (función

Y) Y) Negación (función Negación (función

NO) NO)

OR.OR.

AND.AND.

NOT.NOT.

Operaciones básicas en un AB

LEYES DEL ALGEBRA DE BOOLELEYES DEL ALGEBRA DE BOOLE Conmutativa

A + B = B + A A B = B A

Asociativa A + (B + C)= (A + B) + C A (B C)= (A B) C Distributiva

A + (B C) = (A + B) (A + C) A (B + C) = (A B) + (A C)

Teoremas y ReglasTeoremas y Reglas

5/33

1) A + 0 = A

2) A + 1 = 1

3) A 0 = 0

4) A 1 = A

5) A + A = A

6) A + Ā = 1

7) A A = A

8) A Ā = 0

9) Ā = A

10) A +AB = A

11) A +AB = A+B

12) (A+B)(A+C)=A+BC

EJEMPLOSEJEMPLOS0

1

aa

aa

aa 0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

0

1

aa

aa

aa

cbacba

cbacba

A +AB = A

A+AB = A(1+B)

= A x 1

= A

Ley distributiva

Regla 2: (1+B)=1

Regla 4: (Ax1)=A

A +AB = A+B

A+AB = (A+AB)+ AB

= A + (A+ A) B

= A + 1 x B

= A + B

Regla10: A=A+AB

Factor Común

Regla 6: A+A=1

Regla 4: Ax1=A

(A +B)(A+C) = A+BC

(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC

= A +AC+AB+BC

= A +AC+BC

= A + BC

Ley distributiva

Regla7:AA=A

Regla10: A+AB=A

Regla10: A+AC=A

COMO SIMPLIFICAR CON LAS COMO SIMPLIFICAR CON LAS REGLAS DE BOOLE?REGLAS DE BOOLE?

1) ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b + bc = ab + ac + b (1+ c) = ab + ac + b 1 = ab + ac + b = b (a +1) + ac = b 1 + ac = b +ac

Regla 2

Regla 4

2) [ab (c+bd) +ab]c = [abc+ 0 + ab]c = abc + abc = (a + a) bc = 1 bc = bc

GRACIASGRACIAS