aksijalno pritisnuti elementi · metalne konstrukcije 1 p5-5proračun nosivosti poprečnih preseka...
Post on 28-Jan-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Metalne konstrukcije 1 P5-1
Aksijalno pritisnuti elementi
Metalne konstrukcije 1 P5-2
Primena
Metalne konstrukcije 1 P5-3
Oblici poprečnih preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-4
Neophodne kontrole graničnih stanja
nosivosti - ULS
– Kontrola nosivosti poprečnog preseka (Nc,Rd);
– Kontrola nosivosti pritisnutog elementa na izvijanje
(Nb,Rd);
– Kod poprečnih preseka klase 4 treba uzeti u obzir i
uticaj izbočavanja na nosivost poprečnog preseka na
pritisak (Aeff);
Metalne konstrukcije 1 P5-5
Proračun nosivosti poprečnih preseka
na dejstvo sile pritiska
NEd proračunska vrednost sile pritiska,
Nc,Rd proračunska nosivost preska na pritisak,
A poršina poprečnog preseka,
Aeff efektivna poršina poprečnog preseka,
fy granica razvlačenja,
gM0 parcijalni koeficijenti sigurnosti (gM0 = 1,0)
4 klase preseke za
3 i 2 1, klase preseke za
0
0
Myeff
My
RdcfA
fAN
g
g
/
/
,
RdcEd NN , 01,,
Rdc
Ed
N
Nili
Efektivan poprečni presek (klasa 4)
– Na ovaj način se obuhvata uticaj izbočavanja delova
poprečnog preseka (nožica i/ili rebara) usled normalnih
napona pritiska;
– Efektivna širina se određuje za svaki pritisnuti deo
poprečnog preseka koji je klase 4;
– Kod nesimetričnih poprečnih preseka može da dođe do
pomeranja težišta efektivnog u odnosu na bruto poprečni
presek – javljaju se dodatni momenti savijanja (DM=N e).
Metalne konstrukcije 1 P5-6
Pomeranje težišta efektivnog preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-7
Efektivan poprečni presek - savijanje
Metalne konstrukcije 1 P5-8
Efektivne širine pritisnutih delova preseka - beff
– Potrebno je odrediti veličine neefektivnih zona i njihov
položaj za svaki pritisnuti deo preseka klase 4;
– U Evrokodu 3 se koriste modifikovane Vinterove krive
za određivanje koeficijenta redukcije r;
bbeff r
referentna širina dela poprečnog preseka:
= cw za rebra i unutrašnje delove nožica
= cf za konzolne delove nožica
b
Metalne konstrukcije 1 P5-9
Određivanje koeficijenta redukcije r
Metalne konstrukcije 1 P5-10
Određivanje koeficijenta redukcije r - nastavak
Metalne konstrukcije 1 P5-11
Efektivne širine unutrašnjih delova preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-12
Efektivne širine konzolnih delova
Metalne konstrukcije 1 P5-13
Efektivan poprečni presek - Aeff
S275 – Aeff = 8639,2 mm2 A = 10000 mm2
Metalne konstrukcije 1 P5-14
Izvijanje pritisnutih elemenata
– Kod pritisnutih elemenata, usled uticaja II reda, nosivost
elementa kao celine, po pravilu je manja od nosivosti
poprečnog preseka na pritisak;
– Nosivost elementa na izvijanje zavisi od više parametara
(oblika poprečnog preseka, vitkosti elementa, graničnih
uslova, načina naprezanja);
– Razlikuju se tri vida izvijanja: fleksiono, torziono i
torziono-fleksiono;
Metalne konstrukcije 1 P5-15
Metalne konstrukcije 1 P5-16
Različiti vidovi izvijanja
Metalne konstrukcije 1 P5-17
Metalne konstrukcije 1 P5-18
Linearno-elastična teorija fleksionog izvijanja
Problem stabilnosti pritisnutih elemenata – izvijanje prvi je razmatrao
Ojler (Euler) 1744. godine;
Osnovne pretpostavke:
– materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan
– element je idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija),
– element je cenrično pritisnut konstantnom aksijalnom silom
pritiska (Nc=const.),
– element je zglobno oslonjen na oba kraja,
– poprečni presek elementa je konstantan (I=const) i jednodelan,
– sprečene su torzione deformacije.
Metalne konstrukcije 1 P5-19
Postavka problema izvijanja – uslovi
ravnoteže na deformisanom elementu
Moment savijanja usled sile pritiska)()( xvNxM c
Metalne konstrukcije 1 P5-20
Diferencijalna jednačina izvijanja
v deformacija (ugib) elementa,
M moment savijanja,
Nc sila pritiska,
EI krutost elementa na savijanje,
EIMxvdx
vd/)( -
2
2
Diferencijalna jednačina savijanja
0 )()( xvEI
Nxv c
02 )()( xvkxv EINk c /
)()( xvNxM c
Metalne konstrukcije 1 P5-21
Rešenje diferencijalne jednačine izvijanja –
Kritična sila izvijanja
kxBkxAxv cossin)(
00 )(v 0)(Lv
Pretpostavljeni oblik rešenja
Granični uslovi
LnknkLkL
0sin
EINk c /
Kritična (Ojlerova) sila izvijanja2
2
L
EINN Ecr
Metalne konstrukcije 1 P6-22
Definicija dužine izvijanja
Definicija u matematičkom smislu:
Dužina izviajnja je dužina između susedni, realnih
ili fiktivnih prevojnih tačaka izvijenog oblika
štapa;
Definicija u fizičko-mehaničko smislu:
Dužina izvijanja je dužina zamenjujućeg,
obostrano zglobno oslonjenog štapa, opterećenog
koncentrisanim sila pritiska na svojim krajevima,
koji ima istu kritičnu silu kao i razmatrani štap;
Dužine izvijanja Lcr (Ojlerovi slučajevi)
2
2
cr
crL
EIN
Metalne konstrukcije 1 P6-23
Metalne konstrukcije 1 P5-24
Kritičan napon izvijanja (Ojlerova hiperbola)
A površina poprečnog preseka elementa,
l vitkost elementa,
i poluprečnik inercije.
iLcr /l
AIi /
2
2
2
2
l
E
AL
EI
A
N
cr
crE
Metalne konstrukcije 1 P5-25
Nesavršenosti realnih elemenata
– Sopstveni ili zaostali naponi;
– Geometrijske imperfekcije (nesavršenosti);
– Nehomogenost osnovnog materijala;
– Ekscentričnost opterećenja
Metalne konstrukcije 1 P5-26
Sopstveni
(zaostali)
naponi
Nastaju kao posledica tehnologije proizvodnje (vrućeg valjanja,
ili zavarivanja);
Sopstveni naponi su uravnoteženi, odnosno njihov integral po
poprečnom preseku je jednak nuli!
Utiču na homogenost poprečnog preseka i redosled plastifikacije
pri dostizanju graničnih stanja;
Uticaj sopstvenih napona na krutost
pritisnutog elementa
Metalne konstrukcije 1 P5-27
Metalne konstrukcije 1 P5-28
Geometrijske imperfekcije
Metalne konstrukcije 1 P5-29
Izvijanje zakrivljenog elementa -
postavka problema
L
xxv sin)( 00
Metalne konstrukcije 1 P5-30
Ponašanje zakrivljenog (realnog) elementa
Moment savijanja
Diferencijalna jednačina
izvijanja realnog elementa
xL
EILN
xv
c
sin
/
)(
12
2
0
-
Rešenje diferencijalne jednačine
– funkcija deformacije elementa
L
xNxvNxvxvNxM ccc sin)())()(()( 00
L
x
EI
Nxvkxv c
sin)()( 02
-
Metalne konstrukcije 1 P5-31
Deformacije realnog elementa
Ukupna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona
Dodatna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona
0 početna deformacija štapa u sredini raspona,
dodatna deformacija štapa u sredini raspona,
tot ukupna deformacija štapa u sredini raspona,
Ncr kritična (Ojlerova) sila,
Nc sila pritiska.
11
2 0
2
20
-
-
ccr
c
NN
EILN
Lxv/
/
)/(
crcccr
totNNNN // -
-
1
1
1
1 0000
Naprezanja krivog elementa (štapa)
relativna vitkost na izvijanje
bezdimenzionalni koeficijent izvijanja
y
crc
cctotcc fNNW
N
A
N
W
N
A
N
-
/max
1
0
y
cru
uu fNNW
N
A
N
-
)1(
0
/
1
1
0
-
cru
plu
pl
u
NN
NN
W
A
N
N
/
/
1) )((1
/
-
crplplu
plu
pl
u
NNNN
NN
N
N
//
W
A 0
pl
u
N
N
cr
pl
N
Nl
Nu granična sila izvijanja
Npl plastična nosivost preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-32
Ajrton-Perijeva formula
1 1
2
-
l
Ajrton-Perijeva formula01 1 222 - ll )(
2
2222
2
4)1(1
l
lll
--
2
1 2l Φ
2
22
2
22
2
4)2(2
l
l
l
l
--
--
ΦΦΦΦ22
1
l
-
ΦΦ
2 000030 )/(, iL Peri-Robertsonova formula
Metalne konstrukcije 1 P5-33
1) )((1
/
-
crplplu
plu
pl
u
NNNN
NN
N
N
//
Smanjanje nosivosti elementa na izvijanje
usled imperfekcija
Sopstveni (zaostali) naponi Geometrijske imperfekcije
Metalne konstrukcije 1 P6-34
Metalne konstrukcije 1 P5-35
Evropske krive izvijanja
– Krive izvijanja predstavljaju modifikaciju teorijskih krivih
izvijanja (Peri-Robertsonove formule);
– Definišu vezu između relativne vitkosti i bezdimenzionalnog
koeficijenta izvijanja;
– Brojna istraživanja u ECCS-u (70-ih godina); Makua i Rondal
(1978) su formulisali faktor kao:
– Proračun nesavršenosti realnih štapova preko ekvivalentnih
geometrijskih imperfekcija;
– Zbog složenosti problema uvedena je familija evropskih krivih
izvijanja (A0, A, B, C i D) koje su definisane teorijsko-
eksperimentalnim putem;
),( 20 - l
Metalne konstrukcije 1 P5-36
Evropske krive izvijanja
Kriva izvijanja a0 a b c d
0,13 0,21 0,34 0,49 0,76
Metalne konstrukcije 1 P5-37
Izbor odgovarajuće
krive izvijanja
Zavisi od:
– Oblika poprečnog preseka;
– Odnosa visina/širina;
– Ose oko koje se razmatra
izvijanje;
– Debljine lima;
Metalne konstrukcije 1 P5-38
Relativna vitkost na fleksiono izvijanje
crRk NN /l relativna vitkost elementa
plastična nosivost preska za klase 1, 2 i 3
)(l
2
2
cr
crL
EIN kritična sila izvijanja
12
2
1
l
l
l
y
cr
cr
y
f
EAI
L
L
EI
fA
/
yRk fAN
yeffRk fAN nosivost efektivnog preska za klasu 4
za klase 1, 2 i 3
AAeff /1l
ll za klasu 4
Metalne konstrukcije 1 P5-39
Vitkost na granici razvlačenja - l1
Vitkost štapa na granici razvlačenja je vitkost pri kojoj je Ojlerov kritičan napon jednak naponu na granici razvlačenja!
Za određenu vrstu čelika l1 ima konstantnu vrednost!
ll
993 121
2 ,y
ycrf
Ef
Eyf/235
Metalne konstrukcije 1 P5-40
Kontrola nosivosti na fleksiono izvijanje
4 klase preseke za
3 i 2 1, klase preseke za
1
1
Myeff
My
RdbfA
fAN
g
g
/
/
,
-
20 za
120 za1
22,
ΦΦ
,
ll
l
2201 50 ll - ,,Φ
01,,
Rdb
Ed
N
N
U opštem slučaju treba proveriti izvijanje oko obe glavne ose inercije
y-y i z-z. Merodavna je manja vrednost! zy ,min
Torziono izvijanje
– Karakteristično za otvorene centralnosimetrične poprečne
preseke (krstasti, zrakasti,...) koji imaju značajne krutosti
na savijanje oko obe glavne ose inercije, a malu torzionu
krutost;
– Kod ovakvih preseka potrebno je odrediti kritičnu silu za
torziono izvijanje (Ncr,T) na osnovu koje se određuje
relativna vitkost elementa;
– Kada se odredi relativna vitkost, nosivost elementa na
torziono izvijanje se određuje na isti način kao i za
fleksiono izvijanje, a kriva izvijanja se usvaja kao za
izvijanje oko slabije z-z ose;
Metalne konstrukcije 1 P5-41
Kritična sila torzionog izvijanja
G modul smicanja,
It torzioni moment inercije bruto poprečnog preseka,
E modul elastičnosti,
Iw sektorski moment inercije bruto poprečnog preseka,
iy poluprečnik inercije bruto poprečnog preseka oko y-y ose,
iz poluprečnik inercije bruto poprečnog preseka oko z-z ose,
yo, zo koordinate centra smicanja u odnosu na težište bruto poprečnog preseka.
2
2
20
1
T
wtTcr
L
EIGI
iN ,
)( 22222
oozyo zyiii
Tcr
Rk
N
N
,
l
Metalne konstrukcije 1 P5-42
222
zyo iii
Opšti slučaj
Kada se težište poklapa sa centrom smicanja (y0=z0=0)
Dalje kao
fleksiono!
Torziono-fleksiono izvijanje
– Kombinacija fleksionog i torzionog izvijanja;
– Karakteristično za monosimetrične (ili nesimetrične)
poprečne preseke kod kojih se težište i centar
smicanja ne poklapaju!
y-y osa
y-y osa
Metalne konstrukcije 1 P5-43
Kritična sila torziono-fleksionog izvijanja za
monosimetrične poprečne preseke (y-y osa simetrije)
Za obostrano simetrične poprečne preseke kritična
sila izvijanja se određuje kao:
-
-
ycr
Tcr
ycr
Tcr
ycr
Tcrycr
TFcrN
N
N
N
N
NNN
,
,
,
,
,
,,
, 4112
2
2
2
1o
o
i
y-
TFcrzcrcr NNN ,,min ,
Metalne konstrukcije 1 P5-44
Tcrzcrycrcr NNNN ,,,min , ,
Metalne konstrukcije 1 P5-45
Određivanje dužine izvijanja
Lcr dužina izvijanja,
L sistemna dužina elementa (štapa),
koeficijent dužine izvijanja.
Umesto kritične sile, za određivanje relativne
vitkosti na fleksiono izvijanje može da se koristi
dužina izvijanja.
Opšti izraz za određivanje dužine izvijanja:
LLcr
Metalne konstrukcije 1 P5-46
Dužine izvijanja stubova sa konstantnim momentom
inercije i konstantnom normalnom silom
a b c d
= 2 = 1 = 0,7 = 0,5
e f g h
2< < = 2 1< <2 = 1
Metalne konstrukcije 1 P5-47
Uticaj krutosti grede na dužinu izvijanja stuba
Metalne konstrukcije 1 P5-48
Dužine izvijanja štapova rešetkastih nosača
– Posebno se analizraju pojasni štapovi i štapovi
ispune (dijagonale i vertikale), kao i izvijanje u
ravni rešetkastog nosača i izvan ravni rešetkastog
nosača;
– Sistemna dužina u ravni rešetkastog nosača jednaka
je rastojanju između čvorova rešetkastog nosača, a
izvan ravni je jednaka osovinskom rastojanju između
tačaka bočnog proidržavanja;
Metalne konstrukcije 1 P5-49
Dužine izvijanja pojaseva
Generalno, dužina izvijanja pojasnog elementa u ravni i
izvan ravni jednaka je njegovoj sistemnoj dužini L ( = 1)!
Za pojasne štapove od I ili H preseka, može se usvojiti da je
dužina izvijanja u ravni jednaka 0,9L ( = 0,9), a izvan
ravni jednaka je sistemnoj dužini L ( = 1)!
Za pojasne štapove od šupljih profila, dužina izvijanja u
ravni i izvan ravni jednaka je 0,9L ( = 0,9), gde je L
sistemna dužina!
Za izvijanje izvan ravni sistemna dužina jednaka je
rastojanju tačaka bočnog pridržavanja!
Metalne konstrukcije 1 P5-50
Dužina izvijanja pritisnutog elementa na
elastičnim osloncima
Tipičan primer je gornji pojas otvorenih rešetkastih
mostova!
Krutost elastičnih oslonaca - “opruga” zavisi od
deformabilnosti okvirnih ukrućenja.
Metalne konstrukcije 1 P5-51
Dužine izvijanja štapova ispune
Generalno, dužina izvijanja štapova ispune izvan ravni
jednaka je sistemnoj dužini L.
Dužina izvijanja u ravni rešetkastog nosača jednaka je
0,9L izuzev u slučaju štapova od ugaonika.
Kod rešetkastih nosača od šupljih profila kod kojih je
veza u čvoru ostvarene direktnim zavarivanjem, i kod
kojih je odnos širine štapa ispune i širine pojasa manji od
0,6 (di/d0<0,6), dužina izvijanja u ravni i izvan ravni
jednaka je 0,75L, pod uslovom da na mestu veze u čvoru
štap ispune nije sužen, ili spljošten.
Metalne konstrukcije 1 P5-52
Dužine izvijanja štapova ispune od L profila
Za štapove ispune od ugaonika (L profila), kada veza sa pojasom
poseduje određen stepen uklještenja (zavarena ili sa bar 2 zavrtnja)
može se zanemariti ekscentricitet, a ugaonik se proračunava kao
centrično pritisnut element sa ekvivalentnom relativnom vitkošću:
vveff ll 70350 ,,,
yyeff ll 70500 ,,,
zzeff ll 70500 ,,,
U slučaju veze sa samo jednim zavrtnjem ekscentričnost mora da
se uzme u obzir, a dužina izvijanja je jednaka sistemnoj dužini L.
Izvijanje neuniformnih elemenata
Uniformni elementi su elementi konstantnog poprečnog
preseka opterećeni konstantno aksijalnom silom pritiska;
Neuniformni elementi su elementi kod kojih je:
– poprečni presek promenljiv duž elementa (promena
visine elementa i/ili promena dimenzija poprečnog
preseka);
– promenljiv dijagram normalne sile pritiska duž
elementa (linearno, skokovito ili na drugi način),
– promenljiv i poprečni presek i dijagram momenata.
Metalne konstrukcije 1 P5-53
Proračun nosivosti neuniformnih
elemenata na izvijanje
Proračun neuniformnih elemenata može da se sprovede na
dva načina:
– primenom proračuna po teoriji II reda sa početnim
geometrijskim imperfekcijama i kontrolom nosivosti
najopterećenijih preseka;
– određivanjem kritične sile Ncr, a potom primenom
algoritma za elemente konstantnog poprečnog preseka.
Kritična sila može da se odredi pomoću softvera, ili
uprošćenih postupaka za određene slučajeve (npr. metoda
ekvivalentnog momenta inercije);
Metalne konstrukcije 1 P5-54
Metoda ekvivalentnog momenta inercije - Ieq
rC 920080 ,,
213244320920080 )/)(,,(,, LLrrrC -
2162162050330170 )/)(,,(,,, LLrrrrC -
maxmin / IIr
maxICIeq
2
2
L
EIN
eq
eqcr ,
(L1 < 0,5L)
Metalne konstrukcije 1 P5-55
Kritična sila za izvijanje oko y-y ose I profila promenljive visine. Ostale
dimenzije poprečnog preseka su konstantne.
top related