ที่มาและความสําคัญelearning.psru.ac.th/courses/273/logic.pdf ·...

คณครจกรนทร ทะสะระ

คณครจกรนทร ทะสะระ

ทมาและความสาคญ

ตรรกศาสตร (logic) คอวชาทวาดวยการใหเหตผลซง

เกยวของกบขอความเปนชดทเรยงตามลาดบกอนหลง (a series of statements) ตรรกศาสตรมบทบาทมากไมเพยงแตใน

ชวตประจาวนเทานนแตเปนศาสตรทจาเปนมากสาหรบนกกฎหมาย

และนกรฐศาสตร ตรรกศาสตรจงเปนศาสตรทสาคญและจาเปนตอ

มนษยผเจรญทงในทางโลกปจจบนนและโลกาภวตน นาไป

ประยกตปฏบตในชวตประจาวนตอไป

คณครจกรนทร ทะสะระ

ความหมายของประพจน

คอประโยคทเปนจรงหรอเทจ อยางใดอยางหนงเทานน

ประโยคทมลกษณะดงกลาวจะอยในรปประโยคบอกเลา

หรอประโยคปฏเสธกได

คณครจกรนทร ทะสะระ

ตวอยางประโยคทเปนประพจน

ดาวพธเปนดาวเคราะห เปน

จงหวดเชยงใหมไมอยทางภาคใตของประเทศไทย เปน

นานงไหลลก ไมเปน

17 + 8 = 25 เปน

5 เปนจานวนตรรกยะ ใชไหม ไมเปน

เซตวางเปนสบเซตของเซตทกเซต เปน

คณครจกรนทร ทะสะระ

ในตรรกศาสตรการเปน จรง หรอ เทจ ของแตละ

ประพจน เรยกวา คาความจรง (truth value)

ของประพจน เชน 3 = 1 + 2 เปนประพจนทมคา

ความจรงเปนจรง หรอกลาวสนๆ

ไดวา 3 = 1 + 2 เปนประพจนทเปนจรง

คณครจกรนทร ทะสะระ

¤ ขอควรจา ¤

ประโยคทไมอยในรปประโยคบอกเลาหรอปฏเสธ

ไมเปนประพจน เชน

ประโยคคาถาม ประโยคคาสง หาม ขอรอง ออนวอน

ประโยคแสดงความปรารถนา หรอประโยคอทาน

คณครจกรนทร ทะสะระ

ตวอยางประโยคทไมเปนประพจน 1. ประโยคคาถาม เชน ใครกนนะ 2. ประโยคคาสง เชน จงนงลง 3. ประโยคขอรอง เชน ชวยปดหนาตางใหหนอย 4. ประโยคออนวอน เชน โปรดเมตตาดวยเถด 5. ประโยคแสดงความปรารถนา เชน ฉนอยากเปนนก 6. ประโยคอทาน เชน อย .... เจบ 7. สภาษตคาพงเพย เชน นาลดตอพด 8. ประโยคเปด เชน เขาเปนดารานกรอง

คณครจกรนทร ทะสะระ

ตวอยางประโยคทไมเปนประพจน -ฝนตกหรอเปลา = คาถาม

-อยาเดนลดสนาม = หาม

-กรณาเปดหนาตางดวย = ขอรอง

- ไดโปรดเถด = ออนวอน

-ชวยดวย = ขอรอง

-พระเจาชวย = อทาน

-ออกไปใหพน = คาสง

- โปรดใหอภยในความไมสะดวก = ขอรอง

คณครจกรนทร ทะสะระ

ในวชาคณตศาสตรหรอในชวตประจาวน จะพบประโยคทได

จากการ เชอมประโยคทไดจากการเชอมประโยคอนดวยคา

วา “ และ” “ หรอ” “ ถา...แลว...” “ กตอเมอ” หรอพบประโยคซงเปลยนแปลงมาจากประโยคเดมโดยเตม

คาวา “ ไม” คาเหลานเรยกวา

ตวเชอม ( Connectives )

การเชอมประพจน

คณครจกรนทร ทะสะระ

(1) การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ และ”

พจารณาประพจน 1 + 2 = 2 + 1

3×2 = 2×3

คณครจกรนทร ทะสะระ

ประพจนใหมคอ

1 + 2 = 2 + 1 และ 3×2 = 2×3

ในการเชอมประพจนดวย “ และ” มขอตกลงวา

ประพจนใหมจะเปนจรงในกรณทประพจนทนามา

เชอมกนนนเปนจรงทงค กรณอนๆเปนเทจทกกรณ

คณครจกรนทร ทะสะระ

ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมทไดจาก

การเชอม p กบ q ดวย “ และ” คอ

“p และ q” เขยนแทนดวย p ∧q

คณครจกรนทร ทะสะระ

p q p ∧q

T T

T F

F T

F F

T

F

F

F

ตารางคาความจรง ( truth table ) ของ p ∧q

คณครจกรนทร ทะสะระ

(2) การเชอมประพจนดวยตวเชอม หรอ

พจารณาประพจน 1 + 5 = 5 + 1

4(2 + 3) = (4×2) + (4×3)

คณครจกรนทร ทะสะระ

เมอเชอมประพจนทงสองดวย “ หรอ” จะไดประพจนใหมคอ

1 + 5 = 5 + 1 หรอ 4(2 + 3) = (4×2) + (4×3)

ในการเชอมประพจนดวย “หรอ” มขอตกลงวา

ประพจนใหมจะเปนเทจในกรณทประพจนทนามาเชอม

กนเปนเทจทงค กรณอนๆเปนจรงทกกรณ

คณครจกรนทร ทะสะระ

ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมทไดจาก

การเชอมดวย

“ หรอ” คอ “p หรอ q” เขยนแทนดวย p ∨q

คณครจกรนทร ทะสะระ

คณครจกรนทร ทะสะระ

p q p ∨q

T T

T F

F T

F F

ตารางคาความจรงของ p ∨q

T

T

T

F

หมายเหต ความหมายของคาวา “หรอ” ทใชกนทวไปมสองกรณ

กรณท 1 หมายถงอยางใดอยางหนงเทานน เชน ในการโยน

เหรยญครงละ 1 เหรยญ แตละครงเหรยญจะขนหวหรอกอยเพยงอยาง

เดยว

กรณท 2 หมายถงอยางใดอยางหนงหรอทงสองอยาง เชน ครให

รางวลแกนกเรยนทเรยนดหรอชวยกจกรรมของโรงเรยน นกเรยนท

ไดรบรางวลบางคนอาจเรยนดเพยงอยางเดยว บางคนอาจชวย

กจกรรมของโรงเรยนเพยงอยางเดยว แตบางคนอาจมสมบตทงสอง

ประการกได

คณครจกรนทร ทะสะระ

ในตรรกศาสตรมขอตกลงวา ตวเชอม “หรอ”

หมายถงกรณท2

เวนแตจะระบไวอยางชดเจนใหหมายถงกรณท1

(3) การเชอมประพจนดวยตวเชอม ถา...แลว

พจารณาประพจน 2 + 3 = 3 + 2

6(2 + 3) = 6(3 + 2)

เมอเชอมดวย “ถา...แลว” ประพจนใหมทเกดขน คอ

ถา 2 + 3 = 3 + 2 แลว 6(2 + 3) = 6(3 + 2)

คณครจกรนทร ทะสะระ

ประพจนซงตามหลงคาวา แลว เรยกวา ผล

ถา p และ q เปนประพจน ประพจนใหมทได

จากการเชอมดวย “ถา...แลว” คอ “ถา p แลว q”

เขยนแทนดวย p ⇒q

คณครจกรนทร ทะสะระ

ในการเชอมประพจนดวย “ถา...แลว” มขอตกลง

วาประพจนใหมจะเปนเทจในกรณท และ

เทานน กรณอนๆเปนจรงทกกรณ

คณครจกรนทร ทะสะระ

ผลเปนเทจ

เหตเปนจรง

p q p ⇒q

T T

T F

F T

F F

T

F

T

T

คณครจกรนทร ทะสะระ

ตารางคาความจรงของ p ⇒q

คณครจกรนทร ทะสะระ

(4) การเชอมประพจนดวยตวเชอม กตอเมอ

พจารณาประพจน 2(3 + 2) = 2×5

3 + 2 = 5

เมอเชอมประพจนทงสองดวย “ กตอเมอ”

ประพจนทไดใหมคอ

2(3 + 2) = 2×5 กตอเมอ 3 + 2 = 5

ซงมความหมายเปน

ถา 2(3 + 2) = 2×5 แลว 3 + 2 = 5 และ

ถา 3 + 2 = 5 แลว 2(3 + 2) = 2×5

คณครจกรนทร ทะสะระ

การเชอมประพจนดวยตวเชอม “ กตอเมอ” มขอตกลงวา

ประพจนใหมจะเปนจรงในกรณทประพจนทนามาเชอมกนนน

เปนจรงดวยกนทงคหรอเปนเทจดวยกนทงคเทานน

กรณอนๆเปนเทจเสมอ

คณครจกรนทร ทะสะระ

คณครจกรนทร ทะสะระ

ถา p และ q เปนประพจน ประพจนทไดจากการ

เชอมดวย “กตอเมอ” คอ “p กตอเมอ q”

เขยนแทนดวย p ⇔q

p q p ⇔q

T T

T F

F T

F F

T

T

F

F

ตารางคาความจรงของ p ⇔q เขยนไดดงน

คณครจกรนทร ทะสะระ

(5) นเสธของประพจน

คณครจกรนทร ทะสะระ

นเสธของประพจน p เขยนแทนดวย ~p

นเสธของประพจน 2 + 3 = 5 คอ 2 + 3 ≠ 5

นเสธของประพจน 2 < 3 คอ 2 < 3

คณครจกรนทร ทะสะระ

ตารางคาความจรงของ ~p เขยนไดดงน

p ∼p

T

F

F

T

สรปวธจา

T ∧ T = T นอกนน F

T ⇒ F = F นอกนน T

T ⇔ T = T และ F ⇔ F = T นอกนน F

F ∨ F = F นอกนน T

ตารางคาความจรงของประพจนทมตวเชอมแบบตางๆ ทกลาวมาแลวมไวเพอชวยในการหาวาประพจนใดเปนจรงหรอเทจ ดงตวอยางในตอไปน

ตวอยางท 1 จงหาคาความจรงของประโยคตอไปน

“เชยงใหมและธนบรเคยเปนเมองหลวงของเมองไทย”

วธทา ให p แทน เชยงใหมเคยเปนเมองหลวงของไทย

ให q แทน ธนบรเคยเปนเมองหลวงของไทย

ประโยคทกาหนดใหอยในรป p ∧q

เนองจาก p เปนเทจ และ q เปนจรง จะได p ∧q เปนเทจ

ดงนน ประโยค “เชยงใหมและธนบรเคยเปนเมองหลวงของไทย” มคาความจรงเปนเทจ

ถามประพจนเดยวคอ p มกรณเกยวกบคาความจรงทจะพจารณา 2 กรณ

ถามสองประพจนคอ p และ q มกรณเกยวกบคาความจรง

ทจะพจารณา 4 กรณ

ในทานองเดยวกน ถามสามประพจนคอ p , q และ r มกรณเกยวกบคา

ความจรงทจะพจารณา ทงหมด 8 กรณ

p q p q ~p ~q ~p ∧ ~q (p q) ⇔ (~p ∧ ~q)

T T T F

F T F F

T

T

T T T

T F

F

F

F

F

F

F

F

T T

F

F T

T

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ

(p q) ⇔ (~p ∧~q) วธทา รปแบบของประพจน

(p q) ⇔ (~p ∧~q)

ในวชาตรรกศาสตร ถารปแบบของประพจนสอง

รปแบบใดมคาความจรงตรงกนกรณตอกรณ แลวจะ

สามารถนาไปใชแทนกนได เรยกสองรปแบบของ

ประพจนดงกลาววาเปน รปแบบประพจนทสมมลกน

เชน p q กบ ~p ∨ q เปนรปแบบทสมมลกน ซงแสดงการตรวจสอบความสมมลไดดงน

p q p q ~p ~ p \/ q

T T F

T F F

F T T

F F T

คาความจรงของ p q กบ ~p \/ q ตรงกนกรณตอกรณ

F F

T

T

T

T

T

T

p q p q ~p ~ p /\q

T T F

T F F

F T T

F F T

จะเหนวาคาความจรงของ p q กบ ~p /\ q ตรงกนกรณตอกรณ

F F

T

T

T

F

T

F

รปแบบของประพจนทสมมลกน ทควรทราบ

1.กระทาตนเอง

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

2.เดอรมอรแกน

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

3.สลบ

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

p «q ≡ q « p

4.จดหม

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

p « (q « r) ≡ (p « q) « r

5.กระจาย

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

6.แปลงรป

p → q ≡ ~p ∨ q

p → q ≡ ~q → ~p

~(p → q) ≡ p ∧ ~q

7. ลดทอน

p ∧ (p ∨ r) ≡ p

p ∨ (p ∧ r) ≡ p

8. กระจายพเศษ

p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)

(q ∧ r) → p ≡ (q → p) ∨ (r → p)

(q ∨ r) → p ≡ (q → p) ∧ (r → p)

9.กตอเมอ

p « q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

p « q ≡ ~p « ~q

~(p « q) ≡ ~p « q

≡ p « ~q

p ∨ (q « r) ≡ (p ∨ q) « (p ∨ r)

การสมมลเชงตรรกศาสตร

(Logical Equivalence)

เทคนคการยบประพจนยอยๆเพอหารประพจนผสม

กาหนดให P และ q เปนประพจน และ T,F เปนคาความจรงของ

ประพจนทตาแหนงนน 1. (p ∨ p) ≡ p 9. (p → p) ≡ T

2. (p ∨ F) ≡ p ≡ (F ∨ p) 10. (p → T) ≡ T

3. (p ∨ T) ≡ T ≡ (T ∨ p) 11. (T → p) ≡ p

4. (p ∨ ∼p) ≡ T ≡ (∼p ∨ p) 12. (p →F) ≡∼ p

5. (p ∧ p) ≡ p 13. (F → p) ≡ T

6. (p ∧ T) ≡ p ≡ (T ∧ p) 14. (p → ∼ p) ≡ ∼ p

7. (p ∧ F) ≡ F ≡ (F ∧ p) 15. (p → q) ≡ (∼q → ∼p)

8. (p ∧∼p) ≡ F ≡ (∼p ∧ p) 16. (p → q) ≡ (∼ p ∨ q)

บทนยาม รปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณ เรยกวา สจนรนดร

คอนทราดชน (contradiction) คอ ประพจนทมคาความจรงเปนเทจทกกรณ

พจารณาคาความจรงของรปแบบของประพจน [(p q) ∧p] q

p q p q (p q) ∧p [(p q) ∧p] q

T T

T F

F T

F F

T

T

T

T

T

T

T

T

F

F

F

F

สจนรนดร

ตวอยางสจนรนดรทสาคญ

1. p → [ p ∨ q ] (law of addition) กฎการเตมเตม

2. [ p ∧ q ] → p (law of implication)

กฎของการทาใหงาย

3. [ p ∧ ( p → q) ] → q (modus ponens) การแจงผลตามเหต

4. [ ~ q ∧ (p → q )] → ~ p (modus tollens) การแจงผลคานเหต

5. [ ( p → q) ∧ (q → r) ] → (p → r)

(law of syllogism) กฎของตรรกบท

6. [ ~ p ∧ (q ∧ ~ q) ]→ p

7. [(p → r) ∧ ( q → r )]↔ ( p ∨ q → r)

(inference by case) การอนมานโดยกรณ

8. [ ~ p ∧ (p ∨ q ) ] → q (disjunctive syllogism) ตรรกบทแบบคดออก

9. [ (p → q ) ∧ ~ q ] → ~ p

(law of absurdity) กฎของการเปนไปได

10. (p → q) → (p ∨ r → q ∨ r)

บ.ฝ.

การอางเหตผลคอ การอางวา เมอมขอความ P1,P2,...,Pn ชด

หนง แลวสามารถสรปขอความ C ขอความหนงได การอาง

เหตผลประกอบดวยสวนสาคญสองสวนคอ เหตหรอสงท

กาหนดให ไดแก ขอความ P1,P2,...,Pn และผลหรอขอสรป

ไดแกขอความ C การอางเหตผลอาจจะสมเหตสมผลหรอไม

สมเหตสมผลกได ซงสามารถตรวจสอบไดโดยใชตวเชอม ^

เชอมเหตทงหมดเขาดวยกน และใชตวเชอม เชอมสวนท

เปนเหต

การอางเหตผล

การอางเหตผล คอการอางวาเมอมขอความ P , P , P , ... , P

เชอหนง แลวสรป ขอความ c อนหนงใด

ดงนน การอางเหตผลจะประกอบดวย 2สวน

1. สวนทเรยกวาเหต คอสวนทกาหนดใหซงเปนจรงเสมอ

ไดแกขอความ P , P , ... , P

2.สวนทเรยกวาผล คอผลสรปทเกดจากเหต ไดแก

ขอความ c

1 2 3 n

1 2 n

บทนยาม ประโยคเปดคอ ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธ

ทมตวแปรและเมอแทนคาของตวแปรดวยสมาชกในเอกภพ

สมพทธแลวไดประพจน

กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนเตม

พจารณา 2x + 1 = 3 จะเหนวาเปนประโยคเปด เพราะมตว

แปร x และเมอแทน x ดวยจานวนจรงใดๆ แลวไดประพจน

เชน

แทน x ดวย 0 ได 0 + 1 = 3 เปนเทจ

แทน x ดวย 1 ได 2 + 1 = 3 เปนจรง

แทน x ดวย 2 ได 4 + 1 = 3 เปนเทจ

พจารณา 2x + 1 = 3 จะเหนวาเปนประโยคเปด เพราะเมอแทน x ดวย

จานวนจรงใดๆแลวเปนไปไดทง 2 อยาง

ในวชาคณตศาสตรจะพบวามการใชขอความ สาหรบ x ทกตว และ สาหรบ x

บางตว เสมอ เชน

สาหรบ x ทกตว x + 0 = x เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง

สาหรบ x บางตว x + x = xเมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง

หมายเหต การเขยนสญลกษณแทนประโยคเปดทมตวบงปรมาณ เราจะตองเขยนเอกภพ

สมพทธกากบไวเสมอเพอจะไดทราบขอบเขตของตวแปรวาแทนสงใด แตในกรณทเอกภพ

สมพทธเปนเซตของจานวนจรง มกนยมละการเขยนเอกภพสมพทธ นอกจากนใน

การศกษาเกยวกบเซตนยมละการเขยนเอกภพสมพทธเชนเดยวกน

ตวบงปรมาณ(Quantifiers) ตงบงปรมาณม 2 ชนด

1. Universal Quantifiers คอ “สาหรบ...ทกตว", “ แตละคาของ..."

อานวา "for all" เขยนแทนดวย " " 2. Existential Quantifiers คอ “ สาหรบ... บางตว", " มอยางนอยหนง "

อานวา "for some“เขยนแทน " "

การพจารณาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณนน โดยทวไป

จะพจารณาแตละสวนของประโยคทมตวบงปรมาณ ดงน

สวนท 1 ตวบงปรมาณ

สวนท 2 ประโยคเปด

สวนท 3 เอกภพสมพทธ

คาความจรงของประโยคมตวบงปรมาณตวเดยว

คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยวพจารณาประโยคเปด > 0

เมอ กาหนดตวบงปรมาณและเอกภพสมพทธใหแตกตางกน ดงน

x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถง สมาชกทกตวใน ยกกาลงสองแลมากกวา 0

x[ > 0], = {0,1,2,3} หมายถง สมาชกบางตวใน ยกกาลงสองแลวมากกวา0

x[ > 0], = {1,2,3} หมายถง สมาชกทกตวใน ยกกาลงสองแลวมากกวา 0

x[ > 0], = {1,2,3} หมายถง สมาชกบางตวใน ยกกาลงสองแลวมากกวา 0

x[ < 0], = {1,2,3} หมายถง สมาชกบางตวใน ยกกาลงสองแลวนอยกวา 0

ประโยคบางรปแบบอาจจะตองใชพจารณาจากบทนยามของสมมล

หรอนเสธ ดงน

“ประพจนสองประพจนจะสมมลกนกตอเมอมคาความจรงเหมอนกน

ทกกรณ”

“ประพจนสองประพจนจะเปนนเสธกนกตอเมอมคาความจรงตรงกน

ขามกรณตอกรณ”

รปแบบประพจนทสมมลกน และเปนนเสธกนทใชวธพจารณา

ดงกลาว รปแบบท 1~ x[P(x)] สมมลกบ x[~P(x)]

กลาวคอ นเสธของ x[P(x)] สมมลกบ x[~P(x)]

พสจน กรณท 1 ถา ~ x[P(x)] เปนจรง

จะไดวา x[P(x)] เปนเทจ

ดงนน มสมาชกบางตวในเอกภพสมพทธเมอนาไปแทนคา x ใน P(x)

แลวไดประพจนทเปนเทจ จะไดวา มสมาชกบางตวในเอกภพ

สมพทธเมอนาไปแทนคา x ใน ~P(x)แลวไดประพจนทเปนจรง

นนคอ x[~P(x)] เปนจรง

รปแบบท 2 ~ x[P(x)] สมมลกบ x[~P(x)]

กลาวคอ นเสธของ x[P(x)] สมมลกบ x[~P(x)] พสจน

กรณท 1 สมมตวา ~ x[P(x)] เปนจรง

จะไดวา x[P(x)] เปนเทจ

ดงนน เมอแทนคา x ใน p(x) ดวยสมาชกแตละตวในเอก

ภพสมพทธ จะไดประพจนทเปนเทจทงหมด

นนคอ เมอแทนคา x ใน ~p(x) ดวยสมาชกแตละตวใน

เอกภพสมพทธ จะไดประพจนทเปนจรงทงหมด

บ.ฝ.

บ.ฝ.

ประโยคทมตวบงปรมาณสองตว สามารถเขยนได 8

รปแบบ ไดแก

∀x∀y[P(x,y)] ∃x ∃y[P(x,y)] ∀x∃y[P(x,y)]

∃x∀y[P(x,y)] ∀y∀x[P(x,y)] ∃y∃x[P(x,y)]

∀y∃x[P(x,y)] ∃y∀x[P(x,y)]

ซงจะหาคาความจรงของประโยคเหลาน

บทนยาม

ประโยค ∀x∀y[P(x,y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และy ดวย

สมาชก a และ b ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวทาให P(a,b) เปฯจรงเสมอ

ประโยค ∀x∀y[P(x,y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวย

สมาชก a และ b บางตวในเอกภพสมพทธ แลวทาให P(a,b)เปนเทจ

ตวอยาง กาหนดให u = {-1,0,1] จงหาคาความจรงของ

(1) ∀x∀y[xy < 2]

(2) ∀x∀y[x + y < 2]

วธทา (1) เมอแทนคา x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวในเอาภพสมพทธ จะเหนไดวา P(-1,-1), P(-1,0), P(-

1,1), P(0,-1), P(0,0), P(0,1), P(1,-1), P(1,0) และP(1,1)เปนจรง

ดงนน ประโยค ∀x∀y[ xy < 2] มคาความจรงเปนจรง

(2) จะเหนวา เมอเลอก x=1 และ y=1 จะไดวา x+y = 1+1 = 2

ดงนน ประโยค ∀x∀y[ x+y < 2] มคาความจรงเปนเทจ

บทนยาม

ประโยค ∃x∃y[P(x,y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวย

สมาชก a และ b บางตวในเอาภพสมพทธ แลว P(a,b) เปนจรง

ประโยค ∃x∃y[P(x,y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ดวย

สมาชก a และ b บางตวในเอาภพสมพทธ แลว P(a,b) เปนเทจ

ตวอยาง กาหนดให u = {-1,0,1] จงหาคาความจรง

(1) ∃x∃y[2x+y = 2]

(2) ∃x∃y[x + y > 2]

วธทา (1) เมอเลอก x=1 และ y=0 จะได 2x + y 2(1) + 0 = 2

ดงนน ประโยค ∃x∃y[2x + y = 2] มคาความจรงเปฯจรง

(2) เมอแทนคา x และ y ดวยสมาชก a และ b ทกตวในเอาภพสมพทธ จะเหนไดวา

P(-1,-1), P(-1,0), P(-1,1), P(0,-1), P(0,0), P(0,1), P(1,-1), P(1,0) และP(1,1)เปนจรง

ดงนน ประโยค ∃x∃y[x + y > 2] มคาความจรงเปนเทจ

บทนยาม

ประโยค ∀)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวทาใหประโยค ∃y[P(a,y)] เปนจรง

ประโยค ∀)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a ทกตวในเอกภพสมพทธ แลวทาใหประโยค ∃y[P(a,y)] เปนเทจ

ตวอยาง กาหนดให u = {-1,0,1} จงหาคาความจรงของ (1) ∀x∃y[x +y = 0]

(2) ∀x∃y[x < y]

วธทา (1) เมอ x = 0 จะเหนวา ประโยค ∃y[0 + y = 0] มคาความจรงเปนจรงเพราะ สามารถเลอก

y = 0 แลวทาให 0+y = 0+0 = 0 เปนจรงเมอ x = -1 จะเหนวา ประโยค ∃y[-1+y = 0] มคา

ความจรง เปนจรง เพราะ สามารถเลอก y=1 แลวทาให -1+y= -1+1=0เปนจรง

สรปไดวา ∀x∃y[x + y = 0] มคาความจรงเปนจรง

(2) เมอเลอก x = 1 จะไดเหนวา ประโยค ∃y[1 < y] มคาความจรงเปนจรง ดงนน ประโยค ∀x∃y[x < y] มคาความจรงเปนเทจ

บทนยาม

ประโยค ∃x∀y[P(x,y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวเอกภพสมพทธ แลวประโยค ∀y[P(a,y)] มคาความจรงเปนจรง

ประโยค ∃x∀y[P(x,y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a บางตวเอกภพสมพทธ แลวประโยค ∀y[P(a,y)] มคาความจรงเปนเทจ

(นนคอไมสามารถหาคาของ a ซงทาให ประโยค ∀y[P(a,y)] เปนจรงไดเลย )

สาหรบคาความจรงของประโยค∀y∀x[P(x,y)], ∃y∃x[P(x,y)], ∀y∃x[P(x,y)] และ

∃y∀x[P(x,y)] สามารถหาไดในทานองเดยวกนกบรปแบบขางตน

จะเหนไดชดเจนวาประโยค ∀x∀y[P(x,y)] และ ∀y∀x[P(x,y)] มคา

ความจรงตรงกนเสมอ และประโยค ∃x∃y[P(x,y)] และ ∃y∃x[P(x,y)] มคาความจรงตรงกนเสมอเชนเดยวกน

Good Bye

The End