สรุปเข้มฯ#7 คณิตศาสตร์

เซต (Set)

1. เซตในทางคณตศาสตรใชเซต เพอใหเกดแนวคดของการอยรวมกนเปนกลม โดยสามารถระบไดแนนอนวาสง ๆ นนอยในเซตหรอไม เรยกสงทอยในเซตวา สมาชก

ใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญ A,B, C, . . .แทนชอเซต และใชอกษรตวเลกแทนสมาชกในเซตสำหรบเซต A ใดๆ เราจะเขยน

a ∈ A แทนขอความ “ a เปนสมาชกของ A ”a /∈ A แทนขอความ “ a ไมเปนสมาชกของ A ”n(A) แทน “ จำนวนสมาชกของ A ”

เราสามารถเขยนบรรยายถงเซตไดสองวธ คอ1. แบบแจกแจงสมาชก เขยนสมาชกทกตวลงในเครองหมายปกกา และมเครองหมายจลภาค (,) ขนระหวางสมาชกแตละตว2. แบบบอกเงอนไข เขยนตวแปรแทนสมาชก แลวบรรยายสมบตของตวแปรนน

2. ประเภทของเซตทสำคญ1. เซตจำกด (Finite Set) หมายถง เซตทสามารถหาจำนวนสมาชกได2. เซตอนนต (Infinite Set) หมายถง เซตทมจำนวนสมาชกมากมายมหาศาล3. เซตวาง (Empty Set) หมายถง เซตทไมมสมาชกอยเลย แทนดวย φ หรอ { }4. เอกภพสมพทธ (Relative Universe) หมายถง เซตทกำหนดขอบเขตของสมาชกของเซตทเราตองการ

ศกษาเขยนแทนดวย U

3. ความสมพนธระหวางเซต1. การเทากนของเซต เซต A เทากบเซต B กตอเมอ เซตทงสองมสมาชกเหมอนกนทกตว

เขยนแทนดวย A = B

2. สบเซต (Subset) เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย A ⊆ B

ถา A เปนสบเซตของ B และ A �= B แลวเราจะกลาววา A เปนสบเซตแทของ B

3. พาวเวอรเซต (Power Set) พาวเวอรเซตของเซต A หมายถง เซตของสบเซตทงหมดของ A

เขยนแทนดวย P (A)

4. ขอสงเกต1. φ ⊆ A และ A ⊆ A

2. φ ∈ P (A) และ A ∈ P (A)3. φ ⊆ P (A)4. ถา A ⊆ B แลว P (A) ⊆ P (B)5. P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B)6. ถา A มสมาชก m ตว แลว จำนวนสมาชกของ P (A) มทงหมด 2m ตว

นนคอ n(P (A)) = 2m

5. การกระทำทางเซต1. ยเนยน (Union) เซต A ยเนยน B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอเซต B

เขยนแทนดวย A ∪ B

2. อนเตอรเซกชน (Intersection) อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A และเซต B ทซำกน เขยนแทนดวย A ∩ B

3. ผลตาง (Difference) ผลตางระหวางเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชก ของเซตA ทไมเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A − B

4. คอมพลเมนต (Complement) คอมพลเมนตของเซต A คอเซตทประกอบดวยสมาชก ของเอกภพสมพทธ U แตไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย A

6. จำนวนเซตกำหนด A ⊆ B,n(A) = m และ n(B) = n

1. จำนวนเซต E ซง A ⊆ E ⊆ B มเทากบ 2n−m เซต2. จำนวนเซต E ซง A ∩ E = φ และ E ⊆ B มเทากบ 2n−m เซต3. จำนวนเซต E ซง A � E และ E ⊆ B มเทากบ 2n − 2n−m เซต4. จำนวนเซต E ซง A ∩ E �= φ ซง E ⊆ B มเทากบ 2n − 2n−m เซต

7. สมบตบางประการของเซต1. φ ⊆ A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B ⊆ U2. ถา A ⊆ B แลว A ∪ B = B และ A ∩ B = A

3. ถา A ⊆ B และ C ⊆ D แลว (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D) และ (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)4. φ ∪ A = A และ φ ∩ A = φ

5. U ∪ A = U และ U ∩ A = A

6. A ∪ A = A และ A ∩ A = A

7. φ′= U และ U ′

8. ถา A ⊆ B แลว B′ ⊆ A

9. (A′)′= A

10. (A ∪ B)′= A

′ ∩ B′ และ (A ∩ B)

′= A

′ ∪ B′

11. A − B = A ∩ B′

12. A ∪ A′= U และ A ∩ A

′= φ

13. A ∪ B = B ∪ A และ A ∩ B = B ∩ A

14. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) และ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)15. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) และ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)16. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)17. n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)18. n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)

การใหเหตผล (Reasoning)

การใหเหตผลทางคณตศาสตรทสำคญมอย 2 วธไดแก การใหเหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนย1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)

หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆ ครงจากกรณยอยแลวนำมาสรปเปนความรแบบทวไป

2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)หมายถง วธการสรปขอเทจจรงโดยการนำความรพนฐาน ความเชอ ขอตกลง หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลนำไปสขอสรปการใหเหตผลแบบนรนยประกอบดวยสองสวนคอ เหต หรอ สมมตฐาน และ ผล ถาการยอมรบสมมตฐานสามารถนำไปส

การสรปสวนทเปนผลไดอยางสมเหตสมผล (Valid) จะถอวาการสรปผลนนถกตอง โดยการตรวจสอบการสมเหตสมผลสามารถใชการวาดแผนภาพตามสมตฐาน แลวพจารณาวาแผนภาพแตละกรณแสดงผลสรปตามผลทตงไวหรอไม

ถาทกกรณของแผนภาพแสดงผลตามทกำหนด จะไดวาการสรปผลนนสมเหตสมผลถามแผนภาพบางกรณไมสอดคลองกบผลทสรป จะไดวาการสรปผลนนไมสมเหตสมผล

ขอความ แผนภาพ

สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

ไมมสมาชกตวใดของ A เปนสมาชกของ B

มสมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B

มสมาชกบางตวของ A ไมเปนสมาชกของ B

มสมาชกของ A หนงตวทเปนสมาชกของ B

มสมาชกของ A หนงตวทไมเปนสมาชกของ B

1. แผนผงแสดงความสมพนธของระบบจำนวนจรง

จำนวนจรง (R)

จำนวนอตรรกยะ(Q′) จำนวนตรรกยะ(Q)

จำนวนตรรกยะทไมใชจำนวนเตม(I′) จำนวนเตม(I)

จำนวนเตมลบ(I−) จำนวนเตมศนย(0) จำนวนเตมบวก(I+)จำนวนนบ(N)

นยาม จำนวนเตมบวก p เปน จำนวนเฉพาะ (prime number) กตอเมอ p �= 1 และถาจำนวนเตม x หาร p

ลงตว จะไดวา x ∈ {1,−1, p,−p} จำนวนเตมบวกอนนอกเหนอจาก 1 และจำนวนเฉพาะ เรยกวาจำนวนประกอบ(composite numbers)นยาม เรยกจำนวนเตม m และ n วาเปน จำนวนเฉพาะสมพทธ (relatively primes) เมอ ห.ร.ม. ของ m และn คอ 1

2. ชวง เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจำนวนจรง และ a < b

ชวง ความหมาย(a, b) { x | a < x < b }[a, b] { x | a ≤ x ≤ b }(a, b] { x | a < x ≤ b }[a, b) { x | a ≤ x < b }

(a,∞) { x | x > a }[a,∞) { x | x ≥ a }

(−∞, a) { x | x < a }(−∞, a] { x | x ≤ a }(−∞,∞) R

3. การแยกตวประกอบ1. ดงตวรวม2. สามพจนสองวงเลบ3. สพจนสองวงเลบ4. ผลตางกำลงสอง A2 − B2 = (A + B)(A − B)

จำนวนจรง (Real Number)

ผลตางกำลงสาม A3 − B3 = (A − B)(A2 + AB + B2)ผลบวกกำลงสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 − AB + B2)กำลงสองสมบรณ (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2

5. ทฤษฎบทเศษเหลอ (remainder theorem)เมอ P (x) คอพหนาม anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 โดยท n เปนจำนวนเตมบวกan, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R ซง an �= 0 ถาหารพหนาม P (x) ดวย x − c เมอ c เปนจำนวนจรงแลวเศษจะเทากบ P (c)

เศษทไดจากการหารพหนาม P (x) ดวย x − c คอ P (c)

6. ทฤษฎบทตวประกอบ (factor theorem)เมอ P (x) คอพหนาม anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 โดยท n เปนจำนวนเตมบวกan, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R ซง an �= 0 พหนาม P (c) นจะม x − c เปนตวประกอบกตอเมอ P (c) = 0

P (c) = 0 กตอเมอ x − c หาร P (x) ลงตว

7. ทฤษฎบทตวประกอบจำนวนตรรกยะเมอ P (x) คอพหนาม anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0 โดยท n เปนจำนวนเตมบวกan, an−1, . . . , a1, a0 ∈ Z ซง an �= 0 ถา x − k

m เปนตวประกอบของพหนาม P (x) โดยท m

และ k เทากบ 1 แลว m จะเปนตวประกอบของ an และ k จะเปนตวประกอบของ a0

4. การแกสมการและอสมการขอควรระวง 1. สมการพหนามกำลงสอง ax2 + bx + c = 0 จะได x = −b±√b2−4ac

(x ∈ R เมอ b2 − 4ac ≥ 0 )2. หามนำศนยคณตลอดทงสมการและอสมการ3. ถานำจำนวนลบคณตลอดทงอสมการ ตองเปลยนเครองหมายอสมการเปนตรงขาม4. ถานำจำนวนบวกคณตลอดทงอสมการ ไมตองเปลยนเครองหมายอสมการ

5. คาสมบรณ การแกสมการและอสมการคาสมบรณนยาม

|Δ| =

⎧⎨⎩ Δ เมอΔ ≥ 0;

−Δ เมอΔ < 0

ทฤษฎบท1. |a| ≥ 02. |a| = | − a|3. |ab| = |a||b|4. |ab | = |a|

|b|5. |a − b| = |b − a|6. |a|2 = a2

7. |a + b| ≤ |a| + |b|8. เมอ a เปนจำนวนบวกแลว

(i) |x| < a กตอเมอ −a < x < a

(ii) |x| ≤ a กตอเมอ −a ≤ x ≤ a

9. เมอ a เปนจำนวนบวกแลว(i) |x| > a กตอเมอ x < −a หรอ x > a

(ii) |x| ≥ a กตอเมอ x ≤ −a หรอ x ≥ a

นยาม กำหนดให a เปนจำนวนจรงแลว√

a2 = |a|การแกสมการและอสมการคาสมบรณ ทำไดโดย 1. ใชนยาม

2. ยกกำลงสองทงสองขาง (ระวงเครองหมาย)3. แยกกรณ

6. หารลงตว ห.ร.ม. และค.ร.น.ให m และ n �= 0 เปนจำนวนเตม n หาร m ลงตว กตอเมอมจำนวนเตม c ซง m = nc เรยก n

วาตวหาร(divisor) ตวหนงของ m

ใช n | m แทน n หาร m ลงตวใช n � m แทน n หาร m ไมลงตว

ทฤษฎบท mn = (m, n)[m,n]

ตรรกศาสตร (Logic)

1. ประพจน (Proposition or Statement)ประพจนคอ ประโยคทเปนมคาความจรงเปนจรง หรอมคาความจรงเทจ อยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว ซงอาจอยในรปประโยคบอกเลาหรอปฏเสธกได แทนคาความจรง “ จรง ” ดวย T และแทนคาความจรง “ เทจ ” ดวย F

2. การเชอมประพจนเมอมประพจนหลาย ๆ ประพจน เราสามารถสรางประพจนใหมไดโดยการเชอมประพจนเหลานนเขาดวยกน โดยใชตวเชอม(Connectives) ซงมอยดวยกน 5 แบบ คอ

2.1 ∼ (นเสธ)2.2 ∧ (และ)2.3 ∨ (หรอ)2.4 → (ถา . . . แลว)2.5 ↔ (กตอเมอ)

เมอกำหนดให p และ q เปนประพจนใด ๆ ขอกำหนดในการเชอมประพจน ดวยตวเชอมขางตนเปนดงน

p ∼ p

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T

3. การสรางตารางคาความจรงและการสมมลของประพจนในการพจารณารปแบบตาง ๆ ทเปนไดสำหรบประพจนใด ๆ จะตองพจารณาจากคาความจรงทเปนไปไดของประพจนยอย ทกกรณ เชน

ถามประพจนเดยวคอ p คาความจรงของประพจนเปนไปได 2 กรณ คอ จรงกบเทจถามประพจนยอยสองประพจนคอ p และ q คาความจรงของประพจนเปนไปได 4 กรณ คอ

p จรง q จรง , p จรง q เทจp เทจ q จรง , p เทจ q เทจ

นนคอ ประพจนทประกอบดวย n ประพจนยอย จะมคาความจรงทเปนไปไดทงหมด 2n กรณ

ประพจนใด ๆ สองประพจนจะสมมลกน กตอเมอ ไมวาคาความจรงในประพจนยอยจะเปนอยางไร คาความจรงของทงสองประพจนนน จะเหมอนกนทกกรณ การตรวจสอบการสมมลสามารถทำไดโดยสรางตารางคาความจรง หรอใชทฤษฎของการ สมมลในการตรวจสอบ

ทฤษฎบท กำหนดใหp, q และ r เปนประพจนใดๆ จะไดวา3.3.1 กฏการสลบท

p ∨ q ≡ q ∨ p

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ↔ q ≡ q ↔ p

3.3.2 กฏการกระจาย

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

3.3.3 กฏการจดหม

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3.3.4 เอกลกษณ

p ∨ p ≡ p

p ∧ p ≡ p

p ∧ T ≡ p

p ∨ F ≡ p

3.3.5 p → q ≡ ∼ p ∨ q ≡ ∼ q →∼ p

3.3.6 ∼ (∼ p) ≡ p

3.3.7 ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

∼ (p → q) ≡ p ∧ ∼ q

3.3.8 p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

หมายเหต สำหรบการพสจนทฤษฎบทขางตน สามารถทำไดเองโดยการสรางตารางคาความจรง

4. สจนรนดร (Tautology)เราจะเรยกประพจนใดวา สจนรนดร กตอเมอ ไมวาคาความจรงของประพจนยอยจะเปนอะไรกตาม คาความจรงของประพจนนนจะเปนจรงเสมอ

เชน สามารถแสดงวาประพจน (p → q) ↔ (∼ q →∼ p) เปนสจนรนดรไดโดยสรางตาราง

p q ∼ q ∼ p p → q ∼ q →∼ p (p → q) ↔ (∼ q →∼ p)

T T F F T T T

T F T F F F T

F T F T T T T

F F T T T T T

5. ประโยคเปดและวลบงปรมาณประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปร ประโยคเปดไมเปนประพจน แตถาแทนตวแปรดวยสมาชก ในเอกภพสมพทธแลวประโยคเปดจะกลายเปนประพจน ในการทำประโยคเปดใหเปนประพจนสามารถทำไดโดยการใส วลบงปรมาณ ซงมอยสองตว คอ “ ∀ ” (for all, ทก ๆ ) และ “ ∃ ” (for some,บางตว ) ซงการกำหนดคาความจรงและ การใสนเสธเปนไปตามตารางตอไปน

ขอความ นเสธ เงอนไขททำใหเปนจรง เงอนไขททำใหเปนเทจ∀x P (x) ∃x ∼ P (x) ทก ๆ x ในเอกภพสมพทธ มบาง x ในเอกภพสมพทธ

ททำให P (x) จรง ททำให P (x) เทจ∃x P (x) ∀x ∼ P (x) มบาง x ในเอกภพสมพทธ ทก ๆ x ในเอกภพสมพทธ

ททำให P (x) จรง ททำให P (x) เทจ

ประโยคเปดสองตวแปร ในบางครงประโยคเปดอาจมตวแปรมากกวาหนงตว การกำหนดคาความจรงและ การใสนเสธของประโยคเปดสองตวแปร เปนดงน

ให P (x, y) เปนประโยคเปดใด ๆ จะไดวา

ขอความ นเสธ เงอนไขททำใหเปนจรง เงอนไขททำใหเปนเทจ∀x ∀y P (x, y) ∃x ∃y ∼ P (x, y) ทก ๆ x ทก ๆ y ในเอกภพ มบาง x และมบาง y ในเอกภพ

สมพทธ ทำให P (x, y) จรง สมพทธททำให P (x, y) เทจ∀x ∃y P (x, y) ∃x ∀y ∼ P (x, y) ทก ๆ x ในเอกภพสมพทธจะหา มบาง x ททำใหทก y ในเอกภพ

y ททำให P (x, y) จรงได สมพทธ ทำให P (x, y) เทจ∃x ∀y P (x, y) ∀x ∃y ∼ P (x, y) มบาง x ททำใหทก y ในเอกภพ ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา

สมพทธ ทำให P (x, y) จรง y ททำให P (x, y) เทจได∃x ∃y P (x, y) ∀x ∀y ∼ P (x, y) มบาง x และมบาง y ในเอกภพ ทก x และทก y ในเอกภพสมพทธ

สมพทธ ททำให P (x, y) จรง สมพทธ ทำให P (x, y) เทจ

6. การอางเหตผลการอางเหตผล คอการอางวาเมอมขอความ p1, p2, . . . , pn ชดหนงเปนจรง เราสามารถสรป ขอความ c ไดหรอไมนนคอขอความ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → c เปนสจนรนดร หรอไมนนเอง

ถาขอความ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → c เปนสจนรนดร เราจะกลาววา การอางเหตผลน สมเหตสมผล(valid) ถาไมเปนสจนรนดร จะกลาววา การอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล (invalid)

ความสมพนธและฟงกชน(Relation and Function)

1. ผลคณคารทเซยน (Cartesian product)นยาม กำหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของA และ B คอ

A × B = { (a, b) | a ∈ A และ b ∈ B }ขอสงเกต1. ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B เปนเซต ดงนนจงสามารถพดถงนยามตาง ๆ ของเซตได2. n(A × B) = n(A) · n(B) = n(B × A)3. A × B เทยบเทา B × A แต A × B ไมจำเปนตองเทากบ B × A

4. ถา A = φ หรอ B = φ จะไดวา A × B = φ

2. ความสมพนธนยาม กำหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ ความสมพนธจาก A ไป B (relation from A to B ) คอสบเซตของ A × B

เรยก r วาเปน ความสมพนธ ถา r เปนความสมพนธจาก R ไป R

เรยก r วาเปน ความสมพนธบน A ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป A

ขอสงเกต1. จำนวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B มจำนวน 2n(A)·n(B) ความสมพนธ2. φ และ A × B เปนความสมพนธจาก A ไป B เสมอ

3. โดเมนและเรนจนยาม กำหนดให r เปนความสมพนธใด ๆ เรานยามโดเมน (Domain) ของ r คอเซต Dr = { x | ม y ซงทำให (x, y) ∈ r }เรนจ (Range) ของ r คอเซต Rr = { y | ม x ซงทำให (x, y) ∈ r }

ขอสงเกต1. อาจคดงาย ๆ ไดวา โดเมนของ r กคอ เซตทเกบสมาชกตำแหนงแรกของ r และ เรนจของ r กคอ เซตทเกบสมาชกตำแหนงหลงของ r

2. ในการหาโดเมนของความสมพนธ r นน เราจะเขยนสมการในรป y = f(x) จากนนจงพจารณาคาx ทเปนไปไดทงหมด สวนในการหาเรนจของความสมพนธ r นน เราจะเขยนสมการในรปx = g(y) จากนนจงพจารณาคา y ทเปนไปไดทงหมด

4. กราฟของความสมพนธนยาม กราฟของความสมพนธ r คอเซตของจดในระนาบโดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r

5. อนเวอรสของความสมพนธนยาม อนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธ ทเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนา และ

สมาชกตวหลง ในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r อนเวอรสของความสมพนธ r แทนดวย r−1

6. ฟงกชน (Function)นยาม ฟงกชน คอ ความสมพนธซงในสองคอนดบใด ๆ ของความสมพนธนน ถามสมาชกตวหนาเทากนแลว สมาชกตวหลงตองเทากนดวย

ฟงกชน f คอ ความสมพนธ ซงถาม (x, y) ∈ f และ (x, z) ∈ f แลว y = z

ขอสงเกต เราอาจตรวจสอบวาการเปนฟงกชนไดโดย ใชกราฟ กลาวคอเมอวาดกราฟของความสมพนธ แลวสามารถหาเสนตรงทขนานกบแกน y ทตดกราฟอยางนอยสองจด จะกลาวไดวา ความสมพนธนน ไมเปนฟงกชน เพราะจดตดทพบนนกคอสมาชกในความสมพนธทมสมาชกตวหนาเหมอนกนแตสมาชกตวหลงตางกน

7. ฟงกชนประเภทตางๆ

1. ฟงกชนจาก A ไป B (function from A into B ) f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f

เปนฟงกชนทม A เปนโดเมน และมสบเซตของ B เปนเรนจ เขยนแทนดวย f : A → B

2. ฟงกชนจาก A ไปทวถง B (function from A onto B ) f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอf เปนฟงกชนทม A เปนโดเมน และม B เปนเรนจ เขยนแทนดวย f : A

−→onto B

3. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B (one-to-one function from A to B ) f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B ซงถา y ∈ Rf แลวจะม x ∈ Df เพยงตวเดยวเทานนททำให(x, y) ∈ f เขยนแทนดวย f : A 1−1−→ B

f เปนฟงกชน 1 − 1 กตอเมอ ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2

4. ฟงกชนเพม ให f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ A ⊆ B f เปนฟงกชนเพมใน A กตอเมอสำหรบสมาชก x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)

5. ฟงกชนลด ให f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R และ A ⊆ B f เปนฟงกชนลดใน A กตอเมอสำหรบสมาชก x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)

6. ฟงกชนเชงเสน (linear function) คอฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b ∈ R

7. ฟงกชนคงท (constant function) คอฟงกชนเชงเสนทม a = 0 กราฟของฟงกชนจะเปนเสนตรงขนานกบแกน x

8. ฟงกชนขนบนได (step function) คอฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนคงตวเปนชวง ๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชนจะมรปคลายบนได

9. ฟงกชนกำลงสอง (quadratic function) คอฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c ∈ R

และ a �= 0

10. ฟงกชนพหนาม (polynomial function) คอฟงกชนทอยในรป

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x

2 + a1x + a0

โดยท an, an−1, . . . , a1, a0 เปนคาคงตว และ n เปนจำนวนเตมทมากกวาหรอเทากบศนย

11. ฟงกชนตรรกยะ (rational function) คอฟงกชนทอยในรป f(x) = p(x)q(x) เมอ p, q เปนฟงกชน

พหนาม

12. ฟงกชนคาบ (periodic function) ฟงกชน f ซงไมใชฟงกชนคงทจะเปนฟงกชนคาบกตอเมอ มจำนวนจรงp ซง f(x + p) = f(x) สำหรบทกคาของ x และ x + p ทอยในโดเมนของ f

13. ฟงกชนคอมโพสท (Composite function) ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf ∩ Dg �= φ

ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g เขยนแทนดวย g ◦ f กำหนดโดย (g ◦ f)(x) = g(f(x)) สำหรบทก x

ซง f(x) ∈ Dg

14. ฟงกชนอนเวอรส (inverse function) ให f เปนฟงกชน f−1 เปนฟงกชน กตอเมอ f

เปนฟงกชนหนงตอหนง

15. พชคณตของฟงกชน (algebra of function) กำหนดให f และ g เปนฟงกชนในเซตของจำนวนจรง

f + g = { (x, y) | y = f(x) + g(x) และ x ∈ Df ∩ Dg}f − g = { (x, y) | y = f(x) − g(x) และ x ∈ Df ∩ Dg}f · g = { (x, y) | y = f(x) · g(x) และ x ∈ Df ∩ Dg}

fg = { (x, y) | y = f(x)

g(x) เมอ x ∈ Df ∩ Dg และ g(x) �= 0}

เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย(Analytic geometry and Conic section)

1. เรขาคณตวเคราะห

ระยะหางระหวางจดสองจด ระยะหางระหวางจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) คอ

|P1P2| =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

จดกงกลางระหวางจดสองจด ให P (x, y) เปนจดกงกลางระหวางจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2)

P (x, y) =(

x1+x22 , y1+y2

จดทแบงระยะหางระหวางจดสองจดเปนอตราสวน m : n ให P (x, y) เปนจดทแบงระยะหางระหวางจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) เปน m : n กลาวคอ |PP1| : |PP2| = m : n

P (x, y) =(

nx1+mx2m+n , ny1+my2

ความชน 1. ให L เปนเสนตรงทผานจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) โดยท x1 �= x2 จะไดวา m

เปนความชนของเสนตรง L กตอเมอ

m = y1−y2

x1−x2

2. ถาเสนตรง L ทำมม θ กบแกน X แลว

ความชนของ L = tan θ

3. ถาเสนตรง L1 และ L2 มความชนเปน m1 และ m2 ตามลำดบ จะไดวา

L1 ‖ L2 ↔ m1 = m2

m1 · m2 = −1 ↔ L1 ⊥ L2

ระยะหางระหวางจดกบเสน ระยะทางระหวางเสนตรง Ax + By + C = 0 กบจด (x1, y1) คอ

d = |Ax1+By1+C|√A2+B2

ระยะหางระหวางเสนขนาน ระยะหางระหวางเสนขนาน Ax+By +C1 = 0 กบ Ax+By +C2 = 0 คอ

d = |C1−C2|√A2+B2

ขอระวง ตองทำให A และ B ของทงสองสมการเทากนกอนจงจะใชสตรได

2. ภาคตดกรวย

1. วงกลมนยาม วงกลมคอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงอยหางจากจดคงท(จดศนยกลาง) จดหนงบนระนาบเปนระยะทางเทากน(รศม) เสมอ

สมการวงกลม

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

องคประกอบ

จดศนยกลาง (h, k)

รศม r

ขอสงเกต1. ใชกำลงสองสมบรณในการแปลงสมการใหอยในรปแบบมาตรฐาน เพอหาจดศนยกลาง และรศม2. x และ y นนมกำลงสองเทากน มสมประสทธเทากน และบวกกนอย3. รศมมากกวาศนย ถารศมเปนศนย จะไดกราฟเปนจดศนยกลางจดเดยว

2. พาราโบลานยาม พาราโบลาคอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงอยหางจากเสนตรงคงท(ไดเรกทรกซ) เสนหนงบนระนาบ และจดคงท(โฟกส) จดหนง เปนระยะทางเทากนเสมอ

สมการพาราโบลา

(x − h)2 = 4c(y − k)

(y − k)2 = 4c(x − h)

องคประกอบ พาราโบลาแบบครอมแกน x พาราโบลาแบบครอมแกน y

จดยอด (h, k) (h, k)โฟกส (h + c, k) (h, k + c)

สมการไดเรกทรกซ x = h − c y = k − c

ความกวางของพาราโบลา ณ จดโฟกส |4c| |4c|แกนของพาราโบลา y = k x = h

ขอสงเกต1. กราฟของสมการพาราโบลาจะครอมทางแกนกำลงหนง2. จดโฟกสไดจากการบวก c เขากบจดยอด ตามแกนทครอม

3. วงรนยาม วงรคอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจดคงท(จดโฟกส) สองจดบนระนาบมคาคงตว โดยคาคงตวนมากกวาระยะหางของจดคงททงสอง

สมการวงร

(x−h)2

a2 + (y−k)2

(x−h)2

b2+ (y−k)2

a2 = 1

องคประกอบ วงรแบบครอมแกน x วงรแบบครอมแกน y

ศนยกลาง (h, k) (h, k)จดยอด(V, V

′) (h ± a, k) (h, k ± a)

โฟกส(F, F′) (h ± c, k) (h, k ± c)

จดปลายแกนโท(B,B′) (h, k ± b) (h ± b, k)

ความยาวแกนเอก 2a 2a

ความยาวแกนโท 2b 2b

ความกวางของวงร ณ โฟกส 2b2

ขอสงเกต1. ความสมพนธของ a, b และ c คอ b2 = a2 − c2

2. a มากกวา b

3. a หรอตวมาก อยใตแกนใด กราฟครอมไปทางแกนนน4. ครอมแกนไหนแกนนนเปลยน (เปลยนจาก (h, k) โดยการเลอนดวย a สำหรบจดยอด และ c สำหรบโฟกส)5. ความยาวคงททกลาวถงในนยามยาว 2a นนคอ สำหรบจด P ใด ๆ บนวงรจะไดวา |PF |+ |PF ′ | = 2a

4. ไฮเพอรโบลานยาม ไฮเพอรโบลาคอ เซตของจดทกจดบนระนาบ ซงผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจดคงท(จดโฟกส)สองจดบนระนาบ มคาคงตวซงมากกวาศนย แตนอยกวาระยะหางระหวางจดคงททงสอง

สมการไฮเพอรโบลา

(x−h)2

a2 − (y−k)2

(y−k)2

a2 − (x−h)2

องคประกอบ ไฮเพอรโบลาแบบครอมแกน x ไฮเพอรโบลาแบบครอมแกน y

ศนยกลาง (h, k) (h, k)จดยอด(V, V

′) (h ± a, k) (h, k ± a)

โฟกส(F, F′) (h ± c, k) (h, k ± c)

จดปลายแกนสงยค(B,B′) (h, k ± b) (h ± b, k)

ความยาวแกนตามขวาง 2a 2a

ความยาวแกนสงยค 2b 2b

ความกวางของไฮเพอรโบลา ณ โฟกส 2b2

สมการเสนกำกบ(asymptote) (y − k) = ± ba(x − h) (y − k) = ±a

b (x − h)

ขอสงเกต1. ความสมพนธของ a, b และ c คอ b2 = c2 − a2

2. a กบ b เปรยบเทยบกนไมได3. ใตแกนใดเปนบวก กราฟครอมไปทางแกนนน4. ใตแกนบวกเปน a2 (กราฟครอมไปทางแกนไหน ใตแกนนนเปน a2 )5. ครอมแกนไหนแกนนนเปลยน (เปลยนจาก (h, k) โดยการเลอนดวย a สำหรบจดยอด และ c สำหรบโฟกส)6. ความยาวคงททกลาวถงในนยามยาว 2a นนคอ สำหรบจด P ใด ๆ บนวงรจะไดวา

| |PF | − |PF ′ | | = 2a

7. ในการแปลงรปสมการโดยใชกำลงสองสมบรณ จงระมดระวงเครองหมายเมอดงตวรวมทเปนลบ

ตรโกณมต (Trigonometry)

1. สตรตรโกณมต1. คามมและนยามพนฐาน

มม (θ) 0 30 (π6 ) 45 (π

4 ) 60 (π3 ) 90 (π

sin θ 0 12

2 1cos θ 1

tan θ 0 1√3

3 ไมนยาม

sin (−θ) = − sin θ

cos (−θ) = cos θ

tan θ = sin θcos θ ; cos θ �= 0

sec θ = 1cos θ ; cos θ �= 0

csc θ = 1sin θ ; sin θ �= 0

cot θ = cos θsin θ ; sin θ �= 0

2. สตรตรโกณมตพนฐาน

sin2 θ + cos2 θ = 11 + cot2 θ = csc2 θ ; sin θ �= 0tan2 θ + 1 = sec2 θ ; cos θ �= 0

sin(A ± B) = sin A cos B ± sin B cos A

cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B

tan(A ± B) = tan A±tan B1∓tan A tan B

cot(A ± B) = cot A cot B∓1cot A±cot A

2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B)2 cos A sin B = sin(A + B) − sin(A − B)2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B)2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B)

sin A + sin B = 2 sin(A+B2 ) cos(A−B

2 )sin A − sin B = 2 cos(A+B

2 ) sin(A−B2 )

cos A + cos B = 2 cos(A+B2 ) cos(A−B

2 )cos A − cos B = −2 sin(A+B

2 ) sin(A−B2 )

sin 2A = 2 sinA cos A

= 2 tan A1+tan2 A

cos 2A = cos2 A − sin2 A

= 1 − 2 sin2 A

= 2 cos2 A − 1tan 2A = 2 tan A

1−tan2 A

sin 3A = 3 sinA − 4 sin3 A

cos 3A = 4 cos3 A − 3 cos A

tan 3A = 3 tan A−tan3 A1−3 tan2 A

sin A2 = ±

√1−cos A

cos A2 = ±

√1+cos A

tan A2 = ±

√1−cos A1+cos A

3. อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชน โดเมน เรนจ

sin [−π2 , π

2 ] [−1, 1]cos [0, π] [−1, 1]tan (−π

2 , π2 ) R

csc [−π2 , 0) ∪ (0, π

2 ] (−∞,−1] ∪ [1,∞)sec [0, π

2 ) ∪ (π2 , π] (−∞,−1] ∪ [1,∞)

cot (0, π) R

ฟงกชน โดเมน เรนจ

arcsin [−1, 1] [−π2 , π

2 ]arccos [−1, 1] [0, π]arctan R (−π

2 , π2 )

arccsc (−∞,−1] ∪ [1,∞) [−π2 , 0) ∪ (0, π

2 ]arcsec (−∞,−1] ∪ [1,∞) [0, π

2 ) ∪ (π2 , π]

arccot R (0, π)

4. กฏของโคไซนและไซน

กฏของไซน (sine - law)

sin Aa = sin B

b = sin Cc

กฏของโคไซน (cosine - law)

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

ฟงกชนชกำลงและฟงกชนลอการทม(Exponential function and Logarithmic function)

1. เลขชกำลงนยาม ให a ∈ R, n ∈ N

1. an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n copies

2. a−n = 1an เมอ a �= 0

3. a0 = 1 เมอ a �= 0

สมบต ให a, b ∈ R และ m,n ∈ Q, am, an, bn ∈ R

1. am · an = am+n

an = am−n เมอ a �= 03. (an)m = anm

4. (ab)n = anbn

5. (ab )n = an

bn เมอ b �= 0

2. คารากของจำนวนจรงนยาม กำหนด x, y ∈ R, n ∈ N − {1}

1. y เปนคารากท n ของ x กตอเมอ yn = x

2. y เปนคาหลกรากท n ของ x กตอเมอ(i) yn = x

(ii) xy ≥ 0เราใชสญลกษณ n

√x หรอ x

1n แทนคาหลกรากท n ของ x

สมบต ให x, y ∈ R, m, n ∈ N − {1}1. ถา x มคารากท n แลว ( n

√x)n = x

2. ถา x และ y มคารากท n แลว n√

x n√

y = n√

3. ถา x และ y มคารากท n และ y �= 0 แลว n√xn√

4. ถา x เปนจำนวนจรงบวกแลว xmn = (xm)

1n = (x

5. ถา x มคารากท n, m แลว x จะมคารากท nm

6. n√

xn = |x| เมอ n เปนจำนวนคn√

xn = x เมอ n เปนจำนวนค7. ถา x > 0 แลว n

√x > 0

ถา x < 0 แลว n√

x < 0ถา x = 0 แลว n

√x = 0

3. การหาคาของ√

x ± 2√

y ให x, y ∈ [0,∞) โดยท x ≥ 2√

y√x ± 2

√y =

√a ±√

b โดย x = a + b, y = ab และ a ≥ b

4. ฟงกชนชกำลง

expa = {(x, y) | y = ax} โดยท a > 0, a �= 1

y = ax

0 < a < 1 a > 1ฟงกชนลด ฟงกชนเพม

1. ผานจด (0, 1) เสมอ2. ไมตดแกน X

3. เปนฟงกชนหนงตอหนง (มอนเวอรส)4. โดเมน คอ R เรนจคอ R+

การแกสมการและอสมการฟงกชนชกำลงสำหรบ 0 < a < 1 หรอ a > 1

ax = ay ↔ x = y

สำหรบ 0 < a < 1

ax > ay ↔ x < y

ax ≥ ay ↔ x ≤ y

สำหรบ a > 1

ax > ay ↔ x > y

ax ≥ ay ↔ x ≥ y

ขอสงเกต 1. ในการจดรปสมการมกมการสมมตตวแปร2. อาจมบางคำตอบทเปนไปไมได

5. ฟงกชนลอการทม

loga = exp−1a = {(x, y) | y = loga x} โดยท a > 0, a �= 1

y = loga x

0 < a < 1 a > 1ฟงกชนลด ฟงกชนเพม

1. ผานจด (1, 0) เสมอ2. ไมตดแกน Y

3. เปนฟงกชนหนงตอหนง (มอนเวอรส)4. โดเมน คอ R+ เรนจคอ R

การแกสมการและอสมการฟงกชนลอการทมสำหรบ 0 < a < 1 หรอ a > 1

loga x = loga y ↔ x = y

สำหรบ 0 < a < 1

loga x > loga y ↔ x < y

loga x ≥ loga y ↔ x ≤ y

สำหรบ a > 1

loga x > loga y ↔ x > y

loga x ≥ loga y ↔ x ≥ y

ขอสงเกต 1. x = ay ↔ y = loga x

2. เรยก x วาเลขหลงลอค ซงตองมากกวา 03. ในการจดรปสมการมกมการสมมตตวแปร4. อาจมบางคำตอบทเปนไปไมได ตองตรวจคำตอบเสมอ

สมบตของฟงกชนลอการทม (เมอทกพจนมความหมาย)1. loga 1 = 02. loga a = 13. loga xy = loga x + loga y

4. logaxy = loga x − loga y

5. logam xn = nm loga x

6. aloga x = x

7. เขยน log x แทน log10 x โดยเรยก log x วาลอการทมสามญเขยน lnx แทน loge x เมอ e ≈ 2.7182818 โดยเรยก lnx วาลอการทมธรรมชาต

8. loga x = logc xlogc a = log x

log a = ln xln a = 1

logx a เมอ c > 0 และ c �= 1

9. กำหนดให log N = n + log n0 โดยท 1 ≤ n0 < 10 และ n ∈ I

เรยก n วาคาคาแรกเทอรสตก(characteristic) และเรยก log n0 วาคาแมนทสสา(mantissa)10. log x = y ↔ x =antilog y

เมทรกซ (Matrix)

1. เมทรกซนยาม เมทรกซ คอ ชดของจำนวน mn ตว ซงเขยนเรยงกน m แถว n หลก ภายในเครองหมายวงเลบในรปแบบ ⎡

⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

เรยก aij วาสมาชก(entry) ในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ หรอเรยกวาสมาชกในตำแหนงท ij

ของเมทรกซ เมอ i = 1, 2, . . . ,m และ j = 1, 2, . . . , n

เรยก เมทรกซทม m แถว n หลก วาเปน m × n เมทรกซและเรยก m × n วาเปนมตของเมทรกซ

นยาม ถา A เปน m× n เมทรกซใด ๆ แลวทรานโพสของ A แทนดวย At คอ n×m เมทรกซ ทมหลกทi เหมอนแถวท i ของเมทรกซ A เมอ i = 1, 2, . . . ,m

นยาม A = B กตอเมอ A และ B มมตเทากน และ aij = bij สำหรบทก ๆ คาของ i และ j

การบวกและการคณของเมทรกซนยาม ถาเมทรกซ A = [aij ]m×n และ B = [bij ]m×n จะได A + B = [aij + bij ]m×n

นยาม การคณเมทรกซดวยจำนวนจรง : ถา A = [aij ]m×n และ c เปนจำนวนจรงแลว cA = [caij ]m×n

นยาม ถา A และ B เปน m × n เมทรกซ แลว A − B = A + (−B)นยาม การคณเมทรกซดวยเมทรกซ : กำหนดให A = [aij ]m×n และ B = [bij ]m×n ผลคณของ AB คอ[cij ]m×n เมอ cij = ai1b1j + · · · + ainbnj

ขอสงเกต เมทรกซจะคณกนไดกตอเมอจำนวนหลกของตวตงตองเทากบจำนวนแถวของตวคณขอตกลง สำหรบจำนวนนบ n ใด ๆ An = A · A · . . . · A︸︷︷︸

n copies

ประเภทของเมทรกซทสำคญเมทรกซศนย แทนดวย 0 หรอ [0]m×n คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปน 0เมทรกซแถว คอเมทรกซทมเพยงแถวเดยวเมทรกซหลก คอเมทรกซทมเพยงหลกเดยวเมทรกซจตรส คอเมทรกซทมจำนวนแถวและจำนวนหลกเทากนเมทรกซทแยงมม คอเมทรกซจตรสทมสมาชก ทไมอยในแนวเสนทแยงมมหลก (แนวทแยงจากมมซายบนไปยงขวาลาง) เปนศนยหมดเมทรกซเอกลกษณ หรอเมทรกซหนงหนวย คอเมทรกซทแยงมมทมสมาชกในแนวทแยงมมหลกเปนหนงทงหมด และสมาชกในตำแหนงอนเปนศนย แทนเมทรกซเอกลกษณขนาด n × n ดวย In

เมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix) เราจะเรยกเมทรกซจตรส A วาเปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอเราสามารถหาเมทรกซจตรส B ซงทำให AB = BA = I เมอ I คอเมทรกซเอกลกษณขนาดเดยวกบเมทรกซAเมทรกซเอกฐาน (singular matrix) คอเมทรกซจตรสทไมใชเมทรกซไมเอกฐาน

นยาม ถา A =

[a11 a12

a21 a22

]เปนเมทรกซจตรสขนาด 2×2 แลวดเทอรมนนตของ A คอa11a22−a21a22

แทนดวย det(A), |A| หรอ∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣นยาม กำหนดเมทรกซ A = [aij ]n×n โดย n > 2 แลวไมเนอรของ aij คอดเทอรมนนตทไดจากการตดแถวท i หลกท j ของเมทรกซ A แทนดวย Mij(A)

นยาม กำหนดเมทรกซ A = [aij ]n×n โดย n > 2 แลวโคแฟคเตอรของ aij คอ (−1)i+jMij(A)แทนดวยCij(A)

ทฤษฎบท กำหนดให A =

⎡⎢⎣ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎤⎥⎦

det(A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)ทฤษฎบท กำหนดให A = [aij ]n×n โดย aij ∈ R โดย n ≥ 21. det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + · · · + ainCin(A) (สำหรบ n > 2 )2. det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + · · · + anjCnj(A) (สำหรบ n > 2 )3. ถา A มสมาชกแถวใดแถวหนง(หลกใดหลกหนง) เปนศนยทกตวแลว det(A) = 04. ถาสลบทระหวางสองแถวหรอสองหลกใด ๆ ของ A แลว ดเทอรมนนตของเมทรกซใหมคอ −det(A)5. ถา A มสมาชกสองแถวหรอสองหลกใด ๆ เหมอนกนแลว det(A) = 06. ถาคณสมาชกทกตวในแถวหรอหลกใด ๆ ของ A ดวยคาคงตว c แลวดเทอรมนนตของเมทรกซใหมคอc · det(A)7. ถาเปลยนแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง)ของ A โดยใชคาคงตวทไมใชศนย คณสมาชกทกตวในแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง)ของ A แลวนำไปบวกกบสมาชกในแถว(หรอหลก)ทตองการเปลยนนน โดยบวกสมาชกในลำดบเดยวกนเขาดวยกน แลวใชผลบวกแทนทสมาชกเดม แลวดเทอรม-นนตของเมทรกซใหม จะเทากบดเทอรมนนตของเมทรกซเดม

นยาม ถา A = [aij ]n×n เมอ n > 1 แลว เมทรกซผกพน(adjoint matrix) ของ A แทนดวย adj(A) คอadj(A) = (Cij(A))t

ทฤษฎบท ถา A = [aij ]n×n เมอ n > 1 แลว A−1 = 1det(A) adj(A) เมอ det(A) �= 0 เรยก A−1

เมทรกซสมมาตร (symmetry matrix) คอเมทรกซทสมาชกแถวทi หลกทj เหมอนกบสมาชกแถวทj หลกท iทฤษฎบท กำหนดให A,B, C เปนเมทรกซขนาด m × n และ 0 เปนเมทรกซศนยขนาด m × n จะไดวา1. A + B เปนเมทรกซขนาด m × n

2. A + (B + C) = (A + B) + C

3. A + 0 = A = 0 + A

4. A + (−A) = 0 = (−A) + A

5. A + B = B + A

6. A(BC) = (AB)C7. A(B + C) = AB + AC

8. AIn = A = InA

9. (AB)t = BtAt และ (ABC)t = CtBtAt

10. (kA)−1 = 1kA−1 เมอ k ∈ R

ดเทอรมนนต (Determinant)

วาอนเวอรสการคณของ A

ทฤษฎบท ถา A =

]และ det(A) �= 0 จะได A−1 = 1

ad−bc

[d −b

−c a

]ทฤษฎบท ถา A = [aij ]n×n, A = [aij ]n×n เมอ n ≥ 2 แลว1. det(A) = det(At)2. det(AB) = det(A)det(B)3. det(An) = (det(A))n

4. det(cA) = cndet(A)5. det(In) = 16. det(A−1) = 1

det(A)

7. det(adj(A)) = (det(A))n−1

2. การหาคำตอบของระบบสมการเชงเสนทฤษฎบท : กฏของคราเมอร จากระบบสมการเชงเสน เขยนสมการเมทรกซไดดงน⎡

⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

...an1 an2 · · · ann

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

ซงอยในรป AX = B ถา A เปนเมทรกซขนาด n × n โดยท det(A) �= 0 แลวระบบสมการทเขยนในรปสมการเมทรกซ AX = B เมอตวไมทราบคาคอ x1, x2, x3, . . . , xn และ b1, b2, b3, . . . , bn เปนคาคงตวมคำตอบคอ

x1 = det(A1)det(A) , x2 = det(A2)

det(A) , x3 = det(A3)det(A) , . . . , xn = det(An)

det(A)

เมอ Ai คอเมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A ดวยหลกของ B

การดำเนนการทางแถว (row operation)คอการดำเนนการกบเมทรกซทจะลดขนตอนและทำใหคำตอบของระบบสมการไมเปลยนแปลง ซงม 3 วธคอ1. การสลบทระหวางแถวท i กบแถวท j แทนดวย Rij

2. การคณสมาชกทกตวในแถวท i ดวยคาคงตว c โดยท c �= 0 แทนดวย cRi

3. การบวกแถวท i ดวย c เทาของแถวท j แทนดวย Ri + cRj

ขอสงเกต การดำเนนการทางแถวสามารถใชในการหาคำตอบของระบบสมการเชงเสน และการหาอนเวอรสการคณ

กำหนดการเชงเสน (Linear Programing)

1. กราฟอสมการเชงเสน1. วาดกราฟสมการเชงเสน (โดยหาจดทสอดคลองกบสมการเชงเสนสองจด มกใชจดตดแกนX

และจดตดแกนY )2. พจารณาอาณาบรเวณ โดยใชจดทไมอยบนเสนกราฟทดสอบ (มกใชจด (0, 0) )

ถาจดททดสอบสอดคลองกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทมจดนนอยถาจดททดสอบขดแยงกบอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบรเวณทอยตรงขามกบบรเวณทมจดนนอย

3. พจารณาวาอสมการนนยอมรบการเทากนไดหรอไม โดยเลอกแทนดวยเสนทบหรอเสนประใหสอดคลอง

2. กราฟของระบบอสมการเชงเสน1. วาดกราฟของอสมการเชงเสน หาบรเวณทสอดคลองในทกๆ อสมการ (คออาณาบรเวณทซอนทบกน)

เรยกอาณาบรเวณนนวา อาณาบรเวณทหาคำตอบได แลวหาพกดของมมของอาณาบรเวณทหาคำตอบได2. ในกรณทระบบอสมการเชงเสนมหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชงเสน อาจตองหาพกดของ

จดตดของสองเสนกอน

3. การแกปญหากำหนดการเชงเสนโดยวธใชกราฟ- ปญหากำหนดการเชงเสนประกอบดวย ฟงกชนจดประสงค (objective function) และอสมการขอจำกด

(constraint inequalities)- ผลเฉลยของปญหาจะเปนพกดทอยในบรเวณทหาคำตอบไดของระบบอสมการเชงเสนทไดมาจาก

อสมการขอจำกดโดยเปนพกดททำใหฟงกชนมคาสงสดหรอตำสดตามฟงกชนจดประสงค- โดยการใชการเลอนของกราฟฟงกชนจดประสงคทมความชนคงท แตมระยะตดแกน Y ทเปลยนแปลง

พบวาคำตอบทตองการจะอยทจดมมของอาณาบรเวณทหาคำตอบได

4. สรปขนตอนการแกปญหากำหนดการเชงเสน1. สมมตตวแปร กำหนดฟงกชนจดประสงค และอสมการขอจำกด2. วาดกราฟของระบบอสมการเชงเสนทไดจากอสมการขอจำกด แลวหาอาณาบรเวณทหาคำตอบได3. หาพกดของจดมมของอาณาบรเวณทหาคำตอบได4. นำจดมมทงหมดไปทดสอบกบฟงกชนจดประสงค โดยเลอกพกดททำใหคาของฟงกชนสงสดหรอตำสด

ตามทตองการ

ขอสงเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคำตอบทเปนจำนวนเตม แตถาพกดทเปนคำตอบไมใชจำนวนเตมจะตองนำพกดทเปนจำนวนเตมทอยใกลเคยงกบจดนน มาพจารณหาพกดทใหคาทดทสดแทน

เวกเตอร (Vectors)

1. ระบบพกดฉากสามมตทฤษฎบท ระยะทางระหวางจด P (x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2) หรอ |

⇀PQ |

มคาเทากบ√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

2. เวกเตอรปรมาณสเกลาร(scalar quantity) คอปรมาณทมแตขนาดปรมาณเวกเตอร(vector quantity) คอปรมาณทมทงขนาดและทศทาง

การเขยนปรมาณเวกเตอร1. เขยนแทนดวยสวนของเสนตรงในระนาบใชสญลกษณ

⇀AB แทนเวกเตอรจาก A ไป B ซงคอ สวนของเสนตรงทมทศจาก A ไป B เรยก A

วาจดเรมตน (initial point) เรยก B วาจดสนสด (terminal point)2. เขยนโดยใชตวเลขถาจด A มพกดเปน (x1, y1) และ B มพกดเปน (x2, y2) จะแทน

⇀AB ดวย

[x2 − x1

y2 − y1

ถาจด A มพกดเปน (x1, y1, z1) และ B มพกดเปน (x2, y2, z2) จะแทน⇀

AB ดวย

⎡⎢⎣ x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

⎤⎥⎦

(ใชจดสนสดลบจดเรมตน)

นเสธของเวกเตอรนเสธของเวกเตอร ⇀

u คอเวกเตอรทมขนาดเทากบขนาดของ ⇀u และมทศทางตรงขามกน แทนดวย − ⇀

ขนาดของเวกเตอรถาจด A และ B มพกดเปน (x1, y1) และ (x2, y2) แลว |

⇀AB | =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

และถาจด A และ B มพกดเปน (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) แลว|

⇀AB | =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 ซง |

⇀AB | = |

⇀BA |

เวกเตอรหนงหนวย(unit vector)เวกเตอรหนงหนวย คอเวกเตอรทมขนาดหนงหนวย ซงเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ ⇀

u คอ 1

|⇀u |⇀u

โคไซนแสดงทศทาง(direction cosines) โคไซนแสดงทศทางของ ⇀a เมอ ⇀

⎡⎢⎣ a1

⎤⎥⎦ ซง | ⇀

a | �= 0

เทยบกบแกน X, Y และ Z ตามลำดบ คอจำนวนสามจำนวนซงเรยงตามลำดบดงน a1

|⇀a | ,a2

|⇀a | ,a3

|⇀a |

นยาม เวกเตอรสองเวกเตอร จะมทศทางเดยวกนกตอเมอมโคไซนแสดงทศทางชดเดยวกน และจะมทศทางตรงขามกนกตอเมอ โคไซนแสดงทศทางเทยบแตละแกนของเวกเตอรหนงเปนจำนวนตรงขามกบโคไซนแสดงทศทางของอกเวกเตอรหนง

นยาม เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

การเทากน[

]กตอเมอ a = c และ b = d

⎡⎢⎣ a

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ d

⎤⎥⎦ กตอเมอ

a = d, b = e และ c = f

การบวกเวกเตอร[

[a + c

] ⎡⎢⎣ a

⎤⎥⎦ +

⎡⎢⎣ d

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ a + d

⎤⎥⎦

เวกเตอรศนย ⇀0 เวกเตอรศนยคอ[

]เวกเตอรศนยคอ

⎡⎢⎣ 0

⎤⎥⎦

การลบเวกเตอร[

[a − c

b − d

] ⎡⎢⎣ a

⎤⎥⎦−

⎡⎢⎣ d

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ a − d

b − e

c − f

⎤⎥⎦

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร α

⎡⎢⎣ a

⎤⎥⎦ =

⎡⎢⎣ αa

⎤⎥⎦

เมอ α เปนจำนวนจรงใดๆ เมอ α เปนจำนวนจรงใดๆ

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร1. ถา c > 0 แลว c

⇀u จะเปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ c| ⇀

u | และมทศทางเดยวกบ ⇀u

2. ถา c < 0 แลว c⇀u จะเปนเวกเตอรทมขนาดเทากบ −c| ⇀

u | และมทศทางตรงขามกบ ⇀u

3. ถา c = 0 แลว c⇀u= 0

4. ให m และ n เปนจำนวนจรงใด ๆ และ ⇀u,

⇀v เปนเวกเตอรใด ๆ แลว

(i) (m + n)⇀u = m

⇀u + n

(ii) (mn)⇀u = m(n

(iii) m(⇀u +

⇀v ) = m

⇀u + m

การขนานกนของเวกเตอรกำหนดให ⇀u และ ⇀

v เปนเวกเตอรทไมใช ⇀0 จะกลาววา ⇀u และ ⇀

v ขนานกนกตอเมอ มจำนวนจรง c ทไมใช0 ททำให ⇀u = c

3. ผลคณเชงสเกลารถา ⇀

u = x1

⇀i + y1

⇀j และ ⇀

v = x2

⇀i + y2

⇀j จะไดวา ⇀

u · ⇀v = x1x2 + y1y2

ถา ⇀u = x1

⇀i + y1

⇀j + z1

⇀k และ ⇀

v = x2

⇀i + y2

⇀j + z2

⇀k จะไดวา ⇀

u · ⇀v = x1x2+y1y2+z1z2

และ ⇀u · ⇀

v= | ⇀u || ⇀

v | cos θ

เมอ θ คอมมระหวาง ⇀u และ ⇀

v , 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ (แบบใชจดเรมตนตอกบจดเรมตน)

สมบตของผลคณเชงสเกลารกำหนดให ⇀u,

⇀v และ ⇀

w เปนเวกเตอรใด ๆ1. ⇀

u · ⇀v =

⇀v · ⇀

2. ⇀u · ⇀

u = | ⇀u |2

3. ⇀u ·(⇀

v +⇀w) =

⇀u · ⇀

v +⇀u · ⇀

4. ถา ⇀u = 0 หรอ ⇀

v = 0 แลว ⇀u · ⇀

v = 05. ถา ⇀

u �=⇀0 และ ⇀

v �=⇀0 แลว ⇀

u⊥⇀v กตอเมอ ⇀

u · ⇀v = 0

6. | ⇀u ± ⇀

v |2 = | ⇀u |2 ± 2

⇀u · ⇀

v +| ⇀v |2

7. ให D เปนจดบน⇀

OB ท⇀

AD⊥⇀

OB จะไดวา⇀

OD= (⇀

OA ·⇀

4. ผลคณเชงเวกเตอรถา ⇀

u = a1

⇀i + a2

⇀j + a3

⇀k และ ⇀

v = b1

⇀i + b2

⇀j + b3

ผลคณเชงเวกเตอรของ ⇀u และ ⇀

v แทนดวย ⇀u × ⇀

v คอเวกเตอร

⎡⎢⎣ a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

⎤⎥⎦

หรอ∣∣∣∣∣ a2 a3

∣∣∣∣∣ ⇀i −

∣∣∣∣∣ a1 a3

∣∣∣∣∣ ⇀j −

∣∣∣∣∣ a1 a2

∣∣∣∣∣ ⇀k

สมบตของผลคณเชงเวกเตอรกำหนดให ⇀u,

⇀v และ ⇀

w เปนเวกเตอรใดๆ ในสามมต และ k เปนจำนวนจรงใดๆ1. ⇀

u × ⇀v = −(

⇀v × ⇀

u)2. (

⇀u +

⇀v )× ⇀

w = (⇀u × ⇀

w) + (⇀v × ⇀

w)3. ⇀

u × (⇀v +

⇀w) = (

⇀u × ⇀

v ) + (⇀u × ⇀

w)4. ⇀

u × (k⇀v ) = k(

⇀u × ⇀

v )5. (k

⇀u)× ⇀

v = k(⇀u × ⇀

v )6. ⇀

u × ⇀u =

7. ⇀i ×

⇀j =

⇀k ,

⇀j × ⇀

k =⇀i ,

⇀k × ⇀

i =⇀j

8. ⇀u ·(⇀

v × ⇀w) = (

⇀u × ⇀

v )· ⇀w

9. ถา ⇀u �= ⇀

0 และ ⇀v �= ⇀

0 จะไดวา | ⇀u × ⇀

v | = | ⇀u || ⇀

v | sin θ

เมอ θ คอมมระหวาง ⇀u และ ⇀

v , 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ (แบบใชจดเรมตนตอกบจดเรมตน)10. สำหรบ ⇀

u �= ⇀0 ,

⇀v �= ⇀

0 และ ⇀u ไมขนานกบ ⇀

v จะไดวา ⇀u × ⇀

v ตงฉากกบ ⇀u และ ⇀

การใชเวกเตอรในการหาพนทสเหลยมดานขนาน| ⇀u × ⇀

v | = | ⇀u || ⇀

v | sin θ เปนพนทของสเหลยมดานขนานทมดานไมขนานยาว | ⇀u |และ | ⇀

v | หนวย

การใชเวกเตอรในการหาปรมาตรของทรงสเหลยมดานขนาน| ⇀

u · (⇀v × ⇀

r )| เปนปรมาตรของสเหลยมดานขนานทรงตน(parallelepiped) ทมดานกวาง ยาว สง เปน⇀r ,

⇀v และ ⇀

u ตามลำดบ

ขอสงเกต 1. ⇀u · (

⇀v × ⇀

r ) =⇀r · (

⇀u × ⇀

v ) =⇀v · (

⇀r × ⇀

u)⇀u · (

⇀v × ⇀

r ) = − ⇀u · (

⇀r × ⇀

v ) = − ⇀v · (

⇀u × ⇀

r ) = − ⇀r · (

⇀v × ⇀

u)2. ถา ⇀

u,⇀v และ ⇀

r อยในระนาบเดยวกนแลว ⇀u ·(⇀

v × ⇀r ) =

3. ⇀u · (

⇀v × ⇀

v ) =⇀v · (

⇀r × ⇀

r ) =⇀r · (

⇀u × ⇀

u) =⇀0

จำนวนเชงซอน (Complex)

1. จำนวนเชงซอนเซต C = { (a, b) | a, b ∈ R } จะเรยกวาเซตของจำนวนเชงซอน กตอเมอ สำหรบทก ๆ สมาชก (a, b)และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)3. (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

จำนวนเชงซอน (a, b) นยมเขยนแทนดวย a + bi เรยก a วา สวนจรง และเรยก b วา สวนจนตภาพขอสงเกต 1. c(a, b) = (ca, cb)

2. i2 = −1 , i3 = −i , i4 = 1

สงยคของจำนวนเชงซอนกำหนดใหจำนวนเชงซอน z = a + bi นยามสงยคของ z แทนดวย z คอ z = a − bi

สมบต 1. (a + bi)(a − bi) = a2 + b2

2. z1 + z2 = z1 + z2

3. z1 − z2 = z1 − z2

4. z1 · z2 = z1 · z2

5. z1z2

= z1z2

โดยท z2 �= 06. z + z = 2Re(z) เมอ Re(z) คอสวนจรงของ z

7. z − z = 2Im(z) เมอ Im(z) คอสวนจนตภาพของ z

8. z = z

คาสมบรณของจำนวนเชงซอนกำหนดใหจำนวนเชงซอน z = a + bi นยามคาสมบรณของ z แทนดวย |z| คอ |z| =

√a2 + b2

สมบต 1. zz = |z|22. |z| = | − z|3. |z1z2| = |z1||z2|4. | z1

z2| = |z1|

|z2| , z2 �= 05. |z−1| = |z|−1

6. |z| = |z|7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|8. |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||

2. จำนวนเชงซอนในรปเชงขวให z = a + bi โดยท z �= 0 และ θ เปนมมบวกทเลกทสดซง tan θ = b

a จะไดวา รปเชงขวของ z คอz = |z|(cos θ + i sin θ) เรยก θ วาอารกวเมนต(argument)ของ z

การคณและการหารจำนวนเชงซอนในรปเชงขวกำหนดให z1, z2 เปนจำนวนเชงซอนทไมใชศนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และz2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา

2. z1z2

= |z1||z2|(cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2))

3. zn1 = |z1|n(cos nθ1 + i sin nθ1)

การแกสมการจำนวนเชงซอนสำหรบจำนวนเชงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมอ n ≥ 2 จะไดวาn√

z = n√|z|(cos( θ+2kπ

n ) + i sin(θ+2kπn )) เมอ k = 0, 1, 2, . . . , n − 1

กำหนดให f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 โดยท a0, a1, a2, . . . , an ∈ R และ an �= 0

จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f(z) = 0 ดวยนนคอ ถา z เปนคำตอบของสมการแลว z จะเปนคำตอบของสมการดวย

1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))

ลำดบและอนกรม (Sequence and Series)

1. ลำดบคอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำนวนนบ n ตวแรก(ลำดบจำกด) หรอเซตของจำนวนนบ(ลำดบอนนต)การเขยนลำดบ เขยนได 3 แบบ คอ เขยนแบบเซต เขยนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลำดบ เขยนแบบพจนทวไป

ลมตของลำดบ1. ลำดบทจะนำมาพจารณาตองเปนลำดบอนนต2. ลมตของลำดบ (an) มคาเปนจำนวนจรง L แทนดวย lim

n→∞ an = L กตอเมอ เมอ n มคามากขน an

จะมคาเขาใกลหรอเทากบ L(

limn→∞ an = L ↔ ∀ε > 0∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an − L| < ε

)3. ถา lim

n→∞ an = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลำดบ an ลเขา(converge) ส L และถาลำดบ (an)

ไมมลมตแลวเราจะกลาววา ลำดบ an ลออก(diverge) (ถาลมตของลำดบมคาแลว จะมไดคาเดยว)

ทฤษฎบท กำหนดให c เปนคาคงตวใด ๆ limn→∞ an = A, lim

n→∞ bn = B

1. limn→∞ c = c

2. limn→∞ c · an = cA

3. limn→∞(an + bn) = A + B

4. limn→∞(an · bn) = AB

5. limn→∞

an = k√

A (เมอ k เปนคาคงทและทกเทอมมความหมาย)

6. limn→∞

B(เมอทกเทอมมความหมาย)

หมายเหต1. ถา an = p(x)

q(x) โดยท p(x) และ q(x) เปนพหนาม

ถา deg p(x) = deg q(x) จะได limn→∞ an =

Bเมอ A และ B คอสมประสทธของ x กำลงสงสดของพหนาม

p(x) และ q(x) ตามลำดบถา deg p(x) > deg q(x) จะไดวา lim

n→∞ an ลออกถา deg p(x) < deg q(x) จะไดวา lim

n→∞ an = 0

2. ถา an อยในรปแบบของฟงกชนชกำลง ใหดงตวรวมและใชขอเทจจรงทวา limn→∞ an = 0 เมอ 0 < a < 1

3. ใชคอนจเกต

ลำดบเลขคณตคอลำดบทมผลตางของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอเรยกผลตางทคงทนวาผลตางรวม แทนดวย d (d = an+1 − an)พจนทวไปของลำดบเลขคณต an = a1 + (n − 1)dลำดบเรขาคณตคอลำดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 กบพจนท n เปนคาคงทเสมอเรยกอตราสวนทคงทนวาอตราสวนรวม แทนดวย r (r = an+1

พจนทวไปของลำดบเรขาคณต an = a1 · rn−1

2. อนกรมคอลำดบของผลบวกยอย เรยก sn วาผลบวกยอย n พจนแรกของลำดบ (an)

อนกรมทเกดจากลำดบจำกด เรยก อนกรมจำกด sn = a1 + a2 + · · · + an =N∑

อนกรมทเกดจากลำดบอนนตเรยกอนกรมอนนต limn→∞ sn = s∞ = a1 + a2 + · · · =

∞∑i=1

โดยถา limn→∞ sn มคา จะกลาววาอนกรมลเขา และมผลบวกเทากบคาของลมตนน และถา lim

n→∞ sn หาคาไมไดจะกลาววาอนกรมลออก

อนกรมเลขคณตผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต sn = n

2 (2a1 + (n − 1)d) = n2 (a1 + an)

อนกรมเรขาคณตผลบวก n พจนแรกของอนกรมเรขาคณต sn = a1(1−rn)

1−r เมอ r �= 1ผลบวกอนนตพจนของอนกรมเรขาคณต

limn→∞ sn =

∞∑i=1

ai =a1

1 − rกตอเมอ |r| < 1

limn→∞ sn =

∞∑i=1

ai ลออก กตอเมอ |r| ≥ 1

อนกรมผสม ใชเทคนคคณตลอดดวย r

อนกรมทอยในรปเศษสวนยอย ปรบแตละพจนใชอยในรปเศษสวนยอย

อนกรมพ∞∑

ลเขา กตอเมอ p > 1

∞∑n=1

ลออก กตอเมอ p ≤ 1

สญลกษณแทนการบวก

1.n∑

c = nc

2.n∑

cxi = cn∑

3.n∑

(xi ± yi) =n∑

xi ±n∑

4.n∑

i =n(n + 1)

5.n∑

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.n∑

=14(n(n + 1))2

1. ถา∞∑

an เปนอนกรมลเขา แลว limn→∞ an = 0 หรอ ถา lim

n→∞ an �= 0 แลว∞∑

an ลออก

2. ถา∞∑

an และ∞∑

bn เปนอนกรมลเขา แลวสำหรบจำนวนจรง c, d ใด ๆ จะไดวา∞∑i=1

can ± dbn

เปนอนกรมลเขาดวย โดยท∞∑

(can ± dbn) = c∞∑

an ± d∞∑

3. กำหนดให 0 ≤ an ≤ bn≤ จะไดวา

ถา∞∑

bn ลเขา แลว∞∑

an จะลเขาดวย

ถา∞∑

an ลออก แลว∞∑

bn จะลออกดวย

[ ]ทฤษฎบท

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล(Functional relation between data)

1. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล1. ความสมพนธของตวแปรอสระและตวแปรตาม2. การเขยนแผนภาพการกระจาย

2. ระเบยบวธกำลงสองนอยสดสมการเสนตรง : รปทวไปคอ y = mx + c

สมการปกตn∑

yi = mn∑

xi + nc

n∑i=1

xiyi = mn∑

x2i + c

n∑i=1

สมการเสนพาราโบลา : รปทวไปคอ y = ax2 + bx + c

yi = a

n∑i=1

x2i + b

n∑i=1

xi + nc

n∑i=1

xiyi = a

n∑i=1

x3i + b

n∑i=1

x2i + c

n∑i=1

x2i yi = a

n∑i=1

x4i + b

n∑i=1

x3i + c

n∑i=1

สมการเอกซโพเนนเชยล : รปทวไปคอ y = abx หรอ log y = log a + x log b

log yi = n log a + log b

n∑i=1

xi log yi = log a

n∑i=1

xi + log b

n∑i=1

3. ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลาเราสามารถแทนขอมลทเปนตวแปรอสระซงเปนชวงเวลาทหางเทากนไดดงน

ถาจำนวนชวงเวลาทนำมาสรางความสมพนธเปนจำนวนค มกจะแทนดวย . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

โดยใหชวงเวลาทอยตรงการเปน 0ถาจำนวนชวงเวลาทนำมาสรางความสมพนธเปนจำนวนค มกจะแทนดวย . . . ,−5,−3,−1, 1, 3, 5, . . .

โดยใหชวงเวลาทอยตรงกลางเปน −1 และ 1ขอสงเกต 1. รตวแปรอสระทำนายตวแปรตาม ไมสามารถทำนายกลบได

(ถาจะทำนายตองสลบตวแปรแลวสรางความสมพนธเชงฟงกชนใหม)2. เมอจะทำนายความสมพนธในรปอนกรมเวลา ตองแปลงขอมลกอน3. สำหรบสมการรปเสนตรง (x, y) อยบนเสน4. สำหรบสมการรปเสนตรง Δy = mΔx

สถต(Statistics)

1. สถตและขอมลสถตเชงพรรณนา (Descriptive Statistics) เปนศาสตรทวาดวยวธการสรปแตละชดทเราสนใจดวยการวดคาแนวโนมเขาสสวนกลาง คาวดการกระจาย การแจกแจงความถของขอมล และการนำเสนอผลสรปดวยตาราง แผนภมแทง แผนภาพการกระจายและกราฟเสนเพออธบายขอมลชดนนสถตเชงอนมาน (Inferential Statistics) เปนศาสตรทวาดวยวธการทดในการเลอกตวแทน(ตวอยาง) จากขอมลทงหมด(ประชากร) หรอวธการออกแบบแผนการทดลองทดทจะทำใหสามารถวเคราะหเพอตอบคำถามทตองการไดองคประกอบของสถตศาสตร 1. การเกบรวบรวมขอมล 2. การวเคราะหขอมล 3. การนำเสนอขอมลขอมล คอขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณ หรอปรากฏการณใดๆ โดยขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกไดสารสนเทศหรอขาวสาร(Information) คอขอมลทผานการวเคราะหเบอตนหรอชนสงแลวประเภทของขอมลแบงตามวธการเกบ1. ขอมลปฐมภม คอขอมลทผใชเกบรวบรวมเอง เชน การสำมะโน(census),การสำรวจกลมตวอยาง(sample

survey) ซงสามารถเกบไดโดย การสมภาษณ สอบถามทางไปรษณย สอบถามทางโทรศพท การสงเกต การทดลอง2. ขอมลทตยภม คอขอมลทผใชไมไดเกบรวบรวมเอง แตไดมาจากขอมลทมผเกบรวบรวมไวแลว เชน รายงานตางๆ

ของหนวยราชการ หรอเอกชน พจารณาความนาเชอถอจากตวบคลผเขยนรายงาน การเปรยบเทยบจากหลายแหลงลกษณะของขอมลทอาจสงผลเสยตอผใหขอมลมความนาเชอถอนอย และถาขอมลทรวบรวมผานขนตอนการวเคราะหทางสถตตองตรวจสอบวธในการเลอกกลมตวอยาง ขนาด และการวเคราะหขอมล

แบงตามลกษณะของขอมล1. ขอมลเชงปรมาณ คอขอมลทใชแทนขนาดหรอปรมาณซงวดออกมาเปนจำนวนทสามารถนำมาเปรยบเทยบกนได2. ขอมลเชงคณภาพ คอขอมลทไมสามารถวดออกมาเปนจำนวนไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอคณสมบตเชงคณภาพได

2. การวเคราะหขอมลเบองตนขอมลเชงปรมาณทใชในการวเคราะหทางสถตมสองประเภทคอ ขอมลทไมไดแจกแจงความถ ซงจะเหนคาของขอมลทกตวและขอมลทแจกแจงความถ จะเหนเปนอนตรภาคชนความกวางของอนตรภาคชน = ขอบบน - ขอบลางจดกงกลางอนตรภาคชน = (ขอบบน + ขอบลาง) / 2ฮสโทแกรม คอรปสเหลยมมมฉากวางเรยงตอกนบนแกนนอนโดยมแกนนอนแทนคาของตวแปร ความกวางของสเหลยมมมฉากแทนความกวางของอนตรภาคชน และพนทของรปสเหลยมมมฉากแทนความถของแตละอนตรภาคชน ซงถาความกวางของทกชนเทากน ความสงของรปสเหลยมจะแสดงความถแผนภาพตนใบ (stem-and-leaf plot) เปนวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตนโดยเรมจากการนำขอมลมาแบงกลม โดยใชเลขหลกสบ แลวนำมาสรางเปนลำตน (stem) แลวใชเลขโดดในหลกหนวยมาสรางเปนใบ(leaf)

2. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง1. คาเฉลยเลขคณต, mean, x

x ของขอมลทไมแจงแจงความถ

N∑i=1

x ของขอมลทแจงแจงความถ

K∑i=1

ขอสงเกต1.

N∑i=1

xi = Nx

2.N∑

(xi − x) = 0

3.N∑

(xi − a)2 มคานอยสดเมอ a = x

4. ถา x1, x2, x3, . . . , xn มคาเฉลยเลขคณตเปน x

x1 + k, x2 + k, x3 + k, . . . , xn + k มคาเฉลยเลขคณตเปน x + k

x1k, x2k, x3k, . . . , xnk มคาเฉลยเลขคณตเปน xk

5. x รวม = N1x1+N2x2N2+N2

2. มธยฐาน, median, Me

Me สำหรบขอมลทไมแจงแจงความถ

Me = คาของขอมลตำแหนงตรงกลาง(ตวท N+12 )เมอเรยงลำดบขอมลแลว

Me สำหรบขอมลทแจงแจงความถ

Me = L + (N2−∑

ขอสงเกต1. การหามธยฐานมสองขนตอนคอ หาตำแหนง และ หาคาโดยใชสตรหรอการเทยบบญญตไตรยางค

2.N∑

|xi − a| มคานอยสดเมอ a = Me 3. ฐานนยม, mode, Mo

Mo สำหรบขอมลทไมแจงแจงความถ

Mo = คาของขอมลทมความถมากสด

Mo สำหรบขอมลทแจงแจงความถ

Mo = จดกงกลางของชนทมความถสงสด (แบบหยาบ)= L +

)I (แบบละเอยด)

ขอสงเกต 1. ใชไดกบขอมลเชงคณภาพ2. ถาแตละอนตรภาคชนมความกวางตางกน ตองถวงดวยนำหนกของความกวางดวย

4. ความสมพนธของ x,Me,Mo

x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย

3. การวดตำแหนงของขอมลเราจะมองการวดตำแหนงของขอมลเปนเหมอนภาคขยายของการหามธยฐาน ซงมสองขนตอนคอ การหาตำแหนงและการหาคา1. ควอไทล(quartiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทา ๆ กน โดย Q1, Q2, Q3 คอ คะแนนของตวแบงทง 3 ตว Qr ของขอมลทไมแจกแจงความถ

การหาตำแหนง : ตำแหนงของ Qr คอ r(N+1)4

การหาคา : ใชการเทยบบญญตไตรยางค

Qr ของขอมลทแจกแจงความถ

การหาตำแหนง : ตำแหนงของ Qr คอ rN4

การหาคา : Qr = L + ( rN4−∑

2. เดไซล(deciles) คอ การแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทา ๆ กน โดย D1, D2, . . . , D9 คอคะแนนของตวแบงทง 9 ตว Dr ของขอมลทไมแจกแจงความถ

การหาตำแหนง : ตำแหนงของ Dr คอ r(N+1)10

Dr ของขอมลทแจกแจงความถ

การหาตำแหนง : ตำแหนงของ Dr คอ rN10

การหาคา : Dr = L + ( rN10−∑

3. เปอรเซนไทล(percentiles) คอ การแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทา ๆ กน โดย P1, P2, . . . , P99

คอคะแนนของตวแบงทง 99 ตวPr ของขอมลทไมแจกแจงความถ

การหาตำแหนง : ตำแหนงของ Pr คอ r(N+1)100

Pr ของขอมลทแจกแจงความถ

การหาตำแหนง : ตำแหนงของ Pr คอ rN100

การหาคา : Pr = L + ( rN100−∑

4. การวดการกระจายของขอมล1. การวดการกระจายสมบรณ(absolute variation) ใชเพอวดการกระจายของขอมลชดเดยว1.1 พสย(range)

range = xmax − xmin

1.2 สวนเบยงเบนควอไทล(quatile deviation)

Q.D. =Q3 − Q1

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย(mean deviation)

M.D. =

N∑i=1

|xi − x|

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน(standard deviation)

S.D. =

√√√√√√N∑

(xi − x)2

√√√√√√N∑

N− x2

2. การวดการกระจายสมพทธ(relative variation) ใชเพอตองการเปรยบเทยบการกระจายของขอมลมากกวาหนงชด2.1 สมประสทธพสย

สมประสทธพสย =xmax − xmin

xmax + xmin

2.2 สมประสทธควอไทล

สมประสทธควอไทล = Q3−Q1

2.3 สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย

สมประสทธสวนเบยงเบนเฉลย = M.D.x

2.4 สมประสทธการแปรผน

สมประสทธการแปรผน = S.D.x

ขอสงเกต1. ความแปรปรวน(variance) = S.D.2 = S2

2. S.D. ≥ 03. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = · · · = xn = x

4. ถา x1, x2, . . . , xn มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2

x1 + k, x2 + k, . . . , xn + k มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2

x1k, x2k, . . . , xnk มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2

5. คามาตรฐาน

zi =xi − x

ขอสงเกต1. ขอมลทมการแจกแจงปกตจะม x = Me = Mo

2. พนทใตโคงปกตเทากบ 1 หรอ 100% ซงคอปรมาณขอมลทงหมด3. การแจกแจงปกตมาตรฐาน คอ การแจกแจงปกตทม x = 0 และ S.D. = 14. z1, z2, z3, . . . , zn จะม x = 0 และ S.D. = 15. คา z สามารถเปนไดทงบวก(xi > x)และลบ(xi < x)6. zi = 0 ↔ xi = x

7. โดยมาก −3 < zi < 38. มความสมพนธระหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดบ, คาเฉลยเลขคณต, สวนเบยงเบนมาตรฐาน, พนทใตโคงปกตมาตรฐาน, ปรมาณขอมล, เปอรเซนไทล

3. การสำรวจความคดเหน1. ขอบเขตของการสำรวจ กำหนดดวยพนท ลกษณะผใหขอมล การมสวนไดสวนเสยกบขอมล2. วธเลอกตวอยาง การสมตวอยาง(sampling) การเลอกตวอยางแบบชนภม การเลอกตวอยางแบบหลายขน

และการเลอกตวอยางแบบกำหนดโควตา3. การสรางแบบสำรวจความคดเหน

แบบสำรวจทดประกอบดวย ลกษณะของผตอบทคาดวามผลตอการแสดงความคดเหน ความคดเหนของผตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคำถามทชนำ และมจำนวนไมมากเกนไป ตลอดจนความสอดคลองของความรของผใหขอมลกบเรองทสอบถาม

4. การประมวลผลและวเคราะหความคดเหน1. รอยละของผตอบแบบสำรวจความคดเหนในแตละดานทเกยวของ2. ระดบความคดเหนเฉลย

วธเรยงสบเปลยน วธจดหม และความนาจะเปน(Permutation, Combination and Probability)

1. หลกเบอตนเกยวกบการนบกฏการบวก ถาการทำงานหนงอยางแบงออกเปน n กรณยอยโดยในแตละกรณเปนการทำงานทเสรจสนจำนวนวธในการทำงานจะเทากบผลรวมของจำนวนวธของทกกรณ

กฏการคณ1. ถางานททำแบงออกเปนสองขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทำได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทำงานอยางแรกนสามารถเลอกทำงานอยางทสองได n2 วธ จำนวนวธทจะเลอกทำงานชนนคอn1n2 วธ2. ถางานททำแบงออกเปน k ขนตอน โดยงานขนตอนแรกเลอกทำได n1 วธ และในแตละวธในการเลอกทำงานอยางแรกนสามารถเลอกทำงานอยางทสองได n2 วธ ในแตละวธในการเลอกทำงานอยางทสองสามารถเลอกทำงานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ จำนวนวธทจะเลอกทำงานชนนคอ n1n2n3 · · ·nk วธ

นยาม กำหนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × · · · × n และ 0! = 1

2. วธเรยงสบเปลยนและวธจดหมกฏขอท 1. จำนวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด เทากบ n!กฏขอท 2. จำนวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกนโดยนำมาเรยงแค r สง(r ≤ n)

คอ nPr = n!(n−r)!

กฏขอท 3. จำนวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของ n สงทแตกตางกน เทากบ (n − 1)!กฏขอท 4. ถามสงของอย n สง ในจำนวนนม

n1 สงทเหมอนกนอยกลมทหนงn2 สงทเหมอนกนอยกลมทสอง...nk สงทเหมอนกนอยกลมท k โดยท n1 + n2 + · · · + nk = n

จำนวนวธเรยงสบเปลยนของสงของทง n สง เทากบ n!n1!n2!···nk!

กฏขอท 5. จำนวนวธเลอกสงของ n สงทแตกตางกน ทละ r สง (r ≤ n) เทากบ(nr

)=n Cr = n!

(n−r)!r!

เทคนค การนบจำนวนฟงกชน, คอมพลเมนท, การจดเรยงของใหตดกนโดยการมด

3. ความนาจะเปนการทดลองสม คอการทดลองใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทำนายผลลวงหนาไดแซมเปลสเปซ คอเซตทมสมาชกเปนผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสมเหตการณ คอสบเซตของแซมเปลสเปซ

ความนาจะเปนของเหตการณ E แทนดวย P (E) = n(E)n(S)

สมบตบางประการของความนาจะเปน1. 0 ≤ P (E) ≤ 12. P (φ) = 03. P (S) = 14. P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2) − P (E1 ∩ E2)5. P (E1 ∪E2 ∪E3) = P (E1) + P (E2) + P (E3)−P (E1 ∩E2)−P (E1 ∩E3)−P (E2 ∩E3)

+ P (E1 ∩ E2 ∩ E3)6. P (E) = 1 − P (E

4. ทฤษฎบททวนาม

(a + b)n =(n0

)anb0+

)an−1b1+

)an−2b2 + · · ·+(

nn−1

)a1bn−1+

เรยก(nr

)วา สมประสทธทวนาม

ขอสงเกต1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน2. ในแตละพจนผลรวมของกำลงของ a และ b จะไดเทากบ n

3. พจนทวไปของการกระจาย (a + b)n

Tr+1 =(nr

)an−rbr

แคลคลส (Calculus)

1. ลมตและความตอเนองของฟงกชนเมอ x มคาเขาใกลจำนวนจรง a ทางดานซายของเสนจำนวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจำนวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตซายของ f ท a แทนดวยสญลกษณ lim

x→a−f(x) = L1

เมอ x มคาเขาใกลจำนวนจรง a ทางดานขวาของเสนจำนวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจำนวนจรง L จะกลาววา L เปนลมตขวาของ f ท a แทนดวยสญลกษณ lim

x→a+f(x) = L2

ถาลมตทางซายและลมตทางขวาของฟงกชน f เทากน และมคาเทากบ L จะกลาววาฟงกชน f มลมตเปน L ท a แทนดวยสญลกษณ lim

x→af(x) = L

ถาลมตทางซายไมเทากบลมตทางขวา หรอลมตขางใดขางหนงหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชน f ไมมลมตท a

ทฤษฎบทของลมต กำหนดให a เปนจำจรงใด ๆ f และ g เปนฟงกชนทมลมตทจด a จะไดวา1. lim

x→ac = c เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ

2. limx→a

3. limx→a

xn = an เมอ n ∈ N

4. limx→a

cf(x) = c limx→a

f(x) เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ5. lim

x→a(f(x) ± g(x)) = lim

x→af(x) ± lim

x→ag(x)

6. limx→a

(f(x) · g(x)) = limx→a

f(x) · limx→a

7. limx→a

(f(x)g(x)

limx→a

g(x)เมอ lim

x→ag(x) �= 0

8. limx→a

(f(x))n =(

limx→a

f(x))n

เมอ n ∈ N

9. limx→a

f(x) = n

√limx→a

f(x) เมอ n ∈ N และ limx→a

f(x) ≥ 0

10. limx→a

(f(x))nm =

(limx→a

f(x)) n

m เมอ n, m ∈ N และ limx→a

f(x) ≥ 0

11. ถา f เปนฟงกชนพหนาม นนคอ f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

เมอ a0, a1, a2, . . . , an เปนคาคงตวโดย an �= 0 จะไดวา limx→a

f(x) = f(a)

ความตอเนองของฟงกชนนยาม ให a เปนจำนวนจรงใด ๆ ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองทจด a กตอเมอ ฟงกชน f มสมบตตอไปน1. lim

x→af(x) หาคาได

2. f(a) หาคาได3. lim

x→af(x) = f(a)

2. อตราการเปลยนแปลงของฟงกชนนยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนใด ๆ และ h เปนจำนวนจรงทไมใชศนยอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x + h คอ f(x+h)−f(x)

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ใด ๆ คอ limh→0

f(x + h) − f(x)h

3. อนพนธของฟงกชน

นยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจำนวนจรง และ limh→0

f(x + h) − f(x)h

หาคาได เรยกคาลมตทไดนวา อนพนธของฟงกชน f ท x แทนดวย f′(x), d

dxf(x), dydx

ทฤษฎบทของอนพนธ1. dc

dx = 0 เมอ c คาคงท2. dx

dx = 13. d

dxxn = nxn−1 เมอ n เปนจำนวนจรงใด ๆ4. d

dx [f(x) ± g(x)] = ddxf(x) ± d

dxg(x)5. d

dxcf(x) = c ddxf(x) เมอ c คอคาคงทใด ๆ

6. ddx [f(x)g(x)] = f(x) d

dxg(x) + g(x) ddxf(x)

7. ddx

[f(x)g(x)

]= g(x) d

dxf(x)−f(x) d

dxg(x)

(g(x))2เมอ g(x) �= 0

8. ddxg ◦ f(x) = d

dyg(y) ddxf(x) เมอ y = f(x) (กฏลกโซ (Chain rule))

9. ddx [f(x)]n = n[f(x)]n−1 d

dxf(x)

อนพนธอนดบสงของฟงกชนนยาม ถา f

′(x) หาอนพนธไดแลว จะเรยกอนพนธของ f

′(x) วา อนพนธอนดบสองของ f แทนดวย

f′′(x), d2y

dx2 , d2

dx2 f(x)ในทำนองเดยวกนเราสามารถนยามอนพนธอนดบ 3, 4, . . . ของฟงกชน ตลอดจนกำหนดสญลกษณไดโดยวธเดยวกน

การประยกตของอนพนธความชนของเสนสมผสโคงถา f เปนสมการเสนโคง ความชนของเสนตรงทสมผสเสนโคงทจด (a, f(a)) คอ f

′(a)

ฟงกชนเพมและฟงกชนลดกำหนดให f มโดเมนเปน Df ฟงกชน f เปนฟงกชนเพมบน (a, b) ⊂ Df ถา f

′(c) > 0 ทก c ∈ (a, b)

ฟงกชน f เปนฟงกชนลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f′(c) < 0 ทก c ∈ (a, b)

คาสดขดของฟงกชนกำหนดให f มโดเมนเปน Df

ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f(c) > f(x)สำหรบทก ๆ x ในชวง (a, b) ท x �= c

ฟงกชน f มคาตำสดสมพทธทจด x = c ถามชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซง f(c) < f(x)สำหรบทก ๆ x ในชวง (a, b) ท x �= c

นยาม ถา f′(c) = 0 แลวเราจะเรยก c วาคาวกฤตของฟงกชน f และเรยกจด (c, f(c)) วา

จดวกฤตของ f

ทฤษฎบท กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองใด ๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวกฤตของ f แลวถา f

′′(c) < 0 แลว f(c) เปนคาสงสดสมพทธ

ถา f′′(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตำสดสมพทธ

โจทยปญหาคาสดขด ทำความเขาใจปญหาเพอสรางฟงกชน f(x) โดยให f(x) เปนสงท โจทยตองการทราบคาสดขด และตวแปร x คอสงทสงผลตอคาสดขดนน

4. การอนทเกรตนยาม ฟงกชน F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f เมอ F

′(x) = f(x) สำหรบทกคา x ∈ Df ใช

∫f(x)dx

แทน F (x) + c เมอ c เปนคาคงทใด ๆ และเรยก∫

f(x)dx วา อนทกรลไมจำกดเขตของฟงกชน f

ทฤษฎบท1.

∫kdx = kx + c เมอ k และ c เปนคาคงตว

xndx = xn+1

n+1 + c เมอ n �= −13.

∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว

(f(x) ± g(x))dx =∫

f(x)dx ± ∫g(x)dx

อนทกรลจำกดเขตนยาม ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชนทมอนพนธบนชวง [a, b] โดยท F ′

(x) =f(x) แลว ∫ b

a f(x)dx = F (b) − F (a)

เรยก∫ ba f(x)dx วา อนทกรลจำกดเขตของฟงกชน f บน [a, b] ใชสญลกษณ F (x)

∣∣baแทน F (b)−F (a)

ทฤษฎบท1.

∫ ba kf(x)dx = k

∫ ba f(x)dx เมอ k เปนคาคงตว

2.∫ ba (f(x) ± g(x))dx =

∫ ba f(x)dx ± ∫ b

a g(x)dx

3.∫ ba f(x)dx =

∫ ca f(x)dx +

∫ bc f(x)dx เมอ c ∈ (a, b)

4.∫ ba f(x)dx = − ∫ a

b f(x)dx

พนททปดลอมดวยเสนโคงนยาม กำหนดใหฟงกชน f(x) ตอเนองบน [a, b] พนทปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถง x = b

หมายถง พนทของบรเวณทลอมรอบดวยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสนตรง x = b

ทฤษฎบท กำหนดใหฟงกชน f ตอเนองบน [a, b] และ A เปนพนททปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a

ถง x = b จะหาไดจากสตรตอไปน1. ถา f(x) ≥ 0 สำหรบทก x ในชวง [a, b] แลว A =

∫ ba f(x)dx

2. ถา f(x) ≤ 0 สำหรบทก x ในชวง [a, b] แลว A = − ∫ ba f(x)dx

� 0�� A = {1, 2, 3, . . .} #�% B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, . . .} )�(0.�12��3/

� A − B �� 5 ��

� /*��)(-��(� �4�)(- B − A ��"��$ 4

� /*��)(- (A − B) ∪ (B − A) �12�/*��,"

5 A ∩ B '(�4�)(-/*��$��"��"� 5

� ��/��0��6��"(71��8

�� 1) A

2) ��3.�12��'��.(�

6� ��3.�12��'��8��,-

)�(��1)��-��6� +�� A #��)�(��0.

� �'��8��,-��.��.(�

� �'��8��,-$�-��.��.(�

� �'��.(��.�12��'��8��,-

5 �'��.(�$�-��.�12��'��8��,-

� ��"��#�$��%$&'��(

� ")��'*��+�&�%�,�"--�.")��'*�")��$��+/

# ")��'*��+�&�%�,�"--�.")��'*�")��+/

#�$012,��$.

� #�$ � 3�/#�$ # � #�$ � ��%��(�

� #�$ # ��%��(� 4 #�$ � 3�/#�$ # 5�1

4 �)��10�� s, t, u 3�/ v �'*�")��"��. 67�. s < t 3�/ u < v

��"��#�$��%$&'��(

� s − u < t − v

# s − v < t − u

#�$012,��$.

� #�$ � 3�/#�$ # � #�$ � ��%��(�

� #�$ # ��%��(� 4 #�$ � 3�/#�$ # 5�1

� "��#�$%&'�� 2|5 − x| = 1 &$()*��)�'*+

� (−10,−5) � (−6,−4)

� (−4, 5) , (−3, 6)

- .�� 3

4�/0�"��#�$��1�'%&'�� 4x2 + bx− 6 = 0 ��2�& b �/0�34��3��'5�� &��"�

�#�$��1�'%&'��6��)��'��7%�&*+

� −2 � −1

8 %�&*+��)��)�'3��%�&&2��

� (−1)0 � (−1)0.2

� (−1)0.4 , (−1)0.8

9 (|4√

3 − 5√

2| − |3√

5 − 5√

2| + |4√

3 − 3√

5|)2 ��)��7%�&*+

� 0 � 180

� 192 , 200

" �#��$%�� a �&'�(#��(��)*�� +�, n �&'�(#��-.*��

��(��/�0��.01&��2

/ n√

an = |a|

/�0%$3-��0)

� /�0 � +�,/�0 / � /�0 � ��.��2�

� /�0 / ��.��2� 4 /�0 � +�,/�0 / 5�$

�� 3�� f(x) = −x2 + x + 2 +�� /�0��&%$3-��0)

� f(x) ≥ 0 ��6�0 −1 ≤ x ≤ 2

� (�$��*/0)��7/0)78)� �� f 09-.%�(��0)

� 78)� �� f ��.��-)��$��.��* 2

4 78)� �� f ��.��#��$��.��* 2

�� "�#�$"%�&'�()*� ��

� {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)}

� {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}

� {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)}

+ {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)}

�� ,�� f(x) =√

3 − x -�. g(x) = −2 + |x − 4| -�� Df ∪ Rg /$#�$"%

� (−∞, 3] � [−2,∞)

� [−2, 3] + (−∞,∞)

�� "��#$��%&'(%)(� �� f �*+�#�(��,

��

-�&'( 11f(−11) − 3f(−3)f(3) .'&�'$#

� 57 � 68

� 75 / 86

�" �#$��%��&��#$��'�( ��)*�� 600 ��(�+�� ,��-��$�.�/0��

&��-��'�(%��$1� 75% 2/(-��$�.�/0��&��/��-��'�(3�� /0�#$��

��%��&��#$��* %��+��

� 120 � 40

� 60√

2 " 20√

�� 20��-�#$��%�4)�4��20��'�( $�.�/0-��%4#��-��$1�3,� 3,��.��5�6 ��

(��5� 1 3,� 3�.3,��.��5� 1 �) 7-%��&��.4#�/%#5��-��/��*(��-��2/(

20��5��*� ��-��3-( +'�(��*(��- 50 � ,�� x )/89��3,�2/(20��

��- 3�. N )/89��/%#5:�20��-3�� 2�/:-,#��/(

� 31x − x2 = N

� 29x − x2 = N

� 27x − x2 = N

" 25x − x2 = N

�" �#$��%�&'�&��()�#$ ��*��+��,�� -+%��.%)��%��$/��()��,�*()+��

��) 0��1�#$��%�&'�&��2)�()��)�,(��+�)�#$ 3�+ A .�43�+ B (%#,�,�)��$/�

�4%4��,�*()+��)

� 1.5 � 3

� √

2 5 2√

�6 -+%��7��)��(��,��-��*()��*��+�,�)8 ��1��+7��,(9$��2

θ sin θ cos θ

72◦ 0.951 0.309

73◦ 0.956 0.292

74◦ 0.961 0.276

75◦ 0.966 0.259

��%7��*��+��:��+*()�#$��%��+��2)��%�� 7, 24 .�4 25 ��,�%

��*��+7��%)��;*�(7+��+

� 15◦ � 16◦

� 17◦ 5 18◦

�" ��#�$%&$�'(��)��*��%��+��,��- 60 &$�� .��&-�'(%&$�'(

��)��/)�� 3 −√

3 0��1�� +��)��(2�&��+�-�&$��)��,��-%�&3+

� 2 −√

3 0��

� 2 +√

3 0��

� 2√

3 − 3 0��

4 2√

3 + 3 0��

�5 ��&$�$6�(7+8#�$.'��+��/$&)',�'$6��9/�.�� 2 �� .6�-��:+��;��+��

�� 45◦ 1�<�'$��+�� 30◦ �<)<��$-��9/�.��3�1��&$ ��&$��/��.

6�-��:+�9&��,�3+ (�;��+3��√

3 ≈ 1.73)

� 1.00 �� 1.46 ��

� 2.00 �� 4 3.46 ��

�� ;��+3�� 32, 1,

2, . . . �(2��;+�-��%�� =�-��%&$�6� �� 40 1�<�6� �� 42 ��,��-

%�&3+

� −18 � −19

� −37 4 −38

�� "� 40 �#� $��%&'�()�* an = 3 + (−1)n ��#� ��+��+��*�#� �� 40

� 10 � 20

� 30 , 40

�� (��)"�� a1, a2, a3, . . . �-.��()�*��%�� /�� a2 = 8 $�0 a5 = −64 $�� 1�*��

%&' 10 �#� $��%&'�()�*��2��+��*%�&")

� 2, 048 � 1, 512

� 1, 364 , 1, 024

�� 34��&��)�'��2 ��34$��)��5�'��%�� &��)��5�'��$)' ��34��

�&')��5�'��$)' &��)��5�'��67� ��34��)��5�'��67� &��)��5�'

��%�� 83��34��2'��%52��&�� +�#0�-.��34#0%52��+�'��

��2'��)�-.�)�'%�&")

2� 1

�" ��#$%&'��(�%'��)��*��+ 1–10 ��*��+�, 1 &' -��#��*�'��).��$%

&' /0*�*�'��,&'1''2�#&�#3� ��#�),�45��),�*�'20��*��+��.��#� 5

��*%��(�%&'��#��6� ��#��'+�$&0

9� 8

35" 11

�� &��0�#��7%��*�1�#�,�&��6� �'�#��*��7%��0�7% 177 �8��

1�,��*��6*��0�7% 145 �8�� )��8�+$%�#��7%�#$24��6

S = {H | H �45��#��7%&��#�*�8��+$%��*�&��6�}

T = {H | 145 ≤ H ≤ 177 }

�8�&0-3$�45�4��7��$*#�% (18��49��48) �.��'��0�$%��#��6

� S 1�, T

� S ��#��6�

� T ��#��6�

" ��6% S 1�, T 2�#�45�4��7��$*#�%

�" #��$%�&��'��(�) *(�)+�&�%,'��- +�&�� %)+�&�� .�&

��/��%-0�)�& 1 � 1��2�) 6 � .�&��- 4 � ��0�1&�+3��&��

��'��4 1&��+�&��.�&�%)+�&��+3��2�)��0��,/�%#'

18� 1

�6 �7�%��-�� %,��-#��-� 40 � �89�))��#1 ��)1��

��1��-)��9�))��/%)��.�� :��+�+3�'�)��4:��+�&�� 18��9�))��

'��-��-� 3

'� 20

�%#�� 12

��%).��;/ 5

/�%�7��<,��,�� $�%#��;'�:��+/��)��+3�/�%�7��'#'

� /�%�7�+=��7�� )+��

� /�%�7��-�7�� )+��

�" #��$��%��&��&'(�)*��&'(��(��&'(+��,��-�( ��#��+ 48.01 ��.�� +��,��

��)��(��% 43 � /�0��(��1�( 57 � 2��#��$��%��&��&'(�)*��

��(��1�(��#��+ 45 ��.�� /�� )*��&'(��(��%��)(��3��#��+

&�'43

� 2, 236 ��.��

� 2, 279 ��.��

� 2, 322 ��.��

5 2, 365 ��.��

� /�%�7�+=��7�� )��

5 /�%�7��-�7�� )��

�" #$��-%&'()�*+��%��,�-��'().',.�, 10 /() �01�2�)��*

6 7 8 9

7 0 4 4 7

'�(��0%2�01��34

� 5��-�'()�*+��'().',.�,��-),��2�-�

� ,��6��-��'��#�7��-5��'()�*+��'().',.�,��,��,��

� ��.',.�, 5 /()��*+��(-��,� 70 ��

8 .',.�,��*+��9)��,�5��-� ��4+��,� .',.�,��*+��,��&5��

��-�

�� "��#$�%�&��'(��)*+ ��,��-��,%.(��/ ,��-��)*01��'��#,�$%'$�%�&�,�

��2�'��%

� ��3

� ,��4��3��$��

� ��35��

6 5��3�

�� $�%�&��,%.(��/7�*'�/"��)��,�3��8�� $%'��3��,��2�'

41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48

,��')�$�%)*�(9�,��1��01�(9��7��$%'$�%�&��*��/

� ��35��

� 5��3�

� ,��4��3��$��

6 ,��4��3$%',��&'��*7�1,��"��*

�� "#��$%��&��'()$*��+� 200 ��,��$-.+/��#0��1$*.�*��2

��

)�$/.�(3��45

� 5,��+��,'.� 12 67* 16 "#�� 1��% 5,��+��,'.� 16

67* 18 "#��

� 5,��+��,'.� 12 67* 18 "#�� 1��% 5,��+��,'.� 18

67* 24 "#��

� 5,��+��,'.� 10 67* 12 "#�� 1��% 5,��+��,'.� 18

67* 24 "#��

8 5,��+��,'.� 10 67* 16 "#�� 1��% 5,��+��,'.� 16

67* 24 "#��

�� "��"�#$�%&�$��'#()*��#$'#(��+ � *�)��+ ' ,� ��

��-.��'��#$ 400 � /��0�1��+ � �#$2&�)*��#+.1,��%*��1(�#� 2�� 3

*�)��+ ' �#$2&�)*��#+.1,��%*��1(�/#� �34�2�� 60 "%��+��#$2&�

)*��)��1�()*��'#(��+ � *�)��+ ' ��/�)��

� 15 � � 30 �

� 45 � 5 60 �

�5 '�#�.��&��6�( ��$�(�1��7.��%��#,��(�1#2/��8

#��8� ��7�� 7��)�� 7�� 2–6

7–11 11 0.2

12–16 14

17–21 6 0.3

�1�()*��,&�/9��1�()*��7��.(��&

� 2–6 � 7–11

� 12–16 5 17–21

�� "#��$%��&�''��(�)��*��+,-��.�.� (/�.�. 2551 ��"#��0'��0� 4.29 1��

� ��'�(��.2��.2-��&�''��*��+,-��.�.� (/�.�. 2550 ��2(/�.�. 2551

�(3�+�'��0

-��&�''��*��+,-��.�.��,0��#��" ("#��$%��&�''��&-"#��$%�-.%&*�

�#��'1�''��% 100)

(/�.�. 2550 (/�.�. 2551

��*�� 1.0 1.0

��)��--��4�.'��,- 0.9 1.3

��,- 1.5 1.2

��' (.��'��) 1.3 0.9

��'�� 1.2 1.2

��(�)�� 1.2 1.1

��"��5�-��&-6(��0

� "#��$%��&�''��*��*��*��+,-��.�.�5-'(/�.�. 2550 1�)5-'(/�.�.

2551 ��&��

5 "#��$%�-.%&*��#��'1�''��(�)��*��+,-��.�.�(/�.�.2551��(�)��

39 ��

5�-*+7%��-'

� 5�- � 1�)5�- 5 � 5�- � ��&��0�

� 5�- 5 ��&��0� 8 5�- � 1�)5�- 5 $�+

�" #��#��$��%�&��'��#()�*��+),� �-��.��%�&+��(-�/0��&+��#��1�&�2�)�*

�� $��1�'1�&�2�)�*��'�+��3�� ,2��'��#(��-1�4��&�#'�3&�

� ��5.��.��1�&�2�

� ��%&��*� 1�&�2�

� ��%&��5.��.��1�&�2�

6 �-��'1�&�2��(-�/0��&+#��

�" #��$%&$'��(��)�*�+,��-�.��/��-�' �%�/� ��01��$%0/��/�'2 3�'��)

�� 36 �

��'��-�.� 50 �

��.�4�( 44 �

�� 5�+��'��-�.� 15 �

��.�4�(5�+��'��-�.� 12 �

�� 5�+��.�4�( 7 �

��)'�� 5 �

67��01��$%0/��$(/�'��$(��-�'��

�8 #��*9�5�/'��-�' �6��&$'*�1��(1��*��*:�5,�3�'��) 5,�5�� 12 �� 5,��$'

14 �� 5,�� 16 �� ;3(*�1��/��) ��73�%��&�� ,��6��&$'*�1��

(1��*��4��)'��3 15 5,� 6+��(1��*��#��*9��)��)'��3��

�< �1��(��+%%�=$��*:��*�+�$%3��(��&;33 0 ,-' 9 67�� 3 �� 67��

��)'��3��%�'��>)7�� ?$��/�#3

@� 67��#��6�3#��A�' 3 � 5�+��( 3 � ��'��('��*:�5,� ;3(#��(�

1/��-�'��'��3��$ ��)'��3��

1. , ,p q r s ( ) ( )p q r s p r 1. ( ) ( )q p q r 2. ( ~ )q p q r

3. ( ) ( )p s r q 4. ( ) ( )r s q p r 2. 1, 0, 1

1. 2 0x y x y 2. 0x y x y 3. 1x y x y 4. 1x y x y

3. , { }, , { }A ( )P A A 1. ( )P A 16 2. ( ) , { }P A 7 3. , , { } ( ) , { }P A 4. , { }, { } ( )P A

4. R 1 21

A x Rx x

[0, 1)A

1. 1 2,3 3

2. 1 , 13

3. 2 , 13

4. 2 3,3 2

5. f g

1 6( )( )1xf g x

x ( ) 2g a a

1. [ 1, 1) 2. [1, 3) 3. [3, 5) 4. [5, 7)

6. x arcsin4

x 2sin arccos15

1. 10,2

2. 1 1,2 2

3. 1 3,22

4. 3 , 12

7. ABC ,a b c A B C

1 1 1cos cos cosA B Ca b c

1. 2 2 2

2a b c

abc 2.

2( )a b cabc

3. 2( )

2a b cabc

4. 2 2 2a b cabc

8. 2 29 16 90 64 17 0x y x y

1. 254

2. 252

3. 4 4. 5

9. ABC ˆABC 10 A B ( 4, 3) ( 1, 2) C 1. 8 27 0x y 2. 8 27 0x y 3. 4 5 3 0x y 4. 5 4 3 0x y 10.

. 43322 3 . 2 3

3 1log log8 2

1. . . 2. . 3. . . 4. . .

11. A 2 23 28(3 ) 3 0x x B log log( 1) log( 3)x x x A B 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

12. 0 1 1 1,

0 1 0 0A B 1 1

0 2C 2det 2 t tA BC B C

1. – 1 2. 0 3. 2 4. 6 13. sin15 cos15 2 0x ax b 4a b 1. – 1 2. 1 3. 2 4. 1 3 2

14. x 253 9 27x x 2 4 6

(log 3)(log 5)(log 7)(log 3)(log 5)(log 7)

3. 27 4. 27

15. 1z 2z 11

3 45 5

z i 2 1i 1 25 2 5z z

2z 1. 3 2 i 2. 3 2 i 3. 1 2 i 4. 1 2 i

16. u v 3 , 3u i j v 4u v u v 1. 6 2. 10 3. 13 4. 4 17. , ,x y z r x y , 2 , 3x y z r

18. R :f R R ( )f x ax b ,a b f ( ( ( ( )))) 16 45f f f f x x a b 1. – 11 2. – 5 3. 11 4. 5

19. a b f

3 1; 1 1

1( ) ; 1 5

xf x ax b x

f ( 1, ) ab

3. 15 4. 10

20. 30 60 10 29 2.5 1 1. 35 2. 58 3. 60 4. 85 21. 5 360 ( ) 660 1 60 1. 80 2. 90 3. 80 4. 90

24. 48 362 , 3a b 245c

1. 1 1 1b c a

2. 1 1 1a b c

3. 1 1 1b a c

4. 1 1 1a c b

25. 1, 3, 5, 7, 9, ...

1 1 2 3 5 3 7 9 11 4 13 15 17 19 5

15 2 ( ) 4 361 1. 9 ( ) 18 2. 10 ( ) 19 3. 11 ( ) 20 4. 12 ( ) 21

22. 2 7 12

1. 118

23. 1000 20 100

1 3 1 1

1( 1) , , , 22

k k k kA B k C k D

A B C D 1. 7,917 2. 7,919 3. 7,920 4. 7,922

26. 66 13 17 10 11 6 __________

27. R 1 3 1 7 1S x R x x x 3 1,T y R y x x S T __________ 28. R 1 2 3 4, , , ,f f f f g h R R 2 2

1 2 3 4( ) 1, ( ) 1, ( ) 4, ( ) 4f x x f x x f x x f x x 1 2( )( ) ( )( ) 2f g x f h x 3 4( )( ) ( )( ) 4f g x f h x x ( )(1)g h __________

1 144 44

cos sin

sin cos

n n __________

30. , , ,a b c d 5 5 6 4 532 1 3 2 2

b bd d d

b c ___________

31. , , , ,a b c d t a bA

c d det 0A t 2 1det 0A t A

2 1det A t A ___________ 32. 2 5u i j 2v i j w 11u w 8v w w 5i j tan sin 2 ___________

33. n 2 2 12 2

ni 2 1i

n ___________ 34. { }na 2

1 2 3 ... n na a a a n a 1, 2, 3, ...n 1 100a 2lim nn

n a ___________

35. { }na 72n

1, 2, 3, ...n 9 7 { }na 108a lim nn

a ___________ 36. x 3 2450 60,200 10,000x x x 200 ___________ 37. ( )f x ( )y f x (1, 2)

( ) 12f x dx ( 1) ( 1)f f ___________

38. ( ) ( ) ( )h x f x g x ( )y f x ( , )x y 2 2x ( )y f x 5 g (2) (2) 5g g (2)h ___________

39. 2 21 11 1 1 1na n n

1, 2, 3, ...n

1 2 3 20

1 1 1 1a a a a

___________

40. k 15 4

( ) 3 2 12 2lim 15 6 ... 15 ...( 2) 5 5

k n n nn

k ___________ 41. 20 50 1 – 10 4 11 – 20 1 0 45 ___________ 42. 1, 2, 3, ..., 9, 10A A 8 8 5 ___________

43. 55 0.5 (coefficient of variation) 20% ___________ 44. 10 57 50 – 59 49.5 12 59.5 20 ___________ 45. 10 ( ) ___________ 46. 18

x ___________

47. 16 ( ) ( )

1 5 x 13

( ) ( )

1, 2, 3, ..., 16 1 (( ) ( )) (( ) ( )) 1, 5, 13 x ___________

48. 1, 2, 3, 4, 5 5 5

5 4 1 3 5 3

2 3 1 x

1, 2, 3, 4 5 1, 2, 3, 4 5 x ___________ 49. a b a b

( ) 4a a a ( ) a b b a ( ) ( )a a b a ba b b

(8 5) 100 ___________ 50. 2, 5, 8, 11, 14, ...

2 5 8 23 20 17 14 11

26 29 32 47 44 41 38 35

2012 ___________

เฉลยวชา คณตศาสตร

PAT 1 กรกฎาคม 2553

ตอนท1

ขอ 1 2 3 4 ขอ 1 2 3 4 1 14 2 15 3 16 4 17 5 18 6 19 7 20 8 21 9 22 10 23 11 24 12 25 13

ตอนท 2

ขอ ตอบ ขอ ตอบ 26. 26 38. 10 27. 2 39. 7 28. 1 40. 25 29. 2 41. 352 30. 4 42. 9 31. 4 43. 50 32. 2 44. 36 33. 8 45. 4 34. 200 46. 3 35. 2 47. 9 36. 200 48. 3 37. 18 49. 208 50. 2

ตอนท 1

1. 3. 2. 3. 3. 1. 4. 3. 5. 4.

6. 1. 7. 2. 8. 1. 9. 1. 10. 1.

11. 4. 12. 4. 13. 4. 14. 1. 15. 3.

16. 4. 17. 2. 18. 3. 19. 2. 20. 3.

21. 2. 22. 3. 23. 2. 24. 2. 25. 2.

26. 4. 27. 3. 28. 1. 29. 4. 30. 4.

31. 1. 32. 2. 33. 4. 34. 1. 35. 3.

36. 4.

ตอนท 2

1. 101 2. 390 3. 280 4. 240

เฉลย

ขอสอบ O-NET วชาคณตศาสตร กมภาพนธ 2553

สรุปเข้มฯ#7 คณิตศาสตร์

b function

p p p p p p p t p p

y x y x px

y x y x y px

y x x y y px

b relation

b b24ac

b y rf x df x

Education

ฝ่ายบุคลากร -...

คณิตศาสตร์ 7...

7 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์

pat1 คณิตศาสตร์

วิชาสามัญ คณิตศาสตร์...

โอเนท คณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการสอน...

คือช่วง แล้ว...

ข้อสอบ คณิตศาสตร์

สรุปเข้มฯ#7...

สรุปเข้มฯ#7 ภาษาอังกฤษ

คณิตศาสตร์ ปลาย

วิชาสามัญ คณิตศาสตร์...

คณิตศาสตร์ ต้น

คณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ...

เฉลยแบบฝึกหัด...

คณิตศาสตร์ 7 วิชาสามัญ...

7 วิชาสามัญ พร้อมเฉลย...

คณิตศาสตร์ m6

ข้อสอบ7วิชาสามัญ...