3.3 integrales de linea y de superficie 3.3-2005-2.pdf3 2. integrales de superficie consideremos...
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1
3.3 INTEGRALES DE LINEA Y DE SUPERFICIE(33_CV_T_v13; 2005.w21.5; 5/8 C25)
1. Integrales de línea
Sea F un campo vectorial
Consideremos
Fgdrr1
r2∫ = Fgdr1
2
∫ ≡lim
n → ∞F r
i( )gdri
i =1
n
∑
Si F es una fuerza
Fgdrr1
r2∫ = w es el trabajo (escalar) que hace la fuerza al moverse de r1 a
r2.Para resolver la integral es necesario parametrizar el caminoEj.
c :
x = t
y = t2
0 ≤ t ≤ 1
Sea
F = xyi + 3xj Fgdr
r1
r2∫ = t3i + 3t j( )g i + 2t j( ) dt0
1
∫ = t3 + 3t2( ) dt0
1
∫ =t4
4+ 2t3
0
1
=1
4+ 2 =
9
4
r = xi + y j = t i + t2 j
dr = dxi + dy j = dti + 2tdt j = i + 2t j( ) dt
w = Fgdr
r1
r2∫ ⇒ f (t)dt =9
4t1
t2∫ al parametrizar la integral se convierte en una integral
con respecto al parámetro.
Si t es el tiempo, Fg
dr
dt es la potencia y
Fg
dr
dtt1
t2∫ dt es el trabajo.
Si consideramos otro camino
r = xi + y j = x i + j( ) dr = i + j( ) dx
Fgdr
r1
r2∫ = x2i + 3x j( )g i + j( ) dx = x2 + 3x( ) dx0
1
∫0
1
∫
=x3
3+
3x2
20
1
=1
3+
3
2=
11
6
r2= (1, 1)
r1= (0, 0)
y= x2y
x
r2= (1, 1)
r1= (0, 0)
y= xy
x
F(ri)
r1
r2
2
Diferente camino ⇒ diferente resultado
Si escogemos otra parametrización: x = y = et −∞ < t ≤ ln1 ln1 ≡ 0( ) e0 = 1( )
F = e2t i + 3et j r = et i + j( ) dr = et i + j( ) dt
Fgdr
r1
r2∫ = e2t i + 3et j( )get i + j( ) dx = e3t + 3e2t( ) dt−∞
ln1
∫−∞
ln1
∫
=e3t
3+
3e2t
20
1
=1
3+
3
2=
11
6
De hecho, se puede probar que la parametrización no cambia el resultado. (Escogemos la
más fácil y no algo comox = y = sen t2( )0 ≤ t ≤ sen−11
)
Sin embargo, nos podemos preguntar para que tipo de fuerzas
Fgdrr1
r2∫ no depende del
camino.
⇒ Para F conservativa (esto es si F = ∇φ para alguna φ).
[Nos adelantamos y decimos que ∇φ =
∂φ∂x
i +∂φ∂y
j
∇φgdr =
∂φ∂x
i +∂φ∂y
j
g dxi + dyj( ) =
∂φ∂x
dx +∂φ∂y
dy = dφ
Fgdr
r1
r2∫ = ∇φgdrr1
r2∫ = dφr1
r2∫ = φr1
r2 = φ r2( ) − φ r
1( ) es independiente del camino.]
Definimos una fuerza conservativa como aquella para la cual
Fgdrr1
r2∫ no depende del
camino sino sólo de r1& r
2.
Nótese que si el camino es cerrado
Fgdr = 0—∫Puesto que
FgdrC1
∫ = Fgdrr1
r2∫C1
= Fgdr = Fgdrr1
r2∫C2
C2∫ = − Fgdr
r2
r1∫C2
⇒ Fgdr
C1∫ + Fgdr
−C2∫ = Fgdr = 0—∫
(Nótese que
Fgdr = 0—∫ para algunos caminos aunque F no sea
conservativa)r1
r2
C1
C2
3
2. Integrales de superficie
Consideremos partículas con velocidad vx& densidad de ρ partículas/volumen.
La densidad de corriente j = ρv = ρvxi ≡ j
xi
Flujo Φ = ρv
xA = jgA =
masa
tiempo que cruzó el área A masa
A = An
Si consideramos un área oblicua A =
A
cosθn
jgA = ρv
x
A
cosθcosθ
obtenemos el mismo resultado
Si B es el campo magnético BgA es el flujo magnético.Notas sobre el vector área (A):
1) Si la superficie es abierta se utiliza la regla de lamano derecha para definir un circuito en el bordedel área y la normal.
2) Si la superficie es cerrada la normal es hacia afuera.
Podemos pensar en una integral de un campo vectorial sobre una superficie S
wgds
S∫ =
lim
n → ∞w r
i( )i =1
n
∑ gdsi
vx
n
área A
θn
n
área A; A=An
dsi=dsiniwi
4
Ejemplo: Si w = x3 yi + y2xj + zk
wgdsCuboUnitario
∫ = ??
Puesto que el cubo tiene seis caras, tendremos seis integralesz
wgds = 6 integrales∫
s
1: x =
1
2; ds
1= dydzi wgds
1s1∫ = w
x1 2, y, z( ) dydz
−1 2
1 2
∫−1 2
1 2
∫
= 1 2( )3
ydydz =−1 2
1 2
∫−1 2
1 2
∫ 1 8( ) ydy−1 2
1 2
∫0
dz−1 2
1 2
∫ = 0
s
2: x = −
1
2; ds
2= dydz − i( ) wgds
2s2∫ = 0
s
3: y =
1
2; ds
3= dxdz j wgds
3s3∫ = w
yx, 1 2, z( ) dxdz
−1 2
1 2
∫−1 2
1 2
∫
= 1 2( )2
xdxdz =−1 2
1 2
∫−1 2
1 2
∫ 1 4( ) xdx−1 2
1 2
∫0
dz−1 2
1 2
∫ = 0 \
s
4: y = −
1
2; ds
4= dydz − j( ) wgds
4s4∫ = 0
s
5: z =
1
2; ds
5= dxdyk wgds
5s5∫ = w
zx, y, 1 2( ) dxdy
−1 2
1 2
∫−1 2
1 2
∫ = 1 2 A5
1=
1
2
s
6: z = −
1
2; ds
6= dxdy − k( ) wgds
6s6∫ =
1
2dxdy
−1 2
1 2
∫−1 2
1 2
∫ =1
2
wgdsCuboUnitario
∫ = 0 + 0 + 0 + 0 +1
2+
1
2= 1
Ejemplo 2: campo eléctrico de una carga en el origen (en coordinadas esféricas)
E =
q
4πε0r 2
er
flujo que sale de la esfera Φ = Egds
esfera∫
ds = dser
Φ =
q
4πεr 2dse
rge
r∫∫ =q
4πε0
1
r 2ds∫∫
ds = r 2dΩ Ω: ángulo sólido
Φ =
q
4πε0
r 2
r 2dΩ∫∫ =
q
4πε0
dΩ∫∫ =q
ε0
x
z
y
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