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Misure Meccaniche e Termiche
Introduzione alla statistica
Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali
Introduzione alla statistica
Fenomeni aleatori2
• I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzati cioèdalla proprietà che la loro osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati.
• Non si ha una regolarità deterministica, bensì di tipo statistico, in quanto nell'osservazione del fenomeno in oggetto si può notare che, nonostante l'irregolare comportamento dei singoli risultati, questi nel loro complesso manifestano determinati caratteri di regolarità.
Introduzione alla statistica
Probabilità discreta: dado a 6 facce
3
Introduzione alla statistica
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
Evento: faccia dado
Pro
babi
lità
even
to
Funzione di densità discreta f(x)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.5
1
Evento: faccia dado
Pro
babi
lità
cum
ulat
a ev
ento
Funzione di probabilità cumulata discreta F(x)
Probabilità discreta: funzioni statistiche
1/6
2/61/6
3/64/6
5/61
punti massa
4
Introduzione alla statistica
Valore atteso
• Valore atteso:
• Il valore atteso indica il baricentro della distribuzione e può non coincidere con uno dei suoi punti di massa.
Nel caso del dado a 6 facce:
5
Introduzione alla statistica
Varianza e deviazione standard
• Varianza:
Indica il momento di inerzia della distribuzione, cioè la sua dispersione attorno al valore medio.
• Deviazione standard (scarto quadratico medio):
6
2
Introduzione alla statistica
Variabili aleatorie continue
• Ipotizziamo di avere un serbatoio il cui livello può variare concontinuità fra 0 e 100 e che non presenti valori di livello più probabili di altri.
• Quanto vale la probabilità associata ad un preciso valore di livello:h
-1 -0.5 0 0.5 1-1-0.500.51
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
7
Introduzione alla statistica
Serbatoio: 100 osservazioni
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
5
10
15
Livello serbatoio
Num
ero
occo
rren
ze
Istogramma occorrenze - N = 100
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
0.005
0.01
0.015
0.02
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 100
8
Introduzione alla statistica
Serbatoio: 1000 e 100mila osservazioni
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
50
100
Livello serbatoio
Num
ero
occo
rren
ze
Istogramma occorrenze - N = 1000
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
0.005
0.01
0.015
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 1000
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
5000
10000
Livello serbatoio
Num
ero
occo
rren
ze
Istogramma occorrenze - N = 100000
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
0.005
0.01
0.015
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 100000
L'aumento delle osservazioni porta ad una maggiore conoscenza del fenomeno aleatorio
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Introduzione alla statistica
Serbatoio: 100mila osservazioni
Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi (aumentando la“risoluzione”) il fenomeno non mantiene la propria regolarità
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
5000
10000
Livello serbatoio
Num
ero
occo
rren
ze
Istogramma occorrenze - N = 100000
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
0.005
0.01
0.015
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 100000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 100000
10
Introduzione alla statistica
Serbatoio: 10 milioni di osservazioni
Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi il fenomeno ora mantiene la propria regolarità
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
5
10x 10
5
Livello serbatoio
Num
ero
occo
rren
ze
Istogramma occorrenze - N = 10000000
5 15 25 35 45 55 65 75 85 950
0.005
0.01
0.015
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 10000000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
Livello serbatoio
f(x)
Istogramma - N = 10000000
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Introduzione alla statistica
• Si intuisce che se avessimo una conoscenza completa del fenomeno aleatorio N → ∞ , potremmo fare tendere a 0 la base degli istogrammi. Si continuerebbe ad avere un numero finito di osservazioni in ogni intervallo.
• Questo passaggio al limite ci consente di ottenere una funzione continua: la funzione densità di probabilità (per v.a. continue).
Funzione densità di probabilità per v.a. continue12
3
Introduzione alla statistica
Distribuzione continua uniforme o rettangolare13
Introduzione alla statistica
Indici statistici
14
Introduzione alla statistica
f(x) discrete Vs f(x) continue
• La differenza fra le funzioni densità discrete e continue non èsolo formale (sostituzione delle sommatorie con gli integrali):
f(x) per v.a. discrete esprimono una probabilità
f(x) per v.a. continue esprimono una densità di probabilità: la probabilità è associata ad intervalli e si determina quindi mediante un'operazione di integrazione
15
Introduzione alla statistica
v.a. continue: calcolo probabilità16
Introduzione alla statistica
Famiglie di distribuzioni
• Tutte le funzioni che soddisfano le proprietà analizzate precedentemente sono possibili funzioni densità di probabilità
• Solo alcune di esse sono però adeguate per modellare particolari fenomeni fisici
• In questo corso sono di interesse: Uniforme (già analizzata) Normale o Gaussiana T-Student
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Introduzione alla statistica
Distribuzione Normale o Gaussiana
2
2
2
2
1),,(
x
exf
x
La normale o gaussiana è la distribuzione che descrive la maggior parte dei fenomeni fisici in campo ingegneristico.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.1
0.2
0.3
0.4
X
f(x)
PDF gaussiana standardizzata
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.5
1
X
F(x
)
CDF gaussiana standardizzata
18
4
Introduzione alla statistica
Distribuzione normale o gaussiana N(,2)
-5 0 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Influenza della media
012
-5 0 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7Influenza della deviazione standard
0.512
La distribuzione gaussiana è completamente descritta da due parametri: media media e varianza 22.
19
Introduzione alla statistica
• circa il 68% della distribuzione ècompreso nell’intervallo centrato su e di estremi
• circa il 95.5% della distribuzione è compreso nell’intervallo centrato su e di estremi 2
• circa il 99.7% della distribuzione è compreso nell’intervallo centrato su e di estremi 3
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Caratteristiche della Gaussiana
Introduzione alla statistica
• Di particolare importanza è la normale standard, ovvero la distribuzione normale che ha media 0 e varianza (e deviazione standard) pari a 1 (si indica con N(0,1)).
Proprietà: se X N(,2)
se X è una variabile distribuita secondo una normale di media e varianza 22, la variabile è distribuita secondo una normale standard.
• Z è definita variabile standardizzata: consente un semplice uso delle tabelle e consente di effettuare delle valutazioni “normalizzate” (es: entro l'intervallo media 2 deviazioni standard è compreso circa il 95% della distribuzione, per qualsiasi distribuzione gaussiana).
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Distribuzione normale standard N(,1)
Introduzione alla statistica
Distribuzione t-Student22
Introduzione alla statistica
Tabelle statistiche
23
Introduzione alla statistica
Relazioni utili
• Per le distribuzioni simmetriche (Gaussiana, t-Student, …) valgono le seguenti proprietà:
• Se la distribuzione è a media nulla:
5
Introduzione alla statistica
25
Introduzione alla statistica
26
Introduzione alla statistica
Si calcolino gli estremi dell'intervallo di confidenza al 90% diuna N(30,2).
Esempio uso tabelle statistiche
22 24 26 28 30 32 34 36 380
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
X
f(x)
0.050.05
0.90
27
Introduzione alla statistica
22 24 26 28 30 32 34 36 380
0.05
0.1
0.15
0.2
X
f(x)
22 24 26 28 30 32 34 36 380
0.05
0.1
0.15
0.2
X
f(x) 0.05
0.05 0.050.90
0.95
28
Introduzione alla statistica
Applicazione della statistica alle misure
29
Introduzione alla statistica
Quando si effettua una misura si cerca di ottenere un valore misurato che sia il più vicino possibile al valore vero (sconosciuto e non conoscibile) della grandezza di interesse.
6
Introduzione alla statistica
Se si fanno ripetere le misure di lunghezza del pesce a diversi pescatori si otterranno valori diversi. Le cause della diversità delle misure rilevata sono molte, e si possono schematizzare in due gruppi:
• effetti sistematici (tirare la coda, misurare lungo la corda)
• effetti casuali
Introduzione alla statistica
effetti sistematici + casuali effetti casuali
Come trattare tutte queste misure diverse ???Soluzione: LA STATISTICA
Altro esempio: misure ripetute nel tempo
Introduzione alla statistica
Numero rilevazione
Lettura[kPa]
1 10.02
2 10.20
3 10.26
4 10.20
5 10.22
6 10.13
7 9.97
8 10.12
9 10.09
10 9.90
11 10.05
12 10.17
13 10.42
14 10.21
15 10.23
16 10.11
17 9.98
18 10.10
19 10.04
20 9.81
Si sono effettuate 20 misure di Si sono effettuate 20 misure di pressione in un recipiente:pressione in un recipiente:
Le misure Le misure nonnon sono tutte uguali!sono tutte uguali!
Quale Quale èè la misura che possiamo dire la misura che possiamo dire essere il valore di pressione esistente essere il valore di pressione esistente nel recipiente ?nel recipiente ?
Altro esempio: misure di pressione di un recipiente
Introduzione alla statistica 3434
Si può procedere cosSi può procedere cosìì: si dispongano i dati rilevati in : si dispongano i dati rilevati in ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei (in questo caso si sceglie 0.05 (in questo caso si sceglie 0.05 kPakPa). ).
Si definisca: Si definisca: •• n = numero di letture in un intervallon = numero di letture in un intervallo•• N = numero totale di lettureN = numero totale di letture•• a = ampiezza di un intervalloa = ampiezza di un intervallo
e infine la e infine la funzione densitfunzione densitàà di probabilitdi probabilitàà discreta discreta ffXX(x)(x)::
aN
nxf X )(
Introduzione alla statistica
Se si traccia un Se si traccia un intervallo di altezza intervallo di altezza ffXX(x) per ogni (x) per ogni intervallo si ottiene:intervallo si ottiene:
ffXX(x)(x)
Numero di Numero di letture letture
nellnell’’intervallointervallo
nn
aN
nxfX
05.020)(
Introduzione alla statistica
Ipotizzando:Ipotizzando:
0a
N
DensitDensitàà di probabilitdi probabilitààdiscretadiscreta
DensitDensitàà di probabilitdi probabilitààcontinuacontinua
7
Introduzione alla statistica
b
a
dxxfbxap
a
dxxfaF
ProbabilitProbabilitààche a<x<bche a<x<b
ProbabilitProbabilitààche x<ache x<a
Funzione densità di probabilità
Funzione di distribuzione cumulataIntroduzione alla statistica
38
• Il teorema del limite centrale ci assicura che, sotto opportune ipotesi, una misura esente da effetti sistematici può essere modellata mediante una distribuzione gaussiana.
DISTRIBUZIONE STATISTICA DISTRIBUZIONE STATISTICA
DELLE MISUREDELLE MISURE
Introduzione alla statistica
ex
xf 2
2
2
2
1
LA FUNZIONE LA FUNZIONE DIDI DENSITADENSITA’’ NORMALE o NORMALE o GAUSSIANAGAUSSIANA
x
x
dxxfxF
Introduzione alla statistica
LA GAUSSIANA ELA GAUSSIANA E’’ COMPLETAMENTE DESCRITTA DA COMPLETAMENTE DESCRITTA DA DUE PARAMETRI:DUE PARAMETRI:
MEDIAMEDIA
DEVIAZIONE STANDARD DEVIAZIONE STANDARD
( o la varianza ( o la varianza 22 ))
Introduzione alla statistica
MEDIAMEDIA
DEVIAZIONE STANDARDDEVIAZIONE STANDARD
INFLUENZA INFLUENZA DIDI MEDIA E DEVIAZIONE STANDARDMEDIA E DEVIAZIONE STANDARD
Introduzione alla statistica
NUMERO INFINITO NUMERO INFINITO DIDI CAMPIONI:CAMPIONI:
: MEDIA: MEDIA : DEVIAZIONE STANDARD: DEVIAZIONE STANDARD
MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN NUMERO INFINITO NUMERO INFINITO DIDI RILEVAZIONI :RILEVAZIONI :
SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER STIMARESTIMARE MEDIA E DEVIAZ. MEDIA E DEVIAZ. STST..
8
Introduzione alla statistica
N
xX
N
ii
1
1
1
2
N
Xxs
N
ii
Con xi= singola lettura e N = numero rilevazioni
Media campionaria
SI UTILIZZANO I SEGUENTI SI UTILIZZANO I SEGUENTI STIMATORISTIMATORI
Deviazione standard
campionaria
Introduzione alla statistica
X
DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DELLE MEDIE DELLE MEDIE
CAMPIONARIECAMPIONARIEmm, , mm
DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE CAMPIONARIACAMPIONARIA
, ,
AVENDO AVENDO DIVERSE SERIEDIVERSE SERIE DIDI MISURAZIONI MISURAZIONI POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA DIDIQUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO QUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO
TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU UNA UNA GAUSSIANAGAUSSIANA
mm==
Nm
Introduzione alla statistica
• circa il 68% della distribuzione ècompreso nell’intervallo centrato su e di estremi
• circa il 95.5% della distribuzione è compreso nell’intervallo centrato su e di estremi 2
• circa il 99.7% della distribuzione è compreso nell’intervallo centrato su e di estremi 3
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Caratteristiche della Gaussiana
Introduzione alla statistica
Circa il 68%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 68%)
N
sX
2
N
sX
N
sX
3
Si può quindi stimare che:46
Circa il 95.5%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 95.5%)
Circa il 99.7%degli intervalli così costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 99.7%)
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