2 3 3 2 5 a x x b ) lim (4 7 5) ) lim ) lim c x x x ...lfavila/calculo/lista_limites.pdf · 8 1 lim...
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Cálculo I
Lista de Exercícios – Limites
1) Calcule os limites:
2 ) 5
39 ) 3/2 ) 8/1 ) 0 ) 2 ):.Resp
46
232 lim)
34
353 lim)
45
332 lim)
43
523 lim)
35
32 lim))574( lim)
3
2
2
3
23
2
2
1
3
2
2
2
2
3
2
1
fedcba
x
xxf
x
xxxe
x
xxd
xx
xxc
x
xxbxxa
xxx
xxx
2) Calcule os limites abaixo:
3) Calcule:
58x4xx
46x3xx lim f)
x4
x8 lim e)
1x
1x lim d)
25x2x
35x2x limc)
x2
x4 limb)
1x
1x lim a)
23
23
1 x2
3
2 x2
3
1 x
2
2
21 x
2
2 x
2
1 x
1 ) 3 ) 2/3 ) 3/7) 4 ) 2 ):.Resp fedcba
) ) ) ))))):.Resp
1
1 lim)
1
1 lim)
3
21 lim)
2
4 lim)
253 lim)
)1(
31 lim)
)1(
32 lim )
)2(
43 lim)
1 1
3 2 2
2
0
21 21 22
hgfedcba
xh
xg
x
xf
x
xe
x
xxd
x
xc
x
xb
x
xa
xx
xxx
xxx
4) Calcule os limites:
5) Calcule os limites:
Exercícios Complementares
1. Calculando-se
3 2
22
2)
3 2lim
x
x x xd
x x
, obtém-se
a) 0.
75
32)lim x
xe
x
12
211)
3limx
xc
x
1032
74)
2
3
lim xx
xxb
x
253) 2
lim
xxax
12
13)
2
3
lim xx
xxd
x
124
121)
2
3
limx
xf
x
84
63)
2
limx
xxg
x
3
3 2
2 2 3)
3 3 5limx
x xh
x x x
3/2 ) ) )
5/2 ) ) 0 ) ) ):.Resp
hgf
edcba
) ) ) ) ):.Resp
)43(lim) )4(lim)
)345(lim) )54(lim) )32(lim)
3
2
2
edcba
xexd
xxcxbxa
xx
xxx
b) 1. c) 2. d) 4. e) 6.
2. O é igual a
a) 1/9. b) 1/27. c) 1/243. d) 1/243. e) 1/54.
3. O valor de é
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) ∞.
4. vale
a) 7e b) e7
c) 7 – e d) 7 + e e) 7e
5. Julgue as afirmações abaixo e marque a alternativa correta.
a) I, II e III são falsas. b) Apenas as afirmações I e II são falsas. c) I, II e III são verdadeiras. d) Apenas as afirmações I e III são falsas. e) Apenas as afirmações II e III são falsas.
6. Calculando-se , obtém-se
a) 1/4. b) 1/5. c) 1/6. d) 1/7. e) 1/8.
7. Seja . O valor de k para oqual f(x) é contínua em x = 4 é
a) 2.
b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.
8. Sobre a função foram feitas as afirmações abaixo, sendo apenas uma verdadeira.
Assinale-a:
a) Seu gráfico tem a reta x = 4 como uma assíntota vertical. b) Seu gráfico tem a reta y = 0 como uma assíntota vertical. c) Seu gráfico passa pelo ponto (0,0).
d)
e) 9. é igual a
a) . b) 0. c) 1.
d) - . e) 4.
10. Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única alternativa incorreta:
a)
b)
c)
d)
e) f(1) = 2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) 2)
3) 4) Não existe pois e
5) 6) 7)
EXERCÍCIOS ESPECIAIS
a) RESP 0 b) RESP -2
Gabarito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E E B D E C D C A C
c) RESP 1/3 d) RESP 1/2
e) RESP 2
1
3
a
a
f) RESP 3X2
g) RESP 1 h) RESP 1/2
i) RESP 3 j) RESP 1
k) RESP -1/56 l) RESP 12
m) RESP 3/2 n) RESP -1/3
o) RESP 1 p) RESP 2
X: x
q) RESP 3 2
1
3 x r) RESP -1/3
LIMITES ENVOLVENDO INFINITOS
Seja a função polinomial f(x) = an xn + na-1xn-1 + ... + a2 x
2 + a1x + a0
( ) n
nx xLim f x Lim a x
Para o cálculo de limite com x toma-se o termo de maior grau da função
e aplica-se o limite .
Exemplos : 2 2(2 3) 2x xLim x x Lim x
Exercícios complementares:
1) 3 2
4
2 4 1
3 2 2x
x xLim
x x
R 0
2) 4
4 3
4 3
3 1x
x xLim
x x
R 4/3
3) 3 2
2
4 2 3
2 3 8x
x x xLim
x x
R
4) 4
2
2 1
2 1x
x xLim
x
R ½
LIMITES DE FUNÇÕES
Seja xf uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número ""a , exceto possivelmente
no próprio ""a . Então, diz-se que o limite de xf quando x tende a ""a ax é L , e representa-se
por
Lxfax
lim
se ax0 para todo 0 há um número correspondente 0 tal que Lxf sempre que
ax0 , isto é, se Lxfax0 .
Exemplo: Provar que 754lim3
xx
Solução:
(a) Encontrar um valor para :
Uma análise preliminar do problema indica que se 0 , deve encontrar-se um tal que
754x sempre que 30 x ,
mas
3434124754 xxxx sempre que 30 x ,
isto é,
43
x sempre que 30 x , logo
4
.
(b) Prova:
Por tanto, dado 0 , escolhe-se 4
, e se 30 x , então,
4443434124754 xxxx
Assim
754x sempre que 30 x ,
por tanto
754lim3
xx
Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, 3x
donde
751253454lim3
xx
Exemplos:
a) 93lim 22
3
x
x
b) 2774575lim4
xx
c)
Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função
2
443 2
x
xxxf , com 2x , isto é,
0
0
2
443lim
2
2
x
xxxf
x Indeterminação,
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de xf abrange todos os números reais, com exceção de
2x que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém,
ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,
02 cbxaxa
acbbx
2
42 .
Assim,
32
2
6
84
6
48164
2
1
x
xx
232
)2)(23(
2
443 2
x
x
xx
x
xxxf
Desta forma, tem-se que
823lim2
)2)(23(lim
2
443lim
22
2
2
x
x
xx
x
xxxf
xxx,
Exercícios:
0
0
4
16lim
2
4
x
x
x Indeterminação,
onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto.
Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja,
48)4(lim)4(
)4)(4(lim
44
xyx
x
xx
xx
Em 4 xxf , o ponto 8,4 deve ser excluído do gráfico, pois 4x , pois o domínio de xf é:
,44,/: xD e tem como imagem
O gráfico mostra que para x aproximando de 2 , xf se aproxima de 8 , mas
se substituir-se 2x na 1a expressão, xf não está definida naquele ponto.
223 xxxf
Ponto 8,2
deve ser
excluído do
gráfico, pois
naquele
ponto a
função é
indefinida.
X
2
8 Y
x xf
300,8100,2
030,8010,2
003,8001,2
000,8000,2
997,7999,1
970,7990,1
700,7900,1
,88,/: yI .
3.1 - Propriedades dos Limites
1) xvvexuuparavuvuaxaxax
limlimlim
2) xuuparauCuCaxax
limlim e C é uma constante
3) xvvexuuparavuvuaxaxax
limlimlim
4)
xvvexuupara
v
u
v
u
ax
ax
ax
lim
limlim
5) xuuparauum
ax
m
ax
limlim
6) xuuparauu max
m
ax
limlim
7) xuuparauuax
aaax
limlogloglim
8) xvvexuuparauuv
ax
v
ax
ax
limlimlim
9) ,,0,00,00
e 0,,0 kk
10) Indeterminações de limites:
1,0,,,
0
0,0, 00
Exemplos:
1) 2
3
4
9
3lim
18lim
3
18lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
2) 0
0
1
34lim
2
2
1
x
xx
x Indeterminação
Como toda indeterminação deve ser levantada, tem-se
Solução: Deve-se, primeiramente, encontrar as raízes do polinômio superior, isto é,
Y
X
4
4
4
8
0342 xx2
12164 x (Baskara)
3
1
2
24
2
1
x
xx
31342
21
2 xxxxxxxxcbxax
donde,
)1(
)3)(1(lim
21
z
zz
z
Então, deve-se encontrar as raízes do polinômio inferior, isto é,
1111101 222 zzzzzz
assim,
12
2
)1(
)3(lim
)1)(1(
)3)(1(lim
11
z
z
zz
zz
zz
3)
12lim3
23lim
0
0
3
65lim
33
2
3
x
x
xx
x
xx
xxx
4) 0
024lim
0
x
x
x Indeterminação
Neste caso, para eliminar a indeterminação 0
0 , se deve racionalizar o numerador , isto é,
22 bababa . Desta forma, tem-se:
24
44lim
24
2424lim
24lim
000
xx
x
xx
xx
x
x
xxx
4
1
24lim
1
24
1lim
24lim
0
00
xxxx
x
x
xx
3.2 - Limites Notáveis
Um limite considerado notável é o do seno, que ocorre porque quando o ângulo (ou arco) tende a diminuir, o
valor do asen tende a ficar igual a este arco, em valor, de forma que o seu quociente tenda para 1, e o limite
notável no caso é
3.2.1 - Limite do seno
1
senlim
0
s
sen
arS sen , se aSr sen;1
6) Calcular
x
x
x
5senlim
0 faz-se
55
txtx , para 00 tx
515sen
lim5sen5
lim5
senlim
000
t
t
t
t
t
t
ttt
7)
3
2
31
21
33
3sen
22
2sen
lim3sen
2senlim
00
x
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
8)
1
1
11
cos
1lim
senlim
cos
1senlim
tanlim
0000
xx
x
xx
x
x
x
xxxx
Limite que define o número “e ”
O número "e" , usado como base do logaritmo natural é obtido pela expressão abaixo.
ex
y
x
x
11lim
x y
1 2
10 5937,2
100 7048,2
1000 7169,2
10000 7181,2
x 7182818,2e
Exemplo:
a
x
xe
x
a
1lim põe-se azx
zx
a
1 para zx
a
az
z
az
z
x
xe
zzx
a
11lim
11lim1lim
Limites infinitos de funções racionais
Se a função for do tipo )()(lim xQxPyx
, isto é,
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1limbxbxbxbxbxb
axaxaxaxaxay
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x
,
que é uma indeterminação. E para resolver esta indeterminação, basta dividir o numerador e o denominador
pela variável independente elevada à maior potência que aparecer na fração. Assim, se mn , tem-se:
n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
nnnn
m
m
n
m
m
n
m
m
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
nnnmn
m
mn
m
mn
m
nnn
nnn
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
bx
a
x
a
x
a
x
a
x
aa
y0
1
1
2
2
2
2
1
1
0
1
1
2
2
2
21
lim
,
e passando ao limite, tem-se:
0000000
00000 nn aay
.
Se nm , tem-se:
m
m
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
mmmm
m
m
m
m
m
m
m
m
mmmm
n
n
m
n
n
m
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
mmm
mm
m
mmmmn
n
mn
n
nm
n
n
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
bb
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
xa
y0
1
1
2
2
2
21
0
1
1
2
2
2
2
1
1
lim
,
e passando ao limite, tem-se:
00
00000
000000
mm bby
.
Se mn , tem-se:
n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
bxbxbxbxbxb
x
axaxaxaxaxa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
b
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
xb
x
a
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
x
xa
y01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1
lim
,
nnn
nnn
nnn
nnn
x
x
b
x
b
x
b
x
b
x
bb
x
a
x
a
x
a
x
a
x
aa
y0
1
1
2
2
2
21
0
1
1
2
2
2
21
lim
,
e passando ao limite, tem-se: n
n
n
n
b
a
b
ay
00000
00000
.
Desta forma, pode colocar-se a regra geral: Independente de qual dos três casos for considerado, todos os
limites menos os de maior expoente, tanto no dividendo quanto no divisor irão anular-se, ou seja,
01
2
2
2
2
1
1
01
2
2
2
2
1
1limbxbxbxbxbxb
axaxaxaxaxay
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
x
mn
m
n
xm
m
n
n
xm
m
n
n
xx
b
a
xb
xa
xb
xay limlim
00000
00000lim
.
Assim, se ymn , se m
n
b
aymn e se 0 ynm .
Exemplos:
1)
32
5lim
2
2
x
x
x, o resultado daria
(indeterminação)
Aplicando a técnica exposta anteriormente se tem:
2
5
02
5
3lim2
5
32
5lim
32
5
lim
2222
2
2
2
xxxx
x
x
x
x
xx ,
ou simplesmente
2
51lim
2
5lim
2
5
2
5lim
32
5lim
2
2
2
2
2
2
xxxx x
x
x
x
x
x
2) Calcular o limite
0
1
00
01
11lim
1lim1
11
11
lim1
1
lim1
1lim
2
3
3
3
33
2
33
3
2
3
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
ou
x
x
x
x
x
xxxlimlim
1
1lim
2
3
2
3
3) Calcular o limite
3
33
33
3
3 33 3 7
5
3lim7
5
371
5lim
371
5
lim37
5lim
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
ou
3333 333 33 3 7
51lim
7
5lim
7
5
7
5lim
7
5lim
37
5lim
xxxxx x
x
x
x
x
x
x
x
4) Calcular o limite
30lim37
lim37
lim37lim 33
3
3
3
2332
x
xx
x
x
x
xxxx
xxxx
3lim33lim30lim 333 xxxxxx
ou simplesmente
3232 lim3lim737lim xxxxxxx
Limites Laterais
a) Definição: Diz-se que o limite esquerdo de xf quando x tende a a (ou que o limite de xf quando x
tende a a pela esquerda) é L e representa-se por
Lxflimax
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax
Exemplo:
0
1
0
1
2
2
22 cos
sen
xcos
xsenlimxtanlim
xx
b) Definição: Diz-se que o limite direito de xf quando x tende a a (ou que o limite de xf quando x
tende a a pela direita) é L e representa-se por
Lxflimax
se for considerado que x tende a a pela esquerda, isto é, .ax
Exemplo:
0
1
0
1
2
2
22 cos
sen
xcos
xsenlimxtanlim
xx
EXERCÍCIOS:
2) Resolver os limites abaixo:
14. y
yy
1
01lim
11. 2
65lim
2
2
x
xx
x
12. 2
4lim
2
2
x
x
x
13. 1
1lim
2
3
1
x
x
x
16. h
h
h
9)3(lim
2
0
17. h
h
h
42lim
0
18. 323 26
4lim
x
x
x
19. y
yay
1
01lim
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