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2019/9/20
1
二、随机变量的概念
一、随机变量的引入
三、小结
第一节 随机变量
概率论是从数量上来研究随机现象内在规律
性的,为了更方便有力的研究随机现象,就要用
数学分析的方法来研究,因此为了便于数学上的
推导和计算,就需将任意的随机事件数量化.当
把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时,
就建立起了随机变量的概念.
1. 为什么引入随机变量?
一、随机变量的引入
2. 随机变量的引入
实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
非数量
将 S 数量化?
可采用下列方法
S红色 白色
)(eX
R1
0
即有 X (红色)=1 ,
.,0
,,1)(
白色
红色
e
eeX
X (白色)=0.
这样便将非数量的 S={红色,白色} 数量化了.
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
,3)3(,2)2(,1)1( XXX ,6)6(,5)5(,4)4( XXX
).6,5,4,3,2,1(,61
}{ iiXP
S={1,2,3,4,5,6}
样本点本身就是数量
恒等变换
且有
eeX )(
则有
.)(
),(
,)(,
}.{ ,
为随机变量称
上的单值实值函数这样就得到一个定义在
与之对应有一个实数果对于每一个
如它的样本空间是是随机试验设
eX
eXS
eXSe
eSE
二、随机变量的概念
1.定义
任课教师:王磊 概率论讲义Chapt2
2019/9/20
2
随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,
由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因
此随机变量的取值也有一定的概率规律.
(2)随机变量的取值具有一定的概率规律
随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有
着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而
随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元
素不一定是实数).
2.说明(1)随机变量与普通的函数不同
实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个
结果: ),(1 反面朝上e
),(2 正面朝上e
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
)(eX)(1 反面朝上e
)(2 正面朝上e 1
0 0)( 1 eX
1)( 2 eX
即 X (e) 是一个随机变量.
实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑
其性别 , 共有 4 个样本点:
).,(),,(,),(),,( 4321 女女男女女男男男 eeee
若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有
,0)( 1 eX ,1)( 2 eX ,1)( 3 eX ,2)( 4 eX
可得随机变量 X(e),
.,2
,,,1
,,0
)(
4
32
1
ee
eeee
ee
eX
3.随机变量的分类
离散型
(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或
无限可列个, 叫做离散型随机变量.
观察掷一个骰子出现的点数.
随机变量 X 的可能值是 :
随机变量
连续型
实例1
1, 2, 3, 4, 5, 6.
非离散型
其它
实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测量
误差”.
则 X 的取值范围为 (a, b) .
实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.
).,0[
(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充
满某个区间,叫做连续型随机变量.
则 X 的取值范围为
三、小结
2. 随机变量的分类: 离散型、连续型.
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规
律性的,因此为了方便有力的研究随机现象,就
需将随机事件数量化,把一些非数量表示的随机
事件用数字表示时,就建立起了随机变量的概
念.因此随机变量是定义在样本空间上的一种特
殊的函数.
任课教师:王磊 概率论讲义Chapt2
2019/9/20
1
一、离散型随机变量的分布律
二、常见离散型随机变量的概率分布
三、小结
第二节 离散型随机变量及其分布律
说明 ;,2,1,0)1( kpk
.1)2(1
kkp
.
.,2,1,}{
,}{
,),,2,1(
的分布律称此为离散型随机变量
为的概率
即事件取各个可能值的概率
所有可能取的值为设离散型随机变量
X
kpxXP
xX
Xkx
X
kk
k
k
一、离散型随机变量的分布律
定义
离散型随机变量的分布律也可表示为
n
n
ppp
xxxX
21
21~
X
kp
nxxx 21
nppp 21
.
),(
,.
21,
的分布律求
相互独立的设各组信号灯的工作是号灯的组数
它已通过的信表示汽车首次停下时以车通过
的概率允许或禁止汽每组信号灯以组信号灯
的道路上需经过四设一汽车在开往目的地
X
X
解
,通过的概率为每组信号灯禁止汽车设 p 则有
kp
X 43210
p pp)1( pp 2)1( pp 3)1( 4)1( p
例1
代入得将21
p
X
kp
43210
5.0 25.0 125.0 0625.0 0625.0
二、常见离散型随机变量的概率分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
Xkp
0p1
1p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
1.两点分布
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2
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
,1)(eXX
,0 ,正面当 e
.反面当 e
X
kp
0 1
21
21其分布律为
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定
,0
,1X
取得不合格品,
取得合格品.
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
X
kp
0 1
200190
20010
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.
说明
将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互
不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其
它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的,
或称为 n 次重复独立试验.
(1) 重复独立试验
2.二项分布
(2) n 重伯努利试验
.1)(),10()(
.
,:
pAPppAP
EAAE
此时 设
为伯努利试验
则称及只有两个可能结果 设试验
.
,
重伯努利试验 n
nE
复的独立试验为
则称这一串重次独立地重复地进行 将
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬
币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”,
就是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式
,发生的次数重伯努利试验中事件表示若 AnX
所有可能取的值为则 X
.,,2,1,0 n
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3
,)0( 时当 nkkX
.次次试验中发生了在即 knA
次k
AAA , 次kn
AAA
次1k
AAA A A 次1kn
AAA
次的方式共有次试验中发生在得 knA ,种
k
n
且两两互不相容.
nknknnk pqp
k
npq
nqp
nkX
1
1
10
称这样的分布为二项分布.记为 ).,(~ pnbX
次的概率为次试验中发生在因此 knA
knk ppk
n
)1( pq 1记 knkqp
k
n
的分布律为得 X
二项分布1n
两点分布
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每
次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次
数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
5)4.0( 44.06.01
5
32 4.06.02
5
23 4.06.03
5
4.06.0
4
5 4
56.0
X
kp
0 1 2 3 4 5
二项分布的图形
?)20,,1,0(
20.20,2.0
.1500
,
一级品的概率是多少只中恰有
只元件问只现在从中随机地抽查品率为
级已知某一大批产品的一小时的为一级品
用寿命超过某种型号电子元件的使按规定
kk
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很
大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很
小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
.2020, 重伯努利试验只元件相当于做检查验
一级品看成是一次试把检查一只元件是否为
例2 解 ,20 只元件中一级品的只数记以 X
),2.0,20(~ bX则 因此所求概率为
.20,,1,0,)8.0()2.0(20
}{ 20
k
kkXP kk
012.0}0{ XP
058.0}1{ XP
137.0}2{ XP
205.0}3{ XP
218.0}4{ XP
175.0}5{ XP
109.0}6{ XP
055.0}7{ XP
022.0}8{ XP
007.0}9{ XP
002.0}10{ XP
时当 11,001.0}{ kkXP
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4
图示概率分布
.,400
,02.0,
率试求至少击中两次的概次独立射击
设每次射击的命中率为某人进行射击
解 ,X设击中的次数为
).02.0,400(~ bX则
的分布律为X
,)98.0()02.0(400
}{ 400 kk
kkXP
.400,,1,0 k
因此 }1{}0{1}2{ XPXPXP399400 )98.0)(02.0(400)98.0(1 .9972.0
例3
3. 泊松分布
).(π~,
.0
,,2,1,0,!
e}{
,,2,1,0
X
X
kk
kXPk
记为布
的泊松分服从参数为则称是常数其中
值的概率为
而取各个的值为设随机变量所有可能取
泊松分布的图形
泊松定理:
二项分布 泊松分布)( nnp
设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则
可利用泊松定理计算 ,1.00001.01000
所求概率为
9991000 9999.00001.01
10009999.01
.0047.0!1e1.0
!0e
11.01.0
解
}2{ XP
}1{}0{1}2{ XPXPXP
),0001.0,1000(~ bX
例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?
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5
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?
解 .人设需配备 N 设备记同一时刻发生故障的
,X台数为 ).01.0,300(~, bX那么 所需解决的问题
,N是确定最小的 使得
合理配备维修工人问题
P X N{ } 0.01
由泊松定理得
,!
e3}{
0
3
N
k
k
kNXP
故有 ,99.0!
e3
0
3
N
k
k
k
.8是小的查表可求得满足此式最 N
个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.
故至少需配备8
.99.0}{ NXP即
离散型随机变量的分布
二项分布
泊松分布
1010 .p,n
两点分布
1n
三、小结
).,(,
,)10(
),,2,1(,,0
,1
,,
,)10(
21 pnXXXX
nii
iX
p
n
n
i
参数为服从二项分布
那末分布并且相互独立它们都服从
次试验失败若第
次试验成功若第
设每次试验成功的概率为立重复伯努里试验
次独对于分布的推广二项分布是
.)10(.2 关系分布、泊松分布之间的二项分布与
).,,2,1,0(
,e!)(
)1(}{
,
,)(,
nk
knp
ppk
nkXP
nnppn
npk
knk
即为参数的泊松分布于以
时趋当为参数的二项分布以
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一、分布函数的概念
二、分布函数的性质
三、例题讲解
四、小结
第三节 随机变量的分布函数
对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值,
要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知
道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率.
}{ 21 xXxP }{}{ 12 xXPxXP
)( 2xF )( 1xF
}{ 21 xXxP
分布函数
).()( 12 xFxF
?
一、分布函数的概念
例如 .],( 21 内的概率落在区间求随机变量 xxX
1.概念的引入
2.分布函数的定义
说明
(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值
的概率情况.
.
}{)(
,,
的分布函数称为
函数是任意实数是一个随机变量设定义
X
xXPxF
xX
.)()2( 的一个普通实函数是分布函数 xxF
实例 抛掷均匀硬币, 令
.,0
,,1
出反面
出正面X
求随机变量 X 的分布函数.
解 }1{ Xp }0{ Xp ,21
0
1 x,0时当 x
;0}0{)( xXPxF
0
1 x,10 时当 x
}{)( xXPxF }0{ XP ;21
,1时当 x
}{)( xXPxF
}0{ XP }1{ XP
21
21 .1
.1,1
,10,21
,0,0
)(
x
x
x
xF得
);,(,1)(0)1( xxF
);(),()()2( 2121 xxxFxF
证明 21 xx 由
},{}{ 21 xXPxXP 得
).()( 21 xFxF 故
}{ 1xX },{ 2xX
},{)( 11 xXPxF 又 },{)( 22 xXPxF
二、分布函数的性质
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2
).(),()(lim)4( 000
xxFxFxx
即任一分布函数处处右连续.
.,1
,,
,0,
,0,0
)(
2
212
11
xx
xxxp
xxp
x
xF
xo
)(xF
1x
2x
1p
2p
1
,0)(lim)()3(
xFFx
;1)(lim)(
xFFx 重要公式
),()(}{)1( aFbFbXaP
).(1}{)2( aFaXP
证明 },{}{}{ bXaaXbX 因为
,}{}{ bXaaX
},{}{}{ bXaPaXPbXP 所以
).()(}{ aFbFbXaP 故
,,,,,,,, TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS
因此分布律为
81
83
83
81
3210
p
X
解 则
三、例题讲解
}.31{},5.5{},31{
,,
,
XPXPXP
X
X
列概率值
并求下的分布律及分布函数求”出现的次数
表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次例1
,, 反面正面设 TH
;21
83
81
,0时当 x
,10 时当 x
求分布函数
}{)( xXPxF
x
o
1
2
3
}{)( xXPxF }0{ XP ;81
0
ix
ip
}{)( xXPxF
1ix
ip
}0{ XP }1{ XP
;0
,21 时当 x
,32 时当 x
;87
83
83
81
,3时当 x
}{)( xXPxF
}{)( xXPxF
2ix
ip}0{ XP }1{ XP }2{ XP
x
o
1
2
3
.1
3ix
ip
}0{ XP }1{ XP}2{ XP }3{ XP
}31{ XP }3{}1{}3{ XPXPXP
)1()3( FF
81
84
1
.3 ,1
,32 ,87
,21 ,84
,10 ,81
,0 ,0
)(
x
x
x
x
x
xF所以
}3{ XP
.83
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3
}5.5{ XP }5.5{1 XP
}31{ XP }1{}3{ XPXP
)1()3( FF
}5.5{}5.5{1 XPXP
011 .0
84
1 .21
的分布律为设随机变量 X
X
kp
321
41
21
41
解
},{)(
,03,2,1
xXPxF
xX
且处概率不为仅在由于
例2
}.32{
},2
5
2
3{},
2
1{,
XP
XPXPX 并求的分布函数求
.3,1
,32},2{}1{
,21},1{
,1,0
)(
x
xXPXP
xXP
x
xF得
0, 1,
1, 1 2,
4( )3
, 2 3,41, 3.
x
xF x
x
x
即
,}{)( xXPxF 由
,41
)23
()25
(}25
23
{ FFXP ,21
41
43
}2{)2()3(}32{ XPFFXP
21
43
1 .43
)2
1(}
2
1{ FXP 得
xx
k
k
pxXPxF }{)(分布函数
分布律 }{ kk xXPp
离散型随机变量分布律与分布函数的关系 例3 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.解 ,0时当 x
,}{ 是不可能事件xXP
,20 时当 x .,}0{ 2 是常数kkxxXP
,1}20{ XP由 ,14 k得 .41
k即
.4
}0{2x
xXP 因而
;0}{)( xXPxF于是
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4
于是}{)( xXPxF
,2时当 x
故 X 的分布函数为
.2,1
,20,4
,0,0
)(2
x
xx
x
xF
}0{ XP }0{ xXP .4
2x
}{)( xXPxF .1
其图形为一连续曲线
.,0
,20,2)(
其它
若记t
ttf
.d)()( ttfxFx
则
,],()()( 上的积分在区间恰是非负函数 xtfxF
.为连续型随机变量此时称X
注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不一样.
.}{)(
xx
k
i
pxXPxF
2.分布律与分布函数的关系
1.离散型随机变量的分布函数
四、小结
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1
一、概率密度的概念与性质
二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
第四节 连续型随机变量及其概率密度
.,
)(,
,d)()(,
,)(
简称概率密度密度函数
的概率称为其中为连续型随机变量则称
有使对于任意实数非负函数
存在的分布函数如果对于随机变量
XxfX
ttfxFx
xFXx
一、概率密度的概念与性质
1.定义
xo
)(xf
1
1d)(
xxfS
1SxxfS
x
xd)(
2
11
1x
2x
)()(}{)3( 1221 xFxFxXxP ;d)(2
1
xxfx
x
xxfx
d)(2
证明
.d)(2
1
xxfx
x
)()(}{ 1221 xFxFxXxP
xxfx
d)(1
性质
;0)()1( xf
;1d)()2(
xxf
证明 .d)()(1 xxfF
).()(,)()4( xfxFxxf 则有处连续在点若
)(}{ aFaXP ,d)( xxfa
}{1}{ aXPaXP
xxfxxfa
d)(d)(
)(1 aF
xxfxxfa
d)(d)(
.d)( xxf
a
同时得以下计算公式
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即.0}{ aXP
证明 }{ aXP .0
由此可得
xxfxa
axd)(lim
0
连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关
}{ bXaP }{ bXaP }{ bXaP
}.{ bXaP
.0}{ aXP
X是连续型随机变量,若{ X=a }是不
可能事件,则有
,0}{ aXP若
是不可能事件}{ aX .0}{ aXP
若 X 为离散型随机变量,
注意
连续型
离散型
是不可能事件则不能确定 }{ aX
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2
}.27
1{)3(
;)2(;)1(
.,0
,43,2
2
,30,
)(
XP
Xk
xx
xkx
xf
X
求
的分布函数求确定常数
其它
具有概率密度随机变量设
解 ,1d)()1(
xxf由
例1
(书例2-27) 的概率密度为知由 Xk61
)2(
.,0
,43,2
2
,30,6
)(
其它
xx
xx
xf
,1d)2
2(d3
0
4
3 x
xxkx得 .
61
k解之得
.4,1
,43,d)2
2(d6
,30,d6
,0,0
)(3
0 3
0
x
xxx
xx
xxx
x
xFx
x
得由
xxxfxF d)()(
.4,1
,43,4
23
,30,12
,0,0
)(2
2
x
xx
x
xx
x
xF即
}27
1{)3( XP )1()27
( FF .4841
.)3(
};2
{)2(
;,)1(:
.,1
,,arcsin
,,0
)(
的概率密度随机变量
的值系数求
的分布函数为设连续型随机变量
X
aXaP
BA
ax
axaax
BA
ax
xF
X
例2
),(lim)( xFaFax
故有
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量,
,)(lim)( xFaFax
,)( 连续所以 xF
aa
BA arcsin
aa
BA arcsin即 BA2
,0
BA2
,1
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3
.1
B
.,1
,,arcsin1
21
,,0
)(
ax
axaax
ax
xF所以
,2
1A解之得
)2
(a
F
0)2
arcsin(π
1
2
1
a
a
6
π
π
1
2
1
}2
{)2(a
XaP )( aF
.32
)()( xFxf
的概率密度为随机变量 X)3(
.,0
,,1 22
其它
axaxa
二、常见连续型随机变量的分布
).,(~
,),(
,,0
,,1
)(
baUX
baX
bxaabxf
X
记为
区间上服从均匀分布在区间则称
其它
具有概率密度设连续型随机变量定义
1. 均匀分布
xo
)(xf
a
b
概率密度函数图形
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxaabax
ax
xF
分布函数
xo
)(xF
a
b
1
均匀分布的意义
,),( Xba 变量上服从均匀分布的随机在区间
.
),(
性是相同的
内的可能中任意等长度的子区间落在区间 ba
解 由题意,R 的概率密度为
.,0
,1100900),9001100(1)(
其他
rrf
故有 }1050950{ RP .5.0d200
11050
950 r
例3 设电阻值 R 是一个随机变量,均匀分布在
900 ~ 1100 .求 R 的概率密度及 R 落在
950 ~ 1050 的概率.
例4 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值
大于3 的概率.
X 的分布密度函数为
.,0
,52,31
)(其他
xxf
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”,
解
即 A={ X >3 }.
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2019/9/20
4
}2{ YP .2720
因而有
设Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数,
则 .32
,3~
bY
32
132
2
3 2 03
32
132
3
3
}3{)( XPAP由于 ,32
d315
3 x
.
,0
.0,0
,0,e1
)(
分布
的指数服从参数为则称为常数其中
的概率密度为设连续型随机变量定义
Xθ
x
xθxf
X
θx
2. 指数分布
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如
无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的
寿命等都服从指数分布.
应用与背景
分布函数
1 e , 0,( )
0, 0.
x θ xF x
x
例5 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
θ=2000的指数分布(单位:小时).
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以
上,求还能使用1000小时以上的概率.
.0,0
,0,e1)(2000
1
x
xxFx
X 的分布函数为解
}1000{)1( XP }1000{1 XP
)1000(1 F
.607.0e 2
1
}10002000{)2( XXP
}1000{}1000,2000{
XP
XXP
}1000{}2000{
XPXP
}1000{1}2000{1
XPXP
)1000(1)2000(1
FF
.607.0e 2
1
指数分布的重要性质 : “无记忆性”.
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5
).,(~,
,,)0(,
,,eπ2
1)(
2
2
)(2
2
σμNX
σμXσσμ
xσ
xf
X
σ
μx
记为的正态分布或高斯分布
服从参数为则称为常数其中
的概率密度为设连续型随机变量定义
3. 正态分布(或高斯分布) 正态概率密度函数的几何特征
;)1( 对称曲线关于 μx ;
π21
)(,)2(σ
xfμx 取得最大值时当
;0)(,)3( xfx 时当
;)4( 处有拐点曲线在 σμx
;
,)(
,,)6(
轴作平移变换着
只是沿图形的形状不变
的大小时改变当固定
x
xf
μσ
;)5( 轴为渐近线曲线以 x
.
,,,,,
)(,,)7(
图形越矮越胖
越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变
图形的对称轴的大小时改变当固定
σσ
xfσμ
正态分布密度函数图形示例
正态分布的分布函数
tσ
xFx
σ
μt
deπ2
1)(
2
2
2
)(
正态分布分布函数图形示例
正态分布下的概率计算
tσ
xFx
σ
μt
deπ2
1)(
2
2
2
)(
}{ xXP
?
原函数不是初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
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6
).1,0(,
,1,0),( 2
N
σμσμN
记为态分布的正态分布称为标准正
这样时中的当正态分布
标准正态分布的概率密度表示为
,,eπ2
1)( 2
2
xxx
标准正态分布
标准正态分布的分布函数表示为
.,deπ2
1)( 2
2
xtx
xt
标准正态分布的图形
}.225.1{),1,0(~ XPNX 求已知
解 }225.1{ XP
)25.1()2(
8944.09772.0
例6
. 0828.0
).1,0(~),,(~ 2 NσμX
ZσμNX
则若引理
证明 略
解
}.{),,(~ 2 dXcPσμNX 求已知例7
{ } ( ) ( )P c X d F d F c
.
σμc
σμd
.}{
σμc
σμd
dXcP 即
例8 证明 ).(1)( xx
xxx
xde
π21
)( 2
2
xx
xde
π21 2
2
xx
deπ2
1 2
2
xx
xde
π21 2
2
).(1 x
证明
(1) 所求概率为
}89{ XP )2(5.09089
)2(1
9772.01 .0228.0
解
例9
?,99.0
80)2(
.89,90)1(
).5.0,(~,
)(,.
o
2
oo
至少为多少问低于
的概率不至少为若要求保持液体的温度
的概率小于求若
且是一个随机变量
计以液体的温度调节器整定在容器内
贮存着某种液体的将一温度调节器放置在
d
C
Xd
dNX
CXCd
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7
99.0}80{)2( XP
99.0}80{1 XP
99.0)80(1 F
99.05.0
801
d
800.99
0.5
d
-802.327
0.5
d即 .1635.81 d
分布函数 概率密度
三、小结
2. 常见连续型随机变量的分布
x
ttfxF d)()(.1 连续型随机变量
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量
误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常
情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,
炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态
分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最
为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小
的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般
是一个正态随机变量.
3. 正态分布是概率论中最重要的分布 另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极
限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理
论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布.
二项分布向正态分布的转换↓↓
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1
一、离散型随机变量的函数的分布
二、连续型随机变量的函数的分布
三、小结
第五节 随机变量的函数的分布
).(,
,)(
,
)(
XfYX
Yxfy
xXYx
Xxf
记作的函数变量
为随机则称随机变量的值的值而取
取值随着若随机变量的集合上的函数
的一切可能值是定义在随机变量设
问题
?)( 的分布分布求得随机变量
的量如何根据已知的随机变
XfY
X
一、离散型随机变量的函数的分布
Y 的可能值为 ;2,1,0,)1( 2222
即 0, 1, 4.
解
}0{}0{}0{ 2 XPXPYP ,41
.2 的分布律求
的分布律为设
XY
X
X
p
2101
41
41
41
41
例1 )}1()1{(}1{}1{ 2 XXPXPYP
}1{}1{ XPXP ,21
41
41
}2{}4{}4{ 2 XPXPYP ,41
故 Y 的分布律为Y
p
410
41
21
41
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
离散型随机变量的函数的分布
的分布律为若也是离散型随机变量
其函数是离散型随机变量如果
X
XgYX
.
)(,
X
kp
kxxx 21
kppp 21
的分布律为则 )( XgY
kp)(XgY
kppp 21
)()()( 21 kxgxgxg
.,)( 合并应将相应的中有值相同的若 kk pxg
Y 的分布律为
Y
p
4 1
21
21
X
kp
211
61
62
63
例2 设
.52 的分布律求 XY
解
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2
第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 ).( yFY
}{)( yYPyFY }82{ yXP
解
二、连续型随机变量的函数的分布
.82
.,0
,40,8)(
的概率密度求随机变量
其他
的概率密度为设随机变量
XY
xx
xf
X
X
例3
)()( yFyf yY
xxfy
X d)(28
}
28
{
y
XP
,)2
8)(
28
(
yyfX
第二步 由分布函数求概率密度.
]d)([ 28
xxf
y
X
.,0
,42
80,
21
)2
8(
81
)(其他
所以
yyyfY
.,0
,168,32
8
其他
yy
}{)( yYPyFY }{ 2 yXP
}{ yXyP
)()( yFyF XX
.32
.0,e
,0,0)(
2
3 2
的概率密度和求随机变量
的概率密度为设随机变量
XYXY
xx
xxf
X
xX
解 ,2 分布函数先求随机变量 XY
例4
.d)(d)( xxfxxfy
X
y
X
)()( yFyf YY ))(())(( yyfyyf XX
yy
yy
21
0e)(2
1 2)(3
.0,0
,0,2e
y
yy y
再由分布函数求概率密度.
当 Y=2X+3 时,有
32 xy ,2
3
yx
]d)([)()( 23
y
XyY xxfyFyf
.3,0
,3,)2
3(e)
23
(2)
2
3(3
y
yyy y
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3
.函数的概率密度的方法
的出计算连续型随机变量 由上述例题可归纳
.3,0
,3,e)2
3(
21 2)
2
3(3
y
yy y
.)()(
)),(),(max()),(),(min(
的反函数是
其中
xgyh
ggβggα
( ),
, ( ) ,
( ) 0( ( ) 0), ( )
,
[ ( )] ( ) , ,( )
0, .
X
XY
X f x
x g x
g x g x Y g X
f h y h y α y βf y
定理 设随机变量 的具有概率密度
其中 又设函数 处处可导 且恒有
或恒有 则称 是连续型
随机变量 其概率密度为
其他
证明 X 的概率密度为
.,eπ2
1)(
2
2
2
)(
x
σxf σ
μx
X
,)( baxxgy 设
,)(a
byyhx
得 .0
1)(
ayh知
.)0(
,),(~ 2
也服从正态分布性函数
的线试证明设随机变量
abaXY
XσμNX例5
2
2
2
)(
eπ2
11 σ
μa
by
σa
.,eπ2
1 2
2
)(2
)]([
yσa
aσ
aμby
.),(1
)(
ya
byf
ayf XY
的概率密度为得
其它由公式
baXY
yyhyhfyf X
Y
.,0
,,)()]([)(
))(,(~ 2aσbaμN
baXY
得
.
),2π
,2π
(~,,
,sin
的概率密度试求电压
且有是一个随机变量相角常数
是一个已知的正其中设电压
V
UΘΘ
AΘAV
解 上恒有在因为 )2π
,2π
(sin)( θAθgv
,0cos)( θAθg
,arcsin)(Av
vhθ 所以反函数为
,1
)(22 vA
vh
例6的概率密度为知又由 ΘUΘ ),
2,
2(~
.,0
,2π
2π
,π1
)(其他
θθf
的概率密度为由定理得 ΘAV sin
.,0
,,1
π1
)( 22
其他
AvAvAvφ
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4
三、小结1. 离散型随机变量的函数的分布
:)( 的分布律为且若 XXgY
X
kp
kxxx 21
kppp 21
的分布律为则 )( XgY
kp)(XgY
kppp 21
)()()( 21 kxgxgxg
2. 连续型随机变量的函数的分布
})({}{)( yXgPyYPyFY
),(,d)()(
xxxf
yxg X
.)( 的密度函数求导得到再对 YyfY
方法1
方法2
.,0
,,)()]([)(
其他
yyhyhfyf X
Y
注意条件.
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