1972 г. Марш Том 106, вып. 3 УСПЕХИ …elibrary.lt/resursai/uzsienio...

1972 г. Марш Том 106, вып. 3

УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ HAVE

5 3 8 3G6

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИПОВЕРХНОСТЯМИ

Л. В. Шмелев

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4591. Метод Кирхгофа 4602. Метод возмущений 4693. Методы, учитывающие многократное рассеяние на поверхности 4744. Заключение 4775. Цитированная литература 477

ВВЕДЕНИЕ

В ряде практических задач акустики, радиофизики и оптики прихо-дится сталкиваться с рассеянием волн неровными поверхностями. Рас-пространение звуковых и электромагнитных волн над пересеченнойместностью или над взволнованной водной поверхностью, изучение похарактеристикам рассеянного поля структуры и свойств поверхностейсуши, моря, планет, дна океана и т. п.— вот далеко не полный переченьэтих задач. Как при определении свойств рассеянного поля по известнымхарактеристикам поверхности, так и при решении обратной задачи необ-ходимо знать связь между свойствами рассеивающей поверхности и харак-теристиками рассеянного ею поля. Нахождение этой связи и составляетосновной вопрос теории.

Если структура неровностей достаточно проста, то в расчетах можноиспользовать различные модели (синусоидальные или пилообразные неров-ности, плоскость со случайным образом расположенными на ней полусфе-рами или полуцилиндрами и т. п.). Однако более общим, а главное охва-тывающим практически важный случай поверхностей, неровности которыхобразованы естественными причинами, является подход, использующийстатистическое описание как самой поверхности, так и рассеянных еюволн посредством случайных полей. Данный обзор посвящен работам,использующим именно этот последний подход.

Из литературы обзорного характера по рассматриваемому вопросу,укажем на обзоры 1 - 6 и монографии 7~9. В данном обзоре, наряду с давноиспользуемыми методами решения задачи (метод Кирхгофа и метод возму-щений), будут описаны развитые за последнее время методы, позволяющиеучитывать многократное рассеяние на поверхности (метод интегральногоуравнения и метод функций Грина). Кроме того, будет изложен рядрезультатов, полученных в рамках традиционных методов, но не отражен-ных в указанных выше обзорах и монографиях.

Несмотря на довольно большое количество публикаций по рассеяниюволн статистически шероховатыми поверхностями, теория вопроса еще

5*

460 А. Б. ШМЕЛЕВ

далеко не завершена. Это объясняется как обилием факторов, которыеприходится принимать во внимание для построения теории, отвечающейнуждам современного эксперимента, так и необходимостью уточнения техприближенных решений, которыми мы уже располагаем.

1. МЕТОД КИРХГОФА

Сущность этого метода состоит в предположении о том, что на неров-ной поверхности S отраженное поле можно вычислять по законам геоме-трической оптики, т. е. так же, как при отражении от бесконечной каса-тельной плоскости в данной точке поверхности S. Это допущение оправ-дано, если радиус кривизны неровностей достаточно велик в масштабедлины волны.

В частности, речь может идти о поверхностях, содержащих плавныенеровности (без изломов) или о поверхностях, состоящих из плоскихплощадок (граней) достаточно больших размеров. В последнем случаегипотеза Кирхгофа нарушается на ребрах.

С точки зрения теории первый случай представляет больший интерес,и в дальнейшем основное внимание будет уделено именно поверхностямс плавными неровностями. К тому же в ряде областей применения теории(например, при исследовании морского волнения акустическими илирадиофизическими методами) представление поверхности S в виде сово-купности плоских площадок является лишь грубой моделью. Правда,в оптике, если речь идет, например, об отражении света от матовых стекол,то мы имеем второй случай.

Локальное условие применимости приближения Кирхгофа имеетвид 10- п

/φ cos3 θ > 1,

где к = ω/c —· волновое число, ρ — радиус кривизны неровностей, θ —локальный угол падения. При наличии на границе раздела S поверхно-стных волн необходимо, кроме того, требовать малости рассеянного поля,обусловленного этими волнами 1 2 .

а) Пусть на поверхность ζ — ζ (χ, у) падает звуковая волна

описываемая в приближении геометрической оптики, в частности плоскаяволна или направленная сферическая волна. В соответствии с принципомКирхгофа для отраженного поля и его нормальной производной на грани-це раздела S имеем

дц> (г) _ т / ЭФ (г) и 9 ,1 дп дп ν ' /

где V — локальный френелевский коэффициент отражения. Отраженное

поле в точь

лой Грина

поле в точке наблюдения R связано со значениями φ (г) и • форму-

φ(Κ) = -ϊ— \ φ (r)^ р5 1 ^г^-гъ г dS. (1,3)s

Считая выполненным неравенство

z-%(z,y)>0, (1,4)

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 4 6 1

используем разложение Вейля скалярной функции Грина по плоскимволнам

[ ix(R-r)__A., (1,0)[R — г | 2л

где κ = ( κ χ , κζ), κζ = (Α;2 — κ χ ) 1 / 2 .Подставляя теперь (1,5) и (1,2) с учетом (1,1) в (1,3) и переходя

к интегрированию по подстилающей плоскости SQ, находим выражениедля рассеянного поля, которое в случае абсолютно жесткой поверхности(V = i) принимает вид1 3

φ

со

Г ГJ J

Oft J— ΟΩ S o

где Л0 = Л(г ± ), Ψο —Ψ(Γχ)ί q = VT|?0 —κ —вектор рассеяния.Выражение (1,6) описывает поле, рассеянное как ограниченной, так

и бесконечной поверхностью при весьма слабом условии (1,4), налагае-мом на положение точки наблюдения над неровностями. Источник пер-вичной волны должен при этом находиться во фраупгоферовой зонепо отношению к высоте неровностей σ:

где L — характерный масштаб изменения амплитуды А (г) и градиентафазы νψ (г) первичной волны (1,1).

Если точка наблюдения удалена от неровностей на расстояние Ζ,такое, что Ζ >̂ σ, Ζ ^ λ, то интеграл по κ^ можно вычислить методомстационарной фазы и формула (1,6) упрощается:

7 Rl «

где q = ν ψ0 — к -γτ- , Kf = - R — rj_.Вычисляя интеграл в усредненном выражении (1.7) методом стацио-

нарной фазы, находим среднее значение рассеянного поля

где /ιζ (qzc) — характеристическая функция неровной поверхности, qzc —значение z-компоненты вектора рассеяния в стационарной точке, совпа-дающей с точкой геометрического отражения волны (1,1) от плоскости 5 0 ,a cpt0) (R) — поле, регулярно отраженное от So и вычисленное в лучевомприближении. Формула (1,8) справедлива при удалении источника пер-вичной волны и точки наблюдения от неровной поверхности на такое рас-сюяние, что для Вт = min (/?, L) выполнены условия

kRmy {(Щ\ (^) 4sin 220 c}, (1.9)

где 9С — угол падения первичной волны в точку зеркального отраженияот плоскости SQ, Т. е. в стационарную точку.

В том случае, когда падающая волна плоская, а поверхность S без-гранична, выражение (1,8) оказывается справедливым при условии (1,4),более мягком, чем (1,9). Если поверхность не является в среднем плоской,то при пологих неровностях формула (1,8) также остается в силе 1 4.Величина /1ζ (q2c) в (1,8) имеет смысл эффективного коэффициента отраже-ния среднего поля.

462 Л. Б. ШМЕЛЕВ

С помощью динамических соотношений (1,6) и (1,7) нетрудно найтивыражения для корреляционной функции Ψ (R, R') = (φ (R) φ* (R') > —— <φ (R)> (φ* (R')> и средней интенсивности флуктуации / — Ψ (R, R)рассеянного поля. При этом оказывается, что при удалении от неровнойповерхности точки наблюдения и источника на расстояния Я и Ro, длякоторых

при (far) a <l,(110)

имоот место некогерентное сложение интенсивностей волн, переизлучзн-пых отдельными элементами неровной поверхности:

</So

здесь / — средняя интенсивность поля, рассеянного с единицы площадишероховатой площадки во фраунгоферову зону (по отношению к размерамэтой площадки) при падении плоской волны единичной амплитуды.

Метод расчета средней интенсивности (1,11) был предложен Исако-вичем 15. Им же впервые было получено выражение для /, которое длястатистически однородных неровностей имеет вид 15> 1 в

/1 £( — qz)]d2p, (1,12)

^ e R 2 = R - ξ , q^V%{l) — k(R2IR2), /2 ζ (qz, —qZy ρ)— двумерная харак-теристическая функция неровной поверхности, а /ις (qz) — по-прежнемуее одномерная характеристическая функция.

Можно показать 13> 17· 1 8, что выражение (1,12) описывает среднююинтенсивность рассеяния не только в дальней зоне по отношению к разме-ру Ls шероховатой площадки S, но и на более близких расстояниях,удовлетворяющих неравенству

min (i?, RQ) > ЫфЬд. (1ДЗ)

Физически условие (1,13) означает, что углы, под которыми виднаплощадка S из источника и точки наблюдения, должны быть малы посравнению с шириной индикатрисы рассеяния отдельной неоднородности.

Используя найденную с помощью (1,7) корреляционную функциюΨ (R, R'), можно в случае гауссовой функции распределения высотынеровностей с одним масштабом корреляции I оценить радиусы поперечнойг'\_ и продольной г"| корреляции рассеянного поля в дальней зоне отдельнойнеоднородности, выразив их через эффективный размер неоднородностей1ф. При условии, что неровная поверхность целиком включает в себяобласть, существенную для рассеяния, и что в этой области изменениемедленно меняющихся множителей достаточно мало, указанные оценкиимеют вид

* Ί ж h [ (Д" 4- До)/До!c o s бс'(1,14)

где Rw = (R+R')/2.Формулы (1,14) совпадают с аналогичными оценками для фазового

экрана с малой дисперсией фазы. Аналогия с задачей дифракции на неод-нородном фазовом экране была отмечена Тамойкиньш и Фрайманом 1 9

и использована ими при исследовании корреляции флуктуации амплитудыи фазы поля, отраженного от поверхности с двумя масштабами неровно-стей при нормальном патении плоской волны.

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 4 6 3

Задача о рассеянии электромагнитных волн отличается от скалярногослучая только учетом поляризации. Для первичной волны, заданнойв приближении геометрической оптики, вывод динамических соотношенийв принципе не отличается от скалярного случая. Однако выкладки стано-вятся несколько более громоздкими, поскольку, во-первых, вместо (1,3)следует использовать векторную формулу Грина и, во-вторых, при вычис-лении электрического и магнитного векторов отраженного поля по методуКирхгофа нужно учитывать различие френелевских коэффициентов отра-жения для вертикально и горизонтально поляризованных (по отношениюк лока'льной плоскости падения) компонент падающей волны. В случаеидеально проводящей поверхности окончательные выражения для электри-ческого вектора рассеянной волны даются формулами (1,6) и (1»7), в кото-рых скалярный амплитудный множитель Л од2 следует заменить векторным{(eoq) q — [qteoq]]} 20- Для среднего поля можно получить векторныйаналог формулы (1,8) с тем же эффективным коэффициентом отражения.

На расстояниях (1,10) от неровной поверхности средние энергетиче-ские характеристики рассеянного электромагнитного поля (такие, каксредняя интенсивность, средний вектор Пойнтинга, средний квадрат ком-поненты электрического вектора по произвольному направлению, элемен-ты поляризационной матрицы) можно вычислять с помощью некогерентно-го сложения. При этом величина А\ (ξ) в (1,11) заменяется более сложны-ми функциями, которые также медленно меняются в зависимости от | .Если источником первичной волны является элементарный электрическийдиполь, то при гауссовой статистике неровностей удается получить замкну-тые формулы для средних энергетических характеристик рассеянногоназад поля 2 0 *) .

В случае обратного рассеяния к точечному источнику можно вычис-лить также и среднюю интенсивность флуктуации звукового поля 13> 2 4.

Существенно, что все выражения для средних энергетических характе-ристик содержат в качестве подынтегральной функции величину /, опре-деляемую формулой (1,12). Эта величина, как уже было указано, естьсредняя интенсивность поля, рассеянного с единицы площади поверхностина расстояниях (1,13) от S и, в частности, во фраунгоферовой зоне поотношению к S при падении плоской волны.

б) Решению задачи о рассеянии плоской волны в дальнюю зону отно-сительно S посвящено довольно большое число работ. В такой постановкезадача была первоначально решена Исаковичем 16> 1в, впоследствии к нейнеоднократно обращались и другие авторы 25~33. Рассматривался случайобратного рассеяния 34~36, вычислялось рассеянное поле при падениина поверхность волны с круговой поляризацией 3 7, изучались возможностиопределения характеристик поверхности из экспериментов по рассеяниюволн 38-*°, предпринимались попытки учесть зависимость френелевскихкоэффициентов отражения от наклонов неровностей 4 1 и вообще проводитьусреднение с учетом статистики случайных наклонов 42~45.

Как правило, все расчеты велись в пренебрежении краевым эффектом,обусловленным дифракцией первичной волны на границе конечной^шеро-ховатой площадки. Однако это пренебрежение не всегда допустимо.Как показано в работе 4 6, при рассеянии вертикально поляризованнойволны и углах скольжения <30° краевой эффект дает заметный вкладв рассеянное поле. Заметим, что при рассеянии участком безграничнойповерхности краевого эффекта нет.

*) Если поверхность S не является идеально проводящей, то расчеты существен-но усложняются з!-2^, поскольку в этом случае необходим учет статистики случайныхнаклонов неровной поверхности, от которых зависят френелевские коэффициентыотражения.

464 А. Б. ШМЕЛЕВ

В работе 4 7 развит подход, основанный на представлении поля в точкенаблюдения в виде суммы полей, приходящих от бликов на неровнойповерхности. В этом приближении задача о рассеянии сводится к нахожде-нию геометрических характеристик поверхности. Так, например, среднеесечение рассеяния с единицы площади оказывается пропорциональнымсреднему числу бликов на поверхности, а также величине (| pip2 | ) , гдеpi и р2 — главные радиусы кривизны неровностей в местах расположениябликов. В случае нормального закона распределения высоты неровностейс гауссовой функцией корреляции среднее сечение рассеяния удаетсявыразить в явном виде через параметры задачи 4 8 и результат находитсяв согласии с выражениями, полученными путем вычисления интеграла(1,12) в лучевом приближении.

Как показано в работе 49, к этому же результату для среднего сечениярассеяния приводит расчет, основанный на гипотезе о том, что шерохова-тую поверхность можно разбить на плоские площадки со случайным рас-пределением наклонов и вычислять отраженное поле по законам геометри-ческой оптики непосредственно в пространстве (а не только на поверхно-сти, как в методе Кирхгофа). Эта гипотеза, впервые высказанная ещеБугером 50, широко используется в оптических расчетах по отражениюи прохождению света й1· 5 2, когда дифракционные эффекты, вызванныеизломами границы раздела, несущественны. Поправки на дифракциюв этом случае можно приближенно учесть, приняв в расчет индикатрисырассеяния элементарных плоских площадок 5 3.

Результаты расчетов, выполненных в рамках этого приближения,используются на практике для определения высоты неровностей и функциираспределения элементарных площадок, главным образом из экспери-ментов по рассеянию света матовыми стеклами и поверхностями шлифо-ванных металлов 54~62. В работе 6 3 описываемый подход применен длявычисления ряда характеристик светового поля, рассеянного взволнован-ной поверхностью моря.

Наконец, имеются работы (см., например,64· 6 5 ), в которых лучевоеприближение использовано для интерпретации некоторых эксперименталь-ных данных по отражению радиолокационных сигналов от поверхностейЛуны и планет.

Отметим, что в дальней зоне ограниченной поверхности деполяризо-ванная компонента рассеянного поля в плоскости падения (в частности,при обратном рассеянии) оказывается равной нулю уже в динамическойчасти задачи. Однако в ближней волновой зоне и, в частности, при рас-сеянии на безграничной поверхности средний квадрат этой компонентыотличен от нуля 2 0 ' 6 6. Объясняется это тем, что в первом случае все бликиг

ответственные за рассеяние, лежат на элементах поверхности, наклонен-ных под одним и тем же углом, тогда как во втором случае имеем наборбликов от элементов со всевозможными наклонами.

Обратимся теперь к вычислению интеграла (1,12), который играетважную роль при расчете энергетических характеристик поля как прирассеянии на площадке конечных размеров, так и при неограниченнойнеровной поверхности. Вычислить этот интеграл точно удается лишьв немногих частных случаях, и поэтому он обычно оценивается прибли-женными методами.

Для случая высоких по сравнению с длиной волны неровностей(Я*°2 ̂ > 1) в 6 ? предложен метод вычисления (1,12), пригодный для произ-вольной функции распределения неровностей и использующий трехточеч-ную плотность вероятности последних. Результат вычисления этим мето-дом можно представить в виде ряда по малому параметру (<?2σ)~2, причемпервому члену ряда соответствует лучевое приближение. В этом прибли-

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 465·

жении результат имеет вид 67> 6 8

где wH (ζ'χ, ζ'υ) — совместная плотность распределения наклонов поверх-ности.

В противоположном случае малых по сравнению с длиной волнынеровностей (qlo2 <C 1) интеграл (1,12) представляет собой трансформантуФурье корреляционной функции, т. е. пропорционален спектральнойплотности неровной поверхности W (qx, qy)

2 6:

W(qx, gy).

Если высота неровностей распределена по нормальному законус одним масштабом корреляции, формула (1,15) дает тот же результат,который был получен в работе 1 5, где вычисление (1,12) производилось-методом перевала. Однако метод перевала применим и в том случае, когданужно учесть несколько масштабов корреляции неровностей. Например,для одномерных неровностей с корреляционной функцией вида

K{x) = e-x2tl2lcosQx, (1,16)

существенным оказывается при /Ω ̂ > qza целый ряд масштабов корреля-ции. Метод перевала дает тогда следующий результат15:

exp{~qxf2№a*ql) X

Χ 2 e x P [ — ϊ·2πη (дх/Щ— 4л2тг2 (gV/Q2^2)], (1,17)η

где Ly — длина поверхности в направлении оси ζ/, а суммирование ведетсяпо перевальным точкам. При целочисленных значениях N = qj& выра-жение (1,17) имеет максимумы, аналогичные спектрам рассеяния на перио-дической поверхности. Однако, в отличие от последней, здесь мы имеемдело со спектрами интенсивности, а не амплитуды. Отметим, что корреля-ционной функцией (1,16) достаточно хорошо описывается взволнованнаяморская поверхность на не слишком большом ее участке 15> 69· 7 0.

В случае нормального распределения неровностей с гауссовымкоэффициентом корреляции вычисление интеграла (1,12) при произволь-ной высоте неровностей приводит к бесконечному ряду 8

сю

/ =

- Σ п = 1

Для направлений зеркального отражения (gj_ — 0) этот ряд выражаетсячерез табулированные функции:

/ = (q42/№nRlqt) е'Ф* [Ei (q*a*) — C — 2ln qzo],

где Ei (£) — интегральная экспонента, С — постоянная Эйлера. Пред-ставление величины / в виде бесконечного ряда возможно и в случаеанизотропных неровностей 7 1.

К модели с экспоненциальной корреляцией неровностей приводитописание поверхности посредством марковского процесса 7 2. Однако рас-четы величины / для такой модели поверхности 73~"76 вряд ли оправда-ны 77> 78, так как условия применимости метода Кирхгофа в этом случаенарушены. Использование предложенного в 7 9 коэффициента корреляции

4 6 6 А. Б. ШМЕЛЕВ

который при | ρ | 3> I ведет себя как экспоненциальный, но, в отличие•от последнего, дважды непрерывно дифференцируем в нуле, дает возмож-ность вычислять дисперсию наклонов поверхности обычным способом,σ£ = - К" (0) σ2.

С экспериментальной точки зрения представляет интерес вычисление-флуктуации амплитуды и фазы рассеянного поля. В случае малых значе-ний параметра Рэлея (2ко cos θ <С 1)» когда рассеянная компонента полямала по сравнению с зеркально отраженной, можно положить

φ(0> + φ(ΐ> ^

Таким образом, выделяя вещественную и мнимую части отношенияφ<ΐ)/φ(θ>( M 0 J K H 0 найти флуктуации амплитуды и фазы, а усредняя затембилинейные комбинации 6А и δφ, получить их функции автокорреляциии взаимной корреляции 80· 8 1.

Если число неровностей, участвующих в рассеянии волны на поверх-ности, велико, то в силу центральной предельной теоремы рассеянное полебудет распределено нормально 8» 8 2. Разумеется, сказанное не относитсяк регулярно отраженной компоненте поля, которая существенна прималых значениях параметра Рэлея вблизи направления зеркальногоотражения.

Гауссов закон распределения рассеянного поля использован в рабо-тах 83> 8* при исследовании свойств случайного поля интенсивности лазер-ного излучения, рассеянного на движущейся диффузной поверхности.

в) Для описания отражения волн от статистически неровной поверх-ности, изменяющейся во времени, в большинстве случаев достаточноквазистационарной постановки задачи. Это приближение справедливо,если отклик приемной аппаратуры на временное изменения поверхностиквазистационарен. В дальней зоне поверхности S с нормальным распре-делением неровностей временная корреляционная функция рассеянногол о ля в этом приближении имеет вид

ψ w =тде Κ (ρ, τ) — пространственно-временной коэффициент корреляции по-верхности. Обращение Ψ (τ) по Фурье дает спектральную плотностьотраженного поля.

Если динамические уравнения, описывающие временное измененияповерхности, линейны, К (ρ, τ) можно представить в виде суперпозициибегущих плоских волн

К (ρ, τ) = j J К (χι, θ) β«"

•с законом дисперсии Ω (X_L). В работе85 установлено, что в дальней зоне Sв случае q\a* <C 1 спектр рассеянного поля в первом порядке по (?2σ)2

линейчатый. Уширение спектральных линий, связанное с нелинейностьюзакона дисперсии, обнаруживается лишь во втором порядке. Высокиенеровности (q\a2 >̂ 1) в случае нелинейного закона дисперсии дают непре-рывный спектр. Линейный закон дисперсии Ω = xj_v приводит к доппле-ровскому смещению частоты, зависящему как от направления волновоговектора падающей волны, так и от направления наблюдения.

Результаты вычислений спектральной плотности давления звуковойволны, отраженной от участка сильно и слабо взволнованной морскойповерхности 8 в, находятся в согласии с этими выводами. При этом полная

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 467

когерентность поля имеет место лишь при отражении от слабо взвол-нованной поверхности в направлении зеркального луча 8 7.

При равномерном движении безграничной поверхности разные уча-стки ее дают различную величину допплеровского сдвига. Частотныйспектр отраженного поля имеет при этом конечную ширину 8 8, в отли-чие от случая рассеяния в дальнюю зону ограниченной шероховатойплощадки.

г) Кирхгофово приближение естественным образом обобщается наслучаи негармонического падающего поля. В силу принципа суперпози-ции среднее поле отраженного регулярного звукового сигнала, имеющегоспектр S (ω), дается формулой

со

(Ч>) = ̂ J 5 (ω) (φ (ω, ί)>ώ»,

гдеΐφ(ω, R, 0 φ* (ω', R', *'))-(φ(ω, R, *)) (φ* (m't R', t'))_ _ _ _

где (φ (ω, 2)) — среднее поле отраженной гармонической волны с частотой ω.Для пространственно-временного коэффициента корреляции рассеянногополя нетрудно получить следующее выражение:

оо

Ψ (R, R', τ) = ~ [ f S (ω) S* (ω') Κ (ω, R, ω', R', τ) άωάω', (1,18)

tf(to,R, c o , R , x ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

—• коэффициент взаимной пространственно-временной корреляции гармо-нических полей с разнесенными частотами.

Зная К (ω, R, ω', R\ τ), можно оценить радиус частотной корре-ляции рассеянного поля, т. е. ширину полосы пропускания канала связис рассеянием волны шероховатой поверхностью. Соответствующие оценкипроведены как для случая рассеяния в дальнюю зону ограниченнойплощадки S 8 9, так и при рассеянии направленной сферической волныбезграничной шероховатой поверхностью 90.

При рассеянии шумовых сигналов необходимо проводить усреднениетакже и по ансамблю реализаций первичного поля. В случае стационарно-го шума усреднение (1,18) дает

Ψ (R, R', τ) = j G((U)K (со, R, R', τ) άω, (1,19)— 00

где G (ω) — энергетический спектр первичного шумового сигнала.Вычисление среднего поля и его пространственно-временной функции

корреляции для высокочастотного импульса А (£)^Л о ехр [ίωο£ — (fVtJ)]и шума с энергетическим спектром G (ω) = Go ехр|[— (ω — ωο)2/Ω2]9 1

дает возможность количественно оценить такие эффекты, как дополни-тельное ослабление рассеянного импульса, его расплывание и изменениецентральной частоты спектра. Зная, каким образом рассеивается каждаягармоническая составляющая сигнала, и предполагая, что рассеянноеполе стационарно в широком смысле, нетрудно найти энергетическийспектр рассеянного негармонического сигнала92.

д) При больших углах падения и наблюдения существенное влияниена рассеяние оказывают затенения как падающей, так и отраженной волнотдельными участками неровной поверхности 93> 8 4. Впервые учет затене-ний в методе Кирхгофа был предпринят в работе 9 5, где было использовано

468 А. Б. ШМЕЛЕВ

решение задачи о выбросах случайной функции над заданной детермини-рованной. Другой подход, основанный с самого начала на геометрическихпредставлениях, был предложен в работе 96, однако полученные в этойработе результаты оказались ошибочными 97-&8. На основе предложенногов работе 9 6 метода теория вопроса была впоследствии развита сначалав предположении о нормальном законе распределения высоты неровно-стей "- 1 0 1 , а затем и без этого ограничения 1 0 2- 1 0 4 .

Отметим также работу 1 0 Б, в которой используется оригинальныйметод вычисления функции затенения с помощью простого геометрическоготождества.

Задача учета затенений по отношению к падающему полю состоитв нахождении по известной плотности вероятностей высот и наклоноввсей неровной поверхности w (ζ, ζ'χ) плотности вероятности высот и накло-нов ее освещенной части и?вфф (ζ, ζχ) = w (ζ, ζχ) Ρ± (ζ, ζ'χ, ψ), где Pi —вероятность того, что луч, проведенный под углом φ из точки поверхностис высотой ζ и наклоном ζ'χ, нигде не пересекает неровностей. Величина Piвыражается через плотность вероятности gx (A \ В) пересечения лучас поверхностью на расстоянии τ от выбранной точки (событие А) приусловии, что в интервале (0, %) пересечений нет (событие В), следующимобразом:

со

Ρ&(ζ, & Φ) - θ (tg ψ - ζχ) exp [ - j gx (A \)B) άτ],о

где θ (χ) — функция Хевисайда.В принципе можно найти точное выражение для gx (A \ В), но [она

слишком сложно. Поэтому gx (А | В) обычно вычисляют приближеннопри следующих предположениях:

1) отсутствие корреляции между высотой и наклоном неровностейв случае слабых и сильных затенений;

2) пренебрежение многократными пересечениями луча с поверхностьюв промежуточной области углов скольжения я|).

При указанных предположениях можно вычислить г#Эфф (ζ> ζ'χ* Φ)и функцию затенения Ρ (φ), дающую вероятность того, что произвольнаяточка поверхности освещена (безотносительно к ее высоте и наклону).Затенения отраженных лучей учитываются точно так же, как и падающих.При этом усреднение интенсивности звукового поля, рассеянного в даль-нюю зону поверхности S, по распределению и?э$ф дает 1 0 3

' = Ό < ? ( Ψ , г),

где / 0 — средняя интенсивность рассеяния в дальней зоне без учета зате-нений, ψ — угол скольжения падающей волны, χ—угол наблюдения.В случае слабых и сильных затенений

Q (Ф, X) = [1 -<?-Λ<Ψ)-Λ<Χ)]/[Λ (φ) + Λ (χ)],

а в промежуточной области

где

Λ(ί) = ctgi

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 469

2. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ

На практике часто приходится иметь дело с рассеянием волн поверх-ностями, высота неровностей которых, будучи малой по сравнению с дли-ной волны λ, заметно изменяется уже на расстояниях, гораздо меньшихλ. Такая ситуация возникает, например, в оптике при рассеянии светана тепловых флуктуациях поверхности жидкости, в радиофизике и акусти-ке при отражении волн от слабо шероховатых поверхностей типа морскойряби. В этом случае приближение Кирхгофа уже непригодно и для реше-ния задачи о рассеянии естественно привлечь метод возмущений. Сутьметода состоит в разложении как граничных условий, так и искомогорешения в ряды по степеням малого параметра | kt, | ~ | νζ | <С 1и вычислении последовательных приближений для рассеянного поля.Применение метода возмущений предполагает малость неровностей(\ Ιεζ | <ξ 1) и их пологость (| Δζ | <С 1)> но не требует их плавности в мас-штабе длины волны. Мы здесь опишем три разновидности метода возмуще-ний, наиболее распространенные в литературе по рассеянию волп стати-стически шероховатыми поверхностями.

а) Первый метод состоит в применении к расчету рассеянного поляформулы Грина. Представим полное звуковое поле в верхней средев виде ряда возмущений

оо

φ (R) = Φ (R) + 2 Ф(П> (R), (2,1)

где Φ (R)—поле первичной волны, а n-й член ряда имеет порядок] Ιίζ\η ~ | ν ζ | η . Пусть, для простоты, поверхность абсолютно мягкая.Подставляя тогда (2,1) в разложенное по степеням ζ граничное условие

φ

получаем граничные условия на плоскости г = 0 для последовательныхприближений

φ(0) ι ff~t Π "\-4— VjJri - \J 1

3Z J % \ (2,2)

•

По граничным условиям (2,2) легко найти, пользуясь формулой Грина,и само рассеянное поле. В первом приближении имеем

So

где φ ( 0 ) —поле, регулярно отраженное плоской площадкой SQ, Ri = R —rj, t

При рассеянии абсолютно жесткой поверхностью поле первого при-ближения зависит уже не только от ζ, но и от νζ и имеет вид э

1 - 2π J {

Γ52(φ(0>4_φ)

J \ дх ΊΪΛ djSo

470 А. Б. ШМЕЛЕВ

Если на абсолютно жесткую площадку падает плоская ЕОЛНЭ Ф == е~г(

O_L/J_)-H 02̂ т о регулярно отраженная компонента поля имеет видФш = е U-L -L υζ , а средняя интенсивность рассеянного поля в даль-ней зоне площадки So равна

где κ — волновой вектор в направлении наблюдения,, a W(ы, у) —спек-тральная плотность неровной поверхности.

При рассеянии электромагнитных волн представляет интерес вычи-сление тензора дисперсии

&th = ((Et~(Et))(Eh-(Eh))*) (i, к = х, у, ζ),

который позволяет судить о поляризационных свойствах рассеянногополя. В первом порядке теории возмущений компоненты тензора дисперсиитакже пропорциональны спектральной плотности неровной поверхно-сти 1 0 6. Это указывает на избирательный механизм рассеяния волн в даль-нюю зону площадки с малыми неровностями 5, так как рассеяние в данномнаправлении определяется единственной спектральной компонентойповерхности.

В рамках первого приближения нетрудно получить выражение длякорреляционной функции и оценить радиусы поперечной и продольнойкорреляции рассеянного поля в дальней зоне отдельной неоднородностиповерхности 1 0 7. В предположениях, использованных при выводе (1,14),эти оценки совпадают с (1,14) при (ко)2 <ξ 1. Заметим, что первоначальноони были получены именно методом возмущений.

В некоторых случаях удается решить более общую задачу о восста-новлении корреляционной функции шероховатой поверхности по функциикорреляции рассеянного поля 1 0 7. Применительно к взволнованной воднойповерхности в работе 1 0 8 установлено интегральное соотношение, описы-вающее совместную частотно-пространственно-временную корреляцию рас-сеянного поля, и оценены соответствующие интервалы корреляции 1 0 8· 1 0 9 .

Поскольку малость рассеянного поля по сравнению с зеркальноотраженным обеспечена, коль скоро выполнены условия применимостиметода возмущений, вопрос о корреляции флуктуации амплитуды и фазыполя решается так же, как указано в гл. 1 1 1 0 - т . Можно также рассмот-реть корреляцию рассеянного на поверхности узкополосного шумовогосигнала 1 1 2.

Отметим, наконец, что при решении задачи методом возмущенийможно учесть и такие факторы, как флуктуации поверхностного импедан-са, сферичность Земли, направленность излучателя и приемника, а такжеформу падающего импульса п з .

б) Другой разновидностью метода возмущений является методРэлея *), который не связан с использованием формулы Грина. СогласноРэлею, рассеянное поле представляется в виде суперпозиции плоскихбегущих и неоднородных волн, каждая из которых является решениемуравнения Гельмгольца. Такое представление рассеянного поля на гра-нице раздела S возможно при небольших отклонениях этой границыот плоскости. В случае периодической поверхности раздела S можноуказать численный критерий применимости допущения Рэлея ш . Длястатистически неровных поверхностей аналогичный критерий полученне был.

*) В литературе этот метод иногда называют методом Раиса»

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 4 7 1

Впервые описываемый метод был применен Рэлеем 1 1 5 к задаче о рас-сеянии плоской звуковой волны синусоидально неровной поверхностью.Используя представление неровной поверхности в виде ряда Фурье сослучайными коэффициентами, Мандельштам116, а затем Андронов и Леон-тович 1 1 7 развили на основе метода Рэлея теорию рассеяния света тепловы-ми флуктуациями поверхности жидкости. В дальнейшем решение задачиметодом Рэлея совершенствовалось как в динамической части (представле-ние неровной поверхности интегралом Фурье, вычисление рассеянногополя во втором приближении по малому параметру \1ϊζ |), так и в стати-стической (нахождение статистических характеристик отраженного полянезависимо от природы неровностей). Указанные обобщения сделаныв работах 118~122.

При падении плоской звуковой волны на поверхность полное полев верхней и нижней средах, согласно гипотезе Рэлея, записывается в виде(ось ζ предполагаем направленной вниз)

^ Г А {к±) е4*^^-™12 d?x±, (2,3)— оо

то

f Л' ( x j β* ί κΧκ1 ) + ί κ* ζ ' d2xx, (2,4)

где к Ό. к' — волновые числа верхней и нижней сред соответственно,V и V' — френелевские коэффициенты отражения и прохождения, θ и Θ' —углы падения и преломления в отсутствие поверхностных неровностей,.

Решение для плоской границы раздела дается формулами (2,3) и (2,4),если в них положить A (x_j_) = A' (xjj = 0. При наличии неровностейзадача сводится к вычислению неизвестных амплитуд A (xj_) и Α' (κ_ι_)·из граничных условий

P4> = PV. £ = - £ - н а S> (2,5>

где ρ и р' — плотности верхней и нижней сред. Это вычисление обычнопроизводится методом возмущений. Представим неизвестные амплитудыв виде

А = А1-\-А2-\-... ,

+..., (2'6)

где п-ж член имеет порядок [ Αζ | п. Считая величины κζζ, κ̂ ξ и νζ малыми,разлагаем (2,3) — (2,5) с учетом (2,6) в ряды по этим малым параметрам.Подстановка (2,3) и (2,4) в (2,5) приводит тогда к системе алгебраическихуравнений относительно последовательных приближений неизвестныхамплитуд, решая которые находим рассеянное поле в интересующем насприближении.

Заметим, что, поскольку представление (2,3) описывает волны, рас-пространяющиеся только вверх от поверхности, метод Рэлея не дает воз-можности принять в расчет многократное рассеяние на неровностях.Поэтому попытки получить на его основе точное решение задачи 1 2 3~ 1 2^по-видимому, несостоятельны.

В дальней зоне шероховатой площадки первое приближение методаРэлея дает избирательный механизм рассеяния, о котором говорилосьвыше. Расчет во втором приближении 1 2 2 позволяет обнаружить деполяри-зацию рассеянной электромагнитной волны в плоскости падения.

472 А. Б. ШМЕЛЕВ

Метод Рэлея оказывается удобным при решении задач о рассеяниизвуковой волны на границе раздела жидкости и твердого тела, когданаряду с продольными волнами возможно существование поперечных(сдвиговых) волн в твердом теле 1 2 6~1 3 0. Граничные условия при этомусложняются, так как выражают непрерывность нормальных компонентсмещения и напряжения, а также равенство нулю касательных компонентнапряжения.

в) Третья разновидность метода возмущений связана с использова-нием нелокальных граничных условий на плоскости, впервые введенныхБассом 1 3 1 . Можно показать, что в первом приближении неровности поверх-ности эквивалентны наличию на плоскости эффективных поверхностныхтоков

U = (с/4л) (1 —ε) ε"1 [η, VXEO£], j m = (с/An) ik (1-е) Ε0 ±ξ,

где Ео — поле нулевого приближения, а ε — диэлектрическая проницае-мость нижней среды. Нелокальное граничное условие для электромаг-нитного поля при наличии поверхностных токов имеет вид1 3 2

Ϋε |г-г'[пБ (г)] + ± J dtf * ' | г _ г , , {»* Ι" ЩН] J - 1 [nVEz]}

ik

Это граничное условие образует совместно с векторной формулой Гринасистему интегральных уравнений, которая решается с помощью преобра-зования Фурье.

Пользуясь найденным таким путем решением, Басе 1 3 2 исследовалв квазистатическом приближении частотный спектр поля, рассеянногогравитационно-капиллярными волнами на поверхности тяжелой несжи-маемой жидкости. Вычисления показали, что спектр в этом случае состоитиз двух частот, симметрично расположенных относительно частоты падаю-щего сигнала. Вообще, в цитируемой работе показано, что в случае детер-минированной поверхности, форма которой удовлетворяет уравнению

где L— произвольный линейный оператор, частотный спектр состоитиз I гармоник с частотами щ-\-О.и где Ω; — корни дисперсионногоуравнения

£ [ —ϊΩ, — i(kO j_ —κ_ι_)] = 0.

При наличии диссипативных процессов наблюдается уширение спектраль-ных линий, изученное в работе 1 3 3.

При рассеянии волн на поверхности со случайными неровностяминелокальные граничные условия можно выводить и непосредственно длямоментов рассеянного поля. Это избавляет от необходимости решать дина-мическую часть задачи. Если в каждой точке поверхности справедливыграничные условия Леонтовича, то для среднего значения рассеянногополя имеем следующее граничное условие т :

(Е)

х>у

vrj_ dz dz V P dpXty\^~

^ ]X Fri(HVtX), (2,7)

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 473

где К(р)~ коэффициент корреляции неровностей, η —поверхностныйимпенданс и

1 /2

д2 eib ίΡ 2 +* 2 ) 'Vζ = П Ш -τ—ζ ΤΊ7Γ ·

z-+0 д* (рЧ s 2 ) 1 / 2

При помощи (2,7) Басе 1 3 5 вычислил коэффициенты отражения средне-го поля от статистически неровной поверхности при падении как звуковой,так и электромагнитной волн. В частности, для коэффициента отражениязвуковой волны от абсолютно мягкой поверхности имеет место формула

V= - 1 -h2Λ:(ζ2> {*_* j ^ -iL [Я (ρ) Io (koxp)] dp, (2,8)о

которая при условиях kl~^> 1, (π/2) —θ ~p (2/kl) j значительно упро-щается и принимает вид

V= —

Перечислим, наконец, еще несколько задач, решение которых былопроведено методом малых возмущений. Это задача об отражении волнот диэлектрического слоя со статистически неровными границами 136· 1 3 7,расчет интенсивности звукового поля, прошедшего через границу разделавоздух — вода 138- 1 з 9, вычисление характеристик поверхностной волны,возникающей при рассеянии на границе жидких сред , вопрос о транс-формации поверхностной волны в пространственную при распространениивдоль шероховатой поверхности U 1 .

г) Реальные поверхности, образованные естественными причинами, какправило, обладают сложной структурой. Для них характерно несколько,а иногда и множество масштабов корреляции. Если для таких неровностейвыполнены условия применимости метода возмущений, то динамическаячасть задачи о рассеянии остается без изменений, а сложная структуранеровностей учитывается во второй, статистической части задачи. Так,например, при расчете средней интенсивности рассеянного поля в первомпорядке теории возмущений структура неровностей учитывается явнымвидом спектральной плотности поверхности.

Однако реальные неровности часто можно рассматривать как крупно-масштабные образования, на которые наложена мелкая рябь. Такая модельприменима, например, для описания взволнованной морской поверхности.В этом случае приходится модифицировать решение задачи о рассеянииуже в ее динамической части.

Метод вычисления рассеянного поля, предложенный Курьяновым 1 4 2,состоит в том, что мелкая рябь считается малым возмущением. При этомрасчет рассеянного поля производится методом возмущений, где в качественулевого приближения используется вычисленное методом Кирхгофаполе, рассеянное плавными крупномасштабными неровностями. Этимметодом в работах мз-ие *j вычислен ряд статистических характеристикрассеянного электромагнитного поля в предположении, что оба типанеровностей статистически независимы.

Несколько иной метод расчета, основанный на некогерентном сложе-нии интенсивностей полей, рассеянных мелкомасштабными неровностями,предложен Семеновым 148-1^9. Если интенсивность волны, падающей наэлемент dS невозмущенной поверхности, обозначить через Io = const, тоинтенсивность некогерентно рассеянного поля в дальней зоне запишется

*) См. также дискуссию по работе 1 4 6 в 1 4 7 .

6 УФН, т. 106, вып. 3

474 А. Б. ШМЕЛЕВ

в виде

'(Χ, φ, Q)dS, (2,9)

где F (χ, φ, θ) — индикатриса рассеяния волн элементарной площадкойdS, содержащей мелкую рябь, зависящая от локальных углов паденияθ и наблюдения χ и φ.

Формула (2,9) справедлива при не слишком больших углах наклонакрупномасштабных неровностей, когда можно пренебречь взаимным влия-нием соседних участков поверхности S. Что касается интенсивности коге-рентно отраженных волн, то для ее вычисления требуется знание самогорассеянного поля. Последнее можно найти методом Кирхгофа, используявместо френелевских коэффициенты отражения среднего поля типа (2,8)г

вычисленные с помощью нелокальных граничных условий.

3. МЕТОДЫ, УЧИТЫВАЮЩИЕ МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕНА ПОВЕРХНОСТИ

Мы опишем здесь два, на наш взгляд, наиболее перспективныхметода, позволяющие принять в расчет многократное рассеяние на неров-ной поверхности,— это метод интегрального уравнения и метод функцийГрина.

а) Первый из них был предложен Лысановым150 в связи с решениемзадачи о рассеянии звуковой волны на поверхности с одномерными перио-дическими неровностями. Суть метода состоит в приближенном вычисленииполя или его нормальной производной на поверхности S из интегральнойформулы Грина

i Г Г β elk I R ~ r Ι βω Μ егк l H ~ r | 1

φ (R) == Φ (R) —£- \ Ь ( Г ) ^ - 4 Б • Ч^-Тп Л dS> (3-1)s

где φ — полное звуковое поле, η — внешняя нормаль к S и Φ — полепервичной волны. Поле в произвольной точке R над поверхностью полу-чается затем подстановкой найденных значений φ (г) и у ' в (3,1).

Пусть рассеивающая поверхность абсолютно мягкая, тогда на границераздела S ср(г) = 0. Совмещая точку наблюдения с точкой г' на S, полу-чаем из (3,1) интегральное уравнение относительно ^ на 5

1 f dcp(r) elk\r r ' J C /Q ov; — \ ; 1—', i~ CIO . (Ο.Δ)

4a J on | r — г | \ ' /

При выполнении неравенств2

Μ

ядро уравнения (3,2) сводится к разностному. Решая это уравнение в слу-чае плоской первичной волны с помощью преобразования Фурье и под-

ставляя наиденное таким образом значение —~—' в (о,1), получаем 1йА

. * i (q ι R ι + 1 / ' Ί 2 - 9 2 Ι Ζ)

сГ (R) - - 1 Ϊ J e

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 4 7 5

где

к0 —(koj_, — k Q Z ) — волновой вектор падающей волны.Усредняя (3,4) по ансамблю поверхностей, находим для статисти-

чески изотропных неровностей коэффициент отражения среднего поля

[ \ (ρ), (3,5)J Jο о

где /i(Pb--e~ ( f i s 0 ) 2 — /2ς( — &Ог, — &οζ, Ρ)' /2ξ —двумерная характеристи-ческая функция неровностей.

В предельном случае малых kzo (при этом, согласно (3,3), kl J> 1)из формулы (3,5) следует приведенное выше выражение (2,8), найденноес помощью нелокального граничного условия. При нескользящем паденииплоской волны на поверхность в случае больших kzo (при этом обязатель-но kl >̂ 1) из (3,5) следует тот же коэффициент отражения среднего поля,что и в методе Кирхгофа (см. (1,8)).

Для средней интенсивности полного поля во фраунгоферовой зонешероховатой площадки S получаем

(3,6)где

σο\ С f С

Γιχ, г 2 ± , r 3 J _ ) X

ΙΓ3_ι_

v — волновой вектор в направлении наблюдения.В случаях, когда выполнены условия применимости метода Кирхгофа

или метода возмущений, формула (3,6) переходит в выражения для среднейинтенсивности, найденные этими методами.

Следуя описанной здесь процедуре, можно при тех же условиях (3,3)получить выражение для корреляционной функции рассеянного поля,а также рассмотреть случай сферической первичной волны 1 5 2.

Таким образом, даже в предположении о выполнении неравенств (3,3),метод интегрального уравнения дает более точные выражения для пер-вых двух моментов рассеянного поля, чем найденные методами Кирхгофаи малых возмущений.

б) Метод функций Грина основан на нахождении и решении уравне-ний непосредственно для статистических характеристик рассеянного поля.Решать динамическую часть задачи, т. е. находить поле, рассеянное каж-дой из реализаций случайной поверхности, при этом не нужно. Данныйметод, первоначально развитый в квантовой теории поля, впоследствиибыл применен к нахождению статистических характеристик поля, про-шедшего через случайно-неоднородную среду 153> 1 5 4.

К задаче о вычислении моментов поля, рассеянного на неровной гра-нице раздела он впервые был применен Бассом, Фрейлихером и Фуксом,

6*

476 А. Б. ШМЕЛЕВ

рассмотревшими как рассеяние на шероховатой плоскости 1 5 5, так и рас-пространение в волноводе с шероховатыми стенками 1 5 6~1 5 8.

Пусть R s = г + η (г) ζ (г) — радиус-вектор неровной поверхности2, состоящей из регулярной поверхности S с радиусом-вектором г и нор-малью η (г) и случайных неровностей ζ (г). Считая поверхность Σ абсо-лютно мягкой, обозначим через G (R, Ro) функцию Грина уравненияГельмгольца, удовлетворяющую граничному условию G (R2, Ro) = 0.При ограничении линейными по ζ членами это граничное условие записы-вается в виде

G(r,Bo) + S ( r ) ^ G ( r , R o ) = O. (3,7)

Из теоремы Грина с учетом (3,7) имеем интегральное соотношение дляG(R, В„)

G (R, Ro) = Go (R, Ro) - ± j A Go (R, r) ζ (r) ± G (r, i y dS, (3,8)S

где Go (R, Ro) — функция Грина уравнения Гельмгольца с граничнымусловием Go (г, Ro) = 0 на S, которая считается известной. Поверхность Sбудем предполагать плоской.

Считая функцию распределения ζ гауссовой, проводя в (3,8) итерациии применяя технику фейнмановских диаграмм 1 5 3· 1 5 4, можно получитьзамкнутое уравнение Дайсона для средней функции Грина (G (R, Ro))и уравнение Бете — Солпитера для вторых моментов рассеянного поля.Представляя {G (R, Ro) > в виде суперпозиции плоских волн, каждаяиз которых отражается от поверхности со своим коэффициентом отраже-ния V (κχ), МОЖНО найти приближенные выражения для V (κχ), которые,однако, учитывают многократные переизлучения первичного поля неров-ностями.

В приближении Бурре коэффициент отражения V (κχ) совпадаетс наиденным в работе 1 3 5 с помощью нелокальных граничных условийдля среднего поля. Более точное значение V (κ^) получается, если в мас-совом операторе выделить какую-либо бесконечную суммируемую под-последовательность диаграмм. Одна такая возможность и рассмотренав цитируемой работе 1 5 5. Для V (κχ) имеем при этом следующее выражение:

где

= JJ 1 -

Κ (χ,χ) — спектральная плотность неровной поверхности, a κ — (κχ, κΖ) —волновой вектор отраженной от поверхности плоской волны.

Для нахождения V (κ_]_) можно также использовать нелинейное урав-нение Дайсона, полученное в приближении простой вершины 1 5 5.

Применительно к задаче о распространении волн в волноводе состатистически шероховатыми стенками метод функций Грина позволяетрассчитать изменение спектра нормальных волн 1 5 6, вычислить затуханиесреднего поля как на критической частоте 1 5 7, так и на докритическихчастотах и, наконец, вывести из уравнения Бете — Солпитера уравнениелереноса излучения 1 5 8.

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 4 7 7

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В литературе по теории рассеяния волн статистически неровнымиповерхностями выражены в основном два направления, которые соответ-ствуют двум методам решения динамической части задачи — приближе-нию Кирхгофа и методу возмущений. Этими методами задача о нахождениистатистических характеристик рассеянного поля решается либо дляплавных, либо для малых в масштабе длины волны неровностей, а такжев том случае, когда на крупномасштабные неровности наложена мелкаярябь. Для неровностей таких типов получены формулы, связывающиестатистические характеристики шероховатой поверхности со статистиче-скими свойствами рассеянного ею поля. Результаты теории подтвержденырядом экспериментов, проводившихся как в лабораторных, так и в есте-ственных условиях. В данном обзоре мы почти не касались эксперимен-тальных работ, так как их описание могло бы составить предмет самостоя-тельного обзора.

Наряду с названными выше традиционными методами решения зада-чи в последнее время успешно развиваются и более строгие методы —метод интегрального уравнения и метод функций Грина, которые позво-ляют принять в расчет многократное рассеяние волн на поверхности.Результаты, полученные этими методами, представляют несомненныйинтерес с теоретической точки зрения и, возможно, при соответствующемуровне точности эксперимента будут иметь и практическое значение.

Автор глубоко признателен С. М. Рытову, по предложению которогонаписана настоящая статья, а также Г. В. Розенбергу, Ю. А. Кравцовуи И. М. Фуксу, высказавшим ряд ценных замечаний и советов.

Ρ адиотехнический институтАН СССР

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. М. P. B a c h y n s k i , RCA Rev. 20, 308 (1959).2. J. К. S h i η d i e r, IEEE Intern. Conv. Rec. 15, 136 (1967).3. P. В е с k m a n n, Progr. Optics 6, 53 (1967).4. D. E. B a r r i c k , W. Η. Ρ e a k e, Radio Sci. 3, 865 (1968).5. F. G. В a s s, J. M. F u k s, A. J . К a 1 m у k о v, J . Ε. Ο s t r ο ν s k y, A. D. R о -

s e n b e r g , IEEE Trans. AP-16, 554 (1968).6. L. F о г t τι i n, J. Aconst. Soc. Amer. 47 (5, pt. 2), 1209 (1970).7. E. Л. Ф е й н б е р г , Распространение радиоволн вдоль земной поверхности,

М., Изд-во АН СССР, 1961, гл. VIII.8. P. B e c k m a n n , A. S p i z z i c h i n o , The Scattering of Electromagnetic Waves

from Rough' Surfaces, Pergamon Press, Oxford — New York, 1963.9. C. Μ. Ρ ы τ о в, Введение в статистическую радиофизику, М., «Наука», 1966.

§ 53—54.10. Л. М. Б ρ е χ о в с к и х, ЖЭТФ 23, 275 (1952).11. P. J. L y n c h , J . Acoust. Soc. Amer. 47 (3, pt. 2), 804 (1970).12. А. Д. Л а и и н, Акуст. ж. 15, 92 (1969).13. Ю. Α. Κ ρ а в ц о в, И. Μ. φ у к с, А. Б. Ш м е л е в, Изв. вузов (Радиофизика)

14, 854 (1971).14. Е. В. Ч а е в с к и и, сборник «Проблемы дифракции и распространения волн»,

вып. 4. Распространение волн, Л., Изд-во ЛГУ, 1966, стр. 121.15. М. А. И с а к о в и ч , Тр. Акуст. ин-та, вып. 5, 152 (1969).16. М. А. И с а к о в и ч, ЖЭТФ 23, 305 (1952).17. В. В. Τ а м о й к и н, Изв. вузов (Радиофизика) 9, 1124 (1966).18. Ю. П. Л ы с а н о в , Акуст. ж. 17, 93 (1971).19. В. В. Τ а м о и к и н, Α. Α. Φ ρ а й м а н, Изв. вузов (Радиофизика) 11, 56 (1968).20. А. В. Ш м е л е в , сборник «Вопросы излучения и распространения волн» (Тр

РТИ АН СССР, № 5), М., 1971, стр. 54.21. А. П. Ж у к о в с к и й , Изв. вузов (Радиофизика) 12, 1482 (1969).

478 А. Б. ШМЕЛЕВ

22. А. П. Ж у к о в с к и й , Изв. вузов (Радиофизика) 13, 1501 (1970).23. А. П. Ж у к о в с к и й , Радиотехн. и электр. 15, 2273 (1970).24. Ю. Ю. Ж и τ к о в с к и й, Ю. П. Л ы с а н о в, Изв. АН СССР (Физика атмосфе-

ры и океана) 5, 982 (1969).25. W. С. H o f f m a n , Quart. Appl. Math. 13, 291 (1955).26. С. Е с k a r t , J. Acoust. Soc. Amer. 25, 566 (1953).27. D. M i n t z e r , J . Acoust. Soc. Amer. 25, 1015 (1953).28. J. Μ. Ρ г ο υ d, R. Т. В е у е г, Р. Τ a m a r k i η, J. Appl. Phys. 31, 543 (1960).29. С. W. Η о г t о η, Т. G. M u i r, J. Acoust. Soc. Amer. 41, 627 (1967).30. А. А. К о в а л е в , С. И. П о з д н я κ, Радиотехника 16 (12), 31 (1961).31. Б. И. С е м е н о в, Радиотехн. и электрон. 10, 1952 (1965).32. А. К. F u n g , J. Geophys. Res. 69, 1063 (1964).33. Α. Κ. F u n g , Proc. IEEE 54, 395 (1966).34. A. K. F u n g , Planet. Space Sci. 14, 563 (1966).35. M. G. К i ν e 1 s о n, S. A. M o s z k o w s k i , J. Appl. Phys. 36, 3609 (1965).36. Τ. Η a g f о r s, J. Geophys. Res. 69, 3779 (1964).37. A. K. F u n g , Proc. IEEE 54, 996 (1966).38. A. K. F u n g , Proc. IEEE 56, 2163 (1968).39. С. И. П о з д н я к , Г. Н. А н и к е о н к о, Радиотехника 24 (4), 35 (1969).40. С. И. Π о з д и я к, Г. Н. А н и к е е н к о, В. И. К а з а к о в , Радиотехника 24

(И), 62 (1969).41. Б. Е. P a r k i n s , J. Acoust. Soc. Amer. 41, 126 (1967).42. D. E. K a u f m a n , Radio Sci. 6, 7 (1971).43. R. R u f f i n e , IEEE Trans. AP-12, 802 (1964).44. A. S t o g r y n , Radio Sci. 2, 415 (1967).45. A. K. F u n g , Radio Sci. 2, 1525 (1967).46. В. А. К а ш и н , В. В. М е р к у л о в , Радиотехн. и электрон. 9, 1578 (1964).47. R. D. K o d i s , IEEE Trans. АР-14, 77 (1966).48. D. E. B a r r i c k , IEEE Trans. AP-16, 449 (1968).49. T. H o g f o r s , J . Geophys. Res. 71, 379 (1966).50. П. Б у r e p , Оптический трактат о градации света, М.— Л., Изд-во АН СССР, 1950.51. W. A. R e n s e , J . Opt. Soc. Amer. 40, 55 (1950).52. А. А. Г е р ш у н , О. И. П о п о в , Тр. ГОИ 24 (143), 3 (1955).53. В. К. Π о л я н с к и и, В. П. Ρ в а ч е в, Оптика и спектроскопия 22, 279 (1967).54. А. П. И в а н о в , А. С. Τ ο π ο ρ е ц, ЖТФ 26, 631 (1956).55. S. Т а n a k a , J . Appl. Phys. Japan 26, 85 (1957).56. S. Т а п а к а , J. Appl. Phys. Japan 27, 758 (1958).57. Β. Π. Ρ в а ч е в, В. И. П о л я н с к и й , Оптика и спектроскопия 18, 1057

(1965).58. Η. Ε. В е η η е 11, J. Ο- Ρ ο r t e u s, J. Opt. Soc. Amer. 51, 123 (1961).59. H. E. B e n n e t t , J. Opt. Soc. Amer. 53, 1389 (1963).60. J. O. P o r t e u s , J. Opt. Soc. Amer. 53, 1394 (1963).61. Г. М. Г о р о д и н с к и й , Оптика и спектроскопия 15, 113 (1963).62. А. С. Τ ο π ο ρ е ц, Оптика и спектроскопия 16, 102 (1964).63. Ю.-А. Р. М у л л а м а а , Атлас оптических характеристик взволнованной поверх-

ности моря, Тарту, Изд. АН ЭССР, 1964.64. D. О. M u h i e m a n , Astron. J . 69 (1316), 34 (1964).65. D. G. R e a, N. H e t h e r i n g t o n , R. M u f f l i n , J. Geophys. Res. 69, 5217

(1964).66. E. В. Ч а е в с к и й, см. 1 4, вып. 5. Дифракция и распространение волн, стр. 105.67. Е. В. Ч а е в с к и й, Изв. вузов (Радиофизика) 8, 1128 (1965).68. D. Е. B a r r i c k , Proc. IEEE 56, 1728 (1968).69. J. D. D e 1 о r e η ζ ο, Ε. S, С a s s e d у, IEEE Trans. AP-14, 611 (1966).70. Η. Μ e d w i η, С. S. C l a y , J. Μ. Β e r k s о n, D. L. J a g g а г d, J. Geophys.

Res. 75, 4519 (1970).71. E. В. Ч а е в с к и й , Изв. вузов (Радиофизика) 9, 400 (1966).72. R. L. F a n t e, IEEE Trans. AP-13, 652 (1965).73. P. B e c k m a n n , Proc. IEEE 53, 1012 (1965).74. P. B e c k m a n n , J. Geophys. Res. 70, 2345 (1965).75. H. S. Η а у r e, D. Ε. Κ a u f m a n, J. Acoust. Soc. Amer. 38, 599 (1965).76. P. B e c k m a n n , W. К. К 1 e m ρ e r e r, J. Res. NBS D69, 1669 (1965).77. A. K. F u n g , Proc. IEEE 54, 1482 (1966).78. D. E. B a r r i c k , Radio Sci. 5, 647 (1970).79. A. K. F u n g , * R . K. M o o r e , J. Geophys. Res. 71, 2939 (1966).80. Э. П. Г у л и н , Акуст. ж. 8, 175 (1962).81. D. R. Μ e 1 t ο η, С. W. Η ο r t ο η, J. Acoust. Soc. Amer. 47 (1, pt. 2), 290 (1970).82. L. V. B l a k e , P r o c * I R E 38, 301 (1950).83. Β. Β. Α Η и с и м о в, С. М. К о з е л, Г. Р. Л о к ш и н, Оптика и спектроскопия

27, 483 (1969).

РАССЕЯНИЕ ВОЛН СТАТИСТИЧЕСКИ НЕРОВНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ 4 7 9

£4. В. Б. А н и с и м о в, С. М. К о з е л, Г . Р . Л о к ш и н , Радиотехн. и электрон.15, 539 (1970).

85. В. Д. Φ ρ е и л и χ е р, И. М. Ф у к с, Изв. вузов (Радиофизика) 12, 114 (1969).86. В. Е. P a r k i n s , J. Acoust. Soc. Amer. 42, 1262 (1967).87. Β. Ε. P a r k i n s , J. Acoust. Soc. Amer. 45, 119 (1969).88. А. Г. П а в е л ь е в, Радиотехн. и электрон. 14, 1923 (1969).89. Г. А. А л е к с е е в , Изв. вузов (Радиотехника) 9, 137 (1966).90. А. Б. Ш м е л е в , см. 2 0, стр. 48.91. Г. А. А л е к с е е в , Радиотехн. и электрон. 13, 1683 (1968).92. В. В, О в ч и н н и к о в , Радиотехн. и электрон. 13, 1497 (1968).93. P. J . L u n c h , R . J . W a g n e r , J. Acoust. Soc. Amer. 47 (3, pt. 2), 816 (1970).94. P. J. L u n c h , R. J. W a g n e r , J. Math. Pliys. 11, 3032 (1970).95. Ф. Г. Б а с е , И. М. Ф у к с , Изв. вузов (Радиофизика) 7, 101 (1964).96. P. B e c k m a n n , IEEE Trans. AP-13, 384 (1965).97. L. S h a w, IEEE Trans. AP 14, 253 (1966).98. R. А. В г о с k e 1 m a η, Τ. Η a g f о r s, IEEE Trans. AP-14, 621 (1966).99. Э. Л. К у з ь м и н , Тр. учеби. ин-тов связи, М-во связи СССР, вып. 34, Л.,

Изд. ЛЭИС, 1967, стр. 208.100. R. J. W a g n e r , J. Acoust. Soc. Amer. 41, 138 (1967).101. В. G. S m i t h , IEEE Trans. AP-15, 668 (1967).102. 10.-A. P. Μ у л л a Μ а а, ИЗБ, АН СССР (Физика атмосферы и океана) 4, 759

(1968).103. И. М. Ф у к с . Изв. вузов (Радиофизика) 12, 552 (1969),104. М. J. S a n c e r , IEEE Trans. AP-17, 577 (1969).105. А. Г. Π а в е л ь е в, Радиотехн. и электрон. 13, 811 (1968).106. Ф. Г. Б а с е , В. Г. Б о ч а р о в , Радиотехн. и электрон. 3, 180 (1958).107. И. М. Ф у к с , Изв. вузов (Радиофизика) 8, 104 (1965).108. Э. П. Г у л и и, Изв. вузов (Радиофизика) 13, 401 (1970).109. Э. П. Г у л и н , Изв. вузов (Радиофизика) 14, 80 (1971).110. 0. П. Г у л и н , Акуст. ж. 8, 426 (1962).111. Э. П. Г у л и и, Изв. вузов (Радиофизика) 6, 1144 (1963).112. С. Д. Ч у п р о в , Акуст. ж. 13, 112 (1967).113. Ф. Г. Б а с е , сборник «Радиоокеанографические исследования морского вол-

нения» Киев, Изд-во АН УССР, 1962, стр. 79.114. R. F. M i l l a r , Proc. Cambr. Phil. Soc. 65, 773 (1969).115. Дж. В. С т р е т т (лорд Рэлей), Теория звука, т. 2, М., Гостехиздат, 1955, гл. XIII.116. Л. И. М а н д е л ь ш т а м , Полное собрание трудов, т. 1, М., Изд-во АН СССР,

1948, стр. 246.117. А. А. А н д р о н о в , М. А. Л е о н т о в п ч, «Собрание трудов» А. А. Андронова,

М-, Изд-во АН СССР, 1956, стр. 5.118. S. О. R i c e , Comm. Pure Appl. Math. 4, 351 (1951).119. G. R. V a l e n z u e l a , IEEE Trans. AP-15, 552 (1967).120. G. R. V a l e n z u e l a , Radio Sci. 3, 1057 (1968).121. A. K. F u n g , Planet. Space Sci. 15, 1337 (1967).122. A. K. F u η g, J. Franklin Inst. 285, 125 (1968).123. H. W. M a r s h , J. Acoust. Soc. Amer. 33, 330 (1961).124. II. W. Μ a r s h, M. S h υ 1 k i n, S. G. Κ η e a 1 e, J. Acoust. Soc. Amer. 33, 334

(1961).125. Ε. Υ. K u o , J. Acoust. Soc. Amer. 36, 2135 (1964).120. А. Д. Л а п и н , Акуст. ж- 10, 71 (1964).127. А. Д. Л а п и н, Акуст. ж. 12, 59 (1966).428. А. Д. Л а п и н , Акуст. ж. 14, 78 (1968).129. А. Д. Л а п и н , Акуст. ж. 15, 387 (1969).130. А. Д. Л а п и н, Тр. Акуст. ин-та, вып. 5, 5 (1969).131. Ф. Г. Б а с е , Радиотехн. и электрон. 5, 389 (1960).132. Ф. Г. Б а с е , Изв. вузов (Радиофизика) 4, ? 58 (1961).133. Ф. Г. Б а с е , И. Л. В е р б и ц к и й , Изв. вузов (Радиофизика) 6, 290 (1963).134. Ф. Г. Б а с е . Изв. вузов (Радиофизика) 3, 72 (1960).135. Ф. Г. Б а с е , Изв. вузов (Радиофизика) 4, 476 (1961).136. K u m a r K r i s h e n , IEEE Trans. AP-18, 573 (1970).137. A. K. F u n g , Canad. J. Phys. 48, 127 (1970).138. Ю. К. А л е х и н , И. А. "У р у с о в с к и и, Тр. Акуст. ин-та, вып. 5, 252

(1969).139. Ю. К. А л е х и н , Тр. Акуст. ин-та, вып. 13, 72 (1970).140. Ю. К. А л е х и н , ДАН СССР 189, 499 (1969).141. Е. П. Ф е т и с о в , Изв. вузов (Радиофизика) 12, 265 (1969).142. Б. Ф. К у р ь я н о в , Акуст. ж. 8, 325 (1962).143. А. И. К а л м ы к о в , И. Е. О с т р о в с к и й , А. Д. Ρ о з е н б е ρ г,

И. Μ. Φ у к с, Изв. вузов (Радиофизика) 8, 1117 (1965).

4 8 0 А. Б. ШМЕЛЕВ

144. Η. П. К ρ а с ю к, Б. Ш. Л а н д е, Тр. Сев.-зап. заочн. политехи, ин-та 1, 108(1967).

145. И. М. Ф у к с , Изв. вузов (Радиофизика) 9, 876 (1966).146. А. К. F u n g , C h a n H s i a o - L i e n , IEEE Trans. AP-17, 590 (1969).147. W. H. P e a k e , D. E. В а г г i с k, IEEE Trans. AP-18, 716 (1970).148. Б. И. С е м е н о в , Радиотехн. и электрон. 11, 1351 (1966).149. Б. И. С е м е н о в , Радиотехн. и электрон. 15, 595 (1970).150. Ю. П. Л ы с а н о в, Акуст. ж. 2, 182 (1956).151. Ф. Г. Б а с с, В. Д. Φ ρ е й л и χ е р, И. М. Ф у к с, VI Всесоюзная акусти-

ческая конференция, Москва, 1968, доклад A'VI.152. Э. П. Г у л и н, там же, доклад ΑΎ3-4.153. В. И. Т а т а р с к и й , Распространение волн в турбулентной атмосфере, М.,

«Наука», 1967, гл. V.154. Ю. Н. Б а р а б а н е н к о в, Ю. А. К р а в ц о в , С. М. Р ы т о в , В. И. Т а -

т а р с к и й , УФН 102, 3 (1970).155. В. Д. Ф р е й л и х е р , И. М. Ф у к с , Изв, вузов (Радиофизика) 13, 98 (1970).156. Ф. Г. Б а с е , В. Д. Ф р е й л и х е р , И. М. Ф у к с, Изв. вузов (Радиофизика)

12, 1521 (1969).157. В. Д. Ф р е й л и х е р , И. М. Ф у к с , Изв. вузов (Радиофизика) 13, 128 (1970).158. Ф. Г. Б а с с, В. Д. Φ ρ е и л и χ е р, И. Μ. Φ у к с, Укр. физ. ж. 14, 1548 (1969).