14.02.2006 horst steibl, tu-braunschweig 1 kombinatorische aspekte auf dem 9-nagel-geobrett warum...
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14.02.2006 Horst Steibl,
TU-Braunschweig 1
Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett
Warum Beschränkung auf 3 x 3?
Wie viele.....?Dreiecke?
Vierecke?
Längen?
Richtungen?
Winkel?
Es gibt 8 Klassen kongruenter Dreiecke
16 Klassen kongruenter Vierecke
5 Klassen gleich langer Strecken
10 (bzw. 13) Klassen gleich großer Winkels. Beiträge 1977
Wie viele „Flächeninhalte“
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Die 8 Dreiecke
gleichschenklig
rechtwinklig
stumpfwinklig
Bruchteile ½ , ¼ , 1/8 , 3/8
Flächeninhalt
Umfang Wie viele....................
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Die Längen auf dem GeobrettLänge: Klasse gleich langer Strecken
5 cm 10 cm (25+25) 7 200 14 125 11
12 6 8 2 8
36 Strecken
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Codierung der Dreiecke durch Angabe der Seitenlängen
(10, 10, 14)
(10, 11, 11) (5, 11, 14) (7, 11, 11)
(5, 10, 11) (7, 7, 10) (5, 7, 11) (5, 5, 7)
Flächeninhalt??? ½ ¼ 1/83/8
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TU-Braunschweig 5
Die 10 Klassen gleich großer Dreieckswinkel
Tim und Tom die Winkel-Wichtel
Die Winkel als Linearkombination der beiden kleinsten Winkel
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Die 16 Vierecke
Und das 16. ?
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Rauten aus den 11-er-Linien
1/5 1/41/3
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Wie finden wir alle diese Möglichkeiten?
Können wir sicher sein, dass es nicht mehr als 16 Vierecke gibt?
Müssen wir uns mit dem „trial and error“Verfahren begnügen?
Gibt es einen mathematischeren Zugang zu diesen Anzahlproblemen?
„blindes“ Suchen die „denkende“ Hand
Anleitung zu systematischen Suchen
Festhalten einer Strecke, alle Möglichkeiten, nächste Strecke
Wie viele...? AnzahlproblemeFinde alle......!
14.02.2006 Horst Steibl,
TU-Braunschweig 9
Das Urnenmodell1 2 3
4 5 6
7 8 9
Wir ordnen dem Tastentelefon entsprechend den 9 Nägeln die Ziffern 1 bis 9 zu
Wir beschriften 9 Spielsteine mit den Ziffern 1 bis 9. Legen sie in einen Beutel und ziehen nacheinander 3 Steine (oder 2, oder 4, 5)
1 2 34
5
6
7
8
9
Ziehen wir etwa die 6, die 1 und die 8
So ist damit dieses (7, 11, 11)-Dreieck bestimmt
Jedes derartige Tripel bestimmt also ein Dreieck
Natürlich nicht jedes
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Gewinnspiel Dreiecke , zwei Spieler
2 Geobretter,
Beutel mit 9 beschrifteten Steinen,
jeder Spieler 5Würfelchen (Einsatz)1 2 34
5
6
7
8
97 2 9 7 8 3
Spielregel : Einsatz: ein Würfelchen. Jeder Spieler zieht (nacheinander) 3 Spielsteine und spannt sein Dreieck. Gewonnen hat der, dessen Dreieck den größeren Flächen-inhalt hat. Bei gleichem Inhalt gewinnt der kleinere Umfang. Die 10-Strecke ist eine Niete, die 14-Strecke ein Hauptgewinn.
1 2 34
5
6
7
8
9
Benennen der Bruchteile!
Dokumentiere die Spieldauer!!!!!
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Gewinnspiel „vier Nägel“
1 2 34
5
6
7
8
9
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5
6
7
8
9
1 2 34
5
6
7
8
9
Variante: Gewonnen hat der, dessen Viereck im Haus der Vierecke weiter unten steht. Bei gleicher Höhe neues Spiel
2 4 6 8 1 2 7 9 1 4 7 9
Spielregel: größter Flächeninhalt, kleinster Umfang
Wer nennt die meisten Diagonaleigenschaften?
Die meisten Symmetrieeigenschaften?
Wer kennt die meisten Bezeichnungen?
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Analyse des UrnenmodellsUmgangserfahrung mit der Urne
Aufbau einer Fragehaltung zur Wahrscheinlichkeit
Erwartungswert
Wie viele Möglichkeiten gibt es,
unter den 9 Steinen 3 auszuwählen
( 9 3 )9 über 3 Binomialkoeffizient
(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³Binom:
(a + b) 9 = 1a9 + 9 a8b + 36 a7b² + 84 a6b³ + 126 a5b4 ....
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TU-Braunschweig 13
3612
89
2
9
mögliche Strecken
5 cm 10 cm (25+25) 7 200 14 125 11
12 6 8 2 8
12 + 6 + 8 + 2 + 8 = 36 Wir haben wirklich alle möglichen Strecken
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Dreiecke ?
1 2
3
4
56
7 8
9
Für den ersten Stein habe ich 9 Möglichkeiten
Für den 2. Stein habe ich noch 8 Möglichkeiten
Und für den 3. Noch 7
Also gibt es 9 * 8 * 7 = verschiedene Zahlentripel, die jeweils 3 Nägel beschreiben.
Das Dreieck 3 7 8 kann aber durch verschiedene Tripel beschrieben werden
3 7 8 3 8 7 7 3 8 7 8 3 8 3 7 8 7 3
3 * 2 * 1 = 6 Tripel beschreiben die gleiche Figur
84123
789
mögliche Figuren aus 3 Nägeln
( 9 3 ) =
( 9 3 )
14.02.2006 Horst Steibl,
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Anzahl der Klassen kongruenter Dreiecke123 beschreibt eine 10-er-Strecke: es gibt 6 solche 10-er-Strecken159 beschreibt eine 14-er-Strecke: es gibt 2 solche 14-er-Strecken
Das (10, 10, 14)-Dreieck hat 4 Lagemöglichkeiten
4 4 16 8
8 4 16 16
84 Figuren aus 3 Nägeln?
6 + 2 = 8 Strecken
4+4+16+8+8+4+16+16 = 76 Dreiecke 76 + 8 = 84 Figuren!
1 2 34
5
6
7
8
9
( 9 3 )
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TU-Braunschweig 16
1261*2*3*4
6*7*8*9
4
9
Figuren aus 4 Nägeln?
Es gibt zwar keine kollineare Anordnung, aber 3 Nägel können kollinear liegen.
4 + 4 + 8 + 16 + 8 = 40 Fälle
Schon falsch: das erste Dreieck hat drei Seiten mit je 3 Nägel, d.h. nicht 4 sondern 12 Fälle; also insgesamt 48 Fälle.
14.02.2006 Horst Steibl,
TU-Braunschweig 17
1 + 1 + 4 + 4
4 + 8 + 4 + 4
8 + 16 + 8 + 8
8 + 4 + 8 + 4
94 Fälle
48 + 94 = 142 Fälle?!? 16 Fälle zu viel
2579 2459
+ 48 Dreiecke
weiter
1261*2*3*4
6*7*8*9
4
9
14.02.2006 Horst Steibl,
TU-Braunschweig 18
1
2
34
5
6
7
8
9
1
2
3
4 5
67
8
9
Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren
Nicht-konvexe Vierecke sind durch Quadrupel nicht eindeutig zu bestimmen
Das Quadrupel 2459 bestimmt diese drei Figuren
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Zwei Fehlermöglichkeiten
Nicht jede Figur wird eindeutig durch nur ein Quadrupel beschrieben:
Nicht jedes Quadrupel beschreibt eindeutig ein Figur
3579 3679
1568
14.02.2006 Horst Steibl,
TU-Braunschweig 20
Spiel mit vier Nägeln (Flächeninhalt)
Zwei Spieler, jeweils 10 Spielsteine als Einsatz. Gesetzt werden jeweils 2 Steine. Der erste Spieler zieht seine vier Ziffern. Der´zweite kann nun entscheiden, ob er noch ziehen will oder ob er zurückzieht. Spielt er, so hat der mit dem größeren Flächeninhalt (evtl. kleinerem Umfang) gewonnen und bekommt vier Spielsteine. Zieht er zurück, so bekommt er einen Stein zurück der andere bekommt 3 Steine. Wann sollte man zurückziehen?
1
2
3
4 5
67
8
9
Spielverlauf dokumentieren!
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Wahrscheinlichkeiten X/1261 8 8
416 8
1
8
8
1 8 8
416 8
1 4 4 4 8 12 4
4 8 4 4 8 8 16 8
37/126
17/12628/126
60/126
424/126
48/126
17 + 24 + 37 + 48 = 126
MU 1/1984 Exemplarische Entwicklung der kombinatorischen Grundformeln
17+28+37+60=142
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