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TEMA 1TEMA 1

CARACTERIZACIÓN TEMPORAL CARACTERIZACIÓN TEMPORAL DE SEÑALESDE SEÑALES

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INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN El Proceso Digital de Señales trata de la representación de señales

por secuencias de números y el posterior proceso de tales secuencias.

Objetivos:

1) Estimar los parámetros característicos de la señal.2) Transformar la señal en otra.

Aplicaciones:

Ingeniería Biomédica Telecomunicaciones Acústica, Sonar, Radar Física Nuclear Sismología Proceso Digital de Imágenes

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INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN SEÑAL:  Es una función que contiene información sobre el estado ó

comportamiento de un sistema físico.

Según el rango de variabilidad de la variable independiente, la señal puede ser:           1) Contínua en el tiempo f(t), t ∈ [a,b]         2) Discreta en el tiempo: f(t) ∈ {t₀,t₁,...,tn}

Según el rango de variabilidad de la amplitud, la señal puede ser:

1) Contínua en amplitud 2) Discreta en amplitud

Las Señales Digitales son discretas en tiempo y en amplitud.

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INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNDESCRIPCION DE SEÑALES EN EL DOMINIO TEMPORAL

Valor Medio (en un intervalo T):

Valor Medio Temporal:

Valor Medio Cuadrático:

Varianza:

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SEÑALES DISCRETAS SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALESELEMENTALES

Las señales discretas se caracterizan por estar definidas solamente para un conjunto numerable de valores de la variable independiente.

Se representan matemáticamente por secuencias numéricas.

En la práctica suelen provenir de un muestreo periódico de una señal analógica.

Las señales digitales se obtienen a partir de la cuantización de las señales discretas resultantes del muestreo de las señales analógicas.

                 , siendo T el periodo de muestreo

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SEÑALES DISCRETAS SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALESELEMENTALES

SECUENCIAS DISCRETAS ELEMENTALES

Impulso unitario discreto  d(n)=1 (Si n=0) , d(n)=0 (Si n#0)   

Escalón unitario discreto:    u(n)=1 (Si n>=0) , u(n)=0 (Si n<0)

Propiedades:

1) δ(n)=x(0) δ(n) 3)

2) δ(n)=u(n)-u(n-1) 4)

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SEÑALES DISCRETAS SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALESELEMENTALES

x(n) = ejwn = cos(wn) + jsen(wn)

El conjunto de todos los valores distintos que esta secuencia discreta puede adoptar se encuentran en el intervalo [-π ,π].

SECUENCIA COMPLEJA EXPONENCIAL

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SEÑALES DISCRETAS SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALESELEMENTALES

Las secuencias exponenciales complejas (y sinusoidales) no son necesariamente periódicas (con periodo T=2π /w), sino que la condición de periodicidad es:

wN=2π k, siendo k un entero

Hay N frecuencias distinguibles para las cuales las secuencias correspondientes son periódicas con periodo N. Este conjunto de frecuencias es:                             

wk=2π k/N siendo k=0,1,2...N-1

SECUENCIA COMPLEJA EXPONENCIAL

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SEÑALES DISCRETAS SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALESELEMENTALES

Señales de Energia: Son señales que tienen energia finita, por lo que son limitadas en tiempo.

Se define la energía como :  E = ∑ |x(n)|

Señales de Potencia: Se describen en términos de potencia las señales Periódicas, o Aleatorias estacionarias o no limitadas en t.

Se define la potencia como 

CLASIFICACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS

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SEÑALES DISCRETAS SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALESELEMENTALES

Las señales discretas pueden clasificarse del siguiente modo:

CLASIFICACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS

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OPERACIONES ELEMENTALESOPERACIONES ELEMENTALES

Suma de secuencias: y(n)=xSuma de secuencias: y(n)=x11(n)+x(n)+x22(n) (n)

Multiplicación de secuencias: y(n)=xMultiplicación de secuencias: y(n)=x11(n)x(n)x22(n) (n)

Adición escalar: y(n)=x(n)+Adición escalar: y(n)=x(n)+αα

Multiplicación por una constante: y(n)= Multiplicación por una constante: y(n)= αα x(n) x(n)

Desplazamiento temporal: n-k -------> y(n-k)Desplazamiento temporal: n-k -------> y(n-k)

Inversión: -n -------> y(-n) Inversión: -n -------> y(-n)

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OPERACIONES ELEMENTALESOPERACIONES ELEMENTALES

Secuencia par: x(-n)=x(n) Secuencia par: x(-n)=x(n)

Secuencia impar: x(-n)=-x(n) Secuencia impar: x(-n)=-x(n)

Toda secuencia arbitraria puede expresarse como la suma de Toda secuencia arbitraria puede expresarse como la suma de dos componentes, una de las cuales es par y la otra impar: dos componentes, una de las cuales es par y la otra impar:

                                  x(n)=xx(n)=xee(n)+x(n)+xoo(n) (n)

PROPIEDADES DE SIMETRÍA

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SISTEMAS LINEALES SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPOINVARIANTES EN EL TIEMPO

Un Un Sistema es un modelo matemático ó abstracción de un es un modelo matemático ó abstracción de un proceso físico que relaciona entradas y salidas según alguna proceso físico que relaciona entradas y salidas según alguna regla preestablecida. regla preestablecida.

En general: y(n) = T [x(-∞), x(n-1), x(n), x(n+1),..., x(∞)] En general: y(n) = T [x(-∞), x(n-1), x(n), x(n+1),..., x(∞)]

Sistema Causal: y(n) = T [x(-∞), x(n-1), x(n)] Sistema Causal: y(n) = T [x(-∞), x(n-1), x(n)]

Sistema causal de memoria finita: y(n)=T [x(n-N),..., x(n-1), x(n)]Sistema causal de memoria finita: y(n)=T [x(n-N),..., x(n-1), x(n)]

Sistema invariante en el tiempo: y(n-m)=T[x(n-m)]Sistema invariante en el tiempo: y(n-m)=T[x(n-m)]

y(n)=T[x(n)]y(n)=T[x(n)]

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SISTEMAS LINEALES SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPOINVARIANTES EN EL TIEMPO

Sistemas LinealesSistemas Lineales: Son aquellos que verifican el principio : Son aquellos que verifican el principio de superposición: de superposición:

Homogeneidad: Un cambio en la amplitud de la señal Homogeneidad: Un cambio en la amplitud de la señal de entrada, provoca el mismo cambio de amplitud en la de entrada, provoca el mismo cambio de amplitud en la señal de salida.señal de salida.

Aditividad : La respuesta a la suma de dos señales es la Aditividad : La respuesta a la suma de dos señales es la suma de las respuestas a cda una de las señales.suma de las respuestas a cda una de las señales.

Si:   ySi:   y11(n)=T [x(n)=T [x11(n)] ,  y(n)] ,  y22(n)=T [x(n)=T [x22(n)] y se verifica: (n)] y se verifica:

    T[axT[ax11(n) + bx(n) + bx22(n)] = aT[x(n)] = aT[x11(n)] +bT[x(n)] +bT[x22(n)] = ay(n)] = ay11(n)+ by(n)+ by22(n)(n)

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SISTEMAS LINEALES SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPOINVARIANTES EN EL TIEMPO

Sistemas Invertibles: Sistemas Invertibles: Si distintas entradas dan lugar a Si distintas entradas dan lugar a distintas salidas distintas salidas

En el caso de sistemas LIT: En el caso de sistemas LIT:

h(n) * h1(n)=d (n)h(n) * h1(n)=d (n)

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SISTEMAS LINEALES SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPOINVARIANTES EN EL TIEMPO

INTERACCION SEÑAL-SISTEMAINTERACCION SEÑAL-SISTEMA

En general: y[n] =T[x(n)] En general: y[n] =T[x(n)]

por otro lado:por otro lado:

Por linealidad: Por linealidad: 

Si llamamos: h(n) = T[Si llamamos: h(n) = T[δδ(n)]  Respuesta Impulsional del Sistema(n)]  Respuesta Impulsional del Sistema

Por Invarianza: h(n-k) = T[Por Invarianza: h(n-k) = T[δδ(n-k)] (n-k)]

Luego:    Luego:    -----> -----> Suma de ConvoluciónSuma de Convolución

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SISTEMAS LINEALES SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPOINVARIANTES EN EL TIEMPO

Realizando el cambio: n-k=j Realizando el cambio: n-k=j k=n-j k=n-j

INTERACCION SEÑAL-SISTEMAINTERACCION SEÑAL-SISTEMA

SISTEMAS DISCRETOS                     SISTEMAS CONTINUOS                     

                                                 Suma de Convolución                       Integral de Convolución

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ESTABILIDADESTABILIDAD

Un Sistema DLI es ESTABLE, si para una entrada acotada, la Un Sistema DLI es ESTABLE, si para una entrada acotada, la salida está acotada: salida está acotada:

|x(n)| < M => | y(n)| < N, para M,N finitos|x(n)| < M => | y(n)| < N, para M,N finitos

Luego, el sistema es estable si está acotado: Luego, el sistema es estable si está acotado:

Si un Sistema DLI, es Si un Sistema DLI, es CausalCausal: y(n)=T[x(-: y(n)=T[x(-∞∞),...,x(n)]),...,x(n)]

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ECUACIONES EN DIFERENCIASECUACIONES EN DIFERENCIAS

Los sistemas contínuos : Ecuaciones Diferenciales Lineales Los sistemas contínuos : Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes constantes .con coeficientes constantes .

Los sistemas discretos: Ecuaciones en diferencias lineales de Los sistemas discretos: Ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes. coeficientes constantes.

Expresión RecursivaExpresión Recursiva

2020

ECUACIONES EN DIFERENCIASECUACIONES EN DIFERENCIAS

Caso Particular Caso Particular

Describe un sistema LIT, en el que:Describe un sistema LIT, en el que:

h(n) = bn/a0 si 0£ n£ M h(n) = bn/a0 si 0£ n£ M                                                -------> FILTROS FIR                                                -------> FILTROS FIR

h(n) = 0 en otro caso      h(n) = 0 en otro caso         

Las ecuaciones en diferencias pueden representarse Las ecuaciones en diferencias pueden representarse graficamente definiendo los siguientes bloques: graficamente definiendo los siguientes bloques:

Expresión no RecursivaExpresión no Recursiva

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ECUACIONES EN DIFERENCIASECUACIONES EN DIFERENCIAS

SISTEMA CAUSAL SISTEMA CAUSAL 

FIR FIR

IIRIIR