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STATISIK
LV Nr.: 0028
SS 2005
23. Mai 2005
2
Zufallsvariable
• Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z)– Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen
einer Münze. Frage: Wie oft erscheint „Zahl“? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable „Anzahl Zahl“ hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable.
• Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). – Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X
„Anzahl Zahl“, Ausprägungen: x1=0, x2=1, x3=2.
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Zufallsvariable
• Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(ej)=xi
• Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments.
• Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.
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Zufallsvariable
• Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen
• Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.
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Wahrscheinlichkeit
• Diskrete Zufallsvariable:
• Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung xi annimmt, W(X=xi): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse ej, denen Ausprägung xi zugeordnet ist:
ij x)X(e
ji ) W(e)xW(X
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Wahrscheinlichkeitsfunktion
• Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(xi), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen xi einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(xi) = W(X=xi)
• Eigenschaften:– f(xi) ≥ 0 i=1,2,…
– Σi f(xi) = 1
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Verteilungsfunktion
• Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)
• Es gilt:
• Treppenfunktion
xx
i
i
)f(xx)W(XF(x)
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Verteilungsfunktion
• Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)
• Stetige Funktion
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Verteilungsfunktion
• Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion:1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x1 < x2 gilt F(x1) ≤ F(x2)
3. lim x→-∞ F(x) = 0
4. lim x→∞ F(x) = 1
5. F(x) ist überall stetig
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Wahrscheinlichkeitsdichte
• Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion.
• Es gilt:
x
f(v)dvF(x)
f(x)F´(x)
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Wahrscheinlichkeitsdichte
• Eigenschaften: 1. f(x) ≥ 0
2.
3. 4. W(X=x) = 05. W(a ≤ X ≤ b) = W(a < X < b)6. W(X ≤ a) = F(a)
W(X ≤ b) = F(b)
1f(x)dx
b
a
f(x)dxb)XW(a
W(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
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Parameter
• Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits-verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen)
• Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel)
• Varianz Var(X) = Streuungsparameter
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Erwartungswert
• Diskrete ZV:
• Stetige ZV:
i
iii
ii )f(xx)xW(XxE(X)
f(x)dxxE(X)
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Varianz
• Diskrete ZV:
• Stetige ZV:
• Standardabweichung:
i
i2
i )f(xE(X)xVar(X)
f(x)dxE(X)xVar(X) 2
Var(X)σX
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Standardisierung
• Lineare Transformation: Y = a + bX
• Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σX
b = 1 / σX
• Standardisierte Variable Z:
• Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1Xσ
E(X)XZ
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Theoretische Verteilungen
• Bedeutung von theoretische Verteilungen
• Deskriptive Statistik: – Approximative funktionsmäßige Beschreibung
empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen
• Mathematische Statistik: – Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse
bestimmter Zufallsexperimente
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Kombinatorik
• Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?
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Kombinatorik
• Permutationen:
• n voneinander verschiedene Elemente:
n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen
• Bsp.1: n=3, Elemente e1, e2, e3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e1, e2, e3) (e1, e3, e2) (e2, e1, e3) (e2, e3, e1) (e3, e1, e2) (e3, e2, e1)
• Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! = 3 628 800
19
Kombinatorik
• n Elemente, wobei ni Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen):
• Bsp.1: n=10, r=3 und n1=3, n2=5, n3=2, Anzahl der möglichen Permutationen:
!n...!n
n!
r1
252021206
3628800
2!!53!
10!
20
Kombinatorik
• Kombinationen:
• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden– Kombination ohne Wiederholung: jedes
Element kann nur einmal gewählt werden• Berücksichtigung der Reihenfolge:
Anzahl der Möglichkeiten:
• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge:
Anzahl der Möglichkeiten:
k)!(n
n!
k)!(nk!
n!
k
n
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Kombinatorik
• Kombinationen ohne Wiederholung:
• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. – Berücksichtigung der Reihenfolge:
Möglichkeiten: (e1, e2) (e2, e1) (e1, e3) (e3, e1) (e2, e3) (e3, e2), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten
– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e1, e2), (e1, e3) (e2, e3), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten
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Kombinatorik
• Kombinationen ohne Wiederholung:
• Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt)
• Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten
816983136
49
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Kombinatorik
• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden– Kombination mit Wiederholung: ein Element
kann auch mehrfach ausgewählt werden.• Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten: nk
• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten:
1)!(nk!
1)!k(n
k
1kn
24
Kombinatorik
• Kombination mit Wiederholung:
• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. – Berücksichtigung der Reihenfolge,
Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e1), (e2, e3), (e3, e3), (e3, e1), (e3, e2), Anzahl der Möglichkeiten: nk = 3² = 9
– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e3), (e3, e3), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6
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Kombinatorik
• Kombinationen mit Wiederholung:
• Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 64 = Abläufe möglich
• Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.
28610
1104
26
Theoretische Verteilungen• Diskrete Verteilungen
– Binomialverteilung– Hypergeometrische Verteilung– Poissonverteilung– ...
• Stetige Verteilungen– Gleichverteilung– Exponentialverteilung– Normalverteilung– Chi-Quadrat Verteilung– t-Verteilung (Studentverteilung)– F-Verteilung– ...
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Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen.
• Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli-Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen– Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ)
und Ā (1- θ) sind konstant– Versuche sind voneinander unabhängig.
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Binomialverteilung
• Bsp. Bernoulli-Experiment: – fünfmaliges Werfen einer Münze,
Zufallsvariable X „Anzahl der Zahlen“, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?
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Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x)
• Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:
n0,1,...,xfür
sonst0
θ)(1θx
nθ)n,(x;f
xnx
B
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Binomialverteilung
• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)
0,31250,5)(10,52
5(2;5,0.5)f 252
B
31
Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion FB(x;n,θ)
x
0i
x-nxB θ)(1θ
x
nθ)n,(x;F
32
Binomialverteilung
• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)
5,0)5,0(10,52
5(2;5,0.5)F
2
0i
2-52B
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Binomialverteilung
• Erwartungswert der Binomialverteilung:
E(X) = n·θ
• Varianz der Binomialverteilung:
Var(X) = n·θ·(1-θ)
• Bsp. Münzwurf: – E(X) = 5·0,5 = 2,5– Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25
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Hypergeometrische Verteilung
• Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen:– Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weißen)– Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne
Zurücklegen – Wahrscheinlichkeit, dass unter den n
gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind?
• Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.
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Hypergeometrische Verteilung
• Urnenmodell: – Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl
der Kombinationen
– Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen
– Jede mögl. Stpr. „x schwarze aus M“ kann mit jeder mögl. Stpr. „n-x weiße aus N-M“ kombiniert werden.
– Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen:
– Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:
M
x
N-M
n-x
N
n
M N-M
x n-x
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Hypergeometrische Verteilung
• Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen:
• Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:
M N-M
x n-x
N
n
H
M N-M
x n-x
Nf (x;N,n,M)= für x=0,1,...,n
n
0 sonst
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Hypergeometrische Verteilung
• Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten
• Liefert Wahrscheinlichkeit für „höchstens x schwarze Kugeln“
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Hypergeometrische Verteilung
• Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt.
• Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.
M N-M 5 8-5
x n-x 2 3-2 10 3P(X=x)= = = =0,5357
N 8 56
n 3
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Hypergeometrische Verteilung
• Erwartungswert:
E(X) = n · M/N
• Varianz
Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1)
• Approximation durch Binomialverteilung: – Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter
der Binomialverteilung: θ = M/N– Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05
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