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Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

Matemática Aplicada às Operações Financeiras

Prof. Rogério

3o. Encontro03/06/06

• Empréstimos e financiamentos bancários

• Sistemas de Amortização de Empréstimos

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Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

JUROS DE CHEQUE ESPECIAL

Método Hamburguês

• Utilizado inicialmente pelos bancos para cálculo de juros sobre depósitos à vista;

• Posteriormente, cálculo de juros sobre contas garantidas (cheque especial)

• Para o cálculo dos juros pelo Método Hamburguês, leva-se em conta o saldo médio do correntista.

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Método Hamburguês

• Fórmulas

J = i . ∑ Ck . nk

Com k variando de 1 até n, onde os valores de C e de n são os números do método Hamburguês

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Método Hamburguês

• Cálculo do Saldo Médio

A fórmula para o cálculo do saldo médio é a fórmula da média ponderada.

C1.n1 + C2.n2 + C3.n3+…+Cn.nn

Sm = n1 + n2 + n3 + …+ nn

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Método Hamburguês

• Exemplo (1):

O extrato bancário de uma empresa apresentou ou seguintes saldos credores em determinado mês.

Saldo Dias

$ 600.000,00 5

$ 710.000,00 4

$ 280.000,00 12

$ 110.000,00 9

Cálculo do Saldo Médio

(600.000*5) + (710.000*4) + (280.000*12) + (110.000*9)

Sm = 5 + 4 + 12 + 9

Sm = 339.666,67

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Método Hamburguês

• Exemplo (2):

Calcular os juros pagos por um cliente à taxa de 15% ao mês, que apresentou o seguinte extrato de conta corrente no mês de maio/06

Data Histórico Valor Saldo D/C Dias Dias x Saldo Devedor

Postec Antec Postecipado Antecipado

- Inicial 2.000,00 D 3 2 6.000,00 4.000,00

03 Cheque 6.000,00 8.000,00 D 7 7 56.000,00 56.000,00

10 Cheque 3.000,00 11.000,00 D 10 10 110.000,00 110.000,00

20 Depósito 15.000,00 4.000,00 C 3 3 - -

23 Cheque 6.000,00 2.000,00 D 5 5 10.000,00 10.000,00

28 Cheque 3.000,00 5.000,00 D 3 4 15.000,00 20.000,00

TOTAL 197.000,00 200.000,00

Observação: É possível realizar a contagem dos dias de 02 formas

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Método Hamburguês

• Exemplo (2):

(a)Postecipado: o prazo é contado a partir do dia seguinte (data 1) até a data da alteração do saldo;

J = C.i.n C 197.000,00 * (0,15/30) J = 985,00

(b)Antecipado: o prazo é contado a partir da alteração do saldo (data 0) até o dia anterior ao novo saldo.

J = C.i.n C 200.000,00 * (0,15/30) J = 1.000,00

Em ambos os casos, consideram-se o número total de dias do mês .

… continuação

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Método Hamburguês

• Exemplo (2): … continuação

Dias Juros $ Dias Juros $

- Inicial 2.000,00 D 3 1,5% 30,00 2 1,0% 20,00 3 Cheque 6.000,00 8.000,00 D 7 3,5% 280,00 7 3,5% 280,00

10 Cheque 3.000,00 11.000,00 D 10 5,0% 550,00 10 5,0% 550,00 20 Depósito 15.000,00 4.000,00 C 3 1,5% 3 1,5% 23 Cheque 6.000,00 2.000,00 D 5 2,5% 50,00 5 2,5% 50,00 28 Cheque 3.000,00 5.000,00 D 3 1,5% 75,00 4 2,0% 100,00

985,00 1.000,00

Postecipado Postecipado

TOTAL

Data Histórico Valor Saldo D/C

Outra forma de calcular os juros

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único

• Consiste na devolução do principal, acrescido de juros , em um único pagamento ao final do período;

• Normalmente utilizada para cálculo de:• Papeis de renda fixa, tais como:

Letras de Câmbio e Certificados de Depósitos;

• Títulos descontados em bancos comerciais.

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Único

Exemplo: Quanto pagarei ao final de 12 meses, por um

empréstimo de $ 120.000,00 a juros compostos de 3% a.m. capitalizados mensalmente.

VF = VP*(1+i)n VF = 120.000*(1,03)12

VF = 171.091,31

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros

• Neste sistema, o devedor paga periodicamente os juros e, o principal, é pago somente ao final do período.

• Sistema utilizado em Cálculos de;• Penhor de Jóias (CEF).• Dívida externa brasileira,• Letras de câmbio de renda mensal;• Planos de renda perpétua

(Aposentadoria)

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) – Pagamento Periódico de Juros

Exemplo:

Monte uma planilha demonstrando os juros e o saldo devedor correspondentes a um empréstimo de $ 1.000,00 durante 04 meses, a juros compostos de 8% ao mês.Período Juros Amortização Saldo

0 1.000,00 1 80,00 80,00 1.000,00 2 80,00 80,00 1.000,00 3 80,00 80,00 1.000,00 4 80,00 80,00 1.000,00 5 80,00 1.080,00 -

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SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA (PRICE)

Consiste o Sistema Price em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de séries postecipadas.

Cada prestação é composta de 02 partes distintas, uma de juros e outra de amortização.

A Taxa de Juros sempre deverá corresponder ao período de amortização

• Modalidade de Pagamento utilizada em:financiamentos imobiliários (SFH);

• Créditos direto ao consumidor como por exemplo: financiamento de carro ou eletrodomésticos.

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Sistema Francês de Amortização - Price

1) Um banco de desenvolvimento empresta $ 300.000, entregues no ato, sem prazo de carência para pagamento. Sabendo que o banco utiliza o Sistema Price à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 05 pagamentos iguais e anuais, determinar o valor das prestações e preencher a planilha a seguir:

C = P *( 1 + i)n – 1

i*(1 + i)n

P = ( 1,12)5 – 1

0,12*(1,12)5

300.000P = 0,76234

0,21148

300.000

P = 83.223,10

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Sistema Francês de Amortização - Price1) Um banco de desenvolvimento empresta $ 300.000,

entregues no ato, sem prazo de carência para pagamento. Sabendo que o banco utiliza o Sistema Price à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 05 pagamentos iguais e anuais, determinar o valor das prestações e preencher a planilha a seguir:

N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

0 300.000 1 83.223 36.000 47.223 252.777 2 83.223 30.333 52.890 199.887 3 83.223 23.986 59.237 140.650 4 83.223 16.878 66.345 74.305 5 83.223 8.917 74.306 (1)

TOTAL

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS

No Sistema Hamburguês as amortizações são todas iguais e constantes.

Consiste no plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética.

Portanto, os valores das parcelas não iguais, uma vez que a amortização é constante, porém os juros são decrescentes.

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS

Exemplo:Um Banco empresta $ 300.000,00, sem carência de pagamento, a taxa de juros 12% ao ano. A restituição deverá ser feita em 05 parcelas pelo Sistema de Amortização Constante - SAC

Amortização: a = V

n

a = 300.000

6a = 60.000

J=i . sdJuros

Período Prestação Juros Amortização Saldo0 300.000,00 1 96.000,00 36.000,00 60.000,00 240.000,00 2 88.800,00 28.800,00 60.000,00 180.000,00 3 81.600,00 21.600,00 60.000,00 120.000,00 4 74.400,00 14.400,00 60.000,00 60.000,00 5 67.200,00 7.200,00 60.000,00 -

TOTAL 408.000,00 108.000,00 300.000,00 -

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS

Da mesma como o Sistema Price, também no Sistema de Amortização Constante-SAC podemos pagar os juros durante a carência ou capitalizá-los.

Exemplo:Um Banco empresta $ 300.000,00, será amortizado em 05 parcelas anuais, com a primeira amortização feita em 03 anos após o empréstimo a uma taxa de juros de 12% ao ano pelo Sistema de Amortização Constante – SAC. Os juros são capitalizados durante a carência e incorporados ao capital para o cálculo da amortização. Elaborar a planilha de cálculo

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBUGUÊS

Exemplo:Um Banco empresta $ 300.000,00, será amortizado em 05 parcelas anuais, com a primeira amortização feita em 03 anos após o empréstimo a uma taxa de juros de 12% ao ano pelo Sistema de Amortização Constante – SAC. Os juros são capitalizados durante a carência e incorporados ao capital para o cálculo da amortização. Elaborar a planilha de cálculo

Período Prestação Juros Amortização Saldo0 300.000,00 1 - 36.000,00 336.000,00 2 - 40.320,00 - 376.320,00 3 120.422,40 45.158,40 75.264,00 301.056,00 4 111.390,72 36.126,72 75.264,00 225.792,00 5 102.359,04 27.095,04 75.264,00 150.528,00 6 93.327,36 18.063,36 75.264,00 75.264,00 7 84.295,68 9.031,68 75.264,00 -

TOTAL 511.795,20 211.795,20 376.320,00 -

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

• Criado pelo extinto BNH (Banco Nacional de Habitação) em maio de 1979;

• Constitui-se num misto entre o SFA (Price) e o SAC;

• O SAM é um plano de pagamentos compostos por pagamentos cujos valores são resultantes da média aritmética das prestações no SFA e na SAC.

• Os valores de amortização e juros resultam da mesma regra.

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

P SAM = PSAF + PSAC

2

A SAM = ASAF + ASAC

2

J SAM = JSAF + JSAC

2

FÓRMULAS

Prestação

Amortização

Juros

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

P SAM = PSAF + PSAC

2

A SAM = ASAF + ASAC

2

J SAM = JSAF + JSA

2

FÓRMULAS

Prestação

Amortização

Juros

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/2

1 83.222,92 96.000,00 179.222,92 89.611,46 2 83.222,92 88.800,00 172.022,92 86.011,46 3 83.222,92 81.600,00 164.822,92 82.411,46 4 83.222,92 74.400,00 157.622,92 78.811,46 5 83.222,92 67.200,00 150.422,92 75.211,46

ParcelaNo.

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/21 47.222,92 60.000,00 107.222,92 53.611,46 2 52.889,68 60.000,00 112.889,68 56.444,84 3 59.236,42 60.000,00 119.236,42 59.618,21 4 66.344,80 60.000,00 126.344,80 63.172,40 5 74.306,18 60.000,00 134.306,18 67.153,09

AmortizaçãoNo.

SFA SAC Soma (SAC+SFA)/21 36.000,00 36.000,00 72.000,00 36.000,00 2 30.333,24 28.800,00 59.133,24 29.566,62 3 23.986,50 21.600,00 45.586,50 22.793,25 4 16.878,12 14.400,00 31.278,12 15.639,06 5 8.916,74 7.200,00 16.116,74 8.058,37

No.Juros

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

RESUMINDO

Prestação Juros Amortização Saldo300.000,00

1 89.611,46 36.000,00 53.611,46 246.388,54 2 86.011,46 29.566,62 56.444,84 189.943,70 3 82.411,46 22.793,25 59.618,21 130.325,49 4 78.811,46 15.639,06 63.172,40 67.153,09 5 75.211,46 8.058,37 67.153,09 -

112.057,30 300.000,00 TOTAL

No.SAM (Sistema Amortização Mista)

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

• Neste sistema, a devolução do principal é realizada em parcelas desiguais. As amortização são pré-fixadas e os juros calculados sobre o saldo devedor.

• Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma:

• 1o amortização = $ 30.000,00• 2o amortização = $ 50.000,00• 3o amortização = $ 70.000,00• 4o amortização = $ 65.000,00• 5o amortização = $ 85.000,00

Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL

• Um banco emprestou $ 300.000 que serão amortizados da seguinte forma:• 1o amortização = $ 30.000,00• 2o amortização = $ 50.000,00• 3o amortização = $ 70.000,00• 4o amortização = $ 65.000,00• 5o amortização = $ 85.000,00

Sabendo-se que a primeira amortização será em 03 anos após o empréstimo e que a taxa de juros é de 12% a.a. e que os juros são pagos durante a carência, elaborar a planilha de amortização.

Prestação Juros Amortização Saldo0 300.000,00 1 36.000,00 36.000,00 300.000,00 2 36.000,00 36.000,00 300.000,00 3 66.000,00 36.000,00 30.000,00 270.000,00 4 82.400,00 32.400,00 50.000,00 220.000,00 5 96.400,00 26.400,00 70.000,00 150.000,00 6 83.000,00 18.000,00 65.000,00 85.000,00 7 95.200,00 10.200,00 85.000,00 -

195.000,00 300.000,00

No.SAV (Sistema Amortização Variável)

TOTAL

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Programação Linear - Solver

Na qualidade de assessor de investimentos da FUNDABANC, uma fundação de empregados de determinado banco, estude a melhor forma de aplicar os recursos à disposição da fundação num montante de $ 250.000,00.

Para tanto, deve-se levar em consideração as restrições impostas pela legislação e normas vigentes. A necessidade de minimizar os riscos limitam as aplicações a ações preferenciais, ações de companhia de utilidade pública e títulos da dívida pública.

Capital Taxa de GanhoInvestimento Tipo Sigla Investido Retorno ProjetoAções da CESp Cia Publ CESP - 9,10% - Ações da COMGAS Cia Publ COMG - 10,30% - Títulos Públicos Feder Tit Div PubTPF - 6,70% - Ações Prefer NESTLE Pref NES - 8,70% - Títulos Públicos Munic Tit Div PubTPM - 5,90% - Ações da ELETROPAULOCia Publ ELP - 8,80% -

TOTAL - -

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Programação Linear - Solver

Na qualidade de assessor de investimentos da FUNDABANC, uma fundação de empregados de determinado banco, estude a melhor forma de aplicar os recursos à disposição da fundação num montante de $ 250.000,00.

Para tanto, deve-se levar em consideração as restrições impostas pela legislação e normas vigentes. A necessidade de minimizar os riscos limitam as aplicações a ações preferenciais, ações de companhia de utilidade pública e títulos da dívida pública.

As restrições adicionais que se apresentam para as aplicações são as seguintes:

1. Títulos Públicos não podem representar menos que 25% dos investimentos;

2. Ações preferenciais estão limitadas a até 20% dos investimentos;

3. Ações das Cias de Utilidade Pública devem contabilizar pelo mesno 40% dos investimentos;

4. Nenhum dos 03 tipos de investimentos podem receber mais do que 50% do valor do capital.

PEDE-SE: Encontre a combinação que MAXIMIZE o resultado da operação.