1. 집합의 포함관계, 집합의 연산법칙과 드 모르간의 법칙을 이해하고,...

1. 집합의 포함관계 , 집합의 연산법칙과 드 모르간의 법칙을 이해하고 , 이들 법칙을 활용하여 집합의 연산을 할 수 있다 .

2. 명제의 뜻을 이해하고 집합을 이용하여 명제의 참 , 거짓을 판별할 수 있으며 , 명제 사이의 관계를 이해하여 논리적 으로 사고하는 능력을 기른다 .

1. 집합의 포함관계 , 집합의 연산법칙과 드 모르간의 법칙을 이해하고 , 이들 법칙을 활용하여 집합의 연산을 할 수 있다 .

2. 명제의 뜻을 이해하고 집합을 이용하여 명제의 참 , 거짓을 판별할 수 있으며 , 명제 사이의 관계를 이해하여 논리적 으로 사고하는 능력을 기른다 .

학 습 목 표

집합의 포함관계 집합의 포함관계

1. 부분집합

집합 의 모든 원소가 집합 에 속할 때 , 즉 이면 반드시 일 때 는 에 포함된다 . 또는 는 를 포함한다고 하며 또는 로 나타낸다 . 이 때 , 집합 를 집합 의 부분집합이라 한다 .

A B

Ax Bx

BA AB

A BA B

B A

2. 부분집합의 원소의 개수

1) 부분집합의 개수 :n2

2) 집합 에서 를 모두 포함시키는 의 부분집합의 개수는 이다 .

kn2A

nk aaaaaA ,,,,,, 321 kaaaa ,,,, 321

BA3) 진부분집합

이고 일 때 , 를 의 진부분집합 이라 한다 .

BA BA

2. 집합의 연산

1) 교환법칙

ABBA ABBA 2) 결합법칙

)()( CBACBA )()( CBACBA

3) 분배법칙)()()( CABACBA )()()( CABACBA

4) 흡수법칙

ABAA )( ABAA )(

5) 드모르간법칙CCC BABA )(CCC BABA )(

6) 부정법칙

AA CC )(

7) 많이 활용되는 집합의 연산

AA A CAA

AA CC )( UC CU

BA 이면 BAABA 이면 BA

ABA 이면 BA

)()()()1 AnUnAn c

3. 원소의 개수집합 의 원소의 개수를 로 나타내면A )(An

)()()()()2 BAnBnAnBAn )()()()3 BnAnBAn

( 단 , )

BA)()()()()4 CnBnAnCBAn )()()( ACnCBnBAn

)( CBAn

명 제 명 제

1. 명제

참 , 거짓을 판별할 수 있는 문장 ( 또는

기호나 식 ) 을 명제라 하며 , [ 이면

이다 .] 꼴의 명제를 로 나타낸다 .

이때 를 가정 , 를 결론이라고 한다 .

P

q

qp

P

q

2. 명제의 참 , 거짓 판별법

명제 에 대하여 가정을 만족하는

집합을 , 결론을 만족하는 집합을

라 할 때 , 이면 는 참 (

이때 기호로는 로 나타낸다 .)

이면 는 거짓이다 .

qp

qp

qpP Q

QP

QPqp

3. 명제의 부정

명제 에 대하여 [ 가 아니다 ] 라는

명제를 의 부정이라 하고 , 로 나타낸다 .P~

P P

P

4. 명제의 역 · 이 · 대우

qp

qp ~~

pq

pq ~~

역

역

이 이대우

3. 필요 · 충분조건

(1) 필요 · 충분조건 명제 가 참 일때 , 는 이기 위한 충분조건 , 는 이기 위한 필요조건이라 한다 . 명제에 대하여 가정을 만족하는 집합을 , 결론을 만족하는 집합을 라 할 때 , 충 분 조 건 :

필 요 조 건 : 필요충분조건 :

qp

Q

p qq p

PQPQP QP

1. 실수의 연산에 대한 성질과 대소 관계를 이해하고 , 실수의 성질을 활용할 수 있는 능력을 기른다 .

2. 인수정리와 조립제법을 이용하여 다항식 을 인수분해하고 , 유리식과 무리식의 연산을 할 수 있다 .

3. 복소수의 뜻을 이해하고 , 복소수의 연산을 할 수 있다 .

1. 실수의 연산에 대한 성질과 대소 관계를 이해하고 , 실수의 성질을 활용할 수 있는 능력을 기른다 .

2. 인수정리와 조립제법을 이용하여 다항식 을 인수분해하고 , 유리식과 무리식의 연산을 할 수 있다 .

3. 복소수의 뜻을 이해하고 , 복소수의 연산을 할 수 있다 .

학 습 목 표

실수의 연산 실수의 연산

1. 항등원과 역원

Mba ,

M

1) 일반적 연산에서 [ 닫혀 있다 ] 는 뜻

집합 이 연산 에 대하여 닫혀 있다 .

임의의 에 대하여

Mba

aM

2) 일반적 연산에서 항등원 · 역원 집합 에 대한 연산 이 정의되어 있을 때 의 임의의 원 에 대하여 가 되는 를 연산 에 대한 항등원

)( Me

M

aaeea

가 항등원일 때 의 한 원 에 대하여 가 되는 를 연산 에 대한 역원

e M aeaxxa )( Mx

다항식 다항식

1. 곱셈 공식의 변형xyyxyx 2)( 222

)(3)( 333 yxxyyxyx

2. 항등식과 미정계수법

cxbxacbxax 22 이 항등식

ccbbaa ,,

3. 나머지 정리와 인수정리

)(afax

1) 나머지 정리 의 다항식 를 일차식으로 나눈 나머지 로 나눈 나머지

)(xfx

bax 로 나눈 나머지

a

bf

2) 인수 정리 의 다항식 가 로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은

x )(xf ax 0)( af

4. 인수분해와 약수 · 배수

1) 인수분해

)( bammbma 222 )(2 bababa 222 )(2 bababa ))((22 bababa

))(()(2 bxaxabxbax ))(()(2 dcxbaxbdxbcadacx

2) 복잡한 식의 인수분해 ))(( 2233 babababa

33223 )(33 bababbaa ))(( 2233 babababa

33223 )(33 bababbaa abccba 3333

))(( 222 cabcabcbacba })()()){((

2

1 222 accbbacba

3) 최대공약수와 최소공배수 두 다항식

( 는 서로 소 ) 에서1) 와 의 최대공약수 :

4) 와 또는 의 최대공약수는

2) 와 의 최소공배수 :

bGBaGA ,ba,

A B

LGAB

G

A B abGL 3)

GA BA BA

유리식과 무리식 유리식과 무리식

1. 유리식의 기본 성질

2. 유리식의 연산

CA

CB

A

B

)0(

CCA

CB

A

B

AC

ADBC

C

D

A

B

A

CB

A

C

A

B

2. 유리식의 연산

AC

BD

C

D

A

B

AD

BC

D

C

A

B

C

D

A

B

BC

AD

ABCD

3. 비례식의 성질

d

c

b

abcaddcba ::

d

c

b

a 일 때 d

dc

b

ba

d

dc

b

ba

reqcpa

rfqdpb

eca

fdb

e

f

c

d

a

b

0,0 reqcpaeca( 단 , )

4. 제곱근의 성질

)0(

)0(2

aa

aaaa

0,0 ba 일 때

a

b

a

bbabaabba ,, 2

5. 분모의 유리화

b

ba

b

a

0,0 ba 일 때 , abba

0,0 ba 일 때 , b

a

b

a

6. 이중근호

0,0 ba 일 때 ,

baabba 2)(

baba ,0,0 일 때 ,

baabba 2)(

1. 복소수의 상등(1) 복소수의 정의

가 실수일 때 , 꼴의 수를 복소수ba,( 단 , )

bia a를 실수부 , b를 허수부 12 i

(2) 복소수의 상등 ( 서로 같다 )

00 babiadcba ,,, 가 실수일 때 ,

dbcadicbia ,

복소수 복소수

2. 복소수의 곱셈과 나눗셈

(2) 복소수의 곱셈과 나눗셈

(1) 켤레복소수 복소수 에 대하여 를

biaz z의 켤레복소수라 하고 로 나타낸다 .

bia z

azz 2 22 bazz

두 복소수 에 대하여dicbia ,ibcadbdacdicbia )()())((

idc

bcad

dc

bdac

dic

bia2222

( 단 , )

0 dic

1. 이차방정식의 근의 공식을 이해하고 , 복소수의 범위에서 이차방정식을 풀 수 있다 .2. 인수정리를 이용하여 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있고 연립방정식을 풀 수 있다 .3. 이차부등식을 풀 수 있고 , 절대부등식의 증명을 할 수 있다 .

1. 이차방정식의 근의 공식을 이해하고 , 복소수의 범위에서 이차방정식을 풀 수 있다 .2. 인수정리를 이용하여 삼차방정식과 사차방정식을 풀 수 있고 연립방정식을 풀 수 있다 .3. 이차부등식을 풀 수 있고 , 절대부등식의 증명을 할 수 있다 .

학 습 목 표

1. 일차방정식

x에 대한 방정식 bax 의 해는

(1) 이면 해는 0aa

bx

(2) 이면 해는 없다 . ( 불능 ) 0,0 ba

(3) 이면 해는 모든 실수 . ( 부정 ) 0,0 ba

이차방정식 이차방정식

2. 이차방정식의 풀이

(1) 제곱근의 정의 이용

Ax 2 일 때

Ax (2) 인수분해 이용

0B00 AAB 또는

(3) 근의 공식 이용

02 cbxax 일 때

a

acbbx

2

42

022 cxbax 일 때

a

acbbx

2

3. 이차방정식의 판별식

실계수 이차방정식

acbD 42 를 판별식이라고 하면

)0(02 acbxax

에서

(1) 이면 서로 다른 두 실수 0D

(2) 이면 실수인 두 중근 0D

(3) 이면 서로 다른 두 허근 0D

4. 이차방정식의 근과 계수와의 관계

(1)a

b (2)

a

c

(3)a

acb 42

이차방정식

, 라 하면

)0(02 acbxax 의

두 근을

5. 이차방정식의 근의 부호

,두 근을

실계수인 이차방정식 02 cbxax 의

판별식을 D 라 하면 (1)

0,0,0 D두 근이 모두 양근일 조건

(2) 두 근이 모두 음근일 조건

0,0,0 D

(3) 두 근이 서로 다른 부호일 조건0

6. 켤레근의 성질

,두 근을

실계수인 이차방정식 02 cbxax 의

판별식을 D 라 하면 (1)

mqp 계수가 유리수인 이차방정식에서 한 근이

( 단 , 는 유리수 , 은 무리수 )

mqp 이면 다른 한 근은 qp, mq ,0

(2)

qip 계수가 실수인 이차방정식에서 한 근이

qip 이면 다른 한 근은 ( 단 , 는 실수 , )qp, 0q

연립방정식

0

0

cybxa

cbyax의 해는

(1)b

b

a

a

일 때 , 한 쌍의 해가

존재

(2)c

c

b

b

a

a

일 때 , 해가 무수히 많다 .(부정 )

(3)c

c

b

b

a

a

일 때 , 해가 없다 .( 불능)

연립일차방정식의 풀이 연립일차방정식의 풀이

x에 대한 일차부등식 bax 의 해는

(1) 이면 해는 0aa

bx

(2) 이면 해는 0aa

bx

(3) 일 때 0a0b 이면 해가 없다 .

0b 이면 모든 실수

부등식 부등식1. 일차부등식

2. 이차부등식

acbD 4),(, 2 )0(02 acbxax 의 두 실근을

(1) 이면0D xxcbxax 02

또는

xcbxax 02

(2) 이면0Dxcbxax 02

는 모든 실수 02 cbxax 해가 없다 .

3. 부등식의 증명(1) 평균 관계 부등식

ba

abab

ba

2

2( 단 , 등호는 일 때 성립 )

양수 에 대하여ba,

ba (2) 코시 슈바르쯔 부등식

22222 )())(( byaxyxba

( 단 , 등호는 일 때 성립 )y

b

x

a

중학교 평면 도형 복습중학교 평면 도형 복습

학 습 목 표

원의 일반적인 성질 ( 원주각과 중심각 , 접선 , 원과 비례 , 할선과 접선 ) 을 이해하고 여러 가지 문제를 해결할 수 있다 .

원의 일반적인 성질 ( 원주각과 중심각 , 접선 , 원과 비례 , 할선과 접선 ) 을 이해하고 여러 가지 문제를 해결할 수 있다 .

Ⅲ. 원의 기본 성질

1. 중심각과 호 , 현1. 중심각과 호 , 현

1) 1) 한 원 또는 합동인 두 원에서한 원 또는 합동인 두 원에서

1) 1) 현의 수직이등분선 현의 수직이등분선

3) 3) 현의 길이현의 길이

1) 1) 접선의 길이접선의 길이

2. 원의 접선2. 원의 접선

두 원 O, O' 에 대하여 반지름의 길이를 각각 r, r' (r > r'), 중심거리를 d 라 할 때

1) 1) 두 원의 위치 관계두 원의 위치 관계

3. 두 원3. 두 원

2) 2) 공통현과 중심선공통현과 중심선

① 두 원 O, O' 의 반지름의 길이를 각각 r, r' (r > r'), 중심거리를 d 라 할 때

3) 3) 공통접선공통접선

접선과 현이 이루는 각의 크기

4. 접선과 현이 이루는 각 4. 접선과 현이 이루는 각

1) 1) 원에서의 비례 관계원에서의 비례 관계

1) 1) 접선과 할선 접선과 할선

2) 2) 원의 할선과 접선의 원의 할선과 접선의 응용응용

1. 좌표를 이용하여 선분의 분점 , 직선의 방정식 , 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다 . 2. 원의 방정식과 접선의 방정식을 구할 수 있다 .

3. 부등식이 나타내는 영역을 좌표평면에 나타내고 , 영역에서의 최대 , 최소 문제를 풀 수 있다 .

1. 좌표를 이용하여 선분의 분점 , 직선의 방정식 , 점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다 . 2. 원의 방정식과 접선의 방정식을 구할 수 있다 .

3. 부등식이 나타내는 영역을 좌표평면에 나타내고 , 영역에서의 최대 , 최소 문제를 풀 수 있다 .

학 습 목 표

두 점 사이의 거리 두 점 사이의 거리1. 수직선 위의 두 점 사이의 거리

두 실수 에 대응하는 수직선 위의 두 점 사이의 거리를 로 나타내면

21, xxAB

12 xx

)( 1xA )( 2xB12 xxAB

21 xx

)( 1xA)( 2xB

2. 평면 위의 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는

),(),,( 2211 yxByxA

212

212 )()( yyxxAB

A

),( 22 yxB

),( 11 yx

1x 2x

1y

2y

),( 12 yxC

12 yy

12 xx

원점 와 사이의 거리는

O A

21

21 yxOA

선분의 내분점과 외분점 선분의 내분점과 외분점1. 수직선 위의 선분의 내분점 , 외분점

nm

nxmxx

12

수직선 위의 두 점 을 이은

선분 를 내분하는 점

의 좌표는

)(),( 21 xBxA

AB nm : )(xP

)( 1xA)( 2xB

mn

)(xP

m

)( 1xA )( 2xB

n

)(xP

선분의 내분점과 외분점 선분의 내분점과 외분점1. 수직선 위의 선분의 내분점 , 외분점

)(12 nmnm

nxmxx

수직선 위의 두 점 을

이은

선분 를 외분하는 점

의 좌표는

)(),( 21 xBxA

AB nm : )(xQ

m

)( 1xA )( 2xB n )(xQ

xxx 21

)(xQ )( 1xA )( 2xBm

n21 xxx

선분의 내분점과 외분점 선분의 내분점과 외분점2. 좌표평면 위의 선분의 내분점 , 외분점

nm

nxmxx

12

좌표평면 위의 두 점 를 이은 선분 를 으로 내분하는 점 의 좌표 는

),(),,( 2211 yxByxAAB nm :),( yx

nm

nymyy

12),( 11 yxA

),( 22 yxB

),( yxpm

n

2x1x x

1y

2y

y

x

y

0

선분의 내분점과 외분점 선분의 내분점과 외분점2. 좌표평면 위의 선분의 내분점 , 외분점

nm

nxmxx

12

좌표평면 위의 두 점 를 이은 선분 를 으로 외분하는 점 의 좌표 는

),(),,( 2211 yxByxAAB nm :),( yx

)(12 nmnm

nymyy

),( 11 yxA

),( 22 yxB

),( yxpm n

2x1x x

1y

2y

y

x

y

0

직선의 방정식 직선의 방정식

1. 한 점과 기울기가 주어진 직선

점 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은

),( 11 yxA

)( 11 xxmyy m

x

y

0

),( 11 yxA

),( yxp

1xx

1yy

bmxy

x

y

0

),( 11 yxA1yy

직선의 방정식 직선의 방정식

2. 두 점을 지나는 직선

x

y

0

),( 11 yxA

),( 22 yxB

12 xx

12 yy

l

두 점 을 지나는 직선 의 방정식은 1) 일 때2) 일 때

),(),,( 2211 yxByxA l

)( 112

121 xx

xx

yyyy

21 xx

21 xx 1xx

x

y

0

),( 11 yxA

1xx

),( 22 yxB

l

3. 일차방정식 의 그래프0 cbyax

와 에 대한 일차방정식 은

1) 일 때

2) 일 때 와 같이

변형된다 .

x

a

cx 0,0 ab

y 0 cbyax

0bb

cx

b

ay

따라서 , 일차방정식 의

그래프는

1) 의 경우에는 기울기가 , 절편이 인

직선

2) 의 경우에는 축에 평행하고 점 을

지나는 직선

0 cbyax

b

a y

b

c

y

0,

a

c

두 직선의 평행과 수직 두 직선의 평행과 수직1. 두 직선의 평행

두 직선의 평행 조건1) 두 직선 에 대하여 과 은 평행 ( 단 ,

)

bxmylbmxyl :,:

l l mm bb

2) 두 직선 에 대하여 과 은 평행

0:,0: cybxalcbyaxl

l lc

c

b

b

a

a

두 직선의 평행과 수직 두 직선의 평행과 수직2. 두 직선의 수직

두 직선의 수직 조건1) 두 직선 에 대하여

2) 두 직선 에 대하여

bxmylbmxyl :,:

ll 1 mm

0:,0: cybxalcbyaxl

ll 0 bbaa

점과 직선 사이의 거리 점과 직선 사이의 거리점과 직선 사이의 거리점과 직선 사이의 거리점 과 직선 사이의 거리는

),( 11 yx 0 cbyax

22

11

ba

cbyaxd

x

y

0

),( 11 yxA

l

0 cbyax

원의 방정식 원의 방정식

원의 방정식원의 방정식중심이 이고 반지름의 길이가 인 원의 방정식은

특히 , 원점 가 중심인 원의 방정식은

),( baC

222 )()( rbyax

r

O

222 ryx

x

y

0

),( yxp

r

),( baC

원과 직선 원과 직선

원 와 직선 의 위치 관계는 이므로 1) 일 때 서로 두 점 에서 만난다 . 2) 일 때 접한다 . 3) 일 때 만나지 않 는다 .

0D

bmxy

222 ryx

222 )1(4 bmrD

0D

0D

x

y

0

0D0D

0D

원과 직선 원과 직선

기울기 인 원의 접선기울기 인 원의 접선 원 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식은

222 ryx m

21 mrmxy

m

원 위의 점에서의 접선원 위의 점에서의 접선 원 위의 점 인 접선의 방정식은

222 ryx

211 ryyxx

),( 11 yx

x

y

0

222 ryx 21 mrmxy

y

x0

),( 11 yx

211 ryyxx

평행이동 평행이동1. 점과 도형의 평행이동

점과 도형을 축으로 만큼 축으로 만큼 평행이동하면 즉 변환1) 점 2) 도형

),(),( byaxpyxp

),(),(: byaxyxf

0),(0),( byaxfyxf

x a

y bx

y

0

),( yxp

),( byaxp

a

b

x

y

0

),( yxp a

b

),( yxp

평행이동 평행이동

2. 좌표축의 평행이동

원점이 가 되도록 좌표축을 평행이동하면 구좌표에서의 도형의 방정식 은 신좌표축에서 이 된다 .

0),( yxf

),( baO

0),( bYaXf

x

y

),( yxp

a

b

),( YX

x

y

0

0

y

XX

Y

Y

x

대칭이동 대칭이동1. 좌표축과 원점에 대한 대칭이동

y

),( yxp

ax0

- -

),(1 yxp

),(2 yxp

),( yxp

축축 , , 축축 , , 원점에 대한 원점에 대한 대칭이동대칭이동 방정식 이 나타내는 도형을 대칭이동한 도형의 방정식은 1. 축에 대하여 대칭이동할 때 ,

2. 축에 대하여 대칭이동할 때 ,

3. 원점에 대하여 대칭이동할 때 ,

0),( yxf

x0),( yxf

y0),( yxf

0),( yxf

대칭이동 대칭이동

2. 직선에 대한 대칭이동

직선 에 대한 대칭이동

직선 에 대한 대칭이동

xy ),(),( xypyxp

xy

0),(0),( xyfyxf

),(),( xypyxp 0),(0),( xyfyxf

),( bap

M

xy

y

x0

====

),( abp

),( bap

xy

y

x0

====

),( abp

M

부등식의 영역 부등식의 영역

부등식의 영역부등식의 영역1. 부등식 의 영역 의 위쪽 부분2. 부등식 의 영역 의 아래쪽 부분

)(xfy )(xfy

)(xfy )(xfy

)(xfy )(xfy y

x0

)(xfy

원의 내부원의 내부 , , 외부외부1. 부등식 의 영역 의 내부2. 부등식 의 영역 의 외부

222 ryx

222 ryx

222 ryx 222 ryx

y

x0

222 ryx

222 ryx

222 ryx

1. 함수를 체계적으로 복습하고 , 합성함수와 역함수를 이해한다 . 2. 이차함수의 그래프와 이차방정식 , 이차부등식 사이의 관계를 이해한다 .

3. 간단한 유리함수와 무리함수의 그래프를 그릴 수 있다 .

학 습 목 표

함수와 그래프 함수와 그래프

1. 함수의 뜻

공집합이 아닌 두 집합 에서 집합 의 각 원소에 집합 의 원소가 하나씩 대응될 때 이 대응 를 에서 로의 함수라 하고 또는 로 나타낸다 .

YX , XYf X YYXf : YX f

공집합이 아닌 두 집합 이 대응 를 에서 로의 함수라 하고 또는 로 나타낸다 .

YX , XY

X YYXf : YX f

X Y

)(xfx

f f

2. 여러 가지 대응

에서

(1) 일대일 대응임의의 두 원소 에 대하여 이면 , 즉 ( 치역 ) = ( 공역 ) 일 때 , 를 일대일 대응이라 한다 .

(2) 항등함수임의의 에 대하여 인 함수 를 항등함수라 한다 .

Xxx 21,

YX f

21 xx )()( 21 xfxf YXf )(

f

Xx yxf )( f

2. 합성함수

(1) 합성함수의 정의두 함수 에 대하여임의의 원소 에 대하여 의 원소 를 만족시키는 함수 를 와 의 합성함수라 하고 로 나타낸다 .

Xx))(( xfgz

f

ZYgYXf :,:

ZZXh :

g fgh

X Y

)(xfx

f

f Z

))(( xfg

g

g

fgh

2. 합성함수

(2) 합성함수의 성질 일반적으로 ( 는

항등함수 )

fggf

I))(())(( xfIxIf

))(())(( xgfxgf

fghfghfgh )()(

3. 역 함 수

함수 에서 가 일대일 대응일 때 인 함수 가 존재한다 .

이 때 , 이 함수 를 의 역함수라 하고 로 나타낸다 .

YXf : )(xfy xyg )( XYg :

g f1f

(1) 역함수의 정의

X Y

)(xfy )(1 yfx

f f

1f

yx

3. 역 함 수

(2) 역함수의 성질

( 는

항등함수 )

ff 11)(

I111)( gffg

Iffff 11

11, fggfIfggf

유리함수와 무리함수 유리함수와 무리함수

1. 다항함수(1) 일차함수

함수 에서 가 에 대한 다항식일 때 , 이 함수를다항함수라고 한다 .상수함수 : 일차함수 : 의 그래프는 기울기가 이고 , 절편이 인 직선이다 .

a

)(xfy )(xf x

cxf )()0( abaxy

y b

x

y

0

cxf )(

x

y

0

baxy b

a

b

(2) 이차함수

x

y

0

2axy

cbxaxy 2

a

acb

a

b

4

4,

2

2

0a

a

bx

2

이차함수

이므로 , 의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로

축의 방향으로만큼 평행이동한 것이다 .

)0(2 acbxaxy

a

b

2x

cbxaxy 2

a

acb

a

bxa

4

4

2

22

cbxaxy 2

2axy

ya

acb

4

42 x

y

0

2axy cbxaxy 2

a

acb

a

b

4

4,

2

2

0a

(3) 이차함수의 응용

이차함수의 그래프와 축 과의 교점이차함수 의 그래프는 축과 1. 서로 다른 두 점에서 만난다 . 2. 한 점에서 만난다 .3. 만나지 않는다 .

x)0(2 acbxaxy

042 acbDx

042 acbD042 acbD

0a 일 때일 때

x

0D

x

0D

x

0D

(3) 이차함수의 응용

0a 일 때일 때

이차함수와 이차부등식이차함수와 이차부등식

x

0D

x

0D

x

0D

02 cbxax

의 해의 해

02 cbxax

의 해의 해

xx ,

x

ax 인인모든 실수모든 실수

모든 실수모든 실수

해 없음해 없음 해 없음해 없음

x

0Dcbxaxy 2

의 그래프의 그래프

2. 유리함수

x

ky (1) 의 그래프

0k

x

y

0 1

k

1k

x

y

0 1

k

1k

0k

x

ky 의 그래프

1. 정의역과 치역은 모두 이다 .

2. 이면 , 그래프는 제 1, 3 사분면에 있다 .

이면 , 그래프는 제 2, 4 사분면에 있다 .

3. 원점에 대하여 대칭이다 .

4. 점근선은 축 , 축이다 .

1. 정의역과 치역은 모두 이다 .

2. 이면 , 그래프는 제 1, 3 사분면에 있다 .

이면 , 그래프는 제 2, 4 사분면에 있다 .

3. 원점에 대하여 대칭이다 .

4. 점근선은 축 , 축이다 .

0R

0k

0k

x y

bax

dcxy

(2) 의 그래프

)0,0(

cbcadbax

dcxy유리함수유리함수

qpx

ky

의 꼴로 변형의 꼴로 변형

함수 의 그래프는 분수함수 의 그래프를 축 의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동두 직선 는 쌍곡선의 점근선

함수 의 그래프는 분수함수 의 그래프를 축 의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동두 직선 는 쌍곡선의 점근선

x

ky

x y

q

qypx ,

p

3. 무리함수

(1) 의 그래프axy

x

y

0 1

a

0a

axy

x

y

01

a

0a

axy

cbaxy (2) 의 그래프

무리함수 는 무리함수 는

)0( acbaxy

ca

bxay

의 꼴로 변형되므로 그 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동

의 꼴로 변형되므로 그 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동

axy x p y

q

bax

dcxy

(2) 의 그래프

)0,0(

cbcadbax

dcxy유리함수유리함수

qpx

ky

의 꼴로 변형의 꼴로 변형

함수 의 그래프는 분수함수 의 그래프를 축 의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동두 직선 는 쌍곡선의 점근선

함수 의 그래프는 분수함수 의 그래프를 축 의 방향으로 , 축의 방향으로 만큼 평행이동두 직선 는 쌍곡선의 점근선

x

ky

x y

q

qypx ,

p

1. 지수법칙을 유리수 범위까지 확장하고 , 지수방정식과 지수부등식을 풀 수 있다 . 2. 로그의 뜻과 성질을 이해하고 , 상용로 그를 활용하여 응용문제를 풀 수 있다 . 또 , 로그방정식과 로그부등식을 풀 수 있다 .

학 습 목 표

지수함수 지수함수1. 정수 지수

지수법칙 1양의 정수 에 대하여nm,

nmnm aaa .1 nmnm aaa .1 mnnm aa )(.2

mmm baab )(.3m

mm

b

a

b

a

.4

, .5 때일nm nmnm aaa

0 또는 음의 정수 지수 이고 이 양의 정수일 때,

0a

nn

aaa

1,10

n

지수법칙 2 이 정수이고 일 때 ,nm,

nmnm aaa .10,0 ba

nmnm aaa .2mnnm aa )(.3 mmm baab )(.4

2. 거듭제곱근과 유리수 지수

1) 거듭제곱근1) 거듭제곱근

이 양의 정수일 때 , 실수 에 대하여 제곱하여 가 되는 수 , 즉 방정식

의 근을 의 제곱근이라고 하며 , 의 제곱근 , 세제곱근 , 네제곱근 , … 을통틀어 의 거듭제곱근이라고 한다 .

n an a

axn a n

aa

거듭제곱근의 성질 이 양의 정수이고 일 때 ,

nm,nnn abba .1

0,0 ba

nn

n

b

a

b

a.2

mnn m aa .3 mnm n aa .4

지수법칙 3 이 정수이고 이 유리수 일 때 ,

nm,

nmnm aaa .1

0,0 ba

nmnm aaa .2mnnm aa )(.3 mmm baab )(.4

3. 지수함수)1,0( aaay x지수함수 의 성질

1. 정의역은 실수 전체의 집합이다 .

2. 치역은 양의 실수 전체의 집합이다 .

3. 그래프는 점 (0, 1) 을 지나고 축을 점근선으로 한다 .

4. 일 때 , 의 값이 증가하면 의 값도 증가한다 .

일 때 , 의 값이 증가하면 의 값은 감소한다 .

x

1a x y

10 a xy

3. 지수함수)1,0( aaay x

지수함수 의 그래프

10 a

xay

x

y

0 1

a

1

x

y

0 1

a

1axay

1

로그함수 로그함수1. 로그와 그 성질

로그의 정의 일 때 ,

0,1,0 baabxba a

x log

1) 로그의 뜻1) 로그의 뜻

bgl a0

진수밑x

y

0 balog

b

xay

1

xy alog로그함수 의 성질1. 정의역은 양의 실수 전체의 집합이다 .

2. 치역은 실수 전체의 집합이다 .

3. 그래프는 점 (1, 0) 을 지나고 축을 점근선으로 한다 .

4. 일 때 , 의 값이 증가하면 의 값도 증가한다 .

일 때 , 의 값이 증가하면 의 값은 감소한다 .

1a x

y

xy

y

10 a

3. 로그함수)1,0(log aaxy a로그함수

의 그래프

x

y

0 1 a

1axay

1 xy alog

xy

10 a

xay

x

y

0 1a

1

xy

xy alog

,01log.1 a

로그의 성질 일 때 ,

0,0,1,0 yxaa

1log aa

yxxy aaa logloglog.2

yxy

xaaa logloglog.3

xnx an

a loglog.4

a

bb

c

ca log

loglog

밑의 변환 일 때 ,1,0 cc

삼 각 함 수

1. 삼 각 함 수

2. 삼각함수의 성질

3. 삼각함수의 그래프

4. 삼각함수의 응용

Ⅰ. 삼 각 함 수

1. 일반각을 이해하고 , 이를 그림으로 나타낼 수 있다 .

2. 호도법을 이해하고 , 일반각을 호도법으로 나타낼 수 있다 .

3. 삼각함수의 정의를 이해하고 , 이를 활용할 수 있다 .

1. 일반각을 이해하고 , 이를 그림으로 나타낼 수 있다 .

2. 호도법을 이해하고 , 일반각을 호도법으로 나타낼 수 있다 .

3. 삼각함수의 정의를 이해하고 , 이를 활용할 수 있다 .

학 습 목 표

삼각비의 정의 삼각비의 정의

아래 그림의 직각삼각형 ABC 에서

A 의 삼각비는 다음과 같다 .

A B

C

ba

c

(1) sin cos, , tan

(2)a

bec cos

c

bsec, ,

a

ccot

b

a

b

c

c

a

삼각비의 값 삼각비의 값

sin cos tan

1

12

045

1

23

060 00030

060090

045

삼각비

0

21

1 0

22

1

23

23

2122

0

31

1

3

일반각과 호도법 일반각과 호도법(1) 일반각의 뜻

O X

P

∠XOP = 일 때 , 일반각 로 표시된다 .

OX : 시초선OP : 동 경

동경 OP 가 회전할때 반시계방향을 양의 방향 , 시계방향을 음의 방향

일반각과 호도법 일반각과 호도법(1) 일반각의 뜻

O X

P

∠XOP = 일 때 , 일반각 로 표시된다 .

OX : 시초선OP : 동 경

) (360 정수은nnoo

(2) 호도법

r

r반지름 r인 원에서 반지름

r과 같은 길이의 호에 대한

중심각의 크기를 1라디안(radian) 이라 한다 .

1 라디안

1) 1 라디안 =

o180'''0 451757≒

2) 180

10 라디안

r

l

(3) 부채꼴의 호의 길이와 넓이

S

반지름 r , 중심각 ( 라디안 )인 부째꼴의 호의 길이를 ,

넓이를 라 하면 l

S

rl rlrS

2

1

2

1 2

r

0 x

y),( yxP

sin cos tan

y

rec cos

x

rsec

y

xcot

r

y

r

x

x

y

삼각함수의 정의 삼각함수의 정의

삼각함수의 부호 삼각함수의 부호

sin cos tan

+ + +

+

++

--

-

- --

제 1 사분면

제 2 사분면

제 3 사분면

제 4 사분면

삼각비구분

Ⅱ. 삼각함수의 성질

1. 삼각함수의 상호관계를 이해 하고 활용할 수 있다 .

2. 삼각함수의 성질을 이해하고 , 일반각의 삼각함수의 값을 구할 수 있다 .

1. 삼각함수의 상호관계를 이해 하고 활용할 수 있다 .

2. 삼각함수의 성질을 이해하고 , 일반각의 삼각함수의 값을 구할 수 있다 .

학 습 목 표

삼각함수의 상호 관계 삼각함수의 상호 관계

cos

sintan

1cossin 22

22 sectan1

22 coscot1 ce

삼각함수의 성질 삼각함수의 성질

sin)2sin( n

cos)2cos( n

tan)2tan( n

n2 의 삼각함수

),( yxP

),( yxQ

x

y

0

sin)(sin

cos)(cos tan)(tan

와 의 삼각함수

sin)(sin

cos)(cos

tan)(tan

의 삼각함수

),( yxP),( yxQ

x

y

0

),( yxP

),( yxQ

x

y

0

의 삼각함수

sin)(sin

cos)(cos

tan)(tan

),( yxP

2

),( xyQ

x

y

0

cos)

2(sin

sin)

2(cos

cot)

2(tan

2 의 삼각함수

2 ),( yxP

),( xyQ

x

y

0

cos)

2(sin

sin)

2(cos

cot)

2(tan

2 의 삼각함수

Ⅲ. 삼각함수의 그래프

1. 삼각함수의 그래프를 그릴 수 있고 , 이들 그래프의 특징을 이해한다 .

2. 삼각함수의 주기를 이해한다 .

1. 삼각함수의 그래프를 그릴 수 있고 , 이들 그래프의 특징을 이해한다 .

2. 삼각함수의 주기를 이해한다 .

학 습 목 표

xy sin 의 그래프

x

y

0 21

1

xx

23 2

정의역 : 모든 실수 치 역 : 11| yy

xy cos 의 그래프

xx1 0

y

2

2

3

2 x

1

1

정의역 : 모든 실수 치 역 : 11| yy

x

y

0 21

23 2

xx

xy tan 의 그래프

정의역 :

실수인

2| nxx

치 역 : 모든 실수

Ⅳ. 삼각함수의 응용

1. 사인법칙과 코사인법칙을 이용 하여 삼각형의 성질을 조사할 수 있다 .

2. 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때 , 삼각형의 넓이를 구할 수 있다 .

1. 사인법칙과 코사인법칙을 이용 하여 삼각형의 성질을 조사할 수 있다 .

2. 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때 , 삼각형의 넓이를 구할 수 있다 .

학 습 목 표

.

사 인 법 칙 사 인 법 칙

A

B CR

c

a

bABC 의 외접원의

반지름을 라 하면R

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

제일코사인법칙 제일코사인법칙

ABC 에서

BcCba coscos

CaAcb coscos

AbBac coscos

A

CB

c

a

b

H

제이코사인법칙 제이코사인법칙

ABC 에서

Abccba cos2222

Bcaacb cos2222

Cabbac cos2222

A

CB

c

a

b

삼각형의 넓이 삼각형의 넓이

B

ABC 의 넓이를 삼각형

S 라고 하면

BcaAbcS sin2

1sin

2

1

Cab sin2

1

A

C

c

a

bS