1 التناسب

النسبة والتناسب

فكرة الدرس:\

أحدد إن كانت الكميتان متناسبتين أم ل�.

المفردات: المتناسب�.•

التناسب�.•

استعد:استعد:

تصوير: ريالت لطباعة صورتين، ثم 10دفع سالم

ل ل لطباعة 30دفع صور �.6 ريا

- عبر عن العلةقة بين عدد الصور التي 1طبعت والتكلفة الكلية في كل الموةقفين على

صورة معدل في صيغة كسر اعتيادي .10العلةقة بين عدد الصور والتكلفة في المرة الولى=

230العلةقة بين عدد الصور والتكلفة في المرة الثانية =

6

- ةقارن بين بسطي المعدلين الواردين في السؤال 2الول، ولظحظ العلةقة بينهما، وةقارن أيض ا بين

مقامي المعدلين، ولظحظ العلةقة بينهما .

3نلظحظ أنه إذا ضربنا البسط الول في يعطي البسط الثاني. ونلظحظ أيض ا أنه إذا

يعطي المقام 3ضربنا المقام الول في الثاني.

متكافئان؟ 1- هل المعدلن في السؤال 3فسر إجابتك .

المعدل ن متساويين ل ن كلمهما يعطي 1نفس الكسر في أبسط صورة ومهو

5

في الموةقفين السابقين، هناك كميتان مرتبطتان مع ا، هما: عدد الصور المطبوعة،

وتكلفتها . لظحظ أن كلتا الكميتين تغيرت، ولكن بالطريقة نفسها .

10

كما تضاعف عدد الصور المطبوعة ثل ث مرات، تتضاعف التكلفة أيض ا

ثل ث مرات .

عدد الصورالمطبوعة

1030التكلفة (ريال)

26

×3

×3

وبمقارنة هذه الكميات على أنها معدلت في أبسط صورة، سترى أن العلةقة بين الكميتين ظلت هي نفسها.

=صورة2

ريال�ت10

صورة2

ريال�ت5

÷2

÷2

=صورة6

ريال�ت30

صورة1

ريال�ت5

÷6

÷6

و

تكون الكميتان متناسبتين إذا كان لكل منهما النسبة نفسها أو المعدل نفسه . ففي المثال أعل،ه، عدد الصور المطبوعة

متناسب مع تكلفة طباعتها على الورق؛ لن كل كمية لها ريال.ت.5معدل ثابت، وهو صورة واحدة لكل

يعبر عن علةقة التناسب في معظم اليحيان بكتابة كلمة تناسب.

التناسب هو معادلة تبين أن نسبتين أو التعبير اللفظي: معدلين متساويان .

أمثلة:=

صورة2ريال�ت10

صورة6ريال�ت30

25=6

15

التناسبالتناسب

هناك عدة طرق لتحديد هل العلةقة بين كميتين تشكل تناسب ا أم ل ؟ وإحدى هذ،ه الطرق هي

المقارنة بين معدل.ت الوحدة.

أمثلة:

استعمال معدل ت الويحدة

هل الكميتان في كل زوج من المعدل ت التية متناسبتان أم ل ؟ فسر إجابتك، ثم عبر عن كل

علةقة تناسبية في صورة تناسب.

اكتب كل معدل على صورة كسر، ثم أوجد معدل الوحدة.

ساعا.ت.9 كيلومتر ا في 45 ساعا.ت، 5 كيلومتر ا في 20

=كلم20

ساعا�ت5كلم4ساعة1

÷5

÷5

=كلم45

ساعا�ت9كلم5ساعا�ت1

÷9

÷بما أن المعدلين ليس لهما معدل الويحدة نفسه، فإنهما غير متكافئين. 9

إذن، فعدد الكيلومترا ت ليس متناسب ا مع عدد الساعا ت.

ريال ت .105ةقمصان ب5 ريا ل5 ؛ 63 ةقمصان ب3

بما أن للمعدلين معدل الوحدة نفسه، فهما متكافئان، والتكلفة متناسبة مع عدد القمصان. إذن

=ريال63

قمصان3ريال21

قميص1

÷3

÷3

=ريال105

قمصان5ريال21

قميص1

÷5

÷5

=ريال63

قمصان3

ريال105

قمصان5

أيام، ثم 3 صفحة من كتاب في 60ةقرأ.ت منى أول ةقراءة: أيام، فهل يوجد تناسب بين معدلي 6 صفحة في 90ةقرأ.ت

القراءتين ؟ فسر إجابتك .

=صفحة60أيام3

صفحة20يوم1

÷3

÷3

=صفحة90أيام6

صفحة15يوم1

÷6

÷بما أن معدلي القراءتين ليس لهما معدل الويحدة نفسه، فهما ليسا 6

متكافئين، إذن، فمعدل ةقراءة منى في الحالتين ليس متناسب ا.

ةقلدئد لخمس صديقا.ت، على 10صنعت سعاد أ) جواهر: ةقلدة لربع صديقا.ت. فهل هذان 12حين صنعت خولة

المعدلن متناسبان ؟ فسر ذلك.لمعرفة ما إذا كان المعدلين متكافئين نوجد معدل الوحدة لكل

منها

21

105

5اقسم البسط والمقام على =

124

=31

4اقسم البسط والمقام على =

إذا المعدلن غير متناسبان لن معدل الوحدة لهما غير متساوي أو متكافئ.

ل ال لغسيل 168دفعت شركة ب) أجرة: سيارة، على 14 ريال ال لغسيل 96حين دفعت شركة أخرى سيارات، فهل 8 ريا

المعدالن متناسبان؟ فسر إجابتك .لمعرفة ما إذا كان المعدلين متكافئين نوجد معدل الوحدة لكل منهما

16814

=121

14اقسم البسط والمقام على = 968

=121

8اقسم البسط والمقام على =

إذا معدل الوحدة لكلمهما متساوي؛ فهي معدل ت متناسبة.

إذا لم يكن من السهل إيجاد معدل الوحدة، فتحقق من كون المعدالت متكافئة، فإذا

كانت كذلك، فالكميات تكون متناسبة.

مثاالن

استعمال الكسور المتكافئة

هل الكميات في كل زوج من النسب أو المعدالت التية متناسبة أم ال؟ فسر إجابتك، وعبر عن العلةقة

التناسبية في صورة تناسب.

\=

اهداف3محاول�ت7

اهداف9محاولة14

×3

×2

؟

محاوالت، وأحرز 7 أهداف كرة سلة من 3أحرز مهند محاولة.14 أهداف من 9عبد العزيز

البسط والمقام لم يتم ضربهما في العدد نفسه، إذن، فالكسران غير متكافئين .

عدد الهداف التي تم إحرازها ل يتناسب مع عدد المحاول ت .

ل ال، وتكلف 90 أةقراص مدمجة 6تكلف أةقراص 3 ريال ال.45مدمجة ريا

=اقراص6ريال90

اقراص3ريال45

÷2

÷2

؟

تمت ةقسمة كل من البسط والمقام على العدد نفسه، إذن، فالكسران متكافئان .

عدد الةقراص يتناسب مع التكلفة .

الربط مع الحياةالقراص المدمجة إحدى وسائل التخزين

اللكترونية، وهي كثيرة الستعمال، ويزداد الطلب عليها باستمرار؛ نظرا لستيعابها

حجما كبيرا من المعلوما�ت في حيز محدود.

ل ال، وتكلف 150 بطاةقات جوال 5جـ) تكلف 10 ريا ريال.300بطاةقات أخرى

معدل الوحدة للبطاقا ت الثانية= =

1505

=معدل الوحدة للبطاقا ت الولى=301

30010

301

بما أن معدل الوحدة لكل منهما متساوي فإن النسبتين متكافئين.

ولدل ا، 12 شخصل ا منهم 16د) تتكون عائلة من أوالد .4 أشخاص منهم 8وعائلة أخرى من

16نسبة عد د الول د في العائلة الولى= = 12

43

8نسبة عد د الول د في العائلة الثانية= = 4

21

بما أن ناتج قسمة كل منهما بسط ا ومقام ا غير متساوي فإن النسبتين غير متناسبتين.

تأكـــــد

هل الكميات في كل زوج من النسب أو المعدالت التية متناسبة أم ال؟ فسر إجابتك، وعبر عن كل علةقة تناسبية في

صورة تناسب:

1

أيام.7 ريال في 52 أيام؛ ادخار 3 ريال في 24ادخار أيام.7 ريال في 52 أيام؛ ادخار 3 ريال في 24ادخار

الخدخار اللول= =

إذا النسبتين غير متناسبين ل ن أبسط صورة للنسبتين غير متسالويين.

243

1الخدخار الثاني= ل يوجد بينهما (ق.م.أ) غير

71

527

2

سعرا 450 وجبات طعام، 3 سعرا حراريا في 270 وجبات طعام.5حراريا في

سعرا 450 وجبات طعام، 3 سعرا حراريا في 270 وجبات طعام.5حراريا في

2

معدل الوحدة للنسبة اللولى= = اقسم 3بسط لومقام على

2703

901

معدل الوحدة للنسبة الثانية= = اقسم 5بسط لومقام على

4505

901

بما أ ن معدل الوحدة للنسبتين متسالويين؛ إذ ا النسبتين متناسبتين.

3

9 ريا ،ال9 ، 120 ساعات عمل مقابل 3 ريا ،ال��.360ساعات عمل مقابل

معدل الوحدة للنسبة اللولى= = اقسم 3بسط لومقام على

1203

401

معدل الوحدة للنسبة الثانية= = اقسم 9بسط لومقام على

3603

401

بما أ ن معدل الوحدة للنسبتين متسالويين؛ إذ ا النسبتين متناسبتين.

4

حركة 14 ثانية9 ، 60 حركة شهيق في 16 ثانية ��.15شهيق في

المعدل ن غير متناسبين لنه ل يوجد عدخد صحيح ليصبح البسط بسيط في 14 لينتج 16يقسم عليه

، إذ ا المعدل ن غير 4حين أ ن المقام قسم على متناسبين

تمرين ضغط 75يستطيع سلطان عمل - رياضة: 5 5 تمرين ا في 130 دقائق ويستطيع خليل عمل 3في

دقائق. فهل هذان المعدلن متناسبان؟ فسر إجابتك .

5

753

معدل الوحدة لتمارين سلطا ن= = اقسم بسط 3لومقام على

251

معدل الوحدة لتمارين خليل= = اقسم بسط 5لومقام على

1305

261

بما أ ن المعدل ن غير متسالويين؛ فإ ن المعدل ن غير متناسبين.