02d estudo analitico polinomios
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1
Curso de Matemática
UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Ana Cristina dos Santos Garcia
Elaine R. Marquezin Marinho
Rafael Cremm
Ricelli Pereira da Silva
Osasco
1º semestre / 2007
2
Centro universitário FIEO
Curso de Matemática
UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Trabalho apresentado para créditos
na disciplina de Pesquisas em
Matemática I sob orientação da
Profª. Drª. Élvia Mureb Sallum.
Ana Cristina dos Santos Garcia
Elaine R. Marquezin Marinho
Rafael Cremm
Ricelli Pereira da Silva
Osasco
1º semestre / 2007
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”Deus criou os números naturais, tudo o mais foi invenção do homem”
Leopold Kronecker (1886)
4
ÍNDICE
Resumo............................................................................................................................06
Introdução........................................................................................................................07
1.1 As Equações algébricas.............................................................................................08
1.1.1 A equação do 2º grau e a fórmula de Bháskara..................................................08
1.1.2 A equação do 3º grau e a fórmula de Cardano.......................................................09
1.1.3 A equação do 4º grau e a fórmula de Ferrari......................................................11
1.1.4 As equações de grau superior a quatro...............................................................12
Capítulo II........................................................................................................................14
2.1 Polinômios e equações polinomiais...........................................................................15
2.1.1 Polinômios..........................................................................................................15
2.1.2 Equações algébricas............................................................................................17
2.1.3 Propriedades de operações com polinômios.......................................................18
2.1.4 Divisão de polinômios........................................................................................19
2.1.5 Redução do grau de uma equação......................................................................23
2.2 Teorema Fundamental da Álgebra............................................................................25
2.3 Relações entre coeficientes e Raízes.........................................................................30
2.3.1 Equação do 2º grau.............................................................................................30
2.3.2 Equação do 3º grau.............................................................................................31
2.3.3 Equação de grau n (n>1)....................................................................................31
2.4 Teorema das raízes racionais.....................................................................................34
2.5 Teorema das raízes complexas..................................................................................36
2.6 Equação do 2º grau....................................................................................................38
2.6.1 Resolução da equação do 2º grau completando quadrados................................38
2.6.2 Fórmula de Bháskara..........................................................................................40
2.7 Trinômio do 2º grau...................................................................................................42
2.7.1 Estudo do sinal....................................................................................................43
2.8 Fórmula de Cardano..................................................................................................49
2.8.1 Análise das raízes de uma equação do 3º grau...................................................54
2.9 A equação do 4º grau.................................................................................................56
2.9.1 O método de Ferrari............................................................................................56
2.9.2 Resolução geral para um polinômio do 4º grau..................................................58
5
2.9.3 Conseguindo as quatro raízes.............................................................................59
Capítulo III......................................................................................................................61
3.1 Aproximação de raízes de uma equação polinomial por métodos numéricos...........62
3.1.1 Métodos iterativos para aproximação de zeros reais de funções.........................63
3.1.1.1 Método da Bissecção......................................................................................63
3.1.1.2 Método de Newton.........................................................................................67
3.2 Aplicações.................................................................................................................71
Referências bibliográficas...............................................................................................88
6
1.1 RESUMO
A Matemática, guardiã de uma riqueza inestimável, tem nos proporcionado aos
poucos desvendar alguns desses tesouros como, por exemplo, os polinômios e as
equações algébricas. O estudo analítico do tema, cujas idéias originais foram extraídas
das mais diversas publicações destinadas ao ensino de Álgebra, Cálculo Numérico e
História da Matemática e textos científicos disponíveis na internet, nos tem
proporcionado a construção de uma base teórica consistente acerca do surgimento das
fórmulas usadas na resolução de equações polinomiais do 2º ao 4º grau e da
impossibilidade de se determinar uma fórmula para resolver algebricamente equações
de grau superior a quatro, mesmo depois das muitas tentativas feitas por ilustres
matemáticos. Ainda, nos tem revelado os nomes dos verdadeiros descobridores dos
métodos de resolução das equações, que na grande maioria dos casos foram passados
para trás por colegas desleais que acabaram levando o mérito pelo feito de outro. Desta
forma, assim como no ponto de vista teórico foram frutíferas as descobertas; no ponto
de vista das aplicações não ficou a desejar, isto é, mostrou que o tema tem sua
relevância tanto na Matemática como no cotidiano e em outras áreas do conhecimento
científico; sobretudo, na Física e na Economia, possibilitando a estas ciências
determinar, por exemplo, a altura mínima necessária para uma pessoa saltar de bungee
jumping considerando sua massa, o comprimento e a resistência do elástico ou o lucro
máximo obtido com a venda de um produto; entre muitas outras aplicações.
7
INTRODUÇÃO
A presente pesquisa tem por objetivo o estudo analítico dos polinômios e das
equações polinomiais, resgatando os métodos de resolução das equações do 2º ao 4º
grau e identificando os motivos pelos quais não existe uma fórmula geral para resolver
as equações de grau maior ou igual a cinco.
Além disso, visa contribuir para o aprimoramento e/ou ampliação dos
conhecimentos científicos dos profissionais da Área de Exatas e, sobretudo dos
graduandos do curso de Matemática, acerca dos polinômios e das equações polinomiais.
Entretanto, para uma melhor compreensão do texto científico produzido aqui é
fundamental aos leitores um prévio conhecimento dos fundamentos matemáticos,
principalmente das operações algébricas com polinômios.
O leitor poderá verificar no terceiro capítulo, a grandiosidade de aplicações do
fenômeno estudado no campo da matemática, no dia-a-dia e em outras áreas do
conhecimento, contribuindo de maneira significativa no desenvolvimento das mesmas.
Para o leitor que aprecia uma boa história, em seguida apresentamos um breve
resumo das notas históricas que envolveram as equações polinomiais e seus métodos de
resolução.
8
1.1 AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Devido a registro muito antigos, os chamados papiros, sabemos que as equações
algébricas existem há aproximadamente 4000 anos. Foram várias as maneiras utilizadas
pelos egípcios para resolver tais equações. Mas foi a partir dos axiomas enunciados na
obra Os Elementos de Euclides que se chegou ao método de resolução da equação do 1º
grau utilizado até hoje. A obra de Euclides influenciou toda a produção científica
posterior a ela e é o livro-texto mais antigo e que continua em vigor até os dias atuais.
Os axiomas enunciados por Euclides no início dos Elementos e em que está
fundamentada a resolução das equações são:
i) Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si ( ca = e bacb =⇒= ).
ii) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem
iguais ( cbcaba ±=±⇒= ).
iii) A parte é menor que o todo ( *11Ν∈∀< m
m).
Além destes usamos também um outro axioma que não foi enunciado
diretamente por Euclides, mas que facilmente aceitamos sua veracidade:
iv) Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais
( bcacba =⇒= ).
Uma vez encontrada a maneira de resolver as equações do 1º grau, um grande
passo foi dado, pois como veremos mais adiante, os métodos utilizados para resolver as
equações de 2º e 4º graus foram obtidos na tentativa de se reduzir o grau da equação de
modo a deixá-la solúvel pelo método já encontrado.
1.1.1 Equações do 2º grau e a Fórmula de Bháskara
A fórmula que conhecemos como fórmula de Bháskara na verdade não foi
descoberta por Bháskara (1114-1185), ela foi publicada pelo matemático hindu Sridhara
um século antes de Bháskara em uma obra que não chegou até nós.
A fórmula amplamente conhecida e utilizada por todos nós, se fundamentou na
idéia de reduzir uma equação do 2º grau para uma equivalente do 1º grau, cuja solução
já era conhecida, utilizando para tanto a extração de raízes quadradas. Para isto os
hindus se basearam na técnica de completar quadrados, obtendo assim um quadrado
9
perfeito que envolvesse a incógnita, de modo que as operações usadas para obter este
quadrado perfeito sempre obedecessem aos axiomas de Euclides.
Desta forma, para reduzir o problema a um equivalente, mas agora com a
incógnita de 1º grau, bastava extrair as raízes quadradas. Mas o que não passou
despercebido aos hindus, como havia ocorrido com os babilônios, foi o fato de que tanto
números negativos quanto positivos quando elevados ao quadrado são sempre positivos.
Assim, temos duas alternativas: uma positiva e outra negativa e por isto a fórmula ficou
desta forma:
a
acbbx2
42 −±−=
As equações do 2º grau são solução de um problema clássico: encontrar dois
números conhecendo sua soma e seu produto, conforme pode ser verificado na página...
Da fórmula de Bháskara vieram duas contestações muito importantes:
1) Equações de grau maior que 1 poderiam ter mais de uma solução;
2) Em alguns casos a fórmula podia levar a uma raiz quadrada de um número
negativo, o que era desconhecido na época. Neste caso se dizia ser impossível
resolver tal equação.
E foi a partir da fórmula de Bháskara, no século XII, que se viu pela primeira
vez tal problema. Uma vez resolvido o problema das equações do 2º grau, os
matemáticos buscavam agora resolver as equações do 3º grau. Essa curiosidade
inesgotável levou os matemáticos a uma busca que durou séculos para ser cessada.
1.1.2 Equações do 3º grau e a fórmula de Cardano
Como sabemos, os grandes gênios são seres humanos com qualidades e defeitos,
como qualquer um de nós, e, o dom do intelecto não escolhe caráter. O que veremos a
seguir é um bom exemplo disto.
Conforme relatos da época consta que, por volta de 1510, Scipione Del Ferro,
um matemático italiano, encontrou uma fórmula para resolver as equações do 3º grau do
tipo 03 =++ qpxx , mas que morreu antes que pudesse publicar sua descoberta. Seu
discípulo, Antonio Maria Fior, que conhecia o método tentou se apropriar do mérito de
seu mestre. Na época eram comuns desafios entre os sábios e Fior decidiu desafiar
Tartaglia, que era bastante conhecido por seu talento.
10
Nicoló Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, nascido em Bréscia, na
Itália, teve uma vida marcada pelo infortúnio, uma infância tão pobre que não pôde
estudar, sua mãe não tinha dinheiro nem sequer para lhe comprar papel e tinta, mas
como Tartaglia tinha muito amor pelos estudos e uma imensa vontade de aprender,
decidiu fazê-lo por conta própria, utilizando para isto uns poucos livros que conseguia.
Desta maneira penosa, Tartaglia construiu sua cultura e anos mais tarde, ganhava seu
sustento como professor. Tartaglia publicou várias obras, mas sua história começou a
ser marcada a partir do desafio lançado por Fior.
O desafio consistia na solução de diversos problemas que um proporia ao outro,
e Fior, por ser o único a conhecer a solução da equação do 3º grau do tipo
03 =++ qpxx , pretendia apresentar questões relacionadas a ela. Tartaglia aceitou o
desafio e depois veio a saber que Fior detinha o método descoberto pelo professor
Scipione Del Ferro. Mais tarde, Tartaglia relatou “mobilizei todo o entusiasmo, a
aplicação e a arte de que fui capaz, objetivando encontrar uma regra para a solução
daquelas equações, que consegui a 10 de fevereiro de 1535”. Mas além de resolver as
equações do tipo 03 =++ qpxx , Tartaglia também encontrou uma fórmula geral para
resolver as equações do tipo 023 =++ qpxx , que Fior não conhecia.
Assim Fior saiu derrotado, pois não conseguiu resolver as questões propostas
por Tartaglia, que consistiam em solucionar equações do tipo 023 =++ qpxx . Na
verdade, Tartaglia não encontrou um método para resolver um tipo específico de
equação do 3º grau, pois como veremos no próximo capítulo, qualquer equação do 3º
grau pode ser escrita na forma 03 =++ qpxx , bastando para isto fazer uma
substituição do tipo myx += na equação original e calculando m de modo a cancelar o
termo de grau 2.
Nesta época, Gerolamo Cardano (1501-1576) italiano, talentoso cientista,
dedicado à astrologia e autor de várias obras, estava escrevendo um livro que englobaria
Álgebra, Aritmética e Geometria. Acreditando ainda na impossibilidade da resolução
das equações do 3º grau, Cardano não pretendia tocar no assunto em seu livro.
Quando Cardano ficou sabendo que Tartaglia havia encontrado a solução para o
problema, resolveu procurá-lo e pedir que revelasse seu método para ser publicado.
Tartaglia não aceitou a proposta de Cardano, alegando que pretendia publicar ele
mesmo mais tarde. Cardano voltou a procurar Tartaglia várias vezes e após juras de
fidelidade, conseguiu que ele revelasse seu segredo.
11
Como já era de se esperar, Cardano traiu todos os juramentos feitos a Tartaglia e
em 1545, publicou na Ars Magna sua fórmula, embora tenha feito vários elogios a
Tartaglia, acrescentou que alguns anos antes Scipione Del Ferro havia chegado aos
mesmos resultados.
Tartaglia publicou sua versão dos fatos e denunciou Cardano por trair
juramentos feitos sobre a Bíblia. Após trocar ofensas, o que prevaleceu foi que a
fórmula deduzida por Tartaglia, a qual ao invés de receber o seu nome é hoje conhecida
como Fórmula de Cardano. O mesmo que havia acontecido com a fórmula de Bháskara.
Mas o que nem Cardano, nem Tartaglia poderiam imaginar é que sua fórmula
traria mais perguntas do que respostas. A fórmula descoberta por Tartaglia exibia
apenas uma solução para a equação, mas se a fórmula de Bháskara dava as duas
soluções para a equação do 2º grau, não poderia a equação do 3º grau também ter mais
de uma solução? Outra questão que veremos mais detalhadamente no próximo capítulo
é que uma equação do 3º grau que tenha as três soluções reais, implica em trabalhar com
raiz quadrada de números negativos na aplicação da fórmula de Cardano, como na
época este tipo de operação não estava definida, este foi um problema que demorou
muito tempo para ser solucionado.
Felizmente, Rafael Bombelli (1526-1572), publicou em 1572 no livro L’Algebra
parte Maggiore dell’Arithmetica, algumas regras que criou para trabalhar com a raiz
quadrada da unidade negativa ( 1− ), o que não tinha simbologia que utilizamos hoje
mas que já era o início dos trabalhos com números complexos. A representação da 1−
por i é devida a Leonard Euler, que a propôs quase duzentos anos depois.
É importante esclarecer que a raiz quadrada dos números negativos apareceu
pela primeira vez na resolução de equações do 2º grau, mas que isto era tomado como a
impossibilidade de solução da mesma. Apenas quando chegamos à resolução das
equações do 3º grau é que isto se tornou um problema concreto, pois podemos
facilmente tomar exemplos de equações do 3º grau com soluções reais em que aparecem
as raízes de números negativos quando aplicamos a fórmula de Cardano.
1.1.3 Equações do 4º grau e a fórmula de Ferrari
12
Ludovico Ferrari (1522-1560), nascido em Bolonha, era de família muito
humilde e aos 15 anos de idade foi trabalhar como servo na residência de Cardano, o
qual percebendo sua notável inteligência, o promoveu a seu secretário.
Como já dissemos, os matemáticos daquela época tinham o costume de
promover desafios e um certo Zuanne de Tonini da Coi propôs a Cardano uma questão
que envolvia a equação:
036606 24 =+−+ xxx
Após inúmeras tentativas, Cardano não obteve êxito e passou a questão a seu
aluno Ferrari, que acabou por encontrar a fórmula geral para a solução das equações do
4º grau. Este método encontrado por Ferrari também foi publicado por Cardano na Ars
Magna, em continuidade à solução das equações do 3º grau.
No próximo capítulo veremos mais detalhadamente como Ferrari resolveu este
problema, mas o que podemos destacar em seu raciocínio, foi que ele buscou reescrever
a equação, usando as operações permitidas pelos axiomas de Euclides, de modo a obter
quadrados perfeitos e assim reduzir o problema a resolução de uma equação do 2º grau
que era possível usando a fórmula de Bháskara. Este método permite a exibição das
quatro raízes da equação, assim a fórmula de Bháskara permite a exibição das duas
raízes da equação do 2º grau.
A partir daí os matemáticos começaram a pensar, que se as equações do 2º grau
podem ter 2 soluções e as do 4º grau, 4 soluções, então uma equação de grau n possuiria
n soluções? Nada foi provado, mas eles acreditavam ser verdade e buscavam uma
maneira de demonstrar tal fato.
Foi apenas em 1.799 que o brilhante matemático alemão Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) apresentou como sua tese de doutorado o famoso Teorema Fundamental da
Álgebra que foi intitulado desta maneira pelo próprio Gauss. Este teorema dizia que
toda equação polinomial tem ao menos uma solução kx no campo complexo, e fazendo
as sucessivas divisões do polinômio pelo binômio )( kxx − , temos uma decomposição
em n fatores, sendo que n é o grau do polinômio. Estava assim provado que todo
polinômio de grau n possui exatamente n raízes, contando com as suas multiplicidades.
1.1.4 As equações de grau superior a 4
13
Desde que fora encontrada a solução das equações de grau 4 por Ferrari que o
desafio dos matemáticos neste campo passou a ser as equações de grau 5. Muitas foram
as tentativas e um jovem prodígio, Niels Henrik Abel (1802-1829) norueguês, acreditou
que havia conseguido tal façanha por volta de 1819, seus professores não conseguiam
encontrar nenhuma falha no processo desenvolvido por Abel, mas foi ele mesmo que
acabou descobrindo que sua solução estava incorreta.
A partir de então, resolver tais equações tornara-se uma questão de honra para
Abel. E após muito trabalho, por volta de 1823, demonstrou que, exceto em casos
particulares, de um modo geral é impossível resolver equações do 5º grau utilizando
apenas operações algébricas.
Infelizmente, Abel morreu sem que seu trabalho fosse devidamente reconhecido,
foi apenas em 1830 que a Academia de Ciências de Paris concedeu seu Grande Prêmio
a Abel pelas contribuições feitas por ele à Matemática. O teorema que diz que “O
polinômio geral de grau n não é solúvel por radicais se n ≥ 5”, que foi demonstrado por
Abel, é hoje conhecido como Teorema de Abel-Ruffini.
Outro gênio da Matemática que demonstrou a impossibilidade da resolução por
radicais das equações de grau superior a 4 foi Évariste Galois (1811-1832). Galois,
assim como Abel, chegou a acreditar que conseguira encontrar uma solução geral para
as equações de 5º grau, mas enquanto Abel usou apenas operações algébricas para
demonstrar a impossibilidade de uma solução geral para tais equações, Galois criou uma
nova teoria para fazer tal demonstração. Além disso, a teoria de Galois, não prova
apenas que as equações de grau superior a 4 não podem ser reolvidas em geral por
métodos algébricos, mas também porque as de grau inferior a 5 podem ser resolvidas
usando estes métodos.
Os estudos de Galois eram muito avançados para a época e os outros
matemáticos tinham uma certa dificuldade em entender seu raciocínio. A verdade é que
a Álgebra nunca mais foi a mesma depois de Galois, a Teoria dos Grupos, desenvolvida
por ele, é um dos mais importantes pilares da Matemática Moderna.
Não apresentaremos mais detalhes da Teoria dos Grupos neste trabalho por se
tratar de um tema muito complexo e que demandaria muito tempo, mas esperamos que
as explicações apresentadas tenham sido suficientes para convencer o leitor que de fato
não podemos resolver de uma maneira geral as equações com grau maior ou igual a
cinco.
14
CAPÍTULO II
O presente capítulo tem por objetivo mostrar as definições e propriedades
fundamentais para as operações com polinômios. Apresentaremos ainda algumas
demonstrações muito importantes no estudo dos polinômios como, por exemplo, o
algoritmo da divisão, o teorema das raízes racionais e das raízes complexas, as relações
entre coeficientes e raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra entre outros.
Quanto ao estudo das equações polinomiais, procuramos abordar de maneira
mais simples possível, as equações de 2º grau, relevando tópicos como o
completamento de quadrados, a fórmula de Bháskara e um breve estudo do sinal do
trinômio do 2º grau; além das demonstrações de métodos desenvolvidos para resolver
equações do 3º e 4º graus, respectivamente por Tartaglia e Ferrari.
15
2.1 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS
2.1.1 Polinômios
Veremos a seguir algumas definições e propriedades que serão de extrema
importância no desenvolvimento do trabalho.
Definição: Chamamos polinômio ou função polinomial na variável Cx ∈ (conjunto
dos números complexos) a função: 0
02
21
1)( xaxaxaxaxP nn
nn ++++= −
− K ,
onde n é um número natural e 01 ,,, aaa nn K− são números complexos, denominados
coeficientes do polinômio.
As parcelas da forma Ν∈kxa kk , , são chamadas de termos do polinômio e, em
particular, 0a é denominados termo independente. O grau de um polinômio P(x) não
nulo, que indicaremos por )(xP∂ , é o maior dos expoentes de x que tem coeficiente não
nulo. Contudo, quando o polinômio for nulo, seu grau não é definido.
Exemplos:
1) 13215)( 23 −+−= xxxxP constitui um polinômio de grau 3 e coeficientes:
1,3,21,5 0123 −==−== aaaa
2) 0000)( 234 +++= xxxxP constitui um polinômio nulo, pois todos os coeficientes
são iguais a zero.
3) 1)( 22 ++= − xxxP não constitui um polinômio, pois um de seus expoentes é
Ν∉− 2 .
Definição: O valor numérico de um polinômio corresponde ao valor obtido pela
substituição da variável de um polinômio por um número Cx ∈0 .
Exemplo:
Dado 432)( 3 +−= xxxP , o valor de P(x) para x=1 é:
16
3)1(4)1(3)1(2)1( 3 =⇒++= PP
Definição: Um número complexo 0x é raiz ou zero do polinômio P(x) se, e
somente se, 0)( 0 =xP , ou seja,
0)( 0012
021
0100 =+++++= −− axaxaxaxaxP n
nn
n K
Exemplo:
Dado 652)( 23 −−+= xxxxP , verificar se x=3 é raiz do polinômio.
De fato,
6)3(5)3(2)3()3( 23 −−−−+−=−P
Como P(-3)=0, então –3 é raiz de P(x).
Propriedade: Sejam as funções polinomiais:
011
1
011
1
)(
)(
bxbxbxbxB
axaxaxaxAn
nn
n
nn
nn
++++=
++++=−
−
−−
K
K e
Então A(x) e B(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos de
mesmo grau forem iguais, isto é,
001111 ,,,, babababa nnnn ==== −− K
Demonstração por indução finita sobre o grau do polinômio:
1º passo:
A propriedade é verdadeira para n=1, pois:
Cxbaxbabxbaxa ∈∀=−+−⇔+=+ 0)()( 00110101
-se 0=x ,
0000 0 baba =⇔=−
- se 0≠x , derivando a equação 1 vez, temos:
1111 0 baba =⇔=−
2º passo:
Suponhamos que a propriedade vale para n=k:
kibabxbxbaxaxa iik
kk
kk
kk
k ...,,1,0,01
101
1 =∀=⇔+++=+++ −−
−− KK
17
Vejamos se vale para n=(k+1)
0)()()( 001
11
01
101
1
=−++−+−⇔
⇔+++=++++
++
++
++
baxbaxba
bxbxbaxaxak
kkk
kk
kk
kk
kk
kk
K
KK
derivando a equação k vezes, temos:
0)()1()()1()1( 11 =−−+−−+ ++ kkkk bakkxbakkk KK
pela HI temos que kk ba = , logo, a equação fica:
0)()1()1( 11 =−−+ ++ xbakkk kkK
como a expressão é válida para todo x e 11,),1(,),1( ≥−+ Kkkk temos que:
1111 0)( ++++ =⇔=− kkkk baxba
logo, dos 1º e 2º passos, pelo Processo de Indução Finita, concluímos que nn ba = .
2.1.2 Equações Algébricas
Definição: Chamamos equação polinomial ou algébrica na variável ,Cx ∈ toda
equação escrita na forma ,0)( =xP onde:
• ;0,)( 011
1 ≠++++= −− n
nn
nn aaxaxaxaxP K
• 011 ,,,, aaaa nn K− são coeficientes complexos e *Ν∈n a potência de x ,
cujo maior valor determina o grau da equação.
•
Exemplos:
1) 0152 24 =++ xx ( equação polinomial do 4° grau na variável x e
coeficientes 1,0,5,0,2 ).
2) 03)2(3 2 =−−+ yiiy ( equação polinomial do 2° grau na variável y e
coeficientes 3,2,3 −− ii ).
Definição: Uma raiz de uma equação polinomial ,0)( =xP é um número
complexo ,0x tal que .0)( 0 =xP
O conjunto de todas as raízes da equação polinomial é chamado de conjunto
solução (ou conjunto verdade) e designaremos por .S
18
Exemplos:
1) Verificar se S={3, -2i, 2i} é o conjunto solução da equação
.01243 23 =−+− xxx
Solução:
• 3 é raiz, pois 012)3(4)3(33 23 =−+− .
• -2i é raiz, pois 012)2(4)2(3)2( 23 =−−+−−− iii
• 2i é raiz, pois 012)2(4)2(3)2( 23 =−+− iii
• Logo, S={3, -2i, 2i}.
2.1.3 Propriedades de operações com polinômios
Sejam A, B e C três polinômios na variável Cx ∈ , valem as seguintes propriedades:
ACABCBADBAABM
CABBCAMAAA
AAAABBAA
CBACBAA
+≡+≡
≡≡−+
≡++≡+
++≡++
)(::
)()(:0)(:
0::
)()(:
2
1
4
3
2
1
onde 0 é o polinômio nulo.
Observações:
I) A adição e a subtração de dois ou mais polinômios são feitas somando ou subtraindo
os coeficientes dos termos de mesmo grau.
II) A multiplicação é feita por meio da propriedade distributiva, que consiste na
multiplicação de cada termo de A(x) por todos os termos de B(x), por exemplo,
reduzindo-se então os termos semelhantes.
Exemplos:
1)Dados 13)(32)( 223 +−=−−= xxxBexxxA , obter o polinômio S(x) tal que
S(x)=A(x)+B(x).
Solução:
222)()13()32()(
23
223
−−+=⇒
+−+−−=
xxxxSxxxxxS
19
2) Considerando os polinômios A(x) e B(x) do exemplo anterior, obter o polinômio
A(x)-B(x).
Solução:
442)()()13()32()()(
23
223
−+−=−⇒
+−−−−=−
xxxxBxAxxxxxBxA
3) Sejam 33)(23)( 232 +−=+−= xxxBexxxA , obter o polinômio P(x)=A(x)B(x).
Solução:
693116)(66299333
)33(2)33(3)33()33)(23()(
2345
2334245
2323232
232
+−−+−=
+−+−+−+−=
+−++−−+−=
+−+−=
xxxxxxPxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxP
2.1.4 Divisão de polinômios
Definição: Dados dois polinômios, reais ou complexos, A(x) e B(x), B não nulo,
dividir A(x) por B(x) significa encontrar um par de polinômios, reais ou complexos,
Q(x) e R(x) tais que:
)()()()( xRxQxBxA +=
)()(
)()(
xQxR
xBxA
Teorema 2.1.1: O quociente Q(x) e o resto R(x) com BR ∂<∂ da divisão de A(x)
por B(x), B não nulo, existem e são únicos.
Demonstração:
Consideremos:
011
1
011
1
)(
)(
bxbxbxbxB
axaxaxaxAm
mm
m
nn
nn
++++=
++++=−
−
−−
K
K ,
00
≠≠
m
n
ba
1º caso: n < m
Como o grau de A(x) é menor que o grau de B(x), então Q(x)=0 e R(x)=A(x).
Ou seja:
20
)()(0)( xAxRexQBA ==⇒∂<∂
Exemplo:
Dados os polinômios 134)(532)( 232 ++=++= xxxBexxxA . Da divisão de A(x)
por B(x) obtemos:
0532
134|5322
232
++
++++
xx
xxxx
)(532)(0)( 2 xAxxxRexQ =++==
Caso geral: n ≥ m
Existência:
Consideremos os monômios mm
nn xbexa de mais alto grau em A(x) e B(x),
respectivamente. A partir da divisão de A(x) por B(x), obtemos:
)(
)(|)(
1
0
xRxQ
xBxAmn−
onde )()()( 010 xBxQxAxRexbaxQ mnmn
m
nmn −−− −=∴=
O polinômio 1R é chamado de primeiro resto parcial. Como:
=1R )()( 011
1011
1 bxbxbxbxbaaxaxaxa m
mm
mmn
m
nnn
nn ++++−++++ −
−−−
− KK
Fazendo a distributiva e um agrupamento adequado dos termos temos o
cancelamento de nnxa . Isto implica que )(1 xApR ∂<=∂ . Assim:
011
11 cxcxcxcR pp
pp ++++= −
− K
Agora, consideremos os monômios mm
pp xbexc . Através da divisão de )(1 xR
por B(x), temos:
)(
)(|)(
2
1
1
xRxQ
xBxRmp−
onde )()()( 1121 xBxQxRxRexbc
xQ mpmp
m
pmp −−− −=∴=
21
O polinômio )(2 xR é o segundo resto parcial e pode ser escrito da seguinte
forma:
)()()( 011
1011
12 bxbxbxbxbc
cxcxcxcxR mm
mm
mp
m
ppp
pp ++++−++++= −
−−−
− KK
onde o termo pp xc também é cancelado. Ou seja, )(12 xRkR ∂<=∂ . Assim,
011
12 )( dxdxdxdxR kk
kk ++++= −
− K
Aplicando a divisão parcial t vezes, teremos:
)()()( 11 xBxQxRxR msttt
−−− −=
onde BRt ∂<∂ .
Desta forma,
)()(
])[()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)(
110
11
112
01
xRxR
xQxQxQxBxAxR
xBxQxRxR
xBxQxRxR
xBxQxAxR
t
xQ
mst
mpmnt
msttt
mp
mn
=
+++−=
−=
−=
−=
−−
−−
−−−
−
−
444444 3444444 21K
M
Ou seja,
R(x)=A(x)-B(x)Q(x)
Unicidade:
Suponhamos que existam dois quocientes )()( 21 xQexQ e dois restos
)()( 21 xRexR , respectivamente, na divisão de A(x) por B(x) com BRi ∂<∂ , isto é,
)()()()()()()()(
22
11
xRxBxQxAxRxBxQxA
+=+=
e
Temos:
)()()())()(()()()()()()(
1221
2211
xRxRxBxQxQxRxBxQxRxBxQ
−=−+=+
Como BRR ∂<−∂ )( 12 , então )()(0)()( 2121 xQxQexQxQ =∴=−
Conseqüentemente, )()( 21 xRxR = .
É importante ressaltar que toda a discussão acima é valida tanto para polinômios
reais quanto complexos.
22
Exemplo:
Vamos dividir A(x)= 5323 234 −+−+ xxxx por B(x)= 12 +x .
Assim temos que:
5342)1(3)5323(
)(3)()(
23
22234
21
−+−=
+−−+−+=
−=
xxxxxxxxx
xBxxAxR
1)1(4)54(
)()4()()(
54)1(2)5342(
)(2)()(
2223
2
22312
−=++−+−=
−−=
−+−=
+−−+−=
−=
xxxx
xBxRxR
xxxxxxx
xxBxRxR
Como o grau de )(3 xR é menor que o grau de B(x), o processo está encerrado e
obtemos como quociente 423)( 2 −+= xxxQ e o resto 1)( −= xxR .
Abaixo seguem os cálculos feitos pelo método da chave.
1
4454
225342
42333
1|5323
2
2
3
23
224
2234
−
+
−+−
−−
−+−
−+−−
+−+−+
x
xxx
xxxxx
xxxx
xxxxx
Corolário 1: O polinômio P(x) é divisível por )( 0xx − se, e somente se, 0x é
raiz de P(x).
Demonstração:
Aplicando o Teorema 2.1.1 podemos escrever:
P(x)=A(x)Q(x)+R(x)
Onde 0)( xxxA −= , então
)()()()( 0 xRxQxxxP −−=
23
Assumindo que 0xx = , temos
)()()(0)(
00
00
xRxPxRxP
=+=
Assim, pela definição de raiz de um polinômio:
0)(0)( 00 =⇔= xRxP
Corolário 2: Se P(x) é divisível separadamente por )()( 10 xxexx −− , com
10 xx ≠ , então P(x) é divisível por ))(( 10 xxxx −− .
Demonstração:
Como o grau do divisor ))(( 10 xxxx −− é dois, então o grau do resto R(x), pelo
Teorema 2.1.1, da divisão de P(x) por ))(( 10 xxxx −− é no máximo um. Assim
consideramos baxxR +=)( .
Desta forma, temos:
CxbaxxQxxxxxP ∈∀++−−= )()())(()( 10
Como P(x) é divisível por )( 0xx − , então 0)( 0 =xP , ou seja,
bax
CxbaxxQxxxxxP+=
∈∀++−−=
0
0010000
0)()())(()(
(1)
E, como P(x) é divisível por )( 1xx − , então 0)( 1 =xP , ou seja,
baxCxbaxxQxxxxxP
+=∈∀++−−=
1
1111011
0)()())(()(
(2)
De (1) e (2), temos:
=+=+
00
1
0
baxbax
Subtraindo as equações temos:
0)( 10 =− xxa
Como 10 xx ≠ , segue que a=0, conseqüentemente, b=0. Logo, se 10 xx ≠ e se
P(x) é divisível por )( 0xx − e por )( 1xx − , então P(x) é divisível por ))(( 10 xxxx −− .
2.1.5 Redução do grau de uma equação
24
Dada a equação algébrica
0)( 011
1 =++++= −− axaxaxaxP n
nn
n K
A resolução desta equação pode ser facilitada se for decomposta em fatores
kx − onde k é raiz da equação.
Vimos que se k é raiz de ,0)( =xP então )(xP é divisível por kx − , isto é,
)()()( xQkxxP ⋅−=
onde )(xQ é o quociente da divisão de )(xP por kx − e possui grau ,1−n ou seja,
uma unidade inferior ao grau de )(xP .
Assim, de posse da raiz de ,0)( =xP pode-se reduzir a equação original e a
busca passa a ser pelas raízes de .0)( =xQ
Desta forma, a questão é determinar uma raiz de .0)( =xP Contudo, pode
ocorrer de recair numa nova equação ,0)( =xQ cuja resolução pode não ser tão simples.
Exemplos:
1) Resolver a equação .0410105 234 =+−+− xxxx
Solução:
Note que a soma dos coeficientes da equação é igual a zero, ou seja, 1 é raiz da
equação.
Logo, podemos dividir a equação por .1−x
Assim, obtemos .464)( 231 −+−= xxxxQ Agora, devemos resolver .0)(1 =xQ
Por “inspeção” encontramos 2 como raiz dessa equação. Logo, )(1 xQ é divisível por
2−x , ou seja,
25
Assim, obtemos .22)( 22 +−= xxxQ Resolvendo ,0)(2 =xQ obtemos
iei −+ 11 como raízes.
Logo, a equação original 0410105 234 =+−+− xxxx tem como raízes .1,1,2,1 ii −+
2.2 Teorema Fundamental da Álgebra
Todo polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 possui pelo menos uma
raiz complexa.
Demonstração:
Embora este Teorema seja fundamental para a Álgebra, é na Análise que
buscaremos elementos para a sua demonstração. Para isto nos basearemos na
continuidade das funções polinomiais complexas.
A idéia utilizada aqui é a mesma empregada para provar que toda função
polinomial de grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Pois, se uma função é contínua
num intervalo, então ela assume todos os valores entre os valores assumidos nas
extremidades.
Seja CCP →: uma função polinomial complexa dada por:
CxaxaxaxaxP nn
nn ∈∀++++= −
− 011
1)( K
onde 011 ,,,, aaaa nn K− são números complexos. Esta função associa a cada ponto do
plano complexo sua imagem, que também é um ponto do plano complexo. Devemos
mostrar que existe 0x tal que 0)( 0 =xP .
Para entender o que acontece com a imagem de P(x), vamos considerar as
imagens de círculos no plano complexo com centro na origem. Devido à continuidade
de P(x), a imagem de uma curva contínua e fechada, deve ser outra curva contínua e
26
fechada. Mas isto não implica que a curva imagem seja uma curva simples, ou seja, ela
pode se cruzar.
Vejamos o que acontece com a imagem de um círculo rx = através do
polinômio:
2)( 2 ++= xxxP
Escrevendo x na forma trigonométrica dos números complexos temos:
2)sen(cos)2sen2(cos2)sen(cos))sen(cos()(
2
2
++++=
++++=
θθθθ
θθθθ
iriririrxP
Quando x percorre o círculo de raio r, θ varia de 0 a 2π , enquanto que 2θ
varia de 0 a 4π . Assim, enquanto x percorre uma vez o círculo de raio r, 2x percorre
duas vezes o círculo de centro na origem e raio 2r .
Embora não seja simples descrever o comportamento desta soma, é fácil ver o
que acontece nos extremos, quando r é muito pequeno ou muito grande.
Quando r está próximo de zero, 2r é muito menor que r, logo x dita o
comportamento de P(x). Assim, a curva descrita por P(x) é um círculo de centro 2 e
levemente desvia do pela ação de 2x .
Para r grande, o comportamento de P(x) é ditado por 2x , assim a curva descrita
por P(x) é um círculo de centro na origem e raio 2r , percorrido duas vezes, e
ligeiramente perturbado pelos outros dois termos da equação.
Tomando dois exemplos: 321
== rer , temos:
27
Para valores de r próximos de zero, a curva é fechada em torno do complexo
2+0i. Assim, para valores pequenos de r, a origem fica externa à curva descrita por P(x).
Para valores grandes de r, a curva se comporta como um círculo de centro na origem,
logo a origem está interna à curva. Mas, sabemos pela continuidade que, a curva
descrita por P(x) evolui continuamente quando r cresce, portanto, podemos concluir que
para passar do exterior para o interior da curva, a origem tem que pertencer à curva para
algum r. Na equação dada, isto ocorre para 2=r . Ou seja, existe um complexo 0x de
módulo 2 cuja imagem )( 0xP é a origem, e portanto, P(x)=0 tem uma solução.
De fato, as raízes de P são:
2
71 i±−
O mesmo se aplica para:
CxaxaxaxaxP nn
nn ∈∀++++= −
− 011
1)( K
Para r pequeno, se x descreve um círculo de raio r e centro na origem, P(x)
descreve uma curva fechada em torno de 0a e com a origem em seu exterior. Para r
grande, a curva descrita por P(x) dá n voltas em torno da origem, logo, para passar da 1ª
para a 2ª situação, é necessário que, em algum momento, a origem pertença à curva.
Logo, toda equação polinomial possui pelo uma raiz complexa.
Teorema 2.1.2: Todo polinômio P(x) de grau n, 1≥n , pode ser escrito na
forma:
)())()(()( 321 nn xxxxxxxxaxP −−−−= K
onde nxxx ,,, 21 K são raízes do polinômio.
Demonstração:
Seja 00
22
11)( xaxaxaxaxP n
nn
n ++++= −− K , Cx ∈ . Pelo Teorema
Fundamental da Álgebra (TFA), P(x) admite ao menos uma raiz complexa; logo se 1x é
raiz da equação P(x)=0, então P(x) é divisível por )( 1xx − . Desta forma,
)()()( 11 xQxxxP −= (1)
onde )(1 xQ é um polinômio de grau (n-1), e se 1)1( ≥−n , então )(1 xQ possui pelo
menos uma raiz complexa, logo se 2x é raiz da equação 0)(1 =xQ , então temos que:
28
)()()( 221 xQxxxQ −= (2)
Substituindo (2) em (1) obtemos:
)())(()( 221 xQxxxxxP −−=
onde )(2 xQ possui grau (n-2). Aplicando sucessivamente o TFA temos:
)())()(()( 21 nn xxxxxxxQxP −−−= K
onde )(xQn tem grau nulo. Da identidade
0121 )())()(( axaxaxxxxxxxQ nnnn ++=−−− KK
temos que nn axQ =)( . Logo,
)())()(()( 321 nn xxxxxxxxaxP −−−−= K
Corolário3: A menos da ordem dos fatores, a decomposição de P(x) em n
fatores é única.
Demonstração:
Supondo que o polinômio 00
22
11)( xaxaxaxaxP n
nn
n ++++= −− K , admita duas
decomposições, ou seja,
)())()(()( 321 nn xxxxxxxxaxP −−−−= K (1)
)())()(()( 321 mm rxrxrxrxbxP −−−−= K (2)
Aplicando a distributiva em ambos os polinômios, obtemos:
)]()1()1()()([)( 212
1111
1 nnkn
kkn
nnn
nn
n xxxxSxxxxxxxxxaxP KKKK −+−+++++++−= −−−
−
ou seja,
)]()1[()( 21 nn
nkn
knn
n xxxaxSaxaxP K−+−= −
e, analogamente para (2) temos:
)]()1[()( 21 mm
mkm
kmm
m xxxbxSbxbxP K−+−= −
Assim, obtemos a seguinte igualdade:
)]()1[()]()1[( 2121 mm
mkm
kmm
mnn
nkn
knn
n xxxbxSbxbxxxaxSaxa KK −+−=−+− −−
Da identidade de polinômios temos que
mn baemn ==
Desta forma,
29
)())(()())(( 2121 mn rxrxrxxxxxxx −−−=−−− KK (3)
Adotando 1xx = temos:
},,2,1{0)()())((0
1
12111
njrxrxrxrx
j
m
K
K
∈=−−−−=
Alterando, convenientemente a ordem dos fatores, podemos obter 11 rx =
Assim, teremos em (3)
)())(()())(( 2121 mn rxrxxxxxxxxx −−−=−−− KK
ou seja,
)())(()())(( 3232 mn rxrxrxxxxxxx −−−=−−− KK
Analogamente, obtém-se },,2,1{, njirx ji K∈∀= . Conseqüentemente, para
mnmn rxrxbamn ==== ,,,, 11 K . Temos, portanto, a unicidade da decomposição.
Observação:
Na decomposição do polinômio P(x), Cx ∈ pode ocorrer de um mesmo fator
)( α−x se repetir m vezes. Neste caso diz-se que α é uma raiz de multiplicidade m do
polinômio P(x) ou da equação P(x)=0. Se o fator )( α−x , aparece uma única vez, diz-se
que α é uma raiz simples da equação P(x)=0.
Além disso, P(x) é divisível por cada um de seus fatores.
Exemplos:
1) Fatorar o polinômio 6555)( 234 −++−= xxxxxP sabendo que suas raízes são –
1, 1, 2 e 3.
Solução:
Sabemos que P(x) pode ser escrito da seguinte forma:
))()()(()( 4321 xxxxxxxxaxP n −−−−= , assim temos,
)3)(2)(1))(1((1)( −−−−−= xxxxxP
2) Sabendo que 1, 3 e 5 são raízes da equação 015383210 234 =+−+− xxxx , onde
1 é raiz com multiplicidade 2, fatore a equação.
30
Solução:
))()()(()( 4321 xxxxxxxxaxP n −−−−=
Assim, )5)(3)(1)(1(1)( −−−−= xxxxxP , ou seja,
)5)(3()1()( 2 −−−= xxxxP
2.3 Relações entre coeficientes e raízes
As relações entre os coeficientes reais ou complexos de uma equação polinomial
e suas raízes são muito usadas quando, embora não se conheça nenhuma raiz da
equação, são dadas algumas informações acerca das mesmas como, por exemplo, “uma
raiz é o oposto da outra”; “uma raiz é o inverso da outra”, etc.
As relações entre coeficientes e raízes são também chamadas de relações de
Girard.
2.3.1 Equação do 2º grau
Consideremos a equação de 2º grau,
002 ≠=++ acbxax (1)
onde a, b e c são coeficientes complexos para todo Cx ∈ .
Como a equação (1) possui duas raízes (em C), ou seja, 21 xex , então pelo
Teorema da Decomposição, temos:
00))(( 21 ≠=−− axxxxa (2)
De (1) e (2) temos a identidade:
0))(( 212 ≠−−=++ axxxxacbxax
Dividindo ambos os membros por a, temos:
0))(( 212 ≠−−=++ axxxx
acx
abx
Aplicando a distributiva no 2º membro, temos:
212122 )( xxxxxx
acx
abx ++−=++
e, da identidade de polinômios, vem que:
31
acxx
abxx
=
−=+
21
21
que correspondem às relações de Girard para a equação do 2º grau.
2.3.2 Equação do 3º grau
Dada a equação de 3º grau:
0023 ≠=+++ adcxbxax (1)
Como a equação (1) admite três raízes (em C), ou seja, 321, xexx , então, pelo
Teorema da Decomposição, temos:
00))()(( 321 ≠=−−− axxxxxxa (2)
De (1) e (2), temos a identidade:
0))()(( 32123 ≠−−−=+++ axxxxxxadcxbxax
Dividindo ambos os membros por a:
0))()(( 32123 ≠−−−=+++ axxxxxx
adx
acx
abx
Aplicando a distributiva no 2º membro temos:
3213231213
321323 )()( xxxxxxxxxxxxxxx
adx
acx
abx −+++++−=+++
Da identidade de polinômios, temos que:
adxxx
acxxxxxx
abxxx
−=
=++
−=++
321
323121
321
2.3.3 Equação de grau n ( 1≥n )
Consideremos a equação polinomial
)0(001
1 ≠=+++ −− n
nn
nn aaxaxa K
onde naaa ,,, 10 K são coeficientes complexos para todo Cx ∈ . Assim, sejam
),,,( 21 nxxx K as raízes dessa equação. Pelo Teorema da Decomposição, temos:
32
00))(())(( 121 ≠=−−−− − nnnn axxxxxxxxa K
Assim obtemos a identidade:
))(())(( 121011
1 nnnn
nn
n xxxxxxxxaaxaxaxa −−−−=++++ −−
− KK
Dividindo ambos os membros da igualdade por na , temos:
))(())(( 1210111
nnnn
n
n
nn xxxxxxxxaax
aax
aax −−−−=++++ −
−− KK
Aplicando a distributiva no 2º membro, temos:
CxxxxxSxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxaax
aax
aax
nnkn
kkn
nnn
nnn
nnn
n
nn
n
n
nn
∈∀−++−+++++−
−++++++++−=++++
−−−−
−−
−−
−−
)()1()1()(
)()(
213
12421321
213121
1121
0111
KKKK
KKK
Da identidade de polinômios temos:
n
nnn
n
knkk
n
nnnn
n
nnn
n
nn
aaxxxxx
aaS
aaxxxxxxxxx
aaxxxxxx
aaxxxx
01321
312421321
213121
1321
)1(
)1(
−=
−=
−=+++
=+++
−=++++
−
−
−−−
−−
−
K
M
M
K
K
K
que são as relações de Girard para uma equação polinomial de grau 1≥n .
Exemplos:
1) Resolver a equação 0254 23 =−+− xxx , sabendo que uma das raízes é o
inverso da outra.
Solução:
Sendo 321, xexx as raízes, temos:
2)(5)(
4)(
321
323121
321
==++
=++
xxxiiixxxxxxii
xxxi
33
Do enunciado temos que 1
21x
x = . Assim em (iii) temos:
22.1. 331
1 =⇒= xxx
x
Como 23 =x é uma das raízes da equação, podemos baixar o grau desta equação
fazendo a divisão de 254 23 −+− xxx por 2−x . Assim,
022
42252
122
2|254
2
2
223
23
+−−
−
−+−
+−+−
−−+−
xx
xxxx
xxxx
xxxx
Podemos então escrever:
)2)(12(254 223 −+−=−+− xxxxxx
Resolvendo a equação 122 +− xx por Girard:
12
21
21
==+
xxxx
Como 1
21x
x = , então, 121 == xx .
Assim, as raízes da equação dada são 1 (raiz dupla) e 2 (raiz simples).
S={1, 2}
2) Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como “o homem que
calculava”, o sistema de equações:
=
=++
=++
151
21
3037
321
323121
321
xxx
xxxxxx
xxx
e ele rapidamente respondeu: “Uma solução do sistema é 52,
21,
31
321 === xxx .” Em
seguida perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes da equação
34
02153730 23 =−+− xxx ? De pronto ele respondeu corretamente. Qual foi a sua
resposta?
Solução:
“O homem que calculava” certamente notou que o sistema de equações que lhe
foi apresentado correspondia às relações de Girard da equação do terceiro grau
02153730 23 =−+− xxx . Então, ligando os fatos e já tendo descoberto as raízes,
bastava elevar cada uma ao seu quadrado e depois soma-las, ou seja,
222
23
22
21 5
221
31
+
+
=++ xxx
obtendo como resposta o valor de 900469 .
2.4 Teorema das raízes racionais
Teorema 2.4.1: Se ,0,)( 011
1 ≠++++= −− n
nn
nn aaxaxaxaxP K com
coeficientes inteiros, possui raiz racional ( )qp com *Ζ∈p e ,*Ζ∈q ,1),( =qpmdc
então p é divisor de 0a e q é divisor de .na
Demonstração:
Por hipótese, temos que ( )qp é uma raiz não nula de ).(xP Logo,
001
1
1 =+
++
+
=
−
− aqpa
qpa
qpa
qpP
n
n
n
n K (1)
Multiplicando a equação acima por ,nq obtemos
001
11
1 =++++ −−−
nnnn
nn qapqapapa K (2)
Isolando na equação (2) o termo ,n
n pa temos
( )10
21
22
11
−−−−
−− ++++−= nnn
nn
nn
n qapqapapaqpa K (3)
Isolando na equação (2) o termo ,0
nqa temos: ( )1
12
11
0−−
−− +++−= nn
nn
nn qapapapqa K (4)
35
Como Ζ∈qpaaa n ,,,,, 10 K , então
( ) Ζ∈++++= −−−−
−−
10
21
22
111
nnnn
nn qapqapapak K ;
( ) Ζ∈+++= −−−
− 11
21
12
nnn
nn qapapak K
Retomando (3) e (4), respectivamente, temos
Ζ∈−= 1kqpa n
n e Ζ∈−= 20 kpqa n
Ou seja, nn pa é divisível por q e nqa0 é divisível por .p Como np e q são
primos entre si e, também, nq e p são primos entre si, segue que q é divisor de na e
p é divisor de .0a
Exemplos:
1) Determinar a raiz racional da equação polinomial
.062)( 234 =−−++= xxxxxP
Resolução:
Pelo teorema, se qp for uma solução da equação, então p é um divisor de
60 −=a e q é
um divisor de .14 =a Ou seja, { }3,2,1 ±±±∈p e { }.1±∈q Assim, { }.3,2,1 ±±±∈qp
Substituindo cada possível raiz qp no polinômio )(xP , obtemos:
3611)1(21)1( 234 −=−−++=P
56)1()1()1(2)1()1( 234 −=−−−−+−+−=−P
28622)2(22)2( 234 =−−++=P
06)2()2()2(2)2()2( 234 =−−−−+−+−=−P
135633)3(23)3( 234 =−−++=P
336)3()3()3(2)3()3( 234 =−−−−+−+−=−P
Ou seja, a raiz racional procurada é 2.
2) Resolver a equação .061392)( 23 =+++= xxxxP
Solução:
36
Pelo teorema das raízes racionais,se existir uma raiz racional qp , temos que
{ }3,2,1 ±±±∈p e { }.2,1 ±±∈q Logo, { }.23,3,2,1 ±±±±∈qp
Como todos os coeficientes de )(xP são positivos, então podemos excluir as
possíveis raízes qp positivas. Assim, { }.23,3,2,1 −−−−∈qp
Verificando se uma delas é raiz de )(xP , temos
06)1(13)1(9)1(2)1( 23 =+−+−+−=−P
06)2(13)2(9)2(2)2( 23 =+−+−+−=−P
66)3(13)3(9)3(2)3( 23 −=+−+−+−=−P
062313
239
232
23 23
=+
−
+
−
+
−
=
−P
Assim, obtemos as três raízes .23,2,1 321 −=−=−= xxx Portanto, o conjunto
solução { }2/3,2,1 −−−=S .
3) Verificar se o polinômio 1)( 23 −++= xxxxP possui raiz racional.
Solução:
Pelo teorema das raízes racionais, se existir uma raiz racional qp , esta deverá ser
1 ou –1, verificando as duas possibilidades temos:
21)1()1()1()1( 23 −=−−+−+−=−P
21)1()1()1()1( 23 =−++=P
e portanto podemos concluir que o polinômio não possui raiz racional.
2.5 Teorema das raízes complexas
Teorema 2.5.1: Se um número complexo ),0( ≠+= bbiaz é raiz de uma
equação polinomial ,0)( =xP com coeficientes reais, então o complexo conjugado
)0( ≠−= bbiaz também é raiz da equação.
Demonstração:
37
Seja ),0(0)( 011
1 ≠=++++= −− n
nn
nn aaxaxaxaxP K com coeficientes
reais.
Da hipótese, temos )0( ≠+= bbiaz é raiz da equação, isto é, .0)( =zP Logo,
0011
1 =++++ −− azazaza n
nn
n K
Assim,
0011
1 =++++ −− azazaza n
nn
n K
A partir de uma das propriedades do conjugado 2121 zzzz +=+ , temos
0011
1 =++++ −− azazaza n
nn
n K
Da propriedade do conjugado 11 zkkz = e ,kk = temos
0011
1 =++++ −− azazaza n
nn
n K
Da propriedade do conjugado ,)( nn zz = obtemos
0)()( 011
1 =++++ −− azazaza n
nn
n K
ou seja, ,0)( =zP isto é, z também é raiz da equação .0)( =xP
Exemplo:
Determinar as raízes da equação .043 =+ xx
Solução:
Fatorando a equação, temos
ixouxxouxxx 200400)4( 22 ±==⇔=+=⇔=+
Logo, { }.2,2,0 iiS −=
Teorema 2.5.2: Toda equação polinomial de grau )1( ≥nn admite n e,
somente n , raízes complexas, contando com suas multiplicidades.
Demonstração:
Seja a equação polinomial
).0(0)( 011
1 ≠=++++= −− n
nn
nn aaxaxaxaxP K
Pela demonstração do Teorema da Decomposição, vimos que a equação
0)( =xP admite como raízes nn xxxxx ,,,, 13,21 −K , sejam elas distintas ou não. Além
38
disso, na demonstração da unicidade da decomposição de )(xP em fatores de 1° grau,
provou-se que são apenas nn xxxxx ,,,, 13,21 −K as raízes da equação 0)( =xP .
Desta forma, concluímos que a equação 0)( =xP , de grau )1( ≥nn , admite
exatamente n raízes complexas, contando com suas multiplicidades.
2.6 Equação do 2° grau
Toda equação de grau 2 na forma )0(2 ≠++ acbxax é chamada equação de
2° grau, onde ℜ∈cba ,, são coeficientes e .Cx ∈
Exemplos:
1) 0232 =+− xx
2) 0162 =+x
A resolução de uma equação de 2° grau pode ser feita através de algumas
“técnicas” desenvolvidas por grandes matemáticos, tais como:
• “Completar quadrados”;
• Fórmula de Báskara.
Além desses, podemos utilizar também alguns métodos já comentados
anteriormente, como as relações de Girard e as raízes racionais.
2.6.1 Resolução da equação de 2° grau completando quadrados
“Completar quadrados”é um artifício que consiste em somar ou subtrair um
valor adequado a ambos os membros da equação, de modo a obter em um dos membros
um trinômio quadrado perfeito (TQP), isto é, uma equação na forma .)( 2 bax =+
Podemos então ter três possibilidades, 00,0 <>= boubb .
• se 0=b , não há o que se fazer, pois a equação já é um TQP.
• se 0>b , podemos resolver como no 1º exemplo.
• se 0<b , podemos resolver como no 2º exemplo.
Exemplos:
1) 2044208 22 =−−⇒=− xxxxx .
Geometricamente, temos:
39
Assim,
Note que a equação 2082 =− xx não é um TQP. Para que o primeiro membro
seja um TQP, devemos adicionar 16 em ambos os membros da equação, isto é,
.16201682 +=+− xx De onde vem que: 36)4( 2 =−x é um TQP.
Desta forma, da fatoração do TQP, temos:
6464 −=−=− xoux
Ou seja, 210 −== xoux .
Logo, S={-2, 10}.
2) 2040204 22 −=+⇒=++ xxxx
Novamente a equação não é um TQP, para que o primeiro membro seja um
TQP, devemos somar 4 em ambos os membros da equação, obtendo assim,
420442 +−=++ xx que podemos escrever como 16)2( 2 −=+x , que é um TQP.
Assim, extraindo as raízes em ambos os membros temos que:
ixouix 4242 −=+=+
Ou seja, ixouix 4242 −−=+−=
Logo, }42,42{ iiS −−+−= .
De modo geral, para “completar quadrados” de uma equação 02 =++ cbxax
basta somar ou subtrair um valor adequado em ambos os membros da equação, de tal
modo que se tenha um TQP no membro em que se tem a incógnita.
40
2.6.2 Fórmula de Báskara
A fórmula de Báskara, tão conhecida e utilizada por muitos na resolução de
equação do 2° grau, fora obtida através da técnica de “completar quadrados”.
Consideremos a equação de 2° grau
)0(02 ≠=++ acbxax Cceba ∈,,
Dividindo toda a equação por a , de modo que o coeficiente de 2x seja igual a 1,
temos:
acx
abx
acx
abx −=+⇒=++ 22 0
Para obtermos um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro da equação,
adicionemos o termo ( )22ab em ambos os membros da equação:
222
22
+−=
++
ab
ac
abx
abx
Assim,
2
22
44
2 aacb
abx −
=
+
Extraindo as raízes quadradas dos dois lados da equação, obtemos:
2
2
44
2 aacb
abx −
±=+
Ou seja,
aacbbx
242 −±−
=
Vale lembrar que é comum denotar o termo acb 42 − por ,∆ e desta forma
teremos:
abx
2∆±−
=
a famosa fórmula de Báskara.
As equações de 2° grau foram fundamentais na resolução de vários problemas,
dentre eles um clássico: encontrar dois números x e y conhecendo-se sua soma (S) e seu
produto(P). Isto é,
41
Adotando PSy −= e substituindo na segunda equação, temos:
PxSx =− )(
02 =+− PxSx
Aplicando a fórmula de Báskara, temos
242 PSSx −±
=
Como PSy −= , então
24
24 22 PSSPSSSy −
=
−±−=
m
Exemplos:
1) Resolva pela fórmula de Báskara a equação .4122 xx =−
Solução:
Temos ,01242 =−− xx onde ,1=a 4−=b e .12−=c
Aplicando a fórmula de Báskara,
284
)1(2)12)(1(4)4()4( 2 ±
=−−−±−−
=x
Ou seja, 26 21 −== xex
Logo, S={-2, 6}
3) Resolver a equação 0322 =+− xix utilizando a fórmula de Báskara. Solução:
Aplicamos a fórmula de Báskara e obtemos:
ii
ii
x2
3122)(2
)3)((4)2()2( 2 −±=
−−±−−=
temos duas possibilidades para 31 i− , assim temos:
iix
oui
ix
2)26(2
2)26(2
+=
+±=
m
Assim,
+−+−−
=2
)62(2,2
)62(2 iiS
42
2.7 Trinômio do 2° grau (Estudo do sinal)
Definição: Trinômio do 2° grau é toda função da forma ,)( 2 cbxaxxf ++=
onde ba, e ℜ∈c , , definida em ℜ .
Como já vimos, as raízes de um trinômio do 2° grau são valores numéricos que
atribuídos à variável ,x anulam o trinômio quando este é igualado a zero.
Exemplos:
1) 652 ++ xx é um trinômio do 2° grau, o qual admite 2− e 3− como raízes.
Verificação: Temos .0652 =++ xx De fato, 2− e 3− são raízes da equação,
pois:
06)2(5)2( 2 =+−+− e 06)3(5)3( 2 =+−+−
2) 25102 ++ xx é um trinômio do 2° grau e admite 5− como raiz, com
multiplicidade 2.
Verificação: Temos .025102 =++ xx De fato, 5− é raiz, pois:
025)5(10)5( 2 =+−+−
Como –5 é a única raiz do trinômio, dizemos que ela tem multiplicidade 2, pois
o trinômio pode ser escrito como: 2)5()5)(5( +=++ xxx
Como visto, se 1x e 2x forem raízes do trinômio de 2° grau ,2 cbxax ++ então
pelo Teorema da Decomposição, este trinômio pode ser fatorado em ).)(( 21 xxxxa −−
Exemplos:
1) Vimos que 2− e 3− são raízes do trinômio 652 ++ xx , quando este é
igualado a zero. Logo, podemos escrevê-lo na forma fatorada, ou seja,
[ ][ ] )3)(2()3()2(652 ++=−−−−=++ xxxxxx
43
2) De maneira análoga podemos escrever o trinômio 25102 ++ xx na forma
fatorada, já que 5− é raiz, com multiplicidade 2. Logo, 22 )5()5)(5(2510 +=++=++ xxxxx
2.7.1 Estudo do sinal
Dado ,)( 2 cbxaxxf ++= sendo ba, e ℜ∈c , ,0≠a temos uma função do 2°
grau ou função quadrática na variável ℜ∈x .
O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma curva aberta, denominada
parábola, cuja concavidade depende do coeficiente ,a termo que acompanha ,2x isto é,
• Se ,0>a a parábola possui concavidade voltada para cima:
• Se ,0<a a parábola possui concavidade voltada para baixo:
Estudar o sinal da função cbxaxxf ++= 2)( significa encontrar os
valores de ,fDx ∈ tais que .0)(0)(,0)( <>= xfexfxf
Já sabemos que os valores de x para os quais se tem ,0)( =xf correspondem as
raízes ou zeros da função e para obtê-los basta resolver a equação .02 =++ cbxax
Pela técnica de “completar quadrados” temos que
04
42 2
222 =
−−
+=++
aacb
abxcbxax (1)
onde acb 42 − é chamado de discriminante e é representado pela letra grega .∆
Como no estudo do sinal da função quadrática é preciso analisar o coeficiente a
e o discriminante, vamos primeiro analisar este último através de três situações:
• Se ,042 >− acb então extraindo a raiz quadrada nos dois membros da
igualdade (1), temos:
44
aacb
abx
24
2
2 −±=
+ ,
ou seja,
aacbbx
242 −±−
= , isto é,
−−−=
−+−=
aacbbx
aacbbx
24
24
2
2
2
1
Assim, para ,042 >− acb a equação de 2° grau admite duas raízes reais e
distintas.
• Se ,042 =− acb então em (1) temos:
022
02
=
+
+⇒=
+
abx
abx
abx ,
ou seja,
)2(,2
dademultiplicicomabx −
=
Assim, para ,042 =− acb a equação admite duas raízes reais e iguais.
• Se ,042 <− acb então não existem raízes reais, pois caímos no cálculo
da raiz quadrada de um número negativo, e isto não está definido nos
reais, mas no conjunto dos complexos.
Vejamos, agora, como prosseguir na análise do estudo do sinal da função
quadrática com relação ao coeficiente a e o discriminante ,42 acb − através do esboço
do gráfico e sua respectiva representação no varal.
• Se 0>a e ,042 >− acb temos:
21,0)( xxouxxquandoxf ===
21,0)( xxouxxquandoxf <<>
45
21,0)( xxxquandoxf <<<
• Se 0<a e ,042 >− acb temos:
21,0)( xxouxxquandoxf ===
21,0)( xxxquandoxf <<>
21,0)( xxouxxquandoxf <<<
• Se 0>a e ,042 =− acb temos:
21,0)( xxxquandoxf ===
21,0)( xxxquandoxf =≠>
ℜ∈< xexistenãoxf ,0)(
• Se 0<a e ,042 =− acb temos:
21,0)( xxxquandoxf ===
ℜ∈> xexistenãoxf ,0)(
21,0)( xxxquandoxf =≠<
46
• Se 0>a e ,042 <− acb temos:
0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão
0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão
0)(, >ℜ∈ xfxtodoPara
• Se 0<a e ,042 <− acb temos
0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão
0)(/ >ℜ∈ xfxexisteNão
0)(, <ℜ∈ xfxtodoPara
Geralmente, na representação do varal, temos:
• ,042 >− acb então,
• ,042 =− acb então,
47
• ,042 <− acb então,
não admite raízes reais
Exemplos:
Estudar o sinal das funções de 2° grau abaixo:
a) 65)( 2 +−= xxxf d) 96)( 2 +−−= xxxf
b) 65)( 2 +−−= xxxf e) 52)( 2 +−= xxxf
c) 96)( 2 +−= xxxf f) 52)( 2 +−−= xxxf
Solução:
a) Temos 0>a e .042 >− acb Logo,
Analisando o sinal da função f(x), temos:
• Se 0)(32 >⇒>< xfxoux
• Se 0)(32 =⇒== xfxoux
• Se 0)(32 <⇒<< xfx
b) Temos 0<a e ,042 >− acb
48
Analisando o sinal de f(x), temos:
• Se 0)(32 <⇒>< xfxoux
• Se 0)(32 =⇒== xfxoux
• Se 0)(32 >⇒<< xfx
c) Temos 0>a e ,042 =− acb
Analisando o sinal de f(x):
• Se 0)(3 =⇒= xfx
• Se 0)(3 >⇒≠ xfx
• 0)(/ <ℜ∈ xfxexisteNão
d) Temos 0<a e ,042 =− acb
Analisando o sinal de f(x),
• Se 0)(3 =⇒= xfx
• Se 0)(3 <⇒≠ xfx
• 0)(/ >ℜ∈ xfxexisteNão
49
e) Temos 0>a e .042 <− acb Logo,
Analisando o sinal de f(x), temos:
• 0)(, >ℜ∈ xfxtodoPara
• 0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão
• 0)(/ <ℜ∈ xfxexisteNão
f) Temos 0<a e .042 <− acb
Analisando o sinal de f(x), temos:
• 0)(, <ℜ∈ xfxtodoPara
• 0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão
• 0)(/ >ℜ∈ xfxexisteNão
2.8 Fórmula de Cardano
Dada a equação polinomial:
)1.(0023 eqadcxbxax ≠=+++
A idéia fundamental para resolver a eq.(1) é transformá-la em uma outra
equação polinomial da forma:
)2.(03 eqqpxx =++
50
No intuito de eliminar o termo de grau 2 da eq.(1) vamos definir x=y+m, e
substituindo na eq.(1) temos:
)3.(0)()23()3(0)()()(
23223
23
eqdcmbmamcbmamybamyaydmycmybmya
=+++++++++
=++++++
Para eliminarmos o termo de grau 2, basta que façamos:
abm
2−
=
E substituindo na eq.(3), temos:
039273
23 2
3
2
3223 =
+−+−+
+−+ d
acd
ab
abc
ab
abyay
Dividindo ambos os lados da equação por a, temos:
)4.(03
3272
3 23
3
2
23 eq
acdad
ab
ac
abyy =
−++
+−+
Note que a eq.(4) está na forma:
−+=
+−==++ 23
3
2
23
33
272
330
acdad
abqe
aacbpcomqpyy
Para resolvermos a eq.(4), vamos supor que y é a soma de duas parcelas, ou seja,
BAy += , logo:
)(333)( 33322333 yABBABABBAABAy ++=+++=+=
0)(3 333 =+−− BAAByy onde:
273
333 pBAABp −=⇒−=
)( 3333 AqBBAq +−=⇒+=− , logo
02727
)( 363
3333 =−+⇒−
=−−=pqAApAqABA , (bi-quadrada), ou seja,
( ) 027
)(3
323 =−+pAqA
Observando a equação bi-quadrada temos que:
51
+
=+=∆
3232
324
274 pqpq
323
323
322322
+
−=
+
±−=∴
pqqBepqqA m
3
32
3
32
322322
+
−−+
+
+−=+=∴
pqqpqqBAy , Fórmula de Cardano
Agora já conhecemos o valor de y e m, logo já somos capazes de resolver a
eq.(1)., pois sua raiz é myx += .
Além disso, podemos observar que se extrairmos as três raízes cúbicas de cada
parcela A e B, teremos 9 valores diferentes para y, o que nos levaria a 9 valores também
para x, mas sabemos, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, que uma equação cúbica
tem exatamente 3 raízes complexas. Então porque aparecem estas 9 possíveis soluções?
Na verdade, apenas 3 destas são solução da equação original. Isso ocorre porque quando
supomos que a solução para a equação seria uma soma de duas parcelas e em seguida
elevamos ao cubo ( 33 )( BAxBAx +=⇒+= ), introduzimos 6 raízes estranhas à
equação. Por exemplo:
Seja a equação:
01 =−x
que tem como raiz 1=x . Se fizermos como na fórmula de Cardano, elevando ambos os
membros da igualdade ao cubo teremos:
011 333 =−⇒= xx
A equação 013 =−x pode ser escrita como 0)1)(1( 2 =++− xxx , que tem três
raízes distintas:
2
312
31,1 321ixeixx −−
=+−
==
mas apenas 1=x é raiz da equação original, o mesmo ocorre com a fórmula de
Cardano, vejamos um exemplo do que acontece na resolução de uma equação cúbica
pela fórmula de Cardano.
Exemplo:
Seja 0963 =−− xx , verificar que apenas 3 combinações das raízes da fórmula
de Cardano são solução da equação.
52
Como sabemos que qualquer equação completa do 3º grau pode ser reduzida a
uma deste tipo, basta verificarmos o que acontece com uma desta forma. Assim,
aplicando a fórmula de Cardano, temos que:
3
32
3
32
36
29
29
36
29
29
−
+
−+
−
+
+=x
33
449
29
449
29
−++=x
33
27
29
27
29
−++=x
33 18 +=x
temos então três raízes cúbicas de 8, ou seja,
=−−=
+−=
=2
31
31
8
2
1
0
3
ziz
iz
e também três raízes cúbicas de 1,
=
−−=
+−=
=
1'2
31'
231'
1
2
1
0
3
z
iz
iz
Assim temos as seguintes possibilidades para x:
+++
+++
+++
22
12
02
21
11
01
20
10
00
'''
'''
'''
zzzzzz
zzzzzz
zzzzzz
Vamos então verificar cada uma delas.
• 00 ' zz + =2
3332
3131 iii +−=
+−++−
( ) 3927'
92
33362
3332
333
00
3
izzf
iiif
−=+
−
+−−
+−=
+−
• 10 ' zz + =2
332
3131 iii +−=
−−++−
53
( ) 0'
92
3362
332
33
10
3
=+
−
+−−
+−=
+−
zzf
iiif
• 3131' 20 iizz =++−=+
( ) ( ) ( )( ) 399'
93633
20
3
izzf
iiif
−−=+
−−=
• 01 ' zz + =2
332
3131 iii −−=
+−+−−
( ) 0'
92
3362
332
33
01
3
=+
−
−−−
−−=
−−
zzf
iiif
• 11 ' zz + =2
3332
3131 iii −−=
−−+−−
( ) 3927'
92
33362
3332
333
01
3
izzf
iiif
+=+
−
−−−
−−=
−−
• 21 ' zz + = 3131 ii −=+−−
( ) ( ) ( )( ) 399'
93633
20
3
izzf
iiif
+−=+
−−−−=−
• 02 ' zz + =2
332
312 ii +=
+−+
( ) 18'
92
3362
332
33
02
3
−=+
−
+−
+=
+
zzf
iiif
• 12 ' zz + =2
332
312 ii −=
−−+
( ) 18'
92
3362
332
33
12
3
−=+
−
−−
−=
−
zzf
iiif
• 312' 22 =+=+zz
54
( ) ( ) ( )( ) 0'
93633
22
3
=+−−=
zzff
Portanto, apenas três das nove possíveis combinações para x são raízes da
equação e seu conjunto solução é:
−−+−
=2
33,2
33,3 iiS .
2.8.1 Análise das Raízes de uma Equação do 3º Grau pela fórmula de
Cardano
1º Caso: 3 raízes reais e distintas
Seja a equação polinomial: *,0))()(( ℜ∈≠≠=−−− cbacomcxbxax
desenvolvendo o produto temos:
0)()(23 =−+++++− abcbcacabxcbaxx
Para que o produto desenvolva uma equação do tipo:
03 =++ qpxx
para qual é válida a fórmula de Cardano.
Devemos eliminar o termo de grau 2, e portanto é necessário e suficiente que:
)(0 baccba +−=⇒=++
e substituindo na equação temos:
0)())(( 23 =+++−+ baabbaabxx , onde
)()( 2 baabqebaabp +=+−=
Aplicando a Fórmula de Cardano, temos:
3
32
3
32
322322
+
−
−+
+
+
−=
pqqpqqx
+
+−+
+
++
−= 3
322
3)(
2)(
2)( baabbaabbaabx
3
322
3)(
2)(
2)(
+−+
+
−+
−+baabbaabbaab
55
Observamos agora que:
32
32
3)(
2)(
32
+−
+
+
=∆
+
=∆
baabbaab
pq
baba
bababa
babbabababaa
≠ℜ∈∀<∆∴
++−−=∆
−−+++−−=∆
*
222
6542332456
,0108
)2()2()(108
4123263124
No caso em que )( bac +−≠ , temos que reduzir a equação fazendo a
substituição myx += , como já vimos.
2º caso: 2 raízes complexas e uma real
Supondo a+bi é uma raiz de uma equação de 3º grau com coeficientes reais,
então conseqüentemente a-bi também é raiz, a terceira raiz será obrigatoriamente real, e
para conseguirmos aplicar diretamente a Fórmula de Cardano é necessário que a soma
das 3 raízes seja igual a zero para que anulemos o termo de grau 2 da equação para
então aplicarmos a Fórmula de Cardano, logo:
accbiabia 20)()( =⇒=+−++
Portanto a equação pode ser reescrita da seguinte forma:
0)(2)3( 22223 =++−+ baaabxx
Observando o discriminante da Fórmula de Cardano nessa equação temos:
0,0271881
33
2)(2 64224322222
≠ℜ∈∀>∆
++=
−+
+=∆
bba
bbabaabbaa
Mas observe que:
00 =∆⇒=b
O que faria que as três raízes fossem reais, sendo duas ou três coincidentes.
Assim provamos que:
56
>∆⇒ℜ∈−+
<∆⇒≠≠ℜ∈
0,,},,{)20},,{)1
*
*
cbacomcbiabiacbacomcba
Mas podemos observar que as recíprocas também são verdadeiras. Supondo que
0<∆ não implicasse em três raízes reais distintas, teríamos uma raiz complexa bia +
e conseqüentemente sua conjugada bia − e assim estaríamos no 2º caso, que implica
em 0>∆ , o que é uma contradição. Logo podemos concluir que 0<∆ implica em três
raízes reais distintas.
De maneira análoga se prova que 0>∆ implica em duas raízes complexas e
uma raiz real. Assim podemos concluir que:
⇔<∆ 0)1 as três raízes são reais e distintas
⇔=∆ 0)2 as raízes são reais sendo 2 ou 3 iguais
⇔>∆ 0)3 uma raiz é real e 2 são complexas
2.9 A equação de quarto grau em C.
O mérito da solução geral para a equação do quarto grau é atribuído ao
matemático italiano Lodovico FERRARI, no século XVI.
Publicado na “Ars Magna” de Gerolamo CARDANO, a resolução originou-se de
um desafio proposto a Cardano por Tonini da Coi, que enunciou: “Dividir dez em três
partes que estejam em ‘proporção contínua’ (equivalente à terça proporcional, i é,
cb
ba
= ) e tais que o produto das duas primeiras seja seis”.
2.9.1 O método de Ferrari:
Vejamos como Ferrari resolveu o problema:
Está claro que o problema se reduz a determinar cba ,, tais que 10=++ cba e
6=ab , e também cb
ba
= . Assim , Ferrari tomou x
a 6= , xb = e
6
3xc = , obtendo:
106
6 3
=++xx
x,
que é equivalente a xxx 60366 24 =++ (eq. 1)
57
Para resolver, Ferrari completou quadrados, somando 26x nos dois membros,
obtendo:
( ) 2222242 66066603666 xxxxxxxx +=+⇔+=+++
Somando “y” no segundo membro afim de se obter ( )22 6 yx ++ e somado ao
segundo membro ( )62 22 +++ yyy para manter a igualdade, teremos:
( ) ( ) xxyyyyx 606626 22222 +++++=++
Desenvolvendo o segundo membro, temos:
( ) ( ) ( )yyxxyxxyyy 12606260662 22222 ++++=+++++
Portanto:
( ) ( ) ( )yyxxyyx 1260626 2222 ++++=++ (eq. 2)
Observe que existe uma equação quadrática no segundo membro. Logo podemos
calcular y de modo a obtermos um quadrado perfeito. Para isso, basta fazermos com que
o discriminante seja igual a zero( i é, se 0=∆ em ( ) ( ) 0126062 22 =++++ yyxxy
então teremos uma equação da forma ( )2kx + ).
Vejamos:
( ) ( ) 0,0126062 22 =∆=++++ yyxxy
( )( ) ( )( ) 012623001262460 2222 =++−⇒=++− yyyyyy
Desenvolvendo a equação, temos:
450315 23 =++ yyy
Dessa forma Ferrari conseguiu calcular um y, através do método Tartaglia-
Cardano, tal que ( ) ( ) 0126062 22 =++++ yyxxy seja um quadrado perfeito na forma
( )2kx + .
Dessa forma, da equação (eq. 2) teremos:
( ) ( ) ( ) kxkxkxyxkxyx +=+⇒+=++⇒+=++ 122222 66
Portanto:
02 =+− kxx (eq. 3),
onde as raízes da (eq. 3) coincidem com duas das raízes de (eq. 1).
Com o método criado por Ferrari para resolver o problema de Da Coi,
conseguimos encontrar duas raízes de qualquer polinômio de grau quatro.
58
2.9.2 Resolução geral para um polinômio do quarto grau:
Seja o polinômio ( ) 012
23
34
4
4
04 axaxaxaxaxaxP
i
ii ++++== ∑
=
, 04 ≠a
achar as raízes de ( )xP4 significa fazermos ( )xP4 = 0.
Assim:
004
0
4
12
4
23
4
3401
22
33
44 =++++⇒=++++
aax
aax
aax
aaxaxaxaxaxa
Que é equivalente a:
0234 =++++ dcxbxaxx ,onde 4
0
4
1
4
2
4
3 ,,,aad
aac
aab
aaa ====
Para conseguirmos uma equação como a do problema demonstrado na “Ars
Magna”, de Cardano, devemos eliminar o termo cúbico 3ax , substituindo x por 4at − :
Fazendo 4atx −= temos:
04444
234
=+
−+
−+
−+
− datcatbataat
Desenvolvendo:
0444
244
2444
2 22
22
222 =+
−+
+−+
+−
−+
+− datcatatbatatataatat
0416256
32828
2432
224 =
+−+
−+
+−+
+−+ dacbaatcabatbaat
Que é equivalente a:
024 =+++ rqtptt , chamada de equação reduzida onde:
,28
22
+−= baap
+−= cabaq
28
3
e
+−+
−= dacbaar
4162563 24
Para resolvê-la, reescreva a equação da seguinte forma:
rqtptt −−=+ 24
Complete o quadrado no primeiro membro:
( ) ( ) rqtpptppttpptrqtpttppt −−+=++⇒++−−=+++ 22224222422 2
59
( ) rqtpptpt −−+=+∴ 2222
Agora, somando um “y” na equação, tal que:
( ) ( )[ ]ptyyrqtpptypt +++−−+=++∴ 222222 2 (eq. 4)
Note que a equação (eq. 4) é equivalente à (eq. 2), logo podemos resolvê-la
como vimos no problema de Da Coi, utilizando as passagens da (eq. 2) para (eq. 3).
Desenvolvendo a (eq. 4) e fazendo seu discriminante igual a zero, iremos ver a
cúbica resolvente
0)44()816(208 32223 =+−+−++ prpqyrppyy
que pode ser escrita
023 =+++ γβα yyy (eq. 5)
Portanto, resolvemos a (eq.5) pelo método de Cardano, encontrando os valores de y tais
que fiquem dois quadrados perfeitos em (eq.4), e com isso resolver a equação geral
( ) 04 =xP .
2.9.3 Conseguindo as quatro raízes:
Uma maneira mais sofisticada de resolver uma ( ) 04 =xP é fazer zuvx ++= ,
onde 0,, ≠zuv .
Vejamos:
Seja ( ) 04
04 == ∑
=i
ii xaxP que é 0234 =++++ dcxbxaxx , já vimos que podemos
escrevê-la na forma 024 =+++ rqxpxx .
Fazendo zuvx ++= , temos
[ ]
)(8)(4)(8)(4)(2)()(2
)(4)(
)(2)(
222222222222222
22222244422224
222222
2222
zvuuvzzvzuvuuvzzuvvzuzvzuvuzvzuvuzvuzuvxx
vzuzuvzuvx
vzuzuvzuvx
+++++=+++++
=++++++++−
⇔++=++−∴
++=++−
Então conseguimos a equação reduzida da quadrática original
[ ] 0)(4)()(8)(2 222222222222224 =++−+++−++− zvzuvuzuvxuvzzuvxx
60
Relacionando os coeficientes da equação com zeuv, :
[ ]
−=++⇒=++−++
=⇒=−⇒=−
−=++⇒=++−
−16
4)(4)(
64)(8)(8
2)()(2
22222222222222
2
222
222222
222222
rpzvzuvurzvzuvuzuv
qzvuquvzquvz
pzuvpzuv
p43421
Assim fica claro que 222 ,, zuv são raízes de uma equação cúbica (resolvente) tal
que suas raízes sejam βα , e γ .
06416
42
2224 =+
−++
qyrpypy
Nota-se que as raízes da equação resolvente estão relacionadas a 222 ,, zuv , onde
γβαγβα ===⇔=== zevuzevu ,, 222
Como uvqz
8−= , temos que z é uma das raízes da ( ) zvuxxP ++== ,04 ;
Assim podemos combinar as raízes γβα e, de modo a conseguir as quatro
raízes de ( ) 04 =xP .
+−−=
−+−=
−−=
++=
γβα
γβα
γβα
γβα
4
3
2
1
x
x
x
x
No próximo capítulo apresentaremos exemplos de equações que podem ser
resolvidas com os métodos apresentados e também que existem algumas equações que
não podem ser resolvidas por nenhum destes métodos, e então, mostraremos os métodos
numéricos utilizados nestes casos.
61
CAPÍTULO III
Neste capítulo, apresentaremos os métodos pelos quais podem ser
encontradas as raízes reais de uma equação que não poderíamos resolver por nenhum
dos métodos apresentados. Além disso, mostraremos algumas aplicações práticas das
equações estudadas e seus respectivos métodos de resolução.
62
3.1. APROXIMAÇÃO DE RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL
POR MÉTODOS NUMÉRICOS
Começaremos por enunciar um teorema que será muito importante na hora de
determinar se um dado intervalo contém uma raiz da equação:
Teorema do Valor Intermediário (TVI):
Seja [ ] ℜ→baf ,: uma função contínua. Se )()( bfyaf << , então existe
] [bax ,∈ tal que yxf =)( .
Demonstração:
Façamos 00 bbeaa == , e seja 1x o ponto médio do intervalo [ ]00 ,ba . Se
yxf <)( 1 definimos 0111 bbexa == , mas se yxf ≥)( 1 definiremos 1101 xbeaa == e
em ambos os casos teremos )()( 11 bfyaf ≤≤ e o comprimento do intervalo [ ]11,ba é
metade do comprimento do intervalo [ ]ba, .
Aplicando este método repetidas vezes teremos:
[ ] [ ] [ ] [ ] KK ⊃⊃⊃⊃⊃ nn babababa ,,,, 2211
Fazendo 1−== nnnn bbexa ou nnnn xbeaa == −1 , dependendo se yxf n <)( ou
yxf n ≥)( , note que a seqüência de termos nn bea convergem para algum ℜ∈x tal que
Ν∈∀≤≤ nbxa nn .
Além disso, pela continuidade de f temos que:
yaf nn=
+∞→)(lim ybf nn
=+∞→
)(lim e Ν∈∀≤≤ nbfyaf nn )()(
logo, podemos concluir que yxf =)( .
Deste teorema decorre a seguinte proposição:
Seja )(xf uma função contínua num intervalo [ ]ba, . Se 0)().( <bfaf , então
existe pelo menos um ponto x entre bea tal que 0)( =xf .
Demonstração:
Pelo TVI temos que se f é contínua e [ ])(),( bfafy∈ , então existe ∈x [ ]ba, tal
que yxf =)( , e se )(0)( bfaf << , temos pelo TVI que existe ∈x [ ]ba, tal que
0)( =xf .
Para )(0)( afbf << a demonstração é análoga.
63
3.1.1 Métodos iterativos para aproximação de zeros reais de funções
São vários os métodos iterativos que podem ser utilizados para encontrar raízes
reais de funções polinomiais, mas como o objetivo do trabalho não é estudar tais
métodos, escolhemos dois deles para mostrar apenas que é possível encontrar estas
raízes. O primeiro método que escolhemos foi o da Bissecção, por se basear numa idéia
bastante simples e fácil de entende, já o segundo foi o método de Newton, que
escolhemos por ser um método mais eficiente e rápido, mas ambos os métodos
fornecem os mesmos resultados.
3.1.1.1 Método da Bissecção
Seja a função )(xf contínua no intervalo [ ]ba, e tal que 0)().( <bfaf , já
sabemos pelo TVI que existe ∈x [ ]ba, tal que 0)( =xf .
O método da bissecção nada mais é do que reduzir o intervalo que contém a raiz
até atingir a precisão requerida, ou seja, ε<− ab , usando para isto a sucessiva divisão
do intervalo [ ]ba, ao meio.
Exemplo:
As iterações são realizadas da seguinte forma:
( )
==
∈⇒
>><
+=
01
01
00
0
0
000
0
,
0)(0)(0)(
2xbaa
xax
xfbfaf
bax
64
( )
==
∈⇒
<><
+=
12
12
11
1
1
111
1
,
0)(0)(0)(
2bbxa
bxx
xfbfaf
bax
( )
MMM
==
∈⇒
<><
+=
23
23
22
2
2
222
2
,
0)(0)(0)(
2bbxa
bxx
xfbfaf
bax
Encontrar as raízes de 1803665135)( 2345 −++−−= xxxxxxf com precisão
2,0=ε , utilizando o método da bissecção.
x -5 -2,5 0 2,5 4 6
f(x) -3360 46,41 -180 15,47 -84 864
Logo, nos intervalos [ ]5.2,51 −−=I , [ ]0,5.22 −=I , [ ]5.2,03 =I , [ ]4,5.24 =I e
[ ]6,45 =I existe ℜ∈x tal que 0)( =xf .
{{ 0)5.2(0)5(5.2,500
1 >−<−
−−= fefI
ba
1ª iteração:
074.445)(75.32 00
000 <−=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 25.1111010 abbbeax
2ª iteração:
087.35)(125.32 11
111 <−=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 625.0222121 abbbeax
3ª iteração:
029.33)(8125.22 22
222 >=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 3125.0332323 abxbeaa
4ª iteração:
015.7)(9688.22 33
333 >=−=⇒
+= xfxbax , logo
65
ε<=−== 1562.0443443 abxbeaa
portanto 9688.2−=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .
{ { 0)5.2(0)0(0,5.200
2 >−<
−= fefI
ba
1ª iteração:
031.113)(25.12 00
000 <−=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 25.1111010 abbbeax
2ª iteração:
026.18)(875.12 11
111 <−=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 625.0222121 abbbeax
3ª iteração:
079.23)(1875.22 22
222 >=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 3125.0332323 abxbeaa
4ª iteração:
032.4)(03125.22 33
333 >=−=⇒
+= xfxbax , logo
ε<=−== 1562.0443443 abxbeaa
portanto 03125.2−=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .
{ { 0)5.2(0)0(5.2,000
3 ><
= fefI
ba
1ª iteração:
098.67)(25.12 00
000 <−==⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 25.1110101 abbbexa
2ª iteração:
030.8)(875.12 11
111 <−==⇒
+= xfxbax , logo
66
ε>=−== 625.0221212 abbbexa
3ª iteração:
031.9)(1875.22 22
222 >==⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 3125.0332323 abxbeaa
4ª iteração:
082.1)(03125.22 33
333 >==⇒
+= xfxbax , logo
ε<=−== 1562.0443434 abxbeaa
portanto 03125.2=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .
{ { 0)5.2(0)4(4,5.200
4 ><
= fefI
ba
1ª iteração:
094.17)(25.32 00
000 <−==⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 75.0110101 abbbexa
2ª iteração:
066.6)(875.22 11
111 >==⇒
+= xfxbax , logo
ε>=−== 375.0221212 abxbeaa
3ª iteração:
095.3)(875.32 22
222 <==⇒
+= xfxbax , logo
ε<=−== 1875.0332323 abbbexa
portanto 0625.3=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .
{ { 0)6(0)4(6,400
5 ><
= fefI
ba
1ª iteração:
0)(52 00
000 ==⇒
+= xfxbax
portanto 5=x é uma raiz de )(xf .
67
As raízes aproximadas de )(xf encontradas utilizando o método da bissecção
são: 9688.21 −=x , 03125.22 −=x , 03125.23 =x , 0625.34 =x e 55 =x com precisão
2,0=ε . Se exigíssemos uma precisão maior, chegaríamos mais próximo do valor exato
das raízes que são: 31 −=x , .22 −=x , 23 =x , 34 =x e 55 =x .
3.1.1.2 Método de Newton
Seja a função )(xf contínua no intervalo [ ]ba, e tal que 0)().( <bfaf .
O método de Newton pode ser facilmente deduzido geometricamente, basta
tomar o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( ))(, kk xfx , ou seja, )(' kxf . Feito
isso, traçamos a reta )(xRk tangente à curva neste ponto:
)).((')()( kkkk xxxfxfxR −+=
Fazendo 0)( =xRk , temos:
kk
k xxfxfx +
−=
)(')(
E, se fizermos 1+= kxx , teremos o algoritmo para as iterações pelo método de
Newton.
)(')(
1k
kkk xf
xfxx −+=+
Para encontrar as raízes de uma função )(xf , realizamos as iterações até se
obter uma precisão ε tal que ε<)(xf .
Graficamente temos:
Iniciando com a aproximação inicial 0x , a aproximação 1x é o valor em que a
reta tangente ao gráfico de )(xf em ( ))(, 00 xfx intercepta o eixo das abscissas. A
aproximação 2x é o valor em que a reta tangente ao gráfico de )(xf em ( ))(, 11 xfx
corta o eixo dos x e assim por diante.
68
Exemplo:
Encontrar todas as raízes reais de 38464120206)( 2345 −++−−= xxxxxxf ,
com precisão 1.0=ε .
x -5 -3 -1 0 1 3 5 7
)(xf -2079 315 -315 -384 -225 105 -189 1485
Logo, nos intervalos [ ]3,51 −−=I , [ ]1,32 −−=I , [ ]3,13 =I , [ ]5,34 =I e [ ]7,55 =I
existe ℜ∈x tal que 0)( =xf .
6424060245)('38464120206)( 2342345 ++−−=⇒−++−−= xxxxxfxxxxxxf
[ ]3,51 −−=I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz neste intervalo tomando
50 −=x .
)(')(
)(')(
0
0011 xf
xfxx
xfxf
xxk
kkk −=⇒
−+=+
ε>=−=⇒ 544)(4.4 11 xfex
ε>=−=⇒−= 108)(1.4)(')(
221
112 xfex
xfxfxx
ε>=−=⇒−= 7.9)(01.4)(')(
332
223 xfex
xfxfxx
0)(0.4)(')(
443
334 =−=⇒−= xfex
xfxf
xx
69
e portanto 4−=x é uma raiz de )(xf .
[ ]1,32 −−=I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando
10 −=x .
ε>=−=⇒−= 82.193)(52.2)(')(
110
001 xfex
xfxf
xx
ε>=−=⇒−= 30.21)(94.1)(')(
321
112 xfex
xfxfxx
0)(0.2)(')(
332
223 =−=⇒−= xfex
xfxfxx
e portanto 2−=x é uma raiz de )(xf .
[ ]3,13 =I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando
10 =x .
0)(2)(')(
110
001 ==⇒−= xfex
xfxf
xx
e portanto 2=x é uma raiz de )(xf .
[ ]5,34 =I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando
50 =x .
ε>==⇒−= 33.95)(3.3)(')(
110
001 xfex
xfxf
xx
ε>==⇒−= 28.149)(73.4)(')(
321
112 xfex
xfxfxx
ε>==⇒−= 2.18)(90.33)(')(
332
223 xfex
xfxfxx
0)(0.4)(')(
443
334 ==⇒−= xfex
xfxf
xx
e portanto 4=x é uma raiz de )(xf .
70
[ ]7,55 =I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando
70 =x .
ε>==⇒−= 399)(42.6)(')(
110
001 xfex
xfxf
xx
ε>==⇒−= 20.80)(11.6)(')(
321
112 xfex
xfxfxx
ε>==⇒−= 95.6)(01.6)(')(
332
223 xfex
xfxfxx
0)(0.6)(')(
443
334 ==⇒−= xfex
xfxf
xx
e portanto 6=x é uma raiz de )(xf .
Neste caso chegamos às raízes exatas da função e estas são: 41 −=x , .22 −=x ,
23 =x , 44 =x e 65 =x .
Como sabemos, as equações de grau superior a cinco, exceto alguns casos
particulares, não podem ser resolvidas pelos métodos algébricos usuais, mas podem ser
resolvidas através destes métodos que acabamos de apresentar, a seguir apresentaremos
alguns exemplos de aplicações das equações das quais falamos até o presente momento.
71
3.2. APLICAÇÕES
A Matemática possui muitas ferramentas que tem contribuído significativamente
no desenvolvimento de diversas áreas do conhecimento científico como, por exemplo,
na Economia, na Biologia e na Física. Essas ferramentas como, por exemplo, fórmulas,
gráficos e tabelas são muitos importantes nestas áreas por facilitarem a compreensão
dos fenômenos em estudo.
Os polinômios e as equações polinomiais, assunto abordado nesta pesquisa,
possui muitas aplicações, tanto na própria Matemática e no cotidiano quanto nas áreas
da Economia, Física, Administração e entre outras.
Abaixo seguem algumas aplicações encontradas sobre o assunto em estudo.
1) Seja o polinômio ).2()32()1()( 3 caxbaxbaxA +++−+−+= Determine
a, b e c para que se tenha 0)( =xA , para qualquer x pertencente aos complexos.
Solução:
Pela Propriedade (Identidade de Polinômios), temos:
322231
0232
1
02032
010)( −=⇒
−=−==+
⇔
=+−=−
=+⇔
=+=+−
=−+⇔= a
caa
ba
caba
ba
caba
baxA
Logo, .3/13/5,3/2 ==−= ceba
2) Dados os polinômios 4)2()1()( 2 +++−= xbxaxA e
,45)3()( 23 +−++= cxxxcxB calcule a, b e c para que se tenha .),()( CxxBxA ∈∀≡
Solução:
Pela Propriedade (Identidade de Polinômios), temos:
==
−=⇒
−=+=−=+
⇔≡163
25103
)()(bac
cbac
xBxA
Portanto, a=6, b=1 e c=-3.
3) Determine p e q sabendo que o polinômio qxpxxxA +−+= 72)( 23 é
divisível por 2−x e por .1+x
Solução:
72
Pelo Corolário 1, vimos que se A(x) é divisível por 2−x e por 1+x , então 2 e
–1 são raízes, respectivamente. Assim, temos:
05)1(024)2(
=++=−=++=
qpAqpA
Resolvendo o sistema nas incógnitas p e q, temos:
=−=
⇒
−=+−=+
16
524
pq
qpqp
Logo, .61 −== qep
4) Resolva a equação ,0401263 234 =−+−+ xxxx sabendo que i2 é uma de
suas raízes.
Solução:
Seja .401263)( 234 −+−+= xxxxxP Como i2 é raiz de ,0)( =xP então i2−
também é raiz, pelo Teorema das raízes complexas. Desta forma, temos a seguinte
decomposição:
)103)(2)(2()( 2 −++−= xxixixxP
Resolvendo a equação ,1032 −+ xx através da fórmula de Bháskara:
{ 252
)10.(1.43321
2
=−=⇒−−±−
= xouxx
Logo, o conjunto-solução de 0)( =xP é }.2,2,2,5{ iiS −−=
5) Resolva a equação ,0123432 23456 =+−+−+− xxxxxx sabendo que i é
uma raiz dupla.
Solução:
Seja .123432)( 23456 +−+−+−= xxxxxxxP Como i é raiz dupla, então i−
também é raiz dupla, pelo Teorema das raízes complexas. Desta forma, podemos
escrever a seguinte decomposição:
)12()()()( 222 +−+−= xxixixxP
Resolvendo a equação ,0122 =+− xx através da fórmula de Bháskara,
obtemos 1 como raiz dupla.
Portanto, as raízes de ,0)( =xP com multiplicidade dois cada uma, são .1, eii −
73
6) Considere o polinômio .)( 23 baxxxxA +++= Calcule a e b sabendo que os
restos das divisões de A(x) por )1( −x e por ),2( −x são iguais a 5 e –3,
respectivamente.
Solução:
A partir da divisão de A(x) por )1( −x , obtemos quociente )2(22 axx +++ e
resto ba ++2 . Como nos foi informado o valor do resto, temos ,52 =++ ba ou seja,
3=+ ba (1).
Através da divisão de A(x) por ),2( −x obtemos quociente )2(2 axx +++ e
resto .212 ba ++ Como o valor dor resto e –3, neste caso, teremos 152 −=+ ba (2).
De (1) e (2), temos o seguinte sistema:
−=+=+
1523
baba
de onde vem .2118 =−= bea
7) Sabendo que a soma de duas raízes da equação 02123 =++− mxxx é igual
a 4, determine o valor de .m
Solução:
Sejam 321, xexx as raízes da equação dada. Pelas relações entre coeficientes e
raízes, temos:
)2()()3(21
)1(1
21321
321
323121
321
mxxxxxxxx
mxxxxxxxxx
=++⇒
−==++
=++
Como a soma de duas das raízes da equação é igual a 4, então seja .421 =+ xx
Substituindo em (1), obtemos .33 −=x
Substituindo 421 =+ xx e 33 −=x em (2), obtemos:
)4(1221 += mxx
Substituindo (4) em (3), temos
53621321)12(3
−=∴+−=−⇒−=+−
mmm
74
8) (FUVEST-2001) O polinômio 62)( 24 +−+= xxxxP admite i+1 como
raiz, onde .12 −=i O número de raízes reais deste polinômio é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
Solução:
Pelo Teorema das raízes complexas, se i+1 é raiz de ,0)( =xP então i−1
também é raiz. Logo, temos a seguinte decomposição:
)32)](1()][1([)( 2 ++−−+−= xxixixxP
Resolvendo 0322 =++ xx , pela fórmula de Bháskara, temos que:
2222
21242 ixx ±−
=⇒−±−
=
Ou seja, 2121 iei −−+− são raízes.
Logo, não existem raízes reais para .62)( 24 +−+= xxxxP Deste modo, (a) é a
alternativa correta.
9) (MACKENZIE) Dividindo-se cbxxxP ++= 2)( por 1−x e por ,2−x
obtém-se o mesmo resto 3. Então, a soma das raízes de 3)( −xP é:
(a) -3 (b) -2 (c) -1 (d) 1 (e) 3
Solução:
Dividindo-se cbxxxP ++= 2)( por 1−x e por ,2+x respectivamente, temos:
Como cb ++1 e cb +− 24 são os restos, respectivamente, da divisão de )(xP
por 1−x e por ,2−x e ambos valem 3, então:
75
.112
2324
31==
=+−=+
⇔
=+−=++
cbvemondedecb
cbcb
cb
Assim, .23)( 2 −+=− xxxP Admitindo que 21 xex são as raízes deste
polinômio, então, pelas relações de Girard, a soma das raízes é dada por 121 −=+ xx .
Portanto, alternativa (c).
10) (MACKENZIE) Se 6 é a soma dos quadrados das raízes da equação
,0,0)1()1( 23 >=++−+− kkxxkx e se p é a maior raiz, então k+p vale:
(a) 8 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
Solução:
Pelas relações de Girard, temos:
)3()1()2(1
)1()1()(1
321
323121
22321321
+−=−=++
+=++⇒+=++
kxxxxxxxxx
kxxxkxxx
Das informações do problema, temos:
)4(623
22
21 =++ xxx
Desenvolvendo o primeiro membro de (1):
)5()1()(2(
)1()(2
3231212
32
22
1
22321
+=+++++⇒
+=++
kxxxxxxxxx
kxxx
Substituindo (4) e (2) em (5), temos:
,4)1()1()1(26 22 =+⇒+=−+ kk ou seja, um T.Q.P. Pela fatoração, temos:
2121 −=+=+ kouk , ou seja, .31 −== kouk
Como, ,0>k então, .1=k
Logo, a equação é dada por .022)( 23 =+−−= xxxxA Usando o Teorema das
raízes racionais, para verificar se existe alguma raiz na forma ,qp temos:
• }2,1{ ±±=qp . Verificando em A(x):
122)2()2(2)2()2(022)2(22)2(
02)1()1(2)1()1(021)1(21)1(
23
23
23
23
−=+−−−−−=−
=+−−=
=+−−−−−=−
=+−−=
AAAA
Portanto, 1, -1 e 2 são raízes de A(x)=0, e são únicas conforme Teorema
Fundamental da Álgebra.
76
Desta forma, k+p=3. Portanto, alternativa (d).
11) Um terreno quadrado tem lados medindo 30m. Uma parte deste terreno,
também quadrada, com lados de 24m, estava destinada a um armazém (fig. 1). Contudo,
o dono do terreno resolveu mudar seus planos e construir o armazém na forma de um T
(fig.2), mas ocupando a mesma área anterior. Desta forma, calcule o valor de x.
Solução:
Sabendo que as áreas do quadrado e do retângulo são dadas pelo produto da base
pela altura, temos:
Na fig.1, temos:
• Área do Armazém= 2424×
Na fig.2, temos:
• Área do Armazém= xxx )30(30 −+
Como a área nas duas figuras deve ser igual, então:
057660)30(302424
2 =+−⇒
−+=×
xxxxx
Pela fórmula de Bháskara, temos
48122
)576.(1.46060 2
==⇒−±
= xouxx
Contudo, desprezamos x=48, uma vez que ao substituí-lo em (30-x), lado de um
retângulo da fig.2, teremos um valor negativo para uma medida, o que não convém.
Logo, x=12.
12) A tela de um quadro tem comprimento de 60 cm e largura de 50 cm. Nessa
tela foi colocada uma moldura, também retangular, de largura uniforme x cm. Calcule
essa largura, sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma área de 4200 cm 2 .
77
Solução:
Sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto entre o comprimento e a
altura. Assim,
• Área Total do Quadro= 4200 cm 2
Ou seja,
030055)250)(260(4200
2 =−+⇒
++=
xxxx
Pela fórmula de Bháskara, temos:
5602
)300.(1.45555 2
=−=⇒−−±−
= xouxx
Como não convém uma medida com valor negativo, temos x=5 cm.
13) A receita mensal (em reais) de uma empresa é dada pela função
,200020000)( 2pppR −= onde p é o preço de venda de cada unidade ).100( ≤≤ p
a) Qual o preço p que deve ser cobrado para uma receita de R$ 50.000,00?
b) Determine os valores de p para o qual a receita é nula, positiva ou negativa.
Solução:
a) Para 0000.50)( =pR temos:
0251050000200020000
2
2
=−+−⇔
=−
pppp
Pela fórmula de Bháskara, temos:
)2(5)1(2
)25).(1.(41010 2
dademultiplicipp =⇒−
−−−±−=
b) A receita é nula quando ,0)( =pR ou seja,
0100200020000
2
2
=+−⇔
=−
pppp
78
Colocando p em evidência, obtemos p=0 e p=10 como raízes.
Esboçando o gráfico de R(p), temos:
Analisando o gráfico, temos:
100,0)(100,0)(
100,0)(
><<<<>
===
poupsepRpsepR
poupsepR
14) (FGV) O lucro mensal (em unidades monetárias) de uma empresa é dado
por ,530)( 2 −+−= xxxL em que x é a quantidade mensal vendida.
a) Qual o lucro mensal máximo possível?
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual
a 195 u.m.?
Solução:
a) Como a função lucro é uma função polinomial do tipo cbxax ++2 , então
podemos usar a relação do vértice dada por abx 2/−= , o qual determina o pico
positivo nesta parábola (ver HOFFMANN, p. 15-16).
Calculando o vértice, temos:
15)1(2
30−=⇒
−−= xx
Desta forma, para determinar o lucro máximo mensal, basta substituir 15−=x ,
na função lucro:
220)15(5)15(30)15()15( 2 =⇒−+−= LL
Ou seja, o lucro mensal máximo é de 220 u.m.
b)Para um lucro mensal no mínimo igual a 195 u.m., temos
,195)( =xL ou seja,
79
020030195530
2
2
=−+−⇒
=−+−
xxxx
Pela fórmula de Bháskara, temos:
2010)1(2
)200).(1.(43030 2
==⇒−
−−−±−= xouxx
Ou seja, para 2010 ≤≤ x tem-se um lucro mensal de no mínimo 195 u.m.
15) (VUNESP) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de
arestas medindo x, x, e 2x, do qual foi retirado um prisma de base quadrada de lado 1 e
altura x. O sólido está representado abaixo:
(a) 232 xx − (b) 234 xx − (c) xx −32 (d) 23 22 xx − (e) xx 22 3 −
Solução:
Da Geometria Euclidiana sabe-se que o volume de um paralelepípedo retângulo
ou de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Assim,
• No paralelepípedo retângulo, temos:
xalturaexAbase == 22
Portanto, .2 3xV pedoparalelepí =
• No prisma de base quadrada, temos:
xalturaeAbase == 1
Portanto, .xVprisma =
Desta forma, o volume do sólido é dado por:
,prismapedoparalelepísólido VVV −= ou seja,
xxVsólido −= 32
Portanto, alternativa (c).
80
16) Uma livraria pode encomendar um certo livro a uma editora por um preço
de R$3,00 o exemplar. A livraria vende o livro a R$15,00 e por esse preço tem vendido
200 exemplares por mês. Pretendendo aumentar as vendas, a livraria decidiu reduzir o
preço e calcula que para cada R$1,00 de redução no preço, conseguirá vender mais 20
exemplares por mês. Expresse o lucro mensal da livraria com a venda desse livro em
função do preço de venda e, em seguida, estime o preço ótimo de venda.
Solução:
Temos que:
))(( exemplarporlucrovendidosexemplaresdenLucro °=
Seja x o preço de venda e L(x) o lucro mensal correspondente. Das informações
do problema temos:
• 200 exemplares são vendidos por mês quando o preço é de R$15,00.
• 20 exemplares são vendidos a mais por mês para cada R$1,00 de redução
no preço. Como o número de reais de redução é igual a diferença (15-x) entre o antigo
preço de venda e o novo preço, temos:
50020
)15(20200)00,1$(20200
+−=−+=
°+=°
xx
Rdereduçãodenvendidosexemplaresden
O lucro por exemplar é simplesmente a diferença entre o preço de venda, x, e o
custo R$3,00. Assim,
3−= xexemplarporLucro
Desta forma, o lucro mensal total é dado por:
150056020)3)(50020()(
2 −−−=
−+−=
xxxxxL
O vértice da parábola, isto é, o preço ótimo de venda é dado por:
14)20(2)560(
=−
−−=x
Portanto, o preço ótimo de venda é R$14,00.
17) Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina,
de 18 cm por 18 cm, removendo-se um pequeno quadrado de cada canto e dobrando as
abas resultantes para formar os lados. Expresse o volume da caixa em função do lado x
dos quadrados removidos.
81
Solução:
Temos que o volume é dado pelo produto da área pela altura, ou seja: 2)218( xxV −=
Em Física para uma melhor compreensão das aplicações que serão aqui
abordadas, faremos uma breve introdução sobre Movimento Uniformemente Variado
(MUV).
Nos estudos dos MUV, a função horária que descreve como os espaços s variam
no decorrer do tempo é uma função polinomial do 2° grau em t, dado por:
200 2
)( tatvsts α++=
onde 0s é o espaço inicial, 0v a velocidade inicial e α a aceleração escalar constante do MUV.
Dada a função horária dos espaços, é possível pela fórmula de Báskara
determinar os instantes em que o corpo em movimento passa pela origem dos espaços,
isto é, quando seu espaço ,0=s ou seja,
02
200 =++ ttvs α
Fazendo uma correspondência com a equação do 2° grau 02 =++ cbxax ,
teremos ,2/α=a 0vb = e .0sc = Assim ,pela fórmula de Bháskara temos:
αα
α
α..2
22
2..4
02
000
200 svv
tsvv
t−±−
=⇒
−±−=
A função horária dos espaços do MUV, também é utilizada nos estudos de
lançamentos vertical e lançamentos oblíquo no vácuo, de modo que a aceleração escalar
α passa a ser chamada de aceleração da gravidade ( 2/10 smg ≅ ). No estudo do
82
lançamento oblíquo (ver RAMALHO, p.180-182), sua aplicação se dá na análise da
componente vertical, ou seja,
20 2
ttvy yα
+=
onde yv0 corresponde a velocidade inicial vertical.
Abaixo segue algumas aplicações:
18) Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e seus espaços
variam no tempo de acordo com a função horária 2396 tts +−= , sendo t em segundos
e .0=s em metros. Determine o instante em que o móvel passa pela origem dos
espaços.
Solução:
O móvel passa pela origem dos espaços quando .0=s Desta forma, temos:
0396 2 =+− tt
Resolvendo esta equação de 2° grau na variável t, pela fórmula de Bháskara:
126
39)3(2
)6)(3.(499 2
==⇒±
=⇒−±
= touttt
Ou seja, o móvel passa pela origem dos espaços nos instantes: 1s e 2s.
19) Um móvel é atirado verticalmente para cima a partir do solo com
velocidade inicial de 20m/s. Desprezando-se a resistência do ar e adotando a origem de
espaços no solo com trajetória orientada para cima, determine:
a) A função horária dos espaços.
b) O instante em que o móvel atinge o solo.
(Dados: 2/10 smg = ).
Solução:
Temos: ;00 ms = smv /200 =
2
2
200
5205
1020
2
tts
tts
tgtvss
−=⇒
−=⇒
++=
83
c) Quando o móvel atinge o solo, seu espaço volta a ser nulo. Logo, ,0ms =
isto é,
==
⇒=−⇒
=−
)(4).(0
0)520(
0520 2
soloaochegadastinicialinstst
tt
tt
20) Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto e com
velocidades iniciais iguais a 30m/s. O segundo corpo é lançado 3s depois do primeiro.
Desprezando-se a resistência do ar e considerando 2/10 smg = , determine o instante e a
posição de encontro.
Solução:
Obs: B está deslocado lateralmente só para efeito da
figura, mas é lançado do mesmo ponto que A.
Seja A o corpo lançado primeiro e B o segundo corpo. Orientando a trajetória
para cima, teremos ./10 2smg −=
• Corpo A: ;00 ms = ./300 smv =
Logo, 2530 ttsA −= .
• Corpo B: ;00 ms = smv /300 = e partiu 3s depois de A.
Logo, 2)3(5)3(30 −−−= ttsB .
Para determinar o instante de encontro, temos: BA ss = . Ou seja,
stttttt
5,413530)3(5)3(30530 22
=⇒=⇒−−−=−
Substituindo t = 4,5 s em qualquer uma das funções horárias dos espaços,
determinamos o ponto de encontro:
Em 2530 ttsA −= , teremos:
msA 75,33)5,4(5)5,4(30 2 =−=
Ou seja, o encontro ocorre 4,5s depois do lançamento do primeiro corpo e a
33,75 m do ponto de lançamento.
84
21) Uma bola é lançada verticalmente de baixo para cima com velocidade
inicial de 60m/s. Três segundos depois, lança-se uma segunda bola com velocidade
inicial de 80m/s. Calcule o tempo gasto pela segunda bola até encontrar a primeira e a
altura do encontro.
Solução:
Seja A e B, respectivamente, a primeira e a segunda bola. Temos um MUV, cuja
função horária dos espaços (altura) é dada por:
200 2
tgtvhh ++=
Orientando a trajetória para cima, teremos ./10 2smg −= Assim,
• Em A, temos: 2560 tthA −=
• Em B, temos: 2)3(5)3(80 −−−= tthB , pois foi lançada 3s depois de A.
Fazendo, BA hh = , temos:
).(7,5028550)3(5)3(80560 22
encontrodeinststttttt
=⇒=−⇒−−−=−
Assim, o tempo gasto pela segunda bola até encontrar a primeira é dado pela
diferença do instante de encontro e o instante que a segunda foi lançada, ou seja,
stgasto 7,237,5 =−=
A altura do encontro é dada substituindo-se o instante de encontro t=5,7s em
BA houh . Logo, em ,Ah temos:
.55,179)7,5(5)7,5(60 2 mhA =−=
22) Um corpo é atirado obliquamente no vácuo com velocidade horizontal
constante de 60m/s e velocidade inicial vertical de 80 m/s. Adotando 2/10 smg = ,
determine a altura máxima atingida pelo corpo, sabendo que este atinge o ponto mais
alto da trajetória em 8s.
Solução:
Considere a figura como um pequeno esboço da situação do problema:
85
Orientando a trajetória para cima, teremos ./10 2smg −= Assim,
A altura máxima é dada pela direção vertical, logo: 200 2
tgtvHH y ++= .
Como, ,00 =H ;/800 smv y = 2/10 smg −= e st 8= (instante em que atinge o ponto
mais alto), temos:
mHH 320)8(2
10)8(80 2 =⇒−=
Portanto, a altura máxima é de 320m.
Para a próxima aplicação é importante lembrar da Física Mecânica (ver
RAMALHO, p.298-307) que a energia mecânica )( mE em cada instante é a soma das
energias cinética )( CE , potencial gravitacional )( gE e potencial elástica )( eE . Para
tais energias temos as seguintes fórmulas matemáticas:
• ,2
2mVEC = onde m: massa e V: velocidade.
• ,mghEG = onde m :massa, g: aceleração da gravidade e h:altura.
• ,2
2kxEE = onde k: constante elástica da mola/elástico e x: elongação do
elástico/mola.
23) Um homem com massa 60 kg pretende saltar de bungee jumping.
Considerando que o comprimento natural do elástico é 10m e sua constante elástica
k=50 N/m e que o sistema apresentado abaixo com três situações é conservativo,
determine a altura mínima necessária para que o homem salte.
86
Onde:
N.R: nível mais baixo atingido pelo saltador
A: antes do salto
B: elástico não esticado (comprimento natural)
C: elongação do elástico
Solução:
• Em A, temos 0,0 hhv aA == . Logo,
)1(00 00 mghEmghEEEEE
MAMA
EAGACAMA
=⇒++=⇒++=
• Em B, temos LhhB −= 0 . Assim,
)2()(2
0)(2 0
2
0
2
LhmgmvELhmgmvE
EEEE
BMB
BMB
EBGBCBMB
−=⇒+−+=⇒
++=
• Em C, temos Lhxvh CC −=== 0,0,0 . Assim,
87
)3()(2
)(2
)(00 0
00 LhLhK
ELhk
E
EEEE
MCMC
ECGCCCMC
−−
=⇒−
++=⇒
++=
Como o sistema é conservativo, temos .MCMBMA EEE == Analisando
,MBMA EE = temos:
2000
2
0 )(2)(2
LhkmghLhmgmvmgh B −=⇒−=
Das informações do problema, temos m=60 kg, L=10m e k=50 N/m. Logo, a
altura mínima 0h é dada por:
010044)10(50)10).(60.(2 02
02
00 =+−⇒−= hhhh
Pela fórmula de Bháskara, temos:
mhoumhh 40,26,412
)100.(4444400
2
0 ==⇒−±
=
Como a altura mh 40,20 = não é conveniente nesta situação em estudo, então
mh 6,410 = corresponde a altura mínima.
88
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BEZERRA, Manoel J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001. 496p. CENTURIÓN, Marília. Et all. Matemática na medida certa. 8ª série. São Paulo: Scipione, 2003. 237p. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da Unicamp, 2002. pp. 302-308. GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas: a história da álgebra. São Paulo: Makron Books, 1997.
LIMA, Elon Lages. Et all. Meu professor de matemática e outras histórias. Rio de
Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991. pp. 13-25.
HOFFMANN, Laurence D.; BRANDLEY, Geraldo L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 525p. RAMALHO, Francisco. Et all. Os fundamentos da física: mecânica. 6. ed. São Paulo: Moderna, 1993. v. 1. 480p. RUGGIERO, Márcia Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2.
ed. São Paulo: Makron Books, 1996. p. 27-74.
SITES:
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm105/abel.htm
http://www.searadaciencia.ufc.br/especiais/matematica/eulergauss/eulergauss9.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_Galois
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