02. ukuran pemusatan dan dispersi-1.ppt

DESKRIPSI DATA

1

Pendahuluan :2

Sering digunakan peneliti, khususnya dalam memperhatikan perilaku data dan penentuan dugaan-dugaan yang selanjutnya akan diuji dalam analisis inferensi.

Analisis Statistik Deskriptif :3

Sari numerik (ringkasan angka)◦ Menyatakan nilai-nilai penting dalam

statistik meliputi ukuran pemusatan dan dispersi.

Distribusi◦ Menyatakan pola atau model dari

penyebaran data. Pencilan

◦ Menyatakan nilai data yang berada diluar kelompok nilai data yang lainnya.

Sari Numerik (ringkasan angka):

4

Ukuran pemusatan ◦ merupakan ukuran yang menyatakan pusat

dari sebaran data. Ada tiga macam ukuran pemusatan yaitu Rata-rata, Median, dan Modus.

Ukuran penyebaran (dispersi) ◦ adalah ukuran yang dipakai untuk

mengukur tingkat penyebaran data. ◦ Semakin kecil ukuran penyebaran semakin

seragam data tersebut dan semakin besar ukuran penyebaran semakin beragam data tersebut.

Ukuran Pemusatan 5

Rata-rata adalah sebuah nilai yang khas yang dapat mewakili suatu himpunan data.

Rata-rata dari suatu himpunan n bilangan x1, x2 , ….., xn ditunjukkan oleh dan didefinisikan sbb :

n

x

n

xxxX

n

in

121 .....

Ukuran Pemusatan 6

Jika bilangan-bilangan x1, x2 , ….., xn masing-masing terjadi f1, f2 , ….., fn maka nilai rata-ratanya adalah :

n

i

n

ii

n

nn

f

xf

fff

xfxfxfX

1

1

21

2211

....

.....

Sifat Rata-Rata Responsif terhadap perubahan datum dalam

distribusinya Nilai rata-rata merupakan suatu nilai penyeimbang Sangat sensitif terhadap keberadaan datum yang

extreme. Merupakan ukuran yang berdasarkan hasil

pengukuran sehingga rata-rata dapat mencerminkan total skor.

Rata-rata merupakan pengukuran yang stabil jika diambil beberapa sampel dari populasi yang sama.

7

Ukuran Pemusatan (3):8

Median adalah besaran yang membagi data menjadi dua kelompok yang memiliki persentase sama besar, dengan himpunan bilangan disusun menurut urutan besarnya.

Dimana L1 = batas kelas bawah dari kelas median.n = banyak data(Σ f)1= jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah

dari kelas medianf med = frekuensi kelas medianc = panjang kelas

c

f

fn

LMedianmed

1

12

Sifat-Sifat Median

Median kurang sensitif terhadap datum yang ekstrim.

Jika dalam data terdapat suatu data yang menyimpang dari distribusi maka ukuran median baik digunakan

Median menempati posisi kedua setelah rata-rata dalam hal resistensi terhadap fluktuasi data.

9

Ukuran Pemusatan (4):10

Modus suatu himpunan bilangan adalah nilai yang paling sering muncul (memiliki frekuensi maksimum). Modus mungkin tidak ada. Modus dapat diperoleh dari rumus :

Dimana L1 = batas kelas bawah dari kelas modus.1 = selisih frekuensi kelas modus dan

frekuensi kelas sebelumnya2 = selisih frekuensi kelas modus dan

frekuensi kelas sesudahnyac = panjang kelas

cLModus

21

11

Sifat-Sifat Modus

Modus sangat mudah ditentukan, tetapi sangat tidak stabil dari satu sampel ke sampel lainnya

Modus mungkin tidak tunggal ( atau bahkan tidak ada modus)

Modus ukuran yang paling cocok digunakan untuk ukuran data nominal.

11

Ukuran Dispersi/Penyebaran (1):

12

Derajat atau ukuran sampai seberapa jauh data numerik cenderung untuk tersebar disekitar nilai rata-ratanya.

Yang paling umum adalah Range (rentang), Variansi, dan Simpangan Baku.

Ukuran dispersi lain adalah kuartil, persentil, semi inter quartil.

Range / Rentang (R):13

adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dalam himpunan.

Nilai R akan selalu positif. Interpretasi nilai R adalah:

◦ R = 0, menunjukkan bahwa data terbesar sama dengan data terkecil, akibatnya semua data memiliki harga yang sama

◦ R kecil, memberikan informasi bahwa data akan mengumpul di sekitar pusat data

◦ R besar, menyatakan bahwa paling sedikit ada satu data yang harganya berbeda jauh dengan data lainnya

Simpangan baku (deviasi standar) (1):

14

Simpangan Baku (Deviasi Standar) suatu himpunan bilangan x1, x2, …, xn dinyatakan dengan s dan didefinisikan sebagai berikut :

2

1222

12

11

n

xnx

n

xxs ii

Simpangan baku (deviasi standar) (2):

15

Jika x1, x2, …, xn masing-masing muncul dengan frekuensi f1, f2, …, fn, maka simpangan baku dapat dituliskan :

2

1222

12

1

n

xf

n

xf

f

xxfs iiii

i

ii

ifn

16

Kuadrat dari simpangan baku adalah variansi. Nilai variansi dan simpangan baku selalu non-

negatif. Interpretasi nilai s2 adalah:

◦ s2 = 0 atau s = 0 berarti nilai data sama sengan rata-ratanya, sehingga nilai semua data sama

◦ s2 atau s kecil, berarti perbedaa n harga data yang satu dengan lainnya kecil Akibatnya semua data akan mengumpul disekitar pusat data.

◦ s2 atau s besar menyatakan bahwa paling sedikit ada satu data yang harganya berbeda jauh dengan data lainnya.

Simpangan baku (deviasi Simpangan baku (deviasi standar) (3):standar) (3):

Sifat-Sifat Simpangan Baku

Sangat responsif terhadap posisi untuk setiap datum dalam distribusi

Standar deviasi kurang baik jika data memuat datum yang ekstrim atau kemencengan (skewness) yang jelek.

Sangat resisten dari sampel ke sampel. Standar deviasi menjadi dasar baik

dalam statistik deskriptif maupun dalam statistik inferensi.

17

Ukuran Penyebaran Lain :18

Suatu himpunan data yang dibagi atas empat bagian yang sama. Nilai-nilai ini disebut Kuartil dan dinyatakan dengan Q1, Q2, dan Q3.

Suatu himpunan data yang dibagi atas sepuluh bagian yang sama disebut Desil dan dinyatakan dengan D1, D2, D3, …., D9.

Suatu himpunan data yang dibagi atas seratus bagian disebut Persentil dan dinyatakan dengan P1, P2, P3, ….., P99.

Range Semi Interquartil

Untuk menghitung range semi interquartil sbb:

Range semi interquartil lebih sensitif terhadap datum yang ekstrim dibandingkan dengan standar deviasi.

19

𝑄= 𝑄3 − 𝑄12 = 𝑃75− 𝑃252

Kuartil :20

Di mana LQN = batas kelas bawah dari kelas kuartil ke-N n = banyak data (Σ f)N= jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas

kuartil ke N fQN = frekuensi kelas kuartil ke-N c = panjang kelas

Rumus Kuartil ke-N (N = 1,2,3) :

c

f

fn

NLQ

QN

N

QNN

4

.

Bentuk distribusi21

Dalam statistika, mempelajari distribusi merupakan suatu hal yang penting, karena akan menentukan metodologi statistika yang akan digunakan.

Distribusi adalah pola atau model penyebaran yang merupakan gambaran kondisi sekelompok data.

Ciri Bentuk Distribusi Simetri:

22

Mean = median = modus

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ciri Bentuk Distribusi Menjulur ke kanan (positif):

23

Mean > median > modus

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ciri Bentuk Distribusi Menjulur ke kiri (negatif):

24

Mean < median < modus

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mengukur derajat kemencengan distribusi data:25

Rumus Pearson

Dimana SK = derajat kemiringan (skewness) = mean Mo = Modus S = Standar Deviasi

S

MoxSK

X

Interpretasi nilai derajat kemenjuluran:

26

Bila nilai SK = 0 atau mendekati nol, maka dikatakan distribusi data simetri

Bila nilai SK bertanda negatif, maka distribusi data menjulur ke kiri

Bila nilai SK bertanda positif, maka distribusi data menjulur ke kanan

Pencilan (Outlier)27

Memberikan informasi mengenai data yang harganya jauh berbeda dari harga data lainnya.

Dalam statistika, mendeteksi pencilan sangat penting karena data yang masuk dalam pencilan akan mengganggu hasil analisis data.

Oleh karena itu, data pencilan harus dianalisis tersendiri, terpisah dari kelompoknya.

Langkah-langkah mendeteksi pencilan:

28

Hitung besarnya nilai sebaran tengah, yaitu dq = QA – QB

Hitung nilai batas bawah pencilan (BBP), yaitu : BBP = QB – (1,5 x dq)

Hitung nilai batas atas pencilan (BAP), yaitu : BAP = QA + (1,5 x dq)

Apabila terdapat data dengan nilai lebih kecil atau sama dengan BBP maka data tersebut disebut pencilan bawah.

Apabila terdapat data dengan nilai lebih besar atau sama dengan BAP maka data tersebut disebut pencilan atas.

Soal 129

Distribusi frekuensi dari upah karyawan suatu perusahaan dalam ribuan rupiah per bulan adalah sbb.:

Nilai upah Banyaknya karyawan

100 – 199 15

200 – 299 20

300 – 399 30

400 – 499 25

500 – 599 15

600 – 699 10

700 – 799 5

Hitung mean dan modus

Hitung kuartil ke-3 dan simpangan baku

Soal 230

Diketahui besarnya pinjaman 7 orang nasabah suatu bank sbb. (dalam juta Rp).

Nama A B C D E F G

Pinjaman

12.57

14.65

25.50

5.75 11.80

16.55

15.89

Selidiki, apakah terdapat nasabah yang pinjamannya cukup sedikit atau sangat besar dibandingkan dengan nasabah lainnya

Soal 331

Sebuah obyek wisata di Bandung diamati selama 30 hari. Setiap hari dicatat banyaknya wisatawan domestik (satuan orang) yang mengunjungi obyek wisata tersebut yang ditampilkan dalam tabel berikut .

85 42 45 3 71 97 6 48 60 49

45 55 21 75 80 62 54 62 41 6

95 45 25 81 76 84 45 68 59 15

Dengan memanfaatkan analisis data statistik secara deskriptif, berikan analisis anda terkait dengan masalah di atas.

Soal 4 :32

Banyaknya mobil pribadi yang melewati 7 titik pengamatan pada jam 06.30 – 07.30 di kawasan jalan pahlawan adalah sbb.:

Lokasi

1 2 3 4 5 6 7

Jml mbl

70 73 93 71 109 75 71

Setelah data di atas dibakukan (*), selidiki betuk distribusinya melalui nilai rata-rata dan median.

33

Catatan (*): Membakukan data bertujuan untuk

mentransformasikan nilai-nilai data menjadi suatu kumpulan data baru dengan nilai rata-rata sama dengan nol dan variansi sama dengan 1.

Rumus pembakuan data adalah :

bakusimpangan

datapemusaukuran

s

xxZ

x

ii

tan