第四章 z 变换 §4-1 引言
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第四章 第四章 ZZ 变换变换 §4-1 §4-1 引言引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一一 .. 时域时域分析法分析法 1.1. 连续时间信号与系统:连续时间信号与系统:
信号的时域运算,时域分解,经典时域信号的时域运算,时域分解,经典时域 分析法,近代时域分析法,卷积积分。分析法,近代时域分析法,卷积积分。 2.2. 离散时间信号与系统:离散时间信号与系统:
序列的变换与运算,卷积和,差分方程序列的变换与运算,卷积和,差分方程 的求解。的求解。
二 . 变换域分析法
1. 连续时间信号与系统: 信号与系统的频域分析、复频域
分析。
2. 离散时间信号与系统: Z 变换, DFT(FFT) 。
Z 变换可将差分方程转化为代数方程。
n
nznxnxZzX )()]([)(
§4-2 Z 变换的定义及收敛域一 .Z 变换定义:
序列的 Z 变换定义如下:
jSez
ezST
Tj
,
* 实际上,将 x(n) 展为 z-1 的幂级数。
二 . 收敛域
1. 定义 : 使序列 x(n) 的 z 变换 X(z) 收敛的所有 z 值的 集合称作 X(z) 的收敛域 .
2. 收敛条件: X(z) 收敛的充要条件是绝对可和。
Mznxn
n)(即:
3.3. 一些序列的收敛域一些序列的收敛域(1).(1). 预备知识预备知识
阿贝尔定理阿贝尔定理 :: 如果级数 ,在 如果级数 ,在 收敛收敛 ,, 那么那么 ,, 满足满足 00≤≤|z|<|z|z|<|z++|| 的的 z,z, 级数必绝对收级数必绝对收 敛。敛。 |z|z++|| 为最大收敛半径。为最大收敛半径。
)0( zz
0
)(n
nznx
]Re[z
]Im[zj
z
]Re[z
]Im[zj
z
同样 , 对于级数 ,满足
的 z , 级数必绝对收敛。 |z_| 为最小收敛半径。
0
)(n
nznx zz
0 n2n1
(n)
. .
.x
(2). 有限长序列
n
nnnnxnx
其他,0
),()( 21
;)(,)()( 21
2
1
nnnznxznxzX nn
nn
n
,若
;)( 21 nnnznx n ,是有界的,必有考虑到
”平面 。“即所谓 有限
,外的开域也就是除所以收敛域
,则只要时,同样,当
,则只要时,因此,当
z
zzz
zzzzn
zzzzn
nnn
nnn
),0(,00
,0
0,/10
]Re[z
]Im[zj
1
1
,0
),()(
nn
nnnxnx
1 1
1
0
)()()()(nn nn n
nnn znxznxznxzX
x(n)
n0n1..
1...
3. 右边序列
* 第一项为有限长序列,第二项为 z 的负幂级数 ,
xR
]Re[z
]Im[zj
收敛域
第一项为有限长序列 , 其收敛域为 0<|z|<∞;第二项为 z 的负幂次级数,由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为 Rx-<|z|<∞; Rx- 为最小收敛半径。
(4)(4) 因果序列因果序列
它是一种最重要的右边序列它是一种最重要的右边序列 ,, 由阿贝尔由阿贝尔
定理可知收敛域为:定理可知收敛域为:
0,0
0),()(
n
nnxnx
zRx
2
2
1
0
)()(
)()(
n
n
n
n
n
n
n
n
znxznx
znxzX
(5) 左边序列
2
2
,0
),()(
nn
nnnxnx
x(n)
0 n n2
xRz0故收敛域为
z0
xR
]Re[z
]Im[zj
xRz
第二项为有限长序列 , 其收敛域 ; 第一项为 z 的正幂次级数,根据阿贝尔定理 , 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .
xRz0
双边序列指双边序列指 nn 为任意值时为任意值时 ,,xx(n)(n) 皆有值的序列,即皆有值的序列,即左左边序列边序列和右边和右边序列之和。序列之和。
0
1
)()()()(n n
nn
n
n znxznxznxzX
(6) 双边序列
0 n
x
第二项为左边序列,其收敛域为:
第一项为右边序列 ( 因果 ) 其收敛域为:
xRz0
xRz
xR
]Re[z
]Im[zj
xR
当 Rx-<Rx+ 时,其收敛域为 xx RzR
)()( nnx
021 nn
1)()]([ 0
ZZnnZ n
n
其收敛域应包括
即 充满整个 Z 平面。
,,0 zz
,0 z
[ 例 2-1] 求序列 的 Z 变换及收敛域。
解:这相当 时的有限长序列,
n
n
nn
nnn
n
n
azazaz
azzaznuazX
)()(1
)()()(
1211
0
1
0
)()( nuanx n
当 时,这是无穷递缩等比级数。az
为解析函数,故收敛。
外,为极点,在圆
。
)(
1
1
1,
111
zX
azaz
az
z
azq
aSazq
[ 例 2-2] 求序列 的 Z 变换及收敛域。 解:
* 收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
]Re[z
]Im[zj
z
a0
收敛域: az
[[ 例例 2-3]2-3] 求序列 求序列 变换及收敛 变换及收敛域。域。
n
n
n n n
nnnnn
zbzbzb
zbzbznubnx
)()(
)1()(
1211
1
1
)1()( nubnx n
同样的,当 |b|>|z| 时,这是无穷递缩等比级数,收敛。
]Re[z
]Im[zj
b收敛域: bz
* 收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
bz
zzb
zbzX
1
1
1)(故其和为
§4-3 Z§4-3 Z 反变换反变换
一一 .. 定义:定义:
已知已知 X(z)X(z) 及其收敛域及其收敛域 ,, 反过来求序列反过来求序列 xx(n)(n)
的变换称作的变换称作 ZZ 反变换。反变换。
)]([)( 1 zXZnx 记作:
),(,)(2
1)(
,)()(
1
xxc
n
xxn
n
RRcdzzzXj
nx
RzRznxzX
反:
正:
]Im[zj
]Re[z
xR
xR
z 变换公式:
C 为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线 .
0
c
1. 留数法 由留数定理可知:
cm
zznn
ck
zznn
m
k
zzXsdzzzXj
zzXsdzzzXj
])([Re)(2
1
])([Re)(2
1
11
11
为 c 内的第 k 个极点, 为 c 外的第 m个极点,
Res[ ] 表示极点处的留数。
mzkz
二 . 求 Z 反变换的方法
2 、当 Zr 为 l阶 ( 多重 ) 极点时的留数:
r
r
zznl
rl
l
zzn
zzXzzdz
d
l
zzXs
])()[()!1(
1
])([Re
11
1
1
留数的求法:
1 、当 Zr 为一阶极点时的留数:
rr zzn
rZZn zzXzzzzXs
])()[(])([Re 11
[[ 例例 2-4] 2-4] 已知已知
解解 ::
11 )当)当 nn≥-1≥-1 时时 ,, 不会构成极点,所以这不会构成极点,所以这时时 CC 内只有一个一阶极点内只有一个一阶极点 因此因此
44
1,
)4
1)(4(
)(2
zzz
zzX
)41
)(4()(
11
zz
zzzX
nn
1nz
4
1rz
1,415
1
41
4
)41
(
)]4
1)(4/([Re)(
1
4
11
n
zzzsnx
n
n
z
n
,求 z 反变换。
22 )当)当 n≤-2n≤-2 时,时, X(z)zX(z)zn-1n-1 中的中的 zzn+1n+1 构成构成 n+1n+1 阶极点。阶极点。 因此因此 CC 内有极点:内有极点: z=1/4(z=1/4( 一阶一阶 ), z=0), z=0 为为 (n+1)(n+1) 阶极点;而在阶极点;而在 CC 外仅有 外仅有 z=4(z=4( 一阶一阶 )) 这个极点这个极点 ::
2,415
1
41
4
)4(
)]4
1)(4/([Re)(
21
41
n
zzzsnx
nn
zn
2,415
1
1,415
1
)(2 n
nnx
n
n
因此
2. 部分分式法 有理式:数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式:含字符的式子做分母的有理式,或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式:把 x的一个实系数的真分式分解成几个分式
的和,使各分式具有 或 的形式 ,其中 x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式,而且 k 是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。
kAx
a
)( kBAxx
bax
)( 2
通常,通常, X(z)X(z) 可可表成有理分式形式:表成有理分式形式:
因此,因此, X(z)X(z) 可以展成以下部分分式形式可以展成以下部分分式形式
其中,其中, M≥NM≥N 时,才存在时,才存在 BBnn ;; ZZkk 为为 X(z)X(z) 的各单极点,的各单极点,ZZii 为为 X(z)X(z) 的一个的一个 rr 阶极点。而系数阶极点。而系数 AAkk ,, CCkk
分别为:分别为:
iN
ii
M
i
ii
za
zb
zA
zBzX
1
0
1)(
)()(
r
kk
i
krN
k k
kNM
n
nn zz
C
zz
AzBzX
11
11
0 )1(1)(
rkzz
rikr
kr
k
zzk
i
k
z
zxzz
dz
d
krC
zzXsA
2,1,
)()[(
)!(
1
])([Re
2,)5.01()21(1)( 11 zzzzX
5.02)5.0)(2(
)(
)5.0)(2()5.01)(21(
1)(
21
2
11
z
A
z
A
zz
z
z
zX
zz
z
zzzX
的 z 反变换。
[ 例 2-5] 利用部分分式法,求
解:
分别求出各部分分式的 z 反变换(可查 P54表 2-1 ),然后相加即得 X(z) 的 z 反变换。
5.03
1
23
4)(
3
1]
)()5.0[(
3
4]
)()2[(
5.02
21
z
z
z
zzX
z
zXzA
z
zXzA
z
z
0,0
0,)5.0(3
12
3
4)(
1.254
,2
n
nnx
p
z
nn
得表查
又
3.3. 幂级数展开法幂级数展开法 (( 长除法长除法 )) 因为 因为 xx(n) (n) 的的 ZZ 变换为变换为 ZZ-1-1 的幂级数,即的幂级数,即
所以在给定的收敛域内,把所以在给定的收敛域内,把 X(z)X(z) 展为幂级数,其系数就展为幂级数,其系数就
是序列是序列 xx(n)(n) 。。 如收敛域为如收敛域为 |z|>|z|>RRx+x+ , , xx(n)(n) 为因果序列,则为因果序列,则 X(z)X(z) 展成展成
ZZ 的负幂级数。的负幂级数。 若 收敛域若 收敛域 |Z|<|Z|<RRx-x-, , xx(n)(n) 必为左边序列,主要展成必为左边序列,主要展成 ZZ 的正幂级数。 的正幂级数。
210
2
)2()1()0(
)1()2()()(
zxzxzx
zxzxznxzXn
n
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