Διαγράμματα venn –Χάρτες karnaugh, Άλγεβρα boole
Post on 12-May-2022
11 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ΔιαγράμματαVenn– ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBoole
04a(§ 4.1- 4.8)– 21-26 Οκτ. 2020– ΜανόληςΚατεβαίνης
©copyrightUniversityofCrete– https://www.csd.uoc.gr/~hy120/20f/copyright.html
Πανεπ.Κρήτης– Τμ.Επ.Υπολογιστών– ΗΥ-120ΨηφιακήΣχεδίαση
ΧάρτηςKarnaugh/ΔιάγραμμαVenn2Μεταβλητών
set BB false B true
A true
A false
set A
Bf(A,B)
f(1,0) f(1,1)
f(0,1)f(0,0)0
1
0 1
A
204a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
ΠίνακαςΑληθείαςσεμορφή
ΧάρτηKarnaugh
Οι«Περιοχές»τηςκάθε
Μεταβλητής
Διάγραμμασυνόλων
τύπουVenn• Μεταβλητέςσεορθογώνιουςάξονες– Διδιάστατοδιάγραμμα
Συναρτήσεις2μεταβλητώνμεένανΆσοστονΠ.Α.
0
1
1f(A,B)
0
0 0
10
A’
B’ B
A
0
1
1g(A,B)
0
0A’
B’ B
A 0
1
0
0
1
1h(A,B)
0
0 0A’
B’ B
A 1 0
0
1
1k(A,B)
0
0
0
A’
B’ B
A
1
0
304a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
f(A,B) =A·B g(A,B) =A’·B h(A,B) =A·B’ k(A,B) =A’·B’
• ΤοΚΑΙ ανάβεισεμίακαιμόνομίαπερίπτωση• ΗτομήδύοσυνόλωνστοδιάγραμμαVenn• Οι4έξοδοιτουαποκωδικοποιητή
Δύοάσοισεγειτονικά τετρ.:ανεξαρτ.απόμίαμτβλ.
0
1
1g(A,B)
0
0A’
B’ B
A 0
1
1
0
1
1h(A,B)
0
1A’
B’ B
A 0
0
1
1k(A,B)
0
A’
B’ B
A
1
0
0
1
1f(A,B)
0
0 0
1
A’
B’ B
A 1
0
10
1
404a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
f(A,B) =A g(A,B) =B h(A,B) =A’ k(A,B) =B’
• Γειτονικάτετράγωνα=μίαμτβλ.αλλάζει,οιάλλεςίδιες• Συνάρτησηίδιασε2γειτονικάτετράγωνα⇒ ανεξάρτητηαπότημεταβλητήεισόδουπουαλλάζειμεταξύτους
ΗσυνάρτησηOR:Ένωσησυνόλων
0
1
1g(A,B)
0
A’
B’ B
A 0
1
1
0
1
1h(A,B)
0
1A’
B’ B
A 1
0
1
1k(A,B)
0
A’
B’ B
A
1
0
0
1
1f(A,B)
0
0 1
1
A’
B’ B
A 1
1
1
01
1
504a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
f(A,B) =A+B g(A,B) =A’+B h(A,B) =A+B’ k() =A’+B’
• Καλύπτουμεόλουςτουςάσουςμεορθογώνιες περιοχές,όσοπιόμεγάλεςγίνεται(μέγεθος⇒ ανεξαρτησία)• ΗσυνάρτησηείναιτοOR (ένωση)όλωντωνεπιμέρους
Οιυπόλοιπες4συναρτήσεις2μεταβλητών…
0
1
1g(A,B)
0
A’
B’ B
A
1
1
0
1
1h(A,B)
0
0A’
B’ B
A 1 0
0
1
1k(A,B)
0
0
0
A’
B’ B
A
10
1
1f(A,B)
0
0 0
00
A’
B’ B
A
1
1
1
1
604a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
f(A,B) =0 g(A,B) =1 A·B’+A’·B A’·B’+A·B
• Ίδιατιμήσε4γειτονικάτετρ.⇒ ανεξαρτησίααπό2μτβλ.• ΟιXORκαιXNOR δεναδιαφορούνγιάκαμίαείσοδο(ιδιό-τηταανίχνευσηςσφαλμάτων)⇒ καμίααπλοποίησηόρων
Γιατίυπάρχουν16(=24)συναρτήσεις2μεταβλητών;
• Ψηφιακήδυαδικήσυνάρτησηδύοψηφιακώνδυαδικώνμτβλ.• Πλήρωςκαθορισμένηαπότονπίνακααληθείαςτης• Οπιν.αλ.τηςέχει4θέσεις• Σεκάθεθέση,2επιτρεπτέςτιμές
704a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
0
1
0 1
A
Bf(A,B)
f(1,1)f(1,0)
f(0,0) f(0,1)
• Τα4bitsστα4χρωματιστάτετρ.καθορίζουνπλήρωςτηνf()• Υπάρχουνακριβώςκαιμόνον24=16συνδυασμοίτων4bits,άραυπάρχουνακριβώς24=16συναρτήσειςBoole2μεταβλ.
ΧάρτηςKarnaugh/ΔιάγραμμαVenn3 Μεταβλητών
C B
A1
0A
1
0
B
CBC
01
00
11
10
0 1
00 01 11 10
BC
0
1
A
804a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
• ΤρείςΜεταβλητές• ΤριδιάστατοΔιάγραμμα • Κόβουμεκαιξετυλίγουμε
όχι ησυνηθι-σμένησειρά!
Συναρτήσεις3 μεταβλητώνμεένανΆσοστονΠ.Α.
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0
1
0 0 0
0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0 0
0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0 0
0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0 0
0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0
0 0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0
0 0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0
0 0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0
0 0 00
0
0
0
0
0
0
0
904a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
A’·B·C
A·B·C
A’·B·C’ A’·B’·C A’·B’·C’
A·B·C’ A·B’·C A·B’·C’
Συναρτ.3 μτβλ.μεδύογειτονικούς ΆσουςστονΠ.Α.
A
1
0 CBC
01
00
11
10
0 1
11 11
0
1
0
0
000
11
1
1
1
1
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0
0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0
0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 1
0 0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0
1 0 1
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0
0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0
0 0 0 0
0
0
0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0 0 0
0
10
γειτονικα!
0
1004a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
B·C
A·B
B’·C A·C’ A’·C’
A·C A’·B’
4γειτονικοί άσοι:ανεξαρτησίααπό2μεταβλητές
C’C
A’A B’B
1
1
1 1
1 1A
11
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1 0
00 01 11 10
C
A
0
1
0 0 1
0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0
0
00 01 11 10
BC
C
B
0
1
0 0 0 0
1
0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1 0 0
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
0 0
00
γειτονικα!B
1111
11 1 1
0 0
1 11
1 1
00
00
1
1104a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
• Γειτονιέςορθογωνίουσχήματοςπάντα• Κάθεδιπλασιασμόςμεγέθουςγειτονιάςαντιστοιχείσεανεξαρτησίααπόμίαεπιπλέονμεταβλητήεισόδου • 4άσοι⇒ ανεξαρτησίααπό2μτβλ.
ΈνωσηΓειτονιών(OR):συμφέρειναείναιΜεγάλες
C’A
C’A’ B’ C’B’
AB’A C’ B C’ C’BA
B’ C’00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
1
0 0 1
0 0 0
11
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
1
0 0 1
0 0 0
1
00 01 11 10
BC
C
B
A
0
1
1
0 0 1
0 0 0
1204a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
• ΟλικήΣυνάρτηση=OR (όροιAND ορθογώνιωνγειτονιών)• Όσομεγαλύτερηγειτονιά,τόσομικρότεροςόροςAND• Συμφέρει«φούσκωμα»γειτονιών,καιμεαλληλοκάλυψη• ΗROMτης§2.5υλοποιείτηναριστερή(χειρότερη)λύση
A’·B’·C’+A·B’·C’+A·B·C’ B’·C’+A·B·C’ B’·C’+A·C’
ΧάρτηςKarnaugh4Μεταβλητών
D C
A
B
AB:
00 01 11 10
00
11
01
10
CD:
1304a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
• Σαναπόξετύλιγμακαιοριζόντιακαικατακόρυφα• Αριστερήστήληγειτονικήμεδεξιά• Επάνωγραμμήγειτονικήμεκάτω
ΠαραδείγματαΣυναρτήσεων4ΜεταβλητώνA’ B’ D’
A D’CB’ CA
A’ B’ C’ D
C’ DB’ D’ B’
0 0
0A
C
B
D
1
AB:
00 01 11 10
00
11
01
10
CD:
1
0
1
1
00
0 0A
C
B
D
00
0
0
1
1
00
AB:
00 01 11 10
00
11
01
10
CD:
1
0
1 1 1
1 1
1
1
00
0 0 0A
C
B
D
1 1
AB:
00 01 11 10
00
11
01
10
CD:
1
0
1 1 1
1 1
1
1
00
0
1404a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
Μέγεθος«Γειτονιάς»(πλήθοςκουτακίων) 1 2 4 8 16ΌροςΚΑΙ ανεξάρτητοςαπόπόσεςμεταβλητές 0 1 2 3 4ΌροςΚΑΙ περιέχειπόσεςμεταβλητέςεισόδου 4 3 2 1 0
A·B’·C+A·C·D’+A’·B’·D’B’ + C’·DB’·D’+ C’·D+ A’·B’
ΤικάνουμεγιάΣυναρτήσεις≥5μεταβλητών;• ΧάρτηςKarnaughπέντε μεταβλητώνθαήτανσανδύοχάρτες4μεταβλητώνοέναςπάνωαπότονάλλον,κλπ.• Δενείναιπρακτικό/χρήσιμογιάτουςανθρώπους• Σημερινήτεχνολογίαέχειπροχωρήσειπολύ– Kανείςπιάδενβελτιστοποιεί«συνδυαστικήλογική»μετοχέρι– Πολύεξελιγμένοιαλγόριθμοικαιπρογράμματααυτοματοποιημένηςβελτιστοποίησης
• EDA (ElectronicDesignAutomation)Tools• CAD (ComputerAidedDesign)
1504a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
Τοσύμβολο“x”(don’tcare)στηνπλευράΕισόδωνΠ.Α.• Σύντμησηπολλαπλώνπανομοιότυπωνγραμμών– ανεξαρτησίαεξόδωναπό(αδιαφορίαγιά)κάποιαμτβλ.εισόδου– «ό,τικαινα’ναιαυτήημεταβλητή,εσύκάνειςτοίδιο»
1604a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
Χορτο-φάγος;
Χοιρινότρώτε; Πιάτο:
1 x Σαλάτα0 0 κοτόπουλο0 1 πριζόλα
Χορτοφ.; Χοιρινό; Πιάτο:1 0 Σαλάτα1 1 Σαλάτα0 0 κοτόπουλο0 1 πριζόλα
Write DataIn Μνήμη=
0 x ό,τιπριν1 0 01 1 1
Write DataIn Μνήμη=0 0 ό,τιπριν0 1 ό,τιπριν1 0 01 1 1
A B A·B
0 x 01 0 01 1 1
A B A·B0 0 00 1 01 0 01 1 1
Τοσύμβολο“x”(don’tcare)στηνπλευράΕξόδωνΠ.Α.• Προδιαγραφές:«Δενμενοιάζει– κάνεό,τισυμφέρει»– Τελικά,ηέξοδος,ή0θαείναιή1θαείναισεαυτήτηθέσητουπίνακααληθείας– απλάεμείςδεχόμαστεοιοδήποτεεκτωνδύο
1704a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
C’B D’BC’ D’
10
00
11
01
10
CD:
1
1 0
A
C
B
D
1
1
1
0 00
0
AB:
00 01 11 10
00
11
01
10
CD:
1
1 0
A
C
B
D
x x x
x x
1
1
1
0 00
0
x 0 1
0 0
11
00 01 11Οπελάτηςζήτησετοαριστερό.Οσχεδιαστήςεπέλεξετοδεξί.Ταγκρίζαταεπιλέγειοσχε-διαστής,όπωςτονσυμφέρει.
ΆλγεβραBoole1:ΘεώρημαDeMorgan• Δύοαρνήσεις= μίακατάφαση:
(A’)’=A• DeMorgan/Δυϊσμός ΚΑΙ- Ή:
(Α·Β)’=Α’+Β’
(Α+Β)’=Α’· Β’
1804a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
B
A
+BA
BA
BA
A+B
Επιμεριστικήιδιότητατου ΚΑΙ ωςπροςτο Ή
A·(B+C)=A·B+A·C
1904a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
A C BA
B+C
A
B
C
ΚαιτοΔυϊκό:Επιμεριστικήιδ.του Ή ωςπροςτο ΚΑΙ
2004a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
A+C A+B
CB
C
A
BA + (B·C)=(A+B)· (A+C)
Δυϊσμός:ΣεκάθεταυτότητατηςάλγεβραςBoole,εάναλλά-ξουμεταΚΑΙ σεΉ,ταΉ σεΚΑΙ,τιςσταθερές0 σε1,καιτις1σε0,προκύπτειμιάάλλη,δυϊκήτης,αληθήςταυτότητα!
ΑπόδειξητουΔυϊκούχρησιμοποιώνταςτοευθύ
A+(B·C)==[(A+(B·C))’]’=[A’·(B·C)’]’=[A’·(B’+C’)]’=[(A’·B’)+(A’·C’)]’=(A’·B’)’·(A’·C’)’=(A’’+B’’)·(A’’+C’’)=(A+B)· (A+C)
2104a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
←Δύοαρνήσεις
← Εσωτ.ΟΧΙτουΉ(DeMorgan)
← Εσωτ.ΟΧΙτουΚΑΙ(DeMorgan)
← ΕπιμεριστικήΚΑΙπροςΉ (ευθύ)
← Εξωτ.ΟΧΙτουΉ(DeMorgan)
← Εσωτ.ΟΧΙτουΚΑΙ(DeMorgan)
←Δύοαρνήσεις
ΆλλεςΤαυτότητεςτηςΆλγεβραςBoole&ταΔυϊκάτουςA·B=B·A A+B=B+A (αντιμεταθετική)
(A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C) (προσεταιριστική)
A·0= 0 A+1=1 (annihilatorelement)
A·1=A A+0=A (identityelement)
A·A=A A+A=A (idempotent)
A·A’=0 A+A’=1 (complementation)
A·(A+B)=A A+A·B=A (absorption)
A·(A’+B)=A·B A +A’·B=A+B
2204a- ΧάρτεςKarnaugh,ΆλγεβραBooole- ΗΥ-120©U.Crete
top related