polbandigilib.polban.ac.id/files/disk1/108/jbptppolban-gdl-noorcholis... · metode markov dan...
Post on 24-Sep-2018
213 Views
Preview:
TRANSCRIPT
METODE MARKOV DAN
PENERAPANNYA
Markov Model and Its Applications
Noor Cholis Basjaruddin
Politeknik Negeri Bandung
2016
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
2
Daftar Isi
1 Abstrak................................................................................................................................ 3
2 Abstract ............................................................................................................................... 3
3 Pendahuluan........................................................................................................................ 3
4 Model Markov .................................................................................................................... 4
4.1 Analisis rantai Markov ................................................................................................ 5
4.2 Syarat dalam Analisis Markov .................................................................................... 5
5 Contoh Penerapan ............................................................................................................... 6
5.1 Prediksi pertumbuhan pasar jus................................................................................... 6
5.2 Prediksi pengunjung swalayan .................................................................................. 15
6 Kesimpulan ....................................................................................................................... 18
7 Daftar Pustaka................................................................................................................... 18
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
3
1 Abstrak
Pada analisis sistem sering dibutuhkan prediksi state yang akan datang. Prediksi tersebut dapat
dilakukan dengan mengetahui state sebelumnya dan probabilitas transisi. Analisis rantai
Markov memungkinkan untuk memprediksi state yang akan datang jika diketahui state
sekarang dan probabilitas transisinya. Salah satu syarat dalam penggunaan analisis rantai
Markov adalah probabilitas transisi dianggap tetap sepanjang waktu. Anggapan ini sulit
dipenuhi pada sistem nyata. Meskipun sistem dengan probabilitas transisi tetap sepanjang
waktu sulit dijumpai, namun analisis rantai Markov tetap bermanfaat terutama untuk
mendapatkan gambaran umum state yang akan terjadi.
2 Abstract
On systems analysis is often required to predict the future state. Predictions can be done by
knowing the previous state and probability of transition. Markov chain analysis makes it
possible to predict the future state if known the current state and probability of transition. One
of the requirements in the use of Markov chain analysis is the probability of transition is
considered static over time. This assumption is difficult to meet the real system. Although the
systems with fixed transition probabilities over time are difficult to find, but the analysis of
Markov chains remain useful, especially to get a general overview of the future state.
3 Pendahuluan
Pada makalah ini dibahas beberapa contoh penerapan metode Markov khususnya rantai
Markov. Makalah ini diharapkan dapat menambah pengetahuan kepada pembaca khusunya
dalam memahami metode analisis dengan menggunakan model Markov dan penerapannya.
Program komputer yang digunakan dalam penerapan metode Markov untuk memecahkan
beberapa masalah dibuat dengan bahasa PHP dan Matlab. Para pembaca dapat menjalankan
program tersebut jika ingin mengetahui secara lebih mendalam bagaimana metode Markov
diterapkan.
Kritik dan saran atas makalah ini sangat diharapkan dan dapat disampaikan ke penulis melalui
email noorcholis@polban.ac.id.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
4
4 Model Markov
Model Markov adalah model stokastik yang digunakan untuk memodelkan sistem yang
berubah secara acak dimana diasumsikan keadaan (state) yang akan datang bergantung hanya
pada keadaan sekarang dan tidak bergantung pada urutan kejadian (event) yang
mendahuluinya. Terdapat empat model Markov yang digunakan pada kondisi berbeda seperti
diperlihatkan pada
Tabel 4.1 Empat model Markov
State sistem adalah fully
observable
State sistem adalah partially
observable
Sistem otomatis Markov chain Hidden Markov model
Sistem terkendali Markov decision process Partially observable Markov
decision process
Markov chain
Model Markov paling sederhana adalah rantai Markov (Markov chain). Rantai Markov
memodelkan state dari sebuah sistem dengan peubah acak yang berubah terhadap waktu. Pada
situasi ini properti Markov menyarankan bahwa distribusi untuk peubah bergantung hanya
pada distribusi state sebelumnya.
Hidden Markov model
Model Markov tersembunyi adalah rantai Markov untuk sistem dengan state yang hanya
teramati secara parsial (partially observable). Dengan kata lain pengamatan berhubungan
dengan state dari sistem, namun secara umum tidak cukup untuk memastikan secara cermat
state tersebut. Algoritma pada model Markov tersembunyi antara lain algoritma Viterbi dan
Baum-Welch. Algoritma Viterbi menghitung urutan state sedangkan algoritma Baum-Welch
memperkirakan probabilitas awal, fungsi transisi, dan fungsi observasi dari model Markov
tersembunyi. Penggunaan model Markov tersembunyi antara lain pada pengenalan ucapan,
dimana data teramati adalah gelombang suara ucapan dan state tersembunyi adalah teks yang
terucapkan. Pada contoh ini algoritma Viterbi mencari kemungkinan besar urutan dari kata-
kata yang diucapkan yang diberikan oleh suara ucapan.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
5
Markov decision process
Proses keputusan Markov adalah rantai Markov dengan transisi state bergantung pada state
sekarang dan sebuah vektor aksi yang diterapkan pada sistem. Umumnya, proses keputusan
Markov digunakan untuk menghitung sebuah kebijakan dari aksi yang akan memaksimalkan
beberapa utilitas dengan memperhatikan keuntungan yang diperkirakan. Proses keputusan
Markov berhubungan erat dengan Reinforcement learning dan dapat dipecahkan dengan iterasi
nilai dan metoda yang sesuai.
Partially observable Markov decision process (POMDP)
POMDP adalah proses keputusan Markov yang mana state dari sistem hanya teramati sebagian.
Proses keputusan Markov ini digunakan antara lain pada pengendalian agent atau robot.
4.1 Analisis rantai Markov
Analisis rantai Markov adalah suatu metode yang mempelajari sifat-sifat suatu peubah pada
masa sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya di masa lalu dalam usaha menaksir sifat-
sifat peubah tersebut dimasa yang akan datang.
Model rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada tahun 1896.
Pada analisis Markov yang dihasilkan adalah suatu informasi probabilistik yang dapat
digunakan untuk membantu pembuatan keputusan. Konsep dasar analisis markov adalah state
dari sistem atau state transisi. Sifat dari proses ini adalah jika diketahui proses berada dalam
suatu keadaan tertentu, maka peluang berkembangnya proses di masa mendatang hanya
tergantung pada keadaan saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya. Dengan kata
lain rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang
akan datang tergantung pada kejadian sekarang. Informasi yang dihasilkan tidak mutlak
menjadi suatu keputusan karena sifatnya yang hanya memberikan bantuan dalam proses
pengambilan keputusan.
4.2 Syarat dalam Analisis Markov
Beberapa syarat yang harus dipenuhi pada analisis Markov adalah sebagai berikut:
1. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama dengan 1.
2. Probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistem.
3. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.
4. Kondisi merupakan kondisi yang independen sepanjang waktu.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
6
Penerapan analisis Markov cukup terbatas karena sulit menemukan masalah yang memenuhi
semua syarat yang diperlukan untuk analisis Markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas
transisi harus konstan sepanjang waktu. Keadaan transisi adalah perubahan dari suatu keadaan
(state) ke keadaan (state) lainnya pada periode berikutnya. Keadaan transisi ini merupakan
suatu proses acak dan dinyatakan dalam bentuk probabilitas. Probabilitas ini dikenal sebagai
probabilitas transisi dan dapat digunakan untuk menentukan probabilitas keadaan atau periode
berikutnya.
5 Contoh Penerapan
5.1 Prediksi pertumbuhan pasar jus
Sebuah perusahaan jus merk A menguasai 20% pasar jus. Mereka berencana untuk
meningkatkan penjualan dengan mengiklankan produk mereka, dan mengkaji efektifitas dari
pengiklanan produk tersebut. Misalkan dari kajian didapat kesimpulan sebagai berikut. Bila
produk merk A diiklankan selama 1 minggu, maka seseorang yang menggunakan merk A akan
tetap menggunakan produk A dengan probabilitas 90%. Seseorang yang tidak menggunakan
merk A akan berpaling menggunakan merk A dengan probabilitas 70%.
Pertanyaan: Buatlah kurva prediksi pertumbuhan pasar jus merk A dalam 1 minggu, 2
minggu,dst.
Jawab
Masalah ini adalah masalah sederhana dan dapat diselesaikan dengan cara sederhana yaitu
menggunakan rumus matematis dapat juga diselesaikan dengan model Markov.
Penyelesaian dengan rumus matematis
Asumsi jumlah konsumen 1000.
Merk A menguasai = 20%
Sebelum promosi
Pengguna merk A = 20% * 1000 = 200
Setelah 1 minggu promosi
Pengguna merk A = (90%*200) + (70%*800) = 180+560 = 740
Setelah 2 minggu promosi
Pengguna merk A = (90%*740) + (70%*260) = 666+182 = 848
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
7
Rumus Umum
Xn = (90% * Xn-1) + (70% * (S-Xn-1))
Xn = jumlah pembeli jus A pada minggu ke-n
Xn-1 = jumlah pembeli jus A pada minggu ke n-1
S = jumlah seluruh konsumen jus
Simulasi dengan php
<?
// analisis pengaruh promosi produk
// Noor Cholis Basjaruddin
$S=1000;
$m=0;
$M=10;
$Xn=20;
for($m;$m<$M;$m++)
{
$Xn = (0.9 * $Xn) + (0.7 * ($S-$Xn));
//echo "jumlah konsumen jus A pada minggu ke-",$m," adalah =", $Xn,"<br>";
$values[]=$Xn;
}
include"graph.php";
?>
Hasil simulasi
Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 5.1.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
8
Gambar 5.1 Grafik jumlah konsumen
Analisis:
Pada minggu ke-5 dan seterusnya tidak lagi terjadi perubahan jumlah konsumen jus A, hal ini
disebabkan penambahan konsumen baru dan pengurangan konsumen relatif sama. Kondisi ini
disebat kondisi mantap (steady state).
Hasil simulasi dengan Matlab dapat dilihat pada Gambar 5.2.
Simulasi dengan Matlab
% analisis pengaruh promosi
% noor cholis basjaruddin
clear X;
S=1000;
X(1)=200;
for m=2:11;
X(m) = 0.9 * X(m-1) + 0.7 * (S-X(m-1));
end
m=0:1:10;
plot(m,X,'--rs','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
9
'MarkerSize',10)
axis([0 11 0 1000]);
xlabel('Minggu');
ylabel('Konsumen Jus A(%)');
title('Perkembangan Konsumen Jus Merk A');
Gambar 5.2 Grafik perkembangan jumlah konsumen jus merk A
Analisis
Simulasi menunjukkan hal yang sama dengan simulasi sebelumnya.
Penyelesaian dengan model Markov
Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan model Markov.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
10
S = jumlah seluruh konsumen jus
A = jumlah konsumen jus A
Proses transisi jika dinyatakan dalam tabel adalah sebagai berikut:
dari
ke S A
S 0,3 0,1
A 0,7 0,9
Matrik transisi (A) dan kondisi awal (po)
9,07,0
1,03,0A
po = [ 800 200]T
Program dengan Matlab
% analisis pengaruh promosi dengan Markov
% noor cholis basjaruddin
% Matrik transisi A
A=[0.3 0.1;0.7 0.9];
% Kondisi awal p0
p0=[800;200];
% Perhitungan minggu ke-k
for k=0:1:10;
p=(A^k)*p0;
m=k+1;
pS(m)=p(1,:)
pA(m)=p(2,:)
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
11
end
k=0:1:10;
plot(k,pA,'--rs','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',10)
axis([0 11 0 1000]);
xlabel('Minggu');
ylabel('Konsumen Jus A(%)');
title('Perkembangan Konsumen Jus Merk A - Model Markov');
Hasil Simulasi
Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 5.3.
Gambar 5.3 Hasil simulasi perkembangan konsumen Jus A dengan Model Markov
Analisis
Simulasi dengan model Markov menghasilkan kesimpulan yang sama dengan simulasi
sebelumnya.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
12
Pengembangan Masalah
Jika diasumsikan terdapat juga perusahaan jus B yang melakukan promosi dan situasinya
adalah sebagai berikut:
Survei awal
Konsumen jus A adalah 20%, sedangkan konsumen jus B adalah 80%.
Kedua perusahaan jus tersebut melakukan promosi dan tiap minggu diamati pengaruh dari
promosi yang dilakukan. Data hasil pengamatan adalah sebagai berikut:
70% konsumen jus B beralih ke jus A
10% konsumen jus A beralih ke jus B
90% konsumen jus A tetap setia
30% konsumen jus B tetap setia
Kapan jumlah konsumen jus A mengalahkan konsumen jus B?
Model Markov
Proses transisi jika dinyatakan dalam tabel adalah sebagai berikut:
dari
ke A B
A 0,9 0,7
B 0,1 0,3
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
13
Matrik transisi (A) dan kondisi awal (po)
3,01,0
7,09,0A
po = [ 200 800]T
Program dengan Matlab
% analisis pengaruh promosi dengan Markov
% noor cholis basjaruddin - 33211001
% Matrik transisi A
A=[0.9 0.7;0.1 0.3];
% Kondisi awal p0
p0=[200;800];
% Perhitungan minggu ke-k
for k=0:1:10;
p=(A^k)*p0;
m=k+1;
pA(m)=p(1,:)
pB(m)=p(2,:)
end
k=0:1:10;
plot(k,pA,'--bs','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','b',...
'MarkerSize',10)
hold on;
plot(k,pB,'--rs','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',10)
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
14
Legend('Jus A','Jus B');
axis([0 11 0 1100]);
xlabel('Minggu');
ylabel('Konsumen Jus A dan B');
title('Perkembangan Konsumen Jus Merk A dan B - Model Markov');
Hasil Simulasi
Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 5.4.
Gambar 5.4 Analisis perkembangan konsumen Jus A dan B dengan Model Markov
Analisis
Pada saat awal konsumen jus B lebih banyak dibanding konsumen jus A, setelah dilakukan
promosi, ternyata promosi jus A jauh lebih efektif sehingga dalam waktu singkat jumlah
konsumen A lebih banyak dibanding konsumen B. Pada minggu ke-5, konsumen jus A dan B
tetap.
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
15
Kesimpulan
Model markov dapat digunakan untuk menganalisis sistem dimana dalam sistem tersebut
terdapat proses transisi dari satu state ke state lain dengan probabilitas transisi dapat diketahui
dari survei.
5.2 Prediksi pengunjung swalayan
Di satu kota kecil terdapat dua swalayan yaitu Swalayan Mega (SM) dan Swalayan Rita
(SR). SM adalah swalayan baru yang mencoba untuk mengalahkan SR. Diasumsikan setiap
pembeli di kota tersebut melakukan kunjungan belanja satu kali per minggu. Pada
sembarang minggu seorang pembeli hanya berbelanja di SM atau SR saja dan tidak di
keduanya.
Kunjungan belanja disebut percobaan dari proses dan toko yang dipilih disebut keadaan dari
proses. Suatu sampel 1000 pembeli diambil dalam periode 10 minggu, kemudian data
dikompilasikan. Dalam menganalisis data, terlihat bahwa dari seluruh pembeli yang berbelanja
di SM dalam suatu minggu, 85 persen tetap berbelanja di SM pada minggu berikutnya,
sedangkan sisanya berpindah belanja di SR. 70 persen dari yang berbelanja di SR dalam
suatu minggu tetap berbelanja di SR sedangkan 30 persen berpindah belanja ke SM. Pada
saat awal pembukaan jumlah pengunjung SM adalah 300 sedangkan jumlah pengunjung SR
adalah 700.
Kapan SM dapat mengalahkan SR dari sisi pengunjung?
Informasi tersebut disusun dalam bentuk tabel seperti terlihat pada Error! Reference source
not found..
Tabel 5.1 Probabilitas transisi
Pilihan pada suatu minggu Pilihan minggu berikutnya
SM SR
SM 0,85 0,15
SR 0,30 0,70
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
16
Terlihat bahwa kemungkinan dari setiap baris berjumlah satu.
Model Markov
SM SR
0,15
0,7
0,3
0,85
Proses transisi jika dinyatakan dalam tabel adalah sebagai berikut:
dari
ke SM SR
SM 0,85 0,3
SR 0,15 0,7
Matrik transisi (A) dan kondisi awal (po)
7,015,0
3,085,0A
po = [ 300 700]T
Program dengan Matlab
% analisis pengaruh promosi dengan Markov
% noor cholis Basjaruddin
% Matrik transisi A
A=[0.85 0.3;0.15 0.7];
% Kondisi awal p0
p0=[300;700];
% Perhitungan minggu ke-k
for k=0:1:10;
p=(A^k)*p0;
m=k+1;
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
17
pA(m)=p(1,:)
pB(m)=p(2,:)
end
k=0:1:10;
plot(k,pA,'--bs','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','b',...
'MarkerSize',10)
hold on;
plot(k,pB,'--rs','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',10)
Legend('SM','SR');
axis([0 11 0 1100]);
xlabel('Minggu');
ylabel('Konsumen SM dan SR');
title('Perkembangan Konsumen SM dan SR - Model Markov');
Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 5.5.
Gambar 5.5 Analisis perkembangan konsumen swalayan SM dan SR dengan Model Markov
POLBAN
Metode Markov dan Penerapannya – Noor Cholis Basjaruddin
18
Analisis
Pada minggu ke-2, konsumen swalayan SM sudah melampaui konsumen swalayan SR. Mulai
minggu ke-6, jumlah konsumen swalan SM dan SR relatif tetap.
6 Kesimpulan
Analisis rantai Markov dapat digunakan untuk memprediksi state yang akan datang jika
diketahui state sekarang dan probabilitas transisinya. Syarat yang sulit dipenuhi pada kondisi
nyata adalah probabilitas transisi yang tetap sepanjang waktu. Meskipun kondisi nyata hampir
tidak pernah ada yang memenuhi syarat tersebut namun analisi rantai Markov dapat
memberikan gambaran secara umum bagaimana state yang akan terjadi.
7 Daftar Pustaka
Giuseppe Modica and Laura Poggiolini, A First Course in Probability and Markov Chains,
John Wiley & Sons, Ltd, United Kingdom, 2013
Henry A. Glick, Ph.D. and Kyung Hee University, Introduction to Markov Models, University
of Pennsylvania, 2007
Eric Fosler Lussier, Markov Models and Hidden Markov Models A Brief Tutorial, International
Computer Science Institute, 1998
POLBAN
top related