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ISBN 978-957-729-808-9 不動產投資管理(四版) 林左裕 著
第三章 利率、現值、終值與年金
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ISBN 978-957-729-808-9 不動產投資管理(四版) 林左裕 著
本章大綱
第一節 利息的形成
第二節 單利與複利
第三節 年金
第四節 貸款之本金分期攤還
第五節 有效利率
第六節 購屋及租屋規劃
ISBN 978-957-729-808-9 不動產投資管理(四版) 林左裕 著
利息的形成
利率高低的決定,即取決於金融市場中資金需求與供給間之均
衡,因此利率可說是「資金的價格」,即借款者與貸放者在資
金價格上達成協議時,便決定了均衡利率i*
ISBN 978-957-729-808-9 不動產投資管理(四版) 林左裕 著
單利與複利(1/9)
若只對本金計算利息,未來賺得之利息不再孳生利息,稱為單
利(Simple Interest);但若將未來賺得之利息納入本金之中計算
其利息,即所謂之「利滾利」,則稱為複利 (Compound
Interest)
單利
若小張將今日所得1,000元,以單利每年10%存入銀行,則
其一年、二年、三年後之本利和各為多少呢?
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單利與複利(2/9)
第n年本利和=P+n×P×i=P(1+ni) (公式3-1)
複利
若小張將今日所得1,000元,以複利每年10%存入銀行,則
他一年、二年、三年後之本利和又各為多少呢?
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單利與複利(3/9)
第n年本利和=P(1+i)n-1+P(1+i)n-1×i=P(1+i)n
(公式3-2)
終值與現值
終值
– 小張今將本金1,000元以10%年利率存入銀行,其十年後
可得
本利和=1,000×(1+10%)10=2,593.74(元)
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單利與複利(4/9)
FVn =PV(1+i)n=PV×FVIF(i, n) (公式3-3)
其中,FVn:n期後之終值
PV:現在的金額或現值
i:每期利率
n:期數
FVIF(i, n):終值利率因子
ISBN 978-957-729-808-9 不動產投資管理(四版) 林左裕 著
單利與複利(6/9)
讀者也可自Excel軟體中之「插入」功能選擇函數中之財務
類別計算終值(FV),即FV(Rate, Nper, Pmt, Pv, Type)。其中
,Rate:每期利率;Nper:總期數;Pmt:每期年金;Pv:
現值額度;Type:給付或收入時點,0或省略為期末,1為
期初
此例之Excel解法即為
FV(0.1, 10, 0, 1000, 0)=-2,593.74
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單利與複利(7/9)
現值
– 小陳預計在十年後存得50萬元以供子女教育所需,則在
年利率10%的情況下,小陳目前應存入多少元呢?此即
「折現」(Discounting)的觀念,也就是將終值轉換成現
值的過程
FVn=PV(1+i)n
PVIF(i, n)=現值利率因子(Present Value Interest Factor,
PVIF),因此小陳現在即應存入
n)PVIF(i,FV]i)(1
1[FVPV nnn
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單利與複利(8/9)
查表:PVIF(10%, 10)=0.3855
FV×PVIF(10%, 10)=500,000×0.3855=192,750(元)
)(750,1923855.0000,500)%01(1
1000,500PV
10元
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單利與複利(9/9)
Excel用法:
自Excel中選擇函數現值(PV)之計算,即PV(Rate, Nper, Pmt,
Fv, Type)。其中Rate:每期利率;Nper:總期數;Pmt :每
期年金;Fv:終值額度;Type:給付或收入時點,0或省略
為期末,1為期初
此例之Excel解法即為
PV(0.1, 10, 0, 500,000)=-192,771.64
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年金(1/8)
年金(Annuity)指的是在某一特定期間內,定期支付或領回某一
特定額度之現金流量(Payment)
契約訂定後之第一期期末開始支付或領回者,稱為普通年金
(Ordinary Annuity);而若於契約訂定後之第一期期初即開始支
付或領回者,則稱為期初年金(Annuity Due)
普通年金及期初年金因支付或領取時點的不同,將相差一期的
時間價值
若上例小張只存五期,每期存16,000元,則由圖3.3即可明白看
出普通年金與期初年金因支付時點之不同而相差一期之時間價
值
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年金(2/8)
年金終值
假設上例中之小張於每年底存16,000元,年利率10%,則五
年後小張可領回多少?
在此例中,小張於每年底支付16,000元,屬普通年金
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年金(3/8)
普通年金之終值可以下列通式表示
FVIFA(i, n)為年金終值利率因子(Future Value Interest Factor
of Annuity, FVIFA)
查表
FVIFA(10%, 5)=6.1051,可得
FV =PMT×FVIFA(10%, 5)=16,000×6.1051
=97,681.6(元)
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年金(4/8)
Excel用法
自Excel中選擇函數終值(FV)之計算,即FV(Rate, Nper, Pmt,
Fv, Type)
此例之Excel解法即為
FV(0.1, 5, -16,000, 0)=97,681.6
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年金(5/8)
年金現值
年金現值指的是現在支付或領回一金額,未來之特定期間
內每一期可領回或需支付多少,亦即未來期間內各期年金
之總現值
舉例而言,若小王工作數年後,決定再回到學校修習財金
系學士學位,如果財金系每年之學費約為10萬元(假設於
每年底支付),預計四年可畢業,則小王目前手上應有多
少錢才足以負擔未來四年的學費呢?
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年金(6/8)
– PMT表每期之年金金額;i為每期利率;n為總期數。
則普通年金之現值可以下列通式表示
PVIFA(i, n)為年金現值利率因子(Present Value Interest
Factor of Annuity, PVIFA)
查表:年金現值利率因子PVIFA(10%, 4)=3.1699可得
PV=PMT×PVIFA(10%, 4)=100,000×3.1699
=316,990(元)
n)PVIFA(i,PMT
]i)i(1
1i)(1[PMT
]i)(1
1[PMTPV
n
n
n
1ttni,
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年金(7/8)
Excel用法
此例之Excel解法為
PV(0.1, 4, -100,000, 0)=316,986.54
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年金(8/8)
永續年金
一種特殊年金,其沒有到期日或期限,我們稱之為永續年
金(Perpetuity)。其現值卻可由等比級數之和,即如前述之
年金現值一般計算而得
永續年金之現值為
i
PMT
]i)(1
1
i)(1
1
i)(1
1[PMTPV
n21i,
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貸款之本金分期攤還(1/13)
我們常見的情況是貸款購物後「本金的分期攤還」
(Amortization),這種付款方式可解釋為「現在借若干金額(即
現值),未來某期間內每期應償還多少錢(即年金)」的意
涵,恰與年金現值的概念相反
實際演練
假設小陳剛買了一輛賓士轎車,總價300萬元,自備100萬
元,向銀行貸款200萬元,年利率12%(即月利率1%),
分二年(二十四個月)每月平均攤還。試問小陳未來二十
四個月內每個月應還多少?
)(89.146,94
2432.21
1000,000,2
4)PVIFA(1%,2
12,000,000PMT
元
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貸款之本金分期攤還(2/13)
– 貸款之平均攤還因子恰為年金現值因子之倒數,此因子
稱為貸款常數(Loan Constant, LC)或不動產抵押貸款常
數(Mortgage Constant, MC),即在特定的利率及貸款期
限下,目前每借1元,未來每期應攤還的貸款支付額。
可察覺貸款常數與年金現值因子之乘積為1,即互為倒
數
n)MC(i,PVn)PVIFA(i,
1PVPMT
)94,140(
0.047072,000,000MC(1%,24)PVPMT
元
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貸款之本金分期攤還(5/13)
實際演練
若王太太日前購買豪宅一戶,價值1,400萬元,王太太自備
400萬元,其餘1,000萬元自銀行貸款,利率為每年10%,於
三十年內按月平均攤還,計三百六十期,則(1)王太太每期
應付多少以償還貸款?(2)又在第十年底時(即第一百二十
期),王太太當期應支付之利息、本金及尚欠款多少?(3)
此時王太太累計共支付了多少利息及本金?(4)到期末還清
時共支付了多少利息?(5)若王太太在第十年底時,想向原
銀行借一筆「理財型房貸」重新修繕,則她最多可借得多
少?
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貸款之本金分期攤還(6/13)
Ans:
查表除了攜帶不便之外,若現有的表查不到給予的利率或
期數時,便只能回歸原始之計算方式或借重電腦,同時長
期後的每期利息、本金及貸款餘額的計算亦複雜冗長。不
過,使用財務計算機即可有效地解決上述問題
可自附錄表五查得年利率為10%(月利率則為10% /12=
0.8333%),三十年(三百六十個月)時之貸款常數
MC(0.8333%, 360)=0.00878,因此王太太未來三百六十個
月內每月應支付
PMT=PV×MC(0.8333%, 360)
=10,000,000×0.00878=87,800(元)
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貸款之本金分期攤還(8/13)
貸款餘額的計算除了使用計算機外,亦可應用財務上的概
念,將未來欠款期間內的未償還(年金)額,求得當時之
年金現值,此例即為求每月本利償額87757.16元在未來所
餘二百四十期之年金現值,如圖3.6之現金流量所示
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貸款之本金分期攤還(11/13)
在第一至一百二十期間內累計償還的本金額即為期初之貸款額
減去在第一百二十期的貸款餘額,即
∑PRN=10,000,000-9,093,801.93=906,198.07
而同期間內累計償還的利息額即為此期間內償還的總額度,減
去此期間內之累積本金額,即
∑INT=87,757.16×120-906,198
=9,624,661
與計算機所得結果相同
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貸款之本金分期攤還(12/13)
到期末(三百六十期)止,王太太總共支付的本利償額為
360×87,757=31,592,520(元)
扣除分期攤還的本金總額1,000萬元,王太太支付的利息總
額為:
31,592,520 10,000,000=21,592,520(元)
「理財型房貸」嚴格的定義為銀行可依借款人累計已還的
本金額度,以低於信用貸款利率,但高於原購屋貸款利率
借給原借款人,故王太太在第十年底至多可借得約90.6萬
元之理財型房貸。
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貸款之本金分期攤還(13/13)
將上例每期支付之本金及利息,依期數描繪成圖3.7。圖3.7
表示貸款1,000萬元,年利率為10%,三十年內按月平均攤
還貸款下每月之償還額,並將其分解為利息及本金部分
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有效利率(1/5)
在小陳的例子中,其貸款年利率為12%,每月複利的情況下,
小陳貸款之有效年利率(Effective Annual Rate, EAR)為
(1+1%)12-1=12.68%
若小陳的貸款是每季或每半年複利一次的話,其貸款有效年利
率又為多少呢?
因此在每季複利下,小陳貸款之有效年利率為
EAR=(1+3%)4-1=12.55%
若每半年複利一次,則每半年利率12%/2=6%,每年複利二次
,則小陳貸款之有效年利率為
EAR=(1+6%)2-1=12.36%
可知同一期間內,複利時間單位愈短,複利次數愈多,其有效
利率愈大
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有效利率(2/5)
有效年利率(EAR)之通式為
k%為契約訂定之年利率
m為一年內之複利次數
1)m
k%1(EAR m
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有效利率(3/5)
實際演練
老張以儲蓄多年之積蓄500萬元在鄉下買了一棟透天厝,若
他預計此地段之不動產投資報酬率可達每年10%,則老張
這棟房子何時可增值為1,000萬元?
Ans
這是一個很基本的現值與終值之間關係的概念。依題意,
在每年10%之投資報酬率之下,求解終值為現值二倍之年
限,即
FV=2PV=PV×(1+10%)n
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有效利率(4/5)
2=(1.1)n 求n
以試誤法逼近,得:
(1.1)7=1.95
(1.1)8=2.14
再用內插法,設x年後恰可增值為二倍,即
化簡得
19x=138
x=7.26(年)
即老張此棟透天厝在7.26年後,可增值為1,000萬元
14.22
295.1
8x
x7
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購屋及租屋規劃(1/4)
常用來評估購屋或租屋的方法為「年成本法」及「淨現值法」
(Net Present Value, NPV),後者較為複雜,且對未來的房價漲
跌也需精確地預期才會有準確的結果
年成本法
顧名思義,「年成本法」即為租屋與購屋之間所需支出的
成本比較,在暫不考慮未來房價漲跌及自有住屋之心理面
滿足的情形下,選擇成本較低的方式達成居住的需求
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購屋及租屋規劃(2/4)
租屋需考慮的相關成本或因素通常為
– 每年租金
– 押金之機會成本利息(如銀行之定存利率)
– 每年綜合所得稅中房租支出之列舉扣除額(最高12萬
元)
購屋的每年相關成本或考慮因素則為
– 貸款利息支出(為貸款額乘以貸款年利率)
– 期初自備款之機會成本(如銀行之定存利率)
– 房屋稅及土地稅
– 綜所稅中房貸利息支出之扣除額(最高30萬元)
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購屋及租屋規劃(3/4)
淨現值法
淨現值之介紹
CF1~n為未來各期現金流量
CF0為期初投入自有資本
k為自有資本必要報酬率
– 對評估投資專案而言,通常NPV>0,表示投資此方案
之現金收益之淨現值為正,可接受此投資專案
0n
n
2
21 CF]K)(1
CF
K)(1
CF
K)(1
CF[NPV
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