Κεφάλαιο 3users.auth.gr/~gak/diafaneiesi/Κίνηση 2-3-d_Κεφ...Κεφάλαιο 3...
Post on 03-Feb-2020
19 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο (2 -D) και στο χώρο (3 -D).
•Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της 2-D 3-D κίνησης:
•Θέση, Μετατόπιση
•Μέση και στιγμιαία ταχύτητα
•Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση
•Μελέτη της κίνησης βλήματος (Παράδειγμα 2-D)
•Μελέτη της κυκλικής κίνησης (Παράδειγμα 2-D).
•Μετασχηματισμός ταχυτήτων σε διαφορετικά συστήματα
αναφοράς Αδρανειακά συστήματα.
•Κινηματικά μεγέθη σε πολικές συντεταγμένες
1 Γ Α Κουρούκλης
Συστήματα συντεταγμένων
ΚΑΡΤΕΣΙΑΔιάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ως προς
συστημα αναφοράς με αρχή στο σημειο Ο (Χ,Υ,
Ο
Ν
Ζ).
, , )
ˆ ˆ ˆi j
(
k
x y z
r x y z
, , στοιχειώδη μήκηdx dy dz2 Γ Α Κουρούκλης
Χ
Υ
Ζ
x
rr r
y
z
ˆ ˆ ˆi, j, k μοναδιαία
(σταθερά)
2 2 2 r x y z
Α
Χ
Υ
x
r
y O
φ
ˆr
u
u
Συστήματα συντεταγμένων
Διάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ως προς
συστημα αναφοράς (2-D) με αρχή στο σημειο Ο
ΠΟΛΙ
(
ΚΟ
).
, r
ˆ rr ru
, στοιχειώδη μήκηdr rd
3 Γ Α Κουρούκλης
ˆ ˆ, μοναδιαία
(μεταβλητά)
ru u
r r
Α
x
y
z
r
ˆr
u
u
sinr
u
Συστήματα συντεταγμένων
Διάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ως προς
συστημα αναφοράς (3-D) με αρχή στο σημειο Ο
ΠΟΛΙ
(
ΚΟ
).
, r
ˆ rr ru
, , sin
στοιχειώδη μήκη
dr rd r d
4 Γ Α Κουρούκλης
ˆ ˆ ˆ, , , μοναδιαία
(μεταβλητά)
ru u u
r r
Α
Διάνυσμα θέσης
Το διάνυσμα θέσης r υλικού σημείου ορίζεται ως προς
συγκεκριμένο συστημα αναφοράς με αρχή στο σημειο Ο.
ˆ ˆ ˆi j kr x y z
5 Γ Α Κουρούκλης
t2
t1
Διάνυσμα μετατόπισης
1 2
Για υλικό σημείο που η θέση του σε διαδοχικές θέσεις της κίνησης ορίζεται
από τα και ορίζουμε το διάνυσμα της μετατόπισης : r r r
2 1.r r r
1 2Τα διανύσματα θέσης και γράφονται υπό μορφή συνιστωσών ωςr r
1 1 1 1ˆ ˆ ˆi j kr x y z 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆi j kr x y z
2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k i j kr x x y y z z x y z
2 1x x x
2 1y y y
2 1z z z
Η μετατόπιση r γράφεται τότε ως
6 Γ Α Κουρούκλης
Μέση και στιγμιαία ταχύτητα
Ακολουθώντας τη γνωστή διαδικασία ορίζουμε τη μέση ταχύτητα ως
μετατόπισημέση ταχύτητα =
χρονικό διαστημα
avg
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k i j kr x y z x y z
t t t t t
Ορίζουμε την στιγμιαία ταχύτητα (στο
εξής ταχύτητα) ως το όριο:
lim
0
r dr
t dt
t
t
t + Δt
Εφαπτομένη
Τροχιά
7 Γ Α Κουρούκλης
2 1
avg
Έστω ότι το τείνει προς το μηδέν, τότε συμβαίνουν τα εξής:
1. Το διάνυσμα τείνει προς το και το 0.
2. Η κατεύθυνση του λόγου (συνεπώς του ) τείνει προς
την κατεύθυνση
t
r r r
rv
t
avg
της εφαπτομένης της τροχιάς στη θέση 1.
3. v v
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j k i j k i j kx y z
d dx dy dzx y z
dt dt dt dt
x
dx
dt y
dy
dt z
dz
dt
Οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας δίνονται
από τις εξισώσεις:
dr
dt t
t + Δt
Εφαπτομένη
Τροχιά
Εφαπτομένη
Τροχιά 8 Γ Α Κουρούκλης
Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση
Μεταβολή ταχύτηταςΜέση επιτάχυνση =
Χρονικό διάστημα
2 1avga
t t
Ορισμός στιγμιαίας επιτάχυνσης ως το όριο:
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆlim i j k i j k i j k
yx zx y z x y z
t
dd dd da a a a
t dt dt dt dt dt
Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης δίνονται
από:
xx
da
dt
y
y
da
dt
zz
da
dt
Σημ.: Αντίθετα προς την ταχύτητα, το διάνυσμα της επιτάχυνσης δεν
έχει κάποια ιδιαίτερη σχέση με την τροχιά.
da
dt
Τροχιά
Ορισμός μέσης επιτάχυνσης:
9 Γ Α Κουρούκλης
Κίνηση βλήματος
Κίνηση σώματος σε κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση της βαρύτητας
αναφέρεται ως “κίνηση βλήματος .”
Η αρχική ταχύτητα είναι
Η οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσες είναι:
0.
0 0 0cosx 0 0 0siny
Η κίνηση του βλήματος αναλύεται σε
οριζόντια και κατακόρυφη κίνηση
κατά μήκος του x- και y- αξόνων
αντίστοιχα. Οι δυο αυτές κινήσεις
είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η
κίνηση κατά τον άξονα x έχει
μηδενική επιτάχυνση. Η κίνηση κατά
τον άξονα y έχει σταθερή επιτάχυνση
ay = -g.
g
10 Γ Α Κουρούκλης
0 0 0 0
0 Η ταχύτητα κατά τον -άξονα μένει αμετάβλητη:
(1)
Οριζόντια κίνηση:
Κατακόρυφη
( 2)
Κατά τον -άξονα έχουμε κίν ελεύθερη πτ
c
ηση: η
os os
σ
c
ώ
x
y
x o
y
a x
a
x x t
g y
2
0 0 0
22
0
0
0
( 3) ( 4)
Απαλοίφουμε το μεταξύ των εξ. 3 και 4 s
sin
i
n2
n 2 .
si
o
y o
gtgt
t y y
y y
g
t
Σε αυτή την ανάλυση αμελούμε
την επιδραση της αντίστασης του αέρ
Ση
α
μ.:
Εδώ και είναι οι συντεταγμένες
του σημείου βολής. Συνήθως το
λαμβάνουμε ως αρχή των αξόνων.
Οπότε: 0 και 0.
.
o o
o o
x y
x y
g
11 Γ Α Κουρούκλης
2
0
2
0 0 0
2
0
0
0
cos (2) sin (4)2
Απαλοίφουμε το μεταξύ των (2) και (4) και
tan . 2 cos
:
Εξίσωση τροχιάς :
gtx t y t
t
gy x x
2
Αυτή η εξίσωση περιγράφει
μια καμπύλη που ειναι η
τροχιά του βλήματος.
Η μορφή της είναι: .
Ειναι παραβολή.
y ax bx
12 Γ Α Κουρούκλης
O A
R
t
0 0 0 0
2
0 0 0 0
cos (1) cos (2)
sin (3) sin (4)2
Η απόσταση ορίζεται ως το βεληνεκές
Στο σημείο έχουμε: 0. Από
Βεληνεκές:
την εξ. (4)
x
y
x t
gtgt y t
OA R
A y
2
0 0 0 0
η
0 0
έχουμε:
sin 0 sin 0. Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:2 2
Λύση 1η. 0. Αυτή αντιστοιχεί στο σημείο δεν έχει ενδιαφέρον.
Λύση 2 : sin 0. Αυτή αντιστοιχεί στο σημείο .2
Από
gt gtt t
t O
gtA
0 02 sin την 2η. λύση έχουμε: . Αντικαθιστώντας στην εξ. (2) έχουμε:t
g
2 2
0 00 0 0
0
2
0max
2sin cos sin 2 .
έγιστη τιμή του για 45 :
Rg g
R
Rg
2sin cos sin 2A A A13 Γ Α Κουρούκλης
A t
H
g Μέγιστο Ύψος H
2 2
0 0sin
2H
g
0 0
0 00 0
22
0 0 0 00 0 0 0
2 2
0 0
Η -συνιστώσα της ταχύτητας του βλήματος είναι sin .
sinΣτο σημείο : 0 sin
sin sin( ) sin sin
2 2
sin
2
y
y
y gt
A gt tg
gt gH y t t
g g
Hg
14 Γ Α Κουρούκλης
0 0
0 0 0
0
2
0 0
0 sin
2 2
0 0
Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε το μέγιστο ύψος από την εξ. (3) =
Εδώ: 0 sin , 0 , και
1= = = ( sin )
2
sin
yo y
y
y y y y y
v
da
dy
y v y H a g
dg gdy d g dy d gH
dy
H
.
2g
2 2
0 0sin
2H
g
A t
H
g
15 Γ Α Κουρούκλης
Ομαλή κυκλική κίνηση:
Υλικό σημείο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r με σταθερό μέτρο
ταχύτητας v. Η ταχύτητα όμως δεν είναι σταθερή. Ο λόγος είναι ότι η
κατεύθυνση της ταχύτητας αλλάζει από σημείο σε σημείο. Αυτό σημαίνει
ότι η επιτάχυνση δεν είναι μηδενική. Η επιτάχυνση στην ομογενή κυκλική
κίνηση έχει τα εξής χαρακτηριστικά:
1. Το διάνυσμα κατευθύνεται προς το κέντρο εξ ου και το όνομα
“κεντρομόλος.”
2. Το μέτρο της a δίνεται από την 2
.ar
C P
r
R
Q
r
r Ο χρόνος T που απαιτείται για μια πλήρη
περιστροφή η “περίοδος.” δίνεται από την
εξίσωση
2.
rT
16 Γ Α Κουρούκλης
Ομαλή κυκλική κίνηση: Ταχύτητα γεωμετρικά
17 Γ Α Κουρούκλης
2 1 ˆ ˆμέση ταχύτητα
av
rr r su u
t t t
Η στιγμιαία ταχύτητα θα είναι:
0ˆ ˆlim και διανυσματικά
t
s ds dsu u
t dt dt
O
ˆr
u
u
1r
2r
O
Δφ 1r
2rs
O
Δφ 1r
2rr
1 2 2 1ˆ ˆ,r rr ru r ru r r r ˆ ˆ
ru u
Ομαλή κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση γεωμετρικά
18 Γ Α Κουρούκλης
1 1
1
av
s ss a
R R t R t
Η στιγμιαία επιτάχυνση
θα είναι:
1 11
0 0
2 2
lim lim
ˆ και διανυσματικά
t t
r
sa
t R t R
a a uR R
A
P
C C
cos , sin cos , sin
Όπου και είναι οι συντεταγμένες του υλικού σημείου.
Θέση
P PP P
P P
x yx r y r
r r
x y
19 Γ Α Κουρούκλης
Ομαλή κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά
A
P
C C
ˆ ˆ ˆ ˆi j sin i cos j
Ταχύτητα
ˆ ˆi j.
x y
P Py x
r r
sin x
cos y
20 Γ Α Κουρούκλης
Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά
A
P
C C
Επιτάχυνση
ˆ ˆπαράγωγος της ταχύτητας i j.
ˆ ˆi j.
ˆ ˆ= i j.
P P
P P
P P
y x
r r
y xd d
dt dt r r
dy dxda
dt r dt r dt
cos και
sin .
Py
Px
dy
dt
dx
dt
21 Γ Α Κουρούκλης
Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά
A
P
C C
2 2 2 2
2 22 2ˆ ˆ cos i sin j cos sinx y
va a a a
r r r r
2
2
/ sintan tan κατευθύνεται προς το .
/ cos
y
x
raa C
a r
22 Γ Α Κουρούκλης
Ομογενής κυκλική κίνηση: Επιτάχυνση αλγεβρικά
Σχετική κίνηση σε μία διάσταση:
Η ταχύτητα σημείου P προσδιοριζόμενη από 2 διαφορετικούς παρατηρητές A και B
εξαρτάται από αυτούς. «Εξίσωση μετασχηματισμού» ταχυτήτων δηλαδή η σχέση των
ταχυτήτων που μετρά ο κάθε παρατηρητής. Υποθέτουμε ότι ο παρατηρητής B
κινείται με γνωστή σταθερή ταχύτητα υBA ως προς τον παρατηρητή A. Οι
παρατηρητές A και B προσδιορίζουν της συντεταγμένες του σημείου P να είναι xPA
και xPB , αντίστοιχα.
. Όπου είναι η συντεταγμένη του ως προς τον .PA PB BA BAx x x x B A
Παραγωγίζουμε ως προς τον χρόνο: PA PB BA
d d dx x x
dt dt dt
PA PB BA Εάν παραγωγίσουμε την τελευταία εξίσωση και
θεωρώντας ότι 0BAd
dt
PA PBa a
(Αδρανειακά συστήματα)
Αν και οι παρατηρητές και
μετρούν διαφορετικές ταχύτητες για το ,
μετρούν την ίδια επιτάχυνση
.
.
Σημ : A B
P
23 Γ Α Κουρούκλης
Σχετική κίνηση σε δύο διαστάσεις : Εδώ ο παρατηρητής B κινείται με σταθερή ταχύτητα vBA ως προς τον A
στο xy-επίπεδο.
Οι παρατηρητές και προσδιορίζουν το διάνυσμα θέσης του σημείου ως
και , αντίστοιχα. PA PB
A B P
r r
. Παραγωγίζουμε ως προς PA PB BAr r r t
PA PB BA PA PB BA
d d dr r r v v v
dt dt dt PA PB BAv v v
Παραγωγίζουμε την τελευταία εξίσωση ως προς το χρόνο :
. Παίρνοντας υπόψη ότι 0 . BAPA PB B PA PA B
t
dvd d dv v v
dt dta
dt dta
Και εδώ οι δυο παρατηρητές
μετρούν την ιδια επιτάχυνση
για το σημε
Σημ.:
ίο P.
24 Γ Α Κουρούκλης
25
Περιστρεφόμενο μοναδιαίο
το διάνυσμα Δ Δ ΔΔ Δ Δ θ θθ u n n nu u u u
Το n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του Δu.
Δ 0 Δ 0
Δ Δ 1
Δ Δt t
d θ dθlim lim ,
dt t t dt
u un nu u
1u
26
Καμπυλόγραμμη κίνηση – 3D
Υλικό σημείο κινούμενο σε καμπυλόγραμμη τροχιά
Περιγραφή της κίνησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες
ˆ ˆ ˆx y zi j k
ˆ ˆ ˆdr dx dy dzi j k
dt dt dt dt x
dx
dt y
dy
dt z
dz
dt
ˆ ˆ ˆy zxda i j k
dt dt dt dt
xx
da
dt
y
y
da
dt
z
z
da
dt
τροχιά
ˆ ˆ ˆr xi yj zk
ˆ ˆ ˆx y z
a a i a j a k
27
Καμπυλόγραμμη κίνηση– Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσες
Αυτές μας δίνουν μια φυσική περιγραφή για την καμπυλόγραμμη κίνηση και είναι οι πλέον χρήσιμες για την περιγραφή της.
• Το μοναδιαίο διάνυσμα ut είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη στο P, και κατευθύνεται προς την
διεύθυνση αύξησης του s.
• Το μοναδιαίο διάνυσμα un είναι πάντοτε κάθετο στο ut, και κατευθύνεται προς τα κοίλα της καμπύλης.
• Η συντεταγμένη s μετρά τη θέση του σημείου P κατά μήκος της τροχιάς του ως προς το σημείο (αφετηρία) O.
• Η ταχύτητα υ είναι πάντοτε κατά την εφαπτόμενη, μοναδιαίο διάνυσμα ut.
tuvdt
ds
28
Καμπυλόγραμμη κίνηση– Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσες της επιτάχυνσης
tt t
dud d da u u
dt dt dt dt
nt
dt
d
dt
du
u
t n
d da u u
dt dt
Οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης
t tu uds
υ υdt
29
Ακτίνα καμπυλότητας και καθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης
dds )(
ds d d
dt dt dt
t
da
dt
2
na
Εφαπτομενική συνιστώσα Κάθετη συνιστώσα
t n
d da u u
dt dt
2
t n
da u u
dt
30
Κυκλική κίνηση
Ταχύτητα και επιτάχυνση
Rs
ds dR R
dt dt
dt
d
dt
d
t
d da R R
dt dt
Μέτρο εφαπτομενικής επιτάχυνσης:
22 n
dθ υa υ Rω
dt R
Μέτρο κάθετης (ακτινικής) συνιστώσας της επιτάχυνσης
t n
d da u u
dt dt
t tu u
dsυ υ
dt
31
Καμπυλόγραμμη κίνηση – Πολικές συντεταγμένες
dr
dt
rr ru
da
dt
u
u
dt
d
dt
d r r
dt
d
dt
du
u
τροχιά
32
rr
dudr dru r
dt dt dt
r
dr du r u
dt dt
rr ru
r
dr
dt
dr
dt
Καμπυλόγραμμη κίνηση – Πολικές συντεταγμένες
Ταχύτητα
u
u
dt
d
dt
d r
33
2 2
2 2
rr
dudud d r dr dr d d da u u r u r
dt dt dt dt dt dt dt dt dt
22 2
2 22
r
d r d d dr da r u r u
dt dt dt dt dt
Καμπυλόγραμμη κίνηση – Πολικές συντεταγμένες
Επιτάχυνση
rdt
d
dt
du
u
u
u
dt
d
dt
d r
r
dr du r u
dt dt
34
Καμπυλόγραμμη κίνηση – Πολικές συντεταγμένες
Επιτάχυνση
rdt
d
dt
du
u
u
u
dt
d
dt
d r
Θεωρούμε τον εναλλακτικό συμβολισμό 2 2
2 2 και
dr d r dθ d θr, r , θ θ
dt dt dt dt
2
2 u ur θa r r θ rθ rθ
r
dr du r u
dt dt
22 2
2 22
r
d r d d dr da r u r u
dt dt dt dt dt
35
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
3.76, 3.77, 3,79, 3,86, 3.89
top related