主成分分析 - akimitsu lab. · pdf file主成分分析 主成分分析は...
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R
d2
3
1d
d
y
y
1
2y (3)
y (2)
y (1)
x3
x1
x2
z2
z1
Oz1
z2
d2
3
1d
d
y
y
1
2y (3)
y (2)
y (1)
x
0
x"
0
x
0
x'
0
1
xi(p) = (x(p)i i) xi(p)
=
(x(p)i i)i
y3
y1
y2
z1
z2
z1 = a11y1 + a12y2 + + a1ryrz2 = a21y1 + a22y2 + + a2ryr
... zm = am1y1 + am2y2 + + amryr
(x1, x2, xr)
(y1, y2, yr)
(x(1)1 , x
(1)2 , x(1)r
), ,
(x(N)1 , x
(N)2 , x(N)r
)
(y(1)1 , y
(1)2 , y(1)r
), ,
(y(N)1 , y
(N)2 , y(N)r
)
y3
y1
y2
z1
z2
z1z2...
zm
=
a11 a1r
. . . . . .am1 amr
y1y2......yr
(x1, x2, xr)
(y1, y2, yr)
(x(1)1 , x
(1)2 , x(1)r
), ,
(x(N)1 , x
(N)2 , x(N)r
)
(y(1)1 , y
(1)2 , y(1)r
), ,
(y(N)1 , y
(N)2 , y(N)r
)
d
z1
z2
y2
y1
z1
y1(1),( )y2(1)
z1= y1 y2a1 + a2
1=a1+ a22 2
a2
a1
a11
a2
y2
y1
z1
y1(1),( )y2(1)
z1= y1 y2a1 + a2
1=a1+ a22 2
a2
a1
a11
a2
y2
y1
z1
y1(1),( )y2(1)
z1= y1 y2a1 + a2
1=a1+ a22 2
a2
a1
a11
a2
y1(1)
a1 + y 2(1)
a2
y2
y1
z1
y1(1),( )y2(1)
z1= y1 y2a1 + a2
1=a1+ a22 2
a2
a1
a11
a2
y 1(1)
a1
y1(1)
a1 + y 2(1)
a2
y 2(1)
a2
d2
N
1d
d
y
y
1
2y (N)
y (2)
y (1)
(
(d(1))2 = a21(y(1)1 )
2 + a22(y(1)2 )
2 + 2a1a2(y(1)1 y
(1)2 )
(d(p))2 = (a1y(p)1 + a2y
(p)2 )
2
d2
N
1d
d
y
y
1
2y (N)
y (2)
y (1)
(
(d(1))2 = a21(y(1)1 )
2 + a22(y(1)2 )
2 + 2a1a2(y(1)1 y
(1)2 )
(d(p))2 = (a1y(p)1 + a2y
(p)2 )
2
(d(2))2 = a21(y(2)1 )
2 + a22(y(2)2 )
2 + 2a1a2(y(2)1 y
(2)2 )
d2
N
1d
d
y
y
1
2y (N)
y (2)
y (1)
(
(d(1))2 = a21(y(1)1 )
2 + a22(y(1)2 )
2 + 2a1a2(y(1)1 y
(1)2 )
(d(p))2 = (a1y(p)1 + a2y
(p)2 )
2
(d(2))2 = a21(y(2)1 )
2 + a22(y(2)2 )
2 + 2a1a2(y(2)1 y
(2)2 )
(d(N))2 = a21(y(N)1 )
2 + a22(y(N)2 )
2 + 2a1a2(y(N)1 y
(N)2 )
d2
N
1d
d
y
y
1
2y (N)
y (2)
y (1)
(
(d(p))2 = (a1y(p)1 + a2y
(p)2 )
2
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
N N - 1
(d(1))2 = a21(y(1)1 )
2 + a22(y(1)2 )
2 + 2a1a2(y(1)1 y
(1)2 )
(d(2))2 = a21(y(2)1 )
2 + a22(y(2)2 )
2 + 2a1a2(y(2)1 y
(2)2 )
(d(N))2 = a21(y(N)1 )
2 + a22(y(N)2 )
2 + 2a1a2(y(N)1 y
(N)2 )+
d2
N
1d
d
y
y
1
2y (N)
y (2)
y (1)
(
(d(1))2 = a21(y(1)1 )
2 + a22(y(1)2 )
2 + 2a1a2(y(1)1 y
(1)2 )
(d(p))2 = (a1y(p)1 + a2y
(p)2 )
2
(d(2))2 = a21(y(2)1 )
2 + a22(y(2)2 )
2 + 2a1a2(y(2)1 y
(2)2 )
(d(N))2 = a21(y(N)1 )
2 + a22(y(N)2 )
2 + 2a1a2(y(N)1 y
(N)2 )
U(a1, a2) = a21 + 2r12a1a2 + a22
+
N N - 1
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
G(a1, a2, ) = U(a1, a2) (a21 + a22 1)
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
G(a1, a2, ) = U(a1, a2) (a21 + a22 1)
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
a1a2
s11a1 + s12a2 a1 = 0s12a1 + s22a2 a2 = 0
a21 + a22 = 1
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
G(a1, a2, ) = U(a1, a2) (a21 + a22 1)
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
a1a2
s11a1 + s12a2 a1 = 0s12a1 + s22a2 a2 = 0
a21 + a22 = 1
(s11 s12s12 s22
) (a1a2
)=
(a1a2
)
a21 + a22 = 1
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
G(a1, a2, ) = U(a1, a2) (a21 + a22 1)
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
(s11 s12s12 s22
) (a1a2
)=
(a1a2
)
a1a2
s11a1 + s12a2 a1 = 0s12a1 + s22a2 a2 = 0
a21 + a22 = 1
a21 + a22 = 1
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
G(a1, a2, ) = U(a1, a2) (a21 + a22 1)
U(a1, a2) = s11a21 + 2s12a1a2 + s22a22
(s11 s12s12 s22
) (a1a2
)=
(a1a2
)
a1a2
s11a1 + s12a2 a1 = 0s12a1 + s22a2 a2 = 0
a21 + a22 = 1
a21 + a22 = 1
U(a1, a2) = a21 + 2r12a1a2 + a22
a1 + r12a2 a1 = 0r12a1 + a2 a2 = 0
a21 + a22 = 1
a1a2
a21 + a22 = 1
U(a1, a2)
a1 a2
G(a1, a2, ) = U(a1, a2) (a21 + a22 1)
a21 + a22 = 1
(1 r12
r12 1
) (a1a2
)=
(a1a2
)
U(a1, a2) = a
21 + a
22 + 2r12a
1a
2
= a1(a1 + r12a
2) + a
2(r12a
1 + a
2)
= (a21 + a22 ) =
U(a1, a2) = s11a
21 + s22a
22 + 2s12a
1a
2
= a1(s11a1 + s12a
2) + a
2(s12a
1 + s22a
2)
= (a21 + a22 ) =
U(a1, a2) = a
21 + a
22 + 2r12a
1a
2
= a1(a1 + r12a
2) + a
2(r12a
1 + a
2)
= (a21 + a22 ) =
U(a1, a2) = s11a
21 + s22a
22 + 2s12a
1a
2
= a1(s11a1 + s12a
2) + a
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1 + s22a
2)
= (a21 + a22 ) =
12
(
A =
s11 s12 s1rs21 s22 s2r...
.... . .
...sr1 sr2 srr
1 2 r 0
i1 + 2 + + r
=i
r
k=1
k
1 + + i1 + 2 + + r
=
i
j=1
j
r
k=1
k
r )
Aai = iai ai =
ai1ai2...
air
(
r )
1 2 r 0
Aai = iai ai =
ai1ai2...
air
A =
1 r12 r1rr21 1 r2r...
.... . .
...rr1 rr2 1rr
i1 + 2 + + r
=i
r
k=1
k
1 + + i1 + 2 + + r
=
i
j=1
j
r
k=1
k
r )
Aai = iai ai =
ai1ai2...
air
z1 = a11y1 + a12y2 + + a1ryrz2 = a21y1 + a22y2 + + a2ryr
... zm = am1y1 + am2y2 + + amryr
m
A =
s11 s12 s1rs21 s22 s2r...
.... . .
...sr1 sr2 srr
1 + + m1 + 2 + + r
=
m
j=1
j
r
k=1
k
r )
Aai = iai ai =
ai1ai2...
air
z1 = a11y1 + a12y2 + + a1ryrz2 = a21y1 + a22y2 + + a2ryr
... zm = am1y1 + am2y2 + + amryr
m
A =
1 r12 r1rr21 1 r2r...
.... . .
...rr1 rr2 1rr
1 + + m1 + 2 + + r
=
m
j=1
j
r
k=1
k
R
d2
3
1d
d
y
y
1
2y (3)
y (2)
y (1)
R
> w1 w2 summary(w2)
>plot(w2$x,type=n)
>text(w2$x,rownames(w2$x))R
R
name height weight
A1 147.3 52.3
A2 149.9 53.2
A3 152.4 54.5
A4 154.9 55.9
A5 157.5 57.3
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A15 182.9 74.5
name height weight
A01 -1.5652476 -1.4022687
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A14 1.3416408 1.4366802
A15 1.5652476 1.7592880
R
> w1 w2 summary(w2)
>plot(w2$x,type=n)
>text(w2$x,rownames(w2$x))R
R
> w1 w2 summary(w2)
>plot(w2$x,type=n)
>text(w2$x,rownames(w2$x))R
d2
3
1d
d
y
y
1
2y (3)
y (2)
y (1)
1 r(
U(a1, a2, , ar) = s11a21 + s22a22 + + srra2r
+2(s12a1a2 + s13a
1a
3 + + sr1rar1ar)
= s11a21 + s22a22 + + srra2r
+( s12a1a2 + s13a
1a
3 + + s1r1ar1ar1 + s1rarar)
+(s21a2a1 + s23a
2a
3 + + s2r1a2ar1 + s2ra2ar)
+(sr1ara1 + sr2a
ra
2 + sr3a
ra
3 + + sr1rarar1 )
= a1(s11a1 + s12a
1 + + s1rar)
+a2(s21a1 + s22a
2 + + s2rar)
+ar(sr1a
1 + sr2a
2 + + srrar)
= (a21 + a22 + + a2r ) =
r(r - 1)r
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