µ – p. de casteljau, citroën. – p. bézier, renault. µ...
Post on 08-Mar-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
7.1ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παραµετρικές Καµπύλες & Επιφάνειες
• Ανάγκη Μαθηµατικής Περιγραφής Πολύπλοκων Καµπυλών για επεξεργασία µευπολογιστή:
– Αυτοκινητιστική & Αεροναυπηγική βιοµηχανία από µέσα δεκαετίας 1960.– ∆ιάδοση κατασκευαστικών µηχανών καθοδηγούµενων από Η/Υ.
• Λύση: παραµετρικές αναπαραστάσεις καµπυλών και επιφανειών– P. de Casteljau, Citroën.– P. Bézier, Renault.
• Καµπύλες Bézier:– Ορισµός καµπύλης οποιουδήποτε βαθµού µε απλό µαθηµατικό τρόπο.– Χρήση σηµείων ελέγχου.– Σχήµα εξαρτάται από σηµεία ελέγχου.
7.2ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παράσταση Καµπυλών
• Καµπύλη: σύνολο σηµείων– Συνήθως δίνονται από µαθηµατικές εξισώσεις.
• Αλγεβρική παράσταση καµπυλών µε αλγεβρική εξίσωση:– Απλή µορφή y=f(x) π.χ. ευθεία y=mx+d.– Πεπλεγµένη µορφή g(x,y)=0 π.χ. ευθεία αx+by+c=0 .
• Κλίση επίπεδης καµπύλης: η παράγωγος του y ως προς x . dxdy
7.3ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παραµετρική Παράσταση Καµπυλών
• Παραµετρική παράσταση: συντεταγµένες δίνονται µε ξεχωριστές εξισώσεις µε τηβοήθεια της ανεξάρτητης παραµέτρου t :
x=x(t)y=y(t)
– ή περιορίζεται– Για κάθε τιµή του t παίρνουµε ένα σηµείο της καµπύλης:
• Π.χ. η ευθεία που διέρχεται από και έχει παραµετρικήεξίσωση:
µε
ή σε συνεπτυγµένη µορφή:µε
( )∞+∞−∈ ,t [ ]. bat ,∈( ) ( )
( )
=
tytx
tP
=
1
11 y
xP
=
2
22 y
xP
( ) ( ) ( )∞+∞−∈⋅+⋅−= ,1 21 tPtPttP
( ) ( )( ) ( ) 21
21
1
1
tyytty
txxttx
+−=
+−=( )∞+∞−∈ ,t
7.4ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παραµετρική Παράσταση Καµπυλών
• Ευθύγραµµο τµήµα :µε
– Για t=0 παίρνουµε και για t=1 παίρνουµε• Καθώς µεταβάλλεται η t, κινούµαστε πάνω στην ευθεία που ορίζεται από τα και
• Αλγεβρική µορφή µπορεί να εξαχθεί από παραµετρική, αν απαλείψουµε t.
• Η κλίση δίνεται πάλι από
21PP( ) ( ) [ ]1,01 21 ∈⋅+⋅−= tPtPttP
1P . 2P
1P . 2P
( )( ) . txty
dtdxdtdy
dxdy
′′
==//
•t0 1
1P( )tP
2P
•
7.5ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παραµετρική Παράσταση Καµπυλών
• Πλεονεκτήµατα παραµετρικής παράστασης:– Περιγραφή κλειστών ή πλειότιµων καµπύλων.– Συντεταγµένες ανεξάρτητες µεταξύ τους άµεση εφαρµογή συσχετισµένων
µετασχηµατισµών.– Εύκολη επέκταση σε περισσότερες διαστάσεις.– Ανεξάρτητη από σύστηµα συντεταγµένων.
⇒
7.6ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Bézier• H παραµετρική εξίσωση του ευθύγραµµου τµήµατος παρεµβάλει γραµµικά τα και
– Κυρτός συνδυασµός των και ((1- t) + t=1).• Τετραγωνικές καµπύλες Bézier µεταξύ
– Εστω γραµµικές παρεµβολές µεταξύ και .
– Η γραµµική παρεµβολή των και µε τον ίδιο λόγο (t), δίνει τετραγωνικήσυνάρτηση των αρχικών σηµείων:
– Τα αρχικά σηµεία ονοµάζονται σηµεία ελέγχου.
0P 1P( ) ( ) [ ]1,0,1 10 µε ∈+−= tPtPttP
0P 1P: 210 ,, PPP
10, PP 21, PP ( ) ( )( ) ( ) 21
11
101
0
1
1
PtPttP
PtPttP
+−=
+−=
[ ]. 1,0, ∈t
( )tP10 ( )tP1
1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )∑=
−−
=
+−+−=
+−=
2
0
2
22
102
11
10
20
12
1211
ii
ii Ptti
PtPttPttPttPttP
210 ,, PPP
7.7ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Bézier Βαθµού n
• Τρία διαδοχικά επίπεδα γραµµικής παρεµβολής τεσσάρων σηµείων ελέγχου µαςδίνουν καµπύλη Bézier βαθµού 3 .
• Γενικά, µε (n+1) σηµεία ελέγχου µπορούµε να κατασκευάσουµεκαµπύλη Bézier βαθµού n, .
( )tP3
( )tPnnPPP …10,
( ) ( ) [ ]1,0,10
µε ∈−
= −
=∑ tPtt
in
tP iinin
i
n
7.8ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Υπολογισµός Σηµείου Καµπύλης Bézier - De Casteljau
• Παραπάνω ορισµός είναι υπολογιστικά ασύµφορος.• Αντίθετα τα βήµατα γραµµικής παρεµβολής συµφέρουν.• Αλγόριθµος De Casteljau: εύρεση σηµείου καµπύλης Bézier για παραµετρική
τιµή t :– Θέτουµε .– Επαναληπτική σχέση:
– είναι το ζητούµενο σηµείο.– Αυτός ο υπολογισµός καλείται και Τρίγωνο De Casteljau.
( ) niPtP ii …1,0,0 ==
( ) ( ) ( ) ( ),1 11
1 tPttPttP ri
ri
ri
−+
− ⋅+⋅−=rni
nr−=
=,,1,0,,2,1
……
( ) ( )tPtP nn ≡0
( )
033
12
022
21
11
011
33
02
01
010
00
PP
PPP
PPPP
tPPPPPP t
≡
→≡
→→≡
≡→→→≡ −
t
7.9ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Υπολογισµός Σηµείου Καµπύλης Bézier - De Casteljau
• Αλγόριθµος De Casteljau: ψευδοκώδικας
point deCasteljauPoint (int n, point[] control_pts, float t)for (i=0; i<=n; i++)deCas_pts[i]=control_pts[i];
for (r=1; r<=n; r++)for (i=0; i<=n-r; i++)
deCas_pts[i]=(1-t)*deCas_pts[i]+t*deCas_pts[i+1];
return deCas_pts[0];
• Για να σχεδιάσουµε ολόκληρη την καµπύλη, υπολογίζουµε ένα-ένα τα σηµείαγια t = 0(∆t)1 και τα ενώνουµε µε ευθύγραµµα τµήµατα.
7.10ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Πολυώνυµα Bernstein
• Οι συντελεστές των στην εξίσωση της καµπύλης Bézier είναι τα πολυώνυµαBernstein:
• Πολυώνυµα Bernstein βαθµού 2:
• Πολυώνυµα Bernstein βαθµού 3:
• Καµπύλη Bézier βαθµού n µε χρήση πολυωνύµων Bernstein:
iP
( ) ( ) nittin
tB inini ,,2,1,0,1 …=−
= −
( ) ( )( ) ( )( ) 22
2
21
220
12
1
ttB
tttB
ttB
=
−=
−=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 33
3
232
231
330
13
13
1
ttB
tttB
tttB
ttB
=
−=
−=
−=
( ) ( )∑=
=n
ii
ni
n PtBtP0
7.11ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Πολυώνυµα Bernstein - Χρήσιµες Ιδιότητες
• Αποτελούν βάση του διανυσµατικού χώρου των πολυωνύµων βαθµού n. Οποιοδήποτε πολυώνυµο f(t) βαθµού n γράφεται:
όπου ci κατάλληλοι συντελεστές– Αρα κάθε πολυωνυµική καµπύλη βαθµού n µπορεί να γραφεί σε µορφή
καµπύλης Bézier.• Για κάθε n ισχύει:
• Τα πολυώνυµα Bernstein είναι συµµετρικά ως προς t και (1- t):
( ) ( )∑=
=n
ii
ni ctBtf
0
( ) ( )∑=
=≥n
i
ni
ni tBtB
010 και
( ) ( )tBtB njn
nj −= − 1
7.12ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Καµπυλών Bézier
• Προκύπτουν από εξίσωση ορισµού και ιδιότητες πολυωνύµων Bernstein.• Ιδιότητα κυρτής περιβάλλουσας:
– Καµπύλη Bézier είναι συσχετισµένος κυρτός συνδυασµός των σηµείωνελέγχου.
– Αρα βρίσκεται µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των σηµείων.– Χρήσιµη ιδιότητα για έλεγχο σχήµατος καθώς και έλεγχο τοµής µε άλλα
σχήµατα.• Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς:
– Αφού είναι γραµµικός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της.– Αρα για να µετασχηµατίσουµε µια καµπύλη Bézier αρκεί να
µετασχηµατίσουµε τα σηµεία ελέγχου της.• Αναλλοίωτη σε συσχετισµένους µετασχηµατισµούς της παραµέτρου:
––
–
[ ] [ ]baut ,1,0 ∈→∈( ) tabau −+=
( ) ( ) ( )tPabautP
abubtP r
ir
ir
i1
11 −
+−
−−
+−−
=
7.13ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Καµπυλών Bézier
• Συµµετρία: αν χρησιµοποιήσουµε τα σηµεία ελέγχου µε αντίστροφη σειράη καµπύλη δεν αλλάζει:
– Αντιστρέφεται η φορά σχεδίασης.• Γραµµική ακρίβεια: αν όλα τα σηµεία ελέγχου είναι συνευθειακά, η καµπύλη
Bézier γίνεται ευθύγραµµο τµήµα.• Παρεµβολή ακραίων σηµείων: η καµπύλη περνά από τα ακραία σηµεία και
για t = 0 και t = 1.• Εφαπτόµενα διανύσµατα στα άκρα: είναι παράλληλα προς τις ακραίες πλευρές
του πολυγώνου ελέγχου:
– Αν η καµπύλη ορίζεται σε τυχαίο διάστηµα :
01, PPP nn …−
0P nP
( ) ( )
( ) ( )1
01
1
0
−−=
−=
nnn
n
PPnPdtd
PPnPdtd
[ ]bau ,∈
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
01
11
10
−−−
==
−−
==
nnnn
nn
PPnab
Pdudt
dtdbP
dud
PPnab
Pdudt
dtdaP
dud
( ) ( ) ( ). abauttabau −−=⇔−+= /καθώς
7.14ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Καµπυλών Bézier
• ∆εύτερες παράγωγοι στα άκρα:
– Αν η καµπύλη ορίζεται σε τυχαίο διάστηµα :
• Ψευδο - τοπικός έλεγχος:– ∆εν υπάρχει τοπικός έλεγχος αφού τα , που είναι τα βάρη των
σηµείων ελέγχου, ορίζονται σε όλο το διάστηµα της καµπύλης.– Οµως το , και συνεπώς το , επηρεάζει µέγιστα το τµήµα της
καµπύλης γύρω από
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )212
2
0122
2
211
210
−− +−−=
+−−=
nnnn
n
PPPnnPdtd
PPPnnPdtd
[ ]bau ,∈
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )2122
2
01222
2
211
211
−− +−−−
=
+−−−
=
nnnn
n
PPPnnab
bPdud
PPPnnab
aPdud
( )tBni
( )tBni iP
.nit /=
7.15ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Οµαλή Συνένωση Καµπυλών Bézier
• Αύξηση “ευελιξίας” καµπύλης Bézier:– Με αύξηση βαθµού (αστάθεια, αύξηση πολυπλοκότητας).– Με οµαλή συνένωση καµπυλών µικρού βαθµού (συνήθως 3 ή 4).
• Οι πολυωνυµικές καµπύλες F(t) µε και G(t) µε ενώνονται µεσυνέχεια στο t1 αν οι παράγωγοι r τάξης είναι ίσες στο t1:
–– Για πολυώνυµο βαθµού k η k-οστή παράγωγος είναι σταθερά και οι
µεγαλύτερες είναι 0.– Αρα, για πολυώνυµα βαθµού k µας ενδιαφέρει µέχρι
• Εστω καµπύλες Bézier και µε σηµεία ελέγχουκαι αντίστοιχα. Εστω ότι επιθυµούµε ένωση µε
––
( πρέπει να ανήκει στην ευθεία των και και να βρίσκεται στηναπόσταση που ορίζεται)
– (καθορισµός )
[ ]10, ttt ∈ [ ]21, ttt ∈rC
( )( ) ( )( )11 tGtF rr =rmCC mr <≤⇒ 0 για
.1−kC( ) [ ]1 ,0 , ∈ttPn ( ) [ ]2 ,1 , ∈ttQm
nPP 0…
mQQ 0… :2C
00 QPC n=⇒
( ) ( ) ( )110111
−− −=−⇔−=−⇒ nnnnn PPmnPQQQmPPnC
1Q 1−nP 0QPn =
( ) ( ) ( ) ( )012212 2121 QQQmmPPPnnC nnn +−−=+−−⇒ −− 2Q
7.16ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Οµαλή Συνένωση Καµπυλών Bézier
• Παρατηρήσεις:– Αν n=m, η εξίσωση της C1 γίνεται
(δηλ. η απόσταση )– Αν n=m=3, η εξίσωση της C2 γίνεται (= έστω).
Ισχύει: και
– Κάθε επιπλέον βαθµός συνέχειας που απαιτούµε καθορίζει τη θέση ενόςσηµείου ελέγχου της δεύτερης καµπύλης (περιορισµός).
» Για n=m=3 µε C2 η Q έχει ελεύθερο µόνο το
11 −−=− nnn PPPQ
11 −= nnn PPPQ
2112 22 PPQQ −=− D. 211122 QQQDPPPD ==
. 3Q
7.17ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες B-Spline
• Spline: καµπύλη που προκύπτει από ένωση επιµέρους καµπυλών µεκατάλληλες συνθήκες συνέχειας:
– Αν επιµέρους καµπύλες είναι βαθµού k, µπορεί να απαιτηθεί ως Ck-1.– Βαθµός B-Spline = βαθµός επιµέρους καµπυλών.
• B-Spline: ορισµός µε n+1 σηµεία ελέγχου– Πλήθος σηµείων ελέγχου είναι ανεξάρτητο από βαθµό k.– Εξαρτάται από πλήθος τµηµάτων καµπύλης– Ορισµός τµηµάτων σε παραµετρικά υποδιαστήµατα που ενώνονται
στο– Κόµβοι: τιµές ti της παραµέτρου στα όρια των υποδιαστηµάτων.– Είναι απαραίτητοι και κόµβοι εκτός διαστήµατος
– Πλήθος κόµβων εξαρτάται από βαθµό k και από πλήθος σηµείων ελέγχου.
:0 nPP …
[ ]1, +ii tt [ ]. maxmin , tt
[ ]. maxmin , tt
lastmaxminfirst tttt ≤≤≤≤≤≤ ………
7.18ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Γραµµικές Καµπύλες B-Spline
• Αποτελούνται από ευθύγραµµα τµήµατα µε συνέχεια C0.
• Το τµήµα Qi(t) στο υποδιάστηµα [ti , ti+1] έχει άκρα τα και
– Αντίστοιχη γραµµικής παρεµβολής για– Οχι εύχρηστη (γενική).
1−iP :iP
[ ]11
11
1 ,,)( ++
−+
+ ∈−−
+−−
= iiiii
ii
ii
ii tttP
ttttP
tttttQ
ii PP 1− [ ]. 1, +∈ ii ttt
7.19ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Γραµµικές Καµπύλες B-Spline
• Σηµείο επηρεάζει 2 τµήµατα, τα και
• Αν θέσουµε
τότε η επίδραση του στην καµπύλη είναι (ο εκθέτης δηλώνει βαθµόκαµπύλης).
iP iQ 1+iQ
[ ]
[ ]21112
1
12
21
11
11
1
, ,)(
, ,)(
+++++
+
++
++
++
−+
+
∈−
−+
−−
=
∈−−
+−−
=
iiiii
ii
ii
ii
iiiii
ii
ii
ii
tttPtt
ttPtttttQ
tttPtt
ttPtttttQ
και
iP ( ) ii PtN ⋅1
( )
[ )
[ )
άδιαφορετικ
,
,
∈−−
∈−−
= ++++
+
++
,0
,
,
2112
2
11
1ii
ii
i
iiii
i
i ttttttt
ttttt
tt
tN
7.20ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Γραµµικές Καµπύλες B-Spline
• Αθροίζοντας τις επιδράσεις όλων των σηµείων παίρνουµε τηνεξίσωση της γραµµικής B-Spline:
• Πόσοι κόµβοι για n+1 σηµεία ελέγχου (δηλ. n τµήµατα καµπύλης);– ενώνει τα και για– Αρα το διάστηµα ορισµού είναι– Οµως από ορισµούς παρατηρούµε ότι χρειάζονται δύο επιπλέον
ακραίοι κόµβοι t0 και tn+2 .• Ετσι τα και επηρεάζουν και αυτά 2 τµήµατα καµπύλης.• Η τιµή των ακραίων αυτών κόµβων δεν έχει σηµασία.
nPPP ,,, 10 …
( ) ( )∑=
⋅=n
iii PtNtQ
0
1
( ) nitQi …1 | = 1−iP iP [ ]. , 1+∈ ii ttt[ ]. , 11 +ntt
( )tNi1
0P nP
7.21ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Τετραγωνικές Καµπύλες B-Spline
• Εστω το τµήµα 2ου βαθµού Qi(t) που ορίζεται στο [ti , ti+1]:– Ορίζεται από 3 σηµεία ελέγχου: µε 2 βήµατα γραµµικής
παρεµβολής.– Το πρώτο βήµα παρεµβάλλει τα και στα διαστήµατα [ti-1 , ti+1]
και [ti , ti+2] αντίστοιχα (και όχι στο [ti , ti+1] όπως στις Bézier).
– Το δεύτερο βήµα παρεµβάλλει τα σηµεία της πρώτης γραµµικής παρεµβολήςκαι στο διάστηµα [ti , ti+1].
– Με αντικατάσταση των και στην Qi παίρνουµε έκφραση συναρτήσει τωνσηµείων ελέγχου (ορίζεται στο [ti , ti+1]).
iii PPP , , 12 −−
12 , −− ii PP ii PP ,1−
[ ]
[ ]22
12
21
11111
12
11
111
, ,)(
, ,)(
++
−+
+
+−−−+
−−
−+
+−
∈−
−+
−−
=
∈−−
+−−
=
iiiii
ii
ii
ii
iiiii
ii
ii
ii
tttPtt
ttPtttttQ
tttPtt
ttPtttttQ
( )tQi1
1− ( )tQi1
( ) ( ) [ ]11
1
11
1
1 , ,)( ++
−+
+ ∈−−
+−−
= iiiii
ii
ii
ii ttttQ
tttttQ
tttttQ
11−iQ 1
iQ
iii
i
ii
ii
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
iii
i
ii
ii
Ptt
tttt
ttPtttt
tttt
tttt
tttt
Ptttt
tttttQ
−−
−−
+
−−
−−
+−−
−−
+
−−
−−
=
++−
+
+
+−+
−
+
+
−−+
+
+
+
211
2
2
111
1
1
1
211
1
1
1)(
7.22ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Τετραγωνικές Καµπύλες B-Spline
• Αν εξετάσουµε 2 διαδοχικά τµήµατα B-Spline Qi(t) µε και Qi+1(t) µεστην κοινή τιµή παραµέτρου t=ti+1 παρατηρούµε ότι:
δηλαδή έχουµε συνέχεια C0 και C1.• Θα δώσουµε έκφραση ολόκληρης της τετραγωνικής B-Spline συναρτήσει των
σηµείων ελέγχου της:– Το επηρεάζει τα τµήµατα Qi(t), Qi+1(t) και Qi+2(t) .
[ ]1 , +∈ ii ttt[ ]21 , ++∈ ii ttt
)()()()(
111
111
+++
+++
′=′
=
iiii
iiii
tQtQtQtQ
iP
[ ]
[ ]
[ ]32221213
3
23
32
211113
3
12
1
212
2111
121
12
,,)(
,,)(
,,)(
++++++++
+
++
++
++++++
+
++
+
+++
+−++
+++
−−
∈++−−
−−
=
∈+
−−
−−
+−
−−−
+=
∈−
−−−
++=
iiiiiiiii
i
ii
ii
iiiiiii
i
ii
i
ii
i
ii
iiii
iiiii
i
ii
iiiiii
tttPcPbPtttt
tttttQ
tttPcPtttt
tttt
tttt
ttttPatQ
tttPtt
tttt
ttPbPatQ
7.23ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Τετραγωνικές Καµπύλες B-Spline
– Ορίζουµε:
– Οπότε η B-Spline µε σηµεία ελέγχου τα γράφεται:
• Πρώτα σηµεία ελέγχου είναι τα . Αρα πρώτο τµήµα καµπύλης είναι το Q2(t)µε κόµβους t1, t2, t3, t4.
• Αντίστοιχα τελευταίο τµήµα είναι το Qn(t) που απαιτεί τα και τουςκόµβους tn-1, tn, tn+1, tn+2 .
• Γενικά µια τετραγωνική B-Spline µε (n+1) σηµεία ελέγχου χρειάζεται (n+2) κόµβους :
– Για ικανοποίηση των παραπάνω σχέσεων χρειάζονται και 2 πλασµατικοί κόµβοιt0 και tn+3 που δεν επηρεάζουν την καµπύλη.
– ∆ιάστηµα ορισµού της καµπύλης είναι το [t2, tn+1].
( )
[ )
[ )
[ )
∈−−
−−
∈−−
−−
+−
−−−
∈−−
−−
=
++++
+
++
+
++++
+
++
+
+++
+
+++
άδιαφορετικ
,0
,,
,,
,,
3213
3
23
3
2113
3
12
1
212
2
111
2
iiii
i
ii
i
iiii
i
ii
i
ii
i
ii
i
iiii
i
ii
i
i
ttttttt
tttt
ttttttt
tttt
tttt
tttt
ttttt
tttt
tt
tN
nPP …0 ( ) ( )∑=
⋅=n
iii PtNtQ
0
2
210 ,, PPP
nnn PPP ,, 12 −−
nPP …021 +ntt …
7.24ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Β-Spline βαθµού k
• Εύκολα αποδεικνύεται ότι:
• Γενικεύοντας, οι συναρτήσεις B-Spline βαθµού k ορίζονται αναδροµικά:
θέτοντας σαν συνθήκη διακοπής της αναδροµής τις B-Spline βαθµού 0:
( ) ( ) ( )tNtttttN
tttttN i
ii
ii
iii
11
13
31
2
12+
++
+
+ −−
+−
−=
( ) ( ) ( ),11
11
111 tNtttttN
tttttN r
iiri
riri
iri
ri
−+
+++
++−
+ −−
+−
−=
rknikr
−+=
=
, ,1 ,0,,2,1
……
( ) [ ) ∈
= +
άδιαφορετικ
,1,,0 10 ii
ittt
tN kni += ,,1,0 … µε αντιµετάθεση του 0 και 1
7.25ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Β-Spline βαθµού k
• Το είναι πολυώνυµο βαθµού r ως προς t :– Εχει “τοπική στήριξη” στο διάστηµα [ti, ti+r+1) δηλ. είναι µηδενικό εκτός
αυτού του διαστήµατος.– ∆ιαδοχικά ενώνονται µε συνέχεια Cr-1 στα σηµεία που
η παράµετρος t παίρνει τις τιµές των κόµβων.– Π.χ. γραµµικές B-Spline (k=1) για n=4:
– Π.χ. τετραγωνικές B-Spline (k=2) για n=4:
( )tN ri
( ) [ ]rknitN ri −+= …0
7.26ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Β-Spline βαθµού k
• Η κατασκευή ενός τµήµατος της B-Spline βαθµού k γίνεται µε k επίπεδαγραµµικής παρεµβολής:
– Το πρώτο επίπεδο χρησιµοποιεί k+1σηµεία ελέγχου• Παρεµβολή των σηµείων αυτών κατά ζεύγη µας δίνει ευθύγραµµα τµήµατα, ένασηµείο των οποίων ορίζεται ως
– Κάθε επόµενο επίπεδο r=2, 3, … k χρησιµοποιεί σηµεία του προηγούµενου επιπέδουγια την κατασκευή του µε διάστηµα ορισµού [tj , tj+k-r+1].
– Μετά από k βήµατα καταλήγουµε στο βαθµού k και ορισµένο στοδιάστηµα
– ∆ιαδοχικά Qi(t) ενώνονται µε συνέχεια Ck-1.• Μία καµπύλη B-Spline βαθµού k µε (n+1) σηµεία ελέγχου γράφεται:
– Αποτελείται από (n-k+1) πολυωνυµικά τµήµατα βαθµού k (Qi(t), i=k…n) καθέναορισµένο στο διάστηµα [ti , ti+1].
– Συνολικό πεδίο ορισµού είναι το [tk , tn+1].– Συνολικά απαιτούνται (n+k) κόµβοι t1…tn+k (συν δύο πλασµατικοί στα άκρα t0 , tn+k+1).
• Πρέπει να ισχύουν και
( ) [ ]1,, +∈ iii ttttQ
. iki PP …−
( ) [ ]. ορισµού διάστηµα µε kjjj , tt ikijtQ ++−= …1,1
( ) irkijtQ rj …+−=,
( )tQQ ik
i =[ ]. 1, +ii tt
nPP …0
( ) ( )∑=
⋅=n
ii
ki PtNtQ
0
1+≤ ii tt . kii tt +<
7.27ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Β-Spline βαθµού k
• Υπολογισµός σηµείων B-Spline - Αλγόριθµος de Boor:– Επαναληπτική µέθοδος αντίστοιχη de Casteljau για Bézier– Βασίζεται στα βήµατα γραµµικής παρεµβολής.
• Εστω ότι θέλουµε το σηµείο για B-Spline βαθµού k µε σηµείαελέγχου
– Θέτουµε:
και
– Οπότε το ζητούµενο σηµείο είναι το• Π.χ. τρίγωνο de Boor για k=3.
( ) [ ]1,, +∈ ii ttttQ nPP …0
( ) ikikijPtQ jj , ,1 , ,0 …+−−==
( ) ( ) ( ),1
1
11
1
1 tQtt
tttQ
tttt
tQ rj
jjrk
jrj
jjrk
jrkrj
−
++−
−−
++−
++−
−
−+
−
−=
irkirkij
kr
,,1,
,,2,1
…
…
++−+−=
=
( ) ( ) . tQtQ ki=
( )tQQQQQPQQQP
QQPQP
iiiii
iiii
iii
ii
=====
−−−−
−−−
−−
3210
21
11
011
12
022
033
7.28ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Β-Spline βαθµού k
• Αλγόριθµος de Boor:– Υλοποίηση µε 1∆ πίνακα k+1 στοιχείων.– Αντίθετα από de Casteljau, τα βάρη συνδυασµού σηµείων δεν είναι σταθερά.
• Ψευδοκώδικας υπολογισµού µε δείκτες πίνακα από 0 (θέτουµεm=j-i+k, οπότε m: 0…k-r).
– Για σχεδιασµό ολόκληρης B-Spline, αρκεί η εύρεση διαδοχικών σηµείων µεκάποιο βήµα ∆t.
for (j=i-k; j<=i; j++)
m=j-i+k;
deBoor_pts[m]=control_pts[j];
for (r=1; r<=k; r++)
for (j=i; j>=i-k+r; j--)
m=j-i+k;
coeff=(t-knots[j])/(knots[k-r+1+j]-knots[j]);
deBoor_pts[m]=(1-coeff)*deBoor_pts[m-1]+coeff*deBoor_pts[m];
( ) [ ]1,, +∈ ii ttttQ
7.29ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Κόµβων B-Spline• Εστω B-Spline βαθµού k µε τους k πρώτους κόµβους ίσους, t1=t2=…=tk,
(ο πρώτος κόµβος έχει “πολλαπλότητα” k):– Αποδεικνύεται τότε ότι δηλ. η B-Spline (που ορίζεται στο
[tk, tn+1]) παρεµβάλλει το . • Αντίθετα µε τις Bézier, οι Β-Spline δεν παρεµβάλλουν ακραία σηµεία, εκτός αν έχουµε κόµβους πολλαπλότητας k στην αρχή ή στο τέλος.
– Γενικότερα αν ti=ti+1 η Q(ti) χάνει µια τάξη συνέχειας.• Αν ένας κόµβος έχει πολλαπλότητα r η καµπύλη είναι Ck-r στοαντίστοιχο σηµείο.
• Π.χ. τετραγωνικές συναρτήσεις B-Spline µε ti=ti+1=6.
– Μέγιστη πολλαπλότητα είναι k αφού διαφορετικά θα έχουµε συνέχειαµικρότερη από C0. Αρα ti<ti+k .
( ) ( ) 01 PtQtQ k ==0P
7.30ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Καµπυλών B-Spline
• Τοπικός Ελεγχος: το επηρεάζει µόνο το διάστηµα καµπύλης όπου ηείναι µη µηδενική.
– Η Bézier έχει µόνο ψευδο-τοπικό έλεγχο.• Ιδιότητα Κυρτής Περιβάλλουσας: η καµπύλη βρίσκεται µέσα στην κυρτή
περιβάλλουσα των σηµείων ελέγχου αφού είναι κυρτός συνδυασµός τους:– Η συνθήκη αυτή είναι πιο ισχυρή στις B-Spline: η καµπύλη βρίσκεται µέσα
στην κυρτή περιβάλλουσα των (k+1) σηµείων ελέγχου που ορίζουν κάθετµήµα της.
– Π.χ. για k=2 .
iP [ )1, ++kii tt ( )tN k
i
7.31ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Καµπυλών B-Spline
• Αναλλοίωτη σε Συσχετισµένους Μετασχηµατισµούς: εφόσον η καµπύλη είναισυσχετισµένος συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της.
– Αρα για να µετασχηµατίσουµε µια B-Spline αρκεί να µετασχηµατίσουµε τασηµεία ελέγχου της.
• Αναλλοίωτη σε Συσχετισµένους Μετασχηµατισµούς της Παραµέτρου της,
• Γραµµική Ακρίβεια: αν τα είναι συνευθειακά, τότε η B-Spline γίνεταιευθύγραµµο τµήµα.
• Παρεµβολή Ακραίων Σηµείων: µε πολλαπλότητα k στους ακραίους κόµβους.• Αποτελούν Γενίκευση των Καµπυλών Bézier.• Πρακτικά, συνήθως χρησιµοποιούνται B-Spline χαµηλού βαθµού π.χ. 3.
( ) tabau ⋅−+=
iP
7.32ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Καµπύλες Παρεµβολής
• Καµπύλες παρεµβολής: διέρχονται από δοσµένα σηµεία– Συγκεκριµένα για δοσµένες τιµές της παραµέτρου έχουµε
– (Οι καµπύλες προσέγγισης δεν διέρχονται απαραίτητα από τα )• Παραδοσιακές µέθοδοι παρεµβολής: κατασκευή P(t) σαν πολυωνυµική καµπύλη
βαθµού n:– Είναι µοναδική.– Πρέπει να προσδιορισθούν οι (n+1) συντελεστές του αντίστοιχου πολυωνύµου.– Λύση συστήµατος εξισώσεων όχι πρακτική.– Αλγόριθµοι Aitken και Lagrange προτιµούνται.
• Μειονεκτήµατα ύπαρξης ενός υψηλόβαθµου πολυωνύµου:– Πολύπλοκοι και αριθµητικά ασταθείς υπολογισµοί.– Υψηλόβαθµη καµπύλη παρουσιάζει ταλαντώσεις (σχήµα).
nttt ,,, 10 …( ) niPtP ii ,,1,0, …==
iP
:,,, 10 nPPP …
7.33ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Αλγόριθµος Aitken
• Αναδροµική µέθοδος κατασκευής πολυωνύµου βαθµού n από (n+1) σηµεία:– Για n=1 η παρεµβολή γίνεται µε ευθύγραµµο τµήµα.– Για n>1 χρησιµοποιούνται διαδοχικά βήµατα γραµµικής παρεµβολής.
Θέτουµε και
– Το είναι το σηµείο της καµπύλης για την τιµή τηςπαραµέτρου.
ii PP =0
( ) ( ) ( ),11
1 tPtt
tttPtttttP r
iiri
iri
iri
riri
−+
+
−
+
+
−−
+−−
=rn,,i
n,,r−=
=
,10,21
……
( )tP n0 [ ]nttt ,0∈
7.34ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Αλγόριθµος Aitken• Απόδειξη ότι µε επαγωγή:
– Υποθέτουµε ότι ισχύει για n-1 σηµεία.– Για n σηµεία η δίνεται από τη σχέση:
– Από την υπόθεση, οι και παρεµβάλλουν τα (n-1) σηµείακαι αντίστοιχα. Αρα:
– Για τα υπόλοιπα ti, i=1,2, … , n-1 χρησιµοποιούµε την υπόθεση της επαγωγήςκαι το γεγονός ότι οι συντελεστές της
αθροίζουν στη µονάδα.
( ) ( ) ( )tPtttttP
tttttP n
n
n
n
nn 11
0
010
00
−−
−−
+−−
=
( ) iin PtP =0
( )tP n0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) nn
nn
nn
nn
n
nnnn
PtPtPtPtP
PtPtPtPtP
==⋅+⋅=
==⋅+⋅=−−−
−−−
11
11
100
001
001
101
000
10
01
( ) ( )tPtP nn 11
10
−− 10 −nPP …
nPP …1
( ) ( ) 1 1 , 11
10 −=== −− niPtPtP ii
ni
n …
( ) ( ) ( )
iin
ii
n
in
in
n
ii
n
n
ini
n
PPttttP
tttt
tPtttttP
tttttP
=−−
+−−
=
−−
+−−
= −−
0
0
0
11
0
010
00
( )tP n0
7.35ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Παρεµβολής Aitken
• Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς:– Αφού όλα τα βήµατα του αλγορίθµου είναι γραµµικές παρεµβολές
(συσχετισµένες απεικονίσεις).• Απουσία ιδιότητας κυρτής περιβάλλουσας:
– Η παράµετρος t δεν ανήκει πάντα στο διάστηµα [ti, ti+r] άρα οι συντελεστέςµπορεί να είναι και αρνητικοί (βλέπε προηγούµενο σχήµα).
– Η καµπύλη δεν βρίσκεται συνολικά µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα τωνσηµείων παρεµβολής.
– Αυτό ισχύει γενικά για λείες καµπύλες παρεµβολής.• Γραµµική ακρίβεια:
– Αν τα είναι συνευθειακά η καµπύλη παρεµβολής είναι ευθύγραµµοτµήµα.
iP
7.36ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Πολυώνυµα Lagrange
• Απ’ ευθείας υπολογισµός πολυωνύµου παρεµβολής βαθµού n για (n+1) σηµεία:– Τα πολυώνυµα Lagrange
χρησιµοποιούνται για την κατασκευή της καµπύλης παρεµβολής:– Τα πολυώνυµα Lagrange ικανοποιούν τη σχέση
– ∆ηλαδή το µηδενίζεται σε όλους τους κόµβους εκτός από τον ti για τονοποίο παίρνει τιµή 1.
– Τα πολυώνυµα Lagrange αθροίζουν στην µονάδα βαρυκεντρικόςσυνδυασµός σηµείων άρα αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετ/µούς.
– Τα πολυώνυµα Lagrange δεν είναι παντού θετικά, άρα δεν ισχύει η ιδιότητατης κυρτής περιβάλλουσας.
( ) nitttttL
n
ijj ji
ini , ,1 ,0 ,
0…=
−−
= ∏≠=
( ) ( ) in
i
ni PtLtP
0∑=
=( ) jij
ni δtL ,=
≠=
=jiji
δ ji ,0,1
,όπου δi,j το δέλτα του Kronecker
⇒
niL
7.37ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παρεµβολή κατά Τµήµατα
• Aitken και Lagrange κατασκευάζουν πολυώνυµα βαθµού n για (n+1) σηµείαπαρεµβολής:
– Υπολογιστικά ακριβό.– Ταλαντώσεις.
• Μέθοδοι κατά - τµήµατα - παρεµβολής χρησιµοποιούν ακολουθία χαµηλόβαθµωνπαρεµβολών:
– Υπολογιστικά φθηνό.– Μεγάλος έλεγχος µορφής καµπύλης (π.χ. εφαπτόµενης σε κάθε σηµείο).
• Κατά - τµήµατα - παρεµβολή, εξετάζουµε τριτοβάθµιες:– Hermite.– B-Spline.
7.38ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παρεµβολή Hermite
• Κυβική παρεµβολή Hermite: τριτοβάθµια καµπύλη P(t) µεταξύ και µεεφαπτοµενικά διανύσµατα στα άκρα m0 και m1 :
– 4 άγνωστοι (κυβική) και 4 δεδοµένα, άρα λύνεται.• Κάθε τριτοβάθµια καµπύλη µπορεί να εκφραστεί µε τη βοήθεια των
πολυωνύµων Bernstein, στη µορφή Bézier. Αρα:
– όπου τα σηµεία ελέγχου που πρέπει να βρούµε.• Η καµπύλη Bézier διέρχεται από τα ακραία σηµεία της, άρα:
10 PP
( ) ( )( ) ( ) 11
00
1100
mPPPmPPP
=′==′=
( ) ( ) ii
i QtBtP ∑=
=3
0
3
( )( ) 13
00
10
PPQPPQ
==
==
30, …=iQi
7.39ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παρεµβολή Hermite
• Γνωρίζουµε ότι για τα εφαπτόµενα στα άκρα διανύσµατα της καµπύλης Bézierισχύει:
• Η ζητούµενη καµπύλη είναι:
ή αναδιατάσσοντάς την συναρτήσει των στοιχείων ορισµού της
όπου χρησιµοποιήσαµε τα πολυώνυµα Hermite 3ου βαθµού
( ) ( )
( ) ( ) 112231
001010
3131
3130
mPQQQPm
mPQQQPm
−=⇔−=′=
+=⇔−=′=
( ) ( ) ( ) ( ) 13
112
002
03
3113
31131 PtmPttmPttPttP +
−−+
+−+−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1331
320
310
30 PtHmtHmtHPtHtP ++=
( )( )( )( ) 233
3
2332
2331
2330
32
2
132
tttH
tttH
ttttH
tttH
+−=
−=
+−=
+−=
7.40ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παρεµβολή Hermite
• Αλλαγή παραµετρικού διαστήµατος από σε– Συσχετισµένη αλλαγή παραµέτρου σε– Οι Hermite, αντίθετα από τις Bézier, δεν παραµένουν αναλλοίωτες επειδή
συµµετέχει η εφαπτοµένη στον ορισµό τους.– Για να παραµένει αναλλοίωτη µια καµπύλη Hermite, αποδεικνύεται ότι
πρέπει να διαιρέσουµε τα m0 και m1 µε το (b-a):
• Η Hermite παίρνει τη µορφή:
όπου χρησιµοποιούµε τα µετασχηµατισµένα πολυώνυµα Hermite 3ου βαθµού:
[ ] [ ]:,1,0 baut ∈∈( ) .1 btatu ⋅+⋅−=
( ) ( )
( ) ( )abQQbPm
abQQaPm
−−
=′=
−−
=′=
231
010
3
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1331
320
310
30 ˆˆˆˆ PuHmuHmuHPuHuP +++=
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tHuH
tHabuH
tHabuH
tHuH
33
33
32
32
31
31
30
30
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
=
−=
−=
=
7.41ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Κατά - Τµήµατα Παρεµβολή Hermite
• Εστω παρεµβολή µεταξύ µε αντίστοιχα εφαπτόµενα διανύσµαταm0, m1, … ,mn και τιµές παραµέτρου t0, t1, … ,tn :
– Αν η ζητούµενη καµπύλη, θα ισχύει:
– Για κάθε τµήµα παρεµβολής έχουµε παρεµβολή µεταξύ καιµε ακραία εφαπτοµενικά διανύσµατα mi και mi+1 άρα η τριτοβάθµια
καµπύλη παρεµβολής Hermite είναι:
όπου
µε t =(u − ti)/(ti+1−ti) την τοπική παράµετρο.
nPPP ,,, 10 …
( ) [ ]nttuuP ,, 0∈
( ) ( ) nimtPPtP iiii και ,,1,0, …==′=( ) [ ]1,, +∈ iii ttuuP iP
1+iP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]11331
32
31
30 ,,ˆˆˆˆ
+++ ∈+++=≡ iiiiiii ttuPuHmuHmuHPuHuPuP
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tHuH
tHttuH
tHttuH
tHuH
ii
ii
33
33
321
32
311
31
30
30
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−=
−=
=
+
+
7.42ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Κατά - Τµήµατα Παρεµβολή Hermite
• Εφαπτόµενα διανύσµατα δεν δίνονται πάντα στην πράξη:– Ανάγκη χρήσης “λογικών” εφαπτόµενων διανυσµάτων και δυνατότητα
µεταβολής τους από χρήστη.• Μέθοδος FMILL θέτει mi στο παράλληλο στην ευθεία που ορίζεται από τα
και
– Εξασφαλίζει C1 συνέχεια στις ενώσεις.– ∆εν µπορεί να υπολογίσει τα m0 και mn.– H καµπύλη που δηµιουργείται ονοµάζεται Catmull - Rom spline.
iP:11 +− ii PP
1,,2,1,11 −=−= −+ niPPm iii …
7.43ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Κατά - Τµήµατα Παρεµβολή B-Spline
• Ζητείται τριτοβάθµια B-Spline καµπύλη Q(t) που να παρεµβάλλει τα σηµείαστις αντίστοιχες τιµές της παραµέτρου t0 … tn :
– Αν τα είναι διαφορετικά µεταξύ τους, το ίδιο πρέπει να ισχύει και για τα ti(αύξουσα σειρά).
– Για να περνά η Q(t) από τα και πρέπει να έχουµε πολλαπλότητα 3στους ακραίους κόµβους: t-2 = t-1(= t0) και (tn =) tn+1 = tn+2.
– Πρέπει να προσδιοριστούν τα σηµεία ελέγχου της Q(t) δηλ. τα
• Η τριτοβάθµια B-Spline µε n+1 σηµεία ελέγχου έχει n+3κόµβους t1 … tn+3 .
• Αρα αφού έχουµε τους n+5 κόµβους t-2 … tn+2 , απαιτούνται τα n+3παραπάνω σηµεία ελέγχου.
• Από την εξίσωση ορισµού B-Spline έχουµε:
(για τα ακραία σηµεία η σχέση απλοποιείται κατευθείαν αφού γνωρίζουµε ότικαι ).
– Τελικά έχουµε n+1 εξισώσεις µε n+3 αγνώστους (τα ).– Προσθέτουµε 2 ακόµα περιορισµούς στα 2 ακραία άγνωστα σηµεία
(τα και ) και λύνουµε το σύστηµα.
nPP …0
( ) niPtQ ii …0, ==
( ). 1,,2,3, −−−= niQi …
iP
nPP 0
nQQ …0
( ) ( )∑−
−=⋅==
1
3
3n
jijijj QtNtQP
nn PQPQ == −− 103
iQ
22 −− nQQ
7.44ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παραµετροποίηση Καµπύλων Παρεµβολής
• Ως τώρα υποθέσαµε ότι δίνονται τα σηµεία παρεµβολής και οι κόµβοι ti :– Συνήθως ο χρήστης απαιτεί µια οµαλή καµπύλη που να περνά από τα και
δεν ενδιαφέρεται για τα ti.• Μια απλή λύση είναι η χρήση ισαπέχοντων κόµβων.• Αν λάβουµε όµως υπ’ όψη τη γεωµετρία των σηµείων παίρνουµε καλύτερα
αποτελέσµατα.– Π.χ. παραµετροποίηση µήκους χορδής (απόσταση µεταξύ ti εξαρτάται από
απόσταση µεταξύ ).
ii
ii
ii
iiPP
PPtt
tt−−
=−−
+
++
+
++
1
12
1
12
iPiP
iP
7.45ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παραµετρικές Επιφάνειες
• Παραµετρική µορφή επιφάνειας:– Περιλαµβάνει 2 παραµέτρους:
– Η µία παράµετρος διαγράφει µία καµπύλη ενώ η δεύτερη µετακινεί αυτή τηνκαµπύλη στο χώρο.
– Η καµπύλη που αντιστοιχεί σε σταθερό u ή t ονοµάζεται ισοπαραµετρικήκαµπύλη (ισοϋψείς).
( )( )( )
===
utzzutyyutxx
,,,
7.46ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Επιφάνειες Bézier Τανυστικό Γινόµενο
• Εστω αρχική καµπύλη βαθµού m ως προς t µε (m+1) σηµεία ελέγχου
• Εστω ότι το κάθε διαγράφει καµπύλη βαθµού n ως προς u µε σηµεία ελέγχου
• Τότε κάθε σηµείο της αρχικής καµπύλης διαγράφει καµπύλη βαθµού n καιπαράγεται η επιφάνεια Bézier τανυστικό γινόµενο:
– Η εξίσωση της επιφάνειας λαµβάνεται µε αντικατάσταση του από τοστην εξίσωση της αρχικής καµπύλης:
– Η αρχική καµπύλη είναι η ισοπαραµετρική καµπύλη για u=0 µε σηµείαελέγχου τα
:0, miPi …=
( ) ( ) [ ]∑=
∈=m
ii
mi
m tPtBtP0
1,0,
iP:0, njPij …=
iP
( ) ( ) [ ]∑=
∈=n
jij
nj
ni uPuBuP
01,0,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ]1,0,1,0,
,
0 0
0 0
,
∈∈=
=
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
utPuBtB
PuBtButP
m
i
n
jij
nj
mi
m
i
n
jij
nj
mi
nm
miPP ii …0,0 ==
( )uPni
7.47ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Επιφάνειες Bézier Τανυστικό Γινόµενο
• Οι καµπύλες Bézier που χρησιµοποιήθηκαν για τον ορισµό της επιφάνειαςέχουν συνολικά (m+1)×(n+1) σηµεία ελέγχου
– Αυτά ονοµάζονται σηµεία ελέγχου της επιφάνειας Bézier:
• Οι ισοπαραµετρικές καµπύλες για u=0, u=1, t=0 και t=1 ονοµάζονται συνοριακέςκαµπύλες της επιφάνειας.
• Παράδειγµα επιφάνειας Bézier βαθµών 2 και 3.
:0,0, njmiPij …… ==
mnmm
n
n
PPP
PPPPPP
…
……
10
11110
00100t
u
7.48ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Υπολογισµός Σηµείου Επιφάνειας Bézier
• Αλγόριθµος de Casteljau για υπολογισµό– Εφαρµογή de Casteljau σε κάθε γραµµή του πίνακα σηµείων ελέγχου για το
δεδοµένο u δίνει (m+1) σηµεία.– Εφαρµογή de Casteljau στα (m+1) νέα σηµεία για το δεδοµένο t δίνει το
σηµείο της επιφάνειας.point deCasteljauSurfacePoint(int m, int n,
point[][] control_pts float t, float u)
point[] temp_pts;
point[] bez_pts;
for (i=0; i<=m; i++)
for (j=0; j<=n; j++)
temp_pts[j]=control_pts[i][j];
bez_pts[i]=deCasteljauPoint(n, temp_pts, u);
return deCasteljauPoint(m, bez_pts, t);
( )utP nm ,,
7.49ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Επιφανειών Bézier
• Προκύπτουν από τις αντίστοιχες ιδιότητες των καµπύλων Bézier.• Ιδιότητα κυρτής περιβάλλουσας.
– Αφού είναι κυρτός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της.
• Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς.• Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς παραµέτρων.• Συνοριακές καµπύλες: λαµβάνονται από τις ακραίες γραµµές και στήλες του
πίνακα των σηµείων ελέγχου.– Τα 4 γωνιακά σηµεία ελέγχου βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια.
• Υπάρχουν συναρτήσεις παραγώγων και κανονικού διανύσµατος για κάθε σηµείο(t, u) της επιφάνειας.
• Ψευδο-τοπικός έλεγχος: µέγιστη επιροή στις τιµές (t, u)=(i/m, j/n) τωνπαραµέτρων.
ijP
( ) ( )∑ ∑= =
=m
i
n
j
nj
mi uBtB
0 01
7.50ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Επιφάνειες B-Spline Τανυστικό Γινόµενο• Επιφάνειες Bézier έχουν ανάλογες ιδιότητες (άρα και µειονεκτήµατα) µε καµπύλες
Bézier.• Επιφάνειες B-Spline τανυστικό γινόµενο βαθµού k ως προς t και l ως προς u ορίζονται
ανάλογα µε επιφάνειες Bézier:– Συνενώνονται µε Ck-1 ως προς t και Cl-1 ως προς u.– Χρήση πίνακα (m+1)×(n+1) σηµείων ελέγχου (τα m και n
είναι ανεξάρτητα από τα k και l).
– Ακολουθίες (m+k) κόµβων ως προς t και (n+l) κόµβων ως προς u (ανεξάρτητεςµεταξύ τους) t1, t2, … , tm+k u1, u2, … , un+l
– Ανάγκη πλασµατικών κόµβων t0, tm+k+1, u0, un+l+1 για ορισµούς.– Πεδίο ορισµού [tk,tm+1]×[ul,un+1].
– Στοιχεία ελέγχου επιφάνειας B-Spline:
• Υπολογισµός σηµείου επιφάνειας Qm,n(t,u) µε διπλή εφαρµογή αλγορίθµου de Boor.
njmiPij …… 0,0, ==
( ) ( ) ( )∑ ∑= =
=m
i
n
jij
lj
ki
nm PuNtNutQ0 0
, ,
km
mnmmm
n
n
lnn
t
PPPt
PPPtPPP
uuu
+
+
…
……
……
10
111101
00100
1
7.51ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Ιδιότητες Επιφανειών B-Spline
• Ιδιότητες κόµβων: αντίστοιχες µε καµπύλες B-Spline.– Π.χ. αν οι k πρώτοι κόµβοι ως προς t είναι ίσοι, η επιφάνεια παρεµβάλλει την
ισοπαραµετρική καµπύλη του t= t0= tk .• Παραµετροποίηση πολύ πιο δύσκολη από καµπύλες Β-Spline:
– Επειδή υπάρχουν µόνο 2 ακολουθίες κόµβων t και u.– Π.χ. για παραµετροποίηση µήκους χορδής, ποια από όλες τις καµπύλες θα
επιλέξουµε;– Μέσος όρος δεν δίνει καλά αποτελέσµατα αν διαδοχικές καµπύλες έχουν µεγάλη
διαφορά.• Τοπικός έλεγχος: επηρεάζει το τµήµα καµπύλης [ti,ti+k+1)×[uj,uj+l+1).• Ιδιότητα κυρτής περιβάλλουσας:
– Αφού η επιφάνεια Β-Spline είναι κυρτός συνδυασµός των σηµείων ελέγχου της.– Στις B-Spline η ιδιότητα αυτή είναι πιο ισχυρή: ένα σηµείο της επιφάνειας
βρίσκεται µέσα στην κυρτή περιβάλλουσα των (k+1)×(l+1) σηµείωνυπολογισµού του.
– Αρα η επιφάνεια βρίσκεται µέσα στην ένωση αυτών των κυρτώνπεριβαλλουσών.
• Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς.• Αναλλοίωτη κάτω από συσχετισµένους µετασχηµατισµούς των παραµέτρων της.
ijP
7.52ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Παρεµβολή µε Επιφάνειες B-Spline
• Εστω παρεµβολή πλέγµατος σηµείων του τρισδιάστατου χώρου µε δικυβικέςεπιφάνειες B-Spline τανυστικό γινόµενο:
– (m+1)×(n+1) σηµεία προς παρεµβολή µε τιςακολουθίες παραµέτρων ti, i=0 …m, uj, j=0 … n.
– Ζητείται B-Spline επιφάνεια Q(t,u):
• Παρεµβολή επιτυγχάνεται µε γενίκευση µεθόδου παρεµβολής B-Splineκαµπύλης.
njmiPij …… 0,0, ==
( ) ijji PutQ = ,njmi ,,1,0,,1,0
……
==
7.53ΕθνικόΕθνικό & & ΚαποδιστριακόΚαποδιστριακό ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΑθηνώνΑθηνώνΤµήµαΤµήµα ΠληροφορικήςΠληροφορικής
ΕργαΕργα: 2000+1 & : 2000+1 & ΣΚΕΠΣΙΣΣΚΕΠΣΙΣ ((ΕΠΕΑΚΕΠΕΑΚ -- ΥΠΕΠΘΥΠΕΠΘ))
Επιφάνειες Τανυστικό Γινόµενο - Γενικά
• Εχουν απλή µαθηµατική µορφή και προκύπτουν εύκολα σαν γενίκευση τωναντίστοιχων καµπύλων.
• Κύριο µειονέκτηµα: ανάγκη τεραγωνικής διάταξης σηµείων ελέγχου.– Ειδικά για τις B-Spline πρέπει να έχουν και σχετικά οµοιόµορφη κατανοµή,
λόγω της µοναδικής παραµετροποίησης σε κάθε κατεύθυνση.
top related