Математическое дополнение

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

ОПЕРАЦИИ С ВЕКТОРАМИ

Сложение и вычитания векторов Пусть имеются вектора иA

B

α

А

В

С По теореме косинусов С2=А2+В2+2АВ cosα

A+B =C

A- B =C

α

А

В

СПо теореме косинусов С2=А2+В2-2АВ cosα

Сложение

Вычитание

Если вектора и заданы через компоненты по осям координат X,Y,Z:

A (Ax, Ay, Az) и B (Bx, By, Bz),

то для определения суммы векторов необходимо сложить соответствующие компоненты: (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)

Абсолютная величина результирующего вектора:

A

B

A+B =C

C

2 2 2x x y y z zC = (A +B ) +(A +B ) +(A +B )

Разность векторов находится по аналогии:

(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz) абсолютная величина вектора :

C

A- B =C

2 2 2x x y y z zC = (A -B ) +(A -B ) +(A -B )

C

Перемножение векторов Пусть имеются вектора и Скалярное произведение векторов. обозначается как

или через компоненты векторов по осям X,Y,Z:

Скалярное произведение не является вектором

A

B

(A B)

(A B) = A B cosα

α

А

В

x x y y z z(A B) = A B + A B + A B

Векторное произведение векторов:

обозначается как

A×B

α

А

В

С

A×B = C

это векторВектор С по абсолютной величине равен площадипараллелограмма, постро- енного на векторах А и В, и направлен перпендику- лярно этим векторам.

(АyBz-AzBy , AzBx-AxBz , AxBy-AyBx)

α

А

В

С

A×B = C

C = A B sin α

X

YZ

C

x y zC (C ,C ,C )Компоненты вектора С:

Абсолютная величина вектора С:

Основы математического анализа

Можно без преувеличения сказать, что основу математического анализа (М.А.), интегрирование

и дифференцирование, родили насущные проблемы физики. Основу М.А. составляетпредставление о том, что любая сложная

зависимость может быть представлена как совокупность бесконечного множества

бесконечно малых величин, для которыхприменимы простейшие арифметические

действия.

Дифференцирование

Из математики: Пусть имеется некоторая функция f(x).

Производная f(x) обозначается как Она показывает скорость изменения функции.

Скорость изменения - это отношение приращения функции к приращению аргумента:

f(x+Δx)-f(x)Δx

ПроизводнаяΔx 0

df f(x+Δx)- f(x)= limdx Δx

df fdx x

Конкретный вопрос из физики : как найти скорость из зависимости координаты от времени?

Пример №1. Равномерное и прямолинейное движение

График зависимости пути от времени при равномерном движении имеет вид:

Δх- изменение положения тела за время Δt

В данном случае величина скоростине зависит от выбора момента времени tи величины интервала времени Δt

X

tΔt

Δx

ΔxV=Δt

Пример №2. Равнопеременное движениеГрафик зависимости пути от времени при имеет вид:

Теперь величина скоростиуже будет зависеть от выбора значения времени t и величины интервала времени Δt

Вопрос: как тогда найти скорость из зависимости координаты от времени?

X

tX

tΔt1 Δt2

Δx1

Δx2

Δt 1= Δt 2

В данном случае мы можем найти только среднюю скорость для моментов времени t1 и t2:

и чем меньше будет интервал времени Δt, тем точнее мы определим величину скорости в моменты времени t1 и t2,и тем больше у нас оснований считать, что отрезоккривой x(t) в интервале времени Δt является прямолинейным.

1ср 1

1

ΔxV (t )=Δt

2ср 2

2

ΔxV (t )=Δt

Таким образом при Δt→0 уже можно воспользоваться соотношением,

полученным для равномерного движения

X

tΔt

Δх

Δt 0

Δx dxV= lim =Δt dt

Такой подход и лежит в основе дифференциального исчисления

dt

dх

Применим этот подход к равнопеременномудвижению. Если начальная скорость тела равна нулю, то координата тела изменяется по закону:

2a tx=2

2 2

Δt 0

2 2 2

Δt 0

a× (t+Δt) - tdx = lim =dt 2Δt

a(t +2tΔt+Δt - t ) 2a tΔt=lim = =a t2Δt 2Δt

пренебрежимо мало

P.S. Поскольку Δt мало, то величиной Δt2 можно пренебречь

Таблица производных

2

1cos x

f(x)dfdx

xn nxn-1

ex ex

ax ax lna

sin x

-sin x

cos x

cos x

tg x

ctg x2

1sin x

ln x 1x

Правила дифференцирования

1.С’=0 – производная от const равна нулю

2. (C·U)’=C ·U’- const можно выносить за знак

дифференцирования3. Правило дифференцирования

суммы/ разности(V±U)’= V’ ± U’

4. Правило дифференцированияпроизведения

(V·U)’= V’ ·U +V· U’

Таблица производных Правила дифференцирования

1.С’=0 – производная от const равна нулю

2. (C·U)’=C ·U’- const можно выносить за знак

дифференцирования3. Правило дифференцирования

суммы/ разности(V±U)’= V’ ± U’

4. Правило дифференцированияпроизведения

(V·U)’= V’ ·U +V· U’

Интегрирование

Вернемся к вопросу о связи между координатой и скоростью

Поскольку интегрирование является процессом, обратным дифференцированию, то теперь вопросформулируется «в обратном направлении»: как на основании зависимости скорости от времени определить координаты тела?

Из математики:

где j(x) – называется первообразной, производная откоторой равна подынтегральной функции: j’(x) = f(x)т.е. интегрирование является процессом, обратным дифференцированию.

f(x)dx= (x)j

Из «школьной» физики: График зависимости скорости от времени при равномерном движении имеет вид:

V

t

В данном случае пройденный путь S за интервал времени t2 –t1 определяется соотношением: S=V·(t2 –t1)

Его геометрическая интерпретация- площадь под зависимостью V(t)

V

t

t1 t2

S

Из «школьной» физики: График зависимости скорости от времени при равноперемерном движении имеет вид:

V

t

В данном случае пройденный путь S за интервал времени t2 –t1 определяется площадью трапеции.

V

t

t1 t2

V1

V2

SV0

V1=V0+a·t1 V2=V0+a·t2

1 22 1

2 22 1

0 2 0 1

V +VS= (t -t )=....2

a t a t=(V t + ) - (V t + )2 2

Для определения пути, пройденного телом при более сложной зависимости скорости от времени воспользуемся идеей геометрической интерпретации графика V(t)

V

t

Разобьем ось времени на отрезки Δt, найдем величину скорости для каждого интервала времени, определим среднее значение скорости внутри каждого интервала и будем считать, что внутри этих интервалов пройденный путь ΔS определяется как Vср· Δt

V

tΔt

V

tΔt

Тогда путь, пройденный телом можно приблизительно определить как ср S=VΔt

При уменьшении величины интервала времени возрастаетточность определения пройденного пути S

СУММИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДИТВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ:

V

t

2

1

t

iΔt 0t

S= lim VΔt V(t)dt

2

1

t

t

V(t)dtИнтеграл носит название определенного,

поскольку мы суммируем элементарные участки пути от времени t1 до t2.

В общем виде:

Определенный интеграл равен разности первообразной конечного и начального

состояния

2

1

2 1f(x)dx ( ) ( )x

x

x xj j

Метод неопределенного интеграла

Если к первообразной добавить const, топроизводная от этого выражения все равно будет равна подынтегральному выражению:

Поэтому если по известной величине f(x) необходимо найти первообразную j(x), тоэто можно сделать с точностью до const.Величина const определяется из начальных или граничных условий.

(x)= f(x)j ( (x)+C) = f(x)j и

Таблица интегралов правила интегрирования

2

dxcos x

∫f(x)dx

∫ xndx

∫ex dx ex + C

sin x+C

-cos x+C

∫cos x dx

tg x+C

-ctg x+C2

dxsin x

ln x+C

j(x)1

C1

nxn

n≠ -1

1dxx

∫sin x dx

1.∫0dx=C- интеграл от нуля –это const2. ∫adx = ax+C, ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx –Const можно выносить за знак интеграла3. ∫(f(x)+j(x))dx = ∫f(x)dx + ∫j (x)dx –Интеграл от суммы равен сумме интегралов4. Переход к новой переменной интегрирования:

dxf(x)dx= f(t) dtdt

Примеры использования дифференцирования и интегрирования в физике

Круг задач, решаемых в рамках средней школы без применения дифференцирования и интегрирования, весьма ограничен.

Курс общей физики, читаемый в рамках высшей школы, затрагиваетмножество вопросов, ответы на которые можно получить только

при использовании методов математического анализа, возникновение которого во многом и было вызвано насущными

физическими проблемами.

Задача о спасении утопающей девушки

Постановка задачи:В воде тонет девушка. Какое расcтояние необходимо пробежать юноше по берегу прежде чем броситься в воду, чтобы добраться до девушки за минимальноевремя. Скорость бега V1, скорость плаванияV2.

А

В

b

ax a-x

t1- время бега 11

xtV

t2- время плавания

2 2

22

( )a x bt

V

tобщ=t1+t2

Минимальное время находится путем дифференцирования выражения для t общ

по варьируемому параметру х:0общdt

dx

В колебательном контуре напряжение на обкладках конденсатора изменяется по закону: U=U0sinω·t. Найти зависимость силы тока в контуре от времени: q= C·U=C·U0sinω·t

0 0( sin ) U sin tdq dI C U t Cdt dt

При разряде конденсатора заряд на его обкладках изменяется по закону: q=q0e-kt Найти зависимость силы тока в цепи от времени:

0 0 k t k tdq dI q e k q edt dt

сos

Электронная пушка

Коллектор

Задерживающая

сетка

Мишень

Для получения необходимой информации довольно часто приходится прибегать к дифференцированию экспериментальных

данных. Пример: Данные о химическом составе и электронной структуре различных материалов можно определить с помощью рассеяния электронов. Эти данные получают из анализа по энергии электронов, рассеянных мишенью, путем вариации потенциала U, подаваемого на задерживающую сетку.

Однако, получаемый при этом полезный сигнал мал и для его выделения на общем фоне требуется двойное дифференцирование

исходной зависимости

Ik

U3dIk/dU

U3

d2Ik/dU2

U3

на кривой Ik(U) только слабые намекина существование максимумов

После первого дифференцированияуже видны максимумы

После повторного дифференцированияэти максимумы уже проявляются отчетливо и их можно обрабатывать для получения необходимой информации.

В радиотехнике нашли широкое применение дифференцирование и интегрирование сигналов

с помощью R-C цепочек

Дифференцирующая RC цепочка

Интегрирующая RC цепочка

Практический подход к определению скорости из экспериментальных данных

Если в нашем распоряжении имеются данные о положении тела через равные промежутки

времени Δt, то, вычитая из одного положения тела xi в момент времени ti его положение в

предыдущий момент ti-1 , мы определим величину Δxi.

Поделив величину Δxi на интервал времени Δt,мы получим среднее значение скорости в момент

времени ti.

№ t, c x(t), м x(t-Δt) Δx=x(t)-x(t-Δt)

V=Δx/Δt

1 0,1 0,052 0,2 0,20 0,05 0,15 1,53 0,3 0,45 0,20 0,25 2,54 0,4 0,80 0,45 0,35 3,55 0,5 1,25 0,80 0,45 4,56 0.6 1,80 1,25 0,55 5,57 0,7 2,45 1,80 0,65 6,58 0,8 3,20 2,45 0,75 7,59 0,9 4,05 3,20 0,85 8,5

Смещение на одну строчку вниз

Вычитание Деление

Числовой метод определения скорости из зависимости x(t)

Примеры использования определенных и неопределенных интегралов в физике

1. Скорость тела, как функция времени, изменяется по закону V =1+2t. Определить путь, пройденный за время от t=1c до t=3c.

Решение:

2. Скорость тела, как функция времени изменяется по закону V =1+2t. Определить зависимость координаты х от времени,

если при t=0 x(0)=4 Решение: x(0)=0+02+C=4

Откуда С=4 Окончательно x=t+t2+4

32 3 2 2

11

S= (1+2t)dt=t+t =(3+3 )-(1+1 )=10

2x= (1+2t)dt t+t +C

На тело действует только сила сопротивления пропорциональная скорости его движения Fсопр=-r·V. В начальный момент времени тело имело скорость, равную V0 : V(0)=V0. Найти зависимость скорости движения тела от времени.

По II закону Ньютона F m a

cопрdVF r V m a mdt

dVr V mdt

это простейшее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

dVr V mdt

в этом выражении две переменных величины: скорость V и время t. Разнесем их по разные стороны.

Пример №3

dV r dtV m

возьмем интеграл от левой и правой части этого выражения

dV r dtV m

ln lnrV t Cm

в данном случае постоянную интегрирования удобнее представить в виде логарифма: lnC

Перейдем от ln к expr tmV Ce

Величину С найдем из начальных условий: при t=0 V(0)=V0

00(0)V Ce C V

Окончательно: 0( )r tmV t V e

Пример №4

При разряде конденсатора сила тока изменяется по закону: I=I0e-kt Найти величину заряда, находившегося на конденсаторе в начальный момент времени.

В данном случае мы будем пользоваться методом определенного интеграла: dqI

dt dq Idt

00

0 0

k t k tIq Idt I e dt e

k

∞0

0 0(0 1)I Ik k

Пример №

Обе фундаментальные силы – сила Кулоновского и гравитационного взаимодействия, изменяются с расстоянием как 1/r. Поэтому для вычисления работы этих сил нельзя пользоваться школьной формулой A=F·S. Определим работу силы Кулоновского взаимодействия по перемещению

одного точечного заряда в поле другого. Для упрощения задачи будем считать, что второй заряд движется в поле первого в радиальном

направлении, так что выражение для силы F и элементарного перемещения dr можно использовать в скалярной форме:

1 22

q qdA F dr k drr

2 2

1 1

1 2 2 1 2 1 21 2 1 22 2

1 1 2

1(r r

r r

q q r q q q qdrA k dr k q q k q q k kr r r r r r

Как найти скорость тела при свободном падении, если известно, что на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости движения тела Fсопр=-r·V?

По II закону Ньютона F=m·a F= mg-rV= maС увеличением скорости сила сопротивления растет до тех пор, пока она не станет равной силе тяжести (иначе скорость тела должна уменьшаться). Тогда mg- rV=0 и

Однако, зависимость скорости движения тела от времени может быть найдена только с помощью аппарата высшей математики.

maxmgVr

Более сложный пример

m g r V m a Поделим это выражение на m:r dVg Vm dt

В этом выражении нельзя разделить переменные V и t. - Как быть?

Введем новую переменную величину:rz g Vm

Тогда и rdz dVm

mdV dzr

m dzzr dt

Теперь уже можно разделить переменные z и t

dz r dtz m dz r dt

z m ln lnrz t C

m

Перейдем от ln к exp:

1

r tmm g C e V

r

1 0m g Cr

1m gCr

r tmm g m g e V

r r

( ) (1 )r tmm gV t e

r

1mC Cr

r tmz Ce

r tmrg V C e

m

Заменим z на V:

Поделим левую и правую часть на r/m, сделав коэффициент при V равным единице, и введем новую const интегрирования С1

Тогда

Найдем С1 из начальных условий: при t=0 V(0)=0 Тогда

Подставим С1 в выражение для скорости

Окончательно