管理运筹学 - 管理科学方法
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管理运筹学 - 管理科学方法
中国人民大学出版社
谢家平 编著
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2
第第 1111 章 库存管理章 库存管理
Sub titleSub title学习要点学习要点
正确理解库存系统、库存策略和库存费用 经济订货批量和经济生产批量的适用前提 允许缺货或价格折扣的经济订货批量问题 报童模型与多周期库存模型的应用前提 需求不确定下设置安全库存的目的和方法
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第一节 库存的相关概念
一、库存系统
即存储物的库存数量水平,反映存储物随时间推移而发生的数量变化,库存量随需求过程而减少,又随供应过程而增加
需求是不可控制的外生变量,表现形式:有的需求是连续的,有的是间断的;有的需求是确定的,有的是随机的
补充 (供应 )是库存的输入,补充的形式可以是对外订货,也可以是自行生产。从提出订货到货物进入库存状态所需的时间称为进货延迟。
库存状态
需求过程
补充过程
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第一节 库存的相关概念
• 相关需求库存是指物品的需求之间具有内在的相关性。 • 独立需求库存是指物品的需求不依赖于其它物品,而是直接来源于企业外部的需求。
独立需求与相关需求库存二、库存类型
确定性库存与随机性库存•确定性库存是指供应过程和需求过程都是确定性的•随机性库存是指供应过程的交货提前期或者需求过程
的需求数量是不确定性的,服从于一定的概率分布。
单周期与多周期需求库存•单周期库存是指易腐品以及短寿命产品的存储。•多周期需求库存则指在足够长的时间里对某种物品
的重复而连续的需求,其库存需要不断地补充。
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第一节 库存的相关概念
三、库存策略
订货批
量周转库存
最高库存
库存量
时间安全库存
订货间隔期订货提前期
订货点
库存控制参数
订货间隔期、订货点和订货批量等参数的不同组合称为库存策略。
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第一节 库存的相关概念
三、库存策略
(s,Q) 策略是指事先设定订货点,连续性检查库存量,在每次出库时,均盘点剩余量,检查库存量是否低于预先设定的订货点。
这是定量订货控制策略 (Perpetual Inventory Control)
1. (s,Q) 策略
2. (t,S) 策略(t,s) 策略是指补充过程是每隔时间补充一次,每次补充到目标库
存水平。这是定期库存控制策略 (Periodic Inventory Control) 。3. (s,S) 策略
事先设定最低(订货点 s )和最高(目标库存水平 S )库存标准,随时检查库存量。这是最大最小系统。
4. (t,s,S) 策略此策略是策略 2 和策略 3 的结合,即每隔时间检查库存量一
次,当库存量小于等于订货点时就发出订货。
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第一节 库存的相关概念
四、库存费用
指货物在库存期间因储存和保管而发生的有关费用。具体包括仓库管理费、保险费、存货占用资金的利息,存储
物的损坏、变质、报废等库存风险费用。
1. 存储费
2. 存储费为订购货物所付出的手续费、旅差费、电信费等商务交易业
务的费用支出。
3. 缺货费这是指库存未能完全满足需求,出现供不应求时所引起的损
失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失、不能履行合同而支付的违约金以及商誉下降所造成的无形损失等。
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第二节 确定性库存模型
一、经济订货批量模型( Economic Order Quantity , EOQ ) 哈里斯( F.W.Harris ) 1915 年提出
① 需求是已知而连续均匀的,需求率均匀且为常数;② 订货提前期为固定常量;③ 补货时间为零,即当库存降为零时,立即补充至定额水平;④ 每次订货批量相同;⑤ 每次订购费 ( 或装配费 )不变,与批量大小无关;⑥ 库存费用与库存量成正比,单位存储费不变;⑦ 无价格折扣,货物单价为不随批量而变化;⑧ 不允许缺货,缺货费用为无穷大。
2
t
0时间
库存
t
-
D
Q
假设:
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为求 的极小值,
由一阶条件:
解得经济订货批量
第二节 确定性库存模型
一、经济订货批量模型
( )C Q
2
10
2
dC D KH
dQ Q
* 2D KQ
H
令 为年订货次数, 为全年总需求量,易知 ,则年总费用为
1( )
2
DC Q Q H K c D
Q
/N D QN D
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第二节 确定性库存模型
一、经济订货批量模型
订购费
存储费
总费用费
经济订货批量
( )C Q
Q
库存费用与库存量之间的关系
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第二节 确定性库存模型
一、经济订货批量模型例:某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把,
每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元,每把刀的单价为 50元,每把滚刀的年库存费用是 3元,试计算其经济订货批量。若每年按 250个工作日计算,最优订货次数?
解:根据经济订货批量公式和已知条件,经济订货批量
把,
最优订货次数 次
* 2 2 1000 60
3
D KQ
H200
**
10005
200
DN
Q
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第二节 确定性库存模型
二、经济生产批量模型① 需求是已知而连续均匀的,需求率均匀且为常数;② 供给是已知而连续均匀的,供给率均匀且为常数;③ 每次生产批量相同;④ 每次生产准备费用不变,与批量大小无关;⑤ 库存费用与库存量成正比,单位存储费不变;⑥ 无价格折扣,单位产品生产成本为;⑦ 不允许缺货,缺货费用为无穷大。
假设:
t 2t0 T时间
库存
P DD
P
mI ax
Q
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第二节 确定性库存模型
二、经济生产批量模型
库存水平的最大值为 )1()(max P
DQDP
P
QI
年总库存费用为1
( ) ( )2
Q DC Q P D H K c D
P Q
由一阶条件 2
1(1 ) 0
2
dC D D KH
dQ P Q
解得经济生产批量 * 2D K PQ
H P D
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第二节 确定性库存模型
二、经济生产批量模型例 : 某汽车零部件厂为汽车售后市场提供发动机配件,每年
的这种配件的需求量为 90000个,按每年 360个工作日计算,平均日需求量为 250个。若该厂的日生产量为 500个,现知每次生产的准备费用为 1000元,每个配件的单价为 50元,每年每个配件的库存费用是 10元,试计算其经济生产批量。
解:根据经济生产批量公式和已知条件,经济生产批量
件 2 90000 1000 5006000
10 500 250
* 2
D K P
QH P D
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第二节 确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
允许缺货的库存量变化状态
2t0时间
库存
t
-D
td
S
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第二节 确定性库存模型
三、允许缺货的订货量
单位时间总库存费用(库存费 + 缺货费 + 订货费)
为订货量 Q 和初始库存量 S 函数 :
2 21( , ) ( ) 2
2C Q S S H Q S L K D
Q
由一阶偏导数求得:
最大库存量: * 2D K LS
H H L
经济订货批量: * 2D K H LQ
H L
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第二节 确定性库存模型
三、允许缺货的订货量例:某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把,每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元,每把滚刀的年库存费用是 3元,若每把刀的年缺货损失费为1元,试求最大库存量和最大缺货量?
解:最大库存量:
=100 * 2 2 1000 60 1
3 3 1
D K LS
H H L
* 2 2 1000 60 3 1
3 1
D K H LQ
H L
经济订货批量:
=400
最大缺货量 =400-100=300 * *Q S
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第二节 确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
两个折扣点的价格与费用变化关系
0
费用
采购量
订货费用
存储费用
库存总费用
1Q*Q 2Q
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第二节 确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
取最低点价格代入基本 ECQ 模型,求出 Q* 。如果 Q* 位于其价格区间,则即为最优订货批量。否则转步骤( 2 )
取次低价格代入基本 ECQ 模型并求出相应的 Q* 。如果 Q*可行,计算订货量为 Q* 时的总费用和所有大于 Q* 的数量折扣点所对应的总费用,取其中最小费用对应的数量,该数量即为最优订货批量,停止步骤。
若 Q* 不可行,则重复步骤( 2 ),直至找到一个可行的最优订货批量为止。
计算步骤
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解:根据经济订货批量公式和已知条件,第一步,取最低价格8元,
第二节 确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量例:某冰箱厂每年需要某种配件为 2000个。该配件的售价为:1~ 499个为 10元, 500~ 999个为 9元, 1000个以上为 8元。现知每次订货费用为 320元,每个配件每年的库存费用是为售价的 20% ,试计算其最优订货批量以及总费用?
8 0.2 1.6H
*8
2 2 2000 320894
1.6
DSQ
H
*8 894Q
由于 894 位于 500 ~ 999的区间,此时的售价是 9 元而不是 8 元。
不是可行解。
件
元。
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第二节 确定性库存模型
四、价格折扣的的订货量
是可行解。
9 0.2 1.8H
*9
2 2 2000 320843
1.8
DSQ
H
*9 843Q
1 2000(843) 843 1.8 320 2000 9 19517.89
2 843C
1 2000(1000) 1000 1.6 320 2000 8 17440
2 1000C
第二步,取次低价格9元, 元
由于 843 位于 500 ~ 999的区间,售价为 9 元,因此
由库存费用计算式可知:
元,
显然,总费用最低的订货批量为 1000 件,此时的总费用为 17440 元
件
元。
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理想目标是能够实现供求平衡,这样可以使得滞销损失和机会损失之和为最小。根据供求关系,存在如下两种情况:
当产品供过于求时,即订货量 Q 大于需求量 r ,此时因产品积压而导致滞销的数量为 Q-r ,滞销损失期望值为:
当产品供不应求时,即订货量 Q 小于需求量 r ,此时因缺货而导致少销售机会失去量为 r-Q ,机会损失期望值为:
总损失的期望值为
第三节 随机性库存模型
一、单周期库存模型
( ) ( ) ( )ur Q
C Q u Q r P r
( ) ( ) ( )vr Q
C Q v r Q P r
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u vr Q r Q
C Q C Q C Q u Q r P r v r Q P r
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第三节 随机性库存模型
一、单周期库存模型
假设某产品的需求是不确定的,用随机变量 r表示需求量,每销售一件产品盈利 v元,如果未售出,则每件亏损 u元。产品销售需求量的概率 P(r) 可以根据历史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求,因过剩致使资金积压,会造成滞销损失;如果订货过少而供不应求,则出现缺货而失去盈利机会,造成机会损失。那么订货量为多少是期望利润值最大?
最优订货量应按下列不等式确定:
1
0 0
( ) ( )i ir r
r r
vP r P r
v u
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解:由已知条件可知 u=60 , v=40 ,临界值
由表中的数据可知 ,最优进货量为 8筐。
第三节 随机性库存模型
一、单周期库存模型例:某水产批发店进一批大虾,每售出一筐可赢利 60元。如果
当天不能及时售出,必须削价处理。假如降价处理后全部售完,此时每一筐损失 40元。根据历史销售经验,市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货量。
(7) 0.45, (8) 0.8F F
60
60 40
v
v u
=0
.6
r( )P r
( )F r
需求量 (筐) ≤5 6 7 8 9 ≥10
概率 0.05 0.15 0.25 0.35 0.15 0.05
累积概率 0.05 0.2 0.45 0.8 0.95 1
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第三节 随机性库存模型
二、多周期库存模型此模型的假设条件为:采用 ( t , s , S) 策略需求随机且每个固定 t 周期内的需求量的概率分布 P(r) 可知。
令货物单位成本为 c ,每次订购费用为 K ,单位库存持有费用为 H ,单位缺货费用为 L
离散需求下总费用期望为进货费、库存费和缺货费之和
最优订货量按下列不等式确定:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r S r S
C S K c S I H S r P r L r S P r
1
( ) ( )i ir S r S
L cP r P r
L H
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第三节 随机性库存模型
二、多周期库存模型下面讨论一个周期 t后,库存数量 I达到什么水平时,可
以不需订货,假设这一库存水平是 s ,如何找到订货点 s呢 ?
显然, s 点不需订货时的总费用期望值 C(s) 为
订货补充库存为 S 点时的总费用期望值 C(S) 如下:
C(s) 和 C(S) 的关系必为 。 ( ) ( )C s C S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r s r s
C s c s H s r P r L r s P r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )r S r S
C S K c S H S r P r L r S P r
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第三节 随机性库存模型
二、多周期库存模型
例:某机械厂生产某种产品每月都不定量地需要螺钉,历史同期的每月需求量及其概率如下表。
每次订货费为 500 元;每千个螺钉一框,每框500元;每月每框的保管费用为 10 元,缺货费用为 2000 元。
试求订货点和目标库存水平;若 I=30 框,则月初进货多少为宜。
需求量( 框 )
30 40 50 60 70 80 90 100
概 率 0.05 0.10 0.10 0.15 0.25 0.2 0.1 0.05
累积概率 0.05 0.15 0.25 0.4 0.65 0.85 0.95 1
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第三节 随机性库存模型
二、多周期库存模型解:由题意和已知条件可知: k=500 元 / 次, c=500 元 / 框,H=10 元 / 框 / 月, L=2000 元 / 框 / 月。计算临界值 =0.67 ,由于累积概率 所以目标库存水平 =80 框。计算 =500+50080+10[(80-30)0.05+(80-40) 0.1+(80-50) 0.1+(80-60)0.15+(80-70)0.25]+2000[(80-80)0.2 +(90-80)0.1+(100-80)0.05]=241250 ,故月初进货框 80-30=50框,可使期望费用达到最小。 =50030+50[(30-30)0.05]+2000[(40-30)0.1+(50-30)0.1 +(60-30)0.15+(70-30)0.25+ (80-30)0.2+(90-30)0.1+(100 -30)0.05]=89000.因 < ,故知 s=30 。
1500 500
1500 10
L c
L H
(70) 0.65F (80) 0.85F
(80)C
(30)C
( 30)C s ( 80)C S
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第三节 随机性库存模型
三、安全库存的设置1、需求的变化程度如何表示安全库存既与变化方差有关,又与服务水平有关
不确定性下的库存关系
服务水平
0
平均库存概率
库存量
最大库存
安全库存
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第三节 随机性库存模型
三、安全库存的设置2、提前期的需求期望和方差
3、订货点与安全库存的测定
提前期内的需求可以看作数学期望为 、方差为 的正态分布,即
TL D2
T DL 2( , )
TL T T DD N L D L
需求和订货提前期都不确定
订货点 +
安全库存 2 2 2
TT D LZ L D
2 2 2
TT D LZ L D TL D
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