מאמר מאת: ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,ס.שנקר

מאמר מאת:מאמר מאת:ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,ג. פייגנבאום , כ.ה.פאפאדימיטריו ,

ס.שנקרס.שנקר

Sharing the Cost of Multicast Sharing the Cost of Multicast TransmissionsTransmissions

מרצים:מרצים:עודד אלהרר , גור הילדסהייםעודד אלהרר , גור הילדסהיים

Sharing the cost of Multicast Transmissions 2

נושאים

.multicastingמהי בעיית ה•

מטרות המאמר ומוסכמות.•

מכניזם שיתוף עלויות.•

מודל הרשת – פורמלי. •

המכניזם – תכונות.•

Sharing the cost of Multicast Transmissions 3

נושאים )המשך(

מכניזמים: שייפלי והמחיר השולי•המטרה – עלות הפרוטוקול•מכניזם ראשון: מחיר שולי•אלגוריתם המחיר השולי• המפיק רווחה multicastעץ •

מקסימאלית.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 4

נושאים )המשך(

מכניזם שייפלי•

אלגוריתם שייפלי•

מסקנות ועבודות עתידיות.•

Sharing the cost of Multicast Transmissions 5

Multicastingבעיית הכיום, השימוש ברשת הוא למטרות שידורי •

unicast.שידורים אלו דורשים שליחת חבילות מידע •

ספציפיות לכל לקוח.כל תחנות הרדיו באינטרנט פועלות בדרך •

שידור זו.יש צורך לצמצם כמות שידורים זו.•

Sharing the cost of Multicast Transmissions 6

)המשך(Multicastingבעיית ה

.Broadcastפתרון השימוש ב •אינו פרקטי ובטח לא רווחי!•:multicastפתרון ה • כל חבילה תועתק, לפי הצורך, •

בנתבים. בונים עץ מכוון ברשת – השורש הוא •

המקור, עלים וצמתים – לקוחות.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 7

Unicating vs. Multicasting

Sharing the cost of Multicast Transmissions 8

• The network is a graph.• Nodes are Autonomous Systems• Edges are physical connections

between ASs.

• Goal: share costs between users.

מוסכמות - מודל הרשת

Sharing the cost of Multicast Transmissions 9

מוסכמות )המשך(• Each AS has users• Cost of service for user i:• When• Participation in multicast:• User receives multicast: • Utility per user

ix0ix

i1i

iu

Sharing the cost of Multicast Transmissions 10

מוסכמות )המשך(

• Personal welfare for user i: • Define mechanism by

• Users must inform network of their utility.

i i i iw u x ( ) ( ), ( )CSM u x u u

1 2, ,..., nu u u u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 11

מוסכמות )המשך(

• Users do not need to cooperate with network authorities or amongst themselves.

• Users are usually selfish.• Conclusion: users report the

value to maximize iw

Sharing the cost of Multicast Transmissions 12

מטרה

• Finding a strategyproof (truthful) mechanism.

• The user maximizes his welfare by revealing his true utility value.

• Formally, this means

|

,

ii i i

i

w u w u v

i v

Sharing the cost of Multicast Transmissions 13

מה בהמשך?

.מכניזם שיתוף עלויותנגדיר •נגדיר דרישות מהמכניזם על מנת שיהיה סביר.•בהרצאה זו נעסוק בשני מכניזמים:•

.(SH) והמכניזם של שייפלי (MC)מחיר שולי מכניזמים אלו מקיימים את הדרישות העיקריות •

ואת דרישות הסיבוכיות.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 14

מכניזם שיתוף עלויותהמכניזם לשיתוף עלויות הוא בעצם •

אמצעי לחישוב של.iלכל משתמש מספק ערכי•מצד אחד, נדרש חישוב מבוזר יעיל.•מהצד השני, נדרשת כמות הודעות קטנה.•

דבר זה קובע עד כמה סביר האלגוריתם(feasible).

, ( )x u u ,i iu x u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 15

מודל הרשת – פורמלי.

• We define:– User Population P.– Node Set N.– Set of bidirectional Links L.– User i resides in AS )node( N

Sharing the cost of Multicast Transmissions 16

מודל הרשת )המשך(

• Single source at sending some particular content.

• Given Receiver set

• Construct Multicast Treerooted at .

s N

R P

T R Ls

Sharing the cost of Multicast Transmissions 17

מודל הרשת )המשך(

נניח לשם נוחות כי קיים עץ גלובלי•(universal tree( T(P) .ששורשו במקור

נראה בהמשך שללא ההנחה החישוב •יותר מסובך.

תת-עץ מינימאלי R: T(R)לכל תת קבוצה • שנדרש להגיע לחברי UTשל ה

תת-הקבוצה מהמקור.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 18

מודל הרשת )המשך(S

T(P)

Sharing the cost of Multicast Transmissions 19

מודל הרשת )המשך(S

T(P)

Sharing the cost of Multicast Transmissions 20

מודל הרשת )המשך(S

T(R)

Sharing the cost of Multicast Transmissions 21

מודל הרשת )המשך(• Defines for each user i single T(i).• Thus • Simple implementation, stable.• Path from source to user i

independent of other users presence.

• Tree may not be optimal )Steiner(.

i R

T R T i

Sharing the cost of Multicast Transmissions 22

העלות והרווחה

• Each link l has cost c(l)≥0 .• Cost is known to nodes at links ends.• Tree cost for T(R) is c(T(R)) .• Overall Welfare = Net worth is

,R R ii R

l T R

NW R u c T R u u

c T R c l

Sharing the cost of Multicast Transmissions 23

העלות והרווחה

חשוב לשים לב שהרווחה הכוללת מהשידור • תלויה בחלוקת אינה סכום הרווחות ואינה

העלויות.הרווחה לכן – סכום תועלות משתמשים •

פחות עלות כוללת.התשלום לכן, אינו משפיע בכלל על הרווחה •

הכללית!

Sharing the cost of Multicast Transmissions 24

העלות

• Since the cost function satisfies:

1. Nondecreasing

2. Submodular

i R

T R T i

c T R i c T R

1 2 1 2 1 2

1 2, ,

c T R c T R c T R R c T R R

R R R P

Sharing the cost of Multicast Transmissions 25

מכניזם - תכונות

כאמור, יוגדר לפי•כפונקציה של התועלת הכללית.

יוגדר כרשימת הלקוחות לכן•(receiver set)

ונקבע את הרווחה •

( ), ( )x u u

| ( ) 1iR u i P u

W u NW R u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 26

מכניזם - תכונות• Requirements:• Strategyproofness:

• No Positive Transfers )NPT(:

• Voluntary Participation )VP(:

• Consumer Sovereignty )CS(:

, , : |ii i i iu i v w u w u v

0ix u

0iw u

: | 1iiu u v

Sharing the cost of Multicast Transmissions 27

מכניזם - תכונות• Two more requirements to prevent

trivial undesirable results:• Budget balance:

• Efficiency:R that maximizes NW is called Efficient Set

ii P

x u c T R u

:R P NW R u NW R

Sharing the cost of Multicast Transmissions 28

הערות

תוצאה ידועה בתורת המשחקים: שתי •הדרישות האחרונות אינן מתקיימות יחדיו.

אין מכניזם חסין אסטרטגיה שהנו מאוזן •תקציב וגם יעיל.

יש מכניזם ידוע שהנו גם יעיל וגם שמקיים •.SP ושהנו VP ו NPTאת

Sharing the cost of Multicast Transmissions 29

מכניזם: עלות שולית

סט יעיל מקסימאלי.יהיהגדרה

מוגדר היטב כיוון שהמחיר הינו תת מודולרי – איחוד סטים יעילים הוא גם

סט יעיל.

נקבע:

*R u

* *1, | 0,i ju i R u u j R u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 30

מכניזם: עלות שולית

:נגדיר פונקצית העלות•

.Budget Balancedלא •

כל שחקן משלם על ההפרש בין התועלת •שלו לבין התרומה השולית שלו לרווחה

הכללית.

*

| 0ii i ix u u W u W u

W u NW R u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 31

מטרה –עלות השידור בעומס

• Cost sharing must not “burden” network.

• “burden” = trans. Over L by ASs.• One round for node α

message received from all neighbors in T(P) local computationmessage sent to all neighbors in T(P)

Sharing the cost of Multicast Transmissions 32

מטרה –עלות השידור בעומסנסמן•

ונדרוש•

וחסימה על גודל הודעה יחידה. •

i i Pl L

n T P

p P

m c l u

, 1l Lmessages O n messages O

Sharing the cost of Multicast Transmissions 33

תורת המשחקיםנושא המאמר מקשר בין תורת המשחקים, •

מדעי המחשב ורשתות תקשורת. ולכן נדרושSP פחות חזק מ Nashש"מ •

.SPפתרון שהוא מתייחסים למניעים ועומס הרשת בו זמנית.•, חישוב מרוכז ידרושמבוזרהחישוב ברשת •

פחות הודעות אולם אינו סביר.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 34

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית

2: מכניזם עלות שולית דורש 1משפט •הודעות בדיוק לכל חיבור.

נראה אלגוריתם המחשב את חלוקת •העלויות על ידי ביצוע של מעברים:

bottom up ו top down.האלגוריתם אופטימאלי ביחס למספר •

ההודעות.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 35

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

• Proof:• Let’s view the algorithm:

• Notations:

c

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22c

u

p

Ch

Sharing the cost of Multicast Transmissions 36

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

• More notations:

| 0Ch W u

W u u W u c

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

min ,iy u W root

Sharing the cost of Multicast Transmissions 37

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

• For each node α: )bottom up(• After receiving messagefrom

all node’s children calculate:

• If welfare is negative

Leave tree and send 0

Else send welfare.

A

Ch

W u A c

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

1 1

2

0

1

Sharing the cost of Multicast Transmissions 38

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

• Algorithm: top down:

• Root sends welfare down

• Foreach node except root:

if 0, OR <0 Then{i i res A

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

1 1

2

0

1 0, 0, i ix i res 1 to , }send Ch

Sharing the cost of Multicast Transmissions 39

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

( )

else{

min( , )

( ),

if , 0

else

,send to }

p

i i

i i

A A W

i res

u A x

x u A

Ch A

4,1

S

2 3

4 2

4 3 3

22

1 1

2

0

1

3 3

1

2 2

X=0

X=3X=3,0

X=2

Sharing the cost of Multicast Transmissions 40

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

αהאלגוריתם פועל כך שלכל •

סט iאם הרווח קטן מערך זה, ללא משתמש •.0המשתמשים יהיה זהה ולכן ישלם המשתמש

אם הרווח גדול יותר נפסיד ערך רווחה זה ולכן •ישלם

המשתמש את ההפרש.

min ,iy u W root

Sharing the cost of Multicast Transmissions 41

אלגוריתם למימוש מכניזם עלות שולית )המשך(

ראינו אלגוריתם שבשליחת שתי סיכום: •הודעות לחיבור מחשב חלוקת עלויות.

בעץ תיעשה ביחד עם העברת•.העברת

. 2ערכים שגויים יתוקנו במעבר •בהמשך נראה השוואה למכניזם שייפלי.•

iy u

i u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 42

מכניזם: שייפלי

• Without the efficiency requirement.• Budget Balanced.• Many mechanisms.• SP demands that:

Mechanism be defined by function f

Sharing the cost of Multicast Transmissions 43

מכניזם: שייפלי מחיר חיוביהפונקציה•ו-• וככל שיש יותר משתתפיםBBכלומר, •

התשלום למשתתף יורד. את fנחשב בעזרת •

0: 2 PPf

,i i iif R j f R f R c T R

, ( )x u u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 44

מכניזם: שייפלי• Algorithm:• Set k = 1 and

• foreach k≥2 set

1 1( ) 1,i u R u P

1| 1

1

0

k ki

k ki i

ki ik

i ki i

R u i

x u f R u

u x u

u x u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 45

מכניזם: שייפלי• But: • Algorithm converges in finite number of

iterations.• We note: as the receiver

set.• No welfare maximization )efficiency(• Min

welfare loss produced by Shapley.

1k kR u R u

kR u R u

*maxu NW R u NW R u

Sharing the cost of Multicast Transmissions 46

Welfare maximizing multicast tree

• Until now we assumed to have a universal tree T)P( for each source.

• For each R, T)R( was a sub-tree of T)P(.

• Clearly, this tree is not necessarily the lowest cost tree, and not necessarily the tree which maximizes the welfare.

• So, why choosing T)P( in advance?

Sharing the cost of Multicast Transmissions 47

Welfare maximizing multicast tree (cont.)

• Let’s assume that we are given a graph and not a tree.

• The transmission tree is different for every R.

• Finding R that maximizes the welfare is an NP complete problem.

• Proof: reduction to SAT

Sharing the cost of Multicast Transmissions 48

Shapley Value Mechanism

• We consider a mechanism that is strategyproof, NPT, VP, CS.

• As we have seen, we can also demand the mechanism to be budget-balanced or efficient but not both.

• Shapley Value mechanism )SH( is strategyproof, NPT, VP, CS and budget-balanced.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 49

Shapley Value Mechanism (cont.)

• Moreover: among all budget-balanced strategyproof mechanisms SH is the one which minimizes the worst-case welfare loss.

• Hence, if budget-balanced is our main concern, SH is a natural choice.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 50

Shapley Value Mechanism (cont.)

• SH basic: divide link cost equally between the users which use this link.

• The mechanism acts in iterations:– Initialize:

• all users are assumed to receive the transmission )CS(.

– Step )repeated(:• Calculate the cost share of each user.• Exclude users with negative welfare )VP(.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 51

Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5

Initialize: All nodes are assumed to receive the transmission

Sharing the cost of Multicast Transmissions 52

Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5

Step: Calculate the cost shares and exclude users with negative welfare

21x c

X=5

X=2

X=5 X=3

X=6

Sharing the cost of Multicast Transmissions 53

Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5

Step: Calculate the cost shares and exclude users with negative welfare

X=0

X=2.5

X=5.5 X=4

X=7

Sharing the cost of Multicast Transmissions 54

Example (cont.)s

C=2

C=3

C=10

C=3

C=3

u=4u=10

u=12

u=5.1

u=5

Step: Calculate the cost shares and exclude users with negative welfare

X=0

X=3.33

X=0 X=4.83

X=7.83

Sharing the cost of Multicast Transmissions 55

The brute force algorithm

• A distributed algorithm for implementing SH.

i

i i

Initialize: the source performs a PI to

wake up all nodes and users.

Each user i determines his u and

update x =0, =1.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 56

The brute force algorithm (cont.)

• The algorithm acts in iterations.

• Each iteration consists of a bottom up traversal followed by a top down one.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 57

The brute force algorithm (cont.)

i

The bottom up traversal:

1. Each user i sends to his node

2. Each node remembers which users

and how many in the subtree under it

want the transmission (P ) and sends

the data to its father.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 58

The brute force algorithm (cont.)

The top down traversal:

1.Upon receiveing massages from all its children,

the source sends x=0 to its children.

2. Let l be the link from the node to his father.

Let c(l) be the link cost.

Each node alfa, upon receiving x, does:

c(l) x x+

P

Sharing the cost of Multicast Transmissions 59

The brute force algorithm (cont.)

3. Node sends x to its users and children

nodes.

4. Each user updates x and , and begins

the bottom up traversal again.

Termination: when the group of users

doesn't change after an iteration.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 60

The brute force algorithm (cont.)

• Correctness:– VP and CS – every user decides whether to

receive the transmission or not.

– NPT – holds because for each l, c)l( ≥ 0.

– BB – for each l, c)l( is divided )equally( between the users downstream.

– SP – x does not depend on u, so why cheat?

Sharing the cost of Multicast Transmissions 61

The brute force algorithm (cont.)

• Complexity:– In each iteration, at most 2n

massages are sent )one up and one down from each node, massages to/from users are not considered(.

– At most P iterations.– O)nP( overall.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 62

Conjecture

• The brute-force algorithm is optimal )massages complexity-wise(.

• There is no solid proof in the paper.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 63

Conclusions

• SH is less feasible than MC.• But, if the we change the model so

central calculations are permitted:– The nodes can send u and c to the source,

and it can perform the calculation centrally.– The massages complexity then is the same

as in MC.

Sharing the cost of Multicast Transmissions 64

Future work

• NPT does not apply to all real-world businesses. Would it change the results if we drop this requirement?

• Are all BB mechanisms yield a quadratic massage complexity?

Sharing the cost of Multicast Transmissions 65

Future work

• The principle of profit maximization was not considered at all in the model requirements.

• However, it’s an open problem if there is a mechanism that is strategyproof and maximizes the profit.