Урок ділова гра

Тема уроку

Похідна. Застосування похідної до дослідження

функцій.

Мета уроку узагальнити та

ситематизувати знання, уміння та навички за темою;

поняття похідної, правила знахождення похідної;

застосування похідної для дослідження функції :.

Визначення похідноїНехай функція y = f(x) визначена на деякому проміжку (a; b).

Аргументу x надаємо деякий приріст : x

y

0 хх

f(x )

x+Δx

f(x+ Δx )

Знайдемо відповідний приріст функції:

)()( xfxxfy

yx

);( baxx

Якщо існує границяx

yx

0

lim

то її називають похідною функції y = f(x) та позначають одним з символів:

dx

dyxfy );(;

Отже, за визначенням:

x

xfxxfy

x

)()(lim

0

Функція y = f(x) , яка має похідну у кожній точці інтервалу (a; b), називається диференційованою на цьому інтервалі; операція знахождення похідної функції називається диференціюванням.

Якщо функція y = f(x) описує будь- який фізичний процес, то f ’(x) є швидкість протікання цього процессу – фізичний зміст похідної.

Визначення похідної

Історія «Похідної»

Історична довідка

КінецьXVI – середина XVII століття ознаменувалися великим інтересом вчених до пояснення руху та знахожденню законів,яким він підпорядковується.

Як ніколи гостро встали питання про визначення та обчислення швидкості руху та його прискорення. Розв’язування цих питань привело до установлення зв’язку між задачею про обчислення швидкості руху тіла і задачею проведення дотичної до кривої,яка описує залежність пройденного шляху від часу.

Давид Гильберт

УУ каждогокаждого человекачеловека естьестьопределенныйопределенныйкругозоркругозор. . КогдаКогдаэтотэтот кругозоркругозорсужаетсясужается додобесконечностибесконечностималогомалого, , тото ононобращаетсяобращается ввточкуточку. . ТогдаТогдачеловекчеловек ии говоритговорит, , чточто этоэто естьесть егоеготочкаточка зрениязрения..

Загальне поняття похідної було зроблено незалежно один від одного майже

одночасноанглійським фізиком и

математикомнімецьким філософом і

математиком Г.Лейбніцем. І.Ньютоном

Формула похідної зустрічається нам ще у 15 столітті. Великий італійський математик Тартальї, вивчаючи питання, на скільки залежить дальність польоту снаряду від

нахилу орудій, використовує її у своїх працях.Присвячує цілий трактат ролі похідної у

математиці відомий вчений Галілео Галілей. Потім похідна та різні способи її застосування зустрічалися у роботах Декарта, французького

математика Роберваля і англійця Грегорі. Значний вклад по вивченню похідної внесли такі уми, як Лопіталь, Бернуллі, Лангранж та

інші.

Формули для обчислення похідних

1. C´ = 02. x´ = 13. (xn)´= nxn-1

4. 1 (x)´= —— 2 x5. 1 ´ 1 — = - —— x x2

Правила обчислення похідних

Якщо функції U и V диференційовані у точці x0, то

Якщо функція U диференційована у точці x0, а С-стала

величина, то (СU)´=CU´

1. ( U + V )´ = U´ + V´

2. (U V)´ = U´ V + U V´

1. U ´ U´ V - U V´ — = —————— V V2

(sin x)'=cos x(cos x)'=-sin x,(tgx)'=1/cos² x,(ctg x)'=-1/sin²x.

Геометричний зміст похідноїВізьмемо на неперервній кривій L дві точки М и М1:

y

0 хх

f(x )

x+Δx

y

x

М

М1f(x+ Δx )

Через точки М и М1 проведемо січну та позначимо через φ кут нахилу січної.

φ

x

xfxxfx

ytg

)()(

При у силу неперервності функції також прямує до нуля, тому точка М1 нескінченно наближається по кривій до точки М,

а січна ММ1 переходить у дотичну

0x y

0

limx

tgtgx 0lim

y

0 хх

f(x )

α

М

01

01 )()(

tt

tftf

t

хvср

Задача про швидкість хімічної реакціїЗадача про швидкість хімічної реакціїСередня швидкість розчинення солі у воді за проміжок часу [t0;t1] (маса солі, яка розчинилася у воді, змінюється за законом х = f(t)) визначається за формулою .

Швидкість розчинення в данний момент часу

)()( 00 tftv

Зростання чисельності населенняВивести формулу для обчислення чисельності населення на обмеженій території в момент часу t.

Нехай у=у(t)- чисельність населення.

Розглянемо приріст населення за t = t - t0

y=k ∙ y ∙ t, где к = кн – кс –коефіцієнт приросту (кн – коефіцієнт народженості, кс – коефіцієнт смертності)

Одержимо:

ykt

y

yt

yt

0lim

Скажи мені, і я забуду.

Покажи мені, і я запам’ятаю.

Дай мені спробувати самому,

і я навчусь

Конфуцій