Александр Шень — Неразрешимые задачи и нижние оценки
Post on 11-Nov-2014
396 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Неразрешимые задачи и нижние оценки
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier,ИППИ
13 сентября 2014
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Abstract
Понятно, зачем теоретики находят эффективныеалгоритмы решения задач какого-то класса, а потомпрактики их реализуют. Но теоретики стараются такжедоказать, что для некоторых задач эффективныхалгоритмов (и даже вообще никаких алгоритмов) несуществует. Что при этом им удаётся и не удаётся, изачем это может быть нужно? Речь пойдёт о «проблемеостановки» и задачах, к которым она сводится, ознаменитом классе NP, а также о простых нижнихоценках.
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Примение компьютеров: условная схема
жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Примение компьютеров: условная схема
жизненная ситуация, требующая улучшений
математическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Примение компьютеров: условная схема
жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачи
алгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Примение компьютеров: условная схема
жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачу
программная реализация этого алгоритма«внедрение»
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Примение компьютеров: условная схема
жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма
«внедрение»
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Примение компьютеров: условная схема
жизненная ситуация, требующая улучшенийматематическая (формальная) постановказадачиалгоритм, решающий эту задачупрограммная реализация этого алгоритма«внедрение»
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)
математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задаче
математическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешима
неизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритм
программа неправильнааппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильна
аппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Возможные препятствия
жизнь требует не этого (АСУ советскоговремени)математическая постановка не адекватнареальной задачематематическая задача алгоритмическинеразрешиманеизвестен быстрый алгоритмпрограмма неправильнааппаратные проблемы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимые проблемы: что это значит?
«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимые проблемы: что это значит?
«допрыгнуть до Луны» [не удастся]
бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимые проблемы: что это значит?
«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]
10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимые проблемы: что это значит?
«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]
разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимые проблемы: что это значит?
«допрыгнуть до Луны» [не удастся]бесконечно много простых «близнецов»? [мыникогда не докажем и не опровергнем этого]10 проблема Гильберта: узнать, имеет лиданный многочлен с целыми коэффициентами(и несколькими переменными) целочисленныйнуль (все переменные целые) [не существуеталгоритма, который даёт правильный ответ навсе такие вопросы]разложение на множители [нет быстрогоалгоритма]
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятие
теория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)
первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»
определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли она
нет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)
не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
«Проблема остановки»
утверждения о несуществовании алгоритматребуют точно определить это понятиетеория алгоритмов (1930+)первые «теоретические процессоры» и«теоретические языки программирования»определить по программе, остановится ли онанет алгоритма, который останавливается налюбом входе p и говорит да/нет (остановитсяли программа p)не просто сейчас нет, а не может быть
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу
останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу
останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)
останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу
останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)
сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу
останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметр
в другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу
останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constant
зависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Варианты проблемы остановки сводятся друг к другу
останавливается ли программа без входа?(exe-файл, процедура без параметров)останавливается ли данная программа наданном входе (процедура с параметром)сводимость: в одну сторону можно добавитьфиктивный параметрв другую: compiled-in constantзависит ли от процессора, ОС, языкапрограммирования? эмуляторы
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
В чём сила проблемы остановки?
к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
В чём сила проблемы остановки?
к ней сводятся многие другие проблемы
если бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
В чём сила проблемы остановки?
к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимо
верна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
В чём сила проблемы остановки?
к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2
есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
В чём сила проблемы остановки?
к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числа
бесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
В чём сила проблемы остановки?
к ней сводятся многие другие проблемыесли бы она была разрешима, то и многодругих проблем было бы разрешимоверна ли теорема Ферма: xn + yn 6= zn принатуральных x , y , z > 0 и n > 2есть ли нечётные совершенные числабесконечно ли множество простых близнецов(двухшаговая сводимость)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai
i ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .
множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai
i ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётно
нельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai
i ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумеровать
если есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai
i ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательность
почему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai
i ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции i
bi = aii ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Диагональный аргумент Кантора
бесконечные двоичные дроби: .0100101111 . . .множество всех таких дробей несчётнонельзя их все пронумероватьесли есть последовательность дробейa1 = .a1
1a12a
13 . . ., a2 = a2
1a22a
23 . . ., a3 = . . ., то
есть и дробь, не входящая в этупоследовательностьпочему: добиваемся отличия от i-ой дроби впозиции ibi = ai
i ⊕ 1
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Вычислимый вариант диагонального аргумента
вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Вычислимый вариант диагонального аргумента
вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместе
вариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Вычислимый вариант диагонального аргумента
вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)
все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Вычислимый вариант диагонального аргумента
вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимы
но есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Вычислимый вариант диагонального аргумента
вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дроби
расположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Вычислимый вариант диагонального аргумента
вычислимая дробь: есть алгоритм,вычисляющий, что стоит на любом заданномместевариант: есть программа, печатающая знакидроби (по очереди, никогда неостанавливается)все «известные» числа вычислимыно есть и невычислимые дробирасположим все программы впоследовательность, вычеркнем те, которые незадают дроби, и применим рассуждениеКантора
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?
пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)
тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробей
пусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)
некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)
если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Неразрешимость проблемы остановки
почему в предыдущем нет противоречия?пусть проблема остановки разрешима (совходом)тогда построим вычислимую дробь,отличающуюся от всех вычислимых дробейпусть p1, p2, . . . , pn, . . . — все программы (вкаком-то порядке)некоторые вычисляют дроби (определены привсех i и дают нули и единицы)если pi(i) не останавливается, то bi = 0, а еслиостанавливается, то bi = 0 или 1, но bi 6= pi(i).
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Парадоксы самоприменимости
цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Парадоксы самоприменимости
цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется сам
прилагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Парадоксы самоприменимости
цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?
множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Парадоксы самоприменимости
цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элемента
программа p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Парадоксы самоприменимости
цирюльник, который бреет всех тех, кто небреется самприлагательные бывают самоприменимые(«русский», «трехсложный») инесамоприменимые («английский»,«односложный») – а «несамоприменимый»?множество всех множеств, которые несодержат себя в качестве элементапрограмма p: на входе x останавливается,если программа x несамоприменима (неостанавливается на входе x); будет ли pсамоприменимой?
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Проблема остановки неразрешима, и что?
мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Проблема остановки неразрешима, и что?
мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)
но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Проблема остановки неразрешима, и что?
мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратное
проблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Проблема остановки неразрешима, и что?
мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановки
и потому задача X алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Проблема остановки неразрешима, и что?
мы уже видели, что многие задачи сводятся костановке (разрешимость проблемы остановкисделала бы их разрешимыми)но иногда верно и обратноепроблема остановки сводится к задаче X :любой алгоритм, решающий X , можно былобы использовать для решения проблемыостановкии потому задача X алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Игра FRACTRAN Конвея
игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Игра FRACTRAN Конвея
игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rk
если можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Игра FRACTRAN Конвея
игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из списка
если нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Игра FRACTRAN Конвея
игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчивается
задача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Игра FRACTRAN Конвея
игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игра
теорема: эта задача алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Игра FRACTRAN Конвея
игровое поле: целое положительное число N исписок дробей r1, . . . , rkесли можно умножить число на какую-тодробь, оставив его целым, то умножаем напервую подходящую из спискаесли нельзя, игра заканчиваетсязадача: дано игровое поле, узнать, закончитсяли игратеорема: эта задача алгоритмическинеразрешима
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигры
специальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программирования
но опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот язык
программа: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонули
x ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1
x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Доказательство неразрешимости
доказательство: сведение вопроса обостановке программы к вопросу об остановкеигрыспециальный простой язык программированияно опытные люди могут любую программупереписать на этот языкпрограмма: конечное число целыхнеотрицательных переменных, изначальнонулиx ← x + 1x ← x − 1, exception: goto A
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A
(специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)
if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto B
x ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto A
цикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью if
арифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое число
массив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Как что-то запрограммировать
безусловный переход goto A (специальнаяпеременная, всегда равная нулю)if x>0 then goto A else goto Bx ← x − 1 exception: goto Bx ← x + 1goto Aцикл while с помощью ifарифметика, n-е простое числомассив x1, . . . , xn кодируется как 2x13x2 . . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19
1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19
2·17 ;2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простых
а команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19
1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19
2·17 ;2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей команды
пусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19
1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19
2·17 ;2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется
2·1917
17 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19
2·17 ;2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19
17
17 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19
2·17 ;2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19
1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется
192·17 ;
2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Сведение программы к игре
значения n переменных хранятся какпоказатели степени при n простыха команды пронумерованы другими простыми,код значений переменных умножается наномер текущей командыпусть x — показатель при 217 x ← x + 119 ???кодируется 2·19
1717 x ← x − 1 exception: goto 2319 ???кодируется 19
2·17 ;2317
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены перебором
в шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничью
рассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собрать
можно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,
тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматам
конкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzle
криптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Теоретическая и практическая разрешимость
многие задачи могут быть решены переборомв шахматах кто-то из игроков заведомо можетобеспечить ничьюрассыпанный puzzle всегда можно собратьможно проверить, простое или число, а еслине простое,тем не менее: чемпионаты по шахматамконкурс en.wikipedia.org/wiki/Eternity_II_puzzleкриптография, SSL, банки,. . .
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входа
пример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел
столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбиком
деление длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел
уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)
сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива
даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырьком
соответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи
полиномиальные задачи: количество действийне больше n, где c — некоторая константа, а n— размер входапример: умножение длинных чисел столбикомделение длинных чисел уголком (вычитание негодится!)сортировка массива даже пузырькомсоответствие между теорией и практикой:разрешимые на практике = полиномиальные(первое приближение)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи с нетривиальнымиалгоритмами
паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи с нетривиальнымиалгоритмами
паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)
проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи с нетривиальнымиалгоритмами
паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли число
эйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи с нетривиальнымиалгоритмами
паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)
разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Полиномиальные задачи с нетривиальнымиалгоритмами
паросочетание (можно ли поставить ладей навыбранных клетках, чтобы они не били другдруга)проверка, составное ли числоэйлеров цикл (обойти все рёбра графа по разуи вернуться в исходную точку)разрешимость системы линейных неравенств врациональных числах
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Переборные задачи (NP)
спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Переборные задачи (NP)
спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойством
объект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Переборные задачи (NP)
спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размера
и свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Переборные задачи (NP)
спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемое
но объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Переборные задачи (NP)
спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много
(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Переборные задачи (NP)
спрашивается, есть ли объект с некоторымсвойствомобъект разумного размераи свойство легко проверяемоено объектов много(скажем, проверить разложение на множителиумножением легко, но вариантов много)
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеют
примеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числах
гамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)
разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множители
но теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)
не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
P=NP?
многие важные переборные задачи покабыстро решать не умеютпримеры: разрешимость системы линейныхнеравенств в целых числахгамильтонов цикл (обход всех вершин графапо разу)разложение на множителино теоретически не исключено, что любуюпереборную задачу можно решить заполиномиальное время (P=NP)не доказано (но правдоподобно), что P6=NP
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
И что же, совсем ничего не известно?
NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
И что же, совсем ничего не известно?
NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задача
научившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
И что же, совсем ничего не известно?
NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи
(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
И что же, совсем ничего не известно?
NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)
про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
И что же, совсем ничего не известно?
NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнота
с практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
И что же, совсем ничего не известно?
NP-задача называется NP-полной, если к нейсводится любая NP-задачанаучившись быстро решать её, мы научимсярешать все переборные задачи(аналог проблемы остановки)про некоторые задачи (гамильтонов цикл,уравнения в целых числах,. . . ) доказанаNP-полнотас практической точки зрения почти чтодоказана неразрешимость
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Ближе к жизни
нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Ближе к жизни
нижние оценки времени работы — делосложное
более ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Ближе к жизни
нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмов
скажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Ближе к жизни
нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировке
для сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Ближе к жизни
нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)
для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
Ближе к жизни
нижние оценки времени работы — делосложноеболее ограниченные классы алгоритмовскажем, число сравнений при сортировкедля сортировки n объектов нужно порядкаn log n сравнений (с точностью до постоянногомножителя)для отгадывания числа 1 . . . n нужно log2 nда-нет-вопросов
sasha.shen@gmail.com, LIRMM, Montpellier, ИППИ Неразрешимые задачи и нижние оценки
top related