ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ 4οΚΕΦΑΛΑΙΟ
Post on 28-Jul-2015
237 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ÊåöÜëáéï 4ï
ÌåëÝôç óõíÜñôçóçò
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει
να γνωρίζει:
Αν µια συνάρτηση είναι άρτια ή αν είναι περιττή και να διαπιστώνει
τις αντίστοιχες συµµετρίες στη γραφική παράσταση.
Να βρίσκει τα διαστήµατα µονοτονίας απλών συναρτήσεων.
Να βρίσκει τα ακρότατα απλών συναρτήσεων.
Να µελετά τις συναρτήσεις f(x) = αx2 και f(x) = α/x, µε ≠α 0 και να
σχεδιάζει τις γραφικές τους παραστάσεις.
Να παραγοντοποιεί ένα τριώνυµο f(x) = αx2 + βx + γ, ≠α 0 γράφο-
ντάς το στη µορφή f(x) = α(x + β/2α)2 - ∆/4α και ανάλογα µε το πλή-
θος των ριζών του, σε µια από τις παρακάτω ακόλουθες µορφές:
( )( ) ( )( ) ( )
1 2
2
2
f(x)=α(x-ρ ) x-ρ
f x =α x-ρ
f x =α x+β/2α + ∆ /4α
και να τις χρησιµοποιεί όταν χρειάζεται (π.χ. εύρεση ακρότατων
τριωνύµων, απλοποίηση κλασµατικών παραστάσεων κ.τ.λ.)
Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής ( )±f(x)=φ x c .
Να παριστάνει γραφικά συναρτήσεις µορφής ( )±f(x)=φ x c .
Να κάνει τη µελέτη και τη γραφική παράσταση της f(x) = αx2 + βx + γ, ≠α 0
Να επιλύει γραφικά την εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, ≠α 0 .
Να αποδεικνύει τα συµπεράσµατα που αναφέρονται στο πρόση-
µο τριωνύµου και να επιλύει ανισώσεις β΄ βαθµού χρησιµοποιώ-
ντας αυτά τα συµπεράσµατα.
Να βρίσκει το πρόσηµο του πολυωνύµου f(x) = P1(x)·P
2(x)...P
ν(x)
και να επιλύει ανισώσεις της µορφής: P1(x)·P
2(x)...P
ν(x) ≥ 0 και
Ρ(x)/Q(x)≥ ή ≤ 0.
96. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Θεωρία 1
Θεωρία 2
Ìáèáßíïõìå
ôéò
áðïäåßîåéòÂÞìá 1
Θεωρία 1
97.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
Θεωρία 3
98. Μαθαίνουµε τις αποδείξειςΒήµα 1ο
Θεωρία 4
99.Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο
Θεωρία 5
100. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”Βήµα 2ο
Από το σχολικό βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
σελ. 92: Α΄ Οµάδα: 1, 3, 5, 6, 7, 9, 11
σελ. 140-141: Α΄ Οµάδα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12
Β΄ Οµάδα: 1
σελ. 151-152: Α΄ Οµάδα: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10
Από το βιβλίο:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ “ΟΡΟΣΗΜΟ”
Ενότητα Ε: Ασκήσεις:
282, 290, 293, 294, 296, 307, 309, 313, 320
ÂÞìá 1
ÅðáíáëáìâÜíïõìå
ôéò áóêÞóåéò
"êëåéäéÜ"ÂÞìá 2
101.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
1. Λύστε τις εξισώσεις:α. ( ) ( )2x 2 1 x 2 2 1 0− + + − =
β. 2 2 2x (3α 4β)x 2α 5αβ 3β 0− + + + + =
γ. 2 2x (α γ)x α(β γ) β βγ− + + + = +
Λύση:
α. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
22 22
∆ 2 1 4 2 2 1 ∆ 2 1 8 2 1
∆ 2 1 2 2 8 2 8 ∆ 2 9 6 2 ∆ 3 2
= − + − ⋅ − ⇔ = + − − ⇔
= + + − + ⇔ = + − ⇔ = −
άρα η εξίσωση γίνεται: ( )2 1 3 2
x x 2 ή x 2.2
+ ± −= ⇔ = =
β. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:
( )( ) ( )2 2 2∆ 3α 4β 4 2α 5αβ 3β= − + − + + ⇔
( )2 2 2∆ 3α 4β 8α 20αβ 12β= + − − − ⇔
( )
2 2 2 2
22 2
∆ 9α 16β 24αβ 8α 20αβ 12β
∆ α 4β 4αβ ∆ α 2β
= + + − − − ⇔
= + + ⇔ = +
άρα η εξίσωση γίνεται:
( ) 2(3α 4β) (α 2β) 3α 4β (α 2β)x x
2 2x 2α 3β ή x α 2β
− − + ± + + ± += ⇔ =
= + = +
γ. Βρίσκουµε την διακρίνουσα:
( ) ( )2 2∆ α(α γ) 4 αβ αγ β βγ= − + − + − − ⇔2 2∆ (α β) 4αβ 4αγ 4β 4βγ= + − − + + ⇔
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
Ëýíïõìå
ðåñéóóüôåñåò
áóêÞóåéòÂÞìá 3
102. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
2 2 2∆ α γ 2αγ 4αβ 4αγ 4β 4αβγ= + + − − + + ⇔2 2 2 2∆ α γ 4β 4αβ 4βγ 2αγ ∆ (2β γ α)= + + − + − ⇔ = + −
άρα η εξίσωση γίνεται:
( ) 2(α γ) (2β γ α) α γ (2β γ α)x x
2 2
− − + ± + − + ± + −= ⇔ = ⇔
α γ 2β γ α α γ 2β γ αx β γ ή x α β
2 2
+ + + − + − − += = + = = −
2. Αν λ 3≠ και η εξίσωση 2(λ 3)x (λ 2)x 2λ 1 0− − + + + = έχει µια διπλή ρίζα
βρείτε το λ και µετά την διπλή ρίζα.
Λύση:
Αφού η εξίσωση έχει µια διπλή ρίζα έχει διακρίνουσα ∆ 0= . ∆ηλαδή είναι
( )2 2 2(λ 2) 4(λ 3)(2λ 1) 0 (λ 2) 4(2λ λ 6λ 3) 0− + − − + = ⇔ + − + − − = ⇔2 2 2λ 4 4λ 8λ 20λ 12 0 9λ 24λ 16 0+ + + + + = ⇔ + + = ⇔
2 4(3λ 4) 0 3λ 4 0 λ
3+ = ⇔ + = ⇔ = −
Τότε η διπλή ρίζα της εξίσωσης είναι η:
4 22(λ 2) λ 2 13 3x
1342(λ 3) 2(λ 3) 1322 333
− ++ += = = = = −− − −− −
3.i. Αν α, γ ετερόσηµοι δείξτε ότι η εξίσωση 2
αx βx γ 0+ + = έχει δυο ρίζες
άνισες, ii. ∆είξτε ότι η εξίσωση 2 5 4 22001x (2µ µ 3)x µ 1− + + = + έχει δυο
ρίζες άνισες.
Λύση:
i. Αφού α, γ είναι ετερόσηµοι ισχύει αγ 0< . Τότε 2
4αγ 0
και
β 0
− > ≥
και µε πρόσθεση κατά
µέλη παίρνουµε: 2β 4αγ 0− > , δηλαδή η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι θετική.
Αυτό σηµαίνει ότι η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες.
103.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
ii. Η εξίσωση γράφεται: 2 2 4 22001x (2µ µ 3)x (µ 1) 0− + + − + = και έχει α 2001=
και ( )2γ µ 1 0= − + < , δηλαδή α, γ είναι ετερόσηµοι, άρα έχει δυο ρίζες άνισες.
4. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x λ 1 0− + − = βρείτε το λ έτσι ώστε να
ισχύει, 3 2 31 1 2 23ρ 8ρ ρ 3ρ 192+ + = .
Λύση:
Ισχύουν: 1 2
1 2
2ρ ρ 2
1λ 1
ρ ρ λ 11
− + = − = − = = −
Ακόµα ισχύει: ( )3 3 2 21 2 1 2 1 23 ρ ρ 8ρ ρ 8ρ ρ 192+ + + =
( ) ( ) ( )3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 ρ ρ 3ρ ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ρ 192 + − + + + =
( ) ( ) ( )3
1 2 2 1 1 2 1 2 1 23 ρ ρ 9ρ ρ ρ ρ 8ρ ρ ρ ρ 192+ − + + + =
( ) ( )3
1 2 1 2 1 23 ρ ρ ρ ρ ρ ρ 192+ − + =33 2 (λ 1)2 192⋅ − − =
24 2λ 2 192− + =2λ 166 λ 83− = = −ή
5. ∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 6x λ 3λ 7 0+ + − + = της οποίας η µια ρίζα ισούται
µε το διπλάσιο της άλλης αυξηµένο κατά 3. Βρείτε:
i. τις ρίζες της εξίσωσης και ii. το λ.
Λύση:
i. Αν ρ η µια ρίζα της εξίσωσης η άλλη θα είναι 2ρ 3+ ,οπότε από τις σχέσεις Vieta
έχουµε:
6ρ 2ρ 3 3ρ 3 6 3ρ 3 ρ 1
1
−+ + = − ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
Τότε 2ρ 3 5+ = , δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης είναι το 1 και το 5.
ii. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε:
22 2λ 3λ 7
1·5 5 λ 3λ 7 λ 3λ 2 01
− += ⇔ = − + ⇔ − + = ⇔
104. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
( 3) 1 3 1λ λ λ 2 λ 1
2 2
− − ± ±= ⇔ = ⇔ = =ή .
6. Αν 1 2ρ ,ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 3x 1 0− − = ,
α. Βρείτε τις τιµές των παραστάσεων 1 2
2 1
ρ ρκ
ρ ρ= + και
4 41 2 2 1λ ρ ρ ρ ρ= +
β. Σχηµατίστε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς κ και λ.
Λύση:
α. Από τις σχέσεις Vieta έχουµε: 1 2
1 2
3ρ ρ 3
11
ρ ρ 11
− + = − = − = = −
, οπότε
• ( )22 2 2
1 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2
ρ ρ 2ρ ρρ ρ ρ ρ 3 2( 1)κ κ κ κ 11
ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1
+ −+ − −= + ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −−
• ( )( ) ( )
4 4 3 31 2 2 1 1 2 1 2
3 31 2 1 2 1 2 1 2
λ ρ ρ ρ ρ λ ρ ρ ρ ρ
λ ρ ρ ρ ρ 3ρ ρ ρ ρ λ 1 3 3( 1)3 36
= + ⇔ = + ⇔
= + − + ⇔ = − − − = −
β. Ισχύουν: κ λ 36 11 47
κλ ( 36)( 11) 396
+ = − − = − = − − =
Άρα η ζητούµενη εξίσωση είναι η:
2 2x ( 47)x 396 0 ή x 47x 396 0− − + = + + =
7. Λύστε τις εξισώσεις: α. 2(x 1) 2 x 1 3− + − = β.
4 2x 3x 4 0− − =
γ. x 7 x 18 0− − = δ. x 1 x 5
x x 1 2+ + =
+
α. Η (ε) γράφεται: 2
x 1 2 x 1 3 0− + − − = και αν θέσουµε w x 1= − γίνεται:
2 2 16 2 4w 2w 3 0 w w w 1 w 3
2 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
x 1 1 x 1 3 αδ νατη− = − = −ή ύ
x 1 1 x 1 1
x 2 x 0
− = − = −= =
ή
ή
105.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
β. Θέτουµε 2x w= και η (ε) γίνεται:
2 ( 3) 25 3 5w 3w 4 0 w w w 4 w 1
2 2
− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
2 2x 4 x 1 αδ νατη
x 2 x 2
= = −= = −
ή ύ
ή
γ. Για x 0≥ θέτουµε x w= και η εξίσωση γίνεται:
2 ( 7) 121 7 11w 7w 18 0 w w w 9 w 2
2 2
− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
x 9 x 2 αδ νατη
x 81
= = −=
ή ύ
δ. Για x 0, 1≠ − θέτουµε x 1
wx
+ = και η εξίσωση γίνεται:
2 2 21 5w 2w 5w 2w 2 5w 2w 5w 2 0
w 2+ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔
( )5 9 5 3w w
2 2 4
− − ± ±⇔ = ⇔ = ⇔⋅
1w 2 ή w
2= =
x 1 x 1 12 ή
x x 22x x 1 ή 2x 2 x
x 1 ή x 2
+ += =
= + + == = −
8. i. Λύστε την εξίσωση: 2x 2x 3 0+ − =
ii. Λύστε το σύστηµα: 2(α β) 2(α β) 3 0
α β 3
+ + + − =
− =Λύση:
α. 2 2 16 2 4x 2x 3 0 x x
2 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = x 1 x 3= = −ή
β. Το σύστηµα λόγω του i) ερωτήµατος γράφεται:
106. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
α β 1 α β 3 2α 4 2α 0 α 2 α 0ή ή ή
α β 3 α β 3 2β 2 2β 6 β 1 β 3
+ = + = − = = = = ⇔ ⇔ − = − = = − = − = − = −
9. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου c:2 2x y 5+ = και της ευθείας ε: y 3x 1= − .
Λύση:
Λύνουµε το σύστηµα:
2 2 2 2
2x
x 1x y 5 x (3x 1) 5 5ή
y 2 11y 3x 1 y 3x 1y
5
− == + = + − = ⇔ ⇔ = −= − = − =
∆ηλαδή η (ε) τέµνει τον (c) στα σηµεία Α(1, 2) και Β2 11
( , )5 5
− −
2 2 2 2 2
2
x (3x 1) 5 x 9x 6x 1 5 10x 6x 4 0
( 3) 49 3 7 25x 3x 2 0 x x x 1 ή x
10 10 5
+ − = ⇔ + − + = ⇔ − − = ⇔
− − ± ±− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −
10. Βρείτε για ποιες τιµές του λ η ευθεία (ε) y λx 3= + εφάπτεται του κύκλου
(c) 2 2x y 4+ = .
Λύση:
Αφού η (ε) εφάπτεται του κύκλου (c) σηµαίνει ότι το σύστηµα
2 2 2 2x y 4 x (λx 3) 4
y λx 3 y λx 3
+ = + + =⇔
= + = + έχει µόνο µία λύση άρα η εξίσωση
2 2 2 2 2 2 2x (λx 3) 4 x λ x 9 6λx 4 0 (λ 1) x 6λ x 5 0+ + = ⇔ + ⋅ + + − = ⇔ + ⋅ + ⋅ + =έχει µία διπλή ρίζα δηλαδή διακρίνουσα ∆ 0= .
2 2 2 2 2
2
∆ 0 (6λ) 4 5(λ 1) 0 36λ 20λ 20 0 16λ 20
5 5λ ή λ
4 2
= ⇔ − ⋅ + = ⇔ − − = ⇔ = ⇔
= = ±
11. Λύστε τις ανισώσεις:
α. 2x 7x 10− > − β. 2x 5x≤ γ. 22x 18− ≥ −
δ. ( ) ( )2x 1 x 3 0+ ⋅ − + < ε. 2x x 2+ > − ζ. 2x 1 x 3+ < −
107.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
η. ( ) ( ) ( )2 22x 1 x 4 x 3x 2 0− ⋅ − ⋅ − + ≤ θ. ( ) ( )2004 20052 2x 2x x 4 0− ⋅ − ≥
ι. 3x 1
0x 2
− ≤− κ.
2x 13
x 1+ ≥−
Λύση:
α. 2x 7x 10 0 x ( ,2) (5, )− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ ,
διότι:
2 ( 7) 9 7 3x 7x 10 0 x x x 5 x 2
2 2
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =ή
και το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(x) x 7x 10= − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα:
β. 2x 5x 0 x(x 5) 0− ≤ ⇔ − ≤
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) x(x 5)= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα : [ ]2x 5x 0 x(x 5) 0 x 0,5− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ∈
γ. ( )2 22x 18 0 2 x 9 0 2(x 3)(x 3) 0− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + − ≥
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) 2(x 3)(x 3)= − + − φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα::
Άρα: ( ) [ ]2 22x 18 0 2 x 9 0 2(x 3)(x 3) 0 x 3,3− + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ∈ −
δ. Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) (2x 1)( x 3)= + − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα:
Άρα: ( )x , 1 2 (3, )∈ −∞ − ∪ +∞ ,
ε. 2x x 2 0+ + >
x −∞ 2 5 +∞φ(x) + +−
x −∞ 0 5 +∞φ(x) + +−
x −∞ 3− 3 +∞φ(x) − −+
x −∞ 1 2− 3 +∞φ(x) − −+
108. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
x −∞ 4−2
3 +∞φ(x) + +−
x −∞ +∞φ(x) +
12
−
x −∞ 2− 2 +∞g(x) + +−
x −∞ 1 2 +∞f (x) + +−
Το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(x) x x 2= + + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: 2x x 2 0 x+ + > ⇔ ∈
ζ. 2 2 2 2 2 22x 1 x 3 (2x 1) (x 3) (2x 1) (x 3) 0
(2x 1 x 3)(2x 1 x 3) 0 (3x 2)(x 4) 0
+ < − ⇔ + < − ⇔ + − − < ⇔+ + − + − + < ⇔ − + <
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) (3x 2)(x 4)= − + φαίνεται στον επόµενο πίνα-
κα:
Άρα: 2
(3x 2)(x 4) 0 x 4,3
− + < ⇔ ∈ −
η. ] [ ] 12x ( , 2 ,1 2∈ −∞ − ∪ ∪
Ι. Το πρόσηµο του διωνύµου ( )φ x 2x 1= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )2g x x 4 x 2 x 2= − = + ⋅ − φαίνεται στον
επόµενο πίνακα:
ΙΙΙ. Είναι: ( )2 3 1 3 1
x 3x 2 0 x x2 2
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = x 3 x 1= =ή
Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) 2f x x 3x 2= − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
IV. Το πρόσηµο του γινοµένου ( ) ( ) ( )2 2Γ 2x 1 x 4 x 3x 2= − ⋅ − ⋅ − + φαίνεται στον
επόµενο πίνακα:
x −∞ +∞φ(x) +
109.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
x −∞ 12− +∞
φ(x)
+
+−
12 2
g(x)
f (x)
Γ
+
−
−−++
−+−
+
+
−−
+
+
++
x −∞ 2− 2 +∞h(x) + +−
x −∞ 0 2 +∞φ(x) + + +
Άρα: ] [ ] 12x ( , 2 ,1 2∈ −∞ − ∪ ∪
θ. Ι. Το πρόσηµο του ( ) ( )20042φ x x 2x= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
ΙΙ. Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( )2x 4 x 2 x 2− = + ⋅ − αλλά και του πολυώνυ-
µου ( ) ( )20052h x x 4= − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
ΙΙΙ. Το πρόσηµο του γινοµένου ( ) ( )Γ φ x h x= φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: ( ] [ )x , 2 0 2,∈ −∞ − ⋅ ∪ ⋅ ∪ +∞
ι. ( ) ( ) ( )2 3x 1x 2 0 x 2 3x 1 0,x 2
x 2
−− ⋅ ≤ ⇔ − ⋅ − ≤ ≠−
Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )φ x x 2 3x 1= − ⋅ − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα:1
x ,23
∈
x −∞ 2− +∞
φ(x)
+
++
0 2
h(x)
Γ
+
+
−−
−−
+
+
+
x −∞ 213 +∞
φ(x) + +−
110. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
µ −∞ 443 +∞
φ(µ) + +−
x −∞ 1 4 +∞φ(x) − −+
κ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22x 1x 1 3 x 1 x 1 2x 1 3 x 1 0, x 1
x 1
+− ⋅ ≥ − ⇔ − ⋅ + − − ≥ ≠−
( ) ( ) ( ) ( )x 1 2x 1 3x 3 0 x 1 x 4 0− ⋅ + − + ≥ ⇔ − ⋅ − + ≥Το πρόσηµο του τριωνύµου ( ) ( ) ( )φ x x 1 x 4= − ⋅ − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: ( ]x 1,4∈
12. Αν η εξίσωση (ε): 2(µ 2)x µx µ 2 0 (µ 2)− − + − = ≠ έχει δύο ρίζες άνισες
βρείτε το µ.
Λύση:
Η (ε) έχει δυο ρίζες άνισες άρα θα έχει διακρίνουσα ∆ 0> , δηλαδή:
2 2 2 2( µ) 4(µ 2) 0 µ (2µ 4) 0 (µ 2µ 4)(µ 2µ 4) 0− − − > ⇔ − − > ⇔ + − − + >
4(3µ 4)( µ 4) 0 µ ,4 2
3 − − + > ⇔ ∈ −
διότι το πρόσηµο του τριωνύµου φ(µ) (3µ 4)( µ 4)= − − + είναι αυτό που φαίνεται
στον επόµενο πίνακα:
13. Αν 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύµου 2 12
f (x) x λx λ7
= − + − βρείτε το λ εφό-
σον ισχύει 2 21 2 1 2x x 5x x+ > .
Λύση:
Iσχύουν:
1 2
1 2
λx x λ
112
λ 127x x l1 7
− + = = −
= = −
111.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
λ −∞ 3 4 +∞φ(λ) + +−
Είναι ( )
( )
22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2
x x 5x x x x 2x x 5x x
12x x 7x x 0 λ 7 λ 0 λ ( ,3) (4, )
7
+ > ⇔ + − > ⇔
+ − > ⇔ − − > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
διότι 2 ( 7) 1 7 1λ 7λ 12 0 λ λ λ 4 ή λ 3
2 2
− − ± ±− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
και το πρόσηµο του τριωνύµου 2φ(λ) λ 7λ 12= − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
14. Αν για κάθε x ∈ ισχύει 2(κ 3)x 4κx 6 5κ 0+ + + − > βρείτε το κ (δίνεται
κ 3≠ − )
Λύση:
Θέτουµε 2φ(x) (κ 3)x 4κx 6 5κ= + + + − οπότε για κάθε x ∈ ισχύει φ(x) 0> άρα
πρέπει: ( )2 2
κ 3κ 3 0α 0
∆ 0 (4κ) 4(κ 3)(6 5κ) 0 4 4κ (κ 3)(6 5κ) 0
> −+ > > ⇔ ⇔ ⇔ < − + − < − + − <
2 2 2
κ 3 κ 3
4(6κ 5κ 18 15κ) 0 4κ 6κ 5κ 18 15κ 0
> − > − ⇔ ⇔
− + − < − + − + <
2 2
κ 3 κ 3 κ 3κ ( 2,1)
κ ( 2,1)9κ 9κ 18 0 κ κ 2 0
> − > − > − ⇔ ⇔ ⇔ ∈ − ∈ −+ − < + − <
∆ιότι: 2 1 9 1 3
κ κ 2 0 κ κ κ 1 κ 22 2
− ± − ±+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = −ή
και το πρόσηµο του τριωνύµου 2g(κ) κ κ 2= + − φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
15. Αν το τριώνυµο f (x) έχει ρίζες τους – 1 και 3 και ο συντελεστής του 2x
είναι το 2λ λ 1+ + βρείτε το πρόσηµο του γινοµένου
3Γ f(2,99) f ( 1,01)= ⋅ − .
κ −∞ 2− 1 +∞φ(κ) + +−
112. Λύνουµε περισσότερες ασκήσειςΒήµα 3ο
x −∞ 1− 38 +∞φ(λ) − −+
λ −∞ +∞φ(λ) +
x −∞ 1− 3 +∞f (x) + +−
Λύση:
• Η εξίσωση 2λ λ 1 0+ + = είναι αδύνατη, διότι έχει ∆ 3 0= − < , άρα το πρόσηµο
του τριωνύµου 2φ(λ) λ λ 1= + + είναι το:
δηλαδή 2λ λ 1 0+ + > , για κάθε λ ∈ .
Τότε το πρόσηµο του τριωνύµου f (x) είναι το:
• Επειδή: 1 2,99 3 είναι f (2,99) 0οπότε Γ 0
1,01 1 είναι f ( 1,01) 0
− < < <<
− < − − >
16. Αφού λύσετε το σύστηµα: 2x 3y 11 λ
x 5y λ 7
− = − + = +
λύστε την ανίσωση: 0 0x y 0>
όπου ( )0 0x , y είναι η λύση του συστήµατος.
Λύση:
2x 3y 11 λ 2x 3y 11 λ
x 5y λ 7 2x 10y 2λ 14
− = − − = − ⇔ ⇔ + = + − − = − −
3λ 3y
13y 3λ 3 13x λ 7 5y 2λ 76
x13
+ =− = − − ⇔ = + − − + =
Λύνουµε την ανίσωση: 0 0
3λ 3 2λ 76x y 0 0 (3λ 3)( 2λ 76) 0
13 13
+ − +> ⇔ ⋅ > ⇔ + − + >
Το πρόσηµο του τριωνύµου φ(λ) (3λ 3)( 2λ 76)= + − + φαίνεται στον επόµενο πίνακα:
Άρα: λ ( 1,38)∈ −
17. i. ∆είξτε ότι: 23x x 4 0− + > , για κάθε x ∈
ii. Βρείτε πόσες λύσεις έχει το σύστηµα: ( )
( )2 4
2 5
3α 3β 1 x 2y α β
2x α β y α 3
+ − − = +
+ + = +
113.Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο
Λύση:
i. Το τριώνυµο 2φ(x) 3x x 4= − + έχει
2∆ ( 1) 4 3 4 1 48 47 0= − − ⋅ ⋅ = − = − < , άρα
για κάθε x ∈ θα είναι οµόσηµο του α 3 0= > , δηλαδή 23x x 4 0− + > , για
κάθε x ∈ .
ii. Βρίσκουµε την ορίζουσα του συστήµατος:
( )( )
( ) ( )
22 2
2
2 2 2
2
3α 3β 1 2D D α β 3α 3β 1 4
2 α β
D α β 3 α β 1 4 θέτω w α β
D w(3w 1) 4 D 3w w 4 0 (λ γω του i)
+ − −= ⇔ = + + − + ⇔
+
= + + − + = + = − + ⇔ = − + > ü
Άρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση.
114. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
Ëýíïõìå
ìüíïé ìáòÂÞìá 4
1. Να βρείτε τον ∈λ R ώστε το άθροισµα των τετραγώνων των ριζών
1 2x ,x της εξίσωσης: ( )2 2x + 2λ + 3 ·x + λ +1 = 0 , να είναι ίσο µε 39.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
2. ∆ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ≠2 2f x = λ - 3λ ·x - λ - 4 x - 2, λ 0 και ≠λ 3 .
Βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού λ ώστε η γραφική παρά-
σταση της f
α. να τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία
β. να εφάπτεται στον x΄x
γ. να µην έχει µε τον x΄x κανένα κοινό σηµείο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
115.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
3. ∆ίνεται η εξίσωση: ( ) ( ) ≠2x + λ - 3 ·x - λ - 2 = 0, (1) λ 1
α. Να αποδείξετε ότι η (1) για κάθε ∈λ R µε ≠λ 1 έχει δύο πραγµατι-
κές ρίζες.
β. Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1) να βρείτε τον λ ώστε η παράσταση
2 21 2 2 1B = x ·x + x ·x να γίνεται ελάχιστη.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
4. Για ποιές τιµές του ∈λ R οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγµατικές ρίζες:
α. 2x + 2λx + 2 - λ = 0 β. ( ) ( )2
λ -1 x - 2 λ - 3 x - λ + 3 = 0
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
5. Να βρείτε τον λ ώστε η ανίσωση: ( ) ≠2λ -1 ·x - λx + λ > 0, λ 1 να ισχύει
για κάθε ∈x R .
116. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
6. Αν το 1 είναι ρίζα της εξίσωσης ( )2 2x α 2α x 1 α 0+ − + − = βρείτε το α και
µετά την άλλη ρίζα της εξίσωσης.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
7.α. ∆είξτε ότι η εξίσωση (ε) 2 2x y 4x 2y 3 0− − + + = παριστάνει δυο ευθείες
που τέµνονται κάθετα, β. Βρείτε το κοινό τους σηµείο.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
117.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
8. Αν η εξίσωση 2x 2x λ 1 0− + − = έχει δυο ρίζες άνισες και 0λ η ακέραια
τιµή που µπορεί να πάρει το λ βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης:
20
0
x 4λ x 3f (x)
3 λ x
− +=
− και κατόπιν βρείτε που η γραφική παράσταση της f
τέµνει τους άξονες.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
9. ∆ίνεται ένα 2 2× γραµµικό σύστηµα µε αγνώστους x,y το οποίο έχει µονα-
δική λύση. Αν η εξίσωση ( ) ( )2 2x x y x yW 2 D D W 4D D 4D D 0− − − + = έχει µια
διπλή ρίζα λύστε το σύστηµα.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
10. Αν η εξίσωση ( )1ε 2(2α β)x 4αx 4β 0− − + = έχει µια διπλή ρίζα δείξτε ότι
η εξίσωση ( )2ε 2 3α βx αx 1
4−− − = έχει δυο ρίζες άνισες.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
118. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
11. Αν 1 2x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 22 2x 3x 2 0− − = ,
i. Βρείτε την τιµή της παράστασης: 1 2A x x= −
ii. Λύστε την ανίσωση: 2y 18
A4− <
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
12. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2 2x 2λx λ 4λ 5 0+ + − = βρείτε το λ ώστε
να ισχύει 1 2
1 1 1ρ ρ 4
+ = .
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
119.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
13. α. Αν η εξίσωση 2κx 4x 35 0− − = έχει άθροισµα ριζών 1 βρείτε το κ.
β. Αν η εξίσωση 22x κx 6κ 0+ − = έχει γινόµενο ριζών 1
2− βρείτε το κ.
γ. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της 29x 6x γ 0+ + = µε 1 2ρ ρ 2− = ,
i. Βρείτε τα 1 2ρ ,ρ , ii. Βρείτε το γ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
14. Αν η µια ρίζα της εξίσωσης 2x 5λx 6 0− + = ισούται µε το τετράγωνο της
άλλης ελαττωµένο κατά 1, βρείτε το λ.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
15. Αν 1 2ρ ,ρ οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x 5 0− − = φτιάξτε εξίσωση 2ου βαθ-
µού µε ρίζες τους 21
12
ρ 1x
ρ
+= και
22
21
ρ 1x
ρ
+= .
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
120. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
16. Ένα οικόπεδο σχήµατος ορθογωνίου έχει διαστάσεις α,β και η περίµε-
τρος του είναι 48m. Αν αφαιρέσουµε από κάθε πλευρά του 1m προκύπτει
ορθογώνιο µε εµβαδόν 296cm . Βρείτε τα α,β.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
17. ∆ίνεται η εξίσωση: 2α x 2 5 β β 4− + = + που έχει ρίζα το 2. Βρείτε το β.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
18. ∆ίνεται η εξίσωση 2x 2x 1 0− − = µε ρίζες 1 2ρ ,ρ και οι ευθείες:
( )( )
2 21 1 2
22
ε : 2y ρ ρ x 20
ε : y (α 1) 2 α 1 x 6
= + +
= − + − +
Βρείτε το α ώστε 1 2ε ε
............................................................................................................................
............................................................................................................................
121.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
19. Βρείτε τα κοινά σηµεία του κύκλου: 2 2(c) : x y 10+ = και της υπερβο-
λής (γ) : xy 3=............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
20. Βρείτε τα κοινά σηµεία της ευθείεας (ε) y 4x 1= − και της υπερβολής
(γ) : xy 3=............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
21. ∆είξτε ότι η ευθεία y 3x λ (ε)= + τέµνει την υπερβολή 6
(γ) yx
= σε
δυο σηµεία για κάθε τιµή του λ∈ .
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
122. Λύνουµε µόνοι µαςΒήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
22. Κάντε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων:
2 2 2
2 2 2
f (x) 2x 1, f (x) x 4x 3, f (x) 2x 4x 2
f (x) x 2x 3, f (x) x 3, f (x) x 4x 4
= − = − + = + += − + + = − + = + +
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
23. ∆ίνεται η συνάρτηση x 1
f (x) 2x 2
−= −+
. Βρείτε το πεδίο ορισµού της.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
24. Λύστε το σύστηµα:
2
2x 1 3
x0
x 1x 16
− < >
− ≤
123.Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
25. Αν 2x 5x 6 0− + − > βρείτε την τιµή της παράστασης:
x 2 x 3A
x 1 x 5− + −=− + −
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
124. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
ÂÞìá 1
ÂÞìá 2
ÂÞìá 3
ÂÞìá 4 ÅëÝã÷ïõìå ôç ãíþóç ìáòÂÞìá 5
ΘΕΜΑ 1ο
Α.1. Είναι σωστό ή λάθος ότι:
“Η γραφική παράσταση µιας γνησίως µονότονης συνάρτησης τέµνει
στον άξονα x΄x σε ένα το πολύ σηµείο.”
Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
Α.2. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση 31)x-(λf(x)2 +=
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
125.Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο
ΘΕΜΑ 2ο
Β. α. Να απλοποιηθεί η παράσταση 14x4x
xx6xA
2
23
+−−−=
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
β. Να βρείτε το µέγιστο ή το ελάχιστο των συναρτήσεων:
i. f(x) = -x2 + 5x - 2 ii. g(x) = 3x2 + 7x - 1
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται η παραβολή f(x) = x2 + (κ + 2)x + κ + 2. Να βρείτε το κ κάθε φορά στις
περιπτώσεις που η παραβολή:
α. εφάπτεται στον x΄x β. τέµνει τον x΄x σε δύο σηµεία.
γ. δεν τέµνει τον x΄x δ. έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία x = 3.
ε. παρουσιάζει ελάχιστο για x = 5 στ. έχει ελάχιστο το -8
ζ. τέµνει τον x΄x στο Α(3, 0) η. τέµνει τον y΄y στο Β(0, 5)
............................................................................................................................
............................................................................................................................
126. Ελέγχουµε τη γνώση µαςΒήµα 5ο
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΘΕΜΑ 4ο
Ένα εργοστάσιο που παράγει την ηµέρα x προϊόντα το κόστος παραγωγής δίνε-
ται από την συνάρτηση: Κ(x) = 4x2 - 20x +13 (χιλιάδες ευρώ) η δε είσπραξη από
την πώληση των x προϊόντων δίνεται από τη συνάρτηση: Ε(x) = 3x2 + 80 (χιλιάδες
ευρώ). Να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει την ηµέρα, ώστε το κέρδος να
είναι το µέγιστο. Ποιο είναι αυτό;
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
ΒΙΒΛΙΟ
µαθήµατα
Μία έκδοση
ΕΚΠΛΗΞΗ!!!
για τις επαναλήψεις
σας και όχι µόνο...
1. ΦΥΣΙΚΗ Α΄ Λυκείου Κωδ. 21
2. ΧΗΜΕΙΑ Α΄ Λυκείου Κωδ. 22
3. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 30
4. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 31
5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Κωδ. 32
6. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 33
7. ΑΛΓΕΒΡΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 34
8. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου Κωδ. 35
9. ΦΥΣΙΚΗ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 36
10. ΧΗΜΕΙΑ Θετικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 37
11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχν/κής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Κωδ. 38
12. ΦΥΣΙΚΗ Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου Κωδ. 39
13. ΑΡΧΑΙΑ Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου
(Θουκιδίδη Περικλέους Επιτάφιος) Κωδ. 52
Το “αντίδοτο” για την... αµνησία την ώρα των εξετάσεωνείναι η σωστή επανάληψη.
ΕΝΗΜΕΡΩΣΟΥ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΣΟΥ
top related