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T h e E l a s t i c - P l a s t i c R e s p o n s e o fw . e . b a k e r T h i n S p h e r i c a l S h e l l s

Physicist, I t o I n t e r n a l B a s t L o a d i n gberdeen Prov ing Ground, Md.M e m . A S M E

In t h i s p a p er , t h e t h eo ry i s d eve l op ed f o r t h e e l a s t i c-p l a s t i c r e sp o n se o f a t h i n sp h er i ca lsh e l l t o sp h er i ca l l y sym m e t r i c i n t e rn a l t ra n s i en t p re s su re l o a d i n g . An a l y t i c so l u t i on sa re o b t a i n ed t o t h e l i n ea r , sm a l l -d e fl e ct i o n eq u a t i o n s o f m o t i o n fo r sh e l l m a t e r i a l s w h i chexh i b i t va r i o u s d eg ree s o f s t ra i n -h a rd en i n g . N u m er i ca l so l u t i o n s o b t a i n ed b y d i g i t a lcom p u t e r a re a l so p re sen t ed f o r t h e eq u a t i o n s f or l a rg e d e f l e ct i o n s o b t a i n ed b y a ccou n t -i n g f o r sh e l l t h i n n i n g a n d i n c rea se i n ra d i u s d u r i n g d e f orm a t i o n . T h e t h eo ry iscom p a red w i t h exp er i m en t , a n d i s sh o wn t o b e i n g o od a g reem en t .

I n s e v e r a l f i e l d s o f eng inee r ing and sc i ence , t he r ea r e r e q u i r e m e n t s f o r ga s t i g h t s t r u c t u r e s w h i c h m u s t b e a b l e t ow i t h s t a n d t h e e f fe c t s of i n t e r n a l ly a p p l i e d t r a n s i e n t p r e s s u r e s .E x a m p l e s o f s u c h s t r u c t u r e s i n c l u d e :

1 B las t cham ber s , w i th in wh ich t he e f fec t s o f exp lo s ives o rp r o p e l la n t s c a n b e s t u d i e d u n d e r co n t r o l l e d a t m o s p h e r i c c o n d i -t i o n s .

2 S a f e ty cham ber s , fo r p r oo f t e s t i ng o f sm a l l p r e ssu r e vesse l s .3 N u c le a r - r e a c t o r co n t a i n m e n t s t r u c t u r e s d e s i gn e d t o c on t a i n

t h e e f fe c t s of a c c id e n t a l r u n a w a y o f t h e r e a c t o r s w h i c h t h e yh o u s e .

B e c a u s e t h e s e s t r u c t u r e s m a y h a v e t o w i t h s t a n d s t a t i c a s w e l la s t r a n s i e n t p r e s s u r e s , t h e y a r e u s u a l l y c o n s t r u c t e d i n t h e f o r mof l a r ge - s ized , t h in - wa l l ed p r essu r e vesse l s , such a s sphe r i ca l sh e l lso r cy l i nde r s w i th hem i spher i ca l o r e l l i p so ida l end caps .

I n d e s i g n i n g s u c h s t r u c t u r e s , o n e m u s t n o t r e l y s o le l y on s t a t i c -C o n t r i b u t e d b y t h e A p p l i e d M e c h a n i c s D i v i s i o n a n d p r e s e n t e d a t

t h e An n u a l M e e t i n g , A t l a n t i c C i t y , N . J . , N o v e m b e r 2 9 - D e c e m b e r 4 ,1 9 5 9 , o f T H E A M E R I C A N S O C I E T Y O P M E C H A N I C A L E N G I N E E R S .D i s c u s s i on o f t h i s p a p e r s h o u l d b e a d d r e s s e d t o t h e S e c r e t a r y ,

A S M E , 2 9 W e s t 3 9 t h S t r e e t , N e w Y o r k , N . Y . , a n d w il l b e a c c e p t e du n t i l A p r i l 10 , 1 9 6 0 , f o r p u b l i c a t i o n a t a l a t e r d a t e . D i s c u s s i o n r e -c e i v e d a f t e r t h e cl o s i n g d a t e w i l l b e r e t u r n e d .

N O T E : S t a t e m e n t s a n d o p i n i o n s a d v a n c e d i n p a p e r s a r e t o b eu n d e r s t o o d a s i n d i v i d u a l e x p r e s s i on s o f t h e i r a u t h o r s a n d n o t t h o s e o ft h e S o c i e t y . M a n u s c r i p t r e c e iv e d b y A S M E A p p l i e d M e c h a n i c sD i v i s i on , F e b r u a r y 4 , 1 9 5 9 . P a p e r N o . 5 9 A - 9 5 .

p r e s s u r e d e s i g n c r i t e r i a , b u t m u s t a l s o c o n s i d e r d y n a m i c r e -s p o n s e t o t h e e x p e c t e d in t e r n a l t r a n s i e n t p r e s s u r e .

T h e s i m p l e s t a n a l y t i c a l p r o b l e m r e l a t i n g t o d e s i g n o f t h e s es t r u c t u r e s i s t h a t o f t h e r e s p o n s e o f a s p h e r i c a l s h e l l t o a s p h e r i -c a l l y s y m m e t r i c t r a n s i e n t p r e s s u r e p u l s e on i t s in n e r s u r f a c e . I na r e c e n t p a p e r , B a k e r a n d A l le n [ l ]1 cons ide r ed t he e l a s t i c r e -sponse o f a sphe r i ca l she l l o f any t h i ckness t o such a p r essu r ep u l s e . T h e y s h o w e d t h a t t h e e la s t i c r es p o n s e o f e v e n a r e l a t i v e lyt h i c k s h e l l c o u l d b e a d e q u a t e l y d e s c r i b e d b y a n a p p r o x i m a t e" t h i n - s h e l l " e q u a t i o n o f m o t i o n .

I n t h i s p a p e r , t h e a u t h o r w i ll e x t e n d t h e t h i n - s h e ll e q u a t i o n t oinc lude p l a s t i c de f o r m a t ion an d t he n on l inea r e f fec t s of she llt h i n n i n g a n d i n c r e a s e in r a d i u s , o b t a i n s o lu t i o n s t o t h e s e e q u a -t i on s , a n d c o m p a r e p r e d i c t e d r e s p o n s e w i t h r e s u l t s of e x p e r im e n t sw h i c h w e r e c o n d u c t e d f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e o r y .

T h e o r yGeneral. I n s o fa r a s t h e a u t h o r h a s b e e n a b l e t o d e t e r m i n e ,n o o n e h a s y e t a t t e m p t e d t o p r e d i c t t h e r e s p on s e o f a n e l a s t i c -

p l a s t i c s p h e r i c a l s h e ll t o e i t h e r i n t e r n a l o r e x t e r n a l t r a n s i e n t p r e s -s u r e s . C h i a r u l l i [2 ] has d i scussed t he r e sponse o f a sph e r i ca l capt o a n e x t e r n a l s h o c k w a v e , b u t a s s u m e s a r i g id - p la s t i c m a t h e m a t i -c a l m o d e l fo r t h e s t r u c t u r e . H u n t e r [ 3 ] h a s c on s i d e r e d t h e d y -n a m i c r e s p o n s e o f a n i n f in i t e m e d i u m t o t r a n s i e n t p r e s s u r e p u l s e s

1 N u m b e r s i n b r a c k e t s d e s ig n a t e R e f e r e n c e s a t en d o f p a p e r .

N o m e n c l a t u r e -4ir = r a d i a l d i s p l a c e m e n t

r = r a d i a l d i s p l a c em e n t a t t im eof yielding

u r y = r a d i a l v e l oc i t y a t t i m e o fy i e ld ingu r s = p e r m a n e n t d i s p l a c e m e n t o f

p l a s t i ca l l y de f o r m ed she l lt = t i m e

t v t im e o f j de ld inge = n o r m a l st r a i n

ey = y i e ld s t r a ines = p e r m a n e n t s t r a i n o f p l a s -

t i ca l l y de f o r m ed she l l

p =

no = i n i t i a l she l l r ad iu say = s h e l l r a d i u s a t t i m e o f y i e l d - K, A, B =in gh = she l l t h i ckness C\ , C o , C 3 =p = dens i t y o f she l l m a t e r i a la = acce l e r a t i on o f g r av i t y

e l a s t i c she l li r cu l a r v ib r a t i on f r equency

p l as t i c she l lans t an t s i n so lu t i on o f e l a s

t i c - r e sponse equa t i on n s t a n t s in e q u a t i o n s f o

p l a s t i c d e f o r m a t i o n o fshe l l

J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s M A R C H 1 9 6 0 / 1 3 9

Copyright 1960 by ASME

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a p p l i e d a t t h e s u r f a c e of a s p h e r i c a l ca v i t y , i n c lu d i n g b o t h t h ee l a s t i c a n d p la s t i c p r o p e r t i e s of t h e m e d i u m , b u t h a s m a d e n oa t t e m p t t o s o lv e t h e p r o b l e m f o r a sh e l l .

I n t h i s s e c t i on , t h e a u t h o r w i l l d e v e l o p t h e t h e o r y o f e la s t i c -p l a s t i c r e s p o n s e o f a t h i n s p h e r i ca l s h e l l t o s p h e r i c a l l y s y m -m e t r i c i n t e r n a l b l a s t l o a d i n g . T h e e la s t i c p h a s e o f t h e m o t i o nw i ll b e a s s u m e d t o b e g o v e r n e d b y t h e a p p r o x i m a t e t h i n - s h e l le q u a t i o n c i t e d i n [1 ] , D u r i n g p l a s t i c d e f o r m a t i o n , b o t h p e r -f e c t l y p l a s t i c a n d s t r a i n - h a r d e n i n g m a t e r i a l s w i ll b e c on s i d e r e d .S o l u t i o n s w il l b e o b t a i n e d f o r t h e l in e a r e q u a t i o n s o f m o t i o nw h i c h r e s u lt f r o m a s s u m i n g t h a t t h i n n i n g a n d i n cr e a s e in r a d i u so f t h e s h e ll oc c u r r i n g d u r i n g p l a s t i c d e f o r m a t i o n a r e n e g l ig i b le ,a n d f o r t h e n on l i n e a r e q u a t i o n s o b t a i n e d b y a c co u n t i n g f ort h i n n i n g a n d a s s u m i n g t h a t t h e s h e l l m a t e r i a l is i n c o m p r e s s i b l e .

Elastic Phase of Motion. T h e e q u a t i o n of m o t i o n i n t h e r a d i a ld i r e c t i o n o f t h e e l e m e n t i n F i g . 1 is

d 2u rh() + ph a = ap {t)

d *u r p ( 0- + C 02li r = -d l2 p hw i t h t h e c ir c u l a r f r e q u e n c }' co g i v e n b y

2 Ep a 2( 1 - v )

L e t u s a s s u m e t h a t t h e t r a n s i en t p r e s s u r e p(t ) i s g i v e n b yp(t) = P( 1 - t/ T ) , 0 t +

u r = A cos co(< T) + B s in co(I

K = P / w 2p h/ s i n w T \.4 = A cos coT\ "T J

= K ^ s i i :

T ),

B s in w T + cos co J 'coT \ / u >T

t h r o u g h ( 8 ) a p p l ie s u n t i l t h e s t r e s s r e a c h e s y i e l d , a v . 2 T h e s h e l lm a t e r i a l i s t h e n a s s u m e d t o o b e y t h e l in e a r s t r a i n - h a r d e n i n gs t r e s s - s t r a i n l a w s h o w n i n F i g . 2 . O r , f o r < ru, t h e s t r e s s i sg i v e n b y

cr = < r + S (c - ev ) ( 9 )w h e r e S i s t h e s l o p e o f t h e p l a s t i c p o r t i o n o f t h e s t r e s s - s t r a i nc u r v e . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 1 ) c a n t h e n b e w r i t t e n a s

d 2u r 2 S p ( l ) 2 [Oy - S cy)7 + ^ T V r = ~r , t > I ,Jd t 2 p a ' p h p a ( 1 0 )

( 1 )

T h i s e q u a t i o n i s s i m i la r t o e q u a t i o n ( 3 ) , a n d c a n b e s o l v e d in l ik em a n n e r . T h e s h e l l e x h i b i t s a r a d i a l v i b r a t i o n fr e q u e n c y d e fi n e db y

2 F o r t h i s p r o b l e m , w h e r e t w o of t h e n o r m a l s t r e s s c o m p o n e n t s a r ee q u a l a n d t h e t h i r d i s z e r o , t h e y ie l d s t r e s s w o u l d b e g i v e n a s a y =V 3 r m a i b y t h e M i s e s y i e l d c on d i t i o n a n d a s a y = 2 r m ax b y t h e T r e s c ay i e l d c o n d i t i o n .

w h e r e p i s d e n s i t y o f t h e s h e l l m a t e r i a l , h i s s h e l l t h i c k n e s s , a n d a l lo t h e r q u a n t i t i e s a r e d e f in e d i n t h e f ig u r e .

N o w , era = 0 0 = a , b e c a u s e o f s p h e r i c a l s y m m e t r y . I n t h ee l a s t i c p h a s e , t h e sh e l l m a t e r i a l is a s s u m e d t o o b e y H o o k e ' s l a w ,s o t h a t

E E u ' fo\a = e = (2)1 v 1 v aw h e r e E i s Y o u n g ' s m o d u l u s a n d v i s P o i s s o n ' s r a t i o . T h e n ,e q u a t i o n ( 1 ) c a n b e w r i t t e n a s

( 3 )

( 4 )

( 5 )

w h e r e P i s t h e p e a k o v e r p r e s s u r e a n d T t h e d u r a t i o n o f t h e s h o c kw a v e . T h e s o lu t i o n t o e q u a t i o n ( 3 ) c a n b e o b t a i n e d r e a d i l y b yL a p l a c e t r a n s f o r m t e c h n i q u e s . F o r t h e sh e l l i n i t i a l l y a t r e s t , t h es o l u t i o n i s

Fig. 1 Element of spherica l shell

0 < t < T (6)

I > T ( 7 ) T e n s .

( 8 )

N o t e t h a t d u r i n g t h i s p h a s e of t h e m o t i o n t h e d e f l e c t io n s a r ea s s u m e d t o b e s o s m a l l t h a t t h e r a d i u s , a , d o e s n o t c h a n g e a p -p r e c i a b l y . T h e n a t u r a l f r e q u e n c y co i s t h e r e f o r e c o n s t a n t a n dw e h a v e 011I3' t o s o l v e a l in e a r d i f fe r e n t i a l e q u a t i o n , e q u a t i o n ( 3 ) .

Plastic Response Phase of Motion, Neglecting Shell Thinning andVariation of Shell Radius. T h e s o l u t i on g iv e n b y e q u a t i o n s ( 6 )

C o m p .

Fig. 2 Stress-strain la w

1 4 0 / M A R C H 1 9 6 0 T r a n s a c t i o n s o f t h e A S M E

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2 Sp a - ( I D

w h i c h i s l ow e r t h a n t h e e la s t i c f r e q u e n c y .T h e s o l u t i o n f o r ( 1 0 ) , f o r p r e s s u r e t r a n s i e n t d e f i n e d b y ( 5 ) , i3

u r = u ry c os w p(t t y) + u ry2(cr i) - S ey)

s in o) p(t - t u )

[1 - cos U3 p(t - t y)]

+ p h u pp a u /

- j ( l - t / T ) [1 - cos co p(t - t y)\

+ ~~m t s i n cp ( i ~ lv ) ~ U p V ~ lv ) c o s u P ( 1 ~C01

a n du r = u ry co s oo p(t - t v) + u,

2 ( ty. T h i s e q u a t i o n i s d i r e c t l y in t e g r a b l e , y i el d i n g

a n d M r (t - ly)- + U ry ( t - t y ) + Mr.p af o r

h a 2 = hoOo2

w h e r e t h e t h i c k n e s s , a n d r a d i u s , o , a r e f u n c t i o n s of t a n d s u b -s c r ip t s ze r o d e n o t e i n i t ia l d i m e n s i o n s . E q u a t i o n ( 1 ) s t il l d e -s c r ib e s t h e m o t i o n . U s i n g ( 1 4 ) t o e l im i n a t e h a n d s u b s t i t u t i n g t h es t r e s s - s t r a i n l a w ( 9 ) , w e g e t f r o m ( 1 )

d H i r 2 [< r y + S (e - e , ) ] = p(t )a 2d t ' 2 p a p a 0 2h 0 ( la)

B u t= a / a 1 , d 2u rd t 2

d 2ad t 2 '

a n d ( l a ) b e c o m e sd 2ad t 2 + A a + C , = C 3a 2p(t )

fo r t y < t < T ( 1 2 )

s in u p(t - t y)

w h e r e

C , = 2[

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- ELASTIC PHASEPLASTIC PHASE2 0t, ssc X I0 5Fig. 3 D isplacement- t ime h is tor ies of l / l 6 - in- th ick , 15- in- radius s tee lshe l l , l inear theory

Fig . 5 Response of l / l 6 - in- th ick , 15- in- radius s tee l she l l to 1 / 4 - I b P e n t o -l i te charge , nonl inear theory

s o lu t i o n s on t h e O R D V A C d i g i t a l c om p u t e r t o e q u a t i o n ( 1 5 ) f o rt h e s m a l l s t e e l s h e l l s u b j e c t e d t o t h e b l a s t l oa d i n g f r o m 1 / 8 - l ba n d 1 / 4 - lb ch a r g e s s h ow n i n T a b l e 1 . T h e s ol u t i o n s w e r e o b -t a i n e d f o r s e ve r a l v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r S . T a b l e 2 a n d F i g s . 4a n d 5 s h ow t h e r e su l t s o f t h e s e co m p u t a t i o n s . O n e c a n s e e t h a tt h e e f f e c t o f c o n s i d e r i n g s h e l l t h i n n i n g a n d i n c r e a s e i n r a d i u s i sq u i t e a p p r e c i a b l e .

S o m e in s i g h t i n t o t h e e f f e ct s of n o n l i n e a r i t y c a n b e i n f e r r e df r o m ( 1 5 ). T h e s e co n d t e r m o n t h e le f t i n d i ca t e s t h a t , a s t h e s h e lli n c r e a s e s i n r a d i u s , it s p l a s t i c r e s i s t a n c e t o m o t i o n d e c r e a s e s a s1 / a . T h e r i g h t - h a n d s i d e, h o w e v e r , s h o w s t h a t t h e l o a d i n g i s i n -c r e a s i n g a s a 2 . T h e r e l a t i v e l j ' l a r g e e ff e c t o f t h e n o n l i n e a r i t y isp r o b a b l y p r i m a r i l y d u e t o t h e " l o a d i n g t e r m " i n t h e e q u a t i o n .

S t r a i n - t i m e h i s t o r ie s ca n b e o b t a i n e d f r o m t h e d i s p l a c e m e n t -t i m e h i s t o r ie s in F i g s . 3 t h r o u g h 5 b y m e r e l y d i v i d i n g b y t h e i n i -t i a l s h e l l r a d i u s , a 0 1 5 in .

A l t h o u g h t h e p r e d i c t i o n s o f r e s p o n s e w e r e m a d e f o r a s p e c i f ics m a l l s h e l l t o s e v e r a l s p e c i f i c b l a s t l o a d s , t h e y c a n b e s o m e w h a tg e n e r a l i z e d b j r u s e of m o d e l l a w s fo r s t r u c t u r a l r e s p o n s e [ 6 ],T h e s e l a w s s t a t e t h a t , i f g e o m e t r i c a l s im i l a r i t y o f t h e s t r u c t u r ea n d e x p l o s iv e l oa d i n g s o u r c e is m a i n t a i n e d , t h e d i s p l a c e m e n t - t i m eh i s t o r y o f o n e s t r u c t u r e i s s i m i l a r t o t h e h i s t o r y of a n o t h e r , w i t ht i m e a n d d i s p l a c e m e n t b e i n g m u l t i p l i e d b y t h e s c a l e f a c t o r .

E x p e r i m e n t s o n S h e l l R e s p o n s eDescription of Experiments. T h e r e s p o n s e s o f t w o s i z e s o f t h i n

s t e e l s h e l l s t o b l a s t l o a d i n g f r o m s m a l l , c e n t r a l l y l o c a t e d e x -p l o si v e c h a r g e s w e r e m e a s u r e d fo r c om p a r i s o n w i t h t h e o r y . T h es h e l l s w e r e f a b r i c a t e d f r o m s h e e t s t e e l b y f o r m i n g s e g m e n t s a n dw e l d in g t h e m i n t o s p h e r e s w h i c h w e r e c o m p l e t e s a v e f or a s m a l lh o l e w h i c h w o u l d p a s s t h e e x p l o s iv e ch a r g e s . T h e s m a l l e r si zes h e l l ( 1 5 - in . r a d i u s ) h a d t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s a n d d i m e n s i on sa s s u m e d f o r t h e p r e d i c t i o n s o f r e s p o n s e i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o no f t h i s p a p e r , w h i l e t h e l a r g e r s h e l l ( 3 0 - i n . r a d i u s ) w a s a m o d e l o ft h e s m a l l s h el l m a d e o f t h e sa m e m a t e r i a l a n d s c a le d u p b y a f a c -t o r o f t w o i n a l l d i m e n s i o n s .

T h e r e s p o n s e of e a c h s h e l l w a s m e a s u r e d b y s i xt e e n S R - 4 r e -s i s t a n c e w ir e st r a i n g a g e s ( t y p e C - 1 0 ) m o u n t e d a t n i n e l o ca t i o n st o t h e s h e ll . T o r e c o r d t h e t w o t a n g e n t i a l - s t r a i n c o m p o n e n t s ,t h e g a g e s w e r e m o u n t e d i n p a i r s a t r i g h t a n g l e s t o e a c h ot h e r i n a llb u t t w o of t h e lo c a t i o n s . F i g . 6 s h o w s s c h e m a t i c a l l y t h e l o c a -t i o n o f a l l g a g e s on t h e 1 5 - i n - r a d i u s s h e l l. T h e o u t p u t s o f t h es t r a i n g a g e s w e r e r e c o r d e d o n a co m m e r c i a l o s c i ll o g r a p h r e c o r d e r .

N o a t t e m p t w a s m a d e t o m e a s u r e t h e l oa d i n g o n t h e in n e r s u r -f a c e o f t h e s h e l l s , b e c a u s e b l a s t g a g e s h a v i n g t h e f r e q u e n c y r e -s p o n s e r e q u i s i t e f o r m e a s u r i n g t h e s h o r t d u r a t i o n w a v e s e n -

Table 1 Elastic and elastic-plastic respons e of thin steel shell froml inear theoryP e n t o l i t e c h g w t , li s 1 / 6 4 1 / 8 1 / 4P e a k p r e s s u r e , P , p s i 1 2 0 1 0 0 0 1 7 7 0D u r a t i o n , T , sec X 10 5 1 3 . 8 6 . 6 5 5 . 5 4t y , sec X 10 s 4 . 1 0 2 . 9 6 , , i n X 1 0 3 1 3 . 3 3 1 3 . 3 3u r y , i n p e r s ec 5 1 0 7 6 6M a x ! (r , in . X 10 3 ( n o s t r a i n -h a r d ) 5 . 8 5 3 2 . 2 5 3 . 8M a x u r , i n . X 1 03 ( w i t h s t r a i n -h a r d ) 2 8 . 7 4 7 . 9

in X lO 3

Fig. 4 Response of l / l 6 - in- th ick , 15- in- radius s tee l she l l to l /8 - l b Pento-l i te charge , nonl inear theory

Table 2 Elast ic -p lastic response of th in she l l f rom num erica l solut ion fo equat ions whichaccount for th inning and increase in radius 0V s - lb c h a r g e . . ' / r i b c h a r g e

R a t i o , ; 0 1 / 4 1 / 2 0 1 / 4 , / ( l v )M a x u r , i n X 1 0 3 3 8 . 7 3 5 . 4 3 2 . 5 8 0 . 1 6 1 . 3 4 3 . 8T i m e fo r m a x r , sec X 10 s 1 2 . 6 1 1 1 . 2 0 1 0 . 1 0 1 6 . 8 0 1 2 . 0 0 8 . 5 7

" B l a s t l oa d i n g p a r a m e t e r s , / , u ,u , a n d u ry a r e g i v e n in T a b l e 1 .b T h e v a l u e S = 1 w a s c h o s e n h e r e t o s i m u l a t e t h e m a x i m u m p o s s i b le r e s i s t a n c e t o m o t i o n

o f t h e sh e l l m a t e r i a l . T h e c o m p u t e d v a l u e s t h e n a p p l y t o a s h e l l m a d e of s t e e l w i t h a m u c hh i g h e r el a s t i c l i m i t t h a n t h a t a s s u m e d f o r t h e r e m a i n d e r o f t h e c o m p u t a t i o n s .

1 4 2 / M A R C H 1 9 6 0 T r a n s a c t i o n s o f t h e A S I V I E

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( 5 / X i s )

l on g e n o u g h t o a l lo w m e a s u r e m e n t o f p e r m a n e n t s e t a f t e r m a x i -m u m d e f or m a t i o n . T h e d a t a fr o m t h e se t w o e x p e r i m e n t s a r eg iv e n in T a b l e 4 . B e c a u s e t h e va r i a t i o n s in m a x i m u m s t r a i n so f t h e f i r s t s h e l l a r e m u c h l a r g e r t h a n t h o s e o f t h e s e c o n d s h e l l ,t h e b e s t es t i m a t e o f m a x i m u m s t r a i n i s p r o b a b l y ob t a i n e d b yu s i n g on l y t h e d a t a f o r t h e s e c on d s h e l l.

Table 3 Mea sured e last ic response of th in , s tee l , spher ica l she lls tointerna l b last loading f rom centra l ly located explos ives

i- i n - t h i c k s h e l l t o 0 . 0 1 6 l b T e t r y l

Fig. 6 Locat ion of gages on she l l . Numb ers indicate channel of re -cording equipment to which gage is a t tached.

c o u n t e r e d h e r e a r e q u i t e m a s s i v e [ 5 ], a n d w o u l d s e r i o u s l y a l t e rt h e r e s p o n s e o f s u c h t h i n s h e l l s .

T h e e x p e r i m e n t s w e r e c o n d u c t e d w i t h t h e s h e ll s s u s p e n d e d i n al i g h t r o p e s li n g t o s im u l a t e a n u n s u p p o r t e d s h e l l. T h e fi r s ts m a l l s h e l l w a s s u b j e c t e d t o b l a s t f r o m f o u r 0 . 0 1 6 - l b T e t r y l e x -p l o s i v e c h a r g e s t o c o m p a r e w i t h p r e d i c t i o n s o f e l a s t i c r e s p o n s e .A 1 / 8 - l b P e n t o l i t e e x p l os i v e ch a r g e w a s t h e n d e t o n a t e d w i t h i nt h e s h e l l t o o b t a i n i t s p l a s t i c r e s p o n s e . T h e s h e ll r u p t u r e d , f a i l in ga t a w e l d . A s e co n d s m a l l s h e l l a l s o w a s s u b j e c t e d t o b l a s t f r o ma 1 / 8 - l b ch a r g e , a n d r u p t u r e d i n m u c h t h e s a m e m a n n e r a s t h ef ir s t s h e l l. F o r c o m p a r i s o n w i t h t h e e la s t i c r e s p o n s e o f t h e s m a l ls h e l l, a si n g l e t e s t o f a l a r g e s h e l l w a s m a d e , w i t h a 1 / 8 - l b P e n t o -l it e c h a r g e b e i n g d e t o n a t e d w i t h i n t h e s h e l l.

Experimental Results. A c c e p t a b l e s t r a i n - t i m e h i s t o r i e s w e r e o b -t a i n e d f r o m m o s t o f t h e r e c or d i n g c h a n n e l s d u r in g t h e e l a s t i c-r e s p o n s e t e s t s . T h e s h e ll s r e s p o n d e d i n i t i a l l y i n a s i n g l e f r e -q u e n c y v i b r a t i o n w h i c h p e r s i s t e d f o r s e v e r a l c y c l e s u n t i l a r r i v a lo f t h e s e c o n d s h o c k w a v e , w h i c h w a s fo r m e d b y r e f l e c t i on o f t h ei n i t i a l s h o c k f r o m t h e in n e r s u r f a c e of t h e s h e l l . T h e r e s p o n s et h e n b e c a m e q u i t e e r r a t i c , w i t h c o n s i d e r a b l e v a r i a t i o n i n t h er e c o r d s o f d i f fe r e n t s t r a i n g a g e s a n d e x c it a t i o n o f a d d i t i o n a lm o d e s o f v i b r a t i o n . 4 F o r c om p a r i s o n w i t h t h e o r y , h o w e v e r ,o n l y t h e p o r t i o n o f t h e r e c or d s b e t w e e n t h e fi r s t a n d s e c o n ds h o ck s n e e d b e co n s i d er e d . E a c h r e c or d c ou l d t h e n b e c h a r a c -t e r i ze d b y a vi b r a t i o n f r e q u e n c y a n d a st r a i n a m p l i t u d e . T h ed a t a f o r t h e f o u r e l a s t i c - r e s p o n s e e x p e r i m e n t s o n t h e s m a l l s h e l la n d t h e s i n g l e e x p e r i m e n t o n t h e l a r g e s h e l l a r e g i v e n i n T a b l e 3 .O n e ca n s e e f r o m t h e s e d a t a t h a t t h e m a x i m u m s t r a i n s v a r yc on s i d e r a b l y f r o m p o i n t t o p o i n t o n t h e s h e l l, b u t t h a t t h e i r a v e r -a g e v a l u e s d o n o t d i f fe r s ig n i f i ca n t l y f r o m o n e e x p e r i m e n t t oa n o t h e r . T h e a v e r a g e v a l u e fo r t h e m a x i m u m s t r a i n m e a s u r e dd u r i n g t h e e x p e r i m e n t o n t h e l a r g e r s h e l l a g r e e s w e l l w i t h t h ev a l u e s o b t a i n e d f r o m e x p e r im e n t s on t h e s m a l l s h e l l. T h e v a r i a -t i on o f t h e m e a s u r e d v i b r a t i o n f r e q u e n c ie s fr o m t h e i r m e a nv a l u e s c a n b e s e e n t o b e c o n s i d e r a b l y s m a l l e r t h a n t h e v a r i a t i o no f m a x i m u m s t r a i n s .

D u r i n g t h e p l a s t i c r e s p on s e e x p e r i m e n t s , b o t h s m a l l s h el ls r u p -t u r e d w h e n s u b j e c t e d t o t h e b la s t fr o m 1 / 8 - lb ch a r g e s . H o w e v e r ,m a x i m u m s t r a i n s w e r e r e co r d e d o n m o s t of t h e r e c or d i n g c h a n n e l sb e f o r e f a i l u r e of t h e g a g e le a d s . O n t h e fi r s t s u c h e x p e r i m e n t , t h es t r a i n - t i m e h i s t o r i e s w e r e r e c o r d e d o n s o m e c h a n n e l s f o r a t i m e

c h a r g e s. M a x s t r a i n s X 1 0 6 f o r . V i b r a t i o nC h a n ' l g i v en t e s t n o . f r e q u e n c y ,N o . 1 2 3 4 cp s1 5 6 0 7 8 0 5 9 0 5 7 0 3 5 0 02 5 6 0 6 2 0 4 8 0 4 4 0 3 7 0 03 4 1 0 4 6 0 4 5 0 4 0 0 4 0 0 04 4 2 0 4 2 0 4 3 0 3 9 0 3 6 0 05 4 0 0 4 6 0 4 0 0 5 2 0 4 0 0 06 4 5 0 3 5 0 07 4 0 0 3 5 0 08 5 2 0 3 8 0 3 4 0 3 3 0 3 4 0 09 4 1 0 3 9 0 4 5 0 3 5 0 01 0 2 8 0 2 7 0 3 3 0 3 0 0 3 6 0 01 1 4 2 0 4 9 0 5 5 0 4 9 012 6 0 0 6 0 0 4 6 0 5 4 0 M e a n 3 6 3 01 3 4 8 0 3 8 0 3 3 0 3 0 0 S t d . d e v . 2 0 01 4 5 8 0 7 2 0 5 2 015 4 2 0 5 0 0 3 6 0 3 5 01 6 4 2 0 3 8 0 3 5 0

M e a n 4 6 0 4 9 0 4 3 0 4 3 0S t d .d e v . 8 0 1 4 0 8 0 9 0N O T E S :

1 C h a n n e l n u m b e r s co r r e s p o n d t o g a g e l o ca t i o n s of F i g . 6 .2 D a s h e s i n t a b l e i n d i c a t e m a l f u n c t i o n o f r e c o r d i n g e q u i p m e n t o r

s t r a i n g a g e s .3 T h e s t a n d a r d d e v ia t i o n s a r e s a m p l e s t a n d a r d d e v i a t i o n s .

( B ) R e s p o n s e o f 3 0 - i n -r a d i u s , ' / g -i n - t h i c k s h e ll t o 1 / 8 - l b P e n t o l i t ec h a r g eC h a n ' l M a x . C h a n ' l M a x C h a n ' l M a xN o . s t r a i n X 1 0 s N o . s t r a i n X 1 06 N o . s t r a i n X 10 s

1 4 3 0 7 1 3 3 5 02 5 7 0 8 5 0 0 1 4 3 9 03 3 7 0 9 2 6 0 1 5 4 3 04 3 6 0 1 0 3 8 0 1 6 5 7 05 5 2 0 1 1 3 8 0 M e a n 4 2 06 5 1 0 1 2 3 2 0 S t d . D e v . 9 0Vib . f r eq . , 1 7 5 0 1 8 0 0 1 80 0 M e a n . . . 1 79 0cp s 1 8 5 0 1 8 0 0 1 7 5 0 S t d . d e v 3 0Table 4" Meas ured e last ic -p lastic response of 15- in- radius s tee l spher i -cal shells to internal blast loading from 1 / s - lb Pentol i te charges

4 A p o s s i b l e ca u s e of e r r a t i c r e c o r d s a f t e r t h e s e c o n d s h o c k c o u l db e t h a t t h i s s h o c k w a s n o t s p h e r i ca l a f t e r p a s s in g t w i c e t h r o u g h t h eh o t , t u r b u l e n t d e t o n a t i o n p r o d u c t s n e a r t h e sh e ll c en t e r .

S t r a i n s X 1 0 s -T e s t 1 , . T e s t 2 .C h a n ' l M a x i m u m P e r m a n e n t M a x i m u mN o . s t r a i n s t r a i n s t r a i n1 2 1 7 0 1 3 6 0 2 9 8 02 3 0 3 0 1 0 4 03 2 4 4 0 2 4 7 04 1 5 8 0 4 2 4 05 2 4 4 0 3 4 2 06 2 3 0 0 3 7 8 078

5 7 0 01 2 5 0 2 4 0 09 4 0 8 01 0 1 4 6 0 2 2 1 01 1 2 7 2 0 1 3 6 0 4 4 4 012 1 5 7 0 2 9 0 013 2 7 2 0 1 3 6 0 4 0 7 01 4 2 1 5 0 3 1 0 015 4 2 1 016 1 3 6 0 2 7 2 0M e a n 2 4 6 0 1 2 8 0 3 3 0 0:1. dev. 1 1 3 0 1 4 0 7 5 0

" N o t e s f o r T a b l e 3 a p p l y a l s o t o t h i s t a b l e .

J o u r n a l o f A p p l i e d M e c h a n i c s M A R C H 1 9 6 0 / 1 4 3

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C o m p a r i s o n o f T h e o r y w i t h E x p e r i m e n tT h e e l a s t i c r e s p o n s e o f t h e s m a l l s h e l l t o 1 / 6 4 - l b c h a r g e s p r e -

d i c t e d in T a b l e 1 a n d F i g . 3 ca n b e c om p a r e d w i t h t h e m e a s u r e dt i m e h i s t o r i e s o f t a n g e n t i a l s t r a i n b y m e r e l y d i v i d i n g t h e p r e -d i c t e d d i sp l a c e m e n t b y t h e i n i t ia l s h e ll r a d i u s . T h e s t r a i n - t im eh i s t o r y o b t a i n e d i n t h i s m a n n e r a l s o a p p l ie s t o t h e r e s p on s e o f t h el a r g e s h e ll t o t h e 1 / 8 - l b c h a r g e , if t h e t i m e s c a l e i s m u l t i p l i e d b y2 . T h e ge n e r a l fo r m o f m e a s u r e d r e s p o n s e s is s i m i la r t o t h a tp r e d i c t e d f r o m t h e o r y . T h e q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t b e t w e e nm e a s u r e d a n d p r e d i c t e d r e s p o n s e is a l s o q u i t e g o o d , a s c a n b es e en f r o m t h e c o m p a r i s on o f v ib r a t i o n f r e q u e n c i e s5 a n d m a x i m u ms t r a i n s g i ve n i n T a b l e 5 .

Table 5 Comparison of predic ted and meas ured e last ic response ofthin steel shells

- ' Ai - lb ch a r g e .v e r s u s 1 5 - i n - r a d ,Vi6 - in - th i ck s h e l lP r e -d i c t e d M e a s u r e d

- Vs - lb ch a r g e ,v e r s u s 3 0 - i n - r a d ,V s - i n - t h i c k s h e l lP r e -d i c t e d M e a s u r e dV i b r a t i o n f r e q u e n c y ,cp s 3 7 2 0 3 6 3 0 2 0 0 1 8 6 0 1 7 9 0 3 0M a x s t r a i n , X 1 0 6 . . 3 9 0 4 5 0 1 0 0 3 9 0 4 2 0 9 0

T h e " co n f i d e n c e l i m i t s " gi v e n a r e o n e s t a n d a r d d e v i a t i o n o ft h e in d i v id u a l m e a s u r e m e n t s .

T h e p r e d i c t e d s t r a i n - t i m e h i s t o r i e s f o r e l a s t i c - p l a s t i c r e s p o n s e so f t h e s m a l l s h e ll s t o 1 / 8 - l b c h a r g e s c a n b e o b t a i n e d f r o m T a b l e s1 a n d 2 a n d F i g s . 3 a n d 4 b y d i v i d i n g t h e d i s p l a c em e n t s b y t h ei n i t ia l sh e l l r a d i u s . T h e g e n e r a l f o r m o f t h e c om p a r a b l e m e a s -u r e d r e sp o n s es a gr e e s w i t h t h e p r e d i ct e d f or m . T h e m e a s u r e dm a x im u m s t r a in s a n d p e r m a n e n t s t r a i n s a r e c om p a r e d i n T a b l e 6w i t h s t r a i n s p r e d i c t e d b o t h f r o m t h e a p p r o x i m a t e l i n e a r t h e o r ya n d f r o m t h e m o r e e xa c t n o n l in e a r t h e o r y f o r a m a t e r i a l w i t h n os t r a i n - h a r d e n i n g .

O n e c a n s ee t h a t t h e g e n e r a l q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t o f e x p e r i -m e n t w i t h t h e o r y i s g oo d .Table 6 Comp arison of predic ted and measu red e lastic -p lastic responseof 15- in- radius , ' / is - in - th ick s tee l she l l to b last f rom ' /s - lb Pentol i te charge

- P r e d i c t e d -

M a x s t r a i n X 1 0 6P e r m st r a i n X 1 0 s

( n o s t r a i n - h a r d e n i n g )L i n e a r N o n l i n e a rt h e o r y t h e o r y2 1 0 0 2 5 8 01 2 7 0 1 6 9 0M e a s u r e d3 3 0 0 7 5 01 2 8 0 1 4 0

5 P r e d i c t e d f r e q u e n c i e s c a l cu l a t e d f r o m e q u a t i o n ( 4 ) .

D i s c u s s i o nI n t h i s p a p e r , t h e a u t h o r h a s p r e s e n t e d t h e t h e o r y o f el a s t i c -

p l a s t i c r e s p o n s e o f t h i n s p h e r i c a l s h e l l s t o t r a n s i e n t i n t e r n a l p r e s -s u r e s . T h e e x p e r i m e n t s p e r f o r m e d co n c u r r e n t l y w it h t h ea n a l ys i s s h o w t h a t o n e ca n a d e q u a t e l y p r e d i ct f r o m t h e t h e o r y t h er e s p o n s e o f a t h i n s p h e r i c a l sh e l l t o l o a d i n g i n t e n s e e n o u g h t oc a u s e c on s i d e r a b l e p l a s t i c d e f o r m a t i o n .

A m o r e p r e c is e s e t o f e x p e r i m e n t s o n d y n a m i c -p l a s t i c r e s p o n s eo f c a r e f u l l y m a d e s p h e r i c a l sh e l l s w o u l d a l l o w o n e t o d e c i d ew h e t h e r t o u s e t h e s im p l e l in e a r t h e o r y o r t h e m o r e c o m p l e x n o n -l i n e a r t h e o r y t o p r e d i c t r e s p o n s e , a n d t o m e a s u r e t h e d e g r e e o fs t r a i n - h a r d e n i n g o f t h e s h e l l m a t e r i a l d u r i n g i t s d y n a m i c r e -s p o n s e .

A l t h o u g h t h e t h e o r y h a s b e e n d e v e l op e d f o r l in e a r s t r a i n - h a r d -e n i n g m a t e r i a l s , i t c a n b e a p p l i e d t o o t h e r m a t e r i a l s b y a p p r o x i -m a t i n g t h e t r u e s t r es s -s t r a i n c u r v e b y l i n e a r s eg m e n t s a n d b y i n -v o k i n g t h e co n t i n u i t y c o n d i t i o n s t h a t r a d i a l v e l oc i t y a n d d i s -p l a c e m e n t m u s t b e co n t i n u o u s f u n c t i on s o f t i m e .

A c k n o w l e d g m e n t sT h e fi n a n c ia l s u p p o r t o f t h e D i v i s i on o f R e a c t o r D e v e l o p m e n t ,

U . S . A t o m i c E n e r g y C o m m i s i o n , f o r w h o m t h i s w o r k w a s p e r -f or m e d , is g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d . T h e a u t h o r a l s o w i sh e st o a c k n o w l e d g e t h e a b l e a s s is t a n c e of M r . W . O . E w i n g , J r . , i np e r f or m i n g t h e e x p e r im e n t s , a n d o f p e r s on n e l o f t h e C o m p u t i n gL a b o r a t o r y , B a l li s t i c R e s e a r c h L a b o r a t o r i e s , f or o b t a i n i n g n u -m e r i c a l s o l u t i o n s t o t h e n o n l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e p a p e r .

R e f e r e n c e s1 W . E . B a k e r a n d F . J . A l le n , " T h e R e s p o n s e o f E l a s t i c S p h e r i c a l

S h e l ls t o S p h e r i ca l l y S y m m e t r i c I n t e r n a l B l a s t L o a d i n g , " P r o c e e d i n g so f t h e T h i r d U . S . N a t i o n a l C o n g r e s s o f A p p l i e d M e c h a n i c s , A S M E ,N e w Y o r k , 1 9 5 8 , p . 7 9 .

2 P . C h i a r u l l i , " P l a s t i c R e s p o n s e o f a T h i n S p h e r i c a l C a p t o aP l a n e S h o c k W a v e , " T e c h n i c a l R e p o r t N o . 6 , D i v i s i o n of A p p l i e dM a t h e m a t i c s , B r o w n U n i v er s i t y , M a y , 1 9 5 5 .

3 S , C . H u n t e r , "S p h e r i c a l l y S y m m e t r i c W a v e s a n d t h e D y n a m i cR e s p o n s e of a n I n f in i t e M e d i u m t o T r a n s i e n t P r e s s u r e P u l s e s a t a nI n t e r n a l B o u n d a r y , " A r m a m e n t R e se a r c h E s t a b l i s h m e n t R e p o r t4 9 / 5 4 , D e c e m b e r , 1 9 5 4 .

4 D . C . D r u c k e r , "S t r e s s - S t r a i n R e l a t i o n s i n t h e P l a s t i c R a n g e aS u r v e y of T h e o r y a n d E x p e r i m e n t , " R e p o r t A l l S I , G r a d u a t e D i v i s io no f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , B r o w n U n i v e r s i t y , D e c e m b e r , 1 9 5 0 .

5 A . J . H o f f m a n a n d S . N . M i ll s , J r . , " A i r B l a s t M e a s u r e m e n t sA b o u t E x p l o s i v e C h a r g e s a t S i d e - o n a n d N o r m a l I n c i d e n c e , " B a l l i s t i cR e s e a r c h L a b o r a t o r i e s R e p o r t N o . 9 8 8 , J u l y , 1 9 5 6 .

6 W . E . B a k e r , W . O . E w i n g , J r . , a n d J . W . H u n n a , " L a w s f orL a r g e E la s t i c R e s p o n s e a n d P e r m a n e n t D e f o r m a t i o n of M o d e l S t r u c -t u r e s S u b j e c t e d t o B l a s t L o a d i n g , " B a l l i s t i c R e s e a r c h L a b o r a t o r i e sR e p o r t N o . 1 0 6 0 , D e c e m b e r , 1 9 5 8 .

1 4 4 / M A R C H 1 9 6 0 T r a n s a c t i o n s o f t h e A S I V I E