33장. 교류 회로 (Alternating Current Circuits)

33.1 교류 전원 33.2 교류 회로에서의 저항기 33.3 교류 회로에서의 인덕터 33.4 교류 회로에서의 축전기 33.5 RLC 직렬 회로 33.6 교류 회로에서 전력 33.7 직렬 RLC 회로에서의 공명 33.8 변압기와 전력 전송 33.9 정류기와 여과기

◎ 교류 전원의 단자전압

- Sinusoidal Voltage (진동형 전압) :

전원의 극성과 크기가 주기적으로 변하는 전원을 교류 전원이라고 한다. - 교류 전압의 각진동수 : - 피크 전압 (Peak Voltage) : 전원의 최대 출력 전압 혹은 전압 진폭(voltage Amplitude)

cf ) – 피크-피크 전압 (Peak to Peak Voltage) :

cf ) Sinusoidal Current (진동형 전류)

위상자 (Phasor)

초기 위상

tVtv sinsin maxmax E

Tf

22

maxmax VE

max2EppV

)sin(max tII t

33.1 교류 전원 (AC Sources)

33.2 교류 회로에서의 저항기 (Resistors in an AC Circuit)

◎ R : 저항에 의한 교류 전류

- 키르히호프의 법칙에 따라

- 저항기에 흐르는 최대 전류;

- 저항기 양단의 순간 전압;

cf ) 교류에서의 전류 :

- 직류에서 같은 저항이 동일한 시간에 동일한 양의 열이 발생하는 전류의 양

→ 실효전류 (Effective Current) Ieff = Irms

ex) 교류 10A : 직류 10A와 같은 양의 열에너지 발생

cf ) rms Values : 추후 보충 설명

0 Riv R

tItR

V

R

viR sinsin max

max

R

VI max

max

tRIRiv RR sinmax

maxmax 707.02

II

Irms

- 전류와 전압은 시간에 따라 똑같이 변하기 때문에 서로 일치한다. 오른쪽 그림에서 보듯이 iR 과 vR 모두 sinωt 로 변하고, 같은 시간에 최대값에 도달하기 때문에 위상이 같다(In Phase)라고 한다.

- 두 개 혹은 그 이상의 구성 요소를 가진 회로의 분석을 간단히 하기 위해 위상자 도표라 하는 그림 표현을 사용한다.

- 위상자(Phasor)는 벡터이고, 그 길이는 나타내고자 하는 변수의 최대값에 비례한다.

- 위상자는 그 변수에 관계되는 각진동수와 같은 각속력으로 시계 반대 방향으로 회전한다.

- 위상자를 수직축에 투영하면 위상이 나타내는 순간값을 얻게 된다.

◎ 교류 에서의 rms 전류 (나중에 다시 설명)

- rms = Root Mean Square

- 에너지가 저항기에 전달되는 비율인 전력을 고려하자.

- 시간에 대한 평균을 계산하면 이므로 - rms(root mean square) 전류(rms current)

- rms(root mean square) 전압(rms voltage)

- 교류 관련 계측기는 대부분 rms 값으로 표시한다.

tRIRiR 22

max

2 sinP

2

1)(sin2 avgt

RIRI

RI rms

22max2

max )2

(2

1P

maxmax 707.02

VV

Vrms

maxmax 707.02

II

Irms

☆

33.3 교류 회로에서의 인덕터 (Inductors in an AC Circuit)

◎ L : Inductor에 의한 교류 전류

- 교류 전원 단자에 연결되어 있는 인덕터만으로 구성된 교류 회로를 고려하자. 키르히호프의 법칙에 따라

0dt

diLv L

tVdt

diLv L sinmax

tdtL

VdiL sinmax

tL

Vtdt

L

Vdii LL

cossin maxmax

2sinmax

tL

ViL

cos2

sin

2

의 위상차

- 인덕터에 흐르는 순간 전류와 인덕터 양단에 걸린 순간 전압은 위상이 90도 만큼 차이가 난다. (늦다) o 유도 리액턴스(inductive reactance) XL

- 저항과의 비교 cf )

- ωL 은 마치 저항 R 처럼 작용 → take “유도 리액턴스(inductive reactance) XL ” (단위: Ω)

- 인덕터 양단에 걸린 순간 전압 :

tItR

Vi

RR sinsin maxmax

R

VI

Rm

max

L

mX

V

L

VI

L

maxmax

2sinmax

tL

ViL

LX L

tXItVdt

diLv L

LL sinsin maxmax

순수한 유도성 교류회로 (L-교류회로) 예제 33.2

o L-교류회로에서 L =25mH, Em=150V, 교류 주파수 f =60㎐라 하면

Sol - Induced Reactance (유도 리액턴스)

42.9)1025()602( 3HzLX L

AV

XI

L

m 9.1542.9

150max

E - 최대 전류 : - rms 전압 : - rms 전류 : cf )주파수를 f =6㎑로 올리면 : f → 100배 → 100배 증가

VVV

Vrms 08.1062

150

2

max

☆

AAI

Irms 24.112

9.15

2

max

942'LX

100

11124.0 AIrms,159.0

943

150max A

V

XI

L

m

E

33.4 교류 회로에서의 축전기 (Capacitors in an AC Circuit)

◎ C : Capacitance 에 의한 교류 전류

- 교류 전원 단자에 연결되어 있는 축전기만 으로 구성된 교류 회로를 고려하자. 키르히호프의 법칙에 따라

0C

qv

tVCvCq sinmax

cos2

sin

)

2sin(

)2

sin(cos

max

maxmax

tI

tVCtVCdt

dqiC

- 사인모양 전압에 대해 전류는 항상 축전기 양단의 전압보다 90°앞선다. (전류가 90° 앞서간다)

- 용량 리액턴스(capacitive reactance) XC : (단위: Ω)

CX

V

C

VVCI

C

maxmaxmaxmax

)/1(

CXC

1

축전기 양단에 걸린 순간 전압 :

tXItVv CC sinsin maxmax

순수한 용량성 교류회로 (C –교류회로) 예제 33.3

o C -교류회로에서 C =8㎌, Em=150V, 교류 주파수 f=60㎐라 하면

Sol - Capacitive Reactance (용량 리액턴스)

332)108602

116 FHzC

XC

,452.0322

150max A

V

XI

C

m

E

- 최대 전류 - rms 전류 :

Aside) o 각진동수 ω 에 따른 R .vs. XL .vs. XC

- 저항 R 은 진동수에 무관

- -

LX L

11

CXC

☆

AAI

Irms 3196.02

452.0

2

max

33.5 RLC 직렬 회로 (The RLC Series Circuit)

- 순간 전압 :

- 순간 전류 :

- 전압과 전류는 R-L-C 에 의하여 위상차 φ 발생

o 각 회로 요소 양단의 순간 전압

)sin(max tVv

tIi sinmax

tVtXIv LLL

cos2

sinmax

tVtRIv RR sinsinmax

tVtXIv CCC

cos2

sinmax

)sin(max2

2

tVC

q

dt

dqR

dt

qdL

◇ RLC 교류회로의 해석 : 위상자 활용 (교재의 방법)

2

maxmax

2

max

22

max

)()(

)(

CL

CLR

XIXIRI

VVVV

22

maxmax )( CL XXRIV

Z

V

XXR

VI

CL

max

22

maxmax

)(

- 미분 방정식을 직접 푸는 대신 위상자를 활용하자

- 임피던스(impedance) Z (단위: Ω) : 22 )( CL XXRZ

- 전류와 전압 사이의 위상각 :

RI

XIXI

V

VV CL

R

CL

max

maxmax11 tantan

R

XX CL1tan

Aside) ◇ 수학적 해석

- C 에 대한 회로의 재구성

- 각 단자에 걸리는 전압 :

- By Kirchhoff's 2nd Rule (Loop Rule, )

dt

dqRiRvR

dt

dqL

dt

dILvL

2

idtC

dqCC

qvC

11

0 CLR vvv

01

idtCdt

dILiR

02

2

C

q

dt

dqR

dt

qdLor “Eq. of Motion”

0j

jV

cf ) 각 소자에 걸리는 최대 전압

RIVv RR maxmax

LXIXVLIVv LLLLL wheremaxmaxmax

CXIXV

C

IVv CCCCC

1wheremax

max

max

o 각 소자간의 전압의 위상차 :

- Current I 는 교류 기전력과 –φ 의 위상차

- VR 은 Current I 와 같은 위상

- VL 은 Current I 보다 90° 빠르다

- VC 는 Current I 보다 90° 느리다

2

maxmax

2

max

22

max

)()(

)(

CL

CLR

XIXIRI

VVVV

22

maxmax )( CL XXRIV where LX L C

XC

1

Z

V

XXR

VI

CL

max

22

maxmax

)(

cf )

R

VI

- R-L-C 가 마치 하나의 저항처럼 작용

- Define) "Impedance" : (단위: Ω) - then

- if XL > XC : 위상각 φ > 0

- if XL < XC : 위상각 φ < 0

- if XL = XC : 위상각 φ = 0 ⇒ Z =R :

⇒ 전류는 최대가 된다 "Resonance Frequency" (공명 진동수)

22 )( CL XXRZ

ZIV maxmax

R

XX

V

VV CL

R

CL

tan

R

VI max

직렬 RLC 회로 분석 예제 33.4

직렬 RLC 회로가 R=425 Ω, L=1.25H, C〓3.50㎌, f=60.0Hz 그리고 Vmax=150V를 가진다. (A) 유도 리액턴스와 용량 리액턴스 그리고 회로의 임피던스를 구하라. (B) 회로에 흐르는 최대 전류를 구하라. (C) 전류와 전압 사이의 위상각을 구하라.

풀이 1377)0.60(22 szf

471)25.1)(377( 1sLX L

758

)1050.3)(377(

1161 FsC

XC

513

)758471()425(

)(

22

22

CL XXRZ

292.0513

150

maxmax

V

Z

VI

0.34

425

758471tan

tan

1

1

R

XX CL

☆

(D) 각 회로 요소 양단의 최대 전압을 구하라.

VRIVR 124)425)(292.0(max

VXIV LL 138)471)(292.0(max

VXIV CC 221)758)(292.0(max

(E) 이 회로를 분석하는 기술자가 어떠한 L을 선정하면, 전류가 걸린 전압보다 30°앞서는지 찾아 보아라. 단, 이 회로의 다른 모든 변수는 동일하다고 하자.

tanRXX CL

tan1

RC

L

tan

11R

CL

)]0.30tan()425(

)1050.3)(377(

1

)377(

1611

FssL

36.1L

(F) 만약 세 회로 요소 양단에 최대 전압을 합하면 어떻게 될까? 이것은 물리적인 의미가 있는가?

VVVVV CLR 150483