aljabar matriks rev1
TRANSCRIPT
ALJABAR MATRIKS
Bila kita mempunyai suatu sistem persamaan linier
2x + 3y + 3z = 0
x + y + 3z = 0
– x + 2y – z = 0
Maka koefisien tersebut di atas disebut MATRIKS,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
121
311
232
Jajaran bilangan tersebut di atas disebut MATRIKS,
dan secara umum dapat dituliskan sbb :
mnmjmmm
inijiii
nj
nj
nij
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
321
321
33333231
22232221
1131211
.....
.....
.....
m, n adalah bilangan bulat ≥ 1.
aij = elemen-elemen dari matriks (i = 1, 2.......m).. (j = 1, 2 .......n)
m banyak baris
n banyaknya kolom
Matriks biasanya ditulis dengan notasi (A)
mxnmatriksorde
Macam matriks
• Matriks bujur sangkar, bila m = n
mxn
987
654
321
Elemen-elemen a11, a22, .........., ann
disebut “elemen-elemen diagonal utama”
• Matriks baris, bila m = 1
• Matriks kolom, bila n = 1
Macam matriks
54321 [ A ]mx1
5
4
3
2
1
[ A ]1x n
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks Diagonal, Jika semua elemen sama dengan nol, kecuali
elemen-elemen diagonal utamanya.
4000
0300
0020
0001aij = 0
aii ≠ 0
• Matriks Satuan (unit matriks).
Jika elemen-elemen diagonal sama dengan 1 dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.
Disebut juga matriks identitas = [ I ]
1000
0100
0010
0001
= [ I ]
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks simetris, jika aij = aji
• Matriks skew-simetris, jika aij = - aji
573
702
321
573
702
321
TYPE MATRIKS BUJUR SANGKAR
OPERASI MATRIKS
• Kesamaan matriks
Dua matriks [A] dan [B] dikatakan sama bila
aij = bij
[ A ] dan [ B ] harus mempunyai orde yang sama.
• Penjumlahan matriks
Bila [A] dan [B] punya orde yang sama, maka
kedua matriks tersebut bisa dijumlahkan
menjadi matriks [C]
[C] = [A] + [B]
cij = aij + bij
OPERASI MATRIKS
Sifat-sifat penjumlahan Matriks
[ A ] + [ B ] = [ B ] + [ A ] → Komutatif
[ A ] + [ B ] + [ C ] = ([ A ] + [ B ]) + [ C ] → Assosiatif
• Perkalian dengan skalar :Suatu matriks [A] dapat dikalikan dengan bil.skalar kmenghasilkan suatu matriks
[D] = k [A]
dij = k . aij
Sifat-sifat perkalian skalar matriks:
k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B]
k ( [A] + [B] ) = ( [A] + [B] ) k
OPERASI MATRIKS
• Perkalian matriksMatriks [A]mxp dan [B]pxn dapat dikalikan menghasilkan
matriks baru
[E]mxn = [A]mxp [B]pxn
dimana :
i = 1, 2, … m ; j = 1, 2, … n ; k = 1, 2, … p
p
k
kjikij bae1
OPERASI MATRIKS
322
5
3
1
1
2
x
231
2
4
2
1
3
x
22)1(331
25)1(132
xx
xx
122341
152142
xxx
xxx
22124
1515
x
[A] = ; [B] =
[E] =
[E] =
EXAMPLE :
Sifat-sifat perkalian matriks :
• [A] ( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C] ; sifat distributif
• [A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C] ; sifat assosiatif
• [A] [B] ≠ [B] [A]
• [A] [B] = [A] [C] ; belum tentu [B] = [C]
TRANSPOSE MATRIKS
Jika matriks [A] dengan orde m x n
Transpose matriks [A] = [A]T
adalah matriks berorde n x m dengan baris
dan kolom matriks [A] menjadi kolom dan
baris matrix [A]T
326
3
5
2
4
1
x
236
5
4
3
2
1
x
[A] = [A]T =
EXAMPLE :
Sifat-sifat dari transpose matriks
• ( [A]T )T = [A]
• ( k [A] )T = k [A]T
• ( [A] + [B] )T = [A]T + [B]T
• ( [A] [B] )T = [B]T [A]T
DETERMINAN MATRIX BUJUR SANGKAR
[A]2x2 =
Det. [A] =
2221
1211
aa
aa
21212211 aaaa A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
3x3[B]
312232211331233321123223332211 ..... bbbbbbbbbbbbbbb B
Co-factor bij = ( –1) i+j Minor bij
Untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi ( n x n ) → cara sama
ininiiiiikik
n
k
cacacacaA
.......2211
1
dimana cik = co-factor aik
INVERS MATRIKS BUJUR SANGKAR
• Matriks tidak bisa dibagi dengan matriks lainnya. Sebagai analogi, digunakan INVERSE dari matrikstersebut.
• Apabila [A] dan [B] adalah matriks bujur sangkar, dan [A] [B] = [I] = [B] [A], maka
matriks [B] disebut inverse dari matrix [A], dan
matriks [A] adalah inverse dari matriks [B].
• Selanjutnya [A] disebut matriks NON SINGULAR
• Bila [A] tidak punya inverse disebut matriksSINGULAR.
• Inverse dari matriks [A] biasa ditulis [A]-1
101
011
326
421
331
321
100
010
001
[A] = ; [A]-1 =
[A] [A]-1 = = [ I ]
Catatan :
Untuk mencari inverse suatu matrix dapat dipakai beberapa
metoda, antara lain : metode ad-joint, metode pemisahan,
metode Gauss-Jordan, metode Cholesky, dsb.
EXAMPLE :
Metode Gauss-Jordan
Akan dicari inversi dari matriks [A]nxn
Langkah-langkah yang dilakukan :
1) Ambil matriks satuan [I]nxn
2) Dengan cara operasi baris, ubahlah matriks [A]
menjadi matriks satuan
3) Proses ke-2 juga dilakukan pada matriks [ I ],
sehingga setelah proses selesai matriks [ I ] telah
berubah menjadi matriks [A]-1
431
341
331
100
010
001
431
341
331
100
011
001
431
010
331
101
011
001
100
010
331
101
011
034
100
010
301
101
011
337
100
010
001
[A] =
101
011
337
[A]-1 =
LANGKAH KE-1
LANGKAH KE-3
LANGKAH KE-2LANGKAH KE-5
LANGKAH KE-4
LANGKAH KE-n Selesai …?????
EXAMPLE :
MATRIKS ORTHOGONAL
Suatu matriks bujur sangkar [A] disebut matriks
orthogonal
bila [A]-1 = [A]T
[A] [A]T = [A] [A]-1 = [ I ]
cossin
sincos
cossin
sincos
cossin
sincos
100
0cossin
0sincos
100
0cossin
0sincos
100
0cossin
0sincos
[A] = [A]T =
[A]-1 =
[T] = [T]-1 =
[T]T =
Karena [T]-1 = [T]T → matriks [T] disebut matriks orthogonal
Karena [A]-1 = [A]T → matriks [A] disebut matriks orthogonal
EXAMPLE :
TEORI DEKOMPOSISI MATRIKS
Bila [A] = sebuah matrix bujur sangkar maka
matriks tersebut dapat diekspresikan dalam
bentuk :
[A] = [L] [U]
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
..........
..........
......
......
......
321
3333231
2232221
1131211
n x n
nnnnn llll
lll
ll
l
....
........
........
0....
0....0
0....00
321
333231
2221
11
nn
n
n
ni
u
uu
uuu
uuuu
....000
........
........
....00
....0
....
.333
22322
113211
=
n x n n x n
[L] = lower triangle matriks
[U] = upper triangle matriks
331412
392520
632736
713
025
009
800
250
734
=
EXAMPLE :
[A] = [L] [U]
dapat diperoleh tanpa
inverse matriks
dapat diperoleh tanpa
inverse matriks
Aplikasi pada solusi persamaan linier simultan :
[A] {X} = [B]
[L] [U] {X} = [B] → misal [U] {X} = {Y}
[L] {Y} = [B] {X} = [U]-1 {Y}
{Y} = [L]-1 [B]
Sehingga : {X} = [U]-1 [L]-1 [B]
SOLUSI PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Persamaan Linier Simultan dengan n buah bilangan tak diketahui
dapat dituliskan sbb :
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
..........
..............
..............
..............
..........
..........
2211
22222121
11212111
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
....
.......
.......
....
....
21
22221
12111
n
n
x
x
x
x
1
2
1
.
n
n
b
b
b
b
1
2
1
.=
Secara matriks ditulis, [A] {X} = [B]
4x + 3y + z = 13
x + 2y + 3z = 14
3x + 2y + 5z = 22
523
321
134
z
y
x
22
14
13
=
[ A ] { X } = [ B ]
{ X } = [A]-1[B]
z
y
x
=
1
523
321
134
22
14
13
= …..??????
EXAMPLE :
PARTISI MATRIKS
Suatu matriks bisa dipartisikan menjadi SUB-MATRIKS dengan cara
hanya mengikutkan beberapa baris atau kolom dari matriks aslinya.
363534333231
262524232221
161514131211
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
A
23
13
22
12
21
11
A
A
A
A
A
A=
dimana ;
2625
1615
13aa
aaA
21
11
11a
aA
242322
141312
12aaa
aaaA
3121 aA 34333222 aaaA 363523 aaA
Aturan-aturan yang dipakai untuk mengoperasikan matriks partisi
persis sama dengan mengoperasikan matriks biasa
BA 222221
1211
xAA
AA
122
1
xB
B
222121
212111
BABA
BABA
222221
1211
xAA
AA
334310
264
135
x
A
2323
42
51
X
B
122
1
xB
B
4416
3711
42
51
64
35111 BA
46
2323
2
1212 BA
812234222 BA
321642
51310121
BA
4028
4822
3914
[B] ][A
EXAMPLE :
sehingga ;
BEBERAPA RUMUS KHUSUS
[ A ] = Matriks bujur sangkar dan simetris ; orde n x n : aij
[ B ] = Matriks empat persegi panjang ; orde n x m : bij
{ X } = Vektor kolom ; orde n x 1 : xi
{ Y } = Vektor kolom ; orde m x 1 ; yi
n
i
n
j
jiijnxn
T
xn yxaAX1 1
21
121 ][}{Bila ;
Maka ;1}{][
....
....}{
2
1
nxnxn
x
x
x
XAX
n
}]{[}{}{
21 XAXXA
X
T
;
atau sebaliknya ;
653
542
321
A
3
2
1
x
x
x
X
3
2
1
32121
21
653
542
321
}]{[}{
x
x
x
xxxXAX T
= ½ ( x1 x2 x3 )
321
321
321
653
542
32
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx 323121
2
3
2
2
2
121 106464
EXAMPLE :
Ф
Ф
321221
1
3264221 xxxxxxx
321312
2
542104821 xxxxxxx
321213
3
6531061221 xxxxxxx
}{}{
653
542
321
3
2
1
3
2
1
XAX
x
x
x
x
x
x
YBXmxnxm
T
xn 11][}{
1mxnxm YB
X
Bila ;
Maka ;
1211109
8765
4321
43xB
3
2
1
x
x
x
4
3
2
1
y
y
y
y
{ X }3x1 = { Y }4x1 =
4
3
2
1
321
1211109
8765
4321
y
y
y
y
xxxYBXT
EXAMPLE :