aljabar linear dan matriks modul 10 kalkulus vektor · pdf filekalkulus vektor melingkupi...

9
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 12 30 ()

Upload: truongnga

Post on 13-Feb-2018

233 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

MODUL 10 Kalkulus Vektor

Zuhair

Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana

Jakarta 2007 年 12 月 30 日(日)

Page 2: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 2

Kalkulus Vektor

Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering disebut analisis vektor dalam

matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor

dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan

fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar,

dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar

adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada

bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh

dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa

berbeda-beda.

Ruang Lingkup

Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor,

dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.

Nabla

Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus

vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai .

Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan

operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian.

Gradien

Gradien (gradient) dalam matematika adalah salah satu operator dalam

kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam

bidang skalar. Dalam matematika, gradien didefinisikan sebagai:

Sebagai contoh dalam sistem kartesian tiga dimensi, gradien dari suatu vektor

adalah:

Page 3: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 3

CONTOH 1.

Carilah diferensial berarah (directional derivative) ∂ƒ / ∂s dari ƒ(x, y, z) = 1,5 x2 + 3 y2

+ 2 z2 di titik P(3, 1, 2) dalam arah vektor a = 3 i – 4 k.

Penyelesaian:

Kita pereoleh ƒ = 3x i + 6y j + 4z k, dan dititik P(3, 1, 2) = 9 i + 6 j + 8 k.

Karena | a | = 5, vektor satuan dalam arah a adalah,

b = a / | a | = (3 i – 4 k) / 5 = 0,6 i – 0,8 k.

Karena itu, ∂ƒ / ∂s = b • ƒ = (0,6 i – 0,8 k) • (9 i + 6 j + 8 k) = 5,4 – 6,4 = –1.

Tanda minus menunjukkan ƒ menurun dalam arah yang dipertimbangkan.

CONTOH 2.

Carilah ƒ dari kurva level ƒ = konstan dari lingkaran konsentris ƒ(x, y) = ℓn(x2 + y2)

di sekitar (0, 0).

Penyelesaian:

Kita pereoleh ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j = 2x / (x2 + y2) i + 2y / (x2 + y2) j, yang

mempunyai arah normal pada lingkaran, dan arahnya berkorespondensi pada

kenaikan maksimum ƒ. Sebagai contoh, di titik P(2, 1), kita mempunyai ƒ = 0,8 i +

0,4 j.

Gambar 1.

Page 4: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 4

CONTOH 3.

Carilah vektor normal satuan n dari konus revolusi z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1, 0, 2).

Penyelesaian:

Kita buat konus sebagai permukaan level ƒ = 0 dari ƒ(x, y, z) = 4(x2 + y2) –

z2, maka ƒ = 8x i + 8y j – 2z k dan di titik P(1, 0, 2), ƒ = 8 i – 4 k. Karena itu, n =

ƒ / | ƒ | = 2/5 i√5 – 1/5 k√5 adalah vektor normal satuan dari konus di titik P, dan

– n adalah vektor normal satuan lainnya.

Gambar 2.

CONTOH 4.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = 2 xy.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2y, ∂ƒ / ∂y = 2x, ∂ƒ / ∂z

= 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2y i + 2x j.

CONTOH 5.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin (x2 + y2).

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 2x cos (x2 + y2), ∂ƒ /∂y

= 2y cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x cos

(x2 + y2) i + 2y cos (x2 + y2) j.

CONTOH 6.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = sin [(x2 + y2)]2.

Page 5: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 5

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = 4x sin (x2 + y2) cos (x2

+ y2), ∂ƒ /∂y = 4y sin (x2 + y2) cos (x2 + y2), ∂ƒ / ∂z = 0, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ

/ ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = 2x sin 2(x2 + y2) i + 2y sin 2(x2 + y2) j.

CONTOH 7.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = exy sin ez

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = y exy sin ez, ∂ƒ / ∂y =

x exy sin ez, ∂ƒ / ∂z = ez exy cos ez, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k =

y exy sin ez i + x exy sin ez j + exy+z cos ez k.

CONTOH 8.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x ey ℓn z.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = ey ℓn z, ∂ƒ / ∂y = x ey

ℓn z, ∂ƒ / ∂z = x ey / z, sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k = ey ℓn z i + x ey

ℓn z j + x ey / z k.

CONTOH 9.

Tentukanlah gradien ƒ, jika ƒ = x sin y arc sin z.

Penyelesaian:

Kita lakukan diferensiasi terhadap x, y dan z, ∂ƒ / ∂x = sin y arc sin z, ∂ƒ / ∂y = x cos y

arc sin z, ∂ƒ / ∂z = x sin y / √ (1 – z2), sehingga ƒ = ∂ƒ / ∂x i + ∂ƒ / ∂y j + ∂ƒ / ∂z k =

sin y arc sin z i + x cos y arc sin z j + x sin y / √ (1 – z2) k.

CONTOH 10.

Jika ƒ = xyz dan g = ex cos y, tentukanlah a. (ƒg), b. ƒ g, c. g ƒ.

Page 6: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 6

Penyelesaian:

a. (ƒg) = (xyz ex cos y) = ∂(xyz ex cos y) / ∂x i + ∂(xyz ex cos y) / ∂y j + ∂(xyz ex

cos y) / ∂z k = (yz ex cos y + xyz ex cos y) i + (xz ex cos y – xyz ex sin y) j

+ (xy ex cos y) k.

b. ƒ g = (xyz) (ex cos y) = (xyz) ∂(ex cos y) / ∂x i + (xyz) ∂(ex cos y) / ∂y j + (xyz)

∂(ex cos y) / ∂z k = (xyz) (ex cos y) i + (xyz) (–ex sin y) j + (xyz) (0) k = (xyz

ex cos y) i + (–xyz ex sin y) j.

c. g ƒ = (ex cos y) (xyz) = (ex cos y) ∂(xyz) / ∂x i + (ex cos y) ∂(xyz) / ∂y j + (ex cos

y) ∂(xyz) / ∂z k = (ex cos y) (yz) i + (ex cos y) (xz) j + (ex cos y) (xy) k = (yz

ex cos y) i + (xz ex cos y) j + (xy ex cos y) k.

Dari hasil a, b dan c disimpulkan bahwa, (ƒg) = ƒ g + g ƒ. Beberapa formula

gradien ditabulasikan disini,

1 (ƒg) = ƒ g + g ƒ

2 (ƒn) = n ƒn-1 ƒ

3 (ƒ/g) = (1/g2) [g ƒ – ƒ g] 4 2(ƒg) = g 2ƒ + 2 ƒ • g + ƒ 2g

___________________________________________________________________

SOAL-SOAL

Tentukanlah gradien ƒ. Tuliskanlah beberapa kurva level ƒ = konstan dan

tunjukkanlah ƒ dengan panah pada beberapa titik dari kurva level.

1. ƒ = 2 x2y2

2. ƒ = x2 – y2

3. ƒ = x2+ y2

4. ƒ = x / y

Page 7: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 7

5. ƒ = 9 x2 + y2

6. ƒ = arc tan (y / x)

Tentukanlah dan luksikanlah vektor normal pada kurva bidang yang diberikan di titik

P(x, y).

7. y = x, P(5, 5)

8. y = 2 x2, P(2, 8)

9. x2 + y2 = 100, P(6, 8)

10. x2 – y2 = 1, P(2, √3)

Tentukanlah dan lukiskanlah vektor normal satuan pada permukaan yang diberikan di

titik P(x, y, z).

11. x + y + z = 1, P(4, 2, –5)

12. x2 + y2 + 2z2 = 26, P(2, 2, 3)

13. z = xy, P(2, –1, –2)

14. z = √ (x2 + y2), P(3, 4, 5)

Tentukanlah diferensial berarah dari fungsi ƒ di titik P dalam arah a dimana,

15. ƒ = x2 – y2, P(2, 3), a = i + j

16. ƒ = 2x + 3y, P(0, 2), a = 3 j

17. ƒ = x2 + y2, P(1, 2), a = i – j

18. ƒ = x + 2y – z, P(1, 4, 0), a = j – k

19. ƒ = x2 + y2 + z2, P(1, 2, 3), a = i + j

20. ƒ = x2 + y2 + z2, P(2, 2, 2), a = i + 2j – 3k

21. ƒ = ex cos y, P(2, π, 0), a = 2i + 3k

Page 8: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 8

22. ƒ = xyz, P(–1, 1, 3), a = i – 2j + 2k

23. ƒ = 1 / √ (x2 + y2 + z2), P(3, 0, 4), a = i + j + k

Tentukanlah gradien ƒ, jika:

24. ƒ = (x2 + y2 + z2)2

25. ƒ = sin xyz

26. ƒ = ex+2y-z

27. ƒ = cos (xy + yz + zx)

28. ƒ = ℓn(x2 + y2 + z2)

29. ƒ = sinh xyz

30. ƒ = arc sin xyz

31. ƒ = xyz arc tan (x + y + z)

32. ƒ = sin [arc sin (x2 + y2 + z2)]

33. ƒ = arc sin [sin (x2 + y2 + z2)]

34. ƒ = arc sech (x + 2y – z)

35. ƒ = x ey+z ℓn xyz

36. ƒ = x2 / (cos y + z)

37. ƒ = x2 / (cos y + xz)

38. ƒ = xyz / tan (x + 2y – z)

39. ƒ = (x + 2y – z) / ℓn (sin z)

40. ƒ = x2y3 sec (xy + 2z)

41. ƒ = xyz / sinh (xy + yz + zx)

42. ƒ = 1 / arc sin [x / (y + z)]

Page 9: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor · PDF fileKalkulus vektor melingkupi operasi vektor , diferensial vektor, integral vektor, ... Tentukanlah dan lukiskanlah vektor

created by zuhair 9

43. ƒ = (x + 2y) / arc tan (x + 2y – z)

44. ƒ = 1 / arc sinh (x2y3 + y3z4 + z4x5)

45. ƒ = x + 2y – z

46. ƒ = x eyz / ℓn (x + 2y – z)

47. ƒ = xyz sin xyz

48. ƒ = x2y3z sin2 (x + 2y – 3z)

49. ƒ = exyz sin x cos y tan z

50. ƒ = tan2 (x2 + 2y2 – z2)

51. ƒ = ℓn [sec (x2y – z2x)]

52. ƒ = x esinh(y+z)

53. ƒ = x + 2y – z

54. ƒ = arc sin (π – xyz)

55. ƒ = arc tan (x2y – y2z + z2x)

56. ƒ = arc sin (xy sin z)

57. ƒ = sin (zx exy+yz)

58. ƒ = sin [ℓn (x2y – y2z + z2x)]

59. ƒ = sin [z2x ℓn (x2y – y2z)]

60. ƒ = sin [z ℓn (x ℓn y)]

___________________________________________________________________