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ALGORITMOS PARA PLANEJAMENTO INTEGRADO DE PRODUÇÃO E TRANSPORTE DE MINÉRIOS

Franklin Assunção Almeida Bruno Santos Pimentel {franklin, brunosp}@dcc.ufmg.br

Departamento de Ciência da Computação – Universidade Federal de Minas Gerais Avenida Antônio Carlos, 6627 – 31.270-010 – Belo Horizonte – Minas Gerais

RESUMO

Aplicações recentes de pesquisa operacional para a indústria da mineração são tradicionalmente concentradas no planejamento e desenvolvimento de mina, alocação e despacho de caminhões e escavadeiras, programação de operações ferroviárias e programação de fila de navios em portos. Tais problemas são tratados de forma independente, desconsiderando a influência das operações à jusante e à montante na cadeia. Este artigo tem como objetivo explorar a integração funcional entre esses diversos problemas, de acordo com uma abordagem de cadeia de suprimentos na indústria de mineração. Um modelo matemático de programação inteira-mista é proposto com o objetivo de representar adequadamente as características de um problema de planejamento e transporte de minérios. Para lidar com a alta complexidade computacional do problema, propõem-se algoritmos baseados na heurística relax-and-fix. Resultados preliminares da abordagem são apresentados.

PALAVRAS CHAVE. Mineração. Cadeia de suprimentos. Logística. Aplicações a Logística e Transportes.

ABSTRACT

Recent operations research approaches for the mining industry are highly concentrated on mine development, hauling equipment dispatch, railway scheduling and ship queue scheduling problems. Those are often addressed individually, in disregard of upstream and downstream operations. The main objective of this paper is to explore functional integration between mining problems, according to a global mining supply chain approach. We propose an integer programming mathematical model that addresses the integrated ore production and transportation problem. In order to deal with the high computational complexities involved, we have developed specific solution algorithms based on the relax-and-fix heuristic. Preliminary results are provided.

KEYWORDS. Mining. Supply chain. Logistics. Applications to Logistics and Transportation.

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1027

1. IntroducaoGrandes operacoes de minerio de ferro dispoem de diversas minas com diferentes capaci-

dades, alem de usinas de beneficiamento e pelotizacao, areas de estocagem, ferrovias,

terminais portuarios e entrepostos. Dependendo das caracterısticas do minerio ofertado

em cada mina e da demanda estabelecida por clientes do mercado interno ou externo, as

decisoes de extracao, beneficiamento, blendagem e manuseio podem utilizar diferentes

instalacoes em diferentes estagios da cadeia produtiva. Por exemplo, pode haver usinas de

pelotizacao localizadas tanto nos complexos mineradores quanto nos terminais portuarios

(mas nao necessariamente em cada mina ou cada terminal portuario); a blendagem pode

ocorrer nas diversas areas de estocagem ao longo de toda cadeia; e o minerio em proces-

samento pode seguir para diferentes destinos dependendo da integracao entre as minas e a

malha ferroviaria. Cada uma dessas decisoes deve considerar os custos e as capacidades

de producao, transporte e estocagem de todo o sistema.

A literatura sobre o assunto mostra-se altamente concentrada na solucao de problemas

de planejamento de lavra e alocacao e despacho de caminhoes de mina; e com menor enfase

em operacoes ferroviarias e portuarias. Ademais, poucos trabalhos analisam cenarios

em que decisoes de producao e transporte, desde a lavra ate o cliente final, sao trata-

dos de forma integrada. Abordagens baseadas no conceito de cadeia de suprimentos

[Pimentel et al. 2009], onde o fluxo de materias-primas e produtos acabados, bem como

as operacoes de transformacao, armazenagem e distribuicao sao tratados sistematicamente

sao mais indicadas para a analise do problema aqui colocado. Todos esses problemas apre-

sentam alta complexidade computacional e a solucao por pacotes comerciais de otimizacao

e factıvel apenas para instancias de tamanho reduzido, nao necessariamente representativas

de casos reais.

O objetivo deste trabalho e reportar o desenvolvimento de um modelo matematico e

metodo de solucao para o problema do planejamento integrado de producao e transporte

de minerios. No nosso contexto, o termo integracao refere-se a integracao na dimensao fun-

cional [Pochet and Wolsey 2006], onde a tomada de decisao em processos aparentemente

independentes em mina, ferrovia e porto sao avaliados simultaneamente no mesmo nıvel de

decisao, neste caso, o nıvel tatico. O modelo matematico e baseado no problema de fluxo

de custo mınimo, porem com restricoes de integralidade nas variaveis de producao e em

algumas variaveis de transporte. A alta complexidade computacional observada impede

sua resolucao por pacotes comerciais de otimizacao. Uma heurıstica baseada na estrategia

relax-and-fix [Dillenberger et al. 1994] e proposta e alguns experimentos ilustram sua apli-

cabilidade na solucao de problemas de tamanho pratico.

2. Operacoes na industria da mineracaoA extracao de minerio e realizada por uma frota de caminhoes fora-de-estrada e escava-

deiras, que removem o minerio bruto (Run Of Mine - ROM) das frentes de lavra e o trans-

ferem para instalacoes de britagem e peneiramento, onde ocorre a primeira reducao de

tamanho de acordo com as especificacoes de alimentacao das usinas de beneficiamento.

Problemas tıpicos incluem o planejamento de lavra [Sattarvand and Niemann-Delius 2008]

e alocacao e despacho de caminhoes de mina [Ta et al. 2005]. Depois de britado e penei-

rado, o ROM e estocado em pilhas pulmao e em seguida transferido para patios onde ocorre

a homogeneizacao de suas caracterısticas fısicas e quımicas para alimentar as usinas de

beneficiamento.

Nas usinas, processos de classificacao e concentracao provem ganho adicional de quali-

dade ao minerio, gerando produtos granulados, finos e superfinos. Os produtos granulados


sao utilizados para alimentacao direta de altos-fornos, enquanto que os finos e superfi-

nos tem ainda que passar por processos de sinterizacao e pelotizacao, respectivamente,

para serem alimentados em altos-fornos. Os produtos gerados nas usinas de benefici-

amento e pelotizacao sao transferidos para patios onde sao empilhados e retomados de

acordo com a programacao comercial e a disponibilidade dos canais logısticos (rodovias,

ferrovias, hidrovias, etc.) para transporte ate os portos ou ate os clientes do mercado

interno. Nesses patios podem ocorrer os primeiros ajustes de qualidade por blendagem

[Moraes et al. 2006] na composicao de lotes de produtos de minerio.

O transporte ate os portos, ou ate grandes clientes do mercado interno, e comumente

realizado pelo modal ferroviario. Para o mercado interno, a entrega de produtos de minerio

de ferro pode ser feita diretamente, quando o cliente possui um ramal ferroviario dedicado,

ou indiretamente, quando a ferrovia transfere os produtos para entrepostos a partir de onde

os minerios seguem pela via rodoviaria para o cliente. O planejamento adequado do trans-

porte ferroviario, principalmente em vias com recursos limitados, e de extrema importancia

[Ahuja et al. 2002].

Os portos podem receber minerios de diversos complexos mineradores. De acordo

com a programacao de navios [Lee and Chen 2009], a disponibilidade de produtos em es-

toque e suas caracterısticas, os minerios recebidos podem ser encaminhados para patios de

estocagem, para usinas de pelotizacao, ou mesmo para embarque direto nos navios. E co-

mum a blendagem de produtos compatıveis para possibilitar a obtencao de caracterısticas

desejaveis no portfolio de vendas da empresa mineradora. Apesar de algumas empresas

possuırem navios para o transporte dos produtos de minerio de ferro, a maioria realiza a

venda para os clientes do mercado externo por meio de armadores independentes. Grandes

operacoes podem incluir ainda entrepostos internacionais que funcionariam como centros

de distribuicao para atender demandas especıficas.

3. O Problema de Planejamento Integrado de Producao e TransporteA cadeia de suprimentos da mineracao pode ser definida como uma rede integrada de

instalacoes destinadas ao processamento, por meio de diversas tecnicas de producao, e a

distribuicao, utilizando uma variedade de modais de transporte, de produtos de minerio (de

ferro) desde as minas ate os clientes siderurgicos, os quais podem estar a grandes distancias

geograficas [Pimentel et al. 2009].

Figura 1. A cadeia global de suprimentos da mineracao.

Nesse contexto, estamos interessados no problema de planejamento integrado de pro-

ducao e transporte de minerios, com foco na tomada de decisoes no nıvel tatico. Proble-

mas semelhantes, porem com escopo mais restrito, foram abordados anteriormente na

literatura. Por exemplo, [Mateus et al. 1994] apresentam um modelo de programacao li-

near para o planejamento multi-perıodo de transporte de minerio de ferro de uma min-


eradora brasileira, considerando a oferta de produtos finais nos patios de estocagem, a

movimentacao entre patios, a transferencia pelas ferrovias e a blendagem que ocorre nos

portos. [Pendharkar and Rodger 2000] ampliam o escopo propondo um modelo nao-linear

multi-perıodo para determinacao do programa de producao, transporte e blendagem de

carvao, considerando minas, silos de blendagem e mercados consumidores. A solucao

e aproximada por um algoritmo de busca genetica. [Everett 2001] aborda um cenario

australiano composto de tres minas que produzem minerio de ferro com diferentes quali-

dades e os transferem ate um porto atraves de uma ferrovia de via unica. O autor propoe

um modelo simples de programacao quadratica para minimizar desvios de qualidade na

blendagem de produtos finais que ocorre no porto. [Lu et al. 2005] concentram a analise na

cadeia de suprimentos dos importadores chineses, envolvendo portos, ferrovias e industrias

siderurgicas. Os autores propoem um modelo de programacao inteira mista para mini-

mizar o custo total de circulacao de minerio na cadeia. A solucao de instancias de pequeno

tamanho (quatro perıodos de tempo, tres tipos de minerio, tres fornecedores e tres consu-

midores) e possıvel com pacotes comerciais de otimizacao, mas nao se discutem metodos

de solucao para instancias maiores.

O problema de planejamento integrado de producao e transporte de minerios e mode-

lado como um problema de fluxo multi-produto, multi-perıodo, de custo mınimo, onde os

nos de oferta representam as frentes de lavra em cada mina do sistema e os nos de demanda

representam os clientes siderurgicos. As decisoes, localizadas no nıvel tatico, incluem os

nıveis de producao de minas e usinas de beneficiamento ou pelotizacao, bem como os vo-

lumes de ROM, produtos intermediarios e finais armazenados ou transportados para outras

instalacoes. Alguns aspectos do modelo sao derivados de caracterısticas observadas em

operacoes reais. Por exemplo, os fluxos de transporte e movimentacao de produtos sao,

com excecao de correias transportadoras e dutos, baseados quantidades pre-definidas. Isso

significa que, quando ocorre o transporte por caminhoes, trens ou navios, as quantidades

transportadas devem obedecer a carga maxima de cada modal. Algo semelhante se observa

com os contratos de fornecimento de minerio por empresas terceiras, quando lotes basicos

de compra devem ser utilizados. Ja no caso da producao, a pratica orienta as usinas a ope-

rarem sempre nas proximidades de suas capacidades nominais, onde se observa a melhor

relacao entre custo e produtividade. Dessa forma, considera-se que a producao de usinas de

beneficiamento e pelotizacao e operada CLij em nıveis discretos, associados as suas capaci-

dades nominais. Esse numero pode ser, por exemplo, igual a 30, com a variavel de decisao

associada representando o numero de dias de um dado mes em que a producao ocorre. De

maneira analoga, para CLij = 3, as instalacoes produtivas trabalhariam sempre a 0%, 50%

ou 100% da capacidade nominal. As secoes seguintes descrevem a notacao utilizada e a

formulacao matematica do modelo.

3.1. NotacaoConjuntos :

B : Pontos de blendagem (B ⊂ X);D : Centros de demanda (clientes);Ex : Arcos de canais (contınuos) de movimentacao e transporte de produtos;Ey : Arcos de processos produtivos e de transformacao;Ew : Arcos de compra de minerios de terceiros;Ek

z : Arcos de transporte pelo modal discreto k ∈ Q, Ez =⋃

k∈Q Ekz ;

O : Centros de oferta (frentes de lavra);P : Produtos de minerio, sendo P = (PF ∪ PO ∪ PI) incluindo produtos Finais,

Originais e Intermediarios, respectivamente;


Q : Modais de transporte discreto utilizados em canais de distribuicao (caminhoes

fora-de-estrada, caminhoes rodoviarios, trem, navio, etc.);

R : Centros de compra de minerio de terceiros;

S : Patios de estocagem de produtos originais, intermediarios ou finais;

T : Perıodos de tempo no horizonte de planejamento;

V : Todas as instalacoes do sistema, sendo V = {B ∪ O ∪ R ∪ S ∪ X ∪ Y } ;X : Pontos de transbordo (simples transferencia ou carregamento e embarque);

Y : Instalacoes produtivas onde ocorrem processos de transformacao;

Parametros :

βbp : Parcela do produto p ∈ PF na composicao do produto blendado b ∈ PF , tal que

βbp ∈ (0, 1),∑

p∈PFβbp = 1,∀b ∈ PF ;

cpt∗

: Custos unitarios de transporte, estocagem, producao e compra de terceiros do

produto p ∈ P em t ∈ T ;

dpti : Demanda pelo produto p ∈ PF no centro de consumo i ∈ D em t ∈ T ;

δpti : Penalidade aplicada sobre a demanda nao atendida do produto p ∈ PF para o

cliente i ∈ D em t ∈ T ;

ǫpti : Perda inerente a movimentacao, estocagem e transbordo do produto p ∈ P na

instalacao i ∈ (S ∪ X) em t ∈ T , sendo ǫpti ∈ (0, 1];

ηptij : Eficiencia do processo de transformacao (i, j) ∈ Ey para o produto p ∈ P em

t ∈ T , sendo ηptij ∈ (0, 1];

l∗∗

: Limite inferior dos fluxos de transporte, compras e nıveis de estoque;

u∗

∗: Limite superior dos fluxos de transporte, compras e nıveis de estoque;

λptij : Limite inferior do processo (i, j) ∈ Ey que gera o produto p ∈ P em t ∈ T ;

υptij : Limite superior do processo (i, j) ∈ Ey que gera o produto p ∈ P em t ∈ T ;

opti : Limite de oferta do produto p ∈ PO na frente de lavra i ∈ O em t ∈ T ;

rpti : Limite de oferta do produto p ∈ (PI ∪ PF ) pelo fornecedor i ∈ R em t ∈ T ;

CPij : Capacidade do processo produtivo (i, j) ∈ Ey tal que CP

ij = υptij /C

Lij;

CLij : Quantidade de nıveis viaveis discretos de producao (incluindo o nıvel nulo) para

o processo produtivo (i, j) ∈ Ey, sendo CLij ∈ N

∗;

CqQ : Capacidade media de um lote de produtos transferidos pelo modal q ∈ Q;

CipR : Lote basico de compra do produto p ∈ (PI ∪ PF ) com o fornecedor i ∈ R;

Variaveis de decisao :

bpti : Demanda do produto p ∈ (PI ∪ PF ) nao atendida em i ∈ D no perıodo t ∈ T ;

spti : Nıvel de estoque do produto p ∈ (PI ∪ PF ) no patio i ∈ S em t ∈ T ;

xptij : Fluxo do produto p ∈ P atraves do canal (i, j) ∈ Ex em t ∈ T ;

yptij : Nıvel de producao determinado para o processo (i, j) ∈ Ey na geracao do pro-

duto p ∈ P at t ∈ T ;

wptij : Numero de lotes do produto p ∈ (PI ∪ PF ) comprados do fornecedor i ∈ R,

atraves do canal (i, j) ∈ Ew em t ∈ T ;

zptijq : Numero de unidades de transporte empregadas no fluxo do produto p ∈ P atraves

do canal (i, j) ∈ Ez, usando o modal q ∈ Q at t ∈ T .

E, para simplificar a representacao do modelo, sejam:Eχ : Eχ = {Ex ∪ Ez};

γptij : γpt

ij = Cpijy

ptij ;

ζptijq : ζpt

ijq = CqQzpt

ijq;

χptijq : χpt

ijq = xptij +

∑

q∈Q ζptijq;

ωptij : ωpt

ij = CipR wpt

ij .


3.2. Formulacao matematica

A funcao objetivo busca minimizar os custos de producao, transporte, estocagem e compras

de terceiros ao longo de todo o horizonte de planejamento, bem como evitar penalidades

por nao atendimento a demanda do perıodo:

Minimizar

∑

t∈T

∑

p∈P

∑

(i,j)∈Eχ

cptijqχ

ptij +

∑

(i,j)∈Ey

cptijγ

ptij +

∑

(i,j)∈Ew

cptijω

ptij +

∑

i∈S

cpti spt

i +∑

i∈D

δpti bpt

i

(1)

Os limites de oferta de ROM nas frentes de lavra, bem como de fornecimento de minerios

de terceiros devem ser respeitados:

∑

j

ζptijq ≤ opt

i ∀i ∈ O, p ∈ PO, q = {caminhao}, t ∈ T (2)

∑

j

ωptij ≤ rpt

i ∀i ∈ R, p ∈ (PI ∪ PF ) , t ∈ T (3)

Em todos os pontos de transbordo, o material transferido pelos diferentes modais pode

sofrer perdas devido ao manuseio:

∑

j

χptijq − ǫpt

i

∑

k

χptkiq = 0 ∀i ∈ X, p ∈ P, t ∈ T (4)

Nos pontos de entrada e saıda das instalacoes produtivas, a transformacao ocorre de acordo

com a eficiencia do processo utilizado:

γptij − ηpt

ij

∑

k

χp′tkiq = 0 ∀(i, j) ∈ Ey, p

′ ∈ P, p ∈ (PI ∪ PF ) , t ∈ T (5)

∑

j

χptijq − γpt

ki = 0 ∀(k, i) ∈ Ey,∀p ∈ (PI ∪ PF ) ,∀t ∈ T (6)

Nos patios de estocagem, a diferenca entre os fluxos de entrada e saıda de produtos deter-

mina o estoque armazenado ao final do perıodo:

∑

j

χptijq − ǫpt

i

∑

k

χptkiq − ǫpt

i

∑

k

ωptki = spt−1

i − spti ∀i ∈ S, p ∈ P, t ∈ T (7)

Nos pontos de blendagem, os insumos para a geracao de produtos blendados sao combina-

dos na proporcao definida a priori:

∑

b

βbp

∑

j

χbtijq −

∑

k

χptkiq = 0 ∀i ∈ B, p ∈ PF , t ∈ T (8)

A demanda dos clientes deve ser atendida na sua totalidade. A parcela nao atendida e

determinada para o computo de penalidades contratuais:

∑

k

χptkiq + bpt

i = dpti ∀i ∈ D, p ∈ P, t ∈ T (9)


Limites sobre os fluxos nos diversos arcos e sobre as capacidades de estocagem devem ser

impostos:

lptij ≤ xpt

ij ≤ uptij ∀(i, j) ∈ Ex, p ∈ P, t ∈ T (10)

ltij ≤∑

p∈P

xptij ≤ ut

ij ∀(i, j) ∈ Ex, t ∈ T (11)

lptijq ≤ ζpt

ijq ≤ uptijq ∀(i, j) ∈ Eq

z , q ∈ Q, p ∈ P, t ∈ T (12)

lptij ≤ ωpt

ij ≤ uptij ∀(i, j) ∈ Ew,∀i ∈ R, ∀p ∈ (PI ∪ PF ) , t ∈ T (13)

ltijq ≤∑

p∈P

ζptijq ≤ ut

ijq ∀(i, j) ∈ Eqz , q ∈ Q, p ∈ P, t ∈ T (14)

ltij ≤∑

p∈P

∑

q∈Q

ζptijq ≤ ut

ij ∀(i, j) ∈ Ez, t ∈ T (15)

lpti ≤ spt

i ≤ upti ∀i ∈ S, p ∈ P, t ∈ T (16)

lti ≤∑

p∈P

spti ≤ ut

i ∀i ∈ S, t ∈ T (17)

λptij ≤ γpt

ij ≤ υptij ∀(i, j) ∈ Ey, p ∈ P, t ∈ T (18)

Por fim, definem-se as restricoes de integralidade e nao-negatividade das variaveis de de-

cisao:

xptij , s

ptk , bpt

l ≥ 0 ∀(i, j) ∈ Ex, k ∈ S, l ∈ D, p ∈ P, t ∈ T (19)

χptij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ Eχ, p ∈ P, t ∈ T (20)

zptijk, y

ptlm, wpt

oq ∈ Z+ ∀(i, j) ∈ Ez, k ∈ Q, (l, m) ∈ Ey, (o, q) ∈ Ew, p ∈ P, t ∈ T (21)

γptij ∈ Z+ ∀(i, j) ∈ Ey, p ∈ P, t ∈ T (22)

ζptijk ∈ Z+ ∀(i, j) ∈ Ez, p ∈ P, t ∈ T (23)

4. Metodos de resolucao do problemaO modelo matematico mantem a estrutura do problema de fluxo de custo mınimo, mas

apresenta restricoes de integralidade sobre algumas variaveis, configurando um problema

de programacao inteira mista. Sob determinadas condicoes, no entanto, esse problema

pode ser resolvido com relativa facilidade. Isso ocorre quando se utiliza um maior numero

de nıveis de producao (CLij), quando demandas e limites de fluxo sao inteiros, e quando os

fatores de atenuacao (ǫpti , ηpt

ij ) sao iguais a 1. Nessa configuracao, boa parte dos parametros

do problema sao inteiros, e com isso, a relaxacao linear do problema tende a fornecer bons

limites inferiores [Wolsey 1998]. E importante observar, entretanto, que apesar de as duas

primeiras condicoes nao serem tao restritivas, a terceira ignora aspectos praticos bastante

significativos nas operacoes do sistema. Fora dessas condicoes, a solucao do modelo se

torna bem mais complexa.

O metodo branch-and-cut [Wolsey 1998] e base para diversos pacotes comerciais de

otimizacao de problemas de programacao inteira e inteira-mista. No entanto, a medida

em que o problema cresce, o branch-and-cut eventualmente torna-se ineficiente devido ao

aumento exponencial do numero de nos a serem explorados, o que dificulta inclusive a

obtencao de solucoes viaveis para o problema. Alternativas para lidar com essa dificuldade

incluem tecnicas baseadas em decomposicao, heurısticas para promover uma exploracao

mais seletiva do espaco de busca, ou mesmo metaheurısticas.


Neste trabalho aplicamos o metodo Relax-and-Fix [Dillenberger et al. 1994]. Basica-

mente, temos um conjunto Q de variaveis inteiras que e particionado em N subconjuntos

disjuntos Qi, i = 1, 2, ..., N . A cada iteracao, apenas um desses subconjuntos mantem sua

integralidade, enquanto os demais tem suas variaveis inteiras relaxadas. Feito isso, o mode-

lo resultante e resolvido e as variaveis inteiras do subconjunto i tem seus valores fixados

para as proximas iteracoes. A principal caracterıstica do Relax-and-Fix e assim a tentativa

de resolver o problema por meio da solucao de subproblemas menores e, provavelmente,

mais faceis de se resolver do que o problema original. A eficiencia e a qualidade das

solucoes obtidas pelo metodo estao ligadas nao somente ao grau de dificuldade do prob-

lema, mas tambem a maneira pela qual o conjunto de variaveis inteiras e particionado e

fixado durante o processo.

Algoritmo R&F

Passo inicial: Particione o conjunto de variaveis inteiras em N

subconjuntos disjuntos, Qi, i = 1, 2, ..., N e defina um criterio de

fixacao das variaveis. Relaxe as variaveis de todos os subconjuntos.

enquanto i < N faca

Primeiro passo: retorne as variaveis do subconjunto i ao seu estado

original e resolva o modelo resultante.

Segunto passo: se a solucao obtida no primeiro passo for inviavel

PARE. Caso contrario, fixe os valores obtidos para as variaveis do

subconjunto Qi, incremente i e retorne ao primeiro passo.

fim-enquanto

E importante observar que a heurıstica nao apresenta garantia de otimalidade para o pro-

blema original, nem ha tampouco garantia de viabilidade para cada subproblema. Para

tratarmos tal situacao, adotamos a extensao proposta por [Escudero and Salmeron 2005].

Nessa abordagem, se em uma das iteracoes uma solucao viavel nao for encontrada, o algo-

ritmo retira os valores fixados para a iteracao anterior, e a executa novamente, porem sobre

a uniao dos dois subconjuntos de variaveis inteiras envolvidos. No pior caso, retorna-se ao

conjunto nao particionado de variaveis e, por consequencia, resolve-se o problema original.

O gap de otimalidade da solucao encontrada pelo relax-and-fix pode ser calculado pela ex-

pressao 1 − LBUB

, onde LB corresponde ao limite inferior para a solucao, dado pela funcao

objetivo obtida na primeira iteracao do algoritmo, e UB corresponde ao limite superior,

dado pela funcao objetivo obtida com a execucao completa do algoritmo.

5. Testes computacionaisNesta secao apresentamos e analisamos os resultados computacionais das estrategias de

solucao aplicadas ao problema. A implementacao foi feita por meio da biblioteca Concert

para a linguagem Java, versao 1.6, fazendo-se uso do software de otimizacao CPLEX 10.2.

Os testes foram executados em maquinas Intel Core 2 Quad 2.5Ghz 64 bits, com 4.0 GB

de memoria RAM e sistema operacional Linux, distribuicao Ubuntu 8.10.

Avaliamos inicialmente duas estrategias de particao e fixacao do conjunto de variaveis,

ambas dividindo o conjunto de variaveis inteiras de acordo com o tamanho do horizonte

de planejamento |T |. A primeira estrategia, denominada PC, relaxa e fixa as variaveis do

primeiro ao ultimo perıodo de planejamento, enquanto que a segunda estrategia, denom-

inada PD, realiza a ordenacao inversa. Com essas estrategias, a cada iteracao viavel os

subconjuntos de variaveis inteiras tem sempre o mesmo tamanho.

Para analise do modelo, propusemos o sistema de producao e distribuicao de minerio

ilustrado na Figura 2. Tal estrutura favorece a geracao de instancias representativas para


Figura 2. Sistema produtivo considerado nos experimentos.

exercitar importantes aspectos tratados pelo modelo, como a geracao de estoques e a

blendagem de produtos provenientes de diferentes origens. Em relacao a complexidade,

a estrutura assemelha-se a sistemas produtivos de minerio de ferro encontrados no Brasil.

Com base nesse sistema de producao, cinco instancias foram elaboradas com o objetivo de

avaliar o efeito de diferentes configuracoes sobre as estrategias de solucao (Tabela 1). E

importante notar que sao considerados dois sistemas produtivos no contexto considerado:

o primeiro formado pelas minas M1 a M14, pela Ferrovia 1 e porto P2; e o segundo for-

mado pela mina M15, pela Ferrovia 2 e porto P2. O grau de interdependencia entre esses

sistemas e regulado pelos acoplamentos entre ferrovias, entrepostos e no atendimento aos

centros de demanda.

Nome Caracterısticas

I1 Toda a malha produtiva mostrada na figura.

I2 Apenas minas M1 a M14, ferrovia 1, entreposto nacional e porto P1.

I3 Apenas mina M15, Ferrovia 2, entreposto nacional e porto P2.

I4 Apenas minas M1 e M15, Ferrovias 1 e 2, entreposto nacional e portos P1 e P2.

I5 Sistemas produtivos independentes, com o entreposto nacional associado apenas a

Ferrovia 1 e centros de demanda atendidos apenas por um dos sistemas.

Tabela 1. Instancias geradas para os testes computacionais do problema.

Evidentemente, ha uma serie de aspectos que podem ser variados na analise do mode-

lo e dos metodos propostos para sua solucao. Neste trabalho, consideramos apenas tres:

numero de perıodos de tempo T , numero de nıveis de producao das usinas CLij e a inte-

gralidade dos fatores de perda ǫpti e eficiencia produtiva ηpt

ij , daqui em diante chamados

de fatores de atenuacao. O numero de perıodos de tempo tem um efeito direto sobre o

tamanho do problema e por isso merece bastante atencao. Por outro lado, tanto o numero

de nıveis de producao quanto a integralidade dos fatores de atenuacao afetam a dificuldade

de solucao do modelo sem necessariamente aumentar o tamanho do problema.

5.1. Primeiro experimento: parametros favoraveisConsideramos inicialmente o numero de nıveis de producao de todas as instalacoes pro-

dutivas definido como 30, os fatores de atenuacao definidos como 1, em um horizonte de

planejamento com 3, 6, 12 e 24 perıodos. Limitamos o tempo de processamento da solucao


em 3 horas, alocando 2GB de memoria RAM para a execucao do CPLEX, que utilizaria

o disco rıgido caso esse valor nao fosse suficiente. As heurısticas Relax-and-Fix tambem

foram limitadas em 3 horas de execucao no total, ou seja, cada iteracao seria limitada a

uma parcela do limite total de 3 horas. Os demais parametros do CPLEX foram mantidos

nos seus valores default. Na Tabela 2 comparamos os gaps obtidos, os tempos de solucao

e indicamos as melhores estrategias Relax-and-Fix para cada instancia.

Perıodos Gap CPLEX(%) t(s) CPLEX Gap R&F(%) t(s) R&F

Instancia I1

3 0,9 10.800,0 1,5 (PC) 11,5

6 - 10.800,0 11,3 (PC) 54,5

12 - 10.800,0 2,5 (PD) 10.800,0

24 - 10.800,0 0,4 (PD) 7.433,0

Instancia I2

3 0,5 22,5 0,5 (PC) 25,0

6 0,4 36,0 11,3 (PC) 45,9

12 2,3 10.800,0 2,5 (PC) 187,9

24 otimo 211,2 0,4 (PC) 351,8

Instancia I3

3 7,2 10.800,0 9,3 (PC) 0,5

6 11,3 10.800,0 11,3 (PC) 23,4

12 2,5 10.800,0 2,8 (PC) 342,9

24 otimo 216,3 0,6 (PC) 464,7

Instancia I4

3 1,9 10.800,0 2,3 (PC) 3.726,3

6 11,3 10.800,0 11,3 (PC) 1,2

12 - 10.800,0 2,5 (PC) 31,2

24 - 10.800,0 0,4 (PC) 32,5

Instancia I5

3 3,1 10.800,0 4,7 (PC) 0,2

6 otimo 90,9 96,3 (PC) 4,9

12 7,1 10.800,0 7,1 (PC) 41,5

24 6,8 10.800,0 24,3 (PC) 1.379,0

Tabela 2. Primeiro experimento: parametros de solucao favoraveis.

Podemos ver que nas instancias I2, I3, I4 e I5 o CPLEX foi capaz de resolver a maio-

ria das instancias com bons gaps, no entanto quase sempre precisou de todo o tempo de

execucao disponıvel. Nessas mesmas instancias, a estrategia de perıodos crescentes foi a

que se sobressaiu, alcancando resultados compatıveis aos obtidos pelo CPLEX com ganhos

de desempenho em diversos casos. Um resultado na instancia I2, chama a atencao. Para o

horizonte de planejamento de 6 perıodos, um gap de cerca de 96% foi encontrado, embora

o valor da funcao objetivo final seja semelhante ao encontrado pelo CPLEX. Imagina-se

que a retirada da relaxacao no ultimo passo gerou tal anomalia, ja que algum fluxo repre-

sentado por variavel inteira teve seu fluxo superado ou para atender a demanda nao estaria

de acordo com as capacidades estipuladas.

No caso da instancia I1, a mais complexa em termos de malha produtiva, percebe-se

que as estrategias de solucao tiveram mais dificuldade. No caso do CPLEX, apenas para

3 perıodos de planejamento alcancou-se algum resultado. A heurıstica relax-and-fix, por

outro lado, conseguiu resultados satisfatorios. E interessante notar que com um aumento

do numero de perıodos de tempo a estrategia de perıodos decrescentes obteve melhores

resultados, indicando uma tendencia de melhor desempenho para instancias maiores e com


maior numero de variaveis. Uma vez que esta instancia apresenta maiores desafios de

solucao e ao mesmo tempo ilustra com maior fidelidade situacoes encontradas na pratica

da industria, focamos o restante da analise na instancia I1.

5.2. Parametros realistas

Para avaliar o efeito da variacao dos parametros do problema, mantivemos inicialmente os

fatores ǫpti e ηpt

ij iguais a 1, mas reduzimos o numero de nıveis de producao, com CLij = 3.

A tabela abaixo compara os resultados obtidos adotando, alem do limite de 3h horas, uma

tolerancia de gap de 5%. A reducao do parametro CLij aumenta a dificuldade do problema,

|T | = 3, CLij = 3, ǫ

pti = η

ptij = 1

7.374 variaveis no total, 4.038 variaveis inteiras e 8.216 restricoes

Estrategia Funcao Objetivo Gap(%) Tempo solucao (s)

Relaxacao linear 1.070.129 - 0,4

CPLEX — — 10.800,0

PC 1.306.645 12,0 10.800,0

PD — — 10.800,0

Tabela 3. Segndo experimento: analise da influencia do parametro CLij = 3.

uma vez que a relaxacao linear passa a nao prover um limite inferior tao bom quanto

anteriormente. Com isso, o CPLEX nao foi capaz de produzir uma solucao viavel dentro

do limite de tempo estabelecido. A estrategia PC conseguiu obter uma solucao com gap

razoavel, porem utilizando todo tempo de solucao. A estrategia PD nao encontrou solucao

viavel ao longo do processamento e voltou ao problema original.

Em seguida, retornamos o parametro CLij para 30, mas reduzimos os fatores de atenua-

cao, considerando a eficiencia dos processos de transformacao e as perdas decorrentes dos

transporte. Para essa configuracao, nenhum dos metodos produziu resultados satisfatorios.

|T | = 3, CLij = 30, ǫ

pti < 1; η

ptij < 1

7.374 variaveis no total, 4.038 variaveis inteiras e 8.216 restricoes

Estrategia Funcao Objetivo Gap(%) Tempo solucao (s)

Relaxacao linear 1.249.196 - 0,3

CPLEX — — 10.800,0

PC 1.601.268.501 99,9 10.800,0

PD — — 10.800,0

Tabela 4. Terceiro experimento: analise da influencia dos parametros ǫpt

i e ηpt

ij .

A estrategia PC nao obteve um gap razoavel no limite de tempo estabelecido. A estrategia

PD, teve desempenho identico ao do CPLEX, uma vez que foi necessario retroceder ao

problema original devido as inviabilidades ocorridas nas iteracoes.

6. Conclusoes

A aplicacao metodos exatos para solucao do problema de planejamento integrado de produ-

cao e transporte de minerios so gera resultados satisfatorios em condicoes muito favoraveis

e dificilmente encontradas na pratica. O metodo relax-and-fix mostrou-se uma boa alter-

nativa, embora possa apresentar dificuldades em instancias mais complexas e gerar gaps

altos em certas situacoes. Mesmo assim, mostra-se uma alternativa de solucao valida em

relacao ao Cplex. Acreditamos que outras estrategias de particao e relaxacao devem ser

exploradas para possibilitar um tratamento satisfatorio do problema.


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