Algebraische Betrachtungen zu den Aristotelischen Syllogismen

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  • Vol. III, ].952 421

    A lgebra ische Bet rachtungen zu den

    Ar i s to te l i schen Sy l log ismen

    Von H. GEalCKE ia Freiburg i. Br.*)

    Einleitnng

    Ein Syllogismus oder Schlu~ (ira Sinne der klassischen Logik) besteht darin, da~ aus zwei Urteilcn (Pr/imissen) mit gemeinsamem Mittelbegriff M ein neues Urteil abgeleitet wird, das M nicht mehr enthi~lt. Dabei werden nach der ,, Quantiti~t" die fo]genden Urteilsmodi unterschieden:

    alle S sind P, bezeichnet durch SaP einige S sind P . . . . . S iP kein S ist P . . . . . SeP cinige S sind nicht P . . . . . SoP ,

    und es cntsteht die Frage, ob aus der Quantitiit der Pri~missen auf die Quantit~t des Schlui~satzes geschlossen werden kann. In dieser Beschr~nkung auf die Quantit~t ist die ])'rage einer algebraischen Darstellung f~hig.

    Was man iiblicherweise von ,,Begriffen" voraussetzt, besagt, daI3 sie einen BoozE- schen Verband bilden. Urteile im Sinne der klassischen Logik sind zweistellige Re- lationen, und ein Syllogismus (der ersten Figur) ist das, was algebraisch als Rela- tionenprodukt bezeichnet wird. Die klassische Logik greift aus allen Rclationen nut die vier angegebenen (a, e, i, o )= r4 heraus, und die Aufstellung aller schltissigen Syllogismen der ersten Figur bedeutet die Aufstellung der Multiplikationstafel fiir r4- Da in den genannten Relationen S und P nicht gleichberechtigt auftreten, ist diese Tafel dutch entsprechende ffir drei weitere Schlu~figuren ' zu ergi~nzen. Das Ergebnis ist in der Scholastik in einem mit ,,Barbara, Celarent, Darii, Ferioque" be- ginnenden Merkvers zusammengestellt worden. Im Folgenden erweitere ich r 4 zu einer Menge yon 14 Relationen, die sich in naheliegender Weise mittels Durch- schnitt und Vereinigung aus der Ordnungsrelation der Begriffe ergeben, und versuche dadurch eine Multiplikationstafel zu gewinnea, welche die Schltisse aller vier Schlul~- figuren enth~lt und angibt, warum die iibrigcn Kombinationen yon Pri~missen keine

    *) Vorgetragen auf der Tagung der DMV in Mfinchen am 5. 9. 1952. -- Den Anstofl zu dieser Untersuchung gab eine Arbeit von B. Baron yon FRr:VTAC LORINC.HOFF, Zeitschrift fiir Philoso- phische Forsehung IV/2, 235--256 (1949). Herrn 13. B~RNAVS mSehte ieh Ifir wertvolle und anregende Ausspraehen fiber den vorliegenden Gegenstand meinen herzlichen Dank sagen.

    Archiv der Mathvmatik. III. 29

  • 422 H. GERICKE ARCIt. MATH.

    bestimmten Schltisse erlauben, und welehe vielleieht etwas ttbersichtlicher aus- sieht als der scholastisehe Merkvers. Die Aufstellung der Tafel wird dureh elementare algebraisehe l~berlegungen vereinfacht, und diese sind dabei fast zum Selbstzweck geworden, in dem Sinne, dag sieh dabei ein Beispiel - - vielleielat eines der ni~chst- liegenden - - einer Relationenalgebra ergibt, wobei die Beziehungen zwischen der 0rdnungsrelation und der I~{ultiplikation im Vordergrund stehen.

    1. Begriffe

    Wir benutzea folgende Zeichen:

    A : und, V : oder, ~ : impliziert, ~ : dann und nur dann, wenn.

    Wir legen eine Menge ~ zugrunde, deren Elemente wir ,,Begriffe" nennen und mit groBen lateinischen Buchstaben bezeichnen. Was wir tiber ihre Qttantiti~ts- verhi~ltnisse ben6tigen, stellen wir in folgenden Axiomen zusammen. Diese Axiome geben Eigensehaften wieder, die wir im gewShnlichen Sprachgebraueh yon Begriffen stets voraussetzen.

    Axiom I: In~ ist eine Relation A

  • Yol. HI, 1952 Algebraische Betraehtungen 423

    2. Ist S _~ P, so erfiillt S die Definitionsbedingungen ftir S (-~ P und P die fiir S k_) P. Die Umkehrung folgt unmittelbar aus den Definitionen. Also sind die fol- genden Aussagen iiquivalent:

    S~ P und S( -~P~-S und S%. )P -~P.

    Axiom III: Es gibt einen Begriff 0 (,,nichts") und einen Begriff 1 (,,alles" oder die Gesamtheit aller denkbaren Begriffe), sodaB

    0_A~_ l f i i r alle A aus !~.

    Axiom IV: (Verneinung). Zu jedem A gibt es genau ein A- (non-A), sodal3

    A V'~ A-~ 0 und A (~) A- --~ 1 ist.

    Folgerung: ~- A .

    Denn ~ is t definiert dutch A-('~ ~---- 0, A-~..) ~---- 1. Wegen Folg. 1 aus AxiomII erfiillt A diese beiden Bedingungen, und wegen der Eindeutigkeit ist A ---- ~ .

    Axiom u (das'distributive Gesetz):

    A ('~ (B %.) C) = (A C'~ B) ~) (A (-~ C),

    A (B C) = W B) (A W C).

    Dies Gesetz scheint mir nach dem gewShnlichen Sprachgebrauch ffir Begriffe nieht so unmittel- bar einzuleuchten wie die iibrigen. Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen, die wit bier aber gerade nicht annehmen wollen 1), l~13t es sich mittels der fibrigen Axiome beweisen. -- (Jberhaupt sind die hier benutzten Axiome nieht unabh~tngig voneinander.

    Auf Grund dieser Axiome ist ~ ein Booa~scher Verband. 17iir die in den Urteilen auftretenden Begriffe A ---- S, M, P wird stets 0 ~ A ~ 1 vorausgesetzt. Wir be- zeichnen die Menge !8 ohne 0,1 mit ~ ' und setzen !~' als nieht leer voraus.

    Gelegentlieh wird eine Zusatzforderung gebraucht: (Z) Zu jedem M von !~' gibt es ein L, sodal~ 0 ~ L ~ Mist . Aus Axiom IV folgt dann, datl es auch ein/V gibt, soda]~ M ~ N ~ 1 ist.

    Diese Zusatzforderung schlieBt Individualbegriffe aus; wir werden daher auf ihre Benutzung stets besonders aehten.

    2. Urteile

    Die Urteile, mit denen wires hier zu tun haben, sind zweistellige Relationen, die sieh in naheliegender Weise aus der Ordnungsrelation ~ ergeben. Wir kSnnen sie als Teilmengen der Menge !~ !~ der Elementenpaare (S, P) auffassen und be-

    1) z. B. u.a. der, dai~ sieh ]edes Element yon ~ als Vereinigung yon Atomen (Elementen A mit der EigenschaR: 0 ~ B ~ A ---> B = 0 oder B = A) darstellen l~ti]t. Vg]. G. BIaKNOFF, Lattice Theory, 2. kufl. New York 1948, S. 170/1.

    29"

  • 424 H. GERICKE ARCH. MATH.

    zeichnen sie mit kleinen lateinischen Buchstaben; wit schreiben (S, P) C x oder SxP . Als Teilmengen einer Menge bilden die Relationen einen BOOLEschen Verband ~ mit

    der Ordnungsrelation

    der GMchheit

    der Vereinigung

    dem Durehsehnitt

    dem Nullelement /:

    x

  • Vol. Ill, 1952 Algebraische Betrachtungen 425

    Die Ordnungsbeziehungen zwischen diesen Relationen ergcben das in Fig. 1 dargestclltc Ordnungs-Diagramm. Dabei sind noch die Rdationen

    a /~ a ~- g, ni~mlich SgP ~-. S = P und

    e A u~--k, n~tmlich SkP~S=P

    sowie ihre Negationen eingetragen. Die Figur ist so eingerichtet, dal~ man durch ])rehung um 180 ~ die Negationen crhi~lt.

    Die angeschriebenen Relationen bilden das System rla, das uns hauptsi~chlich be- schiiftigen wird. AuBerdem ist in der Figur zum Ausdruck gebracht, dal~ - - wenig- stens unter einer ziemlich schwachen Voraussetzung-- a V ~ < v A i und r e V u

  • 426 H. GERICKE ARCH. ]~IATH.

    Da die Figuren dureh Vertausehen der ReihenfoIge der Begriffe in den Prfimissen auseinander hervorgehen, lassen sich die Schliisse der 2., 3, und 4. Figur aus denen der ersten dutch Konversion ableiten. Dazu mul~ allerdings ein gegeniiber Konver- sion invariantes System von Relationen, also mindestens ~6, zugrundegelegt werden. Wir besehi~ftigen uns deshalb hauptsachlich mit den Schltissen der ersten Figur. Sic stehen in engem Zusammenhang ]nit der im Relationenkalkiil tiblichen Multi- plikation, die so definiert wird:

    Def in i t ion : SxyP bedeute: es gibt ein M, sodat~ SxM A MyP gilt. Die Pra- missen eines Syllogismus der 1. Figur besagen also: SxyP, und die Frage ist: Gibt es ein, oder wenn miiglich ein kleinstes z in r,, soda~ SxyP ~ SzP, d. h. xy ~_ z ? Das kleinstmSgliche ~z ist jedenfalls dann erreieht, wenn xy---- z ist. Wenn das zu- grundegelegte Relationensystem abgeschlossen bez. der Multiplikation ist, was z. B. bei ~s + r, / und auch bei r14 der Fall ist, ist dies z in r. vorhanden, und die Frage nach den Syllogismen der 1. Figur ist niehts anderes als die Aufgabe, die Multipli- kationstafel ftir dieses Relationensystem aufzustellen.

    Wit beginnen mit allgemeinen Aussagen i&er das Produk~. Es handelt sich zu- meist um unmittelbare Folgerungen aus den Definitionen; die Beweise sind daher nur gelegentlich angedeutet.

    1. (xy) z = x(yz), denn 8(xy) zP bedeutet: Es gibt ein M und sodann ein h ~ sodafl (8x2r /~ NyM) /~ MzP gilt. Die Verkniipfung yon Aussagen durch A ist abet assoziativ.

    2. gx= xg= x .

    3. tx=x l= l . 4. Ist . Sx'M gilt fir dieses M auch 8xrM A MyP.

    5. Aus 2. und 4. folgt:

    Ist g~_ x, so ist y=gy~_xyund y=yg~_yx .

    6. Da nach Definition x A y xz V yz. . ~ A A

    xy= yx . 8~P ~ PxyS, d. h. es gibt M sodafl PxM A My2. Fiir dieses M gilt S~M A M~P, also gilt x~

  • Vol. III, 1952 Algebraische Betrachtungen 427

    Die folgenden Beziehungen betreffen hauptsitchlich die Elemente von r14, wofiir wir schliel~lich dis Multiplikationstafel aufstellen woilen.

    8. Hat x die Eigenschaft, daB es zu jedem P mindestens ein M gibt, soda~ MxP gilt, so gilt rx := r. Sind S, P zwei beliebige Begriffe, so gilt mit dem vorausgesetzten M: ~rM /~ MxP.

    Die Voraussetzung schlieBt x ---- / aus. Alle iibrigen Relationen aus zla haben die genannte Eigenschaft, man braucht nur, falls g

  • 428 H. GER[CKE ARCII. MATH.

    10.3. ak ~ e .

    Hier sind einige Bemerkungen dariiber am Platze, welche logischen Mittel zur Ableitung dieser Gleichung benStigt werden. Sprachlich schliel~t man so: Alle S sind non-P, also kein S ist P. Darin ist aber der logische Vorgang eher verschleiert als aufgedeckt. Wenn man den Syllogismus Celarent, d. h. aus SaM und MeP folgt SeP, 2) als gtiltig voraussetzt, kann man so schliel~en: SakP bedeutet SaP; nach Definition yon P gilt PeP, aus beidem folgt also SeP, d. h. ak

  • VoI. III, 1952 Algebraische Betrachtungen 429

    10.4. Aus ak ~--- e folgt ek = a/de = ag = a, und d~ k= k, ~" = e, a= ke = kak.

    10.5. ka = u.

    Der Beweis vcrli~uft i~hnlich wie in (10.3). Aus S _~ P und dem zweiten Toil des Hilfssatzes folgt :[ = S ~ S _< S L.) P, d. h. SuP. Gilt umgekehrt SuP, so folgt aus SeS und SuP : SaP nach Gundela.

    Damit haben wir die Elemente der unteren Hauptzeile (a, a, e, u) in Fig. 1 er- halten. Die der obcren Hauptzeile (v, i, o, ~) ergebcn sich mittels

    10.6 . ~'~ = "-s ~ = k~.

    S-X-kP bedeutet: SxkP ist falsch, d. h. Sx-P ist falsch, d. h. S x P gilt.

    Damit erhalten wir die in der Figur angeschriebenen Werte, die hier noch einmal zusammengestellt seien:

    x xk kx kxk

    a

    i U

    ~3 V

    11. Nach Erledigung der Multiplikationen mit r , / , g, g, k, 9 bleibt noch die Mul- tiplikationstafel fiir ~a = (a, ~, e, i, o, ~, u, v) aufzustellen. Nach dem Ergebnis yon 10. brauchen wit dazu nur noch die Produktc

    aa, ai, ia, ii, alca, aki, ika, iki

    auszurechnen, dann ergeben sich die itbrigen durch passende Multiplikation mit k.

    11.1. aa = a.

    Nach Axiom Ib (Barbara) gilt aa ~_ a; da g _~ a folgt aus 5. a _ aa.

    11.2. ia i (Darii).

    S iM bedeutet S ('~ M > 0, MaP bedeutet M ~ P. Daraus folgt nach dem Hilfs- satz aus 10.3. S ( '~P~S( -~M>0, d.h. i a_

  • 430 H. GERICKI~ .a.RcrI. MATH.

    Umgekehrt: Gilt 5~P, d. h. S (~ P =~ P, so gibt es M, sodal3 SeM und MaP gilt, niimlieh M = S (~ P. Es ist noch festzustellen, dab M ~ 0 ist: Nach dem di- stributiven Gesetz ist

    P -~ P ("~ ( S (..) -S) -~ ( P (-'~ S) k.J ( P C'~ -S)

    und nach Voraussetzung ist P ~ P ~ S.

    Also gilt aka ~ ea ~ ki = ~.

    Wegen des Auftretens von ~ ist dies 2ficht unmittelbar ein im klassischen Sinne brauehbarer Syllogismus. Durch Konversion entsteht ~e = o, d.h. aus MaS und MeP folgt SoP. Das ist ein Schlu~ der drittcn Figur: Felapton. Es ist einer der an- gefochtenen Schliisse; denn zu seiner Herleitung wurdo die Voraussetzung S =~ 0 wesentlich benutzt.

    U.5. ai :

    Selbstverst~ndlieh ist ai ~ r. Ist ai = r? Wenn S, P zwei beliebige Begriffe sind, so erftillt M = S ~ P die Bedingungen SaM A MiP . Es fragt sich nur, ob M < 1 ist. Wenn S U P < 1, also SvP gilt, ist das der Fall, also gilt ]edenfalls v ~_ ai, und da aueh i ~_ ai:

    Hiernach gehSrt ai sicher nicht zu re, die Priimissen ai liefern also sicher keinen giiltigen SchluiL

    Wenn wir (Z) benutzen, gilt r = ai; denn dann gibt es aueh wenn S ~_) P = 1 ist, ein passendes M; man braucht nut S < M < 1 zu w~hlen, dann ist SaM er- ftillt und MiP l~Bt sich so beweisen: S < M besagt MoS ~ Mok-S ~ MiS ; anderer- seits besagt S ~_) P ----- 1: SuP ~-+ SkuP ~ -SAP. Aus Mi-S und SaP folgt MiP nach 11.2.

    Ohne diese Zusatzbedingung gibt es tatsiichlieh Begriffspaare S, P, ftir die Sa iP nieht gilt. Man wi~hle hierzu einen maximalen Begriff S, sodaB also aus S ~ M entweder M ~-- S oder M = 1 folgt. Wird der letzte Fall ausgesehlossen, so bleibt nur M = S. W~hlt man dann P = S, so gilt MiP nicht.

    Um die Benutzung von (Z) anzudeuten, schreiben wir ai = r'.

    11.6. Aus 11.5. und a

  • Vol. III, 1952 AlgelJraisehe Betrachtungen 431

    (Zur Er lauterung: ( i k )a= oa. Wenn S nicht

  • 432 H. GEnICKE AnCH. MATH.

    Aus dieser Tafel sind die klassisehen Syllogismen so herauszulesen: Man betraehtet nur die-

    jenigen Produkte xy ~ z, bei denen x, y, z zu r6 ~ (a, a , e, i, o,o) gehSren. Tritt kein iiberdaehter Buchstabe auf, so handelt es sieh um einen Schlul~ der 1. Figur, z. B. ae ~ e: Celarent. (Man er- inhere sich, da~ wir die Reihenfolge der Pr~missen gegeniiber dem Gebrauch der Logik umgekehrt haben, der Definition SxyP ~ SxM /~ MyP zuliebe). Treten iiberdachte Buehstaben auf, so liegt ein Schlulll einer anderen Figur vor, und zwar bei Konversion des ersten Faktors ein Sehlufi

    der 3. Figur, (z. B.aa ~ i: Aus MaS und MaP folgt SiP : Darapti. Das Merkwort erh~It man, in-

    dem man a dutch ap ersetzt, vgl. Fui3note "), bei Konversion des zweiten Faktors ein SehluB der 2. Figur, bei Konversion beider Faktoren einer der 4. Figur. Ein fiberdaehter Buchstabe im Ergeb- nis ist dutch Konversion zu beseitigen, wie z. B. in 11.4. geschehen.

    Dabei sind e, i sowohl als e, i wie auch als e, i zu lesen. So ergibt sich aus ia = i, Darii, aul3erdem

    1. iAa= i: aus MiS und MaP folgt SiP , 3. Fight, Datisi. (Um das Merkwort zu erhalten, braucht

    man nut ~ dutch is zu ersetzen.)

    2. ia = i : Konversion ergibt a i = i, 4. Figur, Dimatis. (Das Merkwort erh~It man, indem A

    man in ia ~ i das i durch is ersetzt, sodann die Konversion, d. h. Vertausehung yon S und P durch ein irgendwo eingesetztes m zum Ausdruek bringt.)

    3. i~a ~ i ' : Konversion ergibt a i = i, 3. Figur, Disamis. (Merkwort: Beide ~ dureh is ersetzen, m einfiigen.)

    Eingegangen am 10. 9. 1952

    Zusatz bei der Korrektur: ]m Anschlu]~ an meinen Vortrag auf der DMV-Tagung 1952 hat zwi- sehen Herrn E. WINKLEn-Miinchen und mir ein Briefwechsei stattgefunden. Als dessen Ergebnis gebe ich mit Einwilligung yon Herrn W~NKLEn einen Auszug seines letzten Schreibens vom 24.3.1953 bekannt, in welehem er seine Auffassung absehliel3end zusammenfaSt. Herr WINKLER sehreibt:

    . . . . . Sic haben eine Multiplikationstafel der ]ogischen Relationen als algebraische Fassung der Ari- stotelischen Syllogismen aufgestellt, wobei Sie in ~bereinstimmung mit Aristoteles und der fibliehen Sprach-Logik den Begriffen jenen Bereieh ~ zugrundelegten, der aus dam vollst~ndigen Bereieh durch Ausschlul~ der beiden Grenzen 0 lind 1 hervorgeht. Diese Multiplikationstafel lii$t sich in der naehfolgend dargestellten Weise einfaeher und durehsiehtiger gestalten, wenn man gemE$ der moder- nen, yore Log...