Vol. III, ].952 421

A l g e b r a i s c h e B e t r a c h t u n g e n z u d e n

A r i s t o t e l i s c h e n S y l l o g i s m e n

Von H. GEalCKE ia Freiburg i. Br.*)

Einleitnng

Ein Syllogismus oder Schlu~ (ira Sinne der klassischen Logik) besteht darin, da~ aus zwei Urteilcn (Pr/imissen) mit gemeinsamem Mittelbegriff M ein neues Urteil abgeleitet wird, das M nicht mehr enthi~lt. Dabei werden nach der ,, Quantiti~t" die fo]genden Urteilsmodi unterschieden:

alle S sind P, bezeichnet durch S a P

einige S sind P . . . . . S i P

kein S ist P . . . . . S e P

cinige S sind nicht P . . . . . S o P ,

und es cntsteht die Frage, ob aus der Quantitiit der Pri~missen auf die Quantit~t des Schlui~satzes geschlossen werden kann. In dieser Beschr~nkung auf die Quantit~t ist die ])'rage einer algebraischen Darstellung f~hig.

Was man iiblicherweise von ,,Begriffen" voraussetzt, besagt, daI3 sie einen BoozE- schen Verband bilden. Urteile im Sinne der klassischen Logik sind zweistellige Re- lationen, und ein Syllogismus (der ersten Figur) ist das, was algebraisch als Rela- tionenprodukt bezeichnet wird. Die klassische Logik greift aus allen Rclationen nut die vier angegebenen (a, e, i, o ) = r4 heraus, und die Aufstellung aller schltissigen Syllogismen der ersten Figur bedeutet die Aufstellung der Multiplikationstafel fiir r4- Da in den genannten Relationen S und P nicht gleichberechtigt auftreten, ist diese Tafel dutch entsprechende ffir drei weitere Schlu~figuren ' zu ergi~nzen. Das Ergebnis ist in der Scholastik in einem mit ,,Barbara, Celarent, Darii, Ferioque" be- ginnenden Merkvers zusammengestellt worden. Im Folgenden erweitere ich r 4 zu einer Menge yon 14 Relationen, die sich in naheliegender Weise mittels Durch- schnitt und Vereinigung aus der Ordnungsrelation der Begriffe ergeben, und versuche dadurch eine Multiplikationstafel zu gewinnea, welche die Schltisse aller vier Schlul~- figuren enth~lt und angibt, warum die iibrigcn Kombinationen yon Pri~missen keine

*) Vorgetragen auf der Tagung der DMV in Mfinchen am 5. 9. 1952. -- Den Anstofl zu dieser Untersuchung gab eine Arbeit von B. Baron yon FRr:VTAC LORINC.HOFF, Zeitschrift fiir Philoso- phische Forsehung IV/2, 235--256 (1949). Herrn 13. B~RNAVS mSehte ieh Ifir wertvolle und anregende Ausspraehen fiber den vorliegenden Gegenstand meinen herzlichen Dank sagen.

Archiv der Mathvmatik. III. 29

4 2 2 H . GERICKE ARCIt. MATH.

bestimmten Schltisse erlauben, und welehe vielleieht etwas ttbersichtlicher aus- sieht als der scholastisehe Merkvers. Die Aufstellung der Tafel wird dureh elementare algebraisehe l~berlegungen vereinfacht, und diese sind dabei fast zum Selbstzweck geworden, in dem Sinne, dag sieh dabei ein Beispiel - - vielleielat eines der ni~chst- liegenden - - einer Relationenalgebra ergibt, wobei die Beziehungen zwischen der 0rdnungsrelation und der I~{ultiplikation im Vordergrund stehen.

1. Begriffe

Wir benutzea folgende Zeichen:

A : und, V : oder, ~ : impliziert, ~ : dann und nur dann, wenn.

Wir legen eine Menge ~ zugrunde, deren Elemente wir ,,Begriffe" nennen und mit groBen lateinischen Buchstaben bezeichnen. Was wir tiber ihre Qttantiti~ts- verhi~ltnisse ben6tigen, stellen wir in folgenden Axiomen zusammen. Diese Axiome geben Eigensehaften wieder, die wir im gewShnlichen Sprachgebraueh yon Begriffen stets voraussetzen.

Axiom I: I n ~ ist eine Relation A <_ B definiert mit den Eigenschaften

a) A~_A,

b) A ~ B A B ~ C - - + A ~ C .

Anm. 1. A ~ B kann als ,,alle A sind B" gedeutet werden, aber z. B. auch so: Der Begriff A entlfiilt alle Merkmale, die zum Begriff B gehSren. Auf die Art der Deutung kommt es uns hier nieht an.

Anm. 2. b) ist schon ein Syllogismus, und zwar ,,Barbara".

Definition: A = B ~ - ~ A < _ B A B _ A .

A < = B ~ - ~ A < _ B A A = t = B .

Anm. 8. Den Naehweis, dab die so definierte Gleiehheig die Eigenschaften einer :~quivMenz- relation ha~, will ieh hier nicht durehfiihren.

Axiom II: Zu je zwei Begriffen A, B gibt es genau einen ,,kleinsten gemein- semen 0berbegriff" die Vereinigung g = A ~ B , und einen ,,grSgten gemeinsamen Unterbegriff, den Durschehnitt D = A (~ B , definiert dutch

J A<_ V A B<_ V A ( A ~ V ' A B <-- V'-->V <_ V')

D ~ A A D ~ B A ( D ' ~ A A D ' < - - B - ) . D ' < - D ) .

Folgerungen: 1. Da die Verkniipfung zweier Aussagen durch A kommutat iv ist, gilt: At ._ )B= Bk_)A , A ( ~ B = - B ( - 3 A .

Yol. HI, 1952 Algebraische Betraehtungen 423

2. Ist S _~ P, so erfiillt S die Definitionsbedingungen ftir S (-~ P und P die fiir S k_) P . Die Umkehrung folgt unmittelbar aus den Definitionen. Also sind die fol- genden Aussagen iiquivalent:

S ~ P und S ( - ~ P ~ - S und S % . ) P - ~ P .

Axiom III: Es gibt einen Begriff 0 (,,nichts") und einen Begriff 1 (,,alles" oder die Gesamtheit aller denkbaren Begriffe), sodaB

0 _ A ~ _ l f i i r alle A aus !~.

Axiom IV: (Verneinung). Zu jedem A gibt es genau ein A- (non-A), sodal3

A V'~ A - ~ 0 und A (~) A- --~ 1 ist.

Folgerung: ~ - A .

Denn ~ i s t definiert dutch A-('~ ~---- 0, A-~..) ~---- 1. Wegen Folg. 1 aus AxiomII erfiillt A diese beiden Bedingungen, und wegen der Eindeutigkeit ist A ---- ~ .

Axiom u (das'distributive Gesetz):

A ('~ (B %.) C) = (A C'~ B) ~ ) (A (-~ C),

A (B C) = W B) (A W C).

Dies Gesetz scheint mir nach dem gewShnlichen Sprachgebrauch ffir Begriffe nieht so unmittel- bar einzuleuchten wie die iibrigen. Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen, die wit bier aber gerade nicht annehmen wollen 1), l~13t es sich mittels der fibrigen Axiome beweisen. -- (Jberhaupt sind die hier benutzten Axiome nieht unabh~tngig voneinander.

Auf Grund dieser Axiome ist ~ ein Booa~scher Verband. 17iir die in den Urteilen auftretenden Begriffe A ---- S, M, P wird stets 0 ~ A ~ 1 vorausgesetzt. Wir be- zeichnen die Menge !8 ohne 0,1 mit ~ ' und setzen !~' als nieht leer voraus.

Gelegentlieh wird eine Zusatzforderung gebraucht: (Z) Zu jedem M von !~' gibt es ein L, sodal~ 0 ~ L ~ Mis t . Aus Axiom IV folgt dann, datl es auch ein/V gibt, soda]~ M ~ N ~ 1 ist.

Diese Zusatzforderung schlieBt Individualbegriffe aus; wir werden daher auf ihre Benutzung stets besonders aehten.

2. Urteile

Die Urteile, mit denen wires hier zu tun haben, sind zweistellige Relationen, die sieh in naheliegender Weise aus der Ordnungsrelation ~ ergeben. Wir kSnnen sie als Teilmengen der Menge !~ • !~ der Elementenpaare (S, P) auffassen und be-

1) z. B. u.a. der, dai~ sieh ]edes Element yon ~ als Vereinigung yon Atomen (Elementen A mit der EigenschaR: 0 ~ B ~ A ---> B = 0 oder B = A) darstellen l~ti]t. Vg]. G. BIaKNOFF, Lattice Theory, 2. kufl. New York 1948, S. 170/1.

29"

4 2 4 H. GERICKE ARCH. MATH.

zeichnen sie mit kleinen lateinischen Buchstaben; wit schreiben (S, P) C x oder S x P .

Als Teilmengen einer Menge bilden die Relationen einen BOOLEschen Verband ~ mit

der Ordnungsrelation

der GMchheit

der Vereinigung

dem Durehsehnitt

dem Nullelement /:

x <_ y ~-~ ( S x P --+ S y P )

x - ~ y ~ ( S x P ~ S y P )

S ( x V y) P ~ S x P oder S y P

S ( x A y) P ++ S x P und S y P

S I P gilt fiir kein Elementpaar (S, P)

dem Einselement r = ~ X ~ : S r P gilt fiir jedes Elementpaar (S, P)

dem Komp]ement u mit x V u r, x A ~---- t, soda]~ die Relation S-~P dann und nur dann gilt, wenn S x P nicht gilt.

Die klassische Legik greift aus r die Teilmenge c a = (a,e,i,o) heraus, wobei

S a P ~--~ S("~ P ~ - S , S e P .- . SV'h P ~ 0, S i P .--~ SC'~ P ~= O,

S o P ~-~ S (-h P :# S ist.

Diese Wahl ist in zweifacher Hinsicht unsymmetrisch: es ist S vor P und (-h vor bevorzugt. Um die erste Unsymmetrie zu beseitigen, fiihren wir die Konver-

slon ein:

D e f i n i t i o n : S ~ P ~ P x S .

Wegen Folg. i aus Axiom II i s ( / ' = i, ~ ---- e, w~hrend S~dP ~-~ S (% P = P und S 3 P +-~ S ~ P 4= P a l s neue Relationen hinzukommen. Wir bezeichnen diese Re- lationenmenge als ~a- Die Unsymmetrie zwisehen (% und k_) heseitigen wirdurch Ein- fiihrung der Relationen

S u P +--~ S q . ) P = 1, S v P ~--~ Sk. f l P =4=- 1.

Bei den so aufgestellten 8 Urteilsmodi rs haben S V-~ P und S kJ P unter Bertick- sichtigung von Folg. 2 aus Axiom II folgende Werte:

S ( - ~ P . . . . P

8 % 9 P . . . . 8

Dabei ist stets 0 < S < 1,

a e

P

0 < P < I

u

~ P

vorausgesetzt.

O

# S

~=P

i

4=O

V

:V1

Vol. Ill, 1952 Algebraische Betrachtungen 425

Die Ordnungsbeziehungen zwischen diesen Relationen ergcben das in Fig. 1 dargestclltc Ordnungs-Diagramm. Dabei sind noch die Rdationen

a /~ a ~- g, ni~mlich SgP ~-. S = P

und e A u~--k, n~tmlich S k P ~ S = P

sowie ihre Negationen eingetragen. Die Figur ist so eingerichtet, dal~ man durch ])rehung um 180 ~ die Negationen crhi~lt.

Die angeschriebenen Relationen bilden das System rla, das uns hauptsi~chlich be- schiiftigen wird. AuBerdem ist in der Figur zum Ausdruck gebracht, dal~ - - wenig- stens unter einer ziemlich schwachen Voraussetzung-- a V ~ < v A i und r e V u < o A ~" ist.

Da S =# 0 und P 4= 0 vorausgesetzt ist, gilt a ~_ i ui~d g ~ i, da S 4= 1 ~ und P ~ 1 vorausgesetzt ist, gilt a ~ v v

(k~k I"1 und ~ v , also a V g--< i A v; ent- sprechcnd gilt e V u <_ o A 7.

Um die Ungleichheit zu beweisen, ge- niigt es anzunehmen, dab cs drei Begriffe 0 < A < B < C < 1 gibt. Setzt man dann

S = B, P = C(-~A ( = C - - A ) ,

so gilt

Si P und SvP, aber weder SaP noch S ~ P

und

SoP und S~ P , aber weder SeP noch SuP.

Die eingeklammerten Beischriftcn an der Figur werden spgter er]gutert.

g ~ k

Fig. 1

3. Syllogismen und Relationenmultiplikation

Die klassische Logik unterscheidet die folgenden Schlul~figuren:

1 2 3 4

Aus SxM 8x.M MxS MxS

und M y P PyM M y P PyM

folgt Sz P Sz2P Szs P Sz4 P

4 2 6 H . G E R I C K E A R C H . ]~IATH.

Da die Figuren dureh Vertausehen der ReihenfoIge der Begriffe in den Prfimissen auseinander hervorgehen, lassen sich die Schliisse der 2., 3 , und 4. Figur aus denen der ersten dutch Konversion ableiten. Dazu mul~ allerdings ein gegeniiber Konver- sion invariantes System von Relationen, also mindestens ~6, zugrundegelegt werden. Wir besehi~ftigen uns deshalb hauptsachlich mit den Schltissen der ersten Figur. Sic stehen in engem Zusammenhang ]nit der im Relationenkalkiil tiblichen Multi- plikation, die so definiert wird:

D e f i n i t i o n : S x y P bedeute: es gibt ein M, sodat~ S x M A M y P gilt. Die Pra- missen eines Syllogismus der 1. Figur besagen also: SxyP , und die Frage ist: Gibt es ein, oder wenn miiglich ein kleinstes z i n r,, soda~ S x y P ~ SzP, d. h. xy ~_ z ? Das kleinstmSgliche ~z ist jedenfalls dann erreieht, wenn xy---- z ist. Wenn das zu- grundegelegte Relationensystem abgeschlossen bez. der Multiplikation ist, was z. B. bei ~s + r, / und auch bei r14 der Fall ist, ist dies z in r. vorhanden, und die Frage nach den Syllogismen der 1. Figur ist niehts anderes als die Aufgabe, die Multipli- kationstafel ftir dieses Relationensystem aufzustellen.

Wit beginnen mit allgemeinen Aussagen i&er das Produk~. Es handelt sich zu- meist um unmittelbare Folgerungen aus den Definitionen; die Beweise sind daher nur gelegentlich angedeutet.

1. (xy) z = x(yz), denn 8(xy) zP bedeutet: Es gibt ein M und sodann ein h ~ sodafl (8x2r /~ NyM) /~ MzP gilt. Die Verkniipfung yon Aussagen durch A ist abet assoziativ.

2. g x = x g = x .

3. t x = x l = l . 4. Ist . < x ' _ , so ist xy < x ' y ,

ist y < y' _ , so ist xy < xy ' .

8xyP bedeutet: Es gibt M, soda6 SxM A MyP; wegen 2xM----> Sx'M gilt fir dieses M auch 8xrM A MyP.

5. Aus 2. und 4. folgt:

Ist g~_ x, s o i s t y = g y ~ _ x y u n d y = y g ~ _ y x .

6. Da nach Definition x A y <-- x und ~ y ist, folgt aus 4. und der Definition

yon A: (x A Y) Z ~ X Z A yz ,

und entsprechend (x V, y ) z > xz V yz . . ~ A A

x y = y x .

8 ~ P ~ PxyS, d. h. es gibt M sodafl PxM A My2. Fiir dieses M gilt S~M A M~P, also gilt x~ <: ~ ~; umgekehrt beweis~ man ~hnlich ~ ~ ~_ x~'~.

Vol. III, 1952 Algebraische Betrachtungen 427

Die folgenden Beziehungen betreffen hauptsitchlich die Elemente von r14, wofiir wir schliel~lich dis Multiplikationstafel aufstellen woilen.

8. Ha t x die Eigenschaft, daB es zu jedem P mindestens ein M gibt, soda~ M x P

gilt, so gilt rx := r.

Sind S, P zwei beliebige Begriffe, so gilt mit dem vorausgesetzten M: ~rM /~ MxP.

Die Voraussetzung schlieBt x ---- / aus. Alle iibrigen Relationen aus zla haben die genannte Eigenschaft, man braucht nur, falls g <_ x ist, M ~ P, ~alls k _~ x ist, M ~ P zu wahlen.

Unter einer entsprechenden Voraussetzung, die ebenfalls fiir alle x q: / aus r14 erfiillt ist, gilt xr ~ r.

9. Produkte mit einem Faktor g o d e r k-.

~ x P besagt: es gibt ein M, so da~ S =~ M A M x P . Wenn nun x eindeutig ist in dem Sinne, dab es zu jedem P genau ein M gibt, sodaB M x P gilt, so ist die Aus- sage S x P falsch, in diesem Falle gilt also ~ x ---- ~ und entsprechend x~---- ~.

Eindeutig in diesem Sinne sind g und ]c, also gilt

gg -~- gg -~ g ,

was natiirlich auch aus 2. folgt, und

Produkte mi t dem Faktor k kSnnen somit durch solehe mit dem Faktor ~/~ ersetzt werden.

Alle fibrigen Relationen von zla haben, wenigstens wenn die Zusatzforderung (Z) vorausgesetzt wird, die Eigenscha~t, dab es zu jedem P mindestens zwei verschie- dens Begriffe M 1, Ms gibt, sodafl M / x P gilt. Dann ist abet ~x---- r ; denn, sind ~ ,P beliebige Begriffe, so ist sicher fiir i ~ 1 oder i ~ 2: S q= M i A M i x P .

10. Multiplikation mit k.

10.1. SxIcP ,-~ S x M A MIcP d . h . S x P .

S lcxP ~ S x P .

10.2. k/c --~ g.

Multiplikation mit /c bedeutet also Verneinung des einen der in das Urteil ein- gehenden Begriffe; man ktinnte yon partidler Negation spreehen. Es wird sieh zeigen, dal~ e, u, ~ aus a und o, ~, v aus i durch Multiplikat~onen mit k hervor- gehen, und diese Bemerkung tri~gt wesentlich zu einer einfachen Berechnung und iibersiehtlichen Darstellung der Multiplikationstafel bei. Sie steht auch damit im Zusammenhang, da~ man aus den Schlul3figuren Barbara und Darii eben mittels partieller Negation die iibrigen ableiten kann.

428 H. GER[CKE ARCII. MATH.

10.3. a k ~ e .

Hier sind einige Bemerkungen dariiber am Platze, welche logischen Mittel zur Ableitung dieser Gleichung benStigt werden. Sprachlich schliel~t man so: Alle S sind non-P, also kein S ist P. Darin ist aber der logische Vorgang eher verschleiert als aufgedeckt. Wenn man den Syllogismus Celarent, d. h. aus S a M und M e P folgt SeP, 2) als gtiltig voraussetzt, kann man so schliel~en: S a k P bedeutet S a P ; nach Definition yon P gilt PeP, aus beidem folgt also SeP, d. h. ak <~ e.

Algebraisch kann man so vorgehen:

Hilfssatz: I i t A _< B, so ist A V-h C _< B V'~ C und A (._) C < B ~_) C.

Beweis: Nach Definition des Durchschl~itts ist

A V-~ C <_ A , also < B und A V'~ C ~_ C , a l s o . ~ B V ~ C .

Der zweite Tell ist entsprechend zu beweisen.

Nun folgt aus S ___ P : S ~ P ~_ P (-N P -~- 0 .

Dieselbe ~berlegung ergibt aber:

Aus S a M d.h. S <~ M

und M e P d. h. M (-~ P = 0

folgt S (-~ P = 0,

d. h. SeP, also die Schliissigkeit des Sehlusses Celarent. Es ist also nicht verwunder- ]ich, dai~ sieh mit Benutzung partieller Negation Celarent aus Barbara ableiten ]~f~t.

Es ist noch zu beweisen, dab e ~_ ak ist, d. h. aus S( '~ P---- 0 folgt: SaP , d. h.

S (-~ P ----- S. Das ergibt sich algebraisch mit Hilfe des distributiven Gesetzes: Wegen Pk..) P = I ist S = S(-'~(Pk._J P ) = ( S ( ~ P ) ( . . J ( S ( - ' ~ P ) = S ( - ~ P .

Syllogistisch ist das gleichwertig mit dem Sehlul~ (M stat t P, P stat t P gesetzt): Aus SeM und M u P folgt SaP. Er kommt unter den klassisehen Syllogismen nicht vor, da Urteile der Quantiti~t u nicht vorkommen. Im Rahmen der in Fugnote 2) skiz- zierten Rege]n kSnnte er mit Gundela bezeiehnet werden3).

~) Der erste Vokal bezeichnet die Quantit/tt derjenigen Pr/imisse, dig P enth/ilt, der zweite die derjenigen, die S enthglt, der dritte die des Sehlugsatzes. A]s Anfangskonsonanten sind die ersten des Alphabets gew/ihlt, B, C, D, F, zun/ichst ffir die Sch]fisse der ]. Figur. Die Schlfisse der iibrigen Figuren sind auf je einen der 1. Figur zuriiekgefiihrt und haben dann denselben Anfangskonsonanten. Bei den Zwisehenkonsonanten bedeutet s: conversio simplex (e in ~'-- e, i in i'=- i), p: eonversio per aceidens (a in ~'<_i), m: mutatio, Vertausehung der beiden Pr~imissen, c: indirekten Schiul~.

a) Anfangskonsonant: der auf F folgende, Voka]e u, e, a, Zwischenkonsonanten beliebig auiler

VoI. III, 1952 Algebraische Betrachtungen 429

10.4. Aus ak ~--- e folgt ek = a/de = ag = a, und d~ k = k, ~" = e, a = ke = kak.

10.5. ka = u.

Der Beweis vcrli~uft i~hnlich wie in (10.3). Aus S _~ P und dem zweiten Toil des Hilfssatzes folgt :[ = S ~ S _< S L.) P , d. h. S u P . Gilt umgekehrt S u P , so folgt aus S e S und S u P : S a P nach Gundela.

Damit haben wir die Elemente der unteren Hauptzeile (a, a, e, u) in Fig. 1 er- halten. Die der obcren Hauptzeile (v, i, o, ~) ergebcn sich mittels

1 0 . 6 . ~'~ = "-s ~ = k ~ .

S-X-kP bedeutet: S x k P ist falsch, d. h. Sx-P ist falsch, d. h. S x P gilt.

Damit erhalten wir die in der Figur angeschriebenen Werte, die hier noch einmal zusammengestellt seien:

x x k k x k x k

a

i

U

~3 V

11. Nach Erledigung der Multiplikationen mit r , / , g, g , k, �9 bleibt noch die Mul- tiplikationstafel fiir ~a = (a, ~, e, i, o, ~, u, v) aufzustellen. Nach dem Ergebnis yon 10. brauchen wit dazu nur noch die Produktc

aa, ai, ia, ii, alca, aki, ika, ik i

auszurechnen, dann ergeben sich die itbrigen durch passende Multiplikation mit k.

11.1. aa = a.

Nach Axiom Ib (Barbara) gilt aa ~_ a; da g _~ a folgt aus 5. a _ aa.

11.2 . ia i (Darii).

S i M bedeutet S ('~ M > 0, M a P bedeutet M ~ P. Daraus folgt nach dem Hilfs- satz aus 10.3. S ( ' ~ P ~ S ( - ~ M > 0 , d .h . i a _ < i . Da g~--a folgt aus 5. i ~ i a .

11.3. Durch Konversion folgt hieraus: ~ = i = ~i = kaki , also aki = ki. (Das ist (ak) i = ei = ~ , oder nach Konversion ie ---- o: Ferio.)

11.4. Da S ~ 0 vorausgesetzt ist, gilt a ~ i , a]so nach 4. aka ~- ea ~ ei =

ki = ~'.

4 3 0 H. GERICKI~ .a.RcrI. MATH.

Umgekehrt: Gilt 5~P , d. h. S ( ~ P =~ P, so gibt es M, sodal3 S e M und M a P

gilt, niimlieh M = S (~ P. Es ist noch festzustellen, dab M ~ 0 ist: Nach dem di- stributiven Gesetz ist

P -~ P ("~ ( S (..) -S) -~ ( P (-'~ S) k.J ( P C'~ -S)

und nach Voraussetzung ist P ~ P ~ S .

Also gilt aka ~ ea ~ ki = ~ .

Wegen des Auftretens von ~ ist dies 2ficht unmittelbar ein im klassischen Sinne brauehbarer Syllogismus. Durch Konversion entsteht ~e = o, d .h. aus M a S und M e P folgt SoP. Das ist ein Schlu~ der drittcn Figur: Felapton. Es ist einer der an- gefochtenen Schliisse; denn zu seiner Herleitung wurdo die Voraussetzung S =~ 0 wesentlich benutzt.

U .5 . ai :

Selbstverst~ndlieh ist ai ~ r. Ist ai = r? Wenn S, P zwei beliebige Begriffe sind, so erftillt M = S ~ P die Bedingungen S a M A M i P . Es fragt sich nur, ob M < 1 ist. Wenn S U P < 1, also S v P gilt, ist das der Fall, also gilt ]edenfalls v ~_ ai, und da aueh i ~_ ai:

Hiernach gehSrt ai sicher nicht zu re, die Priimissen ai liefern also sicher keinen giiltigen SchluiL

Wenn wir (Z) benutzen, gilt r = ai; denn dann gibt es aueh wenn S ~_) P = 1 ist, ein passendes M; man braucht nut S < M < 1 zu w~hlen, dann ist S a M er- ftillt und M i P l~Bt sich so beweisen: S < M besagt M o S ~ Mok-S ~ M i S ; anderer- seits besagt S ~_) P ----- 1: S u P ~-+ S k u P ~ -SAP. Aus Mi-S und S a P folgt M i P nach 11.2.

Ohne diese Zusatzbedingung gibt es tatsiichlieh Begriffspaare S, P, ftir die S a i P

nieht gilt. Man wi~hle hierzu einen maximalen Begriff S, sodaB also aus S ~ M entweder M ~-- S oder M = 1 folgt. Wird der letzte Fall ausgesehlossen, so bleibt nur M = S. W~hlt man dann P = S, so gilt M i P nicht.

Um die Benutzung von (Z) anzudeuten, schreiben wir ai = r'.

11.6. Aus 11.5. und a <= i folgt.k-___ i i (~_ r) und i i = r'.

11.7. Auf 11.5. wenden wir Konversion an. Dazu bemerken wir zuniichst:

x <_ y -->~ ~ ~. ( S ~ P ~-. P x S ~ P y S ~ S ~ P . ) Da k = k ist, erhalten w i t

-k < C d = ikak < r ferner " ~ = r' �9

also k-k _<: ika _< rk = r , ferner ika = r' ,"

und da nach 9 . kk = -gkk = -g ist:

-g ~_ ika <=_ r.

Vol. III, 1952 AlgelJraisehe Betrachtungen 431

(Zur Er lau te rung : ( i k ) a = oa. Wenn S nicht <_ P ist, erfiillt P , sonst M ~-- P ( ~ S die

Bedingungen S (% M =4= S und M _< P, also gilt g <_ i ka . Setzt man (Z) nicht vor- aus, so sei S ~ P ein minimaler Begriff. Dann gibt es kein M, sodaB 0 < M _< P und S (% M =# S. In diesem Falle ist also i k a =~ r.)

11.8. h u s a _< i folgt g < i k i ( g r); i k i = r ' .

Das Ergebn i s stellen wir in der folgenden kleinen Multiplikationstafel zusammen:

a i

" a a

e ~ a k k i

i

o = - i k

i

k/

r I

Anmerkungen: In den Fiillen aa ~ a, ~a =- i, aki = ki ist das Ergebnis nach 5. dus bestmSg- liehe, aka mul~ nach 5. >_ ak = e und _> ]ca ~ U sein, also kommt aus r14 giinstigstenfalls ik oder ki in Frage. aka <. aki = ki entscheidet fiir ki.

i i = r', ik i = r' gibt die alte Regel wieder, dab aus zwei partikul~ren Pr/imissen nichts zu sehlie- Ben ist. Partikul/ixe Urteile erscheinen in Fig. 1 in der oberen Hauptzeile. Dagegen sind negative nicht so leicht zu kennzeichnen, was wohl in der yon uns hergestellten vollst~ndigen Dualit~t seinen Grund hat. So ist aueh die Regel, daft aus zwei negativen Pr/imissen kein Schlufl zu ziehen sei, nieht aus der Tafel herauszulesen, im Gegenteil, man erh/fit: e e ~ a k a k ~ (aka) k ~ k i k ~ v. Dieser Sehlull wiixe zwar (vgL 11.4.) zu den angefoehtenen zu reehnen, auch ergibt er nur die sehr schwache Aussage S k.) P ~ 1, aber doch immerhin eine Aussage fiber S und P.

W~rum ai und ia, aki und ika so wesentlich verschieden sind, erscheint auf diesem algebraischen Wege noeh nieht recht einleuchtend.

Zum Schluil geben wir die vollstandige N[ultiplikationstafel fiir ts und zeigen, wie

die SChliisse der iibrigen Schlul~figuren ~us ihr erhalten werden. Um die schltissigen yon den nicht schliissigen Syllogismen augenfallig abzuheben, ist r ' n icht hinge- schrieben worden; es ist an a l l en leeren Stellen eingesetzt zu denken. Die Anordnung

ist nach den Zeilen yon Fig. 1 getroffen.

Y)

i

O

O

a

e

i o ~3 ~d a e u

v ~3

i o

o i

~ 3 v

i o ~ i o u

0 V a e o

o v e ~ d v a

i o u ~ i

432 H. GEnICKE AnCH. MATH.

Aus dieser Tafel sind die klassisehen Syllogismen so herauszulesen: Man betraehtet nur die-

jenigen Produkte xy ~ z, bei denen x, y, z zu r6 ~ (a, a , e, i, o ,o) gehSren. Tritt kein iiberdaehter Buchstabe auf, so handelt es sieh um einen Schlul~ der 1. Figur, z. B. ae ~ e: Celarent. (Man er- inhere sich, da~ wir die Reihenfolge der Pr~missen gegeniiber dem Gebrauch der Logik umgekehrt haben, der Definition S x y P ~ S x M /~ M y P zuliebe). Treten iiberdachte Buehstaben auf, so liegt ein Schlulll einer anderen Figur vor, und zwar bei Konversion des ersten Faktors ein Sehlufi

der 3. Figur, (z. B.aa ~ i: Aus M a S und M a P folgt S i P : Darapti. Das Merkwort erh~It man, in-

dem man a dutch ap ersetzt, vgl. Fui3note "), bei Konversion des zweiten Faktors ein SehluB der 2. Figur, bei Konversion beider Faktoren einer der 4. Figur. Ein fiberdaehter Buchstabe im Ergeb- nis ist dutch Konversion zu beseitigen, wie z. B. in 11.4. geschehen.

Dabei sind e, i sowohl a l s e, i wie auch als e, i zu lesen. So ergibt sich aus ia = i, Darii, aul3erdem

1. iAa= i: aus M i S und M a P folgt S i P , 3. Fight, Datisi. (Um das Merkwort zu erhalten, braucht

man nut ~ dutch is zu ersetzen.)

2. ia = i : Konversion ergibt a i = i, 4. Figur, Dimatis. (Das Merkwort erh~It man, indem A

man in ia ~ i das i durch is ersetzt, sodann die Konversion, d. h. Vertausehung yon S und P durch ein irgendwo eingesetztes m zum Ausdruek bringt.)

3. i~a ~ i ' : Konversion ergibt a i = i, 3. Figur, Disamis. (Merkwort: Beide ~ dureh is ersetzen, m einfiigen.)

Eingegangen am 10. 9. 1952

Zusatz bei der Korrektur: ]m Anschlu]~ an meinen Vortrag auf der DMV-Tagung 1952 hat zwi- sehen Herrn E. WINKLEn-Miinchen und mir ein Briefwechsei stattgefunden. Als dessen Ergebnis gebe ich mit Einwilligung yon Herrn W~NKLEn einen Auszug seines letzten Schreibens vom 24.3.1953 bekannt, in welehem er seine Auffassung absehliel3end zusammenfaSt. Herr WINKLER sehreibt:

. . . . . Sic haben eine Multiplikationstafel der ]ogischen Relationen als algebraische Fassung der Ari- stotelischen Syllogismen aufgestellt, wobei Sie in ~bereinstimmung mit Aristoteles und der fibliehen Sprach-Logik den Begriffen jenen Bereieh ~ zugrundelegten, der aus dam vollst~ndigen Bereieh durch Ausschlul~ der beiden Grenzen 0 lind 1 hervorgeht. Diese Multiplikationstafel lii$t sich in der naehfolgend dargestellten Weise einfaeher und durehsiehtiger gestalten, wenn man gemE$ der moder- nen, yore Logikkalkfil vertretenen Auffassung den Gesamtbereich !~ zugrundelegt. Das bedeutet, da$ nu t die partikul~ren Urteile S i P , S o P (,,Es gibt wenigstens ein S, das auch P - bzw. nieht P - - ist") zugleich eine Existenzialaussage einschlie]~en, nicht abet die rein hypothetiseh zu verstehenden universalen Urteile S a P , S e P ( , ,Wenn etwas S ist, ist es auch P - - bzw. nicht P") , soferne diese nicht ausdriickli(:h durch eine zus~tzliehe Existenzialaussage (,,Es gibt wenigstens ein S") erg~nzt werden.

Wenn man unter dieser Voraussetzung alle Relationen mittels k auf u und i, statt (wie Sie vor- gingen) auf a und i reduziert, also:

a = k u , o = k i , e = k u k ,

a = u k , o = i k , v = k i k ,

so ]~iflt sieh mit den Mitte]n des Logikkalkfils das folgende einfache Multiplikationsgesetz ffir die Ge- A

samtheit der 8 Relationen a, a, o, o, e, v, u, i beweisen: