algebraic varieties, k-groups and the hasse principle

44

Upload: others

Post on 11-Feb-2022

6 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

������������� �������������������������������� !���"�# ��$��%$��&�'�(�) ����"*�+�� ��,�

-/.1032�41065(798&:<;>='7(?@5'ACBD?@EGF,H'0IACBJ2

K,L@MONQP@RQS@NUT�VXWZY\[�]^W`_/acbed�]^WZf�g@WZhjiXkml!WmnpoeqOrsYpo@_tY,YuoeW�v<_whjqyxjn{zOqyo qydmqyhjqy|w}+|yfuqybe~�+��� [C�p�m� [ �����u�����w� � �u��� ��� xjn�g@aex YuW,��qyf'_�h�_wfp|yW{zZh�_wnpn�qw�JnpdmqcqwYuo�~efpqt�uWZz�Ypx ��W{|yWZqydmW�Ypfux �zO_whjh }/xjacYuWZ|yf�_whD_whj|yWZ]ef�_wxjz,[��6�w_wfpxjW�YuxjWOn � k(��oexjn(zOh�_wnun�xjaezZhjbei WOn<_whjh�npbezpo��y_wfpxjW�YuxjWZn�o@_Z� xjae|�_Yuqyfpnuxjqya �6��fpWZW{|yWOqydmW�Yufpxjz,���WZfuqya ����W���WZfpx�|yfuqybe~�r(oeWZaezZW��Cxja�~@_wf�YpxjzZbeh�_wfO�@Ypo W�_w]^qG��W,|yfpqyb ~�xjng@a x YpW<x � � xjn�_wa�_w]QWZhjx�_wa`�y_wfuxjWZYI}�kD��oexjn�fuWOnubeh YO��r(oexjz�o�|yWZaeWZf�_whjxj ZWZn�_,r1WZhjh �I¡caeqOr'amYuoeWZqyfpWZdqw�Jl¢k £(_wnp¡cxjaei���qyf'zZbef���WOnO�Xxjn'~efpqO��WZi�benpxjae|�¤{k ¥c_wa aenpWZaX¦ n�§'_wnpnuW,~ fpxjaezZxj~ehjWyk(l+W\|yq`qya�Ypq~efuqG��W�aeW�r�g@aex YuWZaeWZnpn�fuWOnubeh YunD��qyf<¨<© � �ª���3«I¬�­ª® kU¯Iam_wieiex YuxjqyaX��r1W1|yWZaeWZf�_whjxj ZW'_'r1WZhjh �I¡caeqGr(aW�° _wzZY�npWZ±�b WOa zOW(qw�C²Dk � _whj]^WZfp|yWZfU�ªfuqyd¢YuoeW�zO_wnpW(qw�Cfp_tYpxjqyae_wh@fpbehjWZi�nubefu�ª_wzZWOnUYuq�dmqyfpW1|yWZaeWZf�_whfubehjWZi+nubefu�ª_wzZWOnO��YuoeWZfpWZ]c}!zZqydm~ehjWZdmWZacYuxjae|/fpWZnpbeh Yun�qw�(¥ek �IV³k�´�qyhjhjxjqwYu�I��o³�WZhªµWZaeWyk`¶Uxja@_whjh }��Xr1WbenuWm¥�_waeaenuWOaC¦ n,YuoeWZqyfpWZd·_whjhjb ieWZi!Yuq�_w]^qG��Wmxja!zZqyaw�ub aez�Ypxjqya!r'x Yuo+_/fpWZnubeh Y{qw�(¸�k ¹�_woea�Ypqqy] Yp_wxja�_�¸�fp_wbeWZfu�3§'_wnpnuWZ�I�'qcWZYuoeWZf���oeWZqyfpWZd9��qyf'� � k

º :+»t7�4�.�='¼(½(¾J4103=(7,:¿�ÀcÁ�Â�óÀ+Ä�ÅQƪÇQÃDÄQÆ1ÈDÀcÆ6É*ÄQÊDÉ&ƪÀ�Á/ËÌóÀ>Ä�ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�ÅCÀcÇCÎÀcÁGÑtÔªÓ�Ä^ƪÆ�Ö�Ô�ÊXÁtÀcÅQÑwÄ^Æ

Ä^ƪÅQÀ�ÃUÑwÄ^Ô6Ó!ÂX×�ÕeÄQÑGÔªÀ�ÁZÖCØ/Ù�ÏUÀ>ÍOÁtÄ^ÑGÁGÔªÊUÅ�гÇQÔªÊXÁ/Ú3ÇCÑ�ÁtÏUÔ6Í/ÐJÄ^гÀcÑ�Û�ÄCÍ`ÁtÏUÀ+ÑtÀ�ÄQÆ�ÔªÜ�Ä^ÁGÔªÇQÊ&ÁtÏDÄ@Á/ÁGÏUÀÓ�Æ6ÄQÍtÍGÔªÓ�Ä^Æ(Ý�ÑwÄ^ÞUÀ�ÑO×�ß�ÄCÍGÍGÀ�×�à`Ç�À�ÁtÏUÀcÑmÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎáÚ3ÇQÑ/Â�â³ÛmÏUÔ6ÓwÏãÄQÍtÍOÀ�ÑOÁwÍ�ÁGÏUÀ+Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�Õ�Ô�ÁZÖ�ÇQÚ<ÁGÏUÀÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�Î�Ä^ÐsÝ�ÑJÂåäçæéè�Ý�ÑJ è â�ÄQÉ�Î>Ô�ÁtÍ�Ä&ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ�ÏUÔ�ÅCÏUÀcÑG×�É�Ô�Î>À�ÊDÍOÔªÇQÊJÄ^Æ�Ä^ÊDÄQÆ�ÇCÅQÞUÀCâ(ÄQÍÚ3ÇQƪƪÇ@Û`ÍcØ��ê�ë�ìDí@ë�îáï(ð�ñ/ò Ù�ÏUÀ¢Ý�ÑwÄ^ÞUÀ�ÑO×�ß�ÄCÍGÍGÀ�×�à`Ç�ÀcÁGÏUÀ�Ñ�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�ÎóÚ3ÇQÑ ��ô�õ Ø÷ö�ø@ù·ú�øãûýüXþIÿUúQû@þ� øyþ���û�����þ3øeù�� ú�ø�û��øtü�^þIû��/ø� 1ù�ø������Iÿ��¢ÿ��,Âãÿ���ù��wû������yø�����ø�����ø���øwü���øcø�ÿ���ø���� �³ø!�sù��³ø�wû��³ÿ������yû@þ#"�û�$

% ô ò Â#& � ô ò � Â õOõ ä(' è % ô ò Â è & � ô ò � Â è õGõ

�)�*�+�-,�ø���ù���.@ø��Ù�ÏUÀmÄ^óÇ@ÕQÀ\ÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎéÔ6Í�ÇCÃ�ÁtÄQÔ�ÊUÀ É�Ã�Ö!ÄQÐUÐUÑtÇQÐUÑtÔªÄ^ÁGÀ�Æ�Ö�ÓcÇQÎ!ÃDÔ�ÊUÔªÊUÅ0/>Ø /�Ä^ÁGÇ21 Í<ß�ÄCÍGÍGÀ�ÐUÑGÔªÊ�×

Ó�ÔªÐUƪÀ�Ú3ÇQÑ+Ó�ÞUÑtÕQÀ Í�Ç@ÕQÀ�Ñ�ÅQƪÇQÃDÄQÆ<ÈDÀcÆ6ÉUÍ43 5�6�7\Ä^ÊJÉsÄ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ ÇQÚ`Ý/Ø /�Ä^ÏDÊ83 5:9�7pØ�Ù�ÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀÑtÀ�ÍGÞUÆ Á`ÄCÉ�Î>Ô ÁwÍ`Ä^Ê�ÇQÃ�Õ�Ô�ÇCÞDÍ ò ÓcÇQÊ@ÒZÀ ÓyÁGÞDÑtÄQÆ õ ÅCÀcÊUÀ�ÑtÄQÆ�ÔªÜ�Ä^ÁGÔªÇQÊ�Ø<;�ÀcÀ�;�À ÓyÁtÔ�ÇCÊ=5UØ>�Ê?;�À�Ó�ÁGÔªÇQÊ=6>Ç^Ú�ÁGÏDÀ�ÐDÄ^гÀcÑ`Û�À�ÞDÍGÀ�@�Ø ACÄQÊUÊDÍGÀcÊ�1 Ímß�ÄCÍGÍGÀ�ÐUÑtÔ�ÊJÓ�ÔªÐUÆ�ÀB3+9-C�71ÁGÇCÅQÀ�ÁtÏUÀcÑmÛmÔ�ÁGÏ

ÑtÀ�ÍGÞUÆ ÁwÍ,ÇQÚDADØ ×�¿{ØFE\ÇQƪÆ�ÔªÇ^ÁG×�Ù�Ï*GÀcÆ�HÀcÊUÀ`ÄQÊDÉJIéØ K`ÄQÍ�L�Ô�ÊJÉM3ONP7³ÁGÇÀ�ÍOÁtÄ^ÃDÆ�Ô6ÍOÏ�ÁGÏUÀ/Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�ØQ!R!R!RTSVU!W+XPY[Z*U!W)\+]�^ _a`�b+c[Yd]�WfeFg U!^h^d\ i�]hU!W)\+j!kml!l vfn!o � lqp ¹ l o � lqp ´�n!o � lqp ¥ Q!r ks Y�t�u�j!v�w!^�U!k�w�x�X-v�U!^yY�^qz ´�oeqOr |yfpqybe~ nG�'�/�I|yfuqybe~enG�1¸�f�_wbeWZfm|yfpqyb ~enG���U_tYuW�����o@_t�ª_wfpW���xjz�o&|yfpqyb ~enG�

f�_tYuxjqya@_wh�nubefu�ª_wzZWZnG�efubehjWZi/nubefu�ª_wzZWZnG�e~ fpqw��WZzZYux ��W{oeqydmqy|yWZaeWZqyben��y_wfpxjW�YuxjWZnGk

�³}�~^WOnuW�Y']�}T{}|M~C�I�P���l

Page 2: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

Q ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ���ê�ë�ìDí@ë�î ï�ð��1ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�ø�ù��JûUùJà ; ò Ë è õ������������ �uÿ���û^þ�þ�$#��� "�ø!����ÿ��UÂ�� � �³ø���% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõ�)� � �F�pù�ø��Ù'Ç`ÍOÇCÎÀ,À'&�ÁGÀ�ÊCÁ â�Û�À,ÄQÑGÀ{ÄQƪÍGÇ`Ä^ÃUƪÀ�ÁtÇmÏDÄ^ÊDÉUÆ�À�ÁtÏUÀ,ÐDÑGÀ ÍOÀ�ÊDÓ�À�ÇQÚXÁtÇQÑwÍOÔªÇQÊ�ÔªÊ�ÁGÏUÀ,ÅQÀcÇCÎ>À�ÁGÑtÔ6Ó

à GÀcÑtÇQÊ�×q;�ÀcÕCÀcÑtÔ{ÅQÑtÇQÞDÐDÍ!ÇQÚ/Ë Ø ;�ÀcÀ�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 6UØ (*óÀcƪÇ@Û Ú3ÇQÑÁtÏUÀ&ÅQÀcÊDÀcÑwÄ^Æ�ÍZÁwÄ@ÁGÀ�Î>ÀcÊXÁÇQÚÛmÏUÔ6ÓwÏ�ÁGÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ/ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6Í`Ä>Ó�ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖQØÙ�ÏUÀ&ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�ÔªÊUÅ¢ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎÌÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^ƪԪÜcÀ�ÍÄýÛ\À�Æ�Æ�×hLXÊDÇ@ÛmÊ ÑGÀ ÍOÞDÆ Á�Ç^Ú IéØ K`ÄCÍ[L�ÔªÊDÉ 3 6}5�7�Ú3ÇQÑ

Ó�ÞDÑGÕCÀ�Í ò Û�ÀýÍGÏUÇQÞDÆªÉ ÐJÇCÔ�ÊXÁ&ÇQÞ�Á�ÁGÏDÄ^Á?K`ÄQÍ�L�Ô�ÊDÉ�1 Í�ÑGÀ ÍOÞDÆ Á&Û�ÄCÍ�ÁtÏUÀýÃJÀ ÍZÁãÍGÞDÓwÏ ÈDÊDÔ ÁtÀcÊUÀ ÍGÍÑtÀ�ÍGÞUÆ ÁmÐUÑtÀcÕ�ÔªÇQÞDÍGƪÖBL�ÊUÇ@ÛmÊ õ ØÙ�ÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î ÏDÄQÍ�ÁtÏUÀ�Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅÔªÎÎ>À É�ÔªÄ^ÁGÀ�ÓcÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖCØ

�+ìDí@ì*)�),+�í.- ï(ð�/(ð ö�øeù10 ú�ø�û��*ûDú�øyþ+�Iû�� .yû����3øeù�� ��ø � �³øP�&ÿ�.@ø���û�#�"�ú�ø!� � øwþ���Â��V� �³ø!�% � ò Â#& ��ô  ò 0 õ�! %#" ò 0V&%$ ôeõOõ �)��û � �F�pù�ø�ü}�yÿ:-$<�IýÀ�Ä^Æ6ÍOÇ�ÊDÇ^ÁGÀ�ÁGÏDÄ^Á�ÁGÏDÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�Ç^Ú�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ � Ø 5�ƪÀ�ÄCÉUÍ�ÁtÇãÕ@Ä^ÊUÔ6ÍGÏUÔ�ÊDÅãÑGÀ ÍOÞDÆ ÁwÍ�Ú3ÇQÑ�ÁGÏUÀ

ÅQÑtÇQÞDÐ % � ò Â#& ��ô  ò 0 õ�! %#" ò 0�&%$ ô õOõ Ø32UÇCÑmÀ'&UÄ^Î>ÐUƪÀ54��ê�ë�ìDí@ë�î�ï(ð76'ð ö�øeù�Â9ú�ø>û �#�"�ú�ø�� � øwþ��¢û�����þ3øeù80 ú�ø>û�� ûDú�øyþ+�Iû��8.�û����Iø@ù�� ��ø � �³øP�ÿ�.eø!��Â:9<�uù���ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&�Î!ÞUÆ�ÁGÔªÐUƪԪÓ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊD� � ����a"�ø�ù��³û�ù�0 ò  è õ � � ��ÿ��F�³ø���ù�øP���uÿ��mø�.eø!�;�B��ø�û@þ$#���+"�ø<��ÿ��<Â�� � ��ø�� %=� ò Â#& � ô  ò 0 õ�! %#" ò 0�&%$ ô õOõ��>� �Ù�ÏUÀ�ÍGÔ�ÅCÊUÔ È³ÓcÄ^ÊJÓ�À�Ç^Ú�ÁGÏUÀ�ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�ÔªÊUÅ>ÑGÀ ÍOÞDÆ ÁwÍ�Æ�ÔªÀ�Í�ÔªÊ�ÁtÏUÀcÔªÑ�ÄQÐUÐUƪԪÓ�Ä@ÁGÔªÇQÊ�ÁGÇ>ÁtÏUÀ�ÐUÑGÇCÃUƪÀcÎ

Ç^Ú<ÇQÃUÁtÄ^ÔªÊUÔªÊUÅ>ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÊUÀ�ÍtÍmÑtÀ�ÍGÞUÆ�ÁtÍ�Ú3ÇCÑ�ÁGÏUÀ�ÁtÇQÑwÍOÔªÇQÊ&ÍGÞUÃUÅQÑtÇQÞDÐ�ÇQÚ'ÁtÏUÀ!Ó�Ç�É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔªÇQÊ?5BE\ÏUÇ@ÛÅQÑtÇQÞDÐ ¨<© ô ò Ë õ Øf>�ÊDÉUÀcÀ�É�âDÍOÀcÁ ¨<© ô ò ËM& Ë õ�� /�ÀcÑ@? ¨<© ô ò Ë õ ä ¨<© ô ò Ë õBA Ä^ÊDÉ&É�ÀcÈDÊUÀ

C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ�� /�À�ÑED ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä ' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ'F�G ò�� G 9 õ��ê�ë�ìDí@ë�î ï�ð�H1ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ à ; ò Ë è õK�������3�L� �uÿ��/ø�.eø!�;� $#��� "�ø<��ÿ��<ÂNMò à õ�æPO %RQ ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ%T ���U��� � æ è æPO %RQ ò Ë è &US O ò 5 õ õ TJV������� ��� Mò Ó õ %=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõXW ��ø!�h$<�f%=� ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õcò 9 õOõ MF�uÿ���ø�û �q�$#���+"�ø8��ÿ��'ÂZY0��ÿ���ùpû��+���

�³ÿm�³ÿ��@��[eø!�yÿ �+� � �F�uù�øwþ\� �a�d.�� ���pú^þIøýøwþ3ø�"�ø���ùd�'M]9<�³ø���ø�Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ � �ýù��³ø ùK9<� ��ù�ø��ü�ø�ÿ�"�øeù������_^ �yû:Xø!��ü���ÿ -$ W�` �7a'YbMJû����

ò É õdc � ò Ý\Ñ ò Ë õ�ò 9 õGõ � � � �F�uù�ø��� �³ø!�eC ¨<© ô ò Ë?& Ë õ �)� � �F�pù�ø��;�À�ÀÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎgfJØ f�Ú3ÇQÑ�Ä�ÎÇCÑGÀ+ÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^Æ�ÍOÁtÄ@ÁtÀcÎ>ÀcÊXÁ Ø�I¢À>ÊUÇQÁGÀÁGÏJÄ@Á�Ä^óÀcƪԪÄQÊ¢Õ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁGÔªÀ�Í

ÍtÄ@ÁGÔ6ÍOÚ3Ö�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò Ä õ ÄQÊDÉ ò à õ ÇQÚ<ÁGÏUÀ+ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ&Ø<h�ÊãÔ�ÊXÁtÀcÑtÀ�ÍOÁGÔªÊUÅjiXÞUÀ�ÍOÁGÔªÇQÊ�Ô6Í/ÛmÏUÀ�ÁtÏUÀcÑÁGÏDÀcÖ�ÍtÄ@ÁtÔªÍOÚ3Ö�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò Ó õ Ä^ÊDÉ ò É õ ÄQÍ�Û�ÀcƪÆuØÙ�ÏUÀ�ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�ÔªÊUÅÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ ÏJÄQÍ�ÁGÏDÀ�Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅ>Ô�Î>Î>À�ÉUÔªÄ^ÁGÀ�Ó�ÇCÊDÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�ÀQØ

�+ìDí@ì*)�),+�í.- ï(ð�l(ðRm �pù�� ù��³øM�n��$�ÿ�ù��³ø �wø �&ÿ���ù���ø ù��³øcÿ��yø!"oM�û����-�"�ø � �·û:�F�a�pù��3ÿ��÷ù��Jû�ù¨<© ô ò Ë è & Ë è õj�g� �uÿ���û^þ�þ�ú:Uù � �F�uù�øwþ\� "�û��n� $#���+"�ø �X�9ÿ���Â�� � �³ø�� ¨<© ô ò Ë õp������� � �� �F�pù�ø��>�Ê ;�À�Ó�ÁGÔªÇQÊrq�Ç^Ú�ÁGÏUÀ�ÐDÄQÐJÀ�Ñ�Û\À�ÇCÃ�ÁtÄQÔ�ÊåÄ^ÊýÞUÐUгÀcÑ!ÃJÇCÞUÊDÉ¢Ú3ÇQÑ�ÁtÏUÀ�ÅQÑtÇQÞUÐ ò�� Ø+9 õ Ø�Ù�ÏUÀ

Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅ>ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6Í�À�ÍOÁtÄQÃUƪԪÍGÏUÀ�É�Ø

Page 3: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � n��ê�ë�ìDí@ë�î ï�ð � ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ à ; ò Ë è õK�������3�L� �uÿ��/ø�.eø!�;� $#��� "�ø<��ÿ��<ÂNMò à õ�æPO %RQ ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ%T ���U��� � æ è æPO %RQ ò Ë è &US O ò 5 õ õ TJV������� ��� Mò Ó õ %=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõXW ��ø!�h$<�f%=� ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õcò 9 õOõ MF�uÿ���ø�û �q�$#���+"�ø8��ÿ��'ÂZY0��ÿ���ùpû��+���

�³ÿV�³ÿ��*��[@ø���ÿ � � � �F�pù�øyþ � �a�d.P�)���pú@þ3ø�øwþ3ø�"�ø!�³ùd�'Mò É õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*M³û����ò À õ �uÿ��`ø�û:�q�B�wûUù��3ÿ��Jû^þ $���� "�ø���û�����ø�.eø!�;��$<ÿ����uù���.@ø*� ��ù�øtüUø����M�D�)� $���� "�ø�ù�ÿ�� O� !�� O� M9<�³ø���ø�� O� �)��ù��³øV��øtü}�yø�ø�û���� � O� � ��ù��³ø�ø� �$<ÿ���ø���ù\ÿ���ù��³ø � �F�uù�ø�ø� 1ù�ø������Iÿ��*ÿ���Â9<�F���q�ýù����d.��6û^þ+��[eø ��Ý\Ñ ò Ë õ O� �����O� �

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ�� �-,�ø���ù��3ÿ��C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ�� ä c � ò����Iõ &

9<�³ø!�yø � � �)��ù���øV��Cû@þ����ø���ÿ��*���Dø�.eø!����ù�ÿ��-a��ÿ��(Ë �;�À�À�Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ q�Ø N�Ú3ÇCÑ`ÄÎÇCÑGÀ�ÅCÀcÊUÀ�ÑtÄQÆ�ÍOÁtÄ^ÁGÀ�ÎÀ�ÊXÁ�Ø>�Ê ;�À�ÓyÁtÔ�ÇCÊ (/Ç^ÚUÁtÏUÀ\ÐJÄ^гÀcÑ�Û\À�ÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^ƪÔ�Ü�À,Ä`Û�ÀcƪÆ�×dL�ÊUÇ@ÛmÊ�Àb&UÄQÓyÁ<ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ,ÇQÚ! <Ø ;UÄ^ƪÃJÀ�ÅQÀcÑ

Ú3ÇQÑmÑwÄ@ÁtÔ�ÇCÊDÄ^Æ�ÑtÞUƪÀ�É&ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�À�Í03 6a6DâUÙ�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î N�Ø q�7�Ø�Ù�ÏUÀ�Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅÑGÀ ÍOÞDÆ ÁmÔ6ÍmÇQÃ�ÁwÄ^ÔªÊUÀ�É�Ø��ê�ë�ìDí@ë�î ï�ð#"�ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ Ý�Ñ Ë �%$ èUÝ�Ñ Ë è �>� Mò à õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò Ó õ ù��³øM"�û�$ E\ÇaLCÀcÑ!& ä $ è E\ÇaLCÀcÑ!& è �)� � �-,�øP� ù��d.eø M 9<�³ø!�yø'&j4 ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä%=� ò Â#& � � õ � ��ù��³øV�wû��³ÿ������yû@þ#"�û�$ Mò É õ ù��³øf�+��ù�ø!���yøP� ù��3ÿ�� $�û�� ���+��ü�à ; ò Ë õ)( à ; ò Ë õ ä S W ��ø!�h$<�(à ; ò Ë è õ�( à ; ò Ë è õ ä S M

�uÿ��/øcû �q�J$#��� "�ø<��ÿ���ÂZY �)�*�³ÿ��@�q��øwü�ø���ø��yû�ù�ø��ò À õ ù��³øV�yû��³ÿ��F���wû@þ#"�û�$

% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø� ä c � ò,���ªõ ä ¨<© ô ò ËM& Ë õ ä(' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ ä ß�ÇQÎ ò % � ò Â�&Gà ; ò Ë õOõ &.- ! S õBG;�À�À�Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ (UØ 6!Ú3ÇCÑ`ÄÎÇCÑGÀ�ÅCÀcÊUÀ�ÑtÄQÆ�ÍOÁtÄ^ÁGÀ�ÎÀ�ÊXÁ�ØÝ�ÖýÄãÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ Ç^ÚTAJØ ×�¿{Ø E\ÇQƪƪÔ�ÇQÁO×�Ù�Ï GÀcÆdHÀ�ÊUÀ=3 6Dâ<Ù�Ï*GÀcÇCÑ-HÀ�Î>À 9CØ 6�7pâ<Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò Ó õ Ô�Ê ÁGÏUÀ

ÍOÁtÄ@ÁtÀcÎ>ÀcÊXÁ�ÇQÚ<ÁGÏUÀÄ^óÇ@ÕQÀ�ÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎ ÏUÇQÆ6ÉUÍ`ÁGÑtÞUÀ�Ú3ÇQÑ�Ó�À�ÑOÁwÄ^ÔªÊ&ÁZÖXгÀ�Í�Ç^Ú�ÑtÞUÆ�À É�ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�À�Í�Ø I¢ÀÄ^ÑtÀ�ÁGÏ�ÞDÍ�Æ�À É�ÁGÇ�ÁtÏUÀ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅ�ÑGÀ ÍOÞUÆ�Á�Øm¿(À�Á0/ 4UË ä21 óÀ!Ä�ÍGÎ>ÇXÇQÁGÏ&ÑtÞUÆ�À É�ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�À�Ä^ÊJÉƪÀ�Á ¨<© " ò Ë ! 1 õ�� /�À�ÑF33/54N4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò 1 õ 7�Ø

Page 4: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

p ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ��+ìDí@ì*)�),+�í.-sï(ð��(ð ö�ø@ù / 4UË ä 1áú�ø/ûV��"�ÿXÿ�ù��B�P^þ3øP���-�����û ��ø�ÿ�.eø!��û�ù�ÿ�ù�û@þªþ �B� "�ûeü�� �Jû��;��#�"�ú�ø�� � øwþ���Â�� � �����"�ø�I

ò Ä õ ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���û0$<ÿ�� �³ù���� 1 ò  õ 9<�uù�� ��"�ÿ�ÿ�ù�� � ú�ø�� /�� � ò � õ M³û����ò à õ ù��³øV�yû��³ÿ��F���wû@þ#"�û�$

% � ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ' è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ôeõOõ� �mÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø� ä c � ò,�{õ ä ¨<© " ò Ë ! 1 õ ä(' è ¨<© " ò Ë è ! 1 è õ ä ß�ÇQÎ ò Ý�Ñ^Ë ! Ý�Ñ)1�&.- ! S õ &

9<�³ø!�yø � � ��ù��³ø����ø���ÿ��@�,�Dø�.@ø����'ù�ÿ��Pa�`ÿ���Ë �E\ÇQÎ>ÐDÄQÑGÀ3 6UâUÙ�Ï*GÀ�ÇQÑ-HÀcÎ>À�9QØ f�7 ò ÍGÀcÀ�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ�DØ 6+Ú3ÇCÑ`Ä+Î>ÇCÑGÀ�ÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^Æ1ÍOÁtÄ^ÁGÀcÎ>À�ÊCÁ õ Ø>�Ê+ÁGÏUÔ6Í�ÐDÄQÐJÀ�Ñ�Û�ÀmÄ^Æ6ÍOÇ�ÄQÉDÉ�ÑGÀ ÍGÍ'ÁtÏUÀ���� ��������<Ç^Ú³ÁGÏUÀmß/ÄQÍtÍOÀ�ÐUÑtÔ�ÊJÓ�ÔªÐUÆ�ÀCØ h/Í<ÔªÍ<Û�ÀcƪÆ�×dL�ÊUÇ@ÛmÊ�â

/>Ø /�Ä@ÁGÇ>ÍGÏUÇ@Û\À É�ÁtÏDÄ@Á�ÁtÏUÀ�ÅQÑtÇQÞUÐc Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ�� /�À�Ñ�� % Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ ä(' è % Q ò  è ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ��

Ô6Í�ÜcÀ�ÑGÇ&Ô�ÚmË Ô6Í!Ä&ÐDÑGÇCÐJÀ�Ñ!Ä^ÊDÉåÍGÎ>ÇXÇQÁGÏ ÓcÞUÑGÕCÀ>Ç@ÕQÀcÑ�Ä&ÅCÆ�ÇCÃDÄ^Æ{ÈDÀcÆ6É Â�Ø >�Ê ;�À�ÓyÁtÔ�ÇCÊ N�Û\ÀÇQÃUÁtÄ^ԪʢÁGÏUÀ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔªÊUÅ�ÍOÁGÑtÔ LXÔªÊUÅ&À'&UÄQÎÐDÆ�À�ÇQÚ,ÁGÏDÀ�Ú�Ä^ÔªÆ�ÞDÑGÀ>Ç^Ú�ÁGÏDÔªÍ�ÐDÑGÔªÊDÓ�ÔªÐUƪÀ�ÛmÏUÀcÊýË ÔªÍ�ÄÍGÞUÑOÚ�ÄCÓ�ÀCØ IýÑtÔ ÁtÀ 0 " ò Ë õ Ú3ÇCÑ�ÁGÏUÀ�E\ÏDÇ@Û ÅQÑtÇQÞDÐ�Ç^Ú � ×�Ó�Ö�ÓcÆ�À Í\ÇQÚ�É�À�ÅQÑtÀcÀ � ÇQÊ�Ë Ø��ê�ë�ìDí@ë�î ï(ð�ñ�ï�ð ö�ø@ùDË ú�ø{ûT�["�ÿ�ÿ�ù��T$#�yÿ�,�øP� ù��d.eø �yû�ù��3ÿ��³û@þa�P^þ3øP�T�-�����û �yø,ÿ�.eø���û*�#�"�ú�ø��� øyþ���Â�� � ���-�"�øJI

ò Ä õ Ë �³û��`û��.�q�;���Gþ3ø�ÿ�� ��øtü}�yø�ø a�MJû����ò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ $ è 0 " ò Ë è õ ä ß�ÇQÎ ò %=� ò Â#&Gà ; ò Ë õ õ & - ! S õ � � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!� c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ ��ÿ���ùpû��+���/ûB��ÿ $ ��ÿ���ù��³ø�³û�ù�øb���:�Jû���û��yø�.P���q��ü}�yÿ:-$åÿ���ù��³ø��Xû5��yÿUú��Iû�� .�û����Iø@ù���ÿ���ø�.@ø��%���"�ÿXÿ�ù���$#��ÿ ,�ø���ù��d.eøT�P��P.eø�ÿ��#� ����ø� ea�þ\�:� ��ü>ÿ��>Ë M�$#��ÿ�.�����øP�>ù��³øþIû�ùOù�ø���ü}�yÿ:-$?�)� � �F�pù�ø��;�À�À�E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ4N�Ø 9P5!Ú3ÇQÑ`ÄÎ>ÇQÑtÀ�ÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^Æ1ÍOÁtÄ@ÁtÀcÎ>ÀcÊXÁ Ø2�Ô�ÊJÄ^ƪÆ�ÖCâ�;�À�Ó�ÁGÔªÇQÊ=C>Ó�ÇQÊXÁwÄ^ÔªÊDÍmÍOÇCÎ>À�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�ÁtÍ�ÇCÊ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ/ÏUÇCÎ>ÇQÅQÀ�ÊUÀcÇCÞDÍ�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁGÔªÀ�Í�ØÙ�ÏUÀ,ÓcÇQÊDÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À Í�Ç^Ú�ÁGÏDÀ{ÑGÀ ÍOÞDÆ ÁwÍ�Ç^Ú�ÁtÏUÔªÍ(ÐDÄ^гÀcÑ�Ú3ÇQÑ�ÁtÏUÀ,ÄQÑGÔ�ÁGÏUÎ>ÀcÁGÔ6Ó�Ç^Ú�ÈDóÀcÑtÀ�É�Õ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁGÔªÀ�Í

ÛmÔªÆ�Æ�óÀ�À'&�ÐUƪÇQÑtÀ�É�Ô�Ê 3+9 q�7pØF+¾ ��7(="!�AXBU¼$#'B&%/BU714�2

>�ÁtÏDÄ^ÊFL('+Ø ¿�ÇQÑtÀcÊDÜcÔªÊUÔ�Ú3ÇQÑ>ÐUÑtÇ@ÕXÔ6É�ÔªÊUÅMKmÀ�Î�Ä^Ñ�Lm6UØ N&óÀcƪÇ@Û�Ø >+Ä^Æ6ÍGÇãÁGÏJÄ^ÊFLåÁtÏUÀ >�E�Ù ò Ù'ÑtÔ�À ÍZÁtÀQâ >�ÁtÄQÆ�Ö õ Ú3ÇQÑ�ÐDÄ^ÑGÁGÔ6Ä^ƪÆ�ÖÈDÊJÄ^ÊDÓcÔ�ÊUÅ+Î!Ö>ÁtÑGÔªÐ�ÁGÇ*)�ÇCÑGÀ�Æ�Ô6Ä ò )�À'&�Ô6Ó�Ç õ Ô�Ê AQÞDÊUÀ/ÇQÚ 5 �n� 6DâÛmÏUÀ�ÑGÀ >�ÏDÄQÉ�ÁtÏUÀ�ÇQÐUгÇQÑGÁGÞDÊUÔ ÁZÖ�ÁGÇ�ÔªÊXÁGÀcÑwÄQÓ�ÁmÛmÔ ÁtÏ�Ç^ÁGÏDÀcÑmÎ�Ä@ÁtÏUÀcÎ�Ä@ÁtÔªÓcÔªÄQÊDÍmÔªÊ�ÁGÏUÀ�ÓcÇQÊXÁGÀb&XÁÇ^Ú�ÁGÏDÀ�ÎÀ�À�ÁtÔ�ÊUÅ,+tÙ�ÏUÀ�ÁGÇQгÇQƪÇQÅCÖQâUÄQÑGÔ�ÁGÏUÎ>ÀcÁGÔ6Ó�ÄQÊDÉ�ÅQÀ�ÇQÎ>À�ÁtÑGÖ�ÇQÚ<ÄQÆ�ÅCÀcÃUÑwÄ^Ô6Ó�ÓcÖ�ÓcÆ�À Í.-DØ

Page 5: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � o� :��/.1BUAX0�%�0I715'.10IBD2Q:@`ÊDÆ�À ÍGÍ�ÇQÁGÏUÀ�ÑGÛmÔ6ÍOÀ>ÍOÁtÄ@ÁtÀ�É1â�Â*É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�Í�Ä�ÅQƪÇQÃDÄQÆ�ÈDÀcÆ6É1â(ÔpØ ÀQتâ'ÂãÔ6Í�Ä�ÈDÊUÔ�ÁGÀ>À'&�ÁtÀcÊDÍGÔ�ÇCÊ¢ÇQÚ

- ÇCÑ�Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀ�Æ�Ö*ÅQÀcÊDÀcÑwÄ@ÁGÀ ÉãÄ^ÊJÉ*ÇQÚ{ÁGÑwÄ^ÊDÍtÓ�À�ÊDÉ�À�ÊDÓ�À>É�ÀcÅCÑGÀ�À49>Ç@ÕQÀ�Ñ/Ä�ÈDÊUÔ�ÁGÀÈDÀ�ƪÉ�Ø+¿�ÀcÁ ÂÉ�À�ÊUÇ^ÁtÀ�Ä�È &�À ÉåÍOÀ�ÐDÄ^ÑwÄ^ÃUƪÀ�Ä^ƪÅQÀ�ÃUÑtÄQÔªÓÓ�ƪÇCÍGÞUÑtÀ+ÇQÚmÂ1ØBI¢À�ÛmԪƪÆ,ÛmÑtÔ ÁtÀ�� Ú3ÇQÑ�ÁGÏDÀ�Ä^ÃDÍGÇQƪÞ�ÁtÀ� Ä^ƪÇQÔ6Í/ÅQÑtÇQÞUÐãÇQÚ�Â�â1ÔpØ ÀCØ�â�� � � ÄQÆ ò  !  õ Ø 2UÇCÑ/À ÄQÓwÏãÐUÑtÔªÎÀ �&Ç^Ú�ÂãÛ\À>ÓwÏUÇ�ÇCÍGÀ!ÄQÊDÉ�È &*ÄÐUÑtÔ�Î>À�� Ç^Ú Â*Æ�Ö�ÔªÊUÅ&Ä^óÇ@ÕQÀ �³â(ÄQÊDÉãÛmÑtÔ ÁtÀ  è Ú3ÇCÑ Â\â(ÛmÏUÔªÓwÏ¢ÔªÍ�ÄQÊ¢ÄQÆ�ÅCÀcÃUÑwÄ^Ô6Ó!ÓcÆ�ÇXÍOÞUÑtÀ!ÇQÚ è Ø/¿�ÀcÁ�� è óÀ!ÁtÏUÀ+ÉUÀ�Ó�ÇCÎ>ÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊãÅCÑGÇCÞUÐ&Ç^Ú�� Ô�Ê �+â�ÔuØ ÀQتâ�� è ����� ���:4 ��ò � õ<� ���CØÙ�ÏUÀ�Ê�� è Î�ÄeÖ>ÃJÀ/ÔªÉ�À�ÊXÁGÔ�ÈDÀ�É�ÛmÔ ÁtÏ � Ä^Æ ò  è !  è õ Ø�h·ÂX×������ �����`ÔªÍ�Ä�ÅCÀcÇCÎÀcÁGÑtÔªÓ�Ä^ƪÆ�Ö+Ô�ÊXÁtÀcÅQÑwÄ^ÆÄ^ƪÅQÀ�ÃUÑwÄ^Ô6Ó�ÂX×�ÍGÓwÏDÀcÎ>ÀQØ >�Ê ÛmÏDÄ@Á>Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Ícâ,Ë É�ÀcÊDÇ^ÁGÀ Í�Ä�� �"!#!$�&%ýÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖsÄ^ÊDÉ �åÔªÍ>Ô�ÁtÍÉ�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔ�ÇCÊ�Ø�Ù�ÏUÀ ÂX×�ÕeÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ë �(' Â*ÛmԪƪÆ�ÃJÀ�É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�É¢Ã�Ö ËsØ 2UÞUÑGÁGÏUÀ�Ñ�â�Ú3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏ*ÐUÑtÔªÎÀ�&Ç^Ú�Â1â1Û\ÀÛmÔ�ƪÆ<ÛmÑGÔ�ÁGÀË è Ú3ÇQÑ�ÁGÏDÀ> è ×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ&Ë �('  è Ä^ÊDÉ Ë è Ú3ÇQÑ�Ë è �(' V  è Ø!¿(À�Á �óÀ�Ä^ÊýÔ�ÊXÁGÀ�ÅQÀ�Ñ�ÍGÞDÓwÏýÁGÏJÄ@ÁJ9*) �+) �DØ 2DÇQÑ�ÄQÊXÖãÍGÞDÓwÏ'��âE$�, � $�,-/. ÛmÔ�ƪÆ,É�À�ÊUÇ^ÁtÀÁGÏUÀ0�ÄQÑGÔ6Í[L�Ô(ÍGÏUÀ Ä@Ú�ÇQÊãËóÄCÍGÍGÇ�Ó�Ô6Ä@ÁtÀ�É�ÁGÇ�ÁtÏUÀ!ÐDÑGÀ ÍOÏUÀ Ä@Ú2143ä � , ò 1 õ â³ÛmÏDÀcÑtÀ � ,åÔ6Í�5/ÞUÔªÆ�ƪÀcÊD1 Í��×pÁGÏ � ×pÚ3ÞUÊDÓ�ÁGÇQÑ ØÙ�ÏUÀ E\ÏUÇ@ÛsÅQÑtÇQÞDÐ�Ç^ÚJÓcÇ�É�Ô�Î>À�ÊDÍOÔªÇQÊ ò ÑtÀ�ÍGÐ�Ø'ÉUÔ�Î>ÀcÊJÍOÔªÇQÊ õ76 Ó�Ö�ÓcÆ�À Í(ÇCÊ!Ë Î>Ç�É�ÞUƪÇ/ÑwÄ@ÁtÔ�ÇCÊDÄ^Æ

ÀkiXÞUÔªÕ@Ä^ƪÀcÊDÓcÀ`ÛmÔªÆ�ƳÃJÀ�É�ÀcÊDÇ^ÁGÀ É�Ã�Ö ¨<© 8 ò Ë õ�ò ÑtÀ�ÍGÐ�Ø ¨<© 8 ò Ë õOõ Øf>�Ú�Ë Ô6Í{ÐUÑtÇQгÀcÑ âCÁGÏUÀ�Ê�ÁGÏUÀ�ÑGÀÀ'&�Ô6ÍZÁwÍ{Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^ÆJÉ�ÀcÅCÑGÀ�ÀmÎ>ÄQÐ�É�ÀcÅ 4 ¨<© " ò Ë õ ä SýÛmÏUÔ6ÓwÏ�Ô6Í,É�ÀcÈDÊUÀ�É>Ã�Ö>ÄQÍtÍOÔªÅQÊDÔ�ÊUÅ�ÁtÇ�ÁGÏUÀÓ�Æ6ÄQÍtÍ�Ç^Ú<Ä � ×�Ó�Ö�Ó�ƪÀ�9 ��:$;&ÁtÏUÀ�Ô�ÊXÁtÀcÅQÀ�Ñ<9 ��:�3  ò ; õ 4C 7pØ{Ù�ÏUÀ0LCÀcÑtÊUÀcÆ1ÇQÚ(ÁGÏDÔªÍmÎ�ÄQÐ�ÛmԪƪÆ1ÃJÀÉ�À�ÊUÇ^ÁtÀ�É¢ÃXÖ:0 " ò Ë õ ØÙ�ÏUÀ>= ��� ?!�@Ç^Ú�Ë â1ÛmÏUÔ6ÓwÏ¢Ô6Í�É�ÀcÊDÇ^ÁGÀ É*Ã�Ö A � â(ÔªÍ�Ã�ÖãÉ�ÀcÈDÊUÔ�ÁGÔªÇQÊ¢ÁGÏUÀƪÀ�ÄQÍOÁmÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÕQÀ�É�À�ÅQÑtÀcÀ�Ç^Ú<Ä>Ó�Æ6ÄQÍtÍ�Ô�Ê ¨<© " ò Ë õ%T Ø{Ù�ÏUÀcÑtÀ�ÔªÍmÄ>Ó�ÇCÑGÑtÀ�ÍGгÇQÊDÉ�ÔªÊUÅ>É�ÀcÅCÑGÀ�À/Î�ÄQÐÇQÊ ¨<© " ò Ë õ â1Ä^ÊJÉ&Û\À!ÉUÀ�ÈDÊUÀ!ÁGÏUÀ &BC@ �ED9Ç^Ú�Ë â³ÛmÏUÔ6ÓwÏ�ÛmÔ�ƪÆ�ÃJÀÉ�ÀcÊUÇQÁGÀ É�Ã�ÖFA�âJÁGÇ�ÃJÀ!ÁGÏUÀƪÀ�ÄQÍOÁ�ÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÕQÀ�É�À�ÅQÑtÀcÀ�Ç^Ú�Ä/ÓcƪÄCÍGÍ<ÔªÊ ¨<© " ò Ë õ Ø E\Æ�À Ä^ÑtÆ�ÖGA �IH A�Ä^ÊJÉ>A � A � � 9�Ô�Ú�Ë ò  õ0�� � Ø>�Ê&ÐDÄ^ÑGÁGÔ6Ó�ÞDƪÄQÑ�â�Ã�Ö 3 55qUâ�Ð�Ø 5�f�CDâ K`ÀcÎ�Ä^Ñ�L?9QØ (�7�âIA è � 9/Ú3ÇCÑ`Ä^ƪÆ�ÃUÞ�ÁmÈJÊUÔ ÁtÀcƪÖ�Î�Ä^Ê�Ö�ÐDÑGÔªÎ>À�Í �Ç^Ú<Â�Ø�Ù�ÏUÀ/ƪÀ�ÄCÍZÁ�Ó�ÇCÎÎ>ÇCÊ�Î!ÞUÆ�ÁGÔªÐUƪÀ/ÇQÚ�ÁGÏDÀ/ÔªÊXÁGÀcÅCÀcÑwÍ2A è ò ÑtÀ�ÍGÐ�ØJA �è õ ÛmÔ�ƪÆ�ÃJÀ�É�ÀcÊDÇ^ÁGÀ É�Ã�Ö�Kò ÑtÀ�ÍGÐ�ØLK � õ Ø<IýÀ�ÊUÇ^ÁtÀ�ÁGÏDÄ^Á<A è H A�Ú3ÇCÑ`Ä^ƪÆ���Ä^ÊJÉ1âDÓ�ÇCÊDÍGÀkiXÞUÀcÊXÁtÆ�ÖCâMK H A�Ø� ÔªÕQÀcÊ Ä�ÈDÀcÆ6É �>â<Ô ÁwÍN� �MOQP � �R@S! �TU!VBM�U� �VBW�?��Ô6Í�ÁGÏDÀ�ÍGÞUÃDÍGÀ�Á!ÇQÚ � ÇQÚmÀcƪÀcÎ>ÀcÊXÁtÍ!ÛmÏUÔ6ÓwÏÄ^ÑtÀ>Ä^ƪÅQÀcÃDÑtÄQÔªÓ!Ç@ÕQÀcÑ�ÁtÏUÀ>ÐUÑGÔªÎ>À�ÍOÞUÃUÈDÀcÆ6ÉýÇ^Ú �>Ø >�Ú �YX÷Â�â(ÛmÔ�ÁGÏåÄ^ÃDÍGÇQƪÞ�ÁtÀ � ÄQÆ�ÇCÔªÍ�ÅCÑGÇCÞUÐZ�[ � � ÄQÆ ò � ! � õ âmÄQÊDÉ]\ Ô6Í�Ä^Ê�Ö ÉUÔªÍtÓ�ÑtÀ�ÁtÀQâ�Ó�ÇQÊXÁtÔ�Ê�ÞUÇCÞDÍcâ Z�[ ×�ÎÇ�É�ÞDÆ�ÀCâ\ÁtÏUÀcÊ Û�À�ÛmÔªÆ�ÆÛmÑtÔ ÁtÀ�% 8 ò �*&�\ õ Ú3ÇQÑ�ÁGÏUÀ 6 ×uÁtÏ � Ä^ƪÇQÔ6Í�ÓcÇQÏUÇCÎÇCÆ�ÇCÅQÖ�ÅQÑtÇQÞUÐ=% 8 ò Z�[ &U\ õ Ø 2DÇQÑ�Ä^Ê�Ö 6<^ 9QâÛ�À�ÉUÀ�ÈDÊUÀ c 8 ò �*&�\ õ3� /�ÀcÑI_�% 8 ò �*&�\ õ ä ' è % 8 ò �� è &U\ õa`Ä^ÊJÉ b 8 ò �*&U\ õ3� E\Ç�LQÀcÑc_[% 8 ò �*&�\ õ ä ' è % 8 ò �� è &�\ õa` &ÛmÏUÀ�ÑGÀ!ÁGÏUÀ>É�ÔªÑGÀ ÓyÁ�ÍOÞUÎ�Í/À'&�ÁGÀ�ÊDÉãÇ@ÕCÀcÑ�Ä^ƪÆ'ÐUÑtÔªÎÀ Í<�&ÇQÚ�Â�Ø 2UÇQÑ�ÍGÔ�Î>ÐUƪԪÓcÔ ÁZÖCâ1Û\À+ÛmÔ�ƪÆ<ÛmÑGÔ�ÁGÀc 8 ò \ õ Ú3ÇCÑ c 8 ò Â#&�\ õ ÄQÊDÉ

b 8 ò \ õ Ú3ÇQÑb 8 ò Â#&�\ õ Ø

>�Ú Z Ô6ÍmÄ^Ê&Ä^ƪÅQÀ�ÃUÑtÄQÔªÓ/ÅQÑtÇQÞDÐ�Ç@ÕCÀcÑmÂ�âUÛ�À�ÛmԪƪÆ�ÛmÑGÔ�ÁGÀ % 8 ò Â#& Z õ Ú3ÇCÑ % 8 ò Â�& Z ò  õOõ'GÙ�ÏUÀ�ÑGÀ>Ô6Í�Ä�ÊDÄ@ÁtÞUÑtÄQÆ�ÃUÔ ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÇCÊsÃJÀcÁZÛ\À�ÀcÊýÁGÏDÀ�ÍOÀcÁ�Ç^ÚmÍGÓwÏUÀ�Î�Ä@ÁGÔ6ÓÐJÇCÔ�ÊXÁwÍ�Ç^Ú�Ë ÄQÊDÉ*ÁGÏUÀ

ÍGÀ�Á�Ç^Ú\ÓcÆ�ÇXÍOÀ ÉãÔªÊCÁtÀcÅCÑtÄQÆ'ÍGÞUÃDÍtÓwÏUÀcÎ>À�Í�ÇQÚ,Ë â�ÛmÏUÔ6ÓwÏ*Ô6Í�ÉUÀ�ÈDÊUÀ É*Ã�ÖãÄCÍGÍGÇ�Ó�Ô6Ä@ÁGÔªÊUÅ�ÁtÇ�Ä�гÇQÔªÊCÁ; ��Ë ÁGÏUÀ�ÍGÓwÏUÀ�Î�Ä@ÁGÔ6ÓmÓ�ƪÇCÍGÞUÑtÀ<d ò ; õ Ç^Úe;�ÔªÊ�Ë Ø<Ù�ÏUÀ�ÓcÇ�É�Ô�Î>À�ÊDÍOÔªÇQÊ ò ÑGÀ ÍOÐ�Ø�É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔªÇQÊ õ ÇQÚ;ãÔ6Í`É�ÀcÈDÊUÀ�É�ÁtÇ�ÃJÀ�ÁtÏUÀ�Ó�Ç�É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔªÇQÊ ò ÑtÀ�ÍGÐ�Ø,É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔªÇQÊ õ ÇQÚJd ò ; õ Ø\Ù�ÏUÀ!ÍGÀ�Á`ÇQÚ�гÇQÔªÊXÁtÍmÇQÚË ÇQÚ'Ó�Ç�É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔªÇQÊ ò ÑGÀ ÍOÐ(Ø<ÉUÔ�Î>ÀcÊJÍOÔªÇQÊ õ26 ÛmÔªÆ�Æ1óÀ�É�ÀcÊDÇ^ÁGÀ É�Ã�Ö�Ë 8 ò ÑtÀ�ÍGÐ�Ø<Ë 8 õ âUÄ^ÊDÉ�f�ÛmÔªÆ�Æ

Page 6: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

r ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�ÁGÏUÀ�ÅCÀcÊUÀ�ÑGÔ6Ó�ÐJÇCÔ�ÊXÁ�ÇQÚ�Ë Ø >�ÚJ; �� f�âUÁGÏDÀ�Ú3ÞUÊDÓ�ÁGÔªÇQÊ&ÈDÀ�ƪÉ&ÇQÚJd ò ; õ ÛmÔªÆ�Æ'ÃJÀ+É�ÀcÊUÇQÁGÀ ÉÃ�֢ ò ; õ ØJIýÀ�ÞDÍGÀÁGÏUÀ�ÍOÁtÄQÊDÉUÄ^ÑwÉãÊDÇ^ÁtÄ^ÁGÔªÇQÊs ò Ë õ Ú3ÇCÑ�ÁGÏUÀÚ3ÞUÊJÓyÁGÔªÇQÊýÈDÀ�ƪÉýÇQÚ\Ë � d ò f õ ØÙ�ÏUÀ�Ú3ÞUÊJÓyÁGÔªÇQÊ�ÈDÀ�ƪÉ�ÇQÚ Ë ÛmÔ�ƪÆ�óÀ�É�ÀcÊUÇQÁGÀ É�Ã�Ö Â ò Ë õ Ø>�ÚmÄ&Â�×uÁtÇQÑtÞDÍ�� Ô6Í�ÍGÐUÆ�Ô�Á�Ã�ÖãÁtÏUÀ>ÈDÊUÔ�ÁGÀ � ÄQÆ�ÇCÔªÍ�Àb&XÁtÀcÊDÍGÔªÇQÊ �o! Â�â1ÁGÏDÀcÊ � Ä^Æ ò  !^�¢õ ÄQÓ�ÁtÍ

ÁGÑtÔªÕXÔ6Ä^ƪƪÖ�ÇQÊ�ÁGÏUÀ�ÓcÇQÑtÑGÀ ÍOгÇQÊJÉ�Ô�ÊDÅ���×pÎ>Ç�É�ÞUƪÀ����Ø<I¢À�ÁtÏUÀcÊ�ÍtÄeÖ�ÁGÏJÄ@Á �o!  � � &� � �� �� � �����ØÙ�ÏUÀ ò ÅCÀcÇCÎÀcÁGÑtÔªÓ õ à GÀ�ÑGÇCÊ�×y;�ÀcÕQÀ�ÑGÔJÅQÑtÇQÞUÐ�Ç^Ú�ÄÐUÑGÇCÐJÀ�Ñ`ÂX×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ë ÛmÔ�ƪÆ1óÀ�É�ÀcÊUÇQÁGÀ É�Ã�Ö

à ; ò Ë õ Ø�I ÏUÀcÊ�à ; ò Ë õ Ô6Í�ÁGÇQÑwÍGÔ�ÇCÊ�×uÚ3ÑtÀcÀCâ�ÁGÏUÀ������!VB��� �� ��� � J� ! � ��G! mË ÔªÍmÃ�Ö�ÉUÀ�ÈDÊUÔ�ÁGÔªÇQÊÁGÏDÀ!ÂX×uÁtÇQÑtÞDÍ�Ó�ÇCÑGÑtÑGÀ ÍOгÇQÊJÉ�Ô�ÊDÅ!ÁtÇ>à ; ò Ë õ Ø>�Ú<Â�Ô6ÍmÄ�ÈDÀ�ƪÉ�ÇQÚ�ÓwÏDÄQÑtÄCÓyÁGÀ�ÑGÔ6ÍOÁGÔ6Ó � â ��Ô6ÍmÄ!ÐUÑtÔªÎÀ�Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ`Ä^ÊDÉ �*Ô6ÍmÄ!гÇCÍGÔ�ÁGÔªÕQÀ�Ô�ÊXÁtÀcÅQÀ�Ñ�â

��O� É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�Í�ÁGÏUÀ GÀcÁtÄ^ƪÀ+ÂX×�ÅQÑtÇQÞDÐãÍGÓwÏUÀ�Î>À!Ç^Ú� , ×uÁtÏ*ÑtÇ�Ç^ÁtÍ�Ç^Ú,ÞDÊUÔ ÁZÖ ò ÇQÑ/ÁGÏUÀmGÀ�ÁwÄ^ƪÀ!ÍGÏUÀ�Ä^Ú{Ô ÁÉ�ÀcÈDÊUÀ�Í õ Ø�2DÇQÑ��>Ä�гÇCÍGÔ ÁtÔ�ÕCÀ/ÔªÊXÁGÀ�ÅQÀcÑ�Û�À/ÍGÀ�Á �����O � � O ������� � � O ò �+ÁtÔ�Î>À�Í õ Ä^ÊDÉ�É�À�ÈJÊUÀQâÚ3ÇQÑ 62^ � â�% 8 ò Ëm&�S O ò � õOõ � ƪÔ�Î���, % 8�� � ò Ëm& �����O õ Ø�2DÞUÑGÁGÏUÀ�Ñ�â�Û�À�É�À�ÈJÊUÀ

% 8 ò Ëm& - ! S ò � õGõ���� O ƪԪÎ� ä , % 8�� � ò Ëm& �����O� �õ &ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏDÀ�ÍOÞUÎ À'&�ÁGÀ�ÊDÉUÍ�Ç@ÕCÀcÑmÄ^ƪÆ1ÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQÆ1ÐUÑtÔ�Î>À�Í �OØÙ'Ç>ÍGÔªÎÐDÆ�Ô�Ú3Ö�ÁtÏUÀ�ÊUÇ^ÁwÄ@ÁtÔ�ÇCÊ�â�Û\À�ÛmÔªÆ�Æ(ÛmÑGÔ�ÁGÀ% Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ�� /�À�Ñ@? % Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ ä % Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ'A &c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ�� /�À�Ñ ? % Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ ä(' è % Q ò  è ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ A &b Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ�� E\Ç�LQÀcÑ ? % Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ ä(' è % Q ò  è ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ A�&

ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏDÀãÎ�Ä^ÐDÍ>ÔªÊ�ÕQÇQƪÕQÀ É9ÄQÑGÀ&ÔªÊDÉ�ÞDÓcÀ�É Ã�Ö ÁtÏUÀ�ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^ÆmÑtÀ�ÍOÁGÑtÔªÓ�ÁGÔªÇQÊ Î>ÄQÐDÍ ò ÏUÀcÑtÀ�ÁGÏUÀÍGÞUÃDÍtÓ�ÑtÔ�Ð�Á + � -!ÍOÁtÄ^ÊJÉUÍ{Ú3ÇCÑ � � !��#O �.�� ?T`Ó�ÇQÏDÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÖ+Ó�Æ6ÄQÍtÍGÀ�Í õ Ø<à`Ç^ÁtÀ�ÁtÏDÄ@Á â�ÛmÏUÀcÊ�É�Ô�Î ò Ë õ )5�â<ÁtÏUÀ&Ó�ÇQÏDÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÔªÓ�Ä^Æ,É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔªÇQÊ ÇQÚ Â ò Ë õ Ô6Í!ƪÀ�ÍtÍ!ÁGÏDÄQÊ ÇQÑÀkiXÞDÄQÆ,ÁtÇ 5*Ä^ÊDÉ ÁGÏUÀ�ÑGÀcÚ3ÇQÑtÀ%#Q" ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ�� %#Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ â c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ�� c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõÄ^ÊJÉ

b Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ�� b Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ Øà`Ç@Û ÑtÀ�Ó�Ä^ƪÆUÁGÏDÀ�ÔªÊCÁtÀcÅCÀcÑ �ãÄQÊDÉ�ÛmÑtÔ ÁtÀ$# , ò Ë õ Ú3ÇQÑ,ÁGÏUÀ/ÅQÑtÇQÞUÐ�ÇQÚ(Ó�Ç�É�ÔªÎ>ÀcÊDÍGÔ�ÇCÊ ��Ó�Ö�Ó�ƪÀ�Í

ÇQÊ Ë Ø{¿(À�Á % , �� 4 �&(' . *),+  ò.-�õ 4 ä/# , ò Ë õóÀ�ÁGÏUÀ�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ +tÍOÞDÎ Ç^Ú�É�ÔªÕXÔ6ÍGÇQÑwÍ.-!Î>ÄQÐ 3 6 �Uâ�Ð�Ø N�5�7(Ä^ÊDÉ�ÍOÀcÁ

0 ,�ò Ë õ�� /�À�Ñ�12�3 ô ò % , �� õ 4�% ô54 Â#& �&(' . *),+  ò6-Uõ 487 ä % ô ò Â#&9# , ò Ë õGõ9:; G ò 9 G 9 õÙ�ÏUÀ�Ê<0 ,�ò Ë õ ÓcÇQÊXÁtÄQÔ�ÊDÍ+ÄãÓ�ÇCÐ�Ö¢ÇQÚ=0 � ò 1 õX� Ý�Ñ � 1 � /�ÀcÑ ò Ý\Ñ 1 ä%Ý�Ñ 1 õ Ú3ÇQÑ!À�ÕQÀ�ÑGÖÍGÎÇ�ÇQÁGÏåÓ�ƪÇCÍGÀ�É¢Ô�ÊXÁGÀ�ÅQÑwÄ^Æ{ÍGÞUÃDÍtÓwÏUÀcÎ>À 1 Ç^Ú�Ë ÇQÚ�ÓcÇ�ÉUÔ�Î>ÀcÊJÍOÔªÇQÊ'� � 9 ò ÍOÀ�À?3 9kfDâ�>�6�7,Ä^ÊJÉ3+9P5�â?>P9 7 õ Ø�'/À�ÈDÊDÀ @ , ò Ë õ�� /�À�ÑI_A0G, ò Ë õ ä ' è 0G, ò Ë è õa` & ò 9 G 5 õ

Page 7: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � �

ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏUÀ�Î�Ä^Ð9Ô�Ê�ÕQÇCÆ�ÕCÀ�ÉsÔ6ÍÔ�ÊJÉ�ÞDÓ�À É Ã�ÖåÁtÏUÀ�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^Æ�ÑtÀ�ÍOÁGÑtÔªÓ�ÁGÔªÇQÊ Î�Ä^ÐJÍ 0 ,�ò Ë õ ä0 ,�ò Ë è õ ØÙ�ÏDÀcÊ�â1Ã�Ö�ÁtÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ!ÑtÀcÎ�ÄQÑ�L�â @ ,�ò Ë õ ÓcÇQÊXÁtÄQÔ�ÊJÍ�Ä�Ó�ÇCÐ�Ö�Ç^Ú @ � ò 1 õ Ú3ÇCÑ�À�ÕQÀ�ÑGÖÍGÎÇ�ÇQÁGÏ Ó�ƪÇCÍGÀ�É9Ô�ÊXÁGÀ�ÅQÑwÄ^ÆmÍGÞUÃDÍtÓwÏUÀcÎ>À 1�� Ë Ç^Ú�ÓcÇ�É�Ô�Î>À�ÊDÍOÔªÇQÊ � � 9QØ8>�Ê ÐDÄQÑOÁtÔªÓcÞUƪÄQÑ�â@� ò Ë õ Ó�ÇQÊXÁwÄ^ÔªÊDÍ�ÄÓcÇQÐ�Ö�ÇQÚ@

� ò���õ3�@ò���õ3� /�ÀcÑM_GÝ\Ñ � ä(' è Ý�Ñ � è `

Ú3ÇQÑ�À�ÕQÀcÑtÖ�ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ�Ó�ÞUÑtÕQÀ � ƪÖ�Ô�ÊUÅÇQÊ�Ë ò Û�À�ÏDÄeÕQÀ/ÞDÍOÀ É�ÁtÏUÀ�Û\À�Æ�Æ�×dL�ÊUÇ@ÛmÊ�Ú�ÄQÓyÁÁGÏJÄ@ÁÝ�Ñ � � � Ø ;�ÀcÀ 3+9�N�â E\ÇQÑ ØRq�Ø �Uâ<Ð�Ø 9-6}5�7 õ Ø*à�Ç@Û ÑGÀ ÓcÄ^ƪÆ{ÁtÏUÀ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔªÊUÅãÛ�ÀcÆªÆ ×hL�ÊUÇ@ÛmÊÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎ ÇQÚ )sØ h`ÑGÁGÔªÊ 4�Ô Ú � Ô6Í�Ä�ÍGÎÇ�ÇQÁGÏ*ÐDÑGÇQÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀÓcÞUÑtÕQÀ!ÏJÄeÕXÔªÊUÅ�Ä � ×�ÓcÖ�ÓcÆ�ÀÇ^Ú�É�ÀcÅCÑGÀ�ÀÇQÊDÀQâmÁtÏUÀcÊ

@ò���õ Ô6Í�ÓcÄ^ÊDÇQÊUÔ6ÓcÄQÆ�ƪÖ9Ô6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6Ó&ÁGÇ ÁGÏUÀýÙ'Ä^ÁGÀc×y;�ÏJÄ@Ú�Ä^ÑtÀcÕ�Ô6ÓwÏ ÅQÑtÇQÞUÐ ÇQÚ�ÁGÏUÀ

AXÄQÓ�ÇCÃUÔ6Ä^Ê�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ&Ç^Ú � â(ÄCÍGÍGÞUÎ>ÔªÊUÅ�ÁtÏUÀ+Æ6Ä@ÁGÁGÀ�Ñ/ÅCÑGÇCÞUÐãÔ6Í�ÈJÊUÔ ÁtÀ ò ÍGÀcÀ 3 5�C�7 õ Ø I¢À>Ó�ÇCÊDÓ�ƪÞDÉ�ÀÁGÏJÄ@Á

@� ò Ë õ Ó�ÇQÊXÁwÄ^ÔªÊDÍ`Ä>Ó�ÇCÐXÖ�Ç^Ú�ÁGÏUÀ�Ù�Ä@ÁtÀ�×q;�ÏDÄ^Ú�Ä^ÑtÀcÕ�ÔªÓwÏ�ÅQÑtÇQÞDÐ�ÇQÚ'ÁtÏUÀ�ACÄCÓ�ÇCÃUÔªÄQÊ�Õ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖÇ^Ú�À�ÕQÀcÑtÖ�ÍGÎ>Ç�Ç^ÁGÏ�ÐDÑGÇQÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ�Ó�ÞUÑtÕQÀ�ÇQÚ�Ô�ÊDÉUÀ'& 9�Æ�Ö�ÔªÊUÅ�ÇCÊ�Ë âDÐUÑtÇ@Õ�ÔªÉUÀ�É�ÁGÏUÀ!ƪÄ^ÁOÁGÀ�Ñ�ÅCÑGÇCÞUÐ

Ô6Í`ÈDÊDÔ ÁtÀ ò ÊDÇ^ÁGÀ!ÁGÏDÄ^Á�Ä�ÊDÀ�Ó�À ÍGÍtÄ^ÑtÖ�ÓcÇQÊDÉUÔ ÁtÔ�ÇCÊ&Ú3ÇQÑ/ÍGÞDÓwÏ*Ä�Ó�ÞUÑtÕQÀ�ÁtÇ�À'&�Ô6ÍZÁ�ÇQÊ�ËÌÔ6Í`ÁtÏDÄ@Á/ËÔ�ÁtÍGÀcÆ�Ú�ÏDÄeÕCÀ�Ä � ×�ÓcÖ�Ó�ƪÀ/ÇQÚ<É�À�ÅQÑtÀcÀ 9 õ ØIýÀ�ÊUÇ@Û ÍOÁtÄ^ÁGÀ�ÁGÏUÑtÀcÀ�ÃDÄCÍOÔ6Ó�ÑGÀ ÍOÞDÆ ÁwÍ�Ú3ÑGÇCÎáÏUÇCÎÇCÆ�ÇCÅQÔ6ÓcÄQƳÄQÆ�ÅCÀcÃUÑwÄUØE\ÇQÊJÍOÔ6É�ÀcÑ�ÁtÏUÀ�Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅ>À'&UÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ Ô�Ê�ÄÅQÔªÕQÀ�Ê�ÄQÃJÀ�Æ�Ô6Ä^Ê&ÓcÄ^ÁGÀcÅCÇQÑtÖN4

� � � ä 0 � � � ä 0 ô � � ä 0 Q � � ä 0�� � � ä �

���

��� � � ä 0 � � � ä 0 ô � � ä 0 Q � � ä 0 � � � ä � Gò 9 G 6 õ

�,ë�î î +¢ñ³ð�ñ³ð �³ÿû��n��ø� Dû:��ù��yÿ�"" UùpûUù��d.eø �a�6û@ü��yû�"áÿ��,ù��³øT�uÿ���" W a�� �.YbM�9<�³ø!�yø f � �mû��Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎoM�ù��³ø!�yøT�)�`û����wÿF���6ûUù�øP��û��ãø� Dû:��ù<�wø5*:Xø�����ø

� ä 0 � ä 0 � ä /�ÀcÑ���ä /�ÀcÑ � ä � G��a��ù��³ø��kM�ù��³ø!�yø�ø� :� ��ù��`û4�wû��³ÿ������yû@þ��)�wÿ�"�ÿ��h$��F� ��"

E\ÇaLCÀcÑ�� � E\ÇaLCÀcÑ � G� �E!�! wØ&Ù�ÏUÔ6Í�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í�ÛmÔ ÁtÏUÇQÞUÁ+É�Ô���ÓcÞUÆ�ÁZÖ¢Ã�Ö¢ÄQÐUÐUƪÖ�Ô�ÊUÅ&ÁtÏUÀ�ÍGÊDÄ�LCÀ�Æ�À�Î>Î>Ä�ÁtÇãÓ�À�ÑOÁwÄ^ÔªÊ

É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ>Í�É�À É�ÞDÓcÀ�É�Ú3ÑGÇCÎ ò 9CØ 6 õ Ø�E\ÇCÎÐJÄ^ÑtÀ 3+9a9Câ {ÑtÇQÐ�Ø 9QØ (>Ä^ÊDÉ&¿�À�Î>Î>Ä 9CØON�7pØ��IýÀ�ÊUÇ@Û ÓcÇQÊDÍGÔªÉUÀcÑ�ÁGÏUÀ�Àb&UÄQÓyÁ`ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀ�ÉUÔªÄQÅQÑwÄ^Î

� ��� ä 0 � ��� ä 0 ô ���� ä 0 Q ���� ä 0 � ���� ä 0����

� �

�� ��� ä 0 � ��� ä 0 ô !��� ä 0 Q 8��� ä 0�� O��� ä 0 � G ò 9 G q õ

Page 8: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

� ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ��,ë�î î +éñJð��1ð ��ÿ*û��5� ø� Uû:��ù��yÿ�" " UùpûUù��d.eø=�a�Iûeü��yû�" ÿ���ù��³øB�uÿ���" W a����kYbM 9<�³ø���ø � � �ÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�M'ù��³ø!�yøT�)��û����wÿF���6ûUù�øP��û4�yÿ�"�$�þ3ø� � ä /�ÀcÑ��!ä /�À�Ñ��!ä /�ÀcÑVf�ä /�ÀcÑ �9<�F���q���)�<ø� Uû:��ù1ø� #�yø[$<ù}$<ø����Jû�$��'û�ùf/�ÀcÑVf*M 9<�³ø!�yøf�uùd� ��ÿ�"�ÿeþ3ÿ ü5� �)��ûT��Dú@ü���ÿ -$�ÿ�� E\ÇaLQÀ�Ñ�����y�B$�û�� ù����-Qþ6û��bM:� ���)� ��a�),�ø���ù��d.eø.M�ù��³ø!�åù��³ø�ûDú�ÿ�.@ø0��ÿ�"�$�þ3ø� 4�)�/ø� Dû:��ù��� �E!�! wØ ;�ÀcÀJ3+9P5�âU¿(ÀcÎ>Î�Ä 9QØ C�7�Ø��IýÀÍGÏDÄ^ƪÆ<Ä^Æ6ÍOÇ�ÊUÀcÀ É&ÁGÏUÀÚ3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅ�Õ@Ä^ÑtÔªÄQÊCÁ�Ç^Ú{ÁtÏUÀÐUÑGÀ Ó�À É�Ô�ÊDÅ�ƪÀcÎ>Î�ÄUØVE\ÇQÊDÍGÔ6É�ÀcÑ�ÁGÏUÀ

À'&UÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � � ä 0 � � � ä 0 ô � � ä 0 Q � � ä 0 ��

�� � � ä 0 � � � ä 0 ô � � ä 0 Q � � ä 0 ��G ò 9 G ( õ�,ë�î î +*ñ³ð�/(ð ��ÿ�û��n� ��ÿ�""4Dùpû�ù���.@ø �a�Iûeü}�wû�" ÿ���ù��³ø �uÿ���" W a���bYbM�9<�³ø���ø � �)��Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ�Mù���ø���ø �)��ûa���yÿF���Iû�ù�ø��>û��JûUù[��yû@þ'ø� Uû:��ù<�yø+*:Xø����yø� ä /�À�Ñ���ä /�ÀcÑ$f�ä /�ÀcÑ���ä(E\ÇaLCÀcÑ��!ä E\ÇaLQÀ�Ñ f>ä(E\Ç�LQÀ�Ñ � G�y� $(û�� ù����-^þIû��kM �+� �?�)��û�� �)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["oMmù���ø�� ù��³ø!�yø�ø� :� ��ù���û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�wÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["/�ÀcÑVf � /�À�Ñ��D� �� �E!�! wØ\Ù�ÏUÀ�ÐUÑGÇ�ÇQÚ'Ô6Í`ÍOÔªÎ>Ô�Æ6Ä^Ñ�ÁtÇÁGÏDÄ^Á`Ç^Ú�¿�ÀcÎ>Î�Ä 9QØ CÇ^Ú 3+9P5�7pØ �à`Ç@Û ÆªÀ�Á�Ë Ã³À�Ä+ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ/Â�×pÕ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁZÖÇ@ÕQÀcÑ�Ä�Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ,ÈDÀ�ƪÉ�Â�Ä^ÊJÉ�ÑGÀ ÓcÄQÆ�ÆDÁGÏUÀ

ƪÇ�Ó�Ä^Æ1гÀcÑtÔ�Ç�ÉUÍ A �è ÄCÍGÍGÇ�Ó�Ô6Ä@ÁGÀ É�ÁtÇ>Ë Ø�,ë�î î + ñ³ð76'ð ö<øeù�Ë ú�ø!ûB��"�ÿXÿ�ù��4$#��ÿ ,�ø���ù���.@ø� �[.yû����3øeù��¢ÿ�.eø!�/û�#�"�ú�ø!� � øyþ��&Â�� � ����-�"�ø�ù��³û�ù�ù��³ømþIÿF�wû^þ $<ø����3ÿ:�}�LA �è ÿ��1Ë û���ø ��øwþIû�ù���.@øwþ\��$#��� "�ø �+� $�û�� ���P�*� �³ø��ãù��³ø���ø�ø� :� ��ù��û��Jû�ù���yû@þ'ø� Dû:��ù<�wø5*:Xø�����ø� ä�� ô ä c � ò h`ƪà .�� ' õ ä c � ò ¨<© " ò Ë õOõ ä � &9<�³ø!�yø�� ô �)�`û � �F�pù�ø/ü}�yÿ:-$¢ÿ���ÿ�����ø��

3�� ô 7 � A ��! $ A �è G� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ�ÑGÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍmÄ>ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ�À'&UÄQÓ�Á�Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î� � ä S ! A � S � ä % � ò � &�h`ƪà .�� ' õ � ä % � ò � & ¨<© " ò Ë õGõ � ä �

� � ä $ è S ! A �è S � ä $ è % � ò � è &Uh`ƪà .�� ' õ � ä $ è % � ò � è & ¨<© " ò Ë è õOõ � ä � &ÛmÏUÀ�ÑGÀ>ÁtÏUÀ�ÑtÇ@Û`Í�Ä^ÑtÀ�ÅQÔªÕQÀcÊåÃ�Ö 3+9bfJâ<E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖefDØ 9a9�7,Ä^ÊDÉýÁtÏUÀ�ƪÀ�ÚIÁ!ÕCÀcÑGÁGÔ6ÓcÄQÆ�Î>ÄQÐsÔªÍ�ÁGÏUÀÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^ƳÉ�ÔªÄQÅQÇCÊDÄ^ÆJÎ>ÄQÐ�Ø�h`ÐUÐDÆ�Ö�ÔªÊUÅ!ÁtÏUÀ/ÍGÊDÄaLQÀ`ƪÀcÎ>Î�Ä�ÁtÇ!ÁtÏUÀ/ÄQÃJÇ@ÕCÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î&âCÛ\À/ÇQÃ�ÁwÄ^ÔªÊÄÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ1À'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ� ä�� ô ä c � ò h`ƪà .�� ' õ ä c � ò ¨<© " ò Ë õOõ ä�� Q &ÛmÏUÀ�ÑGÀ�� ô ÄQÊDÉ�� Q Ä^ÑtÀ\ÈDÊUÔ�ÁGÀ`ÅCÑGÇCÞUÐDÍ�Ç^Ú³ÇQÑwÉ�ÀcÑwÍ A � ! K � ÄQÊDÉ $ A �è ! K � âQÑtÀ�ÍGгÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀcƪÖQâ@ÛmÏUÀ�ÑGÀK � É�ÀcÊDÇ^ÁGÀ Í�ÁGÏUÀ�ƪÀ�ÄCÍZÁ�Ó�ÇCÎÎ>ÇCÊ!Î!ÞDÆ ÁtÔ�ÐUƪÀ�Ç^ÚJÁGÏUÀ�ÔªÊCÁtÀcÅCÀcÑwÍ A �è ò ÍGÀcÀ03+9a9Qâ^¿(ÀcÎ>Î�Ä 9QØ 6�7 õ Ø'à�Ç@ÛÁGÏDÀ�ÏXÖ�гÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔªÍ�ÅCÞDÄ^ÑwÄ^ÊXÁtÀcÀ�Í\ÁtÏDÄ@Á $ A �è � K � âDÛmÏUÔªÓwÏ&Ö�ÔªÀcÆ6ÉUÍ�ÁGÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ø �

Page 9: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � �

à`Ç@Û ÆªÀ�Á�Ë ÄQÊDÉ�Â>óÀ�ÄQÍ�Ä^óÇ@ÕQÀ�ÄQÊDÉ�ƪÀ�Á�� 4. 4 ¨<© , ò Ë õ ä ¨<© , ò Ë õ%T ÃJÀ�ÁGÏDÀ/ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^ÆÎ�Ä^Ð�Ø�Ù�ÏUÀ�Ê�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5�Ø q�Ç^Ú 3+9bfa7³ÍGÏUÇ@Û`Í�ÁtÏDÄ@Á\ÁGÏUÀ�ÑGÀ/À'&�ÔªÍOÁtÍ�Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ ò ÔpØ ÀCØ�âXÚ3ÞUÊJÓyÁGÇCÑGÔ6Ä^ƳԪÊ õ ÈDÕCÀ�×pÁGÀ�ÑGÎ Àb&UÄQÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À� ä(E\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. ä % ô ò Â#&�/�ÀcÑ

% , �� õ ä 0G, ò Ë õ ä % � ò Â#& ¨<© , ò Ë õOõä % Q ò Â#&�/�À�Ñ % , �� õ &

ÛmÏUÀ�ÑGÀ 0G, ò Ë õ Ô6Í�ÁGÏUÀ�ÅCÑGÇCÞUÐ ò 9QØ 9 õ Ø{Ù�ÏUÀcÑtÀ�À'&�Ô6ÍZÁ`ÍGÔ�Î>ԪƪÄQÑmÀ'&UÄQÓ�Á�ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ�ÍmÄQÍtÍGÇ�ÓcÔªÄ^ÁGÀ É�ÁGÇÁGÏDÀ/ è ×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ�Ë è Ú3ÇCÑ,À ÄQÓwÏ>ÐUÑtÔ�Î>À �!ÇQÚ(Â�Ø @/ÍOÔªÊUÅ�ÁtÏUÀ�ÍGÀ�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À ÍcâCÛ\ÀmÇCÃ�ÁtÄQÔ�Ê�Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^ÆÈDÕCÀ�×�Ó�ÇQƪÞUÎ>Ê�À'&UÄQÓ�ÁmÓcÇQÎ>Î!ÞUÁtÄ@ÁtÔ�ÕCÀ�É�ÔªÄQÅQÑwÄ^Î� � ä E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. � ä % ô ò Â#&�/�ÀcÑ

% , �� õ � ä GbGkG � ä %#Q ò Â#&�/�À�Ñ % , �� õ

� � ä $ è E\ÇaLCÀcÑ�� 4. V � ä $ è % ô ò  è &�/�ÀcÑ

% , ��è õ � ä GbGkG � ä $ è %#Q ò  è &�/�ÀcÑ % , ��è õ &ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏDÀ�ÐUÑGÇ�É�ÞJÓyÁtÍ�Àb&�ÁGÀcÊJÉ�Ç@ÕCÀcÑmÄ^ƪÆ1ÐUÑtÔ�Î>À Í ��Ç^Ú{Â�Ø ;�ÔªÊDÓ�À�ÁtÏUÀ�ÓcÄQÊUÇQÊDÔªÓ�Ä^Æ�Î�Ä^Ð

% Q ò  è &�/�ÀcÑ % , �� õ ä(' è % Q ò  è &�/�À�Ñ % , ��è õ

Ô6Í�Ô�Ê@ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ?3 5F9Qâ ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊ=q�ØO5�â�Ð�Ø NJ(�7pâ'Ä^ÊåÄ^ÐUÐUƪÔ6ÓcÄ@ÁtÔ�ÇCÊ¢ÇQÚ�¿(ÀcÎ>Î�Ä 9QØO5�ÁtÇ�ÁGÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀÉ�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ�ÁtÏUÀ�Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅ>ÑtÀ�ÍGÞUÆ Á Ø��ê�ë�ìDí@ë�î ñJð�H1ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ �yÿ�"�$�þ3ø� � ä /�À�Ñ _)E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. ä ' è E\ÇaLCÀcÑ�� 4. V ` ä c ô ò /�À�Ñ

% , �� õ ä @ , ò Ë õ ä c � ò ¨<© , ò Ë õGõ &9<�³ø!�yø

@ ,1ò Ë õ �)��ù��³ø+ü}�yÿ:-$ W aa� �.Y�� � �³ø�ûDú�ÿ�.@øJ��ÿ�"�$�þ3ø� � �>ø� Dû � ù/ø� #�yø[$<ù�$<ø����Jû�$��+û�ù@ ,1ò Ë õ ME9<��ø���ø �pù�� �³ÿ�"�ÿeþ3ÿ ü5�4� �`û �-Dúeü}�yÿ:-$ýÿ��fE\Ç�LQÀcÑ ? E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. ä $ è E\Ç�LQÀcÑ�� 4. V Aa��ë�îr+Uí��åñ³ð�l(ð Ù�ÏUÀ�ÐUÑtÀ�Ó�À É�ÔªÊUÅ�ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�ÎéÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^ƪÔ�Ü�À�Í�âeÔ�Ê+ÁGÏUÀmÍGÎ>ÇXÇQÁGÏ+ÐUÑGÇQÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�ÓcÄQÍGÀQâ

Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ q�Ø C�Ç^Ú 3+9P5�7pâXÛmÏUÔ6ÓwÏ�Î�ÄeÖÑGÀ Ó�Ç@ÕQÀ�ÑGÀ ÉÃXÖ�ÍGÀ�ÁGÁGÔªÊUÅ � � 9/Ô�Ê�ÁGÏUÀ/ÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎ ò ÍGÀcÀ3+9bfDâKmÀ�Î>ÄQÑ�L 5�Ø (�7 õ Ø�Ù�Ï�ÞDÍ�â'Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ(9CØ q�Ä^óÇ@ÕQÀ>Î�ÄeÖãóÀ�ÍOÀ�ÀcÊåÄQÍ�Ä&ÍGÔ�ÅCÊUÔ�ÈJÓcÄQÊCÁ�ÅCÀcÊUÀ�ÑtÄQÆ�ÔªÜ�Ä^×ÁGÔªÇQÊ�Ç^Ú )sØ h`ÑGÁGÔªÊ�1 Í`ÇQÑtÔ�ÅCÔ�ÊDÄQÆJÑtÀ�ÍGÞUÆ�ÁmÑGÀ�ƪÄ^ÁGÔªÊUÅÙ�Ä@ÁtÀ�×q;�ÏDÄ^Ú�Ä^ÑtÀcÕ�ÔªÓwÏ�ÅQÑtÇQÞUÐJÍ\ÇQÚ AXÄQÓcÇQÃUÔ6Ä^ÊDÍ�Ä^ÊJÉÝ�ÑtÄQÞUÀcÑ�ÅCÑGÇCÞUÐDÍ�Ç^Ú�ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�À�Í�Ø�,ë�î î + ñ³ð � ð ö<øeù�Ë ú�ø!ûB��"�ÿXÿ�ù��4$#��ÿ ,�ø���ù���.@ø� �[.yû����3øeù��¢ÿ�.eø!�/û�#�"�ú�ø!� � øyþ��&Â�� � ����-�"�ø�à ; ò Ë è õ ���U��� �>� �uÿ��/ø�.@ø��%�$#���+"�ø<��ÿ��< � � �³ø��åù��³ø �Jû�ù���yû@þ�"�û�$

% ô ò Â#&�% " ò Ë &%$ ôeõOõ ä(' è % ô ò  è &�% " ò Ë è &U$ ôeõOõ�)�`û�� � �yÿ�"�ÿ��h$#��� ��"=�� �E!�! wØ�Ý\Ö¢¿�ÀcÎ>Î�Ä=6UØ 9ÃJÀ�Æ�Ç@Û Ä^ÊDÉ*ÁGÏDÀ�ÞUÊUÔ iCÞDÀ�É�Ô�Õ�Ô6ÍOÔªÃUÔªÆ�Ô�ÁZÖ*ÇQÚ %R" ò Ë &%$ ô õU! ÁGÇCÑtÍ3ON�â

ÐUÑtÇ�Ç^Ú<Ç^Ú {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ 6DØ �DâUÐ�Ø 9-C � 7pâUÁGÏUÀ�Î�ÄQÐ�Ç^Ú�ÁGÏUÀ�ƪÀcÎ>Î�Ä�Î�ÄeÖ�óÀ�Ô6É�ÀcÊXÁGÔ�ÈDÀ É&ÛmÔ ÁtÏ&ÁGÏUÀÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Î�Ä^Ð

% ô ò Â#&�% � ò Ëm&.- ! S ò 5 õGõ�� �Qõ ä(' è % ô ò  è &�% � ò Ë è &.- ! S ò 5 õGõ�� �Qõ'Gà`Ç@Û ACÄQÊUÊDÍGÀcÊ�1 Í�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 3+9-C�7�ÄCÍGÍGÀcÑGÁtÍ\ÁGÏJÄ@ÁmÁGÏDÀ�Æ6Ä@ÁGÁGÀ�ÑmÎ>ÄQÐ�Ô6Í`ÄQÊ�Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ&â�ÛmÏUÔ6ÓwÏÖ�Ô�À�ƪÉDÍ�ÁGÏUÀ�ƪÀcÎ>Î�ÄUØ �

Page 10: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

l[R ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � � �í@ì��\ì���������ì�·ñJð#"�ð ö�ø@ù{Ë ú�ø�ûJ�["�ÿ�ÿ�ù��4$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù��ãÿ�.eø!��û�#�"�ú�ø�� � øwþ���Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ à ; ò Ë è õ ������� �L� �uÿ��/ø�.eø!�;� $#��� "�ø<��ÿ��<ÂNMJû����ò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä(' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c ô ò���ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&%$ ô õGõ��>c ô òu��ô  ò Ë õOõBG� �E!�! wØ\Ù'ÄaLXÔªÊUÅ>Ó�ÇCÏUÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÖ�Ç^Ú'ÁGÏUÀ�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&UÄQÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À� ä % " ò Ëm&U$ ô õ ä ��ô  ò Ë õ ä ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&U$ ôeõ ä �

Ç@ÕQÀ�Ñ�Â�ÄQÊDÉãÇ@ÕCÀcÑ� è Ú3ÇCÑ/À ÄQÓwÏãÐUÑtÔªÎÀX�&Ç^Ú�Â�â�Û�À!ÇCÃ�ÁtÄQÔ�ÊýÄ�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�À'&UÄQÓ�Á�ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀÉ�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � ä � ä % ô ò Â#& ��ô  ò Ë õGõ � ä % ô�� Â#&� �� '�� .����� � . - � � ��� � ä %#Q ò Â#&�%R" ò Ëm&%$ ô õGõ

� � ä $ è è � ä $ è % ô òu��ô  è ò Ë õOõ � ä $ è % ô�� �� ' V � .��� � � . V - � � ��� � ä $ è %#Q ò %#" ò Ë è &U$ ô õGõ

ÛmÏUÀ�ÑGÀ� � >�Î ? % ô ò Â#&�%#" ò Ë &%$ ô õOõ ä(% ô ò Â#& � ô  ò Ë õOõ A â� è ÔªÍ�ÍGÔ�Î>ԪƪÄQÑGƪÖ�ÉUÀ�ÈDÊUÀ É�Ú3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏÐUÑtÔ�Î>À �ãÇQÚmÂýÄQÊDÉýÇQÊýÁGÏUÀ�óÇ^ÁGÁGÇCÎ ÑtÇ@Û÷Û�À�ÏDÄeÕQÀÛmÑGÔ�ÁOÁtÀcÊ�â'Ú3ÇQÑ�ÁZÖXгÇQÅCÑtÄQÐUÏUÔ6ÓcÄQÆ�ÑtÀ�ÄCÍOÇCÊDÍ�â% 8 ò � õ Ú3ÇCÑV% 8 ò  è & � õ Ø=;�Ô�ÊDÓcÀ�ÁGÏDÀ�ÑtÔ�ÅCÏCÁG×pÎ>ÇXÍZÁ�ÕCÀcÑGÁGÔ6ÓcÄ^Æ,Î>ÄQÐsÔ�ÊåÁtÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ�É�ÔªÄQÅQÑwÄ^Î ÔªÍÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ 3 5:9Câ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊLqUØ 5UâmÐ�Ø NJ(�7�â`Ä^Ê ÄQÐUÐUƪԪÓ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊ Ç^Ú�¿�À�ÎÎ�Ä 9CØ 6sÁGÇsÁtÏUÀ¢ÄQÃJÇ@ÕCÀÉ�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍmÄ>ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�Àb&�ÄCÓyÁ�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

� ä /�ÀcÑ D ä(' è è F�ä c ô ò���ô  ò Ë õOõ ä c ô ò���ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&%$ ô õGõä(E\ÇaLCÀcÑ�D�+ä ' è è F�G

à`Ç@Û ÍGÀ�Á�� � >�Î ? %=� ò Â#& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &U$ ô õOõ ä % ô ò Â�&�%#" ò Ë &U$ ô õOõ A�ÄQÊDÉýÆ�ÀcÁ�� è ÃJÀÍGÔ�Î>ԪƪÄQÑGƪÖãÄQÍtÍOÇ�ÓcÔªÄ^ÁGÀ�É�ÁGÇ�ÁGÏUÀ� è ×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ë è â1Ú3ÇQÑ�À ÄQÓwÏ*ÐDÑGÔªÎ>À ��ÇQÚ�Â�ØÙ�ÏUÀcÊýÛ�ÀÏJÄeÕQÀ+ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � ä � � ä % ô ò Â#&�%#" ò Ë &%$ ô õOõ � ä � ä �

� � ä $ è � è � ä $ è % ô ò  è &�% "�ò Ë è &%$ ô�õOõ � ä $ è è � ä �8G;�ÔªÊDÓ�ÀCâJÃ�Ö�¿�ÀcÎ>Î�Ä=9CØON�âUÁGÏDÀ�Î>ÔªÉUÉUÆ�À+ÕQÀcÑGÁGÔ6ÓcÄQÆ1Î�Ä^Ð�ÔªÊ&ÁGÏUÀÄ^óÇ@ÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î ÔªÍ/Ä^Ê�Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑG×ÐUÏUÔ6ÍGÎ�â³Ä^Ê�Ä^ÐDÐUÆ�Ô6ÓcÄ^ÁGÔªÇQÊ&Ç^Ú�ÁGÏDÀ!ÍOÊJÄ�LQÀ�ƪÀcÎ>Î�ÄÁGÇ>ÁtÏUÀ!Ä^óÇ@ÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ Ö�Ô�À�ƪÉDÍ E\ÇaLCÀcÑ�3 >ä$ è è 7 � � Ä^ÊDÉ ÍOÏUÇ@Û`Í�â<Ô�Ê ÄQÉUÉUÔ ÁtÔ�ÇCÊ�â<ÁGÏDÄ^Á/�À�ÑF3 ä $ è è 7 � E\Ç�LQÀ�Ñ�3��·ä $ è � è 7pØ2�Ô�ÊJÄ^ƪÆ�ÖCâ<E\Ç�LQÀcÑ�3 � ä $ è�� è 7�ÔªÍ�ÄeiXÞUÇQÁGÔªÀcÊXÁ!ÇQÚTE\Ç�LQÀ�Ñ�3 % � ò Â#& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &U$ ô õOõ ä$ è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &U$ ô�õGõ 7�âDÛmÏUÀ�ÊDÓ�À�ÁGÏDÀ�ÐUÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊ�Ú3ÇQƪƪÇ@Û`ÍcØ��

Page 11: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � l!l�ë�îr+Uí�� ñJð ��ð Ù�ÏUÀ�ÐUÑtÇXÇQÚ�ÇQÚ(ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�ÍGÏUÇ@Û`Í�ÁGÏJÄ@Á�âDÔ Ú�à ; ò Ë õ Ä^ÊDÉ�à ; ò Ë è õ â

Ú3ÇQÑ(À�ÄQÓwÏ�ÐDÑGÔªÎ>À��/ÇQÚ�Â�â@ÄQÑGÀ<ÁtÇQÑwÍOÔªÇQÊ�×pÚ3ÑtÀcÀQâcÁGÏUÀ�Ê�ÁGÏUÀ�ÑGÀ,À'&�ÔªÍOÁtÍ'ÄmÍOÞDÑ�ÒZÀ ÓyÁGÔªÇQÊ c ô ò���ô  ò Ë õOõ äc ô òu� ô  ò Ë õ�! %#" ò Ëm&U$ ô õGõ Øf>�ÊÐDÄ^ÑGÁGÔ6Ó�ÞUÆ6Ä^Ñ â@Ô�ÚJËáÔ6Í�Ä�T���� ����âQÁGÏUÀ�Ê!ÁtÏUÀ�ÐUÑtÀ�Ó�À É�ÔªÊUÅ/ÑtÀcÎ�ÄQÑ�LÄ^ÊJÉ�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 5UØ (�óÀcƪÇ@Û ÍGÏUÇ@Û ÁGÏDÄ^Á c ô òu� ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &U$ ô õGõ3�L� âCÔªÊDÉ�À�ÐJÀ�ÊDÉ�À�ÊCÁtÆ�Ö�ÇQÚÏ�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò à õ ÇQÚ'ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�Ø

� :�����B���.�5�½(BU.³E��+5'2�2�B�E�>='B�4��BU.����(BD=(.1B % �X=(. � ôQ: �í@ì��\ì���������ì� �1ðuñJð ö�ø@ù'Â�ú�ø`û�üXþIÿUúQû@þ³ÿ���û�þ3ÿF�wû^þ � øyþ��+û����!þ3øeù�Ëóú�ø`û� �q.�û����3øeù�� �*� �³ø!�

% � ò Â�& � Q ò  ò Ë õGõ � � õ��>� G� �E!�! �� ;�Ô�ÊJÓ�À  ò Ë õ Ä^ÊDÉ Â�ÏDÄeÕCÀ�ÁGÏDÀ�ÍtÄ^Î>À{ÈJÀcÆ6É�Ç^Ú³Ó�ÇQÊJÍZÁwÄ^ÊXÁtÍ�â � Q ò  ò Ë õOõ � � !@� Q ò  õ ���Ô6Í�ÞUÊUÔ iCÞDÀcƪÖ*É�ÔªÕXÔ6ÍGÔ�ÃUƪÀ ò ÍGÀcÀ=3 5�(Dâ� {ÑtÇQÐ�Ø 9a9CØ (Dâ1Ð�Ø q5(F9�7 õ ØÙ�Ï�ÞDÍ�Û�À+Î�ÄeÖãÑtÀcÐDƪÄCÓ�À  ò Ë õ Ã�Ö

ÂsÔªÊ9ÁGÏUÀ�ÍOÁtÄ@ÁtÀcÎ>ÀcÊXÁ>Ç^Ú/ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�Ø 2UÞDÑOÁtÏUÀcÑ â�ÁGÏDÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�ÁÔ6ÍÀcÕ�Ô6É�ÀcÊXÁ�Ô�Ê9ÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÕQÀÓwÏDÄQÑtÄCÓyÁGÀ�ÑGÔ6ÍOÁGÔ6Ó ò ÍOÔªÊDÓcÀ�ÓcÉ ò  õ � 5�Ô�ÊåÁtÏDÄ@ÁÓcÄQÍGÀ õ â�ÍGÇãÄQÍtÍGÞUÎ>À�ÓwÏDÄ^ÑD � � Ø&Ù�ÏUÀ�Ê ÂýÔªÍ�ÄÊ�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈJÀcÆ6É�ÄQÊDÉ�ÁGÏUÀ�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^Æ�Î�Ä^Ð

% � ò Â#& � Q ò  õ � � õ ä 'è � � "�� % � ò  è & � Q ò  è õ ��� õ

Ô6ÍÄQÊ Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ 3 5:9Câ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ q�ØO5�â{Ð(ØON�(�7�Ø Ù�ÏXÞJÍ+Û�À&Ä^ÑtÀ�ÑtÀ�É�ÞJÓ�À�É ÁGÇ¢ÁGÏUÀ�Ó�ÄQÍGÀÂ�����Ø >�Ê�ÁGÏDÔªÍ`Ó�ÄQÍGÀ

% � ò Â#& � Q ò  õ � �Qõ�� % ô ò Â#& � Q ò  õ � �Cõ��÷ò���ô  õ � - ! S3 5:9QâUÙ�Ï*GÀcÇCÑ-HÀ�Î>ÀQâXÐ�ØON:9 7�â�ÛmÏUÔ6ÓwÏ�Ô6ÍmÜcÀ�ÑGÇÃ�Ö�ÁGÏDÀ LXÊDÇ@ÛmÊ�ÍOÁGÑtÞDÓyÁtÞUÑtÀ�ÇQÚ � ô Â�� � ô �\Ø ���ê�ë�ìDí@ë�î ��ð �!ò /�ÄQÏUÊ õ�ð ö�ø@ù\Âåú�ø�û+üCþ3ÿ�úQû^þ�ÿ��/ûþ3ÿF�wû^þ � øwþ���û�����þIø@ù{Ë ú�ø�û� �q.�û����3øeù�� �� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø

� ä % � ò Â#& � ô  ò Ë õOõ ä % Q ò Â#& � Q ò  õ ��� õ ä % Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõä % ô ò Â#& � ô  ò Ë õ õ ä � &

9<�³ø!�yøB%RQ ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ � /�À�ÑF3 %#Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ ä %#Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ 7*�)��ù��³ø�-Dúeü���ÿ P$¢ÿ��f%#Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ ÿ���û^þ üUø@ú��yû���� �yÿ���ÿ�"�ÿeþ3ÿ ü5� �tþ6ûa���yø!�P�� �E!�! �� Ý\Ö 3 5:9Câ<ÐUÑGÇ�ÇQÚ`Ç^Ú�Ù�Ï*GÀ�ÇQÑ-HÀcÎ>À45UØ+9Câ�ÐDÐ�Ø (�9�×K(�5�7pâ�ÁGÏDÀcÑtÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍ+Ä*ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ,Àb&UÄQÓyÁ

ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À� ä % � ò Â#& ��ô  ò Ë õOõ ä % Q ò Â#& � Q ò  ò Ë õOõ � �Qõ ä % Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõä % ô ò Â#& ��ô  ò Ë õ õ ä % � ò Â#& � Q ò  ò Ë õOõ ���QõBG

Ù�ÏUÀ{ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á(ÊUÇ@Û¢Ú3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í1Ú3ÑGÇCÎ {ÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊ�5�Ø 9{Ä^ÊDÉ/ÁtÏUÀ{Ú�ÄCÓyÁ�ÁtÏDÄ@Á %#Q ò Â#& � Q ò  ò Ë õOõ ��� õ��%#Q ò Â�& � Q ò  õ � �Xõ�ò ÍGÀcÀ�ÁGÏUÀ�ÐDÑGÇ�Ç^Ú�Ç^Ú� {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ 5UØ+9 õ Ø��

Page 12: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

l[Q ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �à`Ç@ÛéƪÀ�Á�ËóóÀ�Ä�ÍGÎ>Ç�Ç^ÁGÏ¢ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ>ÂX×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ç@ÕQÀ�Ñ�Ä�ÅQƪÇQÃDÄQÆ(ÈDÀ�ƪÉåÂ�Ø�Ù�ÏUÀ>ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�×

ÔªÊUÅýÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎóÍGÏUÇ@Û`Í�ÁtÏDÄ@Á�ÁtÏUÀcÑtÀ�À'&�ÔªÍOÁtÍ�Ä¢ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ ò Ú3ÇCÞUÑG×�ÓcÇQƪÞUÎ>Ê õ Àb&UÄQÓyÁ�ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀÉ�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä % � ò Â�& � ô  ò Ë õOõ � ä GbGkG � ä % ô ò Â#& � ô  ò Ë õ õ � ä �

� � ä $ è %=� ò  è & ��ô  è ò Ë õOõ � ä GbGkG � ä $ è % ô ò  è & ��ô  è ò Ë õOõ � ä � &ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏDÀ\ÁtÇQÐÑGÇ@Û ÔªÍ�ÁtÏUÀ�À'&UÄQÓ�Á�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À�Ç^ÚJÁGÏUÀ�ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�ηÚ3ÇQÑ�Ë Ä^ÊDÉ!ÁGÏUÀmóÇ^ÁGÁGÇCÎ ÑGÇ@Û ÔªÍÁGÏDÀ�ÐUÑGÇ�É�ÞJÓyÁmÇ@ÕQÀ�Ñ�ÄQÆ�Æ1ÐDÑGÔªÎ>À�Í ��ÇQÚ�Â�Ç^Ú�ÁGÏUÀ�ÓcÇQÑtÑGÀ ÍOгÇQÊJÉ�Ô�ÊDÅ!À'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�ÍmÄCÍGÍGÇ�Ó�Ô6Ä@ÁGÀ ÉÁGÇÁtÏUÀ! è ×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁGÔªÀ�Í�Ë è Ø ;�ÔªÊDÓ�À�ÁtÏUÀ�ÓcÄQÊUÇQÊUÔ6ÓcÄQÆ�Î>ÄQÐ

% Q ò Â#& � Q ò  õ � �Qõ ä(' è % Q ò  è & � Q ò  è õ ���QõÔ6Í�ÄQÊ�Ô6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ ò ÃXÖ?3 5:9Câ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ q�ØO5�â�Ð�Ø NJ(�7�ÔªÊ�ÁGÏUÀ�Ê�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈDÀ�ƪÉ�ÓcÄCÍOÀCâXÁGÑtÔ�Õ�Ô6Ä^ƪÆ�ÖÔªÊ�ÁtÏUÀ�Ú3ÞDÊDÓyÁtÔ�ÇCÊ�ÈDÀ�ƪÉ�ÓcÄCÍOÀ 3 55(�7�â�3 6 N�â {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ?9bfJâ�Ð�Ø q�f�7 õ â�Ä^Ê�Ä^ÐUÐDÆ�Ô6ÓcÄ^ÁGÔªÇQÊ�ÇQÚ'¿�À�Î>Î>Ä9QØ 9�ÁGÇÁGÏDÀ�ÐUÑGÀ Ó�À É�Ô�ÊDÅ>ÉUÔªÄQÅQÑwÄ^Î Ö�Ô�À�ƪÉDÍ��ê�ë�ìDí@ë�î ��ð�/(ð ö<øeù�Ë%ú�ø�û* �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.@ø��>û&üCþ3ÿ�úCû@þ � øwþ��åÂ��8� �³ø!� ù���ø���ø�ø� :�)�cùd�û�JûUù[��yû@þ'ø� Uû:��ù<�yø+*:Xø����yø

� ä % � ò Â#& ��ô  ò Ë õOõ ä 'è � � "�� % � ò  è & ��ô  è ò Ë õGõ ä c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ

ä c ô ò�� ô  ò Ë õ õ ä � G��a��ù��³ø��kM�ù��³ø!�yø�ø� :� ��ù��`û4�wû��³ÿ������yû@þ��)�wÿ�"�ÿ��h$��F� ��"b Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ�� b

ô ò�� ô  ò Ë õ õBG �

�+ìDí@ì*)�),+�í.-d��ð76'ð ö<øeùUË ú�ø{ûm �[.�û����Iø@ù���ÿ�.eø!�'û\üCþ3ÿ�úQû^þ � øyþ��/Â0�-:�q�>ù��JûUùUË �����B�U���Uò  è õ������uÿ��/ø�.eø!�;�4��ø�û^þ�$#��� "�ø ��ÿ���Â�� � �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`ûB�yû��³ÿ��F���wû@þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["

c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ��>c ô òu��ô  ò Ë õ�õ'G� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í�Ô�Î>ÐUƪÔ�À Í�ÁGÏDÄ^Á %=� ò  è & � ô  è ò Ë õGõ3�L� Ú3ÇCÑ�À�ÕQÀ�ÑGÖ>ÑtÀ�Ä^Æ�ÐUÑtÔªÎÀ �

Ç^Ú{ 3 6Dâ?>�6UâJÙ�ÏUÎ&Ø 5�â�Ð�Ø 9k(�7pØ�Ù�ÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6ÍmÊUÇ@Û Ô�Î>Î>À�ÉUÔªÄ^ÁGÀ�Ú3ÑtÇQÎ ÁtÏUÀ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ&Ø��KmÀ ÓcÄ^ƪÆ�ÁtÏDÄ@Á¢Ä ò ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ�â�ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ õ ÂX×�ÕeÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ Ë�Ô6ÍãÓ�Ä^ƪÆ�À É ���V� ?!VB"� �`Ô�Ú>Ë Ô6Í ÂX×

ÃUÔªÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQÆ�ƪÖ�À iXÞUÔ�Õ@ÄQÆ�À�ÊCÁ�ÁGÇ�Ä�ÐDÑGÇQÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ�ÍOÐJÄQÓ�À!Ç^Ú<ÁGÏUÀ+Ä^ÐUÐUÑtÇQÐDÑGÔ6Ä@ÁtÀ�É�Ô�Î>À�ÊDÍOÔªÇQÊ(Ø��3iXÞUÔªÕC×Ä^ƪÀcÊXÁtÆ�ÖCâ  ò Ë õ Ô6ÍmÄÐUÞUÑtÀcƪÖ�ÁtÑtÄQÊDÍGÓcÀcÊDÉUÀcÊXÁtÄQƳÀb&�ÁGÀcÊJÍOÔªÇQÊ�Ç^Ú Â�Ø�+ìDí@ì*)�),+�í.- �1ð�H1ð ö�ø@ù\Ë ú�ø+û� ����a����û:�yø�ÿ�.@ø���û�üCþ3ÿ�úQû^þ � øwþ��&Â�� � ����a"�ø�ù��³û�ùmû�ù,þ3ø�ûa�cùÿ���ø�ÿ��\ù��³ø �uÿeþªþ3ÿn9<�+��ü �yÿ����a�pù��3ÿ����*��ÿeþ����kI

ò Ä õ Ë �)�*�yû�ù��3ÿ��³û@þ,M³ÿ��ò à õ Ë è !  è �Jû��`û ��"�ÿXÿ�ù��ã è � $<ÿ�� �³ù<�uÿ��/ø�.@ø��%�4�yøcû@þ�$#���+"�ø<��ÿ��<Â��

Page 13: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � l n� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c ô ò���ô  ò Ë õ õ��>c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ'G� �E!�! ��;�ÔªÊDÓcÀ c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ8� c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ ÛmÏUÀcÊýÉ�Ô�Î ò Ë õ ) 5�â�Ó�ÄQÍGÀ

ò à õ Ô6Í+ÓcÇQÊXÁtÄQÔ�ÊDÀ�ÉsÔªÊ E\ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ 5�Ø fDØ��/ÊsÁGÏUÀ�Ç^ÁtÏUÀcÑÏDÄQÊDÉ1â�Ô�Ú`Ë ÔªÍ+ÑwÄ@ÁGÔªÇQÊJÄ^Æpâ'ÁtÏUÀcÊ ÁGÏUÀÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�Î�Ä^Ð % � ò Â#& � ô  ò Ë õOõ ä æ è � � "�� %=� ò  è & � ô  è ò Ë õOõ ÔªÍ�Ä^Ê¢ÔªÍGÇQÎ>ÇCÑGÐUÏDÔªÍGÎ ò ÁGÑtÔ�ÕX×Ô6Ä^ƪÆ�Ö�ÔªÊ�ÁtÏUÀ�Ú3ÞUÊDÓ�ÁGÔªÇQÊ�ÈDÀcÆ6É�Ó�ÄQÍGÀ�3+9bfJâ�Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ qUØ � ò Ó õ 7�Ä^ÊDÉ�Ã�Ö?3 6Dâ {ÑtÇQÐ�Ø N�â�Ð�Ø 9 ��71Ô�Ê�ÁGÏUÀÊ�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈJÀcÆ6É�Ó�ÄQÍGÀ õ Ø{Ù�ÏUÀ�ÑGÀ ÍOÞUÆ�ÁmÊUÇ@Û Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í�Ú3ÑtÇQÎáÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5UØ 6DØ����ê�ë�ìDí@ë�î �1ð l�ð ö�ø@ù\Ë ú�ø+ûV$��yÿ�$�ø!��û���� ��"�ÿXÿ�ù��*ÓcÞUÑtÕQÀ/ÿ�.eø!��û�üCþ3ÿ�úQû^þ � øyþ���Â��B� �³ø!�ù���ø �Jû�ù���wû^þ�"�û�$

% ô ò Â#& � ô  ò Ë õ õ ä ' è % ô ò  è & � ô  è ò Ë õ�õ�)�*�+�-,�ø���ù���.@ø�� �D���ù��³ø���"�ÿ���ø M1ù���øV�wû���ÿ��F���wû^þ�"�û-$

% � ò Â#& ��ô  ò Ë õOõ ä 'è � � "�� % � ò  è & ��ô  è ò Ë õGõ

�)�`û�� � �yÿ�"�ÿ��h$#��� ��"=�� �E!�! ���Ý�Ö 3 5�6Uâ�Ù�Ï�Ø � Ø � ò 5 õ 7�â c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõ1� c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ_� � Ø/Ù�ÏUÀÑtÀ�ÍGÞUÆ ÁmÔ6ÍmÊUÇ@Û Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀ�Ú3ÑGÇCÎáÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5UØ 6DØ�� �Ä^ÑGÁ�Ç^Ú(ÁtÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î Î�ÄeÖ�ÃJÀ�ÑtÀ�ÍOÁtÄ^ÁGÀ É�ÄQÍ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í�Ø

��ê�ë�ìDí@ë�î ��ð � ò Ù�ÏUÀ¢Ý�ÑwÄ^ÞUÀ�ÑO×�ß�ÄCÍGÍGÀ�×�à`Ç�ÀcÁGÏUÀ�Ñ�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�ÎóÚ3ÇQÑ � ô õ Ø÷ö�ø@ù·ú�øãûýüXþIÿUúQû@þ� øyþ���û�����þ3øeù�� ú�ø�û��øtü�^þIû��/ø� 1ù�ø������Iÿ��¢ÿ��,Âãÿ���ù��wû������yø�����ø�����ø���øwü���øcø�ÿ���ø���� �³ø!�sù��³ø�wû��³ÿ������yû@þ#"�û�$

% ô ò Â#& � ô ò �  õOõ ä(' è % ô ò  è & � ô ò �  è õGõ�)�*�+�-,�ø���ù���.@ø�� �Ù�ÏUÀ&Ä^óÇ@ÕQÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á>ÍGÞUÅCÅQÀ�ÍOÁtÍ!ÁGÏDÀ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅ*ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�ÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^ƪÔ�Ü Ä@ÁtÔ�ÇCÊsÇ^Ú`ÁtÏUÀ�ÓcƪÄCÍGÍGÔ6ÓcÄ^Æ

Ý�ÑtÄQÞUÀcÑG×�ß�ÄQÍtÍGÀ�×�à`Ç�À�ÁtÏUÀcÑ�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î�Ø�+ì���� ë������'í@ë�ò Ù�ÏUÀ�Ý�ÑtÄQÞUÀcÑG×�ß/ÄQÍtÍOÀc×�à�Ç�À�ÁGÏDÀcÑ{Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ Ú3ÇQÑ ��,Uõ Ø�ö�ø@ù�Â&ú�ø�û�üXþIÿUúQû@þ � øwþ�� Mþ3øeù � ^ 9ýú�ø�û�� � ��ù�øwü�ø���û����¢þ3øeù0� ú�ø�ûM��øtü2Qþ6û���ø� �ù�ø������3ÿ�� ÿ��/Â9ÿ��!ù��wû���� ��ø�����ø�����ø��øwü���øcø � � 9�� � �³ø!�åù��³øV�yû��³ÿ��F���yû@þ#"�û�$

% ô ò Â#& � , ò �  õOõ ä(' è % ô ò  è & � , ò �  è õGõ�)�*�+�-,�ø���ù���.@ø��à`ÇQÁGÀ�ÁGÏDÄ^Á+ÁtÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ�Ó�ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑtÀ�Ô6Í+ÁGÑtÞUÀ�Ú3ÇCÑ � � 9 ò ÁtÏUÀ�ÓcƪÄCÍGÍGÔ6ÓcÄ^Æ�Ý�ÑtÄQÞUÀcÑG×�ß/ÄQÍtÍOÀc×

à`Ç�ÀcÁGÏUÀ�Ñ`Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î õ ÄQÊDÉ�Ú3ÇQÑ � � 5 ò Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ 5�Ø N!ÄQÃJÇ@ÕCÀ õ Ø�ë�îr+Uí��>��ð3"(ð >�ÊãÇQÑwÉ�À�Ñ`ÁGÇ�À�ÍOÁtÄQÃUÆ�Ô6ÍGÏ�ÁGÏUÀÄ^óÇ@ÕQÀ!ÓcÇQÊ@ÒZÀ ÓyÁtÞUÑGÀ+ÇQÊUÀ!Û\ÇCÞUƪÉãÊUÀcÀ ÉãÄ^Ê*ÄQÊDÄ@×ƪÇQÅQÞDÀ!Ç^Ú*/�Ä^ÏUÊD1 Í�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 5�ØO5>Ú3ÇCÑ ��, Ø�I¢À�ÍGÏUÇQÞDƪÉ*ÊUÇ^ÁtÀ!ÁtÏDÄ@Á�ÁGÏDÀ+Àb&�ÄCÓyÁ�ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ+ÇQÚÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ(5�ØO5*ÄQÑGÔ6ÍGÀ�ÍÄQÍ!ÁGÏUÀ&À'&UÄCÓyÁ�ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ�Ç^Ú/ÁGÀ�ÑGÎ�ÍÇ^Ú�ƪÇ@Û É�À�ÅQÑtÀcÀ�ÃJÀ�Æ�ÇCÊUÅQÔªÊUÅãÁtÇýÄß`Ç�ÓwÏDÍtÓwÏUԪƪÉ�×y;�À�ÑGÑtÀ/ÍGгÀ�ÓyÁtÑtÄQÆ1ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ`Ú3ÇQÑm¿(ÔªÓwÏXÁGÀ�Ê�ÃDÄ^ÞUÎ 1 Í�ÎÇQÁGÔªÕ�ÔªÓ�Ó�ÇCÎÐDÆ�Àb&jS ò 5 õ Ø��/ÊDÓ�ÀÍGÞDÓwÏ�Ä+ÍOгÀ�Ó�ÁGÑwÄ^Æ1ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Ô6Í�ÄeÕeÄQÔ�Æ6Ä^ÃDÆ�À/ÛmÔ ÁtÏoS ò � õ ÑtÀcÐUÆ6ÄQÓcÔ�ÊDÅXS ò 5 õ â ÁtÏUÀcÊ&Ä^Ê�Ä^ÊDÄQÆ�ÇCÅQÞUÀ`ÇQÚ/�Ä^ÏDÊ�1 Í�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcηÍOÏUÇCÞUÆ6É�Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛsÀ ÄQÍGÔ�ƪÖQØ��/ÊUÀ,Û�ÇQÞDƪÉ�ÁtÏUÀcÊ+ÞDÍGÀ�AXÄ^ÊUÊDÍGÀcÊD1 Í'ß�ÄQÍtÍGÀ,ÐUÑtÔ�ÊJÓ�ÔªÐUÆ�À3+9-C�71ÁtÇ>À�ÍOÁtÄ^ÃDÆ�Ô6ÍOÏ�ÁtÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�Ó�ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑtÀQâUÄ^Á�ƪÀ�ÄCÍZÁ`ÔªÊ�ÁGÏUÀ�Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�ÑmÈDÀcÆ6É&ÓcÄCÍOÀCØ

Page 14: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

lqp ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �Ù�ÏUÀ�ÊUÀb&XÁ`ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á`Ó�ÇQÎ>ÐUƪÀcÎ>À�ÊCÁwÍ`Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5�Ø (Ô�Ê�ÁtÏUÀ�Ê�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈDÀ�ƪÉ&Ó�ÄQÍGÀQØ

��ê�ë�ìDí@ë�î �1ð ��ð ö�ø@ù,Ë ú�ø!ûJ��"�ÿ�ÿ�ù�� $#��ÿ ,�ø���ù���.@øV�-��P.eø�ÿ�.@ø��/û�#�"�ú�ø!� � øyþ��&Â��V� �³ø!�ù���ø���ø�ø� :� ��ù���û��JûUù[��yû@þ'ø� Dû ��ù<�yø+*:Xø!���yø

� ä % ô ò Â#& � ô  ò Ë õ õ ä ' è % ô ò  è & � ô  è ò Ë õ�õ ä �: ' . + - ! S��� ä - ! S ä � G� �E!�! wØ\Ý\Ö 3 5 � âUÙ�ÏUÎ&Ø 9 � ò Ä õ 7�â�ÁGÏDÀcÑtÀ�Àb&�ÔªÍOÁtÍmÄ�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^Æ�Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎb Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõ�� /�ÀcÑ7_ �: ' . + - ! S �� ä - ! S ` G

Ù�ÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6Í�ÊUÇ@Û Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀ�Ú3ÑGÇCÎ Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5UØ 6DØ��

� :���0I7�0641BU7�BD2 2+4 �(BD=(.1B %/2 �C='. % � ò Â#& ��ô  ò Ë õ�! %#" ò Ëm&U$ ô�õGõ :¿�ÀcÁ�Â�ÃJÀ�Ä�ÈJÀcÆ6ÉãÇ^Ú�ÓwÏDÄ^ÑwÄQÓ�ÁGÀcÑtÔ6ÍZÁtÔªÓ � Ä^ÊDÉ*Æ�ÀcÁ�Ë ÃJÀ�Ä�ÍGÎ>Ç�Ç^ÁGÏ¢ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ+Â�×pÕ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁZÖQØ'/À�ÈDÊUÀ

à ; ò Ë õ��yò 9 õ�� � O Æ�ÔªÎ���, ò à ; ò Ë õ ������� � � O õ & ò 6 G 9 õÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏDÀ�ÍOÞUÎ À'&�ÁGÀ�ÊDÉUÍ�Ç@ÕCÀcÑmÄ^ƪÆ1ÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQÆ1ÐUÑtÔ�Î>À�Í �OØ�,ë�î î +d/(ð�ñ³ð ö�øeù�Âãú�ø�û � øwþ���ÿ�� �q�Jû��yû � ù�ø����)�cù���� ��û����+þ3øeù�Ë ú�ø/ûV�["�ÿ�ÿ�ù�� $#��ÿ ,�ø���ù���.@ø �[.�û����Iø@ù�� � � �³ø��ýù���ø���ø�ø� :� ��ù��`û���ø� Dû ��ù<�yø+*:Xø!���yø�ÿ�� � � "�ÿF��^þ3ø!�

� ä % � ò Ë & - ! S ò 5 õGõ � � ä % " ò Ëm&U$ ô õ ��������äÌà ; ò Ë õ��yò 9 õ ä � &9<�³ø!�yø/à ; ò Ë õ��wò 9 õ �)��ù��³ø�ü}�yÿ:-$ W �:��aBY��� �E!�! wØ ;�ÀcÀJ3ONP7�âD¿�À�ÎÎ�Ä 9QØ fDâUÙ�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ 9QØ �+ÄQÊDÉ�ÐUÑGÇ�ÇQÚ'Ç^Ú {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ 6DØ �DØ �à`Ç@Û Ó�ÇCÊDÍOÔ6É�À�Ñ

c ô ò % " ò Ëm&U$ ô õGõ3� /�À�Ñ�_h% ô ò Â#&�% " ò Ë &U$ ô õGõ ä(' è % ô ò  è &�% " ò Ë è &%$ ô õOõ ` ò 6 G 5 õÄ^ÊJÉb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ3� E\ÇaLQÀ�Ñ _ % � ò Â#&tà ; ò Ë õ � ò 9 õOõ ä ' è % � ò  è &Gà ; ò Ë è õ � ò 9 õOõ ` G ò 6 G 6 õ �í@ì��\ì���������ì��/�ð��1ð ö�ø@ù{Ë ú�ø�ûJ�["�ÿ�ÿ�ù��4$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù��ãÿ�.eø!��û�#�"�ú�ø�� � øwþ���Â��� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ#"�û-$

c ô ò % " ò Ë &U$ ô õGõ ä c ô ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ9<�³ÿ��wø���ø����³øwþ��)�/û�-Dú *:Xÿ�ù��Iø!�³ù�ÿ�� b � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ � �y�4$�û���ù����P^þIû��kM��+� b � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ�)� � �F�uù�ø M�ù��³ø!� �yÿ=�)� c ô ò %R" ò Ëm&%$ ô õOõ � �D���ù��³ø���"�ÿ���ø M � � b � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ � � M�ù��³ø��ù���ø���ø �)��û��JûUù[��yû@þ�� �-,�øP� ù��3ÿ��

c ô ò % " ò Ëm&%$ ô õGõ�� ä c ô ò à ; ò Ë õ��wò 9 õGõBG

Page 15: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � l o� �E!�! wØ�Ù'Ç�Æ�ÔªÅQÏXÁtÀcÊýÁGÏUÀ�ÊUÇ^ÁwÄ@ÁGÔªÇQÊ(â'Û�À�ÛmÑGÔ�ÁGÀB% � ò Ë &.- ! S ò 5 õOõ � � � %=� ò - ! S ò 5 õGõ �� � Ø

Ù�Ä�L�Ô�ÊDÅ �`×�Ó�ÇCÏUÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÖ�Ç^Ú�ÁGÏDÀ�À'&UÄCÓyÁ+ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À�ÇQÚm¿(ÀcÎ>Î�Ä?6UØ 9�Ä^ÊJÉåÞDÍOÔªÊUÅ�ÁtÏUÀ�ÞDÊUÔ�iXÞUÀÉ�ÔªÕ�ÔªÍGÔ�ÃDÔ�ÆªÔ ÁZÖ ÇQÚ�%R" ò Ë &%$ ô õU! ÁGÇQÑwÍ 3 N�â�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�Ç^Ú {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ 6UØ �Uâ`Ð�Ø 9-C � 7�â`Û�À¢ÇCÃ�ÁtÄQÔ�Ê ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À� ä ä % ô ò Â#&�% � ò - ! S ò 5 õOõ�� �^õ ä % ô ò Â#&�% " ò Ë &U$ ô õGõ ä % ô ò Â#&Gà ; ò Ë õ��yò 9 õGõä % Q ò Â#&�% � ò - ! S ò 5 õGõ � � õ &

ÛmÏUÀ�ÑGÀ � >�Î ? % � ò Â#&Gà ; ò Ë õ � ò 9 õGõ ä % ô ò Â�&�% � ò - ! S ò 5 õOõ � � õ A@Ø<IýÀ/ÊUÇ@Û Ú3ÇQÑtÎ Ä+ÊDÄ^ÁGÞ�×ÑwÄ^Æ ò ÈJÕQÀ�×�Ó�ÇCÆ�ÞDÎÊ õ Àb&UÄQÓyÁ`ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀ�ÉUÔªÄQÅQÑwÄ^Î� � ä � ä % ô ò Â#&�% � ò - ! S ò 5 õGõ � � õ � ä GbGbG � ä %#Q ò Â#&�% � ò - ! S ò 5 õOõ � � õ

� � ä $ è è � ä $ è % ô ò  è &�% � ò - ! S ò 5 õGõ� �^õ � ä GbGbG � ä $ è %RQ ò  è &�% � ò - ! S ò 5 õOõ � �QõÛmÏUÇXÍOÀ/ÁGÇCÐ�ÑtÇ@Û ÔªÍ\ÁGÏDÀ/ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�ÔªÊUÅÀ'&UÄQÓ�Á�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À�Ä^ÊDÉ�ÛmÏUÇCÍGÀ�ÃJÇQÁOÁGÇCÎ ÑGÇ@Û Ô6Í\ÁGÏUÀ�É�ÔªÑtÀ�ÓyÁÐUÑtÇ�É�ÞDÓyÁ�Ç@ÕCÀcÑ�Ä^ƪÆ{ÐUÑtÔªÎÀ Í �ãÇQÚ\ÁtÏUÀ�Ó�ÇCÑGÑtÀ�ÍGгÇQÊDÉ�ÔªÊUÅ�À'&UÄQÓ�Á�ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ�Í�ÄCÍGÍGÇ�Ó�Ô6Ä@ÁGÀ ÉãÁtÇ�ÁGÏUÀ è ×pÕ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁGÔªÀ�Í,Ë è Ø�h�Ê�Ä^ÐDÐUÆ�Ô6ÓcÄ^ÁGÔªÇQÊ�ÇQÚ(¿�À�ÎÎ�Ä49QØO5�ÁGÇ!ÁGÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ/É�ÔªÄQÅQÑwÄ^Î&âQÞJÍOÔªÊUÅ�ÁtÏUÀ/Ú�ÄQÓyÁÁGÏJÄ@Á c Q ò % � ò - ! S ò 5 õGõ � � õ���� 3 5:9Câ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊoq�ØO5�â�Ð(ØON�(�7�â�ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍmÄ>Ó�ÇCÎ>ÐUÆ�Àb&

� ä /�ÀcÑ7_ +ä ' è è ` ä c ô ò % � ò - ! S ò 5 õGõ� �Qõ ä c ô ò % " ò Ëm&U$ ô�õGõä c ô ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ &

ÛmÏUÔ6ÓwÏ�Ô6Í'Àb&UÄQÓyÁ�À'&UÓ�À�Ð�Á<ÐJÀ�ÑGÏDÄQÐDÍ�Ä@Á c ô ò % "�ò Ë &U$ ô õGõ â^ÛmÏDÀcÑtÀ,Ô�ÁtÍ�ÏUÇQÎ>ÇCÆ�ÇCÅQÖ�Ô6Í<Ä�ÍGÞUÃUÅCÑGÇCÞUÐÇ^Ú E\ÇaLCÀcÑ 3 ä $ è� è 7�Ø{à`Ç@Û AXÄ^ÊDÊDÍOÀ�Ê�1 ÍmÙ�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 3 9PC�7(ÄQÍtÍGÀcÑGÁtÍ\ÁGÏDÄ^ÁmÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1Î>ÄQÐ

% ô ò Â�&�% � ò Ë &.- ! S ò 5 õGõ � �Qõ ä(' è % ô ò  è &�% � ò Ë è &.- ! S ò 5 õOõ � �@õÔ6Í\ÔªÊ@ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ ò ÔªÊ�Ú�ÄCÓyÁ â�ÄQÊ�Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎ õ â�ÔpØ ÀCØ�â c ô ò % � ò - ! S ò 5 õOõ � � õ���� Øf>�Á\Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í{ÁtÏDÄ@ÁÁGÏDÀ LQÀ�ÑGÊUÀ�ÆUÇ^Ú�ÁtÏUÀ�Î�Ä^Ð c ô ò % " ò Ëm&U$ ô õGõ ä c ô ò à ; ò Ë õ��wò 9 õGõ ÔªÊXÁGÀcÑtÕQÀ�ÊUÔªÊUÅ�Ô�Ê>ÁtÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀÓ�ÇCÎ>ÐUÆ�Àb&�ÔªÍ�ÄÍOÞDÃUÅQÑtÇQÞUÐ�Ç^ÚfE\Ç�LQÀcÑ�3 +ä $ è è 7pØ ;�ÔªÊDÓ�À�ÁtÏUÀ/Æ6Ä@ÁGÁGÀ�Ñ�ÅCÑGÇCÞUÐ�Ô6Í�ÄXiXÞUÇQÁGÔªÀcÊXÁ�ÇQÚb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ âUÁGÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�ÔªÍmÓcÇQÎ>ÐUƪÀ�ÁGÀCØ ��+ìDí@ì*)�),+�í.- /(ð�/(ð ö<øeù�Ë%ú�ø�ûM��"�ÿXÿ�ù�� $#�yÿ�,�øP� ù��d.eø� �q.�û����3øeù�� ÿ�.eø!�>ûM�#�"�ú�ø�� � øyþ�� Â��� ���-�"�ø+ù��JûUù b � ò à ; ò Ë õ��tò 9 õOõ �)� � ���uù�ø�� � �³ø!� c � òu��ô  ò Ë õ�! %#" ò Ëm&U$ ôeõOõ �)� � �F�pù�ø��� �E!�! wØ\Ù�ÏUÀcÑtÀ�À'&�ÔªÍOÁtÍmÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&UÄQÓyÁ`ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀ�ÉUÔªÄQÅQÑwÄ^Î� � ä � ä % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõ � ä % ô ò Â#&�% " ò Ëm&U$ ô õGõ

� � ä $ è è � ä $ è %=� ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! %R" ò Ë è &%$ ôeõOõ � ä $ è % ô ò  è &�% " ò Ë è &%$ ô õGõ &

Page 16: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

l[r ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �ÛmÏUÀ�ÑGÀ � >�Î ? %=� ò Â�& � ô  ò Ë õOõ ä % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõ A@â è ÔªÍ&ÁtÏUÀ ÓcÇQÑtÑGÀc×ÍGÐJÇCÊDÉ�ÔªÊUÅsÅQÑtÇQÞUÐ ÄQÍtÍGÇ�ÓcÔªÄ^ÁGÀ É ÁtÇåÁGÏUÀ¢Â è ×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ Ë è Ú3ÇQÑ�À ÄQÓwÏ ÐUÑtÔ�Î>Àe� ÇQÚ�Â1â�ÄQÊDÉ9ÁGÏUÀÑtÇ@Û`Í�ÄQÑGÀ�ÇCÃ�ÁtÄQÔ�ÊUÀ É�Ã�Ö�ÁwÄ�L�ÔªÊUÅ"�`×�Ó�ÇCÏUÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÖ>Ç^Ú(ÁtÏUÀ�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À

� ä % " ò Ëm&U$ ô õ ä � ô  ò Ë õ ä � ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&U$ ô õ ä �Ç@ÕQÀ�Ñ�Â9ÄQÊDÉ9Ç@ÕQÀcÑ� è Ú3ÇCÑ�ÀcÕCÀcÑtÖsÐUÑGÔªÎ>Àe� Ç^Ú�Â�Ø à�Ç^ÁGÀ&ÁtÏDÄ@Á åÔ6Í�Ä¢ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÅCÑGÇCÞUÐ ÍOÔªÊDÓ�À% � ò Â�& ��ô  ò Ë õOõ Ô6Í<ÈDÊUÔ�ÁGÀ ò ÍOÀ�À`Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 5�Ø 6 õ Ø 2DÑGÇCÎ ÁtÏUÀmÐUÑtÀ�Ó�À É�ÔªÊUÅ�É�ÔªÄQÅQÑwÄ^Î&â^Û�À�ÇQÃ�ÁwÄ^ÔªÊÄÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ1À'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ

� ä /�ÀcÑ7_ ä(' è è ` ä c � òu� ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&U$ ô õOõ ä c ô ò % " ò Ëm&U$ ô õGõBGÙ�ÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6Í�ÊUÇ@Û Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀ�Ú3ÑGÇCÎ ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�Ø���+ìDí@ì*)�),+�í.- /(ð76'ð ö<øeù�Ë%ú�ø�ûM��"�ÿXÿ�ù�� $#�yÿ�,�øP� ù��d.eø� �q.�û����3øeù�� ÿ�.eø!�>ûM�#�"�ú�ø�� � øyþ�� Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ��wò 9 õGõ���� M

ò à õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*M³û����ò Ó õ ù��³ø�ÿ��-��ø���ÿ���ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ �)� $���� "�ø&ù�ÿ � !)� M89<��ø���ø �M�)��ù��³ø ��øtü}�yø�ø

û���� � � ��ù��³ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù/ÿ���ù��³ø � �F�pù�ø��`û@þ3ÿ��)�!ø� 1ù�ø!���[�3ÿ�� ÿ��m 9<�F���q� ù����d.P�Iû@þ ��[eø!�ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ �

� �³ø!�ýù��³øV�wû��³ÿ������yû@þ#"�û�$% � ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ôeõOõ ä ' è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ôeõOõ

�)�*�+�-,�ø���ù���.@ø��� �E!�! wØ�ß�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔ6Í ò Ó õ ÔªÎ>ÐUÆ�ÔªÀ�Í'ÁtÏDÄ@Á c ô ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ3�>�+ò ÍOÀ�À 3 6�fJâ^¿�ÀcÎ>Î>À09QØ 6�7UÄ^ÊJÉ

3 5�N�â@Ù�ÏUÎ&Ø >yØ fJØ+9 �Dò Ä õ âeÐ�Ø N � 7 õ Ø'à�Ç@Û ò Ä õ Ä^ÊJÉ� {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�6UØO5�Ö�Ô�À�ÆªÉ c ô ò %R" ò Ë &%$ ôeõOõ3��� Ø2UÞDÑOÁtÏUÀcÑ â\Ï�Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÔªÍ ò à õ ÔªÎÐDÆ�ÔªÀ�Í>ÁtÏDÄ@Á4% � ò Â#& � ô  ò Ë õGõ � � ò ÍGÀcÀ�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5UØ 6åÄ^ÊJÉÁGÏDÀ�ÐUÑtÇXÇQÚ�ÇQÚ E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖM5�Ø f õ Ø�Ù�ÏDÀ�ÑGÀ ÍOÞUÆ�Á!ÊUÇ@Û÷Ú3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í�Ú3ÑGÇCÎ ÁGÏDÀ�ƪÄCÍZÁ�Àb&UÄQÓyÁ!ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�ÀÄ^ÐDÐJÀ Ä^ÑtÔ�ÊUÅÔªÊ�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú'ÇQÚ'ÁtÏUÀ�ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�ÔªÊUÅ�Ó�ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖQØ ��ë�îr+Uí�� /�ð�H1ð KmÀcÅXÄ^ÑwÉ�Ô�ÊDÅ�ÁtÏUÀ>ÏXÖ�гÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÀ�Í�ÔªÊýÁGÏUÀ�ÍOÁtÄ@ÁtÀcÎ>ÀcÊXÁwÍ�Ç^Ú�ÃJÇQÁGÏåÓ�ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÔ�À Ícâ�Ô�Ú% � ò  è &Gà ; ò Ë è õ��tò 9 õGõ3��� Ú3ÇQÑ<Ä^ƪÆ� !���/â@ÛmÏUÀcÑtÀ��ýÔ6Í<ÍOÇCÎ>À{ÈDÊUÔ�ÁGÀmÍGÀ�Á<Ç^ÚDÐDÑGÔªÎ>À�Í'Ç^Ú³Â�âeÁtÏUÀcÊb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ Ô6Í ò ÇQÃ�Õ�Ô�ÇCÞDÍOÆªÖ õ ÈDÊUÔ�ÁGÀCØ�2DÞUÑGÁGÏUÀ�Ñ�âCÆ�ÀcÁ�� ! Â!óÀmÁtÏUÀmÈDÊUÔ�ÁGÀ � Ä^ƪÇQÔ6Í�À'&�ÁGÀ�ÊDÍGÔ�ÇCÊÇ^Ú,Â�ÛmÏUÔ6ÓwÏ&ÁGÑtÔ�Õ�Ô6Ä^ƪÔ�Ü�À�Í`ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ Ø*>�ÚZâUÚ3ÇCÑ`ÀcÕCÀcÑtÖj� ���/âUÁGÏDÀ!É�À�ÓcÇQÎ>гÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊÅQÑtÇQÞDÐ�Ç^Ú ��ÔªÊ�� ! Â�ÔªÍGT�� T�� ?T ò ÁGÏUÔ6ÍmÏUÇCƪÉUÍ�â�Ú3ÇQÑ�Àb&�ÄQÎ>ÐUÆ�ÀCâ�Ô Ú<ÀcÕCÀcÑtÖ ���� Ô6ÍmÞUÊUÑwÄ^Î>Ô�ÈDÀ�É�ÔªÊ� ! Â�â�ÇQÑ�Ô�Ú� ! Â�Ô ÁwÍOÀ�Æ Ú<Ô6ÍmÓ�Ö�Ó�ÆªÔªÓ õ â�ÁtÏUÀcÊ b �wò à ; ò Ë õ � ò 9 õOõ3��� 3 65fDâU¿�À�Î>ÎÀJ9CØ (�7pØ��ê�ë�ìDí@ë�î /�ð l�ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ � � � �F�uù�ø M

ò à õ à ; ò Ë è õ T V������� �>� �uÿ���û^þ�þ,úFUù � �F�pù�øyþ � "�û��n�$#���+"�ø!�_�&ÿ��+Â*M�û����ò Ó õ �uÿ��/ø�.eø��%�4��ø�û@þ�$���� "�ø8�&ÿ��mÂ*MJà ; ò Ë è õ�ô � ������� ��� �

Page 17: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � l �� �³ø!� % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõ �)��û � �F�pù�ø�ü}�yÿ:-$<�� �E!�! wØ ;�ÔªÊDÓcÀ c � òu��ô  ò Ë õ�! %#" ò Ëm&U$ ô�õGõ ÔªÍÈJÊUÔ ÁtÀ ò ÍGÀcÀ?E\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ 6DØ 6 õ â,Ô�Á�ÍOÞ ��ÓcÀ�Í

ÁGÇ�ÍOÏDÇ@Û ÁtÏDÄ@Á $ èF%=� ò  è & � ô  è ò Ë õ�! %R" ò Ë è &%$ ô õOõ ÔªÍ�ÈDÊUÔ�ÁGÀCØ >�Ú3��Ô6Í/Ä�ÑtÀ�ÄQÆ(ÐUÑtÔªÎÀ!ÁGÏUÀ�Ê�âÃ�Ö ò Ó õ â#% ô ò  è &�% " ò Ë è &%$ ô õGõ Ô6Í�Ä>ÈDÊDÔ ÁtÀ!ÅQÑtÇQÞDÐ ò Ç^Ú�ÇCÑtÉ�À�Ñ`ÀkiXÞDÄQÆ�ÁtÇ�ÁGÏDÀ�Ê�ÞUÎ!óÀcÑ/Ç^Ú{ÑtÀ�Ä^ÆÓ�ÇCÊUÊUÀ ÓyÁGÀ É�Ó�ÇCÎ>ÐJÇCÊUÀcÊXÁtÍ\Ç^Ú {Ô6Ó��.�� ' ò  è õ â�ÛmÏUÀ�ÑGÀ� {Ô6Ó��. � ' ò  è õ Ô6Í{ÁtÏUÀ {Ô6ÓcÄ^ÑwÉ>Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ>Ç^Ú�Ë Ø;�À�ÀM3 N�â'ÐDÑGÇ�Ç^Ú�Í�Ç^Úm¿�ÀcÎ>Î�ÄefJØ fãÄQÊDÉ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊRfJØ C�7 õ Øo2DÞUÑOÁtÏUÀcÑ âf%=� ò  è & � ô  è ò Ë õGõ ÔªÍÈDÊUÔ�ÁGÀ ò Ç^Ú\ÇCÑtÉUÀcÑ�É�Ô�Õ�Ô6É�ÔªÊUÅ?5�â�Ä^ÊJÉ�ÁGÑtÔªÕXÔ6Ä^Æ<Ô�Ú�Ë ò  è õ �� ��� ÍGÀcÀ 3 6Uâ�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5 ò à õ â(Ð�Ø+9 (�7 õ Øà`Ç@Û ÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

% � ò  è & ��ô  è ò Ë õtõ ä % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &%$ ô�õOõ ä % ô ò  è &�% " ò Ë è &%$ ôeõOõÍGÏUÇ@Û`Í�ÁGÏJÄ@Á % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &U$ ô õGõ Ô6ÍmÈDÊDÔ ÁtÀQØ �/Ê&ÁtÏUÀ!ÇQÁGÏUÀ�Ñ�ÏDÄQÊDÉ1âJÄ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎÇ^Ú <Ø ;UÄ^ƪÃJÀ�ÑGÅCÀcÑ 3 (Dâ\Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ �DØ 6Dâ{Ð�Ø 6aC�7�ÄCÍGÍGÀcÑGÁtÍ!ÁGÏJÄ@ÁB%=� ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! %R" ò Ë è &%$ ôeõOõÔ6Í�ÈDÊDÔ ÁtÀ�Ú3ÇQÑÀcÕCÀcÑtÖ¢ÊDÇQÊ�×�Ä^ÑwÓwÏUÔªÎÀ É�À�ÄQÊåÐUÑGÔªÎ>Àj�ýÇ^Ú/Â�ØýÙ�Ï�ÞDÍ�ÁtÇ¢ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ�ÁGÀ�ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇXÇQÚmÔ ÁÍGÞ ��Ó�À�Í�ÁtÇ�ÓwÏUÀ�Ó�L�ÁtÏDÄ@Á % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &U$ ô õGõ ÔªÍ<Ü�ÀcÑtÇ�Ú3ÇCÑ{Ä^ƪÆ�ÃUÞ�Á{ÈJÊUÔ ÁtÀcƪÖ�Î�Ä^Ê�ÖÊUÇCÊ�×�ÄQÑtÓwÏDÔ�Î>À�ÉUÀ�Ä^Ê*ÐUÑGÔªÎ>À�Í ��Ç^ÚmÂ�Ø>Ý\ÞUÁ�Ô�Ú ��Ô6Í�ÍGÞDÓwÏ¢Ä�ÐUÑtÔ�Î>ÀÛmÏUÀcÑtÀ>Ë è ÏDÄQÍ�гÇ^ÁtÀcÊXÁGÔ6Ä^ÆÅQÇ�Ç�ÉýÑGÀ É�ÞDÓ�ÁGÔªÇQÊ�â�ÁGÏDÀcÊm% � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &%$ ô õOõ Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁwÍ�ÔªÊXÁGÇ*Ä&ÅCÑGÇCÞUÐåÇ^ÚmÇQÑwÉ�ÀcÑ��à ; ò Ë è õ T V������� � 3ON�â ,ÑGÇCÐ�Ø<6UØ �Uâ�Ð�Ø 9-C � 7�â�ÛmÏUÀcÊDÓcÀ�ÁGÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ú3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í�Ø���ë�îr+Uí���/(ð � ð >�Ê�ÁtÏUÀ+ÐDÑGÀ Ó�À�ÉUÔ�ÊUÅ�ÐUÑGÇ�ÇQÚ{Û\À+ÞDÍOÀ É&ÁGÏDÀ!Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅ�Û\À�Æ�Æ�×hLXÊDÇ@ÛmÊ&Ú�ÄQÓyÁ 4�Ä^Ê�ÖÍGÎÇ�ÇQÁGÏ�ÐUÑGÇQÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�ÂX×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ë Ç@ÕQÀcÑmÄÊ�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈJÀcÆ6É�Â�ÏDÄQÍ�ÅCÇ�Ç�É�ÑGÀ É�ÞDÓ�ÁGÔªÇQÊ&Ä@Á`Ä^ƪÆ1ÃUÞ�ÁÈDÊUÔ�ÁGÀ�Æ�Ö*ÐUÑGÔªÎ>À�Í ��ÇQÚ�Â�Ø >�ÊDÉ�À�À�É1â1ÁtÏUÀcÑtÀÀ'&�ÔªÍOÁtÍ�Ä�Ó�ƪÇCÍGÀ�É¢ÔªÎÎ>À�ÑtÍGÔ�ÇCÊ*Ë ä��

,' Ú3ÇCÑ�ÍOÇCÎÀгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÕCÀ�Ô�ÊXÁGÀ�ÅQÀ�Ñ ��Ø�¿�ÀcÁ�1áÃJÀ>ÁtÏUÀ�ÍGÐJÀ ÓyÁGÑtÞUÎ Ç^Ú�ÁGÏUÀ�ÑtÔ�ÊDÅ�Ç^Ú�Ô�ÊXÁGÀ�ÅQÀ�ÑtÍ�ÇQÚmÂýÄ^ÊJɢƪÀ�Á��óÀ�ÁtÏUÀ�ÍtÓwÏUÀ�Î>Ä^ÁGÔ6Ó�ÔªÎ>ÄQÅQÀ�Ç^Ú`Ë ÔªÊ�� , ØsÙ�ÏUÀ�Ê� ä 1 Ô6ÍÄãÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ ÛmÔ�ÁGÏ ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏÅQÀ�ÊUÀcÑtÔ6Ó!ÈJÃJÀ�Ñ�Ë ! Â�Ø�Ù�ÏUÀ�ÑGÀcÚ3ÇQÑtÀQâ�ÁGÏDÀcÑtÀ�À'&�ÔªÍOÁtÍ�ÄQÊåÇQгÀcÊåÍOÞUÃJÍOÀcÁ>d ��1 ÍGÞDÓwÏýÁGÏDÄ^Á�� ÔªÍÍGÎÇ�ÇQÁGÏ�Ç@ÕQÀcÑ d�Ø<;�Ô�ÊDÓcÀ�d ÇQÎ>Ô ÁwÍmÇQÊDÆ�Ö�ÈJÊUÔ ÁtÀcƪÖ�Î�Ä^Ê�Ö�ÓcÆ�ÇXÍOÀ É�гÇQÔªÊXÁtÍ�Ç^Ú�1 3 9 �Uâ >[>yâ�N�Ø fJØ 6�7pâÁGÏDÀ�ÑGÀ ÍOÞUÆ�Á�Ú3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í�Ø�+ìDí@ì*)�),+�í.-#/(ð3"(ð ö<øeù�ËÌú�ømû0�["�ÿ�ÿ�ù���$#�yÿ�,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù���ÿ�.eø!��û ��a"�ú�ø�� � øyþ��+Â�� � ����-�"�ø`ù��Jû�ù�à ; ò Ë è õp�������3��� �uÿ��,ø�.eø��%� $#���+"�ø3�!ÿ���Â�� � �³ø!� % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõ�)� � �F�pù�ø���+ìDí@ì*)�),+�í.-L/(ð��(ð ö�øeù10 ú�ø�û��*ûDú�øyþ+�Iû�� .yû����3øeù�� ��ø � �³øP�&ÿ�.@ø���û�#�"�ú�ø!� � øwþ���Â��V� �³ø!�% � ò Â#& � ô  ò 0 õ�! %#" ò 0V&%$ ô õOõ �)� � �F�pù�ø��� �E!�! �� >�ÊDÉ�À�À�É1âCÔ Á{Ô6Í�Û�ÀcÆªÆ ×hL�ÊUÇ@ÛmÊ�ÁtÏDÄ@Á{ÁtÏUÀ`à GÀcÑtÇQÊ�×q;�ÀcÕCÀcÑtÔCÅCÑGÇCÞUÐÇ^Ú1Ä^Ê>Ä^óÀcƪԪÄQÊÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ

Ô6Í�ÁGÇQÑwÍGÔ�ÇCÊ�×uÚ3ÑtÀcÀCØ ;�ÀcÀJ3 5 �Uâ2E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ 9P5UØ �DâXÐ(Ø+9�5Jf�7�Ø��Ù�ÏUÀ�ÊUÀb&XÁ`ÑtÀ�ÍGÞUÆ�ÁmÛ�ÄCÍ�Ô�ÊDÍGÐUÔªÑGÀ É�Ã�Ö 3 6}5�â�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 6UØ N�â�Ð(Ø+9 � ��7�Ø

��ê�ë�ìDí@ë�î /�ðuñ�ï(ð ö<øeù`Ë ú�ø�û ��"�ÿ�ÿ�ù��M$��yÿ�,�øP��ù���.@ø> �[.yû����3øeù�� ÿ�.eø!�+û �#�"�ú�ø�� � øwþ��ýÂ��� ���-�"�øJIò Ä õ

b � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ���� Mò à õ ù��³ø�ÿ��-��ø���ÿ���ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ �)� $���� "�ø&ù�ÿ � !)� M89<��ø���ø �M�)��ù��³ø ��øtü}�yø�ø

û���� � � ��ù��³ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù/ÿ���ù��³ø � �F�pù�ø��`û@þ3ÿ��)�!ø� 1ù�ø!���[�3ÿ�� ÿ��m 9<�F���q� ù����d.P�Iû@þ ��[eø!�ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ M

ò Ó õ à ; ò Ë è õ TJV������� �>� �uÿ��mÀ�ÕQÀcÑtÖB�³ÿ��@�pû��-�q�F�+"�ø���ø�û���$#���+"�ø ��ÿ��+Â*Mò É õ �uÿ���ø�.eø!�;� �yøcû@þ2$���� "�ø �&ÿ���Â*M³Ë ò  è õ��� � M�à ; ò Ë è õcô � ������� � � û���� ,ÔªÓ �. � 'Uò  è õ� � ��ÿ��F��øP��ù�øP� M�û����ò À õ Ë �³û�� $<ÿ�ù�ø!��ù��Iû@þ1üUÿXÿF� �yø���:��ù��Iÿ��ãû�ù{û@þªþ��³ÿ��*�uû����q�F� "�øP��øcû��$#��� "�ø!��ÿ��Â��

Page 18: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

l � ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �� �³ø!� % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõ3��� �� �E!�! ��dh/ÍGÍGÞUÎ>Ð�ÁtÔ�ÇCÊDÍ ò Ä õ â ò à õ Ä^ÊDÉ ò É õ ÍGÏUÇ@Û÷ÁtÏDÄ@Á c � òu� ô  ò Ë õ�! %#" ò Ëm&U$ ô õOõ � �

ò ÍGÀcÀE\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ 6UØ f õ âJÛmÏUÔªÆ�À ò Ó õ â ò É õ Ä^ÊDÉ ò À õ ÍGÏUÇ@Û % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &U$ ô õOõE� �Ú3ÇQÑ`ÄQÆ�Æ1ÐDÑGÔªÎ>À�Í � ò ÍOÀ�À�ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�Ç^Ú�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 6UØ ( õ Ø{Ù�ÏDÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á`ÔªÍ�ÊDÇ@Û Ó�ƪÀ�ÄQÑ�Ø���+ìDí@ì*)�),+�í.- /(ð�ñ³ñJð ö�ø@ù� ú�ø�û?�#�"�ú�ø!� � øwþ��åû����¢þ3øeù 0 ú�ø�û�� ûUú�øwþ �6û�� .�û����Iø@ù�� ÿ�.eø!� �Jû}.�� ��ü*Ó�ÇCÎÐDÆ�Àb&¢Î!ÞDÆ ÁtÔ�ÐUƪÔ6ÓcÄ@ÁtÔ�ÇCÊD� � ����a"�ø&ù��JûUù<0 ò  è õ �)�J��ÿ��F��øP��ù�øP�?�uÿ��ø�.@ø��%� ��ø�û@þ$#���+"�ø<��ÿ��<Â�� � ��ø�� %=� ò Â#& � ô  ò 0 õ�! %#" ò 0�&%$ ô õOõ��>� �� �E!�! ��<>�ÊDÉ�ÀcÀ É1âeÔ Á<Ô6Í�Û�ÀcÆªÆ ×hL�ÊUÇ@ÛmÊ�ÁGÏDÄ^Á�ÄQÃJÀ�Æ�Ô6Ä^Ê�Õ@ÄQÑGÔªÀ�ÁtÔ�À Í�ÛmÔ�ÁGÏ!ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&�Î!ÞUÆ�ÁGÔªÐUƪԪÓ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊ

ÏDÄeÕCÀ�ÐJÇQÁGÀcÊXÁtÔªÄQÆ(ÅQÇ�Ç�É&ÑtÀ�É�ÞDÓ�ÁGÔªÇQÊ�Ä@Á�Ä^ƪÆ(ÐUÑtÔ�Î>À Í ò ÍGÀcÀ 3 6Zq�7 õ Ø 2UÞUÑGÁGÏDÀcÑ âDÚ3ÇCÑ�Ä^Ê�Ö�ÑGÀ Ä^Æ�ÐUÑtÔªÎÀ�>Ç^Ú'Â�â {Ô6Ó �� � ' ò  è õ Ô6Í\ÓcÇQÊUÊDÀ�ÓyÁtÀ�É�Ô�Ú'ÄQÊDÉ�ÇQÊDÆ�Ö>Ô�Ú 0 ò  è õ ÔªÍ�Ó�ÇCÊUÊUÀ ÓyÁGÀ É ò ÍGÀcÀ 3 6�CUâ >�6�7�ÇQÑ03+9-6UâE\ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ qUØ 5�7 õ Ø{Ù�ÏUÀ�ÑGÀ ÍOÞDÆ Á`Ô6Í�ÊUÇ@Û ÔªÎ>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀ�Ú3ÑGÇCÎ ÁGÏUÀ�ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î&Ø �� : ��0I7�0641BU7�BD2 2+4 �(BD=(.1B %/2 �C='. ¨<© ô ò Ë õp������� :

¿�ÀcÁ�Â�ÃJÀ�Ä�ÈJÀcÆ6ÉãÇ^Ú�ÓwÏDÄ^ÑwÄQÓ�ÁGÀcÑtÔ6ÍZÁtÔªÓ � Ä^ÊDÉ*Æ�ÀcÁ�Ë ÃJÀ�Ä�ÍGÎ>Ç�Ç^ÁGÏ¢ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ+Â�×pÕ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁZÖQØ'/À�ÈDÊUÀÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ3� � O Æ�ÔªÎ� ä , � Ý�Ñ ò Ë õ O� � ��O �� & ò f G 9 õ

ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁtÏUÀ\ÍGÞUηÀ'&�ÁtÀcÊDÉUÍ'Ç@ÕQÀ�Ñ(Ä^ƪÆQÑwÄ@ÁtÔ�ÇCÊDÄ^ÆCÐUÑtÔ�Î>À�Í �UÄ^ÊJÉ�Ý�Ñ ËáÉ�ÀcÊDÇ^ÁGÀ Í1ÁtÏUÀ�TU!#%M!V�"!��R! ! ?T�� �Ý�ÑtÄQÞUÀcÑ�ÅCÑGÇCÞUÐ�ÇQÚ ËsØ{Ý�ÖM3ON�â�¿�À�ÎÎ�Ä 9QØ 9Qâ�Ð(Ø+9 (aC�7�â ò Ý�Ñ Ë õcò 9 õ Ô6ÍmÓcÄQÊUÇQÊDÔªÓ�Ä^ƪÆ�Ö�Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÓÁGÇJ% "cò Ë &�� ô ò - ! S ò 5 õOõGõ â�ÛmÏUÀ�ÑGÀ�� ô ò - ! S ò 5 õOõ Ô6Í�ÁGÏUÀ>0�ÄQÑGÔ6Í�LXÔ1ÍGÏUÀ�Ä^Ú�ÇCÊ Ë ÄQÍtÍGÇ�ÓcÔªÄ^ÁGÀ É�ÁGÇÁGÏDÀ�ÐUÑtÀ�ÍGÏUÀ�Ä^Ú 1 3ä % ô�� � ò 1 &.- ! S ò 5 õGõ Ø=IýÀ�ÄQƪÍGÇ�ÊUÇ^ÁtÀ�ÁtÏDÄ@Á>Ý\Ñ Ë Ô6Í+ÔªÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÓÁGÇãÁGÏUÀÉ�ÔªÑGÀ ÓyÁ�ÍGÞUÎáÇQÚ<ÄÈJÊUÔ ÁtÀ�ÅQÑtÇQÞDÐ�ÄQÊDÉ&Ä+ÅCÑGÇCÞUÐ�ÔªÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6Ó/ÁGÇ ò - ! S õ� � ��QâJÛmÏUÀcÑtÀ � ô ÔªÍmÁGÏUÀÍGÀ�Ó�ÇCÊDÉ�Ý�ÀcÁOÁGÔ�Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ�ÇQÚ Ë ÄQÊDÉ��>Ô6Í\ÁGÏUÀ�ÑwÄ^ÊFL>Ç^Ú�à ; ò Ë õ Øf>�Ê�ÐJÄ^ÑGÁGÔ6Ó�ÞUÆ6Ä^Ñ âCÔ�Ú�� ô � � ò ÇCÑ�âÀkiXÞUÔªÕ@Ä^ƪÀcÊXÁGƪÖQâXÔ�Ú�% ô � Ë &� . � �>�Cõ â^ÁGÏDÀcÊ�Ý�Ñ Ë Ô6Í,Ä�ÈDÊDÔ ÁtÀ`ÅQÑtÇQÞUÐ(Øf;�À�ÀV3+9bfDâ}KmÀcÎ�ÄQÑ�L]q�Ø 9-6�7Ú3ÇQÑ�Ú3ÞDÑOÁtÏUÀcÑ�É�ÀcÁtÄQÔ�Æ6Í�Ä^ÊJÉ*ÑtÀ�Ú3À�ÑGÀ�ÊDÓ�À ÍcØ>à`Àb&XÁ â'ƪÀ�Á � � óÀ>ÁGÏDÀ�É�ÞDÄ^Æ\à GÀ�ÑGÇCÊ�×y;�ÀcÕQÀ�ÑGÔ(ÁGÇCÑGÞDÍ�ÇQÚË â�ÔpØ ÀCØ�â � � Ô6Í/ÁGÏUÀ�ÂX×pÁGÇQÑtÞDÍ�Ó�ÇCÑGÑtÀ�ÍGÐJÇCÊDÉ�ÔªÊUÅ�ÁtÇ�ÁtÏUÀ���×�ÎÇ�É�ÞDÆ�À>ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ &�S õ Ø`Ù�ÏDÀcÊ�âÍGÔ�ÊDÓcÀ � � ò  õ � à ; ò Ë õ �  4 â(ÁGÏUÀ�ÔªÊ��JÄ^ÁGÔªÇQÊ�×�ÑtÀ�ÍOÁGÑtÔªÓ�ÁGÔªÇQÊýÀ'&UÄQÓ�Á!ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ>ÄQÊDÉåß`ÔªÆ�óÀcÑGÁ-1 ÍÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ C � ÍGÏUÇ@ÛéÁGÏJÄ@ÁV% � ò Â�& � � õ ÔªÍ�ÄQÊUÊUÔªÏUÔ�Æ6Ä@ÁtÀ�É¢Ã�Ö&ÁGÏUÀ�É�À�ÅQÑtÀcÀÇ^Ú\ÁGÏUÀÈDÊUÔ�ÁGÀ � ÄQÆ�ÇCÔªÍÀ'&�ÁtÀcÊDÍGÔ�ÇCÊ>Ç^Ú�Â!ÛmÏDÔªÓwÏÁGÑtÔªÕXÔ6Ä^ƪԪÜcÀ�Í�à ; ò Ë õ Ø >�Á�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í�ÁGÏJÄ@Á�% � ò Â#& � � õ Ô6Í{Ä�ÅQÑtÇQÞUÐÇ^Ú³ÈDÊUÔ�ÁGÀÀ'&�гÇQÊUÀ�ÊXÁ�â�ÛmÏUÔ6ÓwÏ&Û\À�ÛmÔªÆ�Æ(ÉUÀcÊUÇQÁGÀ�Ã�Ö �sØ<>�Ú{Â�Ô6Í`ÄÊ�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈDÀ�ƪÉ&ÄQÊDÉj��ÔªÍmÄÐUÑtÔ�Î>À�Ç^Ú{Â�âÛ�À�ÛmԪƪÆUÛmÑGÔ�ÁGÀ � ò � õ Ú3ÇQÑ<ÁtÏUÀmÀ'&�гÇQÊUÀ�ÊCÁ�ÇQÚ#% � ò Â#& � �è õ âQÛmÏUÀ�ÑGÀ � �è ÔªÍ�ÁtÏUÀ`É�ÞDÄQÆDà GÀcÑtÇQÊ�×q;�ÀcÕCÀcÑtÔÁGÇCÑGÞJÍ�Ç^Ú(ÁtÏUÀ! è ×pÕ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁZÖ�Ë è Øà`Ç@Û Æ�ÀcÁ  4 É�ÀcÊUÇQÁGÀ�ÁGÏDÀ�Ó�ÇQÊJÍZÁwÄ^ÊXÁ ò 0�ÄQÑGÔ6Í[L�Ô õ ÍOÏUÀ Ä@Ú�ÇQÊ Ë ÛmÔ�ÁGÏ&Õ@Ä^ƪÞUÀ  4 âDÄQÊDÉ�Æ�ÀcÁ

� 4�� 4. �  4 ä $ ô - .óÀmÁGÏUÀ/Î�Ä^Ð�Ç^Úc0�ÄQÑGÔ6Í�LXÔUÍGÏUÀ ÄeÕQÀ�Í{ÇQÊ Ë Ô�ÊJÉ�ÞDÓ�À É>Ã�Ö )�ԪƪÊUÇQÑP1 Í,ÐDÄ^ÔªÑtÔ�ÊUÅ�� 4. � � 4. ä $ ô - . Ø;�ÀcÁ

� � % � ò Ë &�E\ÇaLCÀcÑ � õBG ò f G 5 õÙ�ÏUÀ�Ê�ÁtÏUÀcÑtÀ�À'&�Ô6ÍZÁ`ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�Àb&�ÄCÓyÁ�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À Í\ÇQÚ ��×�ÎÇ�É�ÞDÆ�À Í� ä � ä {Ô6Ó Ë �  4 ä % � ò Ëm&%$ ô õ ä � ä � ò f G 6 õÄ^ÊJÉ � äÌÝ\Ñ ò Ë õcò 9 õ ä � ä��·ä � & ò f G f õÛmÏUÀ�ÑGÀ � Ä^ÊDÉ�� Ä^ÑtÀ�ÞUÊUÔ iCÞDÀcƪÖ�É�ÔªÕXÔ6ÍGÔ�ÃUƪÀG��×pÎ>Ç�É�ÞUƪÀ�Í�Ø ;�ÀcÀB3 6 � â�Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ 9QØ ��7U� Ø� ²UWZiefpxja x6¦ n1~efpqcqw�Dqw��Ypoexjn(fpWZnubeh Y�xjn(_�fpWZd`_wfp¡t_w]ehjW W j!`-v�w Y��qj!v�]hY kDl!W�xjac��x YuW{YuoeW�fuWG_wi WOf�Yuq�fpWO_wi�x YOk

Page 19: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � l �KmÀ ÓcÄ^ƪÆ�ÁGÏDÄ^Á � É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�Í�ÁGÏDÀÀb&�ÐJÇCÊUÀcÊXÁ�Ç^Ú % � ò Â#& � � õ â�ÛmÏUÀcÑtÀ � � ÔªÍ/ÁtÏUÀ�É�ÞDÄ^Æ{à GÀcÑtÇQÊU×

;�À�ÕQÀcÑtÔ�ÁGÇCÑGÞJÍ�Ç^Ú'Ë Ø�,ë�î î +X6'ð�ñ³ð ö<øeù�Ë ú�ø�ûT��"�ÿXÿ�ù�� $��yÿ�,�øP��ù���.@ø{ �[.�û����Iø@ù��ÿ�.eø��<û � øwþ���Âÿ����q�Jû��wû:��ù�ø���� ��ù�����}� � �����"�ø�ù��JûUù!ù���ø"�û� :� "�û^þT����.��)�[��ú@þ3ø��Júeü���ÿ -$ ÿ�� %=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ �yÿ���ù�û�� �����³ÿ�³ÿ��@�Zù����d.��6û^þ � �Zù�ÿ����[�3ÿ���øwþ3ø�"�ø���ùd�-� � �³ø!�åù��³ø!�yø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���yû@þ(ø� Dû � ù �wø5*:Xø�����ø

� ä �·ä % � ò Â#& ���ªõ ä % � ò Â�&�% � ò Ëm&%$ ô õOõ ä % � ò Â#& �õ ä % ô ò Â#& ���6õ &9<�³ø!�yø*� �)� �)�wÿ�"�ÿ��y$#�F���`ù�ÿ�û �-Dú *:Xÿ�ù��Iø!�³ù�ÿ���æ O %RQ ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ%T ���U��� û���� � �)�`ù��³ø�ü}�yÿ:-$W�` � �JYP�� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ�Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À ò fJØ 6 õ ÔªÊDÉ�ÞJÓ�À�Í�Ä+ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

� T ä % � ò Â#& ����õ ä % � ò Â#&�% � ò Ëm&%$ ô õOõ ä % � ò Â#& �õ ä % ô ò Â#& ���Iõò Ó�ÚZØ 3+9bfJâ@¿�ÀcÎ>Î�Ä qUØ+9�9,Ä^ÊJÉ�E\ÇQÑ Ø qUØ+9kf�7 õ âeÄ^ÊDÉ�ÁtÏUÀ�ÐUÑGÇ�ÇQÚUÑGÀ É�ÞDÓ�À Í1ÁtÇ/Ô6É�ÀcÊXÁtÔ Ú3Ö�ÔªÊUÅ`ÁtÏUÀ\ÔªÎ�Ä^ÅCÀÇ^Ú<ÁtÏUÀ!Î�Ä^Ð � T ä % � ò Â�& � � õ ÛmÔ�ÁGÏ*Ä�ÍGÞUÃNiXÞUÇ^ÁtÔ�À�ÊCÁ�Ç^Ú\æ O %#Q ò Ë &US O ò 5 õ�õ%T ������� Ø`à`Ç@Û 3+9�N�â>��DØ 6Dâ�ÐUÐ�Ø 9bfZ(@×�9bf N�7�ÄQÊDÉ ò fDØ f õ Ö�ÔªÀcÆ6É�ÍGÏUÇCÑOÁmÀ'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Í

� ä Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ T �� � ä Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ T ä � O % Q ò Ë &US O ò 5 õ�õ T �������Ä^ÊJÉ � ä � T ! Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ T ä � T ä ä � &ÛmÏUÀ�ÑGÀ �ÔªÍ/ÍOÇCÎ>À�É�Ô�Õ�Ô6ÍOÔªÃUƪÀ+ÍGÞUÃUÅCÑGÇCÞUÐ&Ç^Ú %=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ Ø82UÑtÇQÎ ÁGÏUÀ�ÈJÑtÍOÁ�Ç^Ú<ÁtÏUÀ!ÐUÑtÀ�×Ó�À É�ÔªÊUÅ�ÁZÛ\Ç�À'&UÄQÓ�Á�ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ�Í�Û\À>ÔªÎ>ÎÀ É�Ô6Ä@ÁGÀ�Æ�Ö¢É�À�É�ÞJÓ�ÀÁGÏDÄ^Á!Ý�Ñ ò Ë õcò 9 õ;T*! Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ%T � �Î�ÄeÖsÃJÀ�Ô6É�À�ÊCÁtÔ ÈJÀ�É9ÛmÔ ÁtÏ ÄåÍGÞUÃUÅCÑGÇCÞUÐ ÇQÚ æ O %#Q ò Ëm&US O ò 5 õ õ;T ������� Ø �/Ê ÁtÏUÀ&Ç^ÁtÏUÀcÑ�ÏDÄQÊDÉ1âÁGÏDÀýÏ�Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÔªÍ&ÔªÎ>ÐUÆ�ÔªÀ�Í�ÁtÏDÄ@Á&ÁtÏUÀåÅQÑtÇQÞUÐ ò Ú3ÑGÇCÎ ÁGÏDÀåÍGÀ�ÓcÇQÊDÉ À'&UÄCÓyÁ�ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ õ ÏDÄQÍÄ*ÁGÑtÔ�Õ�Ô6Ä^Æ �&×pÁGÇCÑtÍGÔ�ÇCÊ ÍGÞUÃUÅQÑtÇQÞDÐ9Ä^ÊJÉ Û�À&ÉUÀ�É�ÞDÓcÀ�ÁGÏDÄ^Á �XT*! Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ;T Ô6Í �&×�É�Ô�Õ�Ô6ÍOÔªÃUƪÀQØà`Ç@Û�â\ÍOÔªÊDÓ�À=% � ò Â#& � � õ ÔªÍ>ÄQÊUÊUÔªÏUÔ�Æ6Ä@ÁtÀ�É9Ã�Ö �sâ,Ô�ÁÔ6Í>ÊUÇQÁ>É�Ô���Ó�ÞUÆ�Á�ÁGÇåÍGÀcÀ�ÁGÏDÄ^ÁÁtÏUÀ&Ô�Î×Ä^ÅCÀ Ç^Ú�ÁtÏUÀ Î�ÄQÐ � T ä % � ò Â#& � � õ Ä^ÅQÑtÀcÀ Í�ÛmÔ�ÁGÏ ÁtÏUÀ ÔªÎ�Ä^ÅCÀ Ç^Ú�ÁtÏUÀ ÔªÊDÉ�ÞDÓcÀ�ÉéÎ�ÄQÐÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ;T ä % � ò Â#& � � õ Ø ;�Ô�ÊDÓcÀãÁtÏUÀ¢Æ6Ä@ÁGÁGÀ�Ñ�ÅCÑGÇCÞUÐ Ä^ÅCÑGÀ�À�Í�ÛmÔ�ÁGÏ ÁGÏUÀýÔ�Î�ÄQÅQÀãÇQÚ�ÁGÏUÀÎ�Ä^Ð&Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ;TN! Ý\Ñ ò Ë õcò 9 õ%T � � ä %=� ò Â#& � � õ â�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇXÇQÚ'Ô6Í`Ó�ÇCÎ>ÐUÆ�ÀcÁGÀCØ � �í@ì��\ì���������ì�L6(ð��1ð ö�ø@ù{Ë ú�ø�ûJ�["�ÿ�ÿ�ù��4$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù��ãÿ�.eø!��û�#�"�ú�ø�� � øwþ���Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ �uÿ��,ø�.@ø��%� $#��� "�ø��+ÿ��JÂ*MUù��³ø "�û� :�+"�û@þ��a�d.�� ����ú@þIø �-Dúeü���ÿ P$�ÿ��2%=� ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õOõ�yÿ��³ù�û�� ���*�³ÿV�³ÿ��@�Zù����d.��6û^þ � ò � õ �Où�ÿ������3ÿ��ãøwþ3ø�"�ø���ù��bM

ò à õ �uÿ��*û^þ�þ�úFUù � �F�pù�øyþ � "�û��n�8$#���+"�ø!�d�·ÿ���Â*M � ò � õ �)�B$#���+"�ø9ù�ÿ ù��³ø ÿ��-��ø!�ãÿ��æPO %RQ ò Ë è &US O ò 5 õ õ T V�,�U��� M³û����

ò Ó õdcg��ò���õ � � � �F�uù�ø��� �³ø!� c � ò % � ò Ëm&U$ ô õGõ � � � �F�uù�ø��� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ�ÑGÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍmÄ>ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ�À'&UÄQÓ�Á�Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î� � ä � � ä %=� ò Â#& � � õ � ä % � ò Â�&�% � ò Ëm&U$ ô õOõ � ä % � ò Â�& ��õ

� � ä $ è � è � ä $ è % � ò  è & � �è õ � ä $ è %=� ò  è &�%=� ò Ë è &%$ ôOõGõ � ä $ è % � ò  è & � ' V õ &

Page 20: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

Q!R ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �ÛmÏUÀ�ÑGÀ� ò ÑGÀ ÍOÐ�Ø � è â�Ú3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏ*ÐUÑtÔ�Î>À]��Ç^Úm õ ÔªÍ�ÉUÀ�ÈDÊUÀ ÉãÁtÇ&ÃJÀÁGÏDÀ LCÀcÑtÊUÀcÆ<ÇQÚ,ÁGÏDÀÎ�ÄQÐ% � ò Â�& � � õ ä % � ò Â#&�% � ò Ë &%$ ô õGõ!ò ÑGÀ ÍOÐ(Ø�%=� ò  è & � �è õ ä % � ò  è &�% � ò Ë è &U$ ô õOõ â�Ú3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏÐUÑtÔ�Î>À]� õ Ø4;�À�À>ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�Ç^Ú�¿(ÀcÎ>Î�ÄofDØ 9QØ�Ý�Ö*ÄQÍtÍOÞDÎÐUÁGÔªÇQÊDÍ ò Ä õ Ä^ÊDÉ ò à õ Ä^ÊDÉý¿�À�Î>Î>ÄfDØ 9Qâ�� è Ô6ÍmÈJÊUÔ ÁtÀ�Ú3ÇCÑ�ÀcÕCÀcÑtÖ�ÐUÑtÔªÎÀ ��ÇQÚ\Â&Ä^ÊDÉ&Ô6Í�Ü�ÀcÑtÇ>Ú3ÇQÑ�Ä^ƪÆ(ÃUÞ�Á/ÈDÊUÔ�ÁGÀ�Æ�Ö&Î�Ä^Ê�Ö�ÐUÑGÔªÎ>À�Í�³Ø!Ù�ÏUÀcÑtÀ�Ú3ÇCÑGÀCâDE\ÇaLQÀ�Ñ}3 � ä $ è � è 7�Ô6Í�Ä�ÈDÊUÔ�ÁGÀ>ÅCÑGÇCÞUÐ�Ø 2UÞUÑGÁGÏDÀcÑ â1Ô Á�Ô6Í/Û�ÀcƪÆ�×dL�ÊUÇ@ÛmÊ�ÁtÏDÄ@Ác � ò,� � õ Ô6Í/Ä�ÈDÊUÔ�ÁGÀÅQÑtÇQÞUÐ�Ø/Ù�ÏUÀ!ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊ�ÊUÇ@Û Ú3ÇQƪƪÇ@Û`Í�Ã�Ö&Ä^ÐUÐUƪÖ�Ô�ÊDÅ�¿�À�Î>Î>ÄM9QØO5ÁGÇÁGÏDÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ�ÉUÔªÄQÅQÑwÄ^Î ò ÑtÀcÅXÄ^ÑwÉ�À�É�ÄCÍ<Ä/É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎéÔ�Ê+ÁGÏDÀ�Ó�Ä@ÁtÀcÅQÇCÑGÖ�ÇQÚJÄ^óÀcƪԪÄQÊ+ÅCÑGÇCÞUÐDÍ'Î>Ç�ÉUÞUÆ�ÇÁGÏDÀV;�ÀcÑtÑGÀ�ÍGÞUÃ�ÓcÄ@ÁtÀcÅCÇQÑtÖ�Ç^Ú(ÈJÊUÔ ÁtÀ�Ä^óÀcƪԪÄQÊ&ÅQÑtÇQÞUÐDÍ õ Ä^ÊDÉ�ÞDÍGÔ�ÊUÅ�Ï�Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÔªÍ ò Ó õ Ø �¿�ÀcÁ/Â�óÀ!ÄQÊXÖ�ÈDÀcÆ6É1âUƪÀ�Á`Ë Ã³À�ÄÍGÎ>Ç�Ç^ÁGÏãÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ�Ä^ÊJÉ�ƪÀ�Á � . 4 Ë ä ËÌÉ�À�ÊUÇ^ÁtÀ�ÁGÏUÀ

ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÇCÊ�Î�Ä^Ð�Ø�'/À�ÈJÊUÀ¨<© ô ò ËM& Ë õ�� /�ÀcÑ ? � 4. 4 ¨<© ô ò Ë õ ä ¨<© ô ò Ë õ A G ò f G q õ

à`Ç@Û ÄQÍtÍOÞUÎ>À!ÁGÏDÄ^Á�ÂãÔªÍ�Ä�ÊXÞDÎ!óÀcÑ�ÈDÀcÆ6É1Ø 2DÇQÑ�À�ÄCÓwÏãÐUÑtÔ�Î>À ��Ç^Ú�Â�â1ƪÀ�Á / è 4JË è ä Ë ÃJÀÁGÏDÀ�ÊDÄ@ÁtÞUÑtÄQÆ1ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÇQÊ�Î>ÄQÐ�Ø�'/À�ÈDÊUÀ

C ¨<© ô ò ËM& Ë õ�� /�ÀcÑ D ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä(' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õBF & ò f G ( õÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁtÏUÀ�ÅCÑGÇCÞUÐDÍ ¨<© ô ò Ë?& Ë õ Ä^ÊJÉ ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ Ä^ÑtÀ�ÅQÔªÕQÀcÊsÃ�Ö ò fJØ q õ Ä^ÊDÉýÁtÏUÀ�Î�ÄQШ<© ô ò Ë?& Ë õ ä $ è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ Ô6Í<ÔªÊDÉ�ÞDÓcÀ�É+ÃXÖ�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇ�ÉUÞDÓyÁ�Î�Ä^Ð $ è/ 4è 4 ¨<© ô ò Ë õ ä$ è ¨<© ô ò Ë è õ Ø�,ë�î î +o6'ð�/(ð ö�øeù<Ë ú�ø/ûV��"�ÿ�ÿ�ù��J$#��ÿ ,�ø���ù��d.eø� �[.yû����3øeù���ÿ�.@ø���û!þ3ÿ:�yû@þ(ÿ��mû�üCþ3ÿ�úQû^þ � øwþ��Â�ÿ�� �q�Jû��yû � ù�ø����)�cù���� �}� � �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd��û��Jû�ù���wû^þ'ø� Dû � ù<�wø5* �ø�����ø� ä � � ä % � ò Â#& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õGõ ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä % � ò Â#&�% � ò Ë &U$ ô õGõ &

9<�³ø!�yø � � �)� � �yÿ�"�ÿ��y$#�F����ù�ÿ�û��-Dú *:Xÿ�ù��Iø!�³ù{ÿ��'æ O %RQ ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ%T ������� û���� ¨<© ô ò Ë?& Ë õ � �ù���ø�ü���ÿ -$ W�` ���bY��� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ � À�ÑtÍOÁGÀ�Ê�× 5/ÞDÔ�ƪÆ�À�Ê�ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&�Ú3ÇCÑ $ ô Ö�Ô�À�ƪÉDÍ`ÄÊDÄ@ÁtÞUÑtÄQÆ1À'&UÄQÓ�Á`ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ

% � ò Ëm&U$ ô õ T ä % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä % � ò Â#&�% � ò Ë &U$ ô õGõBG;�À�À�3+9bfDâ {ÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊjq�Ø 9 7³ÇQÑ 3 N�â ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊJ6DØ (�7pØ<Ù�Ï�ÞDÍ{ÁtÏUÀ�ÐUÑGÇ�ÇQÚ�ÑGÀ É�ÞDÓ�À Í�ÁtÇ+ÍGÏUÇ@ÛmÔ�ÊDÅÁGÏJÄ@Á{ÁtÏUÀ�ÔªÎ�Ä^ÅQÀmÇQÚ1ÁGÏUÀ�Î>ÄQÐB%=� ò Ë &%$ ô õ;T ä %=� ò Â#& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &U$ ô õOõ ÄQÃJÇ@ÕCÀmÔªÍ,ÔªÍGÇ^×Î>ÇQÑtÐUÏUÔ6Ó<ÁGÇ�Ä�ÍGÞUÃNiCÞDÇ^ÁGÔªÀcÊXÁ�Ç^Ú³æ O %#Q ò Ëm&US O ò 5 õ õ;T ������� Ø�2'ÔªÑwÍZÁ�Û\À{ÊDÇ^ÁGÀ,ÁGÏDÄ^Á�â@Ã�Ö�;�Ä^ƪóÀcÑtÅQÀcÑP1 ÍÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎ 3 �Dâ {ÑtÇQÐ�Ø fDØO5�7�âD% � ò Â#& � ô  ò Ë õ�! %R" ò Ë &%$ ô õOõ Ô6Í�Ä�ÅQÑtÇQÞUÐýÇ^Ú\ÈDÊUÔ�ÁGÀ�Àb&�гÇQÊDÀcÊXÁ�âÛmÏUÀ�ÊDÓ�À>ÁtÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ>Î�Ä^ÐýÚ�ÄCÓyÁGÇCÑtÍ�ÁtÏUÑtÇQÞUÅCÏ % � ò Ë &U$ ôOõ%T�! %=� ò Ë &%$ ôGõ;T � � Ø �/ÊýÁtÏUÀ�Ç^ÁtÏUÀcÑÏDÄQÊDÉ1âD3ON�âUÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 5UØ 5�7�Ö�Ô�À�ƪÉUÍmÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&UÄQÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

� ä % � ò Ë &%$ ô õ T �� � ä % � ò Ëm&U$ ô õ T ä � O % Q� � ò Ëm&�S O ò 5 õOõ T �,�U��� &Ä^ÊJÉ�ÁtÏUÀ�Æ�À�Î>Î>ÄÚ3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í ò Ó�ÚZØ�ÐUÑtÇXÇQÚ'ÇQÚ<¿(ÀcÎ>Î�ÄXfJØ+9 õ Ø��

Page 21: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � QPl��ê�ë�ìDí@ë�î 6(ð�6(ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ��wò 9 õGõ � � � �F�uù�ø M 9<�³ø���ø/à ; ò Ë õ��wò 9 õ � ��ù��³ø�ü���ÿ -$ W �F�7a'YbM

ò à õ �uÿ��,ø�.@ø��%� $#��� "�ø��+ÿ��JÂ*MUù��³ø "�û� :�+"�û@þ��a�d.�� ����ú@þIø �-Dúeü���ÿ P$�ÿ��2%=� ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õOõ�yÿ��³ù�û�� ���*�³ÿV�³ÿ��@�Zù����d.��6û^þ � ò � õ �Où�ÿ������3ÿ��ãøwþ3ø�"�ø���ù��bM

ò Ó õ �uÿ��,û^þ�þ�ú:Dù � �F�pù�øyþ �"�û��n�0$#���+"�ø!���>ÿ���Â*M $ O ? %#Q ò Ë è &�S O ò 5 õ�õ TJV������� A��)�D$#���+"�ø/ú�ÿ�ù��ù�ÿ � ò � õ û����&ù�ÿ�ù���ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù\ÿ�� % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &U$ ô õGõ M³û����

ò É õdcg��ò���õ � � � �F�uù�ø ME9<��ø���ø � �)��ù��³ø�ü}�yÿ:-$ W�` � �.Y��� �³ø!�eC ¨<© ô ò Ë?& Ë õ �)� � �F�pù�ø��� �E!�! ��\Ý�Ö�¿�À�Î>Î>Ä]fJØ 6Dâ�ÁGÏUÀ�ÑGÀ�Àb&�Ô6ÍOÁtÍmÄÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ1À'&UÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä � � � ä %=� � Â#& �� '�� .����� � . - � � � � � ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ � ä % � ò Â�&�% � ò Ë &U$ ô õOõ �

��� � ä $ è � �è � ä $ è % � �  è &� �� ' V � .��� � � . V - � � ��� � ä $ è ¨<©ô ò Ë è & Ë è õ � ä $ è % � ò  è &�% � ò Ë è &%$ ôOõOõ'G

à`Ç@Û�â1Ã�Ö�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò à õ â ò Ó õ ÄQÊDÉ ò É õ â1ÁtÏUÀÎ>ÄQТÆ6Ä^óÀcƪÀ�É�� Ä^óÇ@ÕQÀ!ÏJÄQÍ�Ä�ÈDÊDÔ ÁtÀ LCÀcÑtÊUÀcÆò ÍGÀcÀ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ#fJØ 5 õ Ø �/ÊåÁtÏUÀ�ÇQÁGÏUÀ�Ñ�ÏDÄ^ÊJÉ1â�Ï�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔ6Í ò Ó õ ÍGÏUÇ@Û`Í�ÁtÏDÄ@Á�� �è � � Ú3ÇQÑÄ^ƪÆ�ÃUÞUÁmÈDÊUÔ�ÁGÀcƪÖ�Î>ÄQÊ�Ö�ÐUÑtÔ�Î>À�Í8� ò ÍGÀcÀ�¿(ÀcÎ>Î�Ä]fDØ 6 õ âUÍGÇÁGÏUÀ!Î>ÄQÐ&ƪÄQÃJÀ�Æ�À É�� Ä^óÇ@ÕQÀ�ÏDÄQÍmÄÈDÊUÔ�ÁGÀÓ�Ç�LQÀcÑtÊUÀ�ÆuØ<2�ÔªÊDÄ^ƪƪÖQâ�ÄQÍtÍOÞUÎ>Ð�ÁtÔ�ÇCÊ ò Ä õ ÔªÎ>ÐUÆ�ÔªÀ�Í�ÁGÏJÄ@Á�ÁtÏUÀ!Î�ÄQÐ�� ÏDÄCÍ/Ä>ÈJÊUÔ ÁtÀ�LCÀcÑtÊUÀcÆò ÍGÀcÀE\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ46DØ 6 õ Ø`Ù�ÏUÀ!ÑGÀ ÍOÞUÆ�Á�ÊUÇ@Û Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`ÍmÃ�Ö�ÄQÐUÐUƪÖ�Ô�ÊUÅ�¿�ÀcÎ>Î�Ä=9CØ 5 ò ÍOÀ�À�ÁGÏDÀ�ÐUÑtÇXÇQÚÇ^Ú� {ÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊ fJØ 5 õ Ø ��,ë�î î +X6'ð H�ð ö<øeù1Â�ú�ø,û`þIÿF�wû^þ � øwþ���ÿ��#�q�Jû��yû � ù�ø����)�cù������mû����/þIø@ùJË ú�ø�û ��"�ÿXÿ�ù�� $��yÿ�,�øP���ù��d.eø� �q.�û����3øeù�� �-:�q�sù��Jû�ù,à ; ò Ë õcô � ������� � � � �, � �*� � �����"�øù��Jû�ù�%=� ò Â�&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ�Jûa� � �F�pù�ø�ø� a$<ÿ��³ø!��ù�� � �³ø!� ¨<© ô ò Ë?& Ë õ � ��û � ���uù�ø�ü���ÿ -$<�� �E!�! wØ\Ù'ÄaLXÔªÊUÅ��`×�Ó�ÇCÏUÇQÎ>ÇCÆ�ÇCÅQÖ>Ç^Ú�ÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQƳÀb&UÄQÓyÁ�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

� ä Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ � � ä Ý�Ñ ò Ë õcò 9 õ ä � O % Q ò Ëm&�S O ò 5 õ õ �,�U���{ä �ò ÍGÀcÀB3+9�N�â�>��UØ 6Uâ�ÐDÐ�Ø+9kfn(^×�9kf NP7 õ âXÛ�À�ÇCÃ�ÁtÄQÔ�Ê�ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À� O % Q ò Ë &US O ò 5 õ õ T ������� ä % � ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ �� � õ ä % � ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ

ä % � � Â#& � % Q ò Ëm&US O ò 5 õ õ ������� � &ÛmÏUÀ�ÑGÀ+ÁGÏUÀ>ƪÀ�ÚIÁG×mÄQÊDÉ¢ÑGÔªÅQÏXÁO×�Î>ÇCÍOÁ/ÅCÑGÇCÞUÐDÍ�Ä^ÑtÀ�ÈDÊUÔ�ÁGÀ>ÅCÑGÇCÞUÐDÍ 3 5}N�â E\ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ >yØO5�Ø 6Uâ�Ð�Ø 6�fa7pØ>�Á�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í�ÁtÏDÄ@Á %=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ �� �Qõ ÔªÍ�Ä ÅQÑtÇQÞDÐ ÇQÚ�ÈDÊUÔ�ÁGÀ¢À'&�ÐJÇCÊUÀcÊXÁ Ø÷¿�ÀcÁ � ÃJÀ*ÁGÏUÀÀ'&�гÇQÊUÀ�ÊXÁ>ÇQÚ % � ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ � � õ ØLh ÍZÁwÄ^ÊDÉDÄ^ÑwÉ Ä^ÑtÅQÞDÎÀ�ÊXÁ ò ÓyÚZØ 3 6}N�â,ÐUÑGÇ�ÇQÚ/Ç^Ú {ÑtÇQÐ�Ø9bfJâ1Ð�Ø qJf�7 õ ÁGÇCÅQÀ�ÁtÏUÀcÑ�ÛmÔ�ÁGÏ83 5}N�â E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ >yØ 5UØ 6Dâ1Ð�Ø 65f�7{Ä^ÊJÉãÁtÏUÀÚ�ÄQÓyÁ�ÁtÏDÄ@Á�ÁGÏDÀ � ×pÁGÇCÑtÍGÔªÇQÊÍGÞUÃUÅQÑtÇQÞDÐ�Ç^Ú<Ý�Ñ ò Ë õcò 9 õ � � � ò - ! S õ � � � �Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÍGÏUÇ@Û ÁtÏDÄ@Á % � ò Â�&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ �� �^õ Ô6Í�ÔªÊÚ�ÄQÓ�Á,ÈDÊDÔ ÁtÀQØ<IýÀ�ÓcÇQÊDÓcÆ�ÞDÉUÀ`ÁGÏJÄ@Á % � ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ Ô6Í,ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÄQÍ\Û\À�Æ�ÆpØ�à�Ç@Û ò fJØ f õ Ö�Ô�À�ƪÉDÍ\ÄQÊÀ'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ

� T ä % � ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ ä % � ò Â#& ��õ ä � &

Page 22: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

Q!Q ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �Ú3ÑtÇQÎ ÛmÏUÔ6ÓwÏ&Ô ÁmÚ3ÇCÆ�ƪÇ@Û`Í\ÁGÏDÄ^ÁT%=� ò Â�& ��õ Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀQØ\à`Ç@Û ÁtÏUÀ�À'&UÄCÓyÁGÊDÀ�ÍtÍ\ÇQÚ'ÁtÏUÀ�ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À

% � ò Â#& ���6õ ä % � ò Â#&�% � ò Ë &%$ ô õOõ ä % � ò Â#& �+õò Ó�ÚZØ ¿(ÀcÎ>Î�Ä fJØ+9 õ ÁGÇCÅQÀcÁGÏUÀ�Ñ�ÛmÔ�ÁGÏ ÁGÏUÀýÈDÊDÔ ÁtÀcÊUÀ ÍGÍ�Ç^Ú%=� ò Â�& � � õ 3 5�N�â0E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ >yØO5�Ø fDâÐ�Ø 6nq�Ä^ÊDÉ¢Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î >yØO5�Ø 9-6DâJÐ(Ø f 5�7�ÍOÏUÇ@Û·ÁtÏDÄ@Á�% � ò Â#&�% � ò Ë &%$ ô õOõ Ô6Í�ÈJÊUÔ ÁtÀQØ 2�ÔªÊDÄ^ƪÆ�ÖCâ³ÁGÏUÀÀ'&UÄCÓyÁGÊDÀ�ÍtÍ�Ç^Ú

% � ò Â#& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &U$ ô õOõ ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä % � ò Â#&�% � ò Ë &%$ ô õOõò Ó�ÚZØ�¿�ÀcÎ>Î�Ä fDØ 6 õ ÁtÇQÅQÀcÁGÏUÀ�Ñ�ÛmÔ ÁtÏÁGÏUÀ�ÈDÊDÔ ÁtÀcÊUÀ ÍGÍ�ÇQÚ#% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõmò ÍOÀ�À�ÁGÏUÀÐUÑtÇ�Ç^Ú'ÇQÚ<Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ 6DØ ( õ ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ�ÁtÏUÀ�ƪÀcÎ>Î�ÄUØ ���ê�ë�ìDí@ë�î 6(ð l�ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ � � � �F�uù�ø M 9<�³ø���ø/à ; ò Ë õ � ò 9 õ � ��ù��³ø�ü���ÿ -$ W �F�7a'YbM

ò à õ �uÿ��/ø�.eø��%� $#���+"�ø ��ÿ���Â*M�%=� ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õOõ �³û�� � �F�pù�ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù;Mò Ó õ �uÿ��/ø�.eø��%�4��ø�û@þ�$���� "�ø8�&ÿ���Â*MJà ; ò Ë è õ�ô � ������� �L� Mò É õ �uÿ���û@þªþ�úFUù � �F�uù�øwþ\�M"�û��n� $#��� "�ø!� �ãÿ��/Â*M $ O ? %#Q ò Ë è &US O ò 5 õ õ TJV������� A��)�*$���� "�ø>ù�ÿ

� ò � õ � ? % �^ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % "�ò Ë è &%$ ô õGõpA Mò À õdcg��ò���õ � � � �F�uù�ø ME9<��ø���ø � �)��ù��³ø�ü}�yÿ:-$ W�` � �.YkM³û����ò Ú õ ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ��>� �uÿ���û^þ�þ,úFUù � �F�pù�øyþ � "�û��n�$#���+"�ø!�_�&ÿ���Â��

� �³ø!� ¨<© ô ò Ë õ ���U�����)�`û � �F�pù�ø�ü}�yÿ:-$<�� �E!�! ���2'ÔªÑwÍZÁ�Û\À\ÊUÇ^ÁtÀ,ÁtÏDÄ@Áf%=� ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &%$ ôeõOõ Ô6Í(ÔªÊDÉ�À�À�É�ÈJÊUÔ ÁtÀ,Ú3ÇCÑ'À�ÕQÀ�ÑGÖ

ÐUÑtÔ�Î>À ��ÇQÚ� ò ÍOÀ�À�ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú<Ç^Ú�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 6UØ (>Ä^ÊDÉ�ÞDÍGÀ ò Ó õOõ Ø\à`Ç@Û Ï�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÀ�Í ò Ä õ â ò à õ âò É õ Ä^ÊDÉ ò À õ Ô�Î>ÐUƪÖ�ÁtÏDÄ@Á C ¨<© ô ò ËM& Ë õ Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀQØ ;�À�ÀmÙ�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î fDØ fDØ��/Ê!ÁtÏUÀmÇ^ÁtÏUÀcÑ�ÏDÄQÊDÉ1âÏ�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò à õ â ò Ó õ â ò Ú õ Ä^ÊDÉ¢¿�À�ÎÎ�Ä fDØ q�ÍGÏUÇ@ÛéÁtÏDÄ@Á $ è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ Ô6Í�ÈJÊUÔ ÁtÀQØ�I¢ÀÓ�ÇCÊDÓ�ƪÞDÉ�À�ÁtÏDÄ@Á ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ÔªÍ�ÈDÊDÔ ÁtÀQØ,à�Ç@Û ÁGÏDÀ�À'&UÄQÓ�ÁGÊUÀ ÍGÍ�ÇQÚ(ÁGÏDÀ�ÍOÀ iCÞDÀcÊDÓcÀ

� ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä ¨<© ô ò Ë õp������� ä ¨<© ô ò Ë õ T���U���3 �Uâ,Ð(Ø 5a6�f�7�ÁtÇQÅQÀcÁGÏUÀ�Ñ>ÛmÔ ÁtÏ9ÁtÏUÀ&ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÊUÀ�ÍtÍ>Ç^Ú ¨<© ô ò Ë õ;T�,�U��� 3 N�â�Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ(6DØ 6�7mÖXÔªÀcÆ6É ÁGÏUÀÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÊUÀ�ÍtÍ ¨<© ô ò Ë õp�,�U��� âUÁGÏUÀ�ÑGÀ�ÃXÖ�Ó�ÇQÎ>ÐUƪÀ�ÁtÔ�ÊDÅ+ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^ÚZØ ���� +Uî ��)�ëo6(ð �1Ø<¿�ÀcÁ`Â�ÃJÀ�Ä+Æ�Ç�Ó�Ä^Æ�ÇQÑmÄ+ÅQƪÇQÃDÄQÆDÈDÀ�ƪÉ�Ç^Ú�ÓwÏDÄ^ÑwÄQÓ�ÁGÀcÑtÔ6ÍZÁtÔªÓ � ÄQÊDÉ�ƪÀ�Á�1 ÃJÀ

ÄÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ�ÂX×�Ó�ÞDÑGÕCÀQØ<¿�À�Á�/ 4UË ä 1 ÃJÀ�ÄÑtÞUÆ�À É�ÍGÞUÑGÚ�ÄQÓ�ÀCâ�ÔuØ ÀQتâUË Ô6ÍmÄÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ�ÂX×�ÍOÞUÑGÚ�ÄQÓcÀ/ÄQÊDÉ /�ÔªÍmÄÉ�ÇQÎ>ÔªÊDÄ^ÊXÁ`ÂX×�ÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎ ÍOÞJÓwÏ�ÁGÏJÄ@Á�ÁGÏUÀ�ÅCÀcÊUÀ�ÑGÔ6ÓmÈDóÀcÑmÇQÚ/�Ô6Í,Ä�ÍGÎ>ÇXÇQÁGÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ� ò 1 õ ×�Ó�ÞUÑtÕQÀmÇQÚ�ÅQÀcÊ�ÞDÍ � Ø<Ù�ÏUÀcÊ�à ; ò Ë õK���U����� Ý�Ñ ò Ë õ3� � �L�3+9k(Uâ ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊJÍ 9CØ CDâ#9QØ 9P5Ä^ÊDÉ 6UØ q�â�ÐDÐ�Ø+9 (aCÄ^ÊDÉ 9�N 9 7�Ø >�ÁmÚ3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í�ÁtÏDÄ@Á âUÔ Ú<Ë ä 1 ÔªÍmÄÍGÎÇ�ÇQÁGÏ�ÑtÞUƪÀ�É�ÍGÞUÑGÚ�ÄQÓcÀ�Ç@ÕQÀ�Ñ\Ä+Ê�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈDÀ�ƪÉ�Â�âXÁGÏUÀ�Ê�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò Ä õ ÁGÏUÑtÇQÞDÅQÏ ò À õ Ô�Ê�ÁGÏUÀÍOÁtÄ@ÁtÀcÎ>ÀcÊXÁ{ÇQÚJÁtÏUÀ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ ÏDÇQÆ6É!ÁtÑGÞDÀ�Ú3ÇQÑ�Ë ò ÍGÀcÀ�ÁGÏDÀmÐUÑGÇ�ÇQÚ³ÇQÚ�¿(ÀcÎ>Î�Ä fJØ q õ Ø<ß`Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÔªÍò Ú õ ÏUÇCƪÉDÍmÁGÑtÞUÀÄQÍ`Û�ÀcƪÆpâJÃ�Ö 3 9 (Uâ {ÑtÇQÐ�Ø >�>[>yØO5�Ø 9Qâ³Ð�Ø+9�N���7pØ IýÀ+ÓcÇQÊDÓcÆ�ÞDÉUÀ ò ÍGÀcÀ!ÁGÏUÀ+ÐUÑGÇ�ÇQÚ<ÇQÚÁGÏDÀ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ õ ÁGÏDÄ^Á ¨<© ô ò Ë?& Ë õ Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀQâJÛmÏUÔ6ÓwÏ�Ô6Í�ÁGÏDÀ�Î>ÄQÔ�Ê�ÑtÀ�ÍGÞUÆ Á`ÇQÚ 3+9k(�7pØÙ�ÏUÀ�Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅ>Ô6ÍmÄÕeÄQÑGÔ6Ä^ÊXÁmÇ^Ú�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ fDØ (UØ

Page 23: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � Q n��ê�ë�ìDí@ë�î 6(ð#"�ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ � � � �F�uù�ø M 9<�³ø���ø/à ; ò Ë õ � ò 9 õ � ��ù��³ø�ü���ÿ -$ W �F�7a'YbM

ò à õ %=� ò Â�&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ�� �^õ �)� � ���uù�ø Mò Ó õ %=� ò Â�& æPO %RQ ò Ë &�S O ò 5 õ�õB�������Oõ � � � �F�uù�ø Mò É õ à ; ò Ë è õ TJV������� �>� �uÿ���û^þ�þ,úFUù � �F�pù�øyþ � "�û��n�$#���+"�ø!�_�&ÿ��+Â*Mò À õ �uÿ��/ø�.eø��%�4��ø�û@þ�$���� "�ø8�&ÿ��mÂ*MJà ; ò Ë è õ ô � ����������� MJû����ò Ú õ %=� ò Â�& � � õ �)� � �F�pù�ø W ø�� ü��\M[eø���ÿZMN9<�F���q�4�)��ù��³ø �wû��yø � �\à ; ò Ë õU! ÁGÇCÑtÍ � ��ûT$<ø���"4Uù�û5�

ù��3ÿ�� � � "�ÿF��^þ3ø�Y��� �³ø!� ¨<© ô ò Ë õ ���U�����)�`û � �F�pù�ø�ü}�yÿ:-$<�� �E!�! �� ;�ÀcÀ,ÁGÏUÀ\ÐUÑGÇ�ÇQÚ�ÇQÚD¿�À�ÎÎ�Ä<fDØ q�ØEh/ÍGÍGÞUÎ>Ð�ÁGÔªÇQÊJÍ ò à õ ÄQÊDÉ ò Ó õ Ô�Î>ÐUƪÖ�ÁGÏDÄ^Á % � ò Â#& ��õ

Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀQØ\Ù�ÏUÔªÍmÚ�ÄQÓyÁ`ÄQÊDÉ�ÏXÖ�гÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔªÍ ò Ú õ Ö�ÔªÀcÆ6É�ÁtÏUÀ�ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÊUÀ�ÍtÍ�Ç^Ú<% � ò Â#&�% � ò Ëm&%$ ô õOõ Ø �/ÊÁGÏDÀ\ÇQÁGÏUÀ�Ñ�ÏJÄ^ÊDÉ1â^ÄCÍGÍGÞUÎ>Ð�ÁtÔ�ÇCÊDÍ ò Ä õ â ò É õ Ä^ÊJÉ ò À õ ÔªÎ>ÐUƪÖ�ÁGÏDÄ^Áf% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ô õOõÔ6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀ ò ÍGÀcÀsÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 6DØ ( õ Ø I¢À ÓcÇQÊDÓcÆ�ÞJÉ�ÀýÁGÏDÄ^Á ¨<© ô ò Ë?& Ë õ â�Ä^ÊJÉ ÁtÏUÀcÑtÀ�Ú3ÇCÑGÀåÄ^Æ6ÍGǨ<© ô ò Ë õp������� âUÔ6Í�ÈDÊDÔ ÁtÀ ò ÓyÚZØ�ÐDÑGÇ�Ç^Ú�Í�ÇQÚ<¿(ÀcÎ>Î�Ä fDØ q+ÄQÊDÉ�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î fDØ ( õ Ø��

� :F��³='½�7�¼ �C='. C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ : �í@ì��\ì���������ì�>H1ðuñJð ö�ø@ù{Ë ú�ø�ûJ�["�ÿ�ÿ�ù��4$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù��ãÿ�.eø!��û�#�"�ú�ø�� � øwþ���Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ���� M

ò à õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò Ó õ ù��³ø�ÿ��-��ø���ÿ���ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ �)� $���� "�ø&ù�ÿ � !)� M89<��ø���ø �M�)��ù��³ø ��øtü}�yø�ø

û���� � � ��ù��³ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù/ÿ���ù��³ø � �F�pù�ø��`û@þ3ÿ��)�!ø� 1ù�ø!���[�3ÿ�� ÿ��m 9<�F���q� ù����d.P�Iû@þ ��[eø!�ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ��tò 9 õ &  4 õ M

ò É õ ù��³ø�ø� �$<ÿ���ø���ù(ÿ���% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! %R" ò Ë &U$ ô õOõ � ��$���� "�ø`ù�ÿ $=O ? %#Q ò Ë & S O ò 5 õyõ;T������� Aû����

ò À õ �uÿ���ø�.@ø��%� $#���+"�ø �9ÿ���ÂNM/ù���ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù�ÿ�� % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! %#" ò Ë è &U$ ô õGõ � �$#���+"�ø!ù�ÿ $rO ? %#Q ò Ë è &US O ò 5 õ õ T V������� A �

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ�� �-,�ø���ù��3ÿ��C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ�� ä c � ò % � ò Ëm&%$ ô õOõBG

� �E!�! wØ�Ý�Ö&Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò É õ Ä^ÊDÉ ò À õ Ä^ÊDÉ¢¿�À�ÎÎ�ÄjfDØ 6Uâ³ÁGÏUÀ�ÑGÀ+À'&�Ô6ÍZÁwÍ/Ä�ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ(Àb&UÄQÓyÁÓ�ÇCÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä % � � Â#& �� '�� .��� � � . - � � � � � ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ � ä % � ò Â#&�% � ò Ëm&U$ ôOõGõ

� � ä $ è % � �  è &� �� ' V � .��� � � . V - � � ��� � ä $ è ¨<©

ô ò Ë è & Ë è õ � ä $ è % � ò  è &�% � ò Ë è &U$ ôOõOõ'GIýÀ�Ó�ÇQÊJÓ�ƪÞDÉ�À�ÁGÏDÄ^ÁmÁGÏUÀ�ÑGÀ�Àb&�ÔªÍOÁtÍmÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À

� ä c � òu� ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä c � ò % � ò Ëm&%$ ô õOõ'Gà`Ç@Û9Ï�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÀ�Í ò Ä õ × ò Ó õ ÔªÎ>ÐUÆ�Ö!ÁGÏDÄ^Á�ÁGÏUÀ�Æ�ÀcÚIÁO×�ÏDÄ^ÊDÉÅCÑGÇCÞUÐ+Õ@ÄQÊUÔªÍGÏUÀ Í ò ÍGÀcÀ E\ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ06DØ f õ âÛmÏUÔ6ÓwÏ&ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�Ø��

Page 24: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

Q�p ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ��,ë�î î +]H�ð ��ð ö<øeù�Ë ú�ø�ûT��"�ÿXÿ�ù�� $��yÿ�,�øP��ù���.@ø{ �[.�û����Iø@ù��ÿ�.eø��<û � øwþ���Âÿ����q�Jû��wû:��ù�ø���� ��ù�����}� � ���-�"�ø`ù��Jû�ù�% � ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ �yÿ��³ù�û�� ���f�³ÿT�³ÿ��@�Zù����d.��6û^þ#�a�d.P�)���pú@þ3ø���Júeü���ÿ -$��'M 9<�³ø!�yøÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ �)��ù���ø�ü���ÿ -$ W�` �7a'YP� � ��ø��?% � ò Â�& ��õ û����B%=� ò Â#&tÝ\Ñ ò Ë õcò 9 õOõ û��yø��wû��³ÿ������yû@þªþ ��)�wÿ�"�ÿ��h$��F���kM�9<�³ø���ø � �)��ù���ø�ü���ÿ -$ W�` � �.Y��� �E!�! wØ\Ù�ÏUÀ�À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À ò fDØ f õ ÔªÊDÉ�ÞDÓcÀ�Í`ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À

� T ä % � ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õGõ ä % � ò Â�& ��õ ä � G;�ÔªÊDÓ�À � T Î�ÄQÐDÍ{ÔªÊXÁGÇ�ÁtÏUÀ�Î�ÄJ&�ÔªÎ�Ä^ÆJÉUÔ�Õ�Ô6ÍOÔªÃUƪÀ�ÍOÞDÃUÅQÑtÇQÞUÐ>ÇQÚD% �^ò Â#&tÝ\Ñ ò Ë õcò 9 õOõ âCÁGÏDÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ ÁÔ6Í�Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀQØ ��ë�îr+Uí��PH1ð /�ð E\ƪÀ�Ä^ÑtƪÖQâ{Ô�Ú % �@ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ ÏJÄQÍ!ÈDÊUÔ�ÁGÀ&À'&�гÇQÊUÀ�ÊCÁ â{ÁtÏUÀcÊ Ô Á�ÓcÇQÊXÁtÄQÔ�ÊDÍÊUÇãÊDÇQÊ�×pÁGÑtÔ�Õ�Ô6Ä^Æ{É�ÔªÕ�ÔªÍGÔªÃUÆ�À�ÍOÞUÃDÅQÑtÇQÞUÐDÍ�Ø�à�Ç@Û�â'Ã�Ö83 9�N�â >��UØ 6Uâ�ÐUÐ�Ø 9bfZ(@×�9bf:NP7�â�ÁGÏUÀ�ÑGÀ�Àb&�ÔªÍOÁtÍ�ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À�Ç^ÚJ�`×�Î>Ç�É�ÞUƪÀ�Í

� äÌÝ\Ñ ò Ë õcò 9 õ � � ä Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ ä � O % Q� � ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ ���U����ä � GÙ�ÏUÀ�ÐUÑtÀ�ÓcÀ�É�ÔªÊUÅÀ'&UÄQÓ�Á�ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Ô�ÊDÉUÞDÓ�À ÍmÄ+ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À� O % Q� � ò Ë &US O ò 5 õ�õ T ������� ä % � ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õ � � õ ä % � ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ

ä % � � Â#& � O % Q ò Ë &US O ò 5 õ�õ ������� � &ÛmÏUÀ�ÑGÀ!ÁGÏUÀÆ�ÀcÚIÁO×mÄ^ÊDÉ*ÑGÔªÅQÏXÁG×pÎ>ÇCÍOÁ�ÅCÑGÇCÞUÐDÍ�ÄQÑGÀ!ÅQÑtÇQÞUÐDÍ�Ç^Ú�ÈDÊDÔ ÁtÀ+Àb&�гÇQÊDÀcÊXÁ�Ø I¢À>Ó�ÇCÊDÓ�ƪÞDÉ�ÀÁGÏJÄ@Á�%=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ ÏDÄCÍ�ÈJÊUÔ ÁtÀ>À'&�ÐJÇCÊUÀcÊXÁ�Ô Ú�Ä^ÊDÉ*ÇQÊUƪÖ�Ô�Ú % � ò Â�&GÝ�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ �� �^õ É�Ç�À ÍcØÙ�ÏUÀ�ƪÄ^ÁOÁGÀ�Ñ!ÏUÇCƪÉDÍcâ�Ú3ÇQÑ+À'&UÄ^Î>ÐUƪÀQâ�Ô�ÚT%=� ò Â#&tÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õ � � õ � � â�ÀCØ ÅJØ�â`Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ � � � �ò ÛmÏDÔªÓwÏ�âJÄQÍ�ÊUÇQÁGÀ�É�À�ÄQÑGƪԪÀcÑ â�ÔªÍ�À iCÞDÔ�Õ@Ä^ƪÀcÊXÁ�ÁGÇ>ÁtÏUÀ�Ó�ÇCÊDÉ�Ô�ÁGÔªÇQÊ % ô � Ë & � . � ���Xõ Øà`Ç@Û ÑtÀ�ÓcÄQÆ�Æ�ÁtÏDÄ@Á âJÔ�Ú�Ë ÔªÍ`Ä�ÍGÎ>Ç�Ç^ÁGÏ�ÐDÑGÇQÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ�ÂX×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ç@ÕCÀcÑ`Ä>Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�ÑmÈDÀcÆ6ÉãÂ�â �

É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�Í<ÁtÏUÀ�Àb&�гÇQÊDÀcÊXÁ{Ç^Ú�% � ò Â�& � � õ âXÛmÏUÀ�ÑGÀ � � ÔªÍ{ÁGÏUÀ�à GÀcÑtÇQÊU×y;�À�ÕQÀ�ÑGÔ�ÅQÑtÇQÞDÐÇQÚ1Ë Ø >�Ú��+ÔªÍÄ�ÐDÑGÔªÎ>À/ÇQÚ�Â�â�� ò � õ É�À�ÊUÇ^ÁtÀ�Í,ÁGÏUÀ�Ó�ÇCÑGÑtÀ�ÍGгÇQÊDÉ�ÔªÊUÅ iXÞDÄQÊCÁtÔ ÁZÖ�ÄCÍGÍGÇ�Ó�Ô6Ä@ÁtÀ�ÉÁGÇ+ÁGÏDÀ� è ×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖË è Ø �í@ì��\ì���������ì�>H1ð�6(ð ö�ø@ù{Ë ú�ø�ûJ�["�ÿ�ÿ�ù��4$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù��ãÿ�.eø!��û�#�"�ú�ø�� � øwþ���Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ %=� ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ �� � � $ èF% � ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õGõ � � ��� Mò à õ $ O ? %RQ ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ%T ���U��� A �)� $#���+"�ø+ù�ÿ �=M�û����ò Ó õ �uÿ��/ø�.eø��%� $#���+"�ø ��ÿ���Â*M $ O ? %#Q ò Ë è &�S O ò 5 õ�õ TJV������� A �)� $#���+"�ø!ù�ÿ�� ò � õ �

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø� ä c � ò����Iõ ä c � ò % � ò Ë &%$ ôOõGõ ä c � ò Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õGõBG� �E!�! ��,Ù�ÏUÀ�Ï�Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÀ�Í{ÄQÊDÉ�¿�À�Î>Î>ÄCÍ�fJØ+9`ÄQÊDÉ q�ØO5�ÍGÏUÇ@Û ÁGÏDÄ^Á{ÁGÏUÀ�ÑGÀ/À'&�Ô6ÍZÁwÍ,Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ

À'&UÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � ä % �^ò Â#& � � õ � ä % �Qò Â�&�% �tò Ëm&U$ ô õOõ � ä % �@ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ

� � ä $ è % � ò  è & � �è õ � ä $ è %=� ò  è &�%=� ò Ë è &%$ ôOõGõ � ä $ è % � ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õOõ &

Ù�ÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6Í�ÊUÇ@Û Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀQØ �

Page 25: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � Q o�,ë�î î +=H�ð H�ð ö<øeù�Ë ú�ø!ûB��"�ÿXÿ�ù��4$#��ÿ ,�ø���ù���.@ø� �[.yû����3øeù��¢ÿ�.eø!�/û�#�"�ú�ø!� � øyþ��&Â�� � ����-�"�øãù��Jû�ù%M �uÿ���ø�û:�q� �yû�ù��Iÿ��Jû@þ $#���+"�ø ��û���� ø�.@ø��%� $�ÿ��[�pù��d.eø4� ��ù�øtüUø�� ��M � �)��$#���+"�ø*ù�ÿ� O� !�� O� M�9<�³ø���ø � O� �)��ù��³ø ��øtü}�yø�ømû���� � O� � ��ù��³ø/ø� a$�ÿ��³ø���ù<ÿ���ù��³ø � �F�pù�ø�ø� 1ù�ø������Iÿ��&ÿ��(Â9<�F���q�åù�����.��Iû@þ �7[@ø!��Ý�Ñ ò Ë õ O ����O� � � �³ø!� c � ò Ý\Ñ ò Ë õcò 9 õGõ3�>� �� �E!�! wØ\Ý\Ö�É�À�ÈDÊDÔ ÁtÔ�ÇCÊ�ÇQÚ<Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õ�ò q�Ø 9 õ â

c � ò Ý�Ñ ò Ë õ�ò 9 õOõ � � O ƪÔ�Î� ä , c � ò Ý�Ñ ò Ë õ O � � O õBGÙ�ÏUÀ+ÕeÄQÊUÔ6ÍOÏUÔªÊUÅ�ÇQÚ c � ò Ý�Ñ ò Ë õ O� �� ��O� õ Ú3ÇCÑ�À�ÄCÓwÏ �,ÄQÊDÉ�ÀcÕCÀcÑtÖ �sÊUÇ@Û Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`ÍmÚ3ÑtÇQÎ 3 6�fDâ¿�À�Î>ÎÀJ9CØ 6Dâ�Ð�Ø 9�NP7�Ø�� �í@ì��\ì���������ì�>H1ð l�ð ö�ø@ù{Ë ú�ø�ûJ�["�ÿ�ÿ�ù��4$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù��ãÿ�.eø!��û�#�"�ú�ø�� � øwþ���Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ %=� ò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ �� � � $ èF% � ò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õGõ � � ��� Mò à õ $ O ? %RQ ò Ëm&�S O ò 5 õ�õ%T ���U��� A �)� $#���+"�ø+ù�ÿ �=Mò Ó õ �uÿ��/ø�.eø��%� $#���+"�ø ��ÿ���Â*M $ O ? %#Q ò Ë è &�S O ò 5 õ�õ T V������� A �)� $#���+"�ø!ù�ÿ�� ò � õ M³û����ò É õ �uÿ��`ø�û:�q�B�wûUù��3ÿ��Jû^þ $���� "�ø���û�����ø�.eø!�;��$<ÿ����uù���.@ø*� ��ù�øtüUø����M�D�)� $���� "�ø�ù�ÿ�� O� !�� O� M9<�³ø���ø�� O� �)��ù��³øV��øtü}�yø�ø�û���� � O� � ��ù��³ø�ø� �$<ÿ���ø���ù\ÿ���ù��³ø � �F�uù�ø�ø� 1ù�ø������Iÿ��*ÿ���Â9<�F���q�ýù����d.��6û^þ+��[eø ��Ý\Ñ ò Ë õ O� �����O� �

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c � ò % � ò Ë &U$ ô õOõ �>c � ò����IõNG

� �E!�! ��\Ù�ÏUÔ6Í�Ú3ÇQƪƪÇ@Û`Í\Ã�Ö�Ó�ÇQÎ+ÃUÔªÊUÔ�ÊDÅ ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊdq�Ø fÄQÊDÉ&¿�À�ÎÎ�Ä q�Ø q�Ø����ê�ë�ìDí@ë�î H1ð � ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õb � ò à ; ò Ë õ��wò 9 õGõ���� M

ò à õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò Ó õ ù��³ø�ÿ��-��ø���ÿ���ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ �)� $���� "�ø&ù�ÿ � !)� M89<��ø���ø �M�)��ù��³ø ��øtü}�yø�ø

û���� � � ��ù��³ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù/ÿ���ù��³ø � �F�pù�ø��`û@þ3ÿ��)�!ø� 1ù�ø!���[�3ÿ�� ÿ��m 9<�F���q� ù����d.P�Iû@þ ��[eø!�ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ � ò 9 õ &  4 õ M

ò É õ % �tò Â#&GÝ�Ñ ò Ë õcò 9 õGõ �� � � $ è % �tò  è &GÝ�Ñ ò Ë è õ�ò 9 õGõ � � ��� Mò À õ � � À'&�Ð ò %=� ò Â#& � ô  ò Ë õU! % " ò Ëm&%$ ô õOõGõ �)� $#��� "�ø+ù�ÿ $ O ? %#Q ò Ëm&US O ò 5 õ õ;T �,�U��� A.Mò Ú õ �uÿ��+ø�.eø��%� $#��� "�øX�åÿ��mÂ*M � ò � õ � À'&�Ð ò %=� ò  è & ��ô  è ò Ë õU! %R" ò Ë è &U$ ô�õGõOõ �)�T$#��� "�ø

ù�ÿ $rO ? %RQ ò Ë è &US O ò 5 õ õ T V�,�U��� A M³û����ò Å õ �uÿ��`ø�û:�q�B�wûUù��3ÿ��Jû^þ $���� "�ø���û�����ø�.eø!�;��$<ÿ����uù���.@ø*� ��ù�øtüUø����M�D�)� $���� "�ø�ù�ÿ�� O !�� O M9<�³ø���ø�� O �)��ù��³øV��øtü}�yø�ø�û���� � O � ��ù��³ø�ø� �$<ÿ���ø���ù\ÿ���ù��³ø � �F�uù�ø�ø� 1ù�ø������Iÿ��*ÿ���Â9<�F���q�ýù����d.��6û^þ+��[eø ��Ý\Ñ ò Ë õ O� �����O� �

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ�� �-,�ø���ù��3ÿ��C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ�� ä c � ò����IõNG

� �E!�! ��\Ù�ÏUÔ6Í�Ú3ÇQƪƪÇ@Û`Í\Ã�Ö�Ó�ÇQÎ+ÃUÔªÊUÔ�ÊDÅ ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊJÍ1qUØ+9�Ä^ÊJÉoqUØ (DØ �

Page 26: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

Q!r ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ���� +Uî ��)�ërH1ð#"�ð¢ò E,ÚZØ ��&UÄ^Î>ÐUƪÀ fDØ N õ ¿�À�Á 1 óÀ�Ä�ÍGÎ>ÇXÇQÁGÏýÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�ÂX×�Ó�ÞUÑtÕQÀÇ@ÕQÀ�Ñ

ÄsÊ�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ�ÈDÀ�ÆªÉ Â Ä^ÊDÉ ÆªÀ�Á�/ 41Ë ä 1óÃJÀýÄ ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ ÑtÞUÆ�À É ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�ÀQØ h/ÍGÍGÞUÎ>ÀãÁtÏDÄ@ÁË ò  è õ��� � Ú3ÇQÑ\ÀcÕCÀcÑtÖ+ÑtÀ�ÄQÆDÐUÑtÔ�Î>À8�>ÇQÚ'Â>Ä^ÊDÉ�ƪÀ�Á � óÀ`ÁGÏDÀ�à GÀcÑtÇQÊ�×q;�À�ÕQÀcÑtÔ�ÁGÇCÑGÞJÍ{Ç^Ú�Ë ò Û\ÀÊUÇQÁGÀ�ÁtÏDÄ@Á � Ô6Í/Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^ƪÆ�Ö&ÍGÀcÆ�ÚI×�É�ÞJÄ^Æ*3 9 (Uâ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ >yØ 9QØ CUâ³Ð�Ø 9k(�C�7 õ Ø�Ù�ÏUÀ�Ê¢Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎq�Ø N!Ö�Ô�À�ƪÉUÍmÄ>Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^Æ1ÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÇQÊ:C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ�� ä c �cò��{õ Ø,à`Ç@Û É�À�ÈDÊDÀ

¨<© " ò Ë ! 1 õ�� /�À�ÑF33/54N4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò 1 õ 7 &Ä^ÊJÉ Æ�ÀcÁ � . 4 Ë ä Ë Ä^ÊJÉ ��� 4 1 ä 1ÌÃJÀ*ÁGÏUÀ¢ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ�ÐDÑGÇQÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÇCÊ Î�Ä^ÐDÍ�Ø÷Ù�ÏUÀ�Ê/ 4�� � 4. � � 4� � / 4 3+9 � â {ÑtÇQÐ(Ø�9CØON�âCÐ�Ø 9 ��7pØ�2UÞDÑOÁtÏUÀcÑ â / 4 4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò 1 õ Ô6Í L�ÊUÇ@ÛmÊÁGÇ�óÀÄQÊ*Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎ 3 9 (Uâ {ÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊ=>yØ 9QØO5�â�Ð�Ø 9k( ��7<ÄQÊDÉ � 4� 4 ¨<© " ò 1 õ ä ¨<© " ò 1 õÔ6Í/ÔªÊ@ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ>ÍGÔ�ÊDÓcÀ+Ô�Á�Î�ÄeÖ�óÀÔªÉ�À�ÊXÁGÔ�ÈDÀ�É¢ÛmÔ ÁtÏ*ÁtÏUÀ>ÓcÄ^ÊDÇQÊUÔ6ÓcÄQÆ'Î�Ä^Ð' {Ô6Ó 1 ä {Ô6Ó 1�Ø I¢ÀÓ�ÇCÊDÓ�ƪÞDÉ�À�ÁtÏDÄ@Á

¨<© " ò Ë ! 1 õ�� /�ÀcÑ ? � 4. 4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò Ë õ A � ¨<© ô ò Ë?& Ë õ'G;�ÞUÎ>Î�Ä^ÑtÔªÜcÔªÊUÅDâ�ÁtÏUÀcÑtÀ�À'&�ÔªÍOÁtÍ�ÄÓ�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^Æ�ÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÇQÊ

/�À�Ñ � ¨<© " ò Ë ! 1 õ ä ' è ¨<© " ò Ë è ! 1 è õ � � ä c � ò��{õ'G;�À�ÀV;�À�Ó�ÁGÔªÇQÊ �!Ú3ÇCÑ`ÄQÉUÉUÔ ÁtÔ�ÇCÊDÄ^Æ1ÔªÊ�Ú3ÇQÑtÎ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊ�ÇCÊ�ÑtÞUƪÀ�É�ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�À�Í�Ø�ë�îr+Uí��=H1ð ��ð Ù�ÏDÀ`ÐUÑtÀ�Ó�À É�ÔªÊUÅ�À'&UÄ^Î>ÐUƪÀ�ÄCÉ�Î>Ô ÁwÍ�ÁGÏDÀmÚ3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅ�ÍOÁGÑwÄ^ÔªÅQÏXÁOÚ3ÇCÑGÛ�Ä^ÑwÉ�ÅCÀcÊ�×

ÀcÑwÄ^ƪԪÜ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊ�Øm¿�ÀcÁ01 óÀ+Ä�ÍGÎ>ÇXÇQÁGÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ!ÂX×pÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ç^Ú{É�ÔªÎÀ�ÊDÍGÔ�ÇCÊ ��Ç@ÕQÀ�Ñ`Ä�Ê�ÞUÎ!óÀcÑÈDÀ�ÆªÉ Â Ä^ÊJÉ ÆªÀ�Á�Ë Ã³ÀåÄ ÍGÎÇ�ÇQÁGÏ ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀýÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ À iXÞUÔ�ÐDÐJÀ É ÛmÔ�ÁGÏ Ä ÐUÑtÇQгÀcÑ�ÂX×Î>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ / 4JË ä 1 ÇQÚmÑGÀ�ƪÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�ÔªÎÀ�ÊDÍGÔ�ÇCÊ 9QØ&à`Ç^ÁtÀ�ÁGÏJÄ@Á ¨<© ô ò Ë õ � ¨<© � � � ò Ë õ Øà`Ç@Û ÄQÍtÍOÞUÎ>À+ÁGÏDÄ^Á/ÁtÏUÀ�ÓcÄQÊUÇQÊUÔ6ÓcÄQÆ'Î�ÄQÐ / 4 4 ¨<© � ��� ò Ë õ ä ¨<© � ��� ò 1 õ � {Ô6Ó 1 Ô6Í &B �� �UT � &����Ø,Ù�ÏDÀcÊ

¨<© � � � ò Ë ! 1 õ 4 � /�ÀcÑ ò /+4 4 ¨<© � ��� ò Ë õ ä ¨<© � ��� ò 1 õOõ�� ¨<© ô ò ËM& Ë õ'G;�ÔªÎ>Ô�Æ6Ä^ÑtÆ�ÖCâ�Ô Ú ò / è õ.4 4 ¨<© � ��� ò Ë è õ ä ¨<© � � � ò 1 è õ ÔªÍ/Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ!Ú3ÇCÑ/À�ÕQÀ�ÑGÖ&ÐUÑtÔ�Î>ÀX��ÇQÚ�Â�âÁGÏDÀcÊ ¨<© � ��� ò Ë è ! 1 è õ�� ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ â^ÄQÊDÉ�Û�À,ÓcÇQÊDÓcÆ�ÞDÉUÀ{ÁGÏJÄ@Á�ÁGÏUÀ�ÑGÀ\À'&�ÔªÍOÁtÍ�Ä�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^ÆÔ6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎ

/�À�Ñ � ¨<© � � � ò Ë ! 1 õ ä(' è ¨<© � ��� ò Ë è ! 1 è õ � � C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ'GÙ�Ï�ÞDÍ�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ qUØON�Î�ÄeÖãÃJÀ�ÍGÀcÀ�ÊýÄCÍ�ÅQÔªÕXÔªÊUÅ�Ó�ÇCÊDÉ�Ô�ÁGÔªÇQÊDÍ�ÛmÏDÔªÓwÏýÔ�ÊJÍOÞUÑtÀÁGÏDÄ^Á�ÁGÏUÀ�ÅCÑGÇCÞUÐÇQÊ�ÁGÏDÀ�Æ�ÀcÚIÁ/Ä^óÇ@ÕQÀ�Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁwÍmÔªÊCÁtÇ c ��ò,� � õ Ø

� :�\5(.10IBU4�0IBJ2 !�064� 41.10ªH'065'A #'BD=$%�B�41.103¾ ��.�51½�BU. #'.�=(½�(:>�ÊsÁtÏUÔªÍJ;�À ÓyÁtÔ�ÇCÊ Û\À�ÍZÁtÞDÉ�ÖsÍGÎÇ�ÇQÁGÏ ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁGÔªÀ�Í+Ë Ç@ÕQÀcÑÄ�Ê�ÞUÎ!óÀcÑ+ÈDÀ�ÆªÉ Â

ÍGÞDÓwÏ�ÁtÏDÄ@Á�Ý�Ñ Ë �>� Ø ��&UÄ^Î>ÐUƪÀ�Í�ÔªÊDÓcÆ�ÞDÉUÀ�ÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQƳÕ@ÄQÑGÔªÀ�ÁtÔ�À ÍmÄ^ÊDÉ�ÑGÞDÆ�À É�ÍGÞUÑGÚ�ÄQÓcÀ�Í�ØIýÀ`ÛmÔ�ƪƳÛmÑGÔ�ÁGÀ Z Ú3ÇCÑ{ÁtÏUÀ � ÄQÆ�ÇCÔªÍ�ÅCÑGÇCÞUÐ�Ç^Ú�ÁtÏUÀ`ÈDÊDÔ ÁtÀ�À'&�ÁtÀcÊDÍGÔ�ÇCÊ�Ç^Ú(Â>ÛmÏUÔ6ÓwÏ>ÁGÑtÔªÕXÔ6Ä^ƪԪÜcÀ�Í

à ; ò Ë õ Ø K`À�ÓcÄQÆ�Æ�ÁtÏUÀ�ÅQÑtÇQÞDÐ ¨<© ô ò Ë?& Ë õ�� /�ÀcÑ ? � 4. 4 ¨<© ô ò Ë õ ä ¨<© ô ò Ë õ A Ø

Page 27: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � Q � �í@ì��\ì���������ì� l(ð�ñ³ð ö<øeù<Ë ú�ø�û���"�ÿ�ÿ�ù��J$#�yÿ�,�øP� ù��d.eø` �q.�û����3øeù���ÿ�.eø!��û!þIÿF�yû@þ�ÿ��`û�üXþIÿUúQû@þ� øyþ��!Â�ÿ�� �q�Jû��yû � ù�ø!���)�cù���� �}� � ����a"�ø/ù��Jû�ù�Ý�Ñ Ë �>� �*� �³ø��&ù���ø���ø�ø� :� ��ù��,û �JûUù[��yû@þJø� Dû ��ù�yø+*:Xø����yø

� ä % � ò Â#& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &U$ ô õGõ ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä % � ò Â#& ����õä % ô ò Â#& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &U$ ô õGõ ä % ô ò Â#&�/�À�Ñ

% � õ ä % ô ò Â�& ����õä % Q ò Â#& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &U$ ô õGõ &

9<�³ø!�yø � � �)��ù���øV��Cû@þ����ø���ÿ��*���Dø�.eø!����ù�ÿ��-a��ÿ��(Ë �� �E!�! �� ;�À�ÀB3 9kfDâUÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ (UØO5�7�Ø �à`Ç@Û Æ�ÀcÁ/Â�óÀ�ÄÊ�ÞUÎ!óÀcÑmÈJÀcÆ6É�ÄQÊDÉ�ÛmÑGÔ�ÁGÀ

&j4 ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä % � ò Â#& � � õ ò ( G 9 õÚ3ÇQÑ<ÁtÏUÀmÎ�Ä^ÐÔ�ÊXÁtÀcÑtÕQÀcÊDÔ�ÊUÅ�ÔªÊ!ÁtÏUÀmÀ'&UÄCÓyÁ{ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Ç^Ú³ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�Ø<;�Ô�Î>ԪƪÄQÑGƪÖQâ^Ú3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏÐUÑtÔ�Î>Ào�sÇ^Ú�Â�â{ÛmÑtÔ ÁtÀ & è 4 ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ ä % � ò  è & � �è õ Ú3ÇCÑ+ÁtÏUÀ�Ó�ÇCÑGÑtÀ�ÍGÐJÇCÊDÉ�ÔªÊUÅ*Î�ÄQÐÄQÍtÍGÇ�ÓcÔªÄ^ÁGÀ É�ÁGÇ>ÁtÏUÀ! è ×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ�Ë è Ø<I¢À�ÛmÔªÆ�Æ(Û\ÇCÑ�L�ÞUÊJÉ�ÀcÑ�ÁtÏUÀ�Ú3ÇQƪÆ�Ç@ÛmÔªÊUÅ�ÄQÍtÍGÞUÎ>Ð�ÁGÔªÇQÊ�Ø� ��� �'î � � �uì�� l�ð��1ð Ù�ÏUÀ�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^Æ1Î�Ä^Ð?E\ÇaLCÀcÑ!& ä $ èfE\Ç�LQÀ�Ñ!& è Ô6Í�Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ��

�{Ä^ÑtÔªÀ�ÁGÔªÀ�Í�Ë ÍGÄ^ÁGÔ6ÍZÚ3Ö�ÔªÊUÅsÁtÏUÀ¢ÄQÃJÇ@ÕCÀ*Ó�ÇCÊDÉ�Ô�ÁGÔªÇQÊ ÔªÊDÓ�ƪÞDÉ�ÀCâ/Ó�ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑwÄ^ƪƪÖQâ`Ä^ƪÆ�ÑwÄ@ÁtÔ�ÇCÊDÄ^ÆÍGÞUÑOÚ�ÄCÓ�À Í ò ÍOÀ�ÀV;�À�Ó�ÁGÔªÇQÊMN õ ÄQÊDÉ�Ä�ÓcƪÄCÍGÍ�ÇQÚ�ÑtÞUƪÀ�É�ÍOÞUÑGÚ�ÄQÓcÀ�Í ò ÍOÀ�À ;�À�ÓyÁtÔ�ÇCÊ � õ��ê�ë�ìDí@ë�î l�ð /�ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ Ý�Ñ Ë � $ èUÝ�Ñ Ë è �>� Mò à õ � ����a" $�ù��3ÿ�� �� ���³ÿeþ����*�uÿ��mËrMò Ó õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò É õ

b � ò à ; ò Ë õ � ò 9 õGõ���� M 9<�³ø���ø/à ; ò Ë õ � ò 9 õ �)��ù��³ø�ü}�yÿ:-$ W �:��aBYbMò À õ ù��³ø�ÿ��-��ø���ÿ���ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ��wò 9 õ &  4 õ �)� $���� "�ø&ù�ÿ � !)� M89<��ø���ø �M�)��ù��³ø ��øtü}�yø�ø

û���� � � ��ù��³ø�ø� a$�ÿ��³ø���ù/ÿ���ù��³ø � �F�pù�ø��`û@þ3ÿ��)�!ø� 1ù�ø!���[�3ÿ�� ÿ��m 9<�F���q� ù����d.P�Iû@þ ��[eø!�ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ��tò 9 õ &  4 õ M³û����

ò Ú õ ù��³øV�yû��³ÿ��F���wû@þ#"�û�$% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä(' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõ

� �mÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ��� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø

� ä c � ò�� � õ ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä(' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ äb � ò�� � õ

ä(E\Ç�LQÀcÑ _yE\Ç�LQÀ�Ñ!& ä ' è E\ÇaLQÀ�Ñ!& è ` ä � &

Page 28: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

Q � ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �9<�³ø!�yø & W ��ø!�h$<� & è MF�uÿ��/ø�û:�q� �nY �)��ù��³ø "�û-$ W ���aBY W ��ø!�h$<� W }�7a'Y �uÿ��mË � Ë è YP�� �E!�! wØ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ (UØ 9�ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ�ÁtÏUÀ�Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � ä %=� � Â#& �� '�� .��� � � . - � � � � � ä ¨<© ô ò Ë?& Ë õ � ä % � ò Â#& � � õ � ä E\Ç�LQÀ�Ñ!&

� � ä $ è % � �  è &� �� ' V � . �� � � . V - � � � � � ä $ è ¨<©

ô ò Ë è & Ë è õ � ä $ è %=� ò  è & � �è õ � ä $ è E\Ç�LQÀcÑ & è G;�ÔªÊDÓ�À+ÁGÏDÀ!ÑtÔ�ÅCÏCÁG×pÎ>ÇXÍZÁ�ÕQÀcÑGÁGÔ6ÓcÄQÆ(Î�Ä^Ð*ÔªÍ/Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ+Ã�Ö&Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò à õ â�ÄQÊ*Ä^ÐDÐUÆ�Ô6ÓcÄ^ÁGÔªÇQÊãÇQÚ¿�À�Î>Î>Ä 9CØ 6+ÁGÇ>ÁtÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍmÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&�ÄCÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À

� ä c � òu� ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &U$ ô õGõ ä C ¨<© ô ò ËM& Ë õ ä c � ò,���Iõä

b � òu� ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&U$ ô õOõBGà`Ç@Û c � òu��ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &U$ ôeõOõX� b � òu��ô  ò Ë õ�! %#" ò Ë &%$ ôeõOõ � � Ã�ÖmE\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ 6UØ fÄ^ÊJÉãÏ�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò Ú õ â�Ä^ÊDÉ*Û\ÀÓ�ÇCÊDÓ�ƪÞDÉ�À+ÁGÏDÄ^Á C ¨<© ô ò Ë?& Ë õ � c � ò,� � õ Ø!à`Àb&�Á�Û�ÀÓcÇQÊ�×ÍGÔªÉ�À�Ñ�ÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ�Ó�ÇQÎ>Î+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î

� � ä >�Î & � ä %=� ò Â#& � � õ � ä E\Ç�LQÀ�Ñ!& � ä �

� � ä $ è >�Î�& è � ä $ è % � ò  è & � �è õ � ä $ è E\ÇaLCÀcÑ!& è � ä � G

h`ÐDÐUÆ�Ö�ÔªÊUÅ�ÁtÏUÀ�ÍGÊDÄ�LCÀ�Æ�À�Î>Î>Ä�ÁGÇãÁtÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ�É�ÔªÄQÅQÑwÄ^Î Ä^ÊDÉåÞDÍGÔªÊUÅ ò à õ â�Û�À�Ô�Î>Î>À�ÉUÔªÄ^ÁGÀcƪÖÇQÃUÁtÄ^ÔªÊ&Ä+ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À� ä E\Ç�LQÀ�Ñ _d>�Î & ä ' è >�Î�& è ` ä b � ò,� � õ ä E\ÇaLCÀcÑ _yE\Ç�LQÀ�Ñ!&9ä ' è E\Ç�LQÀ�Ñ!& è ` ä � G�/Ê�ÁtÏUÀ�Ç^ÁGÏDÀcÑ�ÏDÄ^ÊJÉ1â�Ä^Ê�ÄQÐUÐUƪԪÓ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊ�Ç^Ú�ÁtÏUÀ�ÍOÊJÄ�LQÀ/Æ�À�Î>Î>Ä!ÁGÇ+ÁGÏDÀ/ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀÉ�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä % � � Â#&� �� '�� .��� � � . - � � ��� � ä ¨<© ô ò ËM& Ë õ � ä >�Î & � ä �

� � ä $ è % � �  è & � ' V � .��� � � . V - � � � � � ä $ è ¨<©

ô ò Ë è & Ë è õ � ä $ è >�Î�& è � ä �Ö�Ô�À�ƪÉDÍ ò Ã�Ö�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò Ú õOõ Ä�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^Æ�Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎ

E\Ç�LQÀcÑ _ ¨<© ô ò Ë?& Ë õ ä(' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ�` � E\ÇaLCÀcÑ _d>�Î�& ä(' è >�Î & è `�GÙ�ÏUÀ�ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ô6Í�ÊUÇ@Û Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀQØ �

Page 29: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � Q ��ë�îr+Uí�� �:l(ð76'ð ò Ä õ Ù�ÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�Ç^Ú�ÁGÏUÀ>ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î ÍGÏUÇ@Û`Í�ÁGÏJÄ@Á�â<Ô�ÚmË Ô6Í!ÄQÊXÖ¢ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ

ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀsÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ Ç@ÕCÀcÑ&Ä Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ&ÈDÀcÆ6É·Â ÍGÞDÓwÏ ÁtÏDÄ@Áb � ò %=� ò Ëm&%$ ô õOõ � b � ò�� � õ

ò ÀCØ ÅJØ�â�Ý�Ñ Ë � � Ø ;�À�À83+9bfJâ E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖLq�ØO5 � 7 õ â/ÁGÏDÀcÊ ÁGÏUÀ�ÑGÀåÀb&�Ô6ÍOÁtÍ&Ä ÓcÄ^ÊDÇQÊUÔ6ÓcÄQÆ�Î�ÄQÐ$ è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ ä

b �wò�� � õ ÛmÏDÔªÓwÏ�Ô6Í(ÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ{Àb&�ÄCÓyÁtÆ�Ö/ÛmÏUÀcÊ E\Ç�LQÀ�Ñ!&ãä $ è E\ÇaLQÀ�Ñ!& èÔ6ÍmÍOÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀCØò à õ ¿�ÀcÁ�Ë Ã³À*ÄsÍGÎÇ�ÇQÁGÏ ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀãÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖsÇ@ÕQÀcÑ�ÄýÊ�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ�ÈDÀcÆ6É Â ÍOÞJÓwÏ9ÁtÏDÄ@Á

à ; ò Ë è õ ô � ������� � � Ú3ÇCÑ�ÀcÕQÀ�ÑGÖ&ÑtÀ�ÄQÆ'ÐUÑtÔªÎÀ]�&Ç^ÚmÂãÄQÊDÉ*à ; ò Ë è õ TJV�,�U��� � � Ú3ÇQÑ�ÀcÕCÀcÑtÖ�ÊDÇQÊ�×Ä^ÑwÓwÏUÔªÎ>À�É�À Ä^Ê&ÐUÑtÔ�Î>À ��Ç^Ú\Â�ÛmÏUÀ�ÑGÀ!Ë ! Â�ÏDÄQÍ�ÐJÇQÁGÀ�ÊCÁtÔªÄQÆ(ÅCÇXÇ�É&ÑtÀ�É�ÞJÓyÁGÔªÇQÊ(Ø�¿�ÀcÁ=� É�ÀcÊDÇ^ÁGÀÁGÏDÀ/ÍGÀ�Á,ÇQÚ�ÐDÑGÔªÎ>À�Í{ÇQÚ(Â>Ó�ÇQÊJÍOÔ6ÍZÁtÔ�ÊDÅ�Ç^Ú�ÁGÏDÀ�ÑtÀ�Ä^ÆDÐUÑGÔªÎ>À�Í3�!Ç^Ú'ÂÛmÏDÀcÑtÀ`ÀcÔ�ÁGÏUÀ�Ñ,Ë ò  è õ�� � ÇQÑ {Ô6Ó �.�� ' ò  è õ Ô6Í�É�ÔªÍtÓ�ÇCÊUÊUÀ ÓyÁGÀ É�Ä^ÊDÉ*Ä^ƪÆ�ÁGÏDÀ!ÊUÇCÊ�×�ÄQÑtÓwÏDÔ�Î>À�ÉUÀ�Ä^Ê&ÐUÑtÔªÎÀ Í8��Ç^Ú,Â&ÛmÏUÀ�ÑGÀ!Ë ! ÂÉ�Ç�À�Í�ÊDÇ^Á`ÏDÄeÕCÀ�ÄгÇ^ÁGÀ�ÊXÁGÔ6Ä^Æ�ÅCÇXÇ�É�ÑGÀ É�ÞDÓ�ÁGÔªÇQÊ�Ø�Ù�ÏUÀ�Ê

' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &%$ ô õOõ � 'è '�� % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõNG

;�À�À�ÁGÏDÀ+ÐUÑtÇ�Ç^Ú{ÇQÚ,Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î 6DØ (DØT>�Á�Ú3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í`ÁGÏDÄ^Á�Ï�Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÔªÍ ò Ú õ Ç^Ú,ÁGÏUÀ!ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ ÏUÇQÆ6ÉUÍò ÁtÑGÔªÕ�ÔªÄQÆ�ÆªÖ õ Ô�Ú(Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò Ó õ ÏUÇCƪÉDÍcâ {Ô6Ó��.�� '�ò  è õ ÔªÍ�Ó�ÇCÊUÊUÀ ÓyÁGÀ É�Ú3ÇCÑ�ÄQÆ�Æ�ÑtÀ�Ä^ƳÐUÑtÔ�Î>À Í3�>Ç^Ú<ÂÄ^ÊJÉ�Ë ! Â�ÏDÄCÍ�ÐJÇQÁGÀcÊXÁtÔªÄQÆ1ÅQÇ�Ç�É�ÑtÀ�É�ÞJÓyÁGÔªÇQÊ�Ä^ÁmÄQÆ�Æ1ÊDÇQÊ�×�Ä^ÑwÓwÏUÔªÎÀ É�À�ÄQÊ�ÐUÑtÔªÎÀ Í�Ç^Ú{Â�Ø�,ë�î î +ol(ð H�ð ö<øeù'Ë ú�ø�û���"�ÿXÿ�ù���$��yÿ�,�øP��ù���.@øm �[.�û����Iø@ù���ÿ�.eø!��û0�#�"�ú�ø!� � øwþ��>Â�� � �³ø!�ù���ø���ø�ø� :� ��ù���û4�yû��³ÿ��F���yû@þ#�)�wÿ�"�ÿ��h$��F� ��"

ß`ÇCÎ ò % � ò Â#&tß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ &�S õOõ &.- ! S õ�� % � ò Z &tà ; ò Ë õ � - ! S õ &9<�³ø!�yø Z ��ø!�³ÿ�ù�ø!�*ù��³ø �`û@þ3ÿ��)�>ü���ÿ -$éÿ��ù��³ø � �F�uù�ø*ø� �ù�ø������3ÿ�� ÿ��! 9<�F���q�éù����d.P�Iû@þ ��[eø!�à ; ò Ë õ �� �E!�! wØR2'ÔªÑwÍZÁÊUÇ^ÁtÀ�ÁGÏDÄ^Á % � ò Â#&Gß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ &US õGõ*� % � ò Z &Gß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ &US õOõ�ò ÞDÍOÀ

ÁGÏDÀ�ÔªÊ��JÄ@ÁtÔ�ÇCÊ�×�ÑGÀ ÍZÁtÑGÔ6ÓyÁtÔ�ÇCÊ�À'&UÄQÓ�Á\ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Ä^ÊJÉ�ÊUÇ^ÁtÀ`ÁtÏDÄ@Á�ß`ÇQÎ ò � � &Gß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ &US õ õ��� Ú3ÇQÑmÄ^Ê�Ö�ÍOÞDÃUÅQÑtÇQÞUÐ*� � Ç^Ú � ÍGÔªÊDÓ�À�ß`ÇCÎ ò à ; ò Ë õ &�S õ ÔªÍ\ÁGÇCÑtÍGÔªÇQÊ�×pÚ3ÑGÀ�À õ Ø�à�Ç@Û ÁGÏUÀ�É�ÞDÄQÆ�Ô�ÁZÖÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎáÔ�Ê�ÁGÏDÀ�Ó�ÇQÏDÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÖÇQÚ'ÈJÊUÔ ÁtÀ�ÅQÑtÇQÞUÐJÍ 3 5�â2E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ��T>�>yØ (DØ qUâ�Ð�ØO55q � 7�Ö�Ô�À�ƪÉUÍ

ß`ÇCÎ ò % � ò Â#&tß`ÇQÎ ò à ; ò Ë õ &�S õOõ &.- ! S õ � ß`ÇCÎ ò % � ò Z &tß`ÇQÎ ò à ; ò Ë õ &�S õOõ &.- ! S õ� % � ò Z &tà ; ò Ë õ � - ! S õ &ÛmÏUÔ6ÓwÏ�Ó�ÇQÎ>ÐUƪÀ�ÁtÀ�Í�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇXÇQÚZØ��Ù�ÏUÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�Æ�À�Î>Î>ÄÄ^ÊJÉ�Ó�Æ6ÄQÍtÍ\ÈDÀcÆ6É�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÖ?3 5}N�â�Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î >yØ fJØ 5 �Dò à õ â�Ð�Ø � � 71ÍGÏUÇ@Û ÁtÏDÄ@Á

ÁGÏDÀcÑtÀ�Àb&�ÔªÍOÁtÍ`ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&UÄQÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À� ä b � ò,� � õ ä % � ò Z &Gà ; ò Ë õ � - ! S õ ä c ô ò�� � õ ä � G

E\ÇQÊJÍOÀ iCÞDÀcÊXÁGƪÖQâ�Ô Ú b � ò %=� ò Ëm&%$ ôZõOõX� b � ò�� � õ â'ÁtÏUÀcÊ KmÀcÎ�Ä^Ñ�LR(DØ f ò Ä õ ÍOÏUÇ@Û`Í�ÁGÏDÄ^Á�ÁGÏUÀ�ÑGÀÀ'&�Ô6ÍZÁwÍmÄÊDÄ@ÁtÞUÑtÄQÆ1Î�Ä^Ð

' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ ä % � ò Z &tà ; ò Ë õ � - ! S õ ò ( G 5 õÛmÏUÔ6ÓwÏ ÔªÍ�ÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ&À'&UÄQÓ�ÁGÆªÖ ÛmÏUÀ�Ê c ô ò�� � õd� � Ä^ÊDÉ ÁGÏUÀ*ÊDÄ@ÁtÞUÑtÄQÆmÎ�Ä^Ð E\ÇaLCÀcÑ!& ä$ è<E\Ç�LQÀ�Ñ!& è Ô6ÍmÍOÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀCØ

Page 30: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

n R ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ��ë�îr+Uí�� �el(ð�l(ð*ò Ä õ E\Æ�À Ä^ÑtÆ�ÖCâ ò (DØ 5 õ Ô6Í�ÍGÞUÑuÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ+Ô�Ú % � ò Z &Gà ; ò Ë õ � - ! S õ � � Ø�Ù�ÏUÀÆ6Ä@ÁOÁtÀcÑ�ÏUÇQÆ6ÉUÍ�âXÚ3ÇQÑ�À'&UÄ^Î>ÐUƪÀQâXÔ�Ú�à ; ò Ë õU! ÁGÇCÑtÍ,ÔªÍ�Ä�гÀcÑtÎ!ÞUÁtÄ@ÁtÔ�ÇCÊ*��×pÎ>Ç�É�ÞUƪÀ ò ÞDÍGÀ0;�ÏJÄ^ÐUÔªÑGÇ21 Í¿�À�Î>Î>Ä�Ä^ÊJÉ�ÁGÏDÀ!Ú�ÄCÓyÁ�ÁGÏDÄ^Á % � ò %?&.- ! S õ8� � Ú3ÇQÑ�Ä^Ê�ÖãÍGÞUÃUÅCÑGÇCÞUÐM%ÌÇQÚ Z õ Ø�à�Ç^ÁtÀ+ÁtÏDÄ@ÁÔªÊ�ÁtÏUÔªÍ�ÓcÄQÍGÀ�Û\À�Ä^Æ6ÍGÇ!ÏDÄeÕCÀ c � ò�� � õ3�L�&ò Ú3ÇQÑ +ZÁtÑGÔªÕ�ÔªÄQÆ�ÑGÀ ÄQÍGÇQÊDÍ�-Uâ�ÍOÔªÊDÓcÀ0%r� ò Â#& � � õ��>� Ã�Ö;�ÏDÄQÐUÔªÑGÇ21 Í�¿�À�Î>Î>Ä�ÄQÊDÉ�ß`ÔªÆ�óÀcÑGÁ-1 Í`Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ C �Cõ Øò à õ ¿�ÀcÁ�Ë Ã³À*ÄsÍGÎÇ�ÇQÁGÏ ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀãÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖsÇ@ÕQÀcÑ�ÄýÊ�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ�ÈDÀcÆ6É Â ÍOÞJÓwÏ9ÁtÏDÄ@Áb � ò % � ò Ë &%$ ôOõGõ � b � ò�� � õ â�Ä^ÊJÉ�ÄQÍtÍOÞUÎ>À!ÄQƪÍGÇ>ÁGÏJÄ@Á�ÁtÏUÀ!ÔªÊXÁGÀ�ÑtÍGÀ�Ó�ÁGÔªÇQÊ�ÐDÄQÔ�ÑtÔ�ÊDÅ�à ; ò Ë õ�(

à ; ò Ë õ ä SéÔ6Í+ÊDÇQÊ�×�É�ÀcÅCÀcÊUÀ�ÑtÄ^ÁGÀ ò Ô�Ê ÐDÄQÑOÁtÔªÓcÞUƪÄQÑ�â{à ; ò Ë õ Ô6Í!ÁtÇQÑwÍOÔªÇQÊU×uÚ3ÑtÀcÀ õ ØåÙ�ÏUÀcÊ ÁGÏUÀÔªÊCÁtÀcÑwÍOÀ ÓyÁtÔ�ÇCÊÐJÄ^ÔªÑGÔªÊUÅ�Ô�ÊJÉ�ÞDÓ�À Í,Ä���×pÔ6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ à ; ò Ë õ � - ! S � ß�ÇQÎ ò à ; ò Ë õ &.- ! S õ ØÙ�ÏUÀ�ÑGÀcÚ3ÇQÑtÀQâ�Ã�Ö�É�ÞDÄQÆ�Ô�ÁZÖQâ ò (UØO5 õ Ô6ÍmÄÎ>ÄQÐ

' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ ä ß`ÇCÎ ò % � ò Â�&Gà ; ò Ë õOõ &.- ! S õò ÁtÏUÀ�ÀkiXÞDÄQÆ�Ô�ÁZÖ�%=� ò Z &tà ; ò Ë õOõ�� %=� ò Â#&tà ; ò Ë õOõ Ú3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í�ÄQÍ�ÔªÊ�ÁtÏUÀ�ÐUÑGÇ�ÇQÚDÇ^ÚUÁtÏUÀ�Æ�À�Î>Î>Ä õ Ø�/Ê�ÁGÏUÀ�ÇQÁGÏUÀ�ÑmÏDÄ^ÊDÉ�â�ÁGÏUÀ�ÑGÀ�Àb&�Ô6ÍOÁ�Ä+ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

% � ò Â#& {Ô6Ó Ë õ ä % � ò Â#&tà ; ò Ë õOõ ä % ô � Â#&. ,ÔªÓ �. � ' �Ä^ÊJÉ�Ä�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^Æ�Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÍGÎ

% � ò Â�&. {Ô6Ó Ë õ�� Ý�Ñ Ë ����� /�ÀcÑ ? Ý�Ñ^Ë ä Ý�Ñ Ë A ! >�Î 3 Ý�ÑCÂ�ä Ý�Ñ@Ë 7

3 6�fD⳿�À�ÎÎ>À (UØ 6 ò ÔªÕ õ â³Ð�Ø 6}NP7�Ø8h�ÍtÍGÞUÎ>À�ÊUÇ@Û ÁGÏDÄ^Á�Â&Ô6ÍG� !V� �����/�� &� ��! &B"��� �@Ø�Ù�ÏUÀ�Ê�âJÃ�Ö 3 5�N�âÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ >yØ (UØO5�( ò Ó õ â@Ð�Ø+9�9P5�7pâ�% ô � Â�&. {Ô6Ó �.�� ' � ��� âQÄQÊDÉ+Û\À�Ó�ÇCÊDÓ�ƪÞDÉ�À\Ú3ÑGÇCÎéÁGÏDÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ,ÁtÏDÄ@ÁÁGÏDÀcÑtÀ�Àb&�ÔªÍOÁtÍ`ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Î�ÄQÐ

' è ¨<© ô ò Ë è & Ë è õ ä ß`ÇCÎ ò Ý�Ñ Ë?&.- ! S õBGE\ÇQÎ>ÐDÄQÑGÀ3 f�7�Ø�,ë�î î +#l(ð � ð ö<øeù�Ë ú�ø!ûB��"�ÿXÿ�ù��4$#��ÿ ,�ø���ù���.@ø� �[.yû����3øeù��¢ÿ�.eø!�/û�#�"�ú�ø!� � øyþ��&Â�� � ����-�"�øJI

ò Ä õ Ý�Ñ Ë �%$ èUÝ�Ñ Ë è �>� Mò à õ � ����a" $�ù��3ÿ�� �� ���³ÿeþ����bMJû����ò Ó õ ù��³ø��³û�ù[a�wû^þ "�û-$ W �� �.Y � � �-�� ,�øP� ù��d.eø W ø�� ü#� M'à ; ò Ë õ�! ÁGÇCÑtÍ0�)��û$�ø!��" UùpûUù��3ÿ�� � �

"�ÿ:�2^þIø�YP�� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["

c ô ò /�ÀcÑ% � õ���c ô ò�� ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ'G

� �E!�! wØmÝ�Ö ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊd(UØ 9QâUÁGÏUÀ�ÑGÀ�Àb&�Ô6ÍOÁtÍ`Ä�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ ò ÈDÕCÀ�×�Ó�ÇQƪÞUÎ>Ê õ Àb&UÄQÓyÁ�ÓcÇQÎ>Î!ÞUÁtÄ@×ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä E\Ç�LQÀcÑ & � ä % ô � Â#& � '�� .��� � � . - � � ��� � ä GkGbG � ä %#Q � Â#& � '�� .��� � � . - � � ���

� � ä $ è E\ÇaLCÀcÑ!& è � ä $ è % ô��  è & �� ' V � .��� � � . V - � � ��� � ä GkGbG � ä $ è %RQ �  è & �� ' V � .��� � � . V - � � ��� G

Page 31: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � n lh`ÐDÐUÆ�Ö�ÔªÊUÅ>¿�ÀcÎ>Î�Ä 9QØO5�ÁGÇ+ÁGÏDÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ/É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ ÄQÊDÉ�ÞDÍGÔªÊUÅXh/ÍGÍGÞUÎ>Ð�ÁGÔªÇQÊd(UØO5�âXÛ�À/ÇCÃ�ÁtÄQÔ�Ê�ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&

� ä c ô òu��ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&U$ ôeõOõ ä c ô ò /�ÀcÑ% � õ ä c ô ò�� � õ

ÛmÏUÔ6ÓwÏ�Ô6Í�À'&UÄQÓ�Á\À'&UÓcÀcÐ�Á�ÐJÀ�ÑGÏJÄ^ÐDÍ�Ä@Á c ô ò /�À�Ñ% � õ â�ÛmÏDÀcÑtÀ�Ô�ÁtÍ�ÏUÇCÎÇCÆ�ÇCÅQÖÔªÍ�Ä+ÍOÞUÃDÅQÑtÇQÞUÐ�ÇQÚ

E\ÇaLCÀcÑ�3OE\ÇaLCÀcÑ & ä $ èfE\Ç�LQÀ�Ñ & è 7pØ{à�Ç@Û�â�ÄCÍ�ÊUÇ^ÁtÀ�É�Ä@ÚIÁGÀ�Ñ ò (UØO5 õ â�Ï�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔ6Í ò Ó õ Ô6Í\À iXÞUÔ�ÕX×Ä^ƪÀcÊXÁ/ÁGÇ�ÁGÏUÀ>ÍOÞDÑ�ÒZÀ ÓyÁGÔªÕ�Ô ÁZÖ&ÇQÚ*E\ÇaLCÀcÑ!& ä $ èfE\Ç�LQÀcÑ!& è Ä^ÊDÉ&ÁtÏUÀÕeÄQÊUÔ6ÍOÏUÔªÊUÅ�Ç^Ú c ô ò,� � õ ØÙ�ÏUÀ�ƪÀcÎ>Î�ÄÔªÍmÊDÇ@Û Ó�ƪÀ�ÄQÑ�Ø���,ë�î î +#l(ð3"(ð ö<øeù�Ë ú�ø!ûB��"�ÿXÿ�ù��4$#��ÿ ,�ø���ù���.@ø� �[.yû����3øeù��¢ÿ�.eø!�/û�#�"�ú�ø!� � øyþ��&Â�� � ����-�"�øJI

ò Ä õ à ; ò Ë è õK�������3�L� �uÿ��/ø�.eø!�;� $#��� "�ø<��ÿ��<ÂNMò à õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*MJû����ò Ó õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c ô ò���ô  ò Ë õ�! % " ò Ëm&%$ ô õGõ��>c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ'G

� �E!�! wØ Ý�Ö Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò Ä õ ÄQÊDÉ ò Ó õ â�Û\ÀåÎ�ÄeÖ Ä^ÐDÐUÆ�Ö {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ 9QØ � Ä^ÊDÉ ÁGÏ�ÞDÍÇQÃUÁtÄ^ÔªÊ9ÄýÓcÄQÊUÇQÊDÔªÓ�Ä^Æ�ÔªÍGÇQÎ>ÇCÑGÐUÏDÔªÍGÎ c ô ò�� ô  ò Ë õ�! %R" ò Ëm&%$ ô õOõ � c ô òu� ô  ò Ë õGõ Ø �/ÊÁGÏDÀ Ç^ÁtÏUÀcÑãÏJÄ^ÊDÉ1â�Ã�Ö ò à õ â E\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ 5UØ f Ö�ÔªÀcÆ6ÉUÍãÄQÊ Ô6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ c ô ò���ô  ò Ë õ õ �c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ â�ÛmÏDÔªÓwÏ�Ó�ÇCÎ>ÐUÆ�ÀcÁGÀ Í�ÁGÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^ÚZØ����ê�ë�ìDí@ë�î l�ð ��ð ö�ø@ù�Ë ú�ø&û ��"�ÿ�ÿ�ù��m$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø� �[.�û����Iø@ù�� ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø!� � øwþ��9Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ Ý�Ñ Ë � $ èUÝ�Ñ Ë è �>� Mò à õ � ����a" $�ù��3ÿ�� �� ���³ÿeþ����bMò Ó õ à ; ò Ë è õK�������3�L� �uÿ��/ø�.eø!�;� $#��� "�ø<��ÿ��<ÂNMò É õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W �� �.Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø.Mò À õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*M³û����ò Ú õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä(' è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ôeõOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ �yÿ�"�$�þ3ø�

� ä /�ÀcÑ _yE\Ç�LQÀcÑ�� 4. ä ' è E\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. V ` ä c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõ ä @ôCò Ë õ

ä c � ò ¨<© ô ò Ë õOõ &

Page 32: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

n Q ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �9<�³ø!�yø � 4. W ��ø!�h$<� � 4. V M��uÿ��ýøcû �q� �5YM�)�sù��³ø �Jû�ù���yû@þ�"�û�$ ¨<© ô ò Ë õ ä ¨<© ô ò Ë õ;TW ��ø!�h$<� ¨<© ô ò Ë è õ ä ¨<© ô ò Ë è õ;TJV Y�û����

@ôCò Ë õ �)��ù��³ø`ü���ÿ P$ W a�� �JYP� ��a��ù��³ø��kM�ù��³ø�ûDú�ÿ�.@ø

�yÿ�"�$�þIø� �)�ø� Uû:��ù/ø� ���øq$<ù $�ø!���Jû-$��!ûUù@ôQò Ë õ M_9<�³ø!�yø �pù����³ÿ�"�ÿeþ3ÿ ü5� �)�+û �-Dúeü���ÿ P$ ÿ��

E\ÇaLCÀcÑ ? E\ÇaLCÀcÑ�� 4. ä $ èfE\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. V A �� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ 9CØ q+Ö�Ô�À�ƪÉDÍmÄÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&� ä /�À�Ñ _ E\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. ä ' è E\ÇaLCÀcÑ�� 4. V ` ä c ô ò /�ÀcÑ

% � õ ä @ôCò Ë õ ä c � ò ¨<© ô ò Ë õGõ &

Ä^ÊJÉ+Ô�Á{ÑtÀcÎ�Ä^ÔªÊDÍ�ÇCÊUÆ�Ö�ÁGÇ�ÊUÇQÁGÀ�ÁGÏJÄ@Á,¿�À�Î>Î>ÄCÍ�(UØ N/Ä^ÊDÉ](DØ ��Ö�Ô�À�ƪÉ�Ä�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔªÓ�Ä^Æ�Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎc ô ò /�ÀcÑ% � õ3�>c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ Ø �

�+ìDí@ì*)�),+�í.- l(ð�ñ�ï�ð �y�ãû �F�a�pù��3ÿ��ýù�ÿ�ù��³ø �n�a$<ÿ�ù��³ø!�yø!��ÿ��\ù��³ø+ù���øcÿ���ø�"oMJûa���-�"�øJIò Å õ Ë �)�`û�-�����û:�yø.MUû����ò Ï õ ù��³ø/þ3ÿF�wû^þ�$�ø!���3ÿF��� A �è ÿ���Ë û��yø �yøyþ6ûUù��d.eøyþ �$���� "�ø � �B$�û�� ���-�

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ �yÿ�"�$�þ3ø�

� ä /�ÀcÑ _ E\Ç�LQÀcÑ � 4. ä ' è E\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. V ` ä c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõ ä @ô ò Ë õ

ä c � ò h�Æ�à . � ' õ�! � ô &9<�³ø!�yø h`ƪà .�� ' � �&ù��³ø � þ�úQû���ø!�yø .yû����3øeù�� ÿ���Ë ! Â9û���� � ô � ��û � �F�uù�ø�ü���ÿ -$·ÿ���ÿ��-��ø��A � ! $ A �è �� �E!�! wØ\Ù�ÏUÔªÍ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@Û`ÍmÄ@ÁmÇCÊDÓ�À�Ú3ÑtÇQÎ ÁtÏUÀ�ÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎáÞDÍOÔªÊUÅ�¿�À�Î>Î>Ä 9CØ fJØ �

� :���5�4103=(7�5(A�2c½�.�c5�¾JBJ2Q:¿�ÀcÁ,Ë ÃJÀ/Ä�ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ�ÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀmÑwÄ@ÁtÔ�ÇCÊDÄ^ÆUÍGÞUÑGÚ�ÄQÓ�ÀmÇ@ÕCÀcÑ{Ä�ÅCÆ�ÇCÃDÄ^ÆDÇQÑ,Ä�ƪÇ�ÓcÄ^ÆDÈDÀcÆ6É�Â>Ä^ÊJÉ

Ó�ÇCÊDÍGÔªÉ�À�Ñ�ÁGÏUÀ � À�ÑtÍOÁGÀ�Ê�×a5/ÞUÔ�ƪƪÀcÊ�ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&�Ú3ÇQÑ�ÁGÏDÀ>0�Ä^ÑtÔªÍ�L�Ô1ÍOÏUÀ Ä@Ú $ ô ÇQÊ Ë 4� ô  ò Ë õ ä �&(' . +  ò6-Uõ 4�� +� ä �&(' . �

S GÙ�ÏUÀýÓ�ÇQÏDÇQÎ>ÇQƪÇQÅCÖ9ÅCÑGÇCÞUÐDÍ�ÇQÚ�ÁGÏUÔ6Í&Ó�ÇCÎÐDÆ�Àb& ÄQÑGÀ %e" ò Ë &%$ ô õR� � ô Â�â %R� ò Ë &U$ ô õ#� {Ô6Ó Ë �  4 Ä^ÊDÉ % ô ò Ë &U$ ô õ � ¨<© " ò Ë õ � S ò ÍGÀcÀ 3 9�7 õ Ø9à`ÇQÁGÀ�ÁGÏJÄ@Á {Ô6Ó Ë �  4 �� � ò  õ â�ÛmÏUÀcÑtÀ � � Ô6Í>ÁGÏDÀãÉ�ÞDÄ^Æ/à GÀ�ÑGÇCÊ�×y;�ÀcÕQÀ�ÑGÔ\ÁGÇCÑGÞJÍ>Ç^Ú�Ë Ø�h�Í�ÊDÇ^ÁGÀ É Ô�Ê 3OE_q�â�Ð�Ø f}55q�7pâÁGÏDÀ�Ô�ÊXÁGÀ�ÑtÍGÀ�Ó�ÁGÔªÇQÊ ÐDÄ^ÔªÑtÔ�ÊUÅýÔªÊDÉ�ÞDÓcÀ�Í�ÄåÍGÀcÆ�ÚI×�É�ÞJÄ^ÆªÔ ÁZÖ ÇQÚ ,ÔªÓ Ësâ�ÛmÏUÔªÓwÏ ÔªÊ9ÁtÞUÑtÊ ÔªÊDÉ�ÞJÓ�À�Í�ÄÓcÄQÊUÇQÊDÔªÓ�Ä^Æ�Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ Ç^Ú � � ÛmÔ ÁtÏ � âJÁGÏUÀà GÀ�ÑGÇCÊ�×q;�ÀcÕCÀcÑtÔJÁtÇQÑtÞDÍ`ÇQÚ{Ë Ø`ß`À�ÊDÓ�ÀcÚ3ÇQÑGÁGÏ�â � �ÛmÔªÆ�Æ�óÀ�Ô6É�ÀcÊXÁGÔ�ÈDÀ É�ÛmÔ�ÁGÏ � ØÙ�ÏUÀ�ÑGÀ�À'&�Ô6ÍZÁmÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ1Àb&UÄQÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À Í

� ä � ô  ò Ë õ�!@� ô Â�ä /�À�Ñ% � ä {Ô6Ó Ë �  4 ä �

Ä^ÊJÉ � ä /�ÀcÑ% � ä �&(' . +  ò6-Uõ 4 ä �&(' . �

S G

Page 33: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � n!n'/À�ÈDÊUÀ�Ä���×pÎ>Ç�É�ÞUƪÀG\ Ã�Ö�ÁtÏUÀ�À'&UÄCÓyÁGÊDÀ�ÍtÍ�Ç^Ú(ÁtÏUÀ�ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À

� ä � ô  ò Ë õU!^� ô Â�ä �&(' . +  ò6-Uõ 4 ä \ ä � G ò N G 9 õÙ�ÏUÀ�Ê�ÁtÏUÀcÑtÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍmÄ>ÊDÄ@ÁtÞUÑtÄQÆ�À'&UÄQÓ�ÁmÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

� ä ,ÔªÓ Ë � Â 4 ä \ ä �&(' . �S G

Ù�ÏUÀ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅ+Ô6Í`ÄÛ\À�Æ�Æ�×hLXÊDÇ@ÛmÊ�Ó�ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑtÀ�Ç^Ú E\ÇQƪÆ�ÔªÇ^ÁG×�Ù�Ï*GÀcÆ�HÀcÊDÀ/Ä^ÊJÉ ;�ÄQÊDÍGÞDÓ3 q�7pØ�+ì���� ë������'í@ë � ð�ñ³ð ö<øeù,Âýú�ø�û��#�"�ú�ø!� � øwþ��2� � �³ø!� c � ò \ õ3�L� �Ù�ÏUÀ&Ä^óÇ@ÕQÀ�Ó�ÇQÊ^ÒZÀ�ÓyÁtÞUÑtÀ�Ô6Í LXÊDÇ@ÛmÊ ÁGÇýóÀ�ÁtÑGÞDÀ�Ú3ÇCÑ>ÓcÇQÊUÔ6Ó�ÃUÞUÊDÉ�ƪÀ�Í>Ç@ÕCÀcÑ����' â,ÔpØ ÀQتâ�Ú3ÇQÑ

ÑwÄ@ÁGÔªÇQÊJÄ^Æ�ÑGÞDÆ�À É�ÍGÞUÑGÚ�ÄQÓcÀ�Í�âXÃ�Ö�ÁGÏUÀ�Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î�Ø��ê�ë�ìDí@ë�î � ð���ò ;�Ä^ƪÃJÀ�ÑGÅCÀcÑ õyð ö�øeù� ú�ø�û=��a"�ú�ø�� � øwþ��¢û����ãþ3øeù`Ë ä ���' ú�ø�û �yÿ��F���ú:����QþIø�ÿ�.@ø�� ���' � � �³ø!� c � ò \ õ3�L� �� �E!�! ��\Ù�ÏUÔ6ÍmÔ6Í�ÁGÏUÀ�Î�Ä^ÔªÊ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ ÇQÚ 3 6a6�7pØ �IýÀ�ÛmÔ�ƪÆ,ÊDÇ@Û ÉUÀcÑtÔ�ÕCÀ�ÕeÄQÑGÔªÇQÞJÍ�Ó�ÇCÊDÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Í�ÇQÚTE\ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑtÀ N�Ø+9CØ�Ý�Ö¢ÁGÏUÀ�ÐUÑGÀ Ó�À É�Ô�ÊDÅ

ÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎ&â�ÁtÏUÀ�ÍGÀ�Ó�ÇCÊDÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ�Í�ÏUÇCƪÉ�ÁGÑtÞUÀ�ÔªÊDÓ�ÇCÊDÉ�Ô�ÁGÔªÇQÊDÄQÆ�ƪÖ�Ú3ÇQÑ`ÓcÇQÊUÔ6Ó�ÃUÞUÊDÉUÆ�À ÍmÇ@ÕQÀ�Ñ ���' Ø�,ë�î î + � ð /�ð ö�ø@ù�Ë%ú�ø�û ��"�ÿ�ÿ�ù�� $��yÿ�,�øP��ù���.@ø�yû�ù��Iÿ��Jû@þ �-�����û:�yø�ÿ�.eø���ûãüCþ3ÿ�úQû^þ`ÿ��>ûþ3ÿ:�yû@þ � øwþ���ÿ��<�q�Jû��wû:��ù�ø!���)��ù�����[eø���ÿ:�<ö<øeù � ú�ø�ù���ø����ø���ÿ��@�,�Dø�.eø�����ù�ÿ��Pa��ÿ���Ë �*� �³ø��¢ù��³ø!�yøø� :�)�cùd�`û��Jû�ù���wû^þ'ø� Dû � ù<�wø5* �ø�����ø

� ä 0 " ò Ë õ ä % � ò Â�& �{õ ä % � ò Â#&U\ õ ä S ! A S�ä % ô ò Â#& �{õ &9<�³ø!�yø A�� ��ù��³ø �+����ø� ãÿ���Ë �� �E!�! �� ;�À�ÀB3 6�6Uâ {ÑtÇQÐ(Ø�9CØ 6Dâ�Ð�Ø q � N�71ÄQÊDÉ 3 6Dâ {ÑtÇQÐ�Ø N ò à õ âUÐ�Ø 9 ��7�Ø��¿�ÀcÁ�Â�óÀ�ÄÊ�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈDÀ�ƪÉ&ÄQÊDÉ�Æ�ÀcÁ

&j4 0 " ò Ë õ ä % � ò Â#& �{õ ò N G 5 õóÀ�ÁGÏUÀ�Î�Ä^Ð�ÔªÊCÁtÀcÑtÕQÀ�ÊUÔ�ÊDÅÔªÊ�ÁGÏUÀ�Àb&UÄQÓyÁ`ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À�Ç^Ú�¿�À�Î>Î>ÄBN�Ø 6DØ�2DÞUÑGÁGÏUÀ�Ñ�âUÍGÀ�Á

� � >�Î ? % � ò Â#&�\ õ ä S ! A S_A2& ò N G 6 õÛmÏUÀ�ÑGÀ>ÁtÏUÀ�Î�Ä^ÐsÔªÊ�ÕQÇQƪÕQÀ É*Ô6Í�ÁtÏDÄ@Á!ÔªÊXÁGÀ�ÑGÕCÀcÊUÔªÊUÅ�ÔªÊåÁGÏUÀ�Àb&UÄQÓyÁ!ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À�ÇQÚ�¿(ÀcÎ>Î�Ä N�Ø 6UØ2UÇCÑ>À�ÄQÓwÏ ÐUÑGÔªÎ>Àd�sÇ^Ú�Â�â\Æ�ÀcÁ & è 4�0 " ò Ë è õ ä % � ò  è & � è õ Ä^ÊDÉ�� è É�ÀcÊUÇQÁGÀ�ÁGÏUÀ�ÓcÇQÑtÑGÀc×ÍGÐJÇCÊDÉ�ÔªÊUÅ�ÇQÃ�ÒZÀ ÓyÁwÍ�ÄQÍtÍOÇ�Ó�Ô6Ä@ÁtÀ�É!ÁGÇ�ÁtÏUÀ� è ×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ�Ë è Ø<Ù�ÏDÀcÊÁGÏUÀ�ÑGÀmÀb&�ÔªÍOÁtÍ�Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�Àb&UÄQÓyÁÓ�ÇCÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä E\ÇaLQÀ�Ñ!& � ä % � ò Â�&�\ õ � ä � � ä �

� � ä $ è E\ÇaLCÀcÑ & è � ä $ è %=� ò Â è &�\ è õ � ä $ è � è � ä �

Page 34: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

n p ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �h�ÍtÍGÞUÎ>À¢ÊUÇ@Û ÁGÏDÄ^ÁME\ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑtÀmN�Ø 9*ÏUÇCƪÉUÍ�â�ÔuØ ÀQتâ�ÁtÏDÄ@Á c � ò \ õ#� � Ø h`ÐDÐUÆ�Ö�ÔªÊUÅ9ÁGÏUÀÍGÊDÄ�LCÀ�Æ�À�Î>Î>Ä�ÁGÇ�ÁtÏUÀ+ÄQÃJÇ@ÕCÀ!É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ�âDÛ\À+Ô�Î>Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀcƪÖ�É�À�É�ÞJÓ�À�ÁtÏDÄ@Á/ÁGÏUÀ+ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ(Î�ÄQÐE\ÇaLCÀcÑ!& ä $ è2E\ÇaLCÀcÑ!& è ÔªÍmÔªÊ@ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀCØ�2UÞUÑGÁGÏDÀcÑ â�ÁGÏUÀ�ÑGÀ�Ô6ÍmÄ�ÓcÄQÊUÇQÊUÔ6ÓcÄQÆ�Ô�Ê@ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÇCÊ

/�À�Ñc_ � ä ' è � è `�� ä E\ÇaLQÀ�Ñ _qE\ÇaLCÀcÑ!& ä ' è E\ÇaLCÀcÑ!& è `�G ò N G f õh`ÑtÅQÞDÎÀ�ÊXÁtÍmÄ^ÊJÄ^ƪÇQÅQÇCÞDÍ,ÁGÇ>ÁGÏDÀ�Ä^óÇ@ÕQÀQâ�ÍOÁtÄQÑOÁtÔ�ÊUÅÚ3ÑtÇQÎ ÁtÏUÀ�À'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ� ä 0 " ò Ë õ ä % � ò Â#& �{õ ä(E\ÇaLCÀcÑ!& ä �Ä^ÊJÉ�ÞDÍOÔªÊUÅmÁtÏUÀ{ÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕ�Ô ÁZÖ�Ç^Ú2E\Ç�LQÀcÑ!& ä $ è�E\Ç�LQÀcÑ!& è âeÔªÎÎ>À É�ÔªÄ^ÁGÀ�Æ�Ö�Ö�Ô�À�ƪÉ�ÁtÏUÀ{Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅÑtÀ�ÍGÞUÆ Á ò ÓyÚZØT3 q�â?>�f�7�â�3 6�6Uâ?>!N�7 õ Ø �í@ì��\ì���������ì� � ð76'ð ö�øeù�Ë ú�ø>û ��"�ÿXÿ�ù��=$#��ÿ ,�øP� ù��d.eø��wûUù��3ÿ��Jû^þ<�������û ��ø>ÿ�.eø���û �#�"�ú�ø��� øyþ���Â�� � ����a"�ø>ù��JûUù c � ò \ õ1� � ME9<�³ø!�yø(\ �)� ��ø � �³øP�*úb� W �-��aBY�� � �³ø!�sù��³ø!�yø�ø� :� ��ù��û��Jû�ù���yû@þ'ø� Dû:��ù<�wø5*:Xø�����ø

� ä c � ò��{õ ä 0 " ò Ë õ ä ' è 0 " ò Ë è õ äb � ò,�{õ

ä(E\ÇaLCÀcÑ _ E\Ç�LQÀcÑ!& ä(' è E\Ç�LQÀcÑ & è ` ä � G �

à`Ç@Û ÁGÏUÀ�ÑGÀ�Ô6Í`ÄÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ1À'&UÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � ä � � ä S ! A S � ä % ô ò Â#& �{õ

��� � ä $ è � è � ä $ è S ! A è S � ä $ è % ô ò  è & �{õ &

ÛmÏUÀ�ÑGÀ �éÔ6Í�ÅQÔªÕQÀ�Ê�Ã�Ö ò N�Ø 6 õ â��L4 S ! A S�ä $ è�S ! A è S9ÔªÍ�ÁtÏUÀ�ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ1É�Ô6Ä^ÅQÇCÊDÄ^Æ�Î�Ä^Ð&Ä^ÊJÉÁGÏDÀmÁGÇCÐ>ÄQÊDÉ>óÇ^ÁOÁtÇQÎ ÑGÇ@Û`Í�ÄQÑGÀmÉ�À�ÑGÔªÕQÀ É+Ú3ÑGÇCÎ ÁGÏDÀ`À'&UÄQÓ�Á,ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀmÇ^Ú�¿�À�Î>Î>ÄVN�Ø 6 ò Ç@ÕQÀ�Ñ,ÂÄ^ÊJÉ+Ç@ÕCÀcÑ{ è â^Ú3ÇQÑ,ÀcÕQÀ�ÑGÖ�ÐDÑGÔªÎ>À � õ Ø<Ù�ÏDÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î÷ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ{Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^ÆDÀ'&UÄQÓ�Á�ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À

� ä /�ÀcÑ _ � ä(' è � è ` ä /�À�Ñ�� ä c ô ò,�{õBG ò N G q õ�/ÊÁGÏUÀmÇQÁGÏUÀ�Ñ{ÏDÄQÊDÉ1âCÓcƪÄCÍGÍ�ÈJÀcÆ6ÉÁGÏUÀ�ÇQÑtÖ43 5}N�âQÙ�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ fDØO5 �Dò à õ âCÐ�Ø � � 7UÐDÑGÇ@Õ�Ô6É�À�Í�Ä�ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^ÆÀ'&UÄCÓyÁ`ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀ� ä b � ò��{õ äÌß`ÇQÎ ò % � ò Â#&. ,ÔªÓ Ë õ & - ! S õ ä c ô ò��{õ ä � G ò N G ( õE\ÇQÎ>гÇCÍGÔ�ÊDÅ>ÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ(ÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÇQÊ

b � ò��,õ ä ß`ÇCÎ ò % � ò Â#& {Ô6Ó Ë õ &.- ! S õ Ú3ÑGÇCÎ ÁtÏUÀ!ÐUÑtÀ�×Ó�À É�ÔªÊUÅ�À'&UÄQÓ�Á,ÍOÀ iXÞUÀcÊDÓcÀmÛmÔ ÁtÏÁGÏUÀ`Î�ÄQÐ $ è 0 " ò Ë è õ ä

b � ò,�{õ ÄQÐUÐJÀ Ä^ÑtÔ�ÊDÅ�ÔªÊ {ÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊN�Ø fDâ�Û�À�ÇQÃ�ÁwÄ^ÔªÊ�Ä>ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQƳÎ�ÄQÐ

' è 0 " ò Ë è õ äÌß`ÇQÎ ò % � ò Â#&. ,ÔªÓ Ë õ &.- ! S õ ò N G N õò ÍGÀcÀB3 q�â?>�f�71Ú3ÇCÑ`Ä^Ê�À'&�ÐUƪԪÓcÔ Á�É�À ÍGÓcÑGÔªÐ�ÁtÔ�ÇCÊ�ÇQÚ'ÁtÏUÔªÍ`Î>ÄQÐ õ Øà`Ç@ÛéÑtÀ�Ó�Ä^ƪÆ�ÁtÏUÀ+ÔªÊXÁGÀ�ÅQÀcÑ(K�â�É�À�ÈDÊDÀ�É&ÁtÇ�óÀ!ÁtÏUÀ!ƪÀ�ÄCÍZÁ�Ó�ÇCÎÎ>ÇCÊãÎ!ÞUÆ�ÁGÔªÐUƪÀ+ÇQÚ{ÁGÏDÀ!ƪÇ�Ó�Ä^Æ

ÔªÊDÉ�Ô6Ó�À�Í`Ç^Ú'Ë Ø

Page 35: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � n!o��ê�ë�ìDí@ë�î � ð�H1ð ö�ø@ù<Ë ú�ø�û��["�ÿ�ÿ�ù�� $#��ÿ ,�ø���ù���.@ø*�yû�ù��3ÿ��³û@þ#�������û ��ø�ÿ�.@ø��mû��#�"�ú�ø!� � øwþ��Â�� � ���-�"�øJI

ò Ä õdc � ò \ õ��>� M 9<��ø���ø \ �)� ��ø � ��øP�ãúb� W �P�7a'YbM³û����ò à õ ù��³øV�yû��³ÿ��F���wû@þ#"�û�$ W �-� �;Y � ��ÍOÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ}�

� �³ø!� A � KjM �d�jø��\Mmù��³øB�+����ø� ÿ��mË ø5* Xû@þ)��ù���ø�þ3ø�ûa�cù ��ÿ�""�ÿ�� " ^þuù�� $1þIø�ÿ���ù���ø>þ3ÿ:�yû@þ� ���a���yø!��ÿ���Ë � �y�J$(û�� ù����-^þIû��kMF�+��ù���ø� è �[.�û����Iø@ù���Ë è �Jûa�`û �J�y�%���Gþ3ø�ÿ�� ��øtü���øcø a0�uÿ��/ø�.eø!�;�$#���+"�ø<��ÿ��<Â*M�ù��³ø��?�yÿB��ÿ�ø!��Ë �� �E!�! ��,Ù�ÏUÀ/ÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕXÔ�ÁZÖ>Ç^Ú ò N�Ø N õ Ô6Í{À iXÞUÔ�Õ@ÄQÆ�À�ÊCÁ\ÁGÇ!ÁGÏUÀ�ÍOÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕ�Ô ÁZÖ>Ç^Ú $ è�0 " ò Ë è õ äb �wò��,õ â!ÔpØ ÀQتâ�ÁGÇ ÁGÏUÀ ÍOÞDÑ�ÒZÀ ÓyÁGÔªÕ�Ô ÁZÖ Ç^Ú E\Ç�LQÀcÑ!& ä $ è E\ÇaLCÀcÑ!& è â!ÁGÇQÅCÀ�ÁtÏUÀcÑãÛmÔ�ÁGÏ ÁGÏUÀ

Õ@Ä^ÊUÔ6ÍtÍOÏUÔªÊUÅ ÇQÚ c ô ò,�{õsò ÍOÀ�À {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ N�Ø f ÄQÊDÉ ò N�Ø ( õGõ Ø à`Ç@Û ÁGÏUÀ ÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕXÔ�ÁZÖ ÇQÚE\ÇaLCÀcÑ!& ä $ è E\ÇaLCÀcÑ!& è ÁtÇQÅCÀ�ÁGÏDÀcÑÛmÔ ÁtÏ ò N�Ø f õ ÍGÏUÇ@Û ÁtÏDÄ@Á � ä $ è � è Ô6ÍÔ�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀQØÙ�ÏUÀ�ÑGÀcÚ3ÇQÑtÀQâ�ÍOÔªÊDÓcÀ c ô ò��{õ���� â ò N�Ø q õ ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ*/�ÀcÑ � ��� Ø�Ý�Þ�ÁT/�ÀcÑ�� Ô6Í�ÄÅCÑGÇCÞUÐ�Ç^Ú�ÇQÑwÉ�ÀcÑA ! K 3 9�9QâU¿�À�Î>Î>Ä 9CØ 6 7�âDÄ^ÊJÉ�ÁtÏUÔ6Í`Ó�ÇCÎÐDÆ�ÀcÁGÀ�Í�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^ÚZØ���ë�îr+Uí�� � � ð�l(ð ò Ä õ �/ÊDÀ¢ÔªÊDÍOÁtÄ^ÊJÓ�À*ÛmÏDÀcÑtÀ ò N�ØON õ Ô6Í ò ÇQÃ�Õ�ÔªÇQÞDÍGÆ�Ö õ ÍOÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ¢ÔªÍ�ÛmÏUÀ�Ê% � ò Â�&. {Ô6Ó Ë õ � � Ø�>�Ê¢ÁGÏDÔªÍ�Ó�ÄQÍGÀ>Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ N�Ø q�Ö�Ô�À�ƪÉDÍ�ÁGÏUÀ>Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔ�ÊDÅ�Û�ÀcÆªÆ ×hL�ÊUÇ@ÛmÊ¢ÓcÇQÊ�×ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À>Ç^ÚTE\ÇQÊ@ÒZÀ ÓyÁtÞUÑGÀ N�Ø+9 ò ÍOÀ�À 3 q�â<E\ÇQÊ@ÒZÀ ÓyÁtÞUÑGÀ E/â(Ð�Ø fnf�6�7pØB;�À�À�Ä^Æ6ÍOÇ 3 6a6UâfE\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖCâÐ�Ø q � q�7 õ 4mÄQÍtÍOÞDÎÔªÊUÅ�ÁGÏUÀ+ÕeÄQÆ�Ô6É�Ô�ÁZÖ�Ç^Ú E\ÇCÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÞUÑtÀN�Ø+9CâJÔ�Ú�% � ò Â�&. {Ô6Ó Ë õ8� � â³ÁtÏUÀcÊ¢ËÌÏDÄQÍÄ � ×�ÓcÖ�Ó�ƪÀ`Ç^Ú'ÉUÀcÅQÑtÀcÀV9�Ô�Ú'Ä^ÊDÉ�ÇQÊUƪÖ>Ô Ú'Ë è ÏDÄCÍ\Ä � ×�Ó�Ö�Ó�ƪÀ�ÇQÚ(É�ÀcÅCÑGÀ�ÀV9�Ú3ÇQÑ�ÀcÕQÀ�ÑGÖÐUÑtÔ�Î>À �ÇQÚÂ�Øò à õ 2UÇCÑ�À'&UÄ^Î>ÐUƪÀ�Í�Ç^Ú�ÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQÆ,ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�À�Í�Ë ÁtÇ�ÛmÏUÔªÓwÏ Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ N�Ø q�Ä^ÐUÐUƪԪÀ�Í�â�ÍGÀcÀ?3 q�â

Ù�Ä^ÃUƪÀ9QâUÐ�Ø f5fZ(�7�Øh�Í<ÊDÇ^ÁGÀ É!ÔªÊ+ÁGÏUÀmÐUÑtÇ�Ç^ÚDÇQÚ³Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ N�Ø qUâ@Ô Ú c � ò \ õ���� Ä^ÊDÉ!ÁGÏDÀmÎ>ÄQÐ $ è�0 " ò Ë è õ äb �wò��,õ Ô6Í/ÍGÞUÑuÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀQâ³ÁGÏDÀcÊ�ÁtÏUÀ+ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ(Î�Ä^Ð E\Ç�LQÀ�Ñ!& ä $ è E\ÇaLQÀ�Ñ & è ÔªÍ�ÍGÞUÑ�ÒZÀ ÓyÁtÔ�ÕCÀ+ÄQÍÛ�ÀcÆªÆ ò ÍGÀcÀ {ÑtÇQгÇCÍGÔ�ÁGÔªÇQÊmN�Ø f õ Ø4;�Ô�ÊDÓcÀ>ÁGÏUÔ6Í�Î�Ä^ÐåÛ�ÄQÍ�ÄQÆ�ÑtÀ�ÄCÉ�ÖãÍOÀ�ÀcÊýÁGÇ&óÀ�ÔªÊ@ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�ÛmÏUÀ�Êc � ò \ õ���� â�Û\À�ÇQÃUÁtÄ^ÔªÊ�ÁGÏUÀ�Ú3ÇCÆ�ƪÇ@ÛmÔªÊUÅ+ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�Ø�,ë�î î + � ð � ð ö�ø@ù�Ë ú�ø+û ��"�ÿ�ÿ�ù��=$#�yÿ�,�øP� ù��d.eø0�yû�ù��Iÿ��Jû@þ<�-�����û �yøÿ�.eø!��û4�#�"�ú�ø�� � øwþ��Â�� � ���-�"�øJI

ò Ä õdc � ò \ õ��>� M 9<��ø���ø \ �)� ��ø � ��øP�ãúb� W �P�7a'YbM³û����ò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ $ è 0 " ò Ë è õ ä

b � ò,�{õ �)� ��a�),�ø���ù��d.eø��� �³ø!�ýù��³øV�wû��³ÿ������yû@þ#"�û�$ E\Ç�LQÀ�Ñ &9ä $ èaE\Ç�LQÀcÑ!& è � �`û�� �)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["=� �IýÀ�ÛmÔ�ƪÆ�Ä^Æ6ÍOÇ>ÊUÀ�À�É

�,ë�î î + � ð#"�ð ö�ø@ù�Ë ú�ø+û ��"�ÿ�ÿ�ù��=$#�yÿ�,�øP� ù��d.eø0�yû�ù��Iÿ��Jû@þ<�-�����û �yøÿ�.eø!��û4�#�"�ú�ø�� � øwþ��Â�� � ���-�"�ø!ù��JûUù�A � K �%$ A è �*� ��ø��åù��³ø!�yø�ø� :� ��ù��`û4�wû��³ÿ������yû@þ#� �yÿ�"�ÿ��h$#��� ��"

c ô ò /�ÀcÑ% � õ3� @ ô ò Ë õ &

9<�³ø!�yø@ôXò Ë õ �)��ù���ø�ü���ÿ -$ W aa� �.Y��

� �E!�! ��\Ù�ÏUÀ�ÑGÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍmÄ>ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ�À'&UÄQÓ�Á�Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î� � ä S ! AJS � ä % ô ò Â#&�/�À�Ñ

% � õ � ä 0 ô ò Ë õ � ä � �

� � ä $ è S ! A è S � ä $ è % ô ò  è &�/�À�Ñ

% �è õ � ä $ è 0 ôXò Ë è õ � ä �

Page 36: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

n r ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �ÛmÏUÀ�ÑGÀ>ÁtÏUÀ�ÁtÇQÐsÑtÇ@Û÷Ô6Í�ÁGÏDÀ�À'&UÄCÓyÁ!ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À�ÇQÚ 3+9bfJâ'Ù�Ï�ØdfJØ (�7pâ'ÁGÏUÀ�ÃJÇQÁOÁtÇQÎ ÑGÇ@Û ÔªÍ�ÁGÏUÀÉ�ÔªÑGÀ ÓyÁ+ÍGÞUÎ Ç@ÕQÀ�Ñ!Ä^ƪÆ{ÐUÑtÔ�Î>À Í �ýÇ^Ú�ÂýÇ^Ú�ÁGÏDÀ�Ä^ÊDÄQÆ�ÇCÅQÇCÞDÍ�À'&UÄQÓ�Á+ÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À�Í!ÄQÍtÍOÇ�Ó�Ô6Ä@ÁtÀ�É¢ÁGÇÁGÏDÀ+ è ×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁGÔªÀ�ÍmË è âJÄQÊDÉ�ÁGÏUÀ�ƪÀ�ÚIÁG×pÏJÄ^ÊDÉ�Î�Ä^Ð�Ô6Í�ÁGÏDÀ!É�Ô6Ä^ÅQÇCÊDÄ^Æ1Î�ÄQÐ&ÓcÇQÊDÍGÔ6É�ÀcÑtÀ�É�À�ÄQÑGƪÔ�À�Ñ�Øh`Ê Ä^ÐUÐDÆ�Ô6ÓcÄ^ÁGÔªÇQÊ ÇQÚ`ÁGÏUÀ&ÍGÊDÄ�LCÀ�Æ�À�Î>Î>Ä*ÁGÇ*ÁGÏUÀ&Ä^óÇ@ÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅQÑwÄ^Î Ö�Ô�À�ƪÉDÍ+Ä¢ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ,Àb&UÄQÓyÁÍGÀkiXÞUÀcÊJÓ�À � ä /�À�Ñ�� ä c ô ò /�À�Ñ

% � õ ä @ôCò Ë õ ä E\ÇaLQÀ�Ñ � G

à`Ç@Û ÍGÔ�ÊJÓ�À /�À�Ñ � ÄQÊDÉ4E\ÇaLCÀcÑ � ÄQÑGÀ`ÈDÊUÔ�ÁGÀ�ÅCÑGÇCÞUÐDÍ,Ç^Ú�ÇQÑwÉ�À�ÑtÍ�A ! K Ä^ÊDÉ $ A è ! K ò ÍOÀ�À�3+9a9Qâ¿�À�Î>Î>Ä 9CØ 6�7 õ â�ÁGÏUÀ�ƪÀcÎ>Î�ÄÚ3ÇQƪÆ�Ç@Û`Í�Ø���ë�îr+Uí�� � ð�� ØåÙ�ÏUÀ�ÓcÇQÊDÉUÔ ÁtÔ�ÇCÊDÍ!ÇQÚ`ÁGÏDÀ�ƪÀcÎ>Î�ÄãÏUÇCÆªÉ ò À�ÕXÔ6É�À�ÊCÁtÆ�Ö õ Ô Ú/Ë ÏDÄQÍÄ � ×�ÓcÖ�Ó�ƪÀÇ^ÚmÉ�À�ÅQÑtÀcÀ 9Qâ'ÃUÞ�Á�ÁtÏUÀcÖýÄ^Æ6ÍOÇ&ÏUÇCƪÉýÔ�Ú\ÁtÏUÀ�Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅ�ÁtÏUÑGÀ�À�Ó�ÇCÊDÉ�Ô�ÁGÔªÇQÊDÍ�ÄQÑGÀ�ÍtÄ@ÁGÔ6ÍOÈDÀ�É ò ÍGÀcÀÙ�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ N�Ø q õ 4

ò Ô õdc � ò \ õ��>� â�ÛmÏDÀcÑtÀ�\)Ô6ÍmÉ�À�ÈDÊDÀ�É�Ã�Ö ò N�Ø+9 õ âò Ô�Ô õ ÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1Î>ÄQÐ ò N�Ø N õ Ô6ÍmÍOÞDÑ�ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀCâUÄ^ÊDÉò ÔªÔ�Ô õ ÁGÏUÀ�ƪÇ�ÓcÄQÆ1Ô�ÊDÉUÔªÓcÀ�ÍmÇQÚ'Ë Ä^ÑtÀ�ÑtÀcÆ6Ä@ÁtÔ�ÕCÀcƪÖ�ÐUÑtÔ�Î>À�Ô�Ê&ÐDÄQÔ�ÑwÍ�ØIýÀ�ÊUÇ@Û Ó�Ä^ƪÆ1ÞUÐJÇCÊ

�í@ì��\ì���������ì� � ðuñ�ï(ð ö<øeù�Ëóú�ø`û��["�ÿ�ÿ�ù��V$#�yÿ�,�øP� ù��d.eø��yû�ù��3ÿ��³û@þ��-�����û �yø�ÿ�.eø��,û�üCþ3ÿ�úQû^þ�ÿ��û+þIÿF�yû@þ � øyþ���ÿ����q�Jû��wû:��ù�ø!���)��ù���� �}� � ��ø��ýù��³ø!�yø�ø� �)��ù��`û��Jû�ù���yû@þ'ø� Dû:��ù<�wø5*:Xø�����ø

� ä 0 " ò Ë õ �� ä % � ò Â#& �`õ ä % ô ò Â#& � ô  ò Ë õtõ ä % ô ò Â�&�/�ÀcÑ% � õ

ä % ô ò Â#& �`õ ä % Q ò Â#& � ô  ò Ë õtõ &9<�³ø!�yø & � ��ù��³ø "�û�$ W �P� �JY`û���� � �)��ù���ø����ø!�yÿ��@���Jø�.eø!����ù�ÿ��-���ÿ��(Ë �� �E!�! wØ ;�ÀcÀB3+9bfJâ2E\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ N�Ø C�7pâUÄQÊDÉ�ÊUÇ^ÁtÀ/ÁtÏDÄ@ÁmÁtÏUÀ�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í*+OË ÏDÄCÍmÄ � ×�ÓcÖ�Ó�ƪÀ�ÇQÚ

É�À�ÅQÑtÀcÀ!ÇCÊUÀ -�ÔªÊãÁGÏJÄ@Á�Ó�ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ�Ô6Í�ÊUÀcÀ É�À�É¢ÇQÊDÆ�Ö&ÁtÇ�Ô6É�ÀcÊXÁtÔ Ú3ÖM% ô ò Â#&�/�À�Ñ % � õ Ä^ÊDÉ 0 ô ò Ë õò Õ�Ô6Ä�3 ÇQÐ(Ø ÓcÔ Á Ø�â^Ù�Ï�Ø fDØ ( 7 õ Ø >�ÊDÉ�ÀcÀ É1âeÁGÏDÀ�Î�ÄQÐ & ò N�Ø 5 õ Ô6Í�Ô�Ê^ÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ\ÛmÔ�ÁGÏDÇQÞ�Á�ÁGÏUÔ6Í�Ï�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔ6ÍcØ;�À�ÀB3 6Dâ {ÑtÇQÐ�Ø N ò à õ â�Ð(Ø+9 ��7�Ø ���ê�ë�ìDí@ë�î � ðuñJñ³ð ö�øeù(Â�ú�ø�ûT�#�"�ú�ø!� � øwþ��!û�����þ3øeù1Ë ú�ø�û �["�ÿ�ÿ�ù��0$��yÿ�,�øP��ù���.@ø<�yû�ù��Iÿ��Jû@þ�-�����û:�yø�ÿ�.eø!�`Â�� � �����"�ø�I

ò Ä õdcg�@ò \ õ��>� M 9<��ø���ø \ �)� ��ø � ��øP�ãúb� W �P�7a'YbMò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W �-� �;Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø.MJû����ò Ó õ ù��³ø/þ3ÿF�wû^þ��+��������ø!�/ÿ��(ËÌû���ø ��øwþIû�ù���.@øwþ\� $#���+"�øT�+�B$�û��+���P�

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ��

@ô ò Ë õ &

9<�³ø!�yø@ô ò Ë õ �)��ù���ø�ü���ÿ -$ W aa� �.Y��

� �E!�! wØ�2DÑGÇCÎ {ÑtÇQгÇCÍGÔ ÁtÔ�ÇCÊ�N�Ø 9 � Û�À�É�À�É�ÞJÓ�À�ÁGÏDÄ^Á'ÁtÏUÀcÑtÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍ�Ä/ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ ò ÈDÕCÀ�×�Ó�ÇCÆ�ÞUÎ>Ê õÀ'&UÄCÓyÁ`Ó�ÇCÎÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ� � ä E\Ç�LQÀcÑ!& � ä % ô ò Â#& � ô  ò Ë õtõ � ä GkGbG � ä %RQ ò Â#& � ô  ò Ë õtõ

� � ä $ è E\ÇaLQÀ�Ñ!& è � ä $ è % ô ò  è & ��ô  è ò Ë õGõ � ä GkGbG � ä $ è %#Q ò  è & ��ô  è ò Ë õtõ &

Page 37: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � n �ÛmÏUÀ�ÑGÀ�ÁGÏDÀ�ÐUÑGÇ�É�ÞJÓyÁtÍ�Àb&�ÁGÀcÊJÉ�Ç@ÕCÀcÑmÄ^ƪÆ1ÐUÑtÔ�Î>À Í ��Ç^Ú{Â�Ø ;�ÔªÊDÓ�À�ÁtÏUÀ�ÓcÄQÊUÇQÊDÔªÓ�Ä^Æ�Î�Ä^Ð

% Q ò Â#& � ô  ò Ë õtõ ä(' è % Q ò  è & � ô  è ò Ë õtõÔ6Í/ÄQÊ�ÔªÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍGÎ 3 5:9Câ ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊ:q�ØO5�â³Ð�Ø NJ(�7pâ�Ä^Ê*ÄQÐUÐUƪԪÓ�Ä@ÁtÔ�ÇCÊ�Ç^Ú,¿�À�Î>Î>ÄM9QØO5ÁGÇ�ÁGÏUÀÄ^óÇ@ÕQÀ�É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ ÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ`ÄÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ'&� ä(/�ÀcÑ _ E\Ç�LQÀcÑ!& ä ' è E\Ç�LQÀ�Ñ!& è ` ä c ô òu� ô  ò Ë õtõ ä c ô ò /�ÀcÑ

% � õ ä c ô ò,�{õ

ÛmÏUÔ6ÓwÏsÔªÍ�À'&UÄQÓ�Á�À'&UÓ�À�Ð�Á!гÀcÑtÏDÄ^ÐDÍ!Ä@Á c ô ò /�ÀcÑ% � õ â�ÛmÏDÀcÑtÀ�Ô ÁwÍ�ÏUÇCÎÇCÆ�ÇCÅQÖ�Ô6Í!Ä�ÍGÞUÃUÅCÑGÇCÞUÐ

Ç^Ú E\ÇaLCÀcÑ 3 E\Ç�LQÀ�Ñ!&9ä $ è<E\ÇaLCÀcÑ!& è 7�Ø{à`Ç@Û ÏXÖ�гÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔªÍ ò à õ ÔªÎ>ÐUÆ�ÔªÀ�Í`ÃJÇQÁGÏ�ÁGÏDÄ^ÁmÁGÏUÀ�Î�ÄQÐ$ è 0 " ò Ë è õ ä

b � ò��,õ ÔªÍ/ÍOÞDÑ�ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ�ÄQÊDÉ�ÁGÏJÄ@Á c ô ò��{õ1� �ãò ÍGÀcÀ�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^Ú�Ç^Ú{Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎN�Ø q õ Ø'Ù�Ï�ÞDÍ�ÁGÏUÀ\Î>ÄQÐ E\ÇaLCÀcÑ!& ä $ è�E\ÇaLQÀ�Ñ & è ÔªÍ'Ä^Ê�Ô6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ ò ÍGÀcÀ\¿�ÀcÎ>Î�Ä N�ØON õ Ä^ÊJÉÁGÏDÀ�Ä^óÇ@ÕQÀ�Ó�ÇCÎ>ÐUÆ�Àb&ýÖ�ÔªÀcÆ6ÉUÍ�ÄãÓ�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^Æ�Ô6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ c ô ò�� ô  ò Ë õtõ � c ô ò /�ÀcÑ

% �cõ Ø�/ÊåÁGÏDÀ�Ç^ÁtÏUÀcÑ�ÏJÄ^ÊDÉ1â�ÁtÏUÀ�Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í�ÔªÎÐDÆ�Ö¢ÁGÏDÄ^Á>A � K � $ A è ò ÍGÀcÀ KmÀcÎ�Ä^Ñ�L N�Ø C õ âÛmÏUÀ�ÊDÓ�À�¿(ÀcÎ>Î�ÄMN�Ø ��Ö�ÔªÀcÆ6ÉUÍ�Ä&ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ�Ô6ÍOÇCÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ c ô ò /�ÀcÑ

% � õ � @ô ò Ë õ Ø 2'ÔªÊDÄQÆ�ƪÖQâ

E\ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ45�Ø qÖXÔªÀcÆ6ÉUÍ`Ä�Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^Æ1Ô6ÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6ÍOÎ c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ3� c ô ò���ô  ò Ë õtõ âÄ^ÊJÉ�ÁtÏUÔªÍ�Ó�ÇQÎ>ÐUƪÀ�ÁtÀ�Í�ÁtÏUÀ�ÐUÑtÇ�Ç^ÚZØ���+ìDí@ì*)�),+�í.- � ð�ñ �1ð ö�ø@ù/Ë�ú�ø�ûM��"�ÿ�ÿ�ù�� $#��ÿ ,�øP� ù��d.eøJ�wûUù��3ÿ��Jû^þ �-�����û �yø�ÿ�.eø!�ûM�#�"�ú�ø��� øyþ���Â�� � ���-�"�øJI

ò Ä õdc � ò \ õ��>� M 9<��ø���ø \ �)� ��ø � ��øP�ãúb� W �P�7a'YbMò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W �-� �;Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø.MJû����ò Ó õ Ë �³û��`û��.�q�;���Gþ3ø�ÿ�� ��øtü}�yø�ø a��

� �³ø!� c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ ��ÿ���ùpû��+���/ûB��ÿ $ ��ÿ���ù��³ø�³û�ù�øb���:�Jû���û��yø�.P���q��ü}�yÿ:-$åÿ���ù��³ø��Xû5��yÿUú��Iû�� .�û����Iø@ù���ÿ���ø�.@ø��%���"�ÿXÿ�ù���$#��ÿ ,�ø���ù��d.eøT�P��P.eø�ÿ��#� ����ø� ea�þ\�:� ��ü>ÿ��>Ë M�$#��ÿ�.�����øP�>ù��³øþIû�ùOù�ø���ü}�yÿ:-$?�)� � �F�pù�ø���ë�îr+Uí�� � ðuñ/(ð ¿�ÀcÁ�Ë Ã³À�ÄQÍ�Ô�Ê¢ÁGÏDÀ�ÐUÑGÀ Ó�À É�Ô�ÊDÅ�ÓcÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ�Ä^ÊJÉ*ƪÀ�Á � óÀ>Ä�Ü�ÀcÑtÇ^×�Ó�Ö�Ó�ƪÀÇ^Ú!ÉUÀcÅQÑtÀcÀ 9*ÇQÊ Ë Ø h ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î Ç^Ú '+ØOE\ÇCÑtÄeÖ ò ÍGÀcÀ 3 ��7�Ä^ÊJÉ 3 5�f�7 õ ÄQÍtÍGÀcÑGÁtÍ�ÁtÏDÄ@Á�ÁGÏUÀ�ÑGÀÀ'&�Ô6ÍZÁwÍ�Ä�ÍGÎÇ�ÇQÁGÏýÐUÑGÇQÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ�ÂX×�Ó�ÞUÑtÕQÀ �>ò � õ ÇCÊýË ÐDÄCÍGÍGÔ�ÊDÅ�ÁtÏUÑtÇQÞUÅCÏ¢ÁtÏUÀ�ÍGÞUÐUгÇQÑGÁ�Ç^Ú ��ØÙ�Ï�ÞDÍ�ÁGÏUÀýÓ�ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ Ô�Î>ÐUƪԪÀ�Í�ÁGÏDÄ^Á�â�Ô�Ú ��� �

�� ÉUÀcÊUÇQÁGÀ�Í�ÁGÏDÀ AXÄQÓ�ÇCÃUÔ6Ä^Ê Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ9ÇQÚ �>ò � õ â

ÁGÏDÀcÊ c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ Ó�ÇCÊXÁtÄ^ÔªÊDÍ�Ä�ÓcÇQÐ�Ö�Ç^Ú c � ò ��� ��� õ â�ÐUÑtÇ@Õ�ÔªÉ�À É&ÁGÏDÀ+Æ6Ä@ÁGÁGÀcÑ�ÅCÑGÇCÞUÐ

Ô6Í�ÈDÊUÔ�ÁGÀQØ

� :���½(ACBU¼ 2c½(.��5�¾³BD2Q:¿�ÀcÁ 1 óÀ�Ä�ÍGÎ>ÇXÇQÁGÏýÐUÑtÇ^ÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ>ÂX×�ÓcÞUÑtÕQÀÇ@ÕQÀcÑ�Ä�ÈDÀcÆ6ÉýÂãÇ^Ú�ÓwÏDÄ^ÑwÄQÓ�ÁGÀcÑtÔ6ÍZÁtÔªÓ � ÄQÊDÉ*ƪÀ�Á

/ 4UË ä 1éóÀ/Ä�ÍGÎÇ�ÇQÁGÏ�ÑtÞUÆ�À É�ÍOÞDÑOÚ�ÄCÓ�ÀQØ IýÀ`ÛmÔ�ƪƳÛmÑGÔ�ÁGÀ � Ú3ÇCÑ{ÁGÏDÀ�à GÀ�ÑGÇCÊ�×q;�ÀcÕCÀcÑtÔ�ÁGÇQÑtÞDÍ�ÇQÚË â

% �N4 æ &(' . +  ò6-Uõ 4 ä æ &(' . � SýÚ3ÇQÑ{ÁtÏUÀ/Ó�Ä^ÊUÇCÊUÔ6ÓcÄ^Æ +GÍGÞUÎ Ç^Ú(É�ÔªÕ�ÔªÍGÇQÑwÍ.-�Î�ÄQÐ�âXÄQÊDÉ�� �Ú3ÇQÑ�ÁGÏUÀ�ACÄCÓ�ÇQÃDÔªÄQÊ�Õ@ÄQÑGÔªÀ�ÁZÖ�Ç^Ú 1�â³ÛmÏUÔ6ÓwÏ�Û\À�ÛmԪƪÆ'Ô6É�ÀcÊXÁtÔ Ú3Ö&ÛmÔ�ÁGÏ&ÁGÏDÀ {Ô6ÓcÄQÑtÉ�Õ@Ä^ÑtÔªÀ�ÁZÖ�ÇQÚ�Ëò ÍGÀcÀ?3 65(Dâ�Ð�Ø q�6�7 õ Øj2UÞUÑGÁGÏDÀcÑ â(ÑtÀ�ÓcÄQÆ�Æ<ÁtÏDÄ@Á ¨<© " ò Ë ! 1 õ � /�À�ÑF3 / 4 4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò 1 õ 7ò ÍGÀcÀ ��&UÄ^Î>ÐUƪÀ fJØON õ Ø

Page 38: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

n � ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � � �í@ì��\ì���������ì� "(ð�ñ³ð ö<øeù�/ 4UË ä 1 ú�ø�û ��"�ÿ�ÿ�ù�� �-^þ3øP� �-�����û:�yø�ÿ�.eø!�<û/þ3ÿF�wû@þJÿ��{û`üXþIÿUúQû@þ� øyþ���Â&ÿ����q�Jû��yû � ù�ø����)�cù���� �}� � �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø

� ä % � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ¨<© " ò Ë ! 1 õ ä % � ò Â#& �,õä % ô ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä % ô ò Â#&�/�ÀcÑ

% � õ ä % ô ò Â#& �,õä % Q ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ôeõOõNG

� �E!�! wØ ;�ÀcÀJ3+9bfDâUÙ�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ (UØO5�7�Ø��à`Ç@Û Æ�ÀcÁ/Â�óÀ�ÄÊ�ÞUÎ!óÀcÑmÈJÀcÆ6É�ÄQÊDÉ�ÛmÑGÔ�ÁGÀ

&j4 ¨<© " ò Ë ! 1 õ ä % � ò Â�& �{õ ò � G 9 õÚ3ÇQÑ/ÁGÏDÀ!Î�Ä^ÐãÔªÊXÁGÀ�ÑGÕCÀcÊUÔªÊUÅ�ÔªÊ�ÁGÏDÀ+Àb&�ÄCÓyÁ/ÍGÀkiXÞUÀ�ÊDÓ�À+Ç^Ú�ÁtÏUÀ+ÓcÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖCØT;�Ô�Î>ԪƪÄQÑGƪÖQâJÚ3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏÐUÑtÔ�Î>Àd� ÇQÚ�Â�â\ÛmÑGÔ�ÁGÀ & è 4 ¨<© " ò Ë è ! 1 è õ ä % � ò  è & � è õ Ú3ÇQÑ>ÁtÏUÀãÓ�ÇCÑGÑtÀ�ÍGÐJÇCÊDÉ�ÔªÊUÅ*Î�ÄQÐÄQÍtÍGÇ�ÓcÔªÄ^ÁGÀ É�ÁGÇ>ÁtÏUÀ! è ×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ�Ë è Ø��ê�ë�ìDí@ë�î "�ð���ò E\ÇCÆ�ƪÔ�ÇQÁO×�Ù�Ï*GÀ�Æ�HÀ�ÊUÀ õ�ð ö�ø@ù0/ 4JË ä 1óú�ø�û=�["�ÿ�ÿ�ù�� �-QþIø��=�-�����û ��ø�ÿ�.eø!�û �#�"�ú�ø�� � øwþ��¢Â�� � ���-�"�ø�ù��JûUù�ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���ûJ$<ÿ�� �³ù � � 1 ò  õ 9<�pù�� ��"�ÿXÿ�ù�� � ú�ø��/���� ò � õ �T� �³ø��ýù���øV�wû���ÿ��F���wû^þ�"�û-$ E\Ç�LQÀ�Ñ!&9ä $ è<E\ÇaLCÀcÑ!& è � �*� �-,�øP� ù��d.eø��� �E!�! wØ ;�ÀcÀJ3 fDâDÙ�Ï*GÀcÇQÑPHÀ�ÎÀV9QØ 6�7�Ø �à`ÇQÁGÀ�ÁGÏJÄ@Á�ÁGÏUÀ�ÄQÃJÇ@ÕCÀ/ÑtÀ�ÍGÞUÆ�Á�ÍGÏUÇ@Û`Í\ÁGÏDÄ^Á8h�ÍtÍOÞUÎ>Ð�ÁtÔ�ÇCÊe(UØO5!ÄQÃJÇ@ÕCÀ�Ô6Í�ÕeÄQÆ�Ô6É�Ú3ÇQÑmÓ�À�ÑOÁwÄ^ÔªÊ

ÁZÖ�ÐJÀ ÍmÇ^Ú�ÑGÞDÆ�À É�ÍGÞUÑGÚ�ÄQÓ�À ÍcØÙ�ÏUÀÊUÀ'&�Á�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ ÍGÏUÇ@Û`Í�ÁGÏDÄ^Á ,ÑGÇCÐJÇXÍOÔ�ÁGÔªÇQÊ N�Ø f�ÏUÇQÆ6ÉUÍ/ÁGÑtÞUÀ+Ú3ÇQÑ�ÍOÇCÎ>À+ÊUÇCÊ�×�ÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQÆ

ÑtÞUÆ�À É�ÍGÞUÑGÚ�ÄQÓcÀ�ÍmÄQÍ�Û�ÀcƪÆpØ��ê�ë�ìDí@ë�î "(ð�/(ð ö<øeù / 4JË ä 1 ú�ø>û �["�ÿ�ÿ�ù�� �P^þ3øP�=�������û ��ø+ÿ�.@ø���û ��a"�ú�ø�� � øyþ��*Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò à õ ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���û0$<ÿ�� �³ù���� 1 ò  õ 9<�uù�� ��"�ÿ�ÿ�ù�� � ú�ø�� /�� � ò � õ M³û����ò Ó õ ù��³øV�yû��³ÿ��F���wû@þ#"�û�$

% � ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ' è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ôeõOõ� �mÍGÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø� ä c � ò,�{õ ä ¨<© " ò Ë ! 1 õ ä(' è ¨<© " ò Ë è ! 1 è õ ä

b � ò,�{õä E\ÇaLQÀ�Ñ _qE\ÇaLCÀcÑ & ä ' è E\ÇaLCÀcÑ!& è ` ä � &

9<�³ø!�yø & W ��ø!�h$<� & è MF�uÿ��/ø�û:�q� �nY �)��ù��³ø "�û-$ W�� ��aBY W ��ø!�h$<� W�� �7a'Y �uÿ��mË � Ë è YP�� �E!�! wØ ;�ÀcÀ�Ù�ÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ (DØ 6>Ä^óÇ@ÕQÀCØ��

Page 39: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � n ��ë�îr+Uí�� � "(ð76'ð/ò Ä õ >�Ú / 4UË ä 1éÔ6Í �$BM�`ÍGÎ>ÇXÇQÁGÏ�ÑtÞUƪÀ�É�ÍGÞUÑOÚ�ÄCÓ�À`Ç@ÕCÀcÑ{Ä�Ê�ÞUÎ+ÃJÀ�Ñ,ÈJÀcÆ6É

Â�âJÁGÏUÀ�Ê&ÁGÏUÀ�ÑGÀ+À'&�Ô6ÍZÁwÍ`Ä�ÓcÄQÊUÇQÊDÔªÓ�Ä^Æ�Î�Ä^Ð $ è ¨<© " ò Ë è ! 1 è õ äb � ò��,õ ÛmÏUÔ6ÓwÏ�ÔªÍ/ÍOÞDÑ�ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ

À'&UÄCÓyÁGƪÖ�ÛmÏUÀ�ÊME\ÇaLQÀ�Ñ!&ãä $ è2E\ÇaLCÀcÑ!& è Ô6Í`ÍGÞUÑuÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀQØ ;�À�À�KmÀcÎ�Ä^Ñ�L (UØ f ò Ä õ Øò à õ KmÀ�ÅCÄQÑtÉ�ÔªÊUÅ`Ï�Ö�гÇ^ÁGÏDÀ�ÍGÔªÍ ò Ó õ ÔªÊ�ÁtÏUÀ�ÍZÁwÄ@ÁGÀ�Î>ÀcÊXÁ'ÇQÚUÁGÏUÀ\ÁGÏDÀcÇQÑtÀcÎ&â^ÍGÀcÀ KmÀcÎ�Ä^Ñ�L (UØ f ò à õ ØIýÀ�ÊUÇ@Û ÑtÀ�Ó�Ä^ƪÆJÚ3ÑtÇQÎ ;�À�Ó�ÁGÔªÇQÊe(+ÁGÏDÄ^ÁmÁGÏUÀ�ÑGÀ�À'&�Ô6ÍZÁwÍ`ÄÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ1Î�Ä^Ð

' è ¨<© " ò Ë è ! 1 è õ äÌß`ÇQÎ ò % � ò Â#&Gà ; ò Ë õGõ &.- ! S õ ò � G 5 õÛmÏUÔ6ÓwÏ Ô6Í�ÍGÞUÑuÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀãÀ'&UÄCÓyÁGÆªÖ ÛmÏUÀcÊ c ô ò��{õ � � ÄQÊDÉ ÁtÏUÀ*ÊDÄ^ÁGÞUÑwÄ^Æ/Î�Ä^Ð E\Ç�LQÀcÑ!& ä$ è<E\Ç�LQÀ�Ñ!& è Ô6ÍmÍOÞUÑuÒZÀ�Ó�ÁGÔªÕQÀ ò ÍGÀcÀ�K`ÀcÎ�Ä^Ñ�Lj(UØ ( ò à õ Ä^ÊDÉ ��&�ÄQÎ>ÐUÆ�À Í1fDØ N!ÄQÊDÉdq�Ø � õ Ø�,ë�î î + "�ð�H1ð ö�ø@ù / 4�Ë ä 1 ú�ø�û �["�ÿ�ÿ�ù�� �P^þIø�� �-�����û �yø�ÿ�.eø!�>ûM�#�"�ú�ø�� � øyþ�� Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���û0$<ÿ�� �³ù���� 1 ò  õ 9<�uù�� ��"�ÿ�ÿ�ù�� � ú�ø�� /�� � ò � õ M³û����ò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W�� � �.Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø W ø�� ü��\M2%=� ò Â#&Gà ; ò Ë õGõ3��� YP�

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c ô ò /�ÀcÑ% � õ���c ô ò�� ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ'G

� �E!�! wØ ;�ÀcÀ�¿�À�Î>Î>Ä (DØON�Ø���,ë�î î + "�ð l�ð ö�ø@ù / 4�Ë ä 1 ú�ø�û �["�ÿ�ÿ�ù�� �P^þIø�� �-�����û �yø�ÿ�.eø!�>ûM�#�"�ú�ø�� � øyþ�� Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ �uÿ��/ø�.eø��%�4��ø�û@þ�$���� "�ø8�&ÿ��mÂ*MDË ò  è õ��� � M³û����ò à õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä(' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c ô ò���ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õGõ3��c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ'G� �E!�! wØ ;�ÀcÀ�¿�À�Î>Î>Ä (DØ �DØ��E\ÇQÎ+ÃUÔªÊUÔ�ÊDÅ>¿(ÀcÎ>Î�ÄQÍ �DØ qÄ^ÊJÉ �DØ (Dâ�Û\À�ÔªÎÎ>À É�ÔªÄ^ÁGÀ�Æ�Ö�ÇQÃ�ÁwÄ^ÔªÊ

�í@ì��\ì���������ì�%"(ð � ð ö<øeù / 4DË ä 1 ú�øû �["�ÿ�ÿ�ù��M�P^þIø�� �-�����û �yøÿ�.eø!��û4�#�"�ú�ø�� � øwþ��Â�� � ���-�"�øJI

ò Ä õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò à õ ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���û0$<ÿ�� �³ù���� 1 ò  õ 9<�uù�� ��"�ÿ�ÿ�ù�� � ú�ø�� /�� � ò � õ Mò Ó õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W�� � �.Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø.MJû����ò É õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä(' è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ôeõOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �wû���ÿ��F���wû^þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["c ô ò /�ÀcÑ% � õ��>c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõBG �

Page 40: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

p R ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ���ê�ë�ìDí@ë�î "(ð3"(ð ö<øeù / 4JË ä 1 ú�ø>û �["�ÿ�ÿ�ù�� �P^þ3øP�=�������û ��ø+ÿ�.@ø���û ��a"�ú�ø�� � øyþ��*Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â*Mò à õ ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���û0$<ÿ�� �³ù���� 1 ò  õ 9<�uù�� ��"�ÿ�ÿ�ù�� � ú�ø�� /�� � ò � õ Mò Ó õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W�� � �.Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø.Mò É õ ù��³ø/þ3ÿF�wû^þ�$�ø!���3ÿF��� A �è ÿ���Ë û��yø �yøyþ6ûUù��d.eøyþ �$���� "�ø � �B$�û�� ���'MJû����ò À õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& � ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä(' è % � ò  è & � ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ô õOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ �yÿ�"�$�þ3ø�

� ä /�ÀcÑ _ E\Ç�LQÀcÑ � 4. ä(' è E\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. V ` ä c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõ ä @ô ò Ë õ

ä c � ò � � õ�! � ô &9<�³ø!�yø � 4. W ��ø!�h$<� � 4. V M2�uÿ���ø�û:�q� �nY �)��ù��³ø �JûUù[��yû@þ�"�û-$ ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò Ë õ%T W ��ø!�h$<�¨<© " ò Ë è õ ä ¨<© " ò Ë è õ T V YbM

@ô ò Ë õ � �,ù��³ø�ü���ÿ -$ W a�� �JY�û���� � ô �)�'û � �F�uù�ø�ü}�yÿ:-$�ÿ��Dÿ��-��ø��A � ! $ A �è ������ ù���ø��kM�ù��³ø�ûDú�ÿ�.@øV�yÿ�"�$�þ3ø� �)��ø� Uû:��ù�ø� #�yøq$�ù $�ø!���³û�$���û�ù @ ô ò Ë õ M�9<�³ø���ø �pù��

�³ÿ�"�ÿ@þIÿeü��4�)�`û��Júeü���ÿ -$ýÿ�� E\ÇaLCÀcÑ ? E\ÇaLCÀcÑ�� 4. ä $ èfE\Ç�LQÀcÑ � 4. V Aa�� �E!�! �� ;�À�À�E\ÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ (UØ 9 � Ø��KmÀ ÓcÄ^ƪÆJÁGÏUÀ�ÅQÑtÇQÞDÐj0 " ò Ë õ ÇQÚ(ÑtÄ^ÁGÔªÇQÊDÄQÆJÀ iXÞUÔ�Õ@ÄQÆ�À�ÊDÓ�À�Ó�Æ6ÄQÍtÍOÀ Í,ÇQÚ � ×�Ó�Ö�ÓcÆ�À Í,ÇQÚ'É�ÀcÅCÑGÀ�À�Ü�ÀcÑtÇÇQÊ�Ë â�ÔpØ ÀCØ�â@0 " ò Ë õ Ô6Í�ÁGÏDÀ LQÀcÑtÊUÀ�Æ1Ç^Ú�ÁGÏUÀ�É�À�ÅQÑtÀcÀ�Î�Ä^Ð�É�ÀcÅ 4 ¨<© " ò Ë õ ä S!Ø1¿�À�Á

� 4. - " 4 0 " ò Ë õ ä � � ò  õ ò � G 6 õóÀãÁGÏDÀ*Î�Ä^Ð ÛmÏUÔ6ÓwÏ Ô6Í�ÔªÊDÉ�ÞDÓcÀ�É Ã�Ö � 4. 4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò Ë õ;T ÁGÇQÅCÀ�ÁtÏUÀcÑ�ÛmÔ ÁtÏ ÁGÏUÀÔ6É�ÀcÊXÁGÔ�ÈJÓ�Ä@ÁGÔªÇQÊd0 " ò Ë õ T � � � ò  õ 3+9k(Dâ�Ð�Ø 9k( ��7pØ�+ìDí@ì*)�),+�í.- "�ð ��ð ö�ø@ù/ 4JËóä 1 ú�ø+û4��"�ÿXÿ�ù�� �-^þ3øP� ��a����û:�yø!ÿ�.@ø���ûB�#�"�ú�ø!� � øwþ��&Â��� ���-�"�øJI

ò Ä õ Ë �³û��`û��.�q�;���Gþ3ø�ÿ�� ��øtü}�yø�ø a�Mò à õ ù��³ø!�yø�ø� �)��ù���û0$<ÿ�� �³ù���� 1 ò  õ 9<�uù�� ��"�ÿ�ÿ�ù�� � ú�ø�� / � � ò � õ Mò Ó õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$ W�� � �.Y �)� ��a�),�ø���ù��d.eø.MJû����ò É õ ù��³ø �³û�ù[a�wû^þ�"�û-$

% � ò Â�& ��ô  ò Ë õ�! % " ò Ë &%$ ô õOõ ä ' è % � ò  è & ��ô  è ò Ë õ�! % " ò Ë è &U$ ôeõOõ� � �-�� ,�øP� ù��d.eø��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ �yÿ�"�$�þ3ø�

� ä /�ÀcÑ _ E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. - " ä ' è E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. V - " ` ä c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õOõ ä @ô ò Ë õ

ä c � ò � � õ &

Page 41: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � p�l9<�³ø!�yø � 4. - " W ��ø!�h$<� � 4. V - " M2�uÿ��/ø�û:�q� �nY �)��ù��³ø "�û�$ W�� � � Y W ��ø!�h$<� W�� � �.Y �uÿ��`Ë � Ë è Y/û����@ô ò Ë õ � �ù��³ø�ü}�yÿ:-$ W aa� �.YP� �D���ù��³ø��kM�ù��³ø+ûUú�ÿ�.eø�yÿ�" $1þIø� �)��ø� Dû � ù�ø� ���øq$<ù<$<ø����Jû�$���û�ù@ôXò Ë õ M�9<�³ø���ø*�pù�� �³ÿ�"�ÿ@þIÿeü��J� �mûV��Dú@ü���ÿ -$*ÿ�� E\ÇaLCÀcÑ ? E\ÇaLCÀcÑ�� 4. - " ä $ èfE\Ç�LQÀcÑ�� 4. V - " A �� �E!�! wØ�ß�ÖXгÇ^ÁtÏUÀ�ÍGÔ6Í ò Ä õ Ô�Î>ÐUƪÔ�À Í/ÁGÏDÄ^Á/Ï�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÀ Í ò Ä õ Ä^ÊDÉ ò É õ Ç^Ú�ÁGÏDÀ!ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î ÏDÇQÆ6É

ÁGÑtÞUÀCØ=2DÞUÑGÁGÏUÀ�Ñ�â�ÁtÏUÀ�Î>ÄQÐDÍ � 4. - " 4*0 " ò Ë õ ä � � ò  õ ÄQÊDÉ � 4. 4 ¨<© " ò Ë õ ä ¨<© " ò Ë õ;TÏDÄeÕCÀ!Ô6ÍOÇCÎÇCÑGÐDÏUÔªÓVLQÀ�ÑGÊUÀ�ƪÍ�Ä^ÊJÉãÓ�Ç�LQÀcÑtÊUÀ�ÆªÍ 3 9kfDâ1¿�À�Î>Î>Ä fDØ 6�7�Ø�Ù�ÏUÀ>Ó�ÇQÑtÇQƪÆ6Ä^ÑtÖ�Ô6Í�ÊDÇ@Û Ô�Î×Î>À�É�Ô6Ä@ÁtÀ�Ú3ÑGÇCÎ ÁGÏDÀ�ÁGÏUÀ�ÇQÑtÀcÎ&Ø��� ��ë � ����ì� � "�ðuñ�ï(ð à�Ç^ÁGÀ�ÁGÏDÄ^ÁJE\Ç�LQÀcÑ�� 4. - " Ô6Í�ÈDÊDÔ ÁtÀcƪÖýÅCÀcÊUÀ�ÑtÄ^ÁGÀ É ò Ã�Ö*ÁtÏUÀ )ãÇQÑwÉ�ÀcÆªÆ ×IýÀcÔªÆ<Ù�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ õ Ä^ÊDÉ*ÔªÍGÇQÎ>ÇQÑtÐUÏUÔ6Ó�ÁtÇ�Ä�ÍOÞDÃUÅQÑtÇQÞUÐ�ÇQÚ{ÁGÏDÀ!ÁtÇQÑwÍOÔªÇQÊãÅCÑGÇCÞUÐ?% ô ò Â#&�/�À�Ñ

% � õ Øß`À�ÊDÓ�À E\ÇaLCÀcÑ�� 4. - " ÔªÍ'ÔªÊ�Ú�ÄQÓ�Á�ÈDÊUÔ�ÁGÀ ò ÔªÊ�ÐDÄ^ÑGÁGÔ6Ó�ÞDƪÄQÑ�â.0 " ò Ë õ Ô6Í'Ä�ÈJÊUÔ ÁtÀcƪÖ�ÅQÀcÊDÀcÑwÄ@ÁGÀ É�Ä^óÀcƪԪÄQÊÅQÑtÇQÞDÐ�Ç^Ú�ÑwÄ^ÊFLÀkiXÞDÄQÆDÁtÇ�ÁGÏDÀ/ÑwÄ^ÊFLÇ^Ú � � ò  õGõ Ø �\ÄQÓwÏ�ÅQÑtÇQÞDÐ E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. V - " âCÛmÏUÀ�ÑGÀ �+ÑwÄ^ÊDÅQÀ�ÍÇ@ÕQÀ�Ñ�ÁGÏUÀmÍGÀ�Á{Ç^Ú³ÐUÑtÔ�Î>À�Í<ÇQÚ�Â�âCÔªÍ�ÈJÊUÔ ÁtÀ`ÄQÍ<Û�ÀcƪÆuØ<Ù�ÏUÀ�Ú3ÇQƪƪÇ@ÛmÔ�ÊUÅ iXÞUÀ�ÍOÁGÔªÇQÊJÍ�Ä^ÑtÔªÍGÀ\ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ�ƪÖQØ5�9QØ h`ÑtÀ�ÁGÏUÀ�ÅCÑGÇCÞUÐDÍTE\ÇaLCÀcÑ�� 4. V - " Ü�ÀcÑtÇÚ3ÇQÑ`Ä^ƪÆ1ÃUÞ�ÁmÈJÊUÔ ÁtÀcƪÖ�Î�Ä^Ê�Ö�ÐDÑGÔªÎ>À�Í_��ÇQÚ�Â��Câ505�Ø*I ÏDÄ@Á`Ô6ÍmÄ^Ê&Àb&�ÐDÆ�Ô6Ó�Ô�Á�É�À�ÍtÓ�ÑtÔªÐ�ÁGÔªÇQÊ�Ç^Ú'ÁGÏUÀ�Î�Ä^Ð

/�À�Ñ _qE\ÇaLCÀcÑ�� 4. - " ä ' è E\ÇaLCÀcÑ�� 4. V - " ` ä c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõÄ^ÊDÉ�ÏUÇ@Û ÓcÄ^Ê&Ô�ÁtÍ�ÔªÎ�Ä^ÅQÀ�óÀ�ÓwÏDÄ^ÑwÄQÓ�ÁGÀ�ÑGÔªÜcÀ É��

� :G��.³=��yBD¾J410ªH'B �'= %�=$#'BU7�BD='½(2�H�5(.10IB�410IBD2C:¿�ÀcÁ�Â*óÀ>Ä�Ê�ÞUÎ!óÀcÑ�ÈJÀcÆ6É1ØXh4="��! � �UT � &����%M!V�"!A!�� B �U!���"� � � � ���Ç@ÕQÀcÑ�Â�Ô6Í�Ä�ÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏ

ÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ`ÂX×�Õ@Ä^ÑtÔ�ÀcÁZÖ�ÛmÏUÔ6ÓwÏ>ÔªÍ�ÏDÇQÎ>ÇQÅCÀcÊUÀ�ÇQÞDÍ<ÞUÊJÉ�ÀcÑ�ÁtÏUÀ�ÄCÓyÁGÔªÇQÊÇ^Ú�Ä�ÍGÀcÎ>Ô6ÍOÔªÎ>ÐUÆ�ÀCâCÍGÔ�Î>ÐUƪÖÓ�ÇCÊUÊUÀ ÓyÁGÀ É1â^ƪÔ�ÊDÀ�Ä^Ñ�ÄQÆ�ÅCÀcÃUÑwÄ^Ô6Ó{ÅCÑGÇCÞUÐ�Ç@ÕQÀ�Ñ<Â1Ø ��&�ÄQÎ>ÐUÆ�À Í�Ç^Ú³ÍGÞDÓwÏ+ÕeÄQÑGÔªÀ�ÁtÔ�À Í�Ô�ÊDÓcÆ�ÞJÉ�ÀmÍOÎ>Ç�Ç^ÁtÏÐUÑtÇ^ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀRiCÞJÄQÉ�ÑtÔªÓ�Í�Ä^ÊJÉ ÅQÀ�ÊUÀcÑwÄ^ƪÔ�Ü�À�É ;�À�ÕQÀcÑtÔ�×�Ý�ÑwÄ^ÞUÀ�Ñ�ÕeÄQÑGÔªÀ�ÁtÔ�À ÍcØ ¿�À�Á=5 ) � ) � �É�ԪΠò Ë õ ÄQÊDÉ�ÑtÀ�Ó�Ä^ƪÆ�ÁGÏUÀ�ÊJÄ@ÁGÞDÑtÄQÆ1Î>ÄQÐ � 4. 4 ¨<© , ò Ë õ ä ¨<© , ò Ë õ;T Ø�,ë�î î + ��ðuñJð ö�ø@ù�Ë�ú�ø�û $#��ÿ ,�ø���ù���.@øJ�³ÿ�"�ÿ ü�ø!�³øcÿ:a� .yû����3øeù�� ÿ�.@ø���û � øwþ��sÂ�� � �³ø!�ù���ø���ø�ø� :� ��ù���û��JûUù[��yû@þ��)�yÿ�"�ÿ��y$#�F�)�["

c ô ò /�À�Ñ% , �� õ�� c ô ò >�Î

% , � ô õ'G� �E!�! ��+¿�À�Î>Î>Ä CUØ N>ÇQÚ 3 9kf�7�ÍOÏDÇ@Û`Í`ÁtÏDÄ@Á�ÁGÏUÀ�ÑGÀ+À'&�Ô6ÍZÁwÍ�Ä�ÊDÄ@ÁtÞUÑwÄ^Æ�À'&UÄQÓ�Á�ÓcÇQÎ>Î!Þ�ÁwÄ@ÁtÔ�ÕCÀ

É�Ô6Ä^ÅCÑtÄQÎ

� � ä % ô ò Â#&�>�Î% , � ô õ � ä % ô ò Â#&�/�À�Ñ

% , �� õ � ä Ý�Ñ��

� � ä $ è % ô ò  è &�>�Î

% , � ôè õ � ä $ è % ô ò  è &�/�À�Ñ% , ��è õ � ä $ è Ý�Ñ� è &

ÛmÏUÀ�ÑGÀ� ò ÑtÀ�ÍGÐ�Ø�� è â(Ú3ÇQÑ�À�ÄCÓwÏ*ÐUÑtÔªÎÀ]�ãÇQÚ� õ Ô6Í�ÁGÏUÀ GÀcÁtÄQÆ�À�ÂX×�Ä^ƪÅQÀcÃDÑtÄ�ÄQÍtÍOÇ�Ó�Ô6Ä@ÁtÀ�ÉãÁGÇ�Ëò ÑtÀ�ÍGÐ�ØýË è õ Øm;�Ô�ÊJÓ�À�ÁGÏUÀ�ÑGÔªÅQÏXÁG×pÏDÄQÊDÉåÕQÀ�ÑOÁtÔªÓ�Ä^Æ\Î>ÄQÐ Ô6Í!ÔªÊ@ÒZÀ ÓyÁGÔªÕQÀ�Ã�ÖýÁGÏUÀ&Ý�ÑtÄQÞUÀcÑG×�ß/ÄQÍtÍOÀc×à`Ç�ÀcÁGÏUÀ�Ñ`Ù�ÏUÀcÇCÑGÀ�Î�â�ÁtÏUÀ�ƪÀcÎ>Î�Ä>ÔªÍ�ÔªÎ>ÎÀ É�Ô6Ä@ÁGÀCØ �

Page 42: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

p Q ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � ���ê�ë�ìDí@ë�î ��ð��1ð ö�ø@ù<Ë ú�ø/û $#��ÿ ,�ø���ù��d.eø �³ÿ�"�ÿeü�ø���øcÿ ��T.�û����3øeù��&ÿ�.eø!��ûV�#�"�ú�ø�� � øyþ���Â��� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ(ø� Dû � ùf�yø+*:Xø!���yø

� ä /�À�Ñ _ E\ÇaLQÀ�Ñ�� 4. ä(' è E\ÇaLCÀcÑ�� 4. V ` ä c ô ò >�Î% , � ô õ ä @ ,(ò Ë õ

ä(E\Ç�LQÀ�ÑM_)E\Ç�LQÀ�Ñ�� 4. ä ' è E\ÇaLCÀcÑ�� 4. V ` &9<�³ø!�yø

@ ,�ò Ë õ � ��ù��³ø�ü}�yÿ:-$ W aa� �.YP�� �E!�! wØ8;�ÔªÊDÓ�À ¨<© , ò Ë õ ÔªÍ>Ä¢ÐJÀ�ÑGÎ+Þ�ÁtÄ^ÁGÔªÇQÊ ��×�ÎÇ�É�ÞDÆ�À 3 6�9 7�â % � ò Â#& ¨<© , ò Ë õOõj� � Ø

Ù�ÏUÀ�ÁtÏUÀcÇCÑGÀ�Î ÔªÍ�ÊDÇ@Û ÔªÎÎ>À É�ÔªÄ^ÁGÀ�Ú3ÑtÇQÎáÙ�ÏDÀcÇQÑtÀcÎ 9QØ q+ÄQÊDÉ�¿�ÀcÎ>Î�ÄJCUØ 9QØ���+ìDí@ì*)�),+�í.- �(ð�/(ð ö�øeùmËçú�ø�ûJ$#��ÿ ,�ø���ù��d.eøV�³ÿ�"�ÿ ü�ø!�³øcÿ:a� .�û����Iø@ù�� ÿ�.eø!��û ��a"�ú�ø�� � øwþ��Â�� � ���-�"�ø�ù��JûUù � 4. 4 ¨<© , ò Ë õ ä ¨<© , ò Ë õ%T W ��ø!�h$<� � 4. V M��uÿ���øcû �q� $���� "�ø �¢ÿ��\ÂZY0� ��-��),�ø���ù���.@ø�� � �³ø��åù��³ø���ø�ø� :� ��ù��/ûV�³û�ù[a�wû^þ�� �yÿ�"�ÿ��y$#�F�)��"

c ô ò >�Î% , � ô õ3� @ , ò Ë õBG

�+ìDí@ì*)�),+�í.- �(ð76'ð ö<øeùË ú�ø¢ûm��"�ÿ�ÿ�ù��8$#��ÿ ,�øP� ù��d.eødiXÞDÄCÉ�ÑtÔªÓåÿ�.eø��&û �#�"�ú�ø!� � øwþ�� Â��� ���-�"�øJIò Ä õ É�ԪΠò Ë õ ^ qMJû����ò à õ Ë ò  è õ����� �uÿ��/ø�.eø!�;� �yøcû@þF$#���+"�ø ��ÿ���Â��

� �³ø!�ýù��³ø���ø�ø� :�)�cùd�`û �Jû�ù���wû^þ#� �yÿ�"�ÿ��y$#�F�)��"c Q ò  ò Ë õ &.- ! S ò 5 õGõ��

@ô ò Ë õ'G

�y� $�û�� ù����-^þIû��kM � ��Ë �)� ��ø � �³øP� úb� û?��ÿ��@�q��øtüUø��³ø!�wûUù�ø�* Xû �a�yû�ù���� �uÿ���" �+� � .�û����IûUú@þ3ø!�ÿ�.eø!��û*ù�ÿ�ùpû^þ�þ\�M�+"�û@ü�� �Jû��%� �#�"�ú�ø!� � øwþ��&ÂNM,ù��³ø!� c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õGõ �yÿ���ùpû�� ����û?�yÿ $ �ÿ��@� ò 1 õ �uÿ��/ø�.eø!�;� ��"�ÿ�ÿ�ù��J$#��ÿ ,�ø���ù��d.eø �uÿ a���uÿ@þ�� 1 �yÿ��³ù�û�� �³øP�� ��Ë �

� �E!�! wØ�ß�Ö�ÐJÇQÁGÏUÀ ÍOÔ6Í ò Ä õ ÅQÞDÄQÑtÄQÊXÁGÀcÀ ÍmÁtÏDÄ@Á�ÁGÏUÀÎ�Ä^ÐDÍ � 4. 4 ¨<© ô ò Ë õ ä ¨<© ô ò Ë õ Ä^ÊJÉ� 4. V 4 ¨<© ô ò Ë è õ ä ¨<© ô ò Ë è õ{ò Ú3ÇQÑ�À�ÄQÓwÏ!ÐUÑGÔªÎ>À3��Ç^ڳ õ Ä^ÑtÀ,ÍGÞUÑuÒZÀ�ÓyÁtÔ�ÕCÀ 3 5a5Uâ5 ,ÑGÇCÐ�Ø 9CØ+9 ò à õ 7pØÙ�ÏUÀ�ÐDÑGÀ Ó�À�ÉUÔ�ÊUÅ�ÓcÇQÑtÇQƪƪÄQÑGÖ�ÊDÇ@Û ÍGÏUÇ@Û`Í�ÁtÏDÄ@Á c ô ò���ô  ò Ë õ�!@��ô  õ �

@ôXò Ë õ Ø12�ÔªÊDÄ^ƪÆ�ÖCâDÃ�Ö

ò à õ â E\ÇCÑGÇCÆ�Æ6Ä^ÑtÖ�5�Ø f�Ä^ÊDÉ!ÁGÏUÀmÞDÊUÔ�iXÞUÀ`ÉUÔ�Õ�Ô6ÍOÔªÃUÔªÆ�Ô�ÁZÖ�Ç^Ú � ô Â1â^Û\À�ÏDÄeÕCÀ c ô ò�� ô  ò Ë õU!@� ô  õ��c Q ò  ò Ë õ & - ! S ò 5 õOõ â�ÛmÏUÔªÓwÏ�ÓcÇQÎ>ÐUƪÀ�ÁGÀ Í�ÁGÏUÀ�ÐDÑGÇ�Ç^ÚZØ��

�!B ��BU.1BU7(¾³BD2l k(¸�hjqcz�oX�U�^kj��� k�W+XPY�e XPj!u��!v�j `�x�^*j �*]hY�vyW U!\ k v�U!W)\+j k�U!g2^h`Pv �yU ]hY�^ �Z��aeaCk���zZx6k �� zZqyhjW��'qyfpd�kC�cbe~Xk����� l � �Pl � � p�l � o � kQ k'´1_wfuYp_waX�^§{kj� � xjhjWZac]^WOfu|e�^�Qkj�� j!Z*j!g j�!\ ]hU!g�� g � Y�b[v�U �@²JfpxjaezZW�Ypqya�¤'aex �Qke²JfpWZnpnO� l � o r kn k'´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy�C¥ek �IV³kj��� \+g bdY�vyW� ^��}XPYhj!v�Y[Z���� �yj!v �m��� u2\ W+XVUyx x�g \+]hU!W)\ j!kW)j W+XPY0e XPj u��!v�j!`�xa^�j �v�U!W)\ j!k�U!gF^h`Pv �yU ]hY�^ �@¯Iac��WZa�YGk ��_tYuoXk���� � l � � n � � l � Q!R kp k'´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy��¥@k �6V³kj��� vy\+k�][\ x-Y g j[]hU!g ��� g j�bdU!g�x-j `-v0g Y[^ ��!Y�v�j���]�t ][g Y�^T^h`-v g Y[^ ^d`Pv �yU�]dY�^Tv"!Y#�!g$!Y�Y�^ ��¥ek��dmWZfOk%��_tYuoXkQ��qczyk&��' � Q!R!R!R � � l[RPl � l[Q�p ko k'´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy��¥@k �6V³k�_wa i��_waenpbezy�U¥ek �3¥ekj�(� kW+XPY e X�j!u)� v�j!`�x j � ]dY�vyW U!\ kv�U W \ j!k�U!g�^h`-v �qU ]hY[^+* U^yY,[`�Y[g W jTU x-UyxPY[v j �f_}z -Dg j[]qX �5��b ¡yW.��_tYpoXke¥ek/�10 � l � �Pl � � p QPl � p!p � k

Page 43: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

��VUv � ¸1£E�'¯�´ ��£(¯ � ��¯ � �Q�³�/��v<£ �<¤(²1� ��� � �(§ � § �<�e� � ²³£(¯3��´�¯I²³V � p nr k'´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy��¥ek �IVJkj� eFt ]�g Y�^#U!g � !Y�b[vy\ ,�`�Y[^�w Y W j!vy^h\+j k Y[W � � W+X�!Y�j!vy\+Y U!g ��!Y�bqvy\�,[`�Y �yxja � VXWOz�YubefpW1a qwYpWZnxja ��_tYuoXkj����qyh6k l o!o!n �C��~efuxjae|yWZfG�e�'W�r��Jqyfp¡^� l � � l �^~e~Xk l � p � k� k'´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy�C¥ek �IV³kQ_waei�£(_wnp¡cxjaeiX�@l*kj�Q�{� �qe�j�X�j!Z j g j�!t U!k�w0W+XPY*^yYh]hj!k�w e XPj!u�� v�j!`�x �&��_tYuoXk��a aXk����� � l � � o � � l[r ot� l � � k� k'´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy�U¥ek �IVJkX_wa i£(_wnp¡cxjaeiX�Cl¢kj�� v�j!`�xPY0w Y�e X�j!u w Y ]hj[w!\+Z Y�k�^h\+j!kBw�Y[`��w�Y[^ ��U vy\�!Y[W%!Y�^w�!Y i2k�\+Y�^<^d`Pv `Pk�]hj!v x�^ w Y�k�j!Z bqv�Y�^+* `-k W+X�!Y�j!v��Y[Z*Y w Y�i2k�\ W)`�w YDxPj!`Pv g UTW j!vy^h\+j!k �e¯Ia���WZacYOk ��_tYpo ������ l � � l � � Q!QPl � Q�p o k

� k�¶@fpqynun�_wfuiX� � kQ_waei!�cbefpWZnpoC�5\kj��� k�g Y[Z Z*Y w Y w�!Y�xag U ]hY�Z Y�k�W#x-j!v g Y[^ ��!Y�v�j���]�t ][g Y�^ ^h`-v g Y[^�i#b[v�U!W)\ j!k�^Y�kV]hj!k�\ ,�`PY�^ �e_w~e~^WOa iex °/Yuq�� kjk �I��¥ek.��dmWZfOk%��_tYuoXkQ��qczyk&��' � Q!R!R!R � � l[Q ot� l[Q � kl[R k�¶@beh YuqyaX�el*kj��� k�W Y�vy^yYd]�W)\+j!k � XPYhj!vyt �Q�cWOzZqyaei � iXkj�@��~efpxja |yWOfO�@�(WZr��Jqyfp¡^� l � � � kl!l k'v�qyae O_whjWZ ����'��xjhjWZnG��´�kj� -Dv�U!`�Y�v � v�j!`�x�^0U!k�w)��U!W Y � _�XPU �yU v�Y���\+]qX �!v�j `�x�^ �1¥ek ��_tYpoCkJ��zZxjWOa zOWZnO�1¤'a x �Ck��qy¡�}�q ��� � Q!R!R n � �^aeqek Q ��n � l � p�l � kl[Q k'v�qyae O_whjWZ ����'��xjh��WZnG�+´�k �\kj� -Dv�U!`�Y[v�� v�j!`�x�^?U!k�w ��U!W Y � _�XPU �yU v�Y���\+]qX � v�j!`�x�^ ������� �'�w_wxjh�_w]ehjW��ªfuqydo�YuYu~ � ��� _wfu°�x �Qk qyfp| � _w]en � d`_tYpoXk �(� � R n R!r!Q n l � npbe] dmx YuYuWZi � kl n k'v�qyae O_whjWZ ����'��xjhjWZnG�D´�kj��� \ k�\+W)YTZ j�w!`Pg Y�^ j���Y[v*k�j!k/� ^yY�Z�\+^h\ Z x�g Y � v�j!`�xBvy\ k�� ^ � � nube]edmx Y�YpWZiXkX²³fuWO~ fpxja�Y_O�w_wxjh�_w]ehjW��ªfuqyd ocY�Yp~ � ��� �ªfuqyacYOk d`_tYpoCk bezZi@_O��xjnGk WZieb � ���'� � R n r!Q � � klqp k'v�qyae O_whjWZ ����'��xjhjWZnG��´�kj� � k U � Y�k�Y[v�U!g \ ��U!W)\+j!k j ��W+XPY � \+]hU!v�w � -Dv�U!`�Y[v Y��U ]�W ^yY ,�`�Y[k�]hY ���(�y_wxjh�_w]ehjW��fpqyd ocY�Yp~ � ��� r(r�r{k d`_tYuoXk bexjbezyk WZieb � ¹��6YuoeWZqyfu} � r n!o � � nube]edmx Y�YpWZi � kl o k'v�qyae O_whjWZ ����'��xjhjWZnG�C´�k �\kj��� k W+XPY*U!vy\+W+X-Z Y�W)\+] j � ][t ]�g Y�^<j!k i#bdY�v�Yhw ��U!vy\+Y�W)\+Y�^ � xja/~ fpWZ~@_wf�_tYuxjqya � aeqwYuW �Yuoexjn'~e_w~QWZf�r�_wn(qyfpxj|yxja@_whjh }�_waea qybeaezZWZi�beaeieWZf�Ypo W{Yux YuhjW !K��a/YuoeW{_wfpx YuoedmW�Ypxjz�qw�JfubehjWZi/nubefu�ª_wzZWZn#" � kl[r k'v�fpqynO� �kj� ����][t ]�g Y[^ w Y w�Y � v"!Y ��^h`PvTg Y[^ ^h`Pv �yU ]hY�^ i#b[v&!Y�Y�^TY[k ]dj k�\ ,�`PY�^ �³¥ekU£�WOxja W �'ae|yW�r,k���_tYuoXk��be¡yW ��_tYuoXk ¥ek/'1�/' � l � � � � � l[r!r � l ��p kl � k'v�fpqwYuoeWZaeiexjWZz�¡^�.�,kj�%$ Y � v�j `�xPY w Y�-Dv�U `PY�v ���&���cxja � ��x ° � °�~Qqyn��WZn�npbefDh�_�´�qyoeqydmqyhjqy|yxjW�ieWZn1�cz�o��WZd`_wnG��'qyf�Ypo��3§'qyhjh�_waeiC�.��dmn�YpWZfui@_wd�� l � r � �e~e~Xk � � � l � � kl � k'v�fpqwYuoeWZaeiexjWZz�¡^��,kQ_waei ��xjWZbeieqya a��Wy�X¥ekj�(' g$!Y[Z*Y�k�W ^*w Y � !Y�j!Z !Y�W)vy\+Y �fg ��!Y�b[vy\ ,�`PY �Q²³be] h6k1��_tYpoXk^¯3§ � ��*)�0+) ���) �%�,)-���+).�%�*)-�/0*)"'(� � l � r!R � r � � kl � k(¥�_waeaenuWOaC� ¤{kj�&� k W+XPY0/ ��U�w!\+]f]hj�XPj!Z*j!g j � t j �1��U!vy\ Y[W)\+Y�^�j���Y[v�k�`PZ b�Y�v i�Y�g w!^�U!k�w�\ W)^ � U!g j!\ ^D]hj�X�j!Z j g �j � t ��v<_whjqyxjn³|yfuqybe~enDqG��WZf32 � ¯Io@_wf�_ ���\kj��£(xj]^W�YO�c¹�ky_waei`�cWOfufpWy�c¥ek ²Dkj�wWOi nGk � ����_tYpoXk �czOx6k £�WZnGk ¯Iaen�YGk ²Jbe]eh6kj���qyh6k&�%4��@�c~efpxjae|yWZfO�@¸�WZfphjxjaX� � l � � � � �^~e~Xk�n l ot� n r!R kQ!R k(¥�_waeaenuWOaC�(¤,kj� � vy\ k�]�\ xPYVw Y � U!^h^yY�]hj�XPj Z j!g j � \ ,�`�Y ���J�WZdmxja@_wxjfpW`ieW/�(o³�WOqyfuxjW�ieWZn`�(qyd�]efuWOnO�³²D_wfuxjnG�l � � � � l � � R � �<_O��xjiX�Q�Qkj� WZiXk � �e¸�xjfp¡co,5_wbenuWOfO�@¸�qyn�YpqyaX� l � � Q �^~e~Xk l[QPl � lqp R kjkQPl k(¹�_woeaX�@¸�kj��6 Y[^y]hY�k�W)Y ��U!g j \ ^h\+Y�k�k�Y*Y[W �m� w Y�^ ]dj v x�^ w Y�k�j!Z bqv�Y�^ �C�/�6YuoeWZqyfu} � � l � � n � �ao!ot� l[R!R kQ!Q k(¹�_woeaX��¸�kj��£�qynuYO� �k�_wa i>��bt�p_tYuo@_ �D£�kj�7� k�v�U!Z�\ i�YhwV]hj�XPj!Z*j!g j � t�j ��,[`�U w!vy\ ][^ �� z ���dmWZfGk ¥ek ��_tYuoXk����� � l � � � � � ��p�l � � � l kQ n k(¹�_tYuqe��¹�kj� � � U ^d^yY xavy\ k�]�\ x�g Y �yj v W)u2j ��w!\ Z*Y�k�^d\ j!k�U!g��!g j�bdU!g i�Y�g w!^ �Jl�x Yuo�_wa�_w~e~^WOa iex °�]�}�¥ek �IV³k´�qyhjhjxjqwYu�6�(o³�WOhªµWZaeWy�^¥eke£(WZxjaeW��'ae|yW�r,k/��_tYpoXk/'�484 � l � �!r � � lqp Q � l � n kQ�p k(¹<hjWZxjd`_waX�U�^kj�D_waei �'h Ypd`_waX��¸�kj� - Y�vyW \+k�\DW+XPYhj!v�Y�Z ^ �yj!v*XPtyx-Y�vy^d`Pv �yU�]dY ^yYh][W)\ j!k�^ ]hj!k�W U!\ k�\+k��VU�^d`�b �^y]yX�Y[Z*Y �Q´�qydmd�beaexjzO_tYuxjqyaen1xja �'hj|yWZ]ef�_ � � l � � � � � � � ot� � � R kQ o k�V�_wae|e���Qk � � iXk � �+9 `-Z bdY[v �}XPYhj!vyt �&��� * 6 \+jqx�XPU!k�W)\ k�Y � Ydj Z Y�W)vyt � � aez�} zZhjqy~@_wWZiex�_`qw� ��_tYuoeWZd`_tYuxjzG_wh��zZxjWZaezZWZnG�@��qyh6k r!R �^��~efpxja |yWOf�JWZfph�_w|e�@¸�WZfuhjxjaX� l � � l kQ!r k(��WZfp¡cbefª��W��C�'�,k �Qky_wa i���benphjxjaC�B�\k �,kj� �}X�Y(�!v�j `�x �;: �yj v U�i�Y[g w ����_tYpoCk ¤<�e� £�¯I ��Qk '84 � l � � l � �caeqek�n �o p�l � o r o kQ � k(��xjhjaeWy�(¥ek �Qkj� � vy\+W+X-Z Y�W)\+] 6 `�U!g \ W)t��}XPYhj!v�Y�Z ^yz �'²UWOfunp~Xk³xja)��_tYuoXkj�1��qyh6k l � �'zG_wi WOdmxjz�²JfpWZnpn`¯Iaezykj���fph�_wa ieqe� l � �!r kQ � k(��xjhjaeWy�^¥ek �Qkj� �<bdY[g \+U!k<��U vy\+Y�W \ Y[^ �@xja � ��fpx YuoedmW�Yuxjz{v�WZqydmWZYufu}�kC´�qyfpa WOhjh6�^v\k^_waei���xjh ��WZfud`_waX�@¥ekj� � i nGkj���~efuxjae|yWZfu� JWZfph�_w|e�e¸�WOfuhjxjaX� l � �!r �^~e~Xk l[R nt� l o R kQ � k(��xjhjaeWy�Q¥ek �Qkj� e�j!Z x-U!vy\+^yj!kBj � W+XPY -Dv�U!`�Y[v � v�j!`�xu�\+W X�W+XPY ��U!W Y��)_�U �qU!v�Y=��\ ] �!v�j `�x �X¥ek^¶^_wzykC��zZxjWZaezZW¤'a x �Ck ��qy¡c}�qe�C��WZzyk@¯��>�/0 � l � �Pl � � � n!ot� � p n kn R k�²UWZiefpxjaex6��´�kj�?� \ k�\+W)Y�k�Y�^d^Dv�Y[^h`Pg W)^ �qj!v e XPj!u � v�j!`�x�^ j �1��U!vy\ Y[W)\+Y�^�j���Y[v k�`-Z bdY[v:i�Y[g w!^ �cxja � �'fpx YuoedmW�Ypxjzv�WZqydmW�Ypf�} � ´�qyfuYuqya@_ � l � � p � k��c} dm~^qynOk ��_tYuoXkj�w��qyh6k n � ��´�_wd\]efpxji |yW1¤'aex �QkG²³fpWZnunG�c´1_wd�] fpxjie|yWy� l � � � �~e~Xk Q n!ot� Q o � kn l k�²UW�} fuW�� � kj� e�j!v xa^ w Y��yj!k�]�W)\+j!k�^fw Y@��U!vy\�!Y[W%!Y[^ XPj Z j�-�Y�k�Y[^ Y�W2]hj�XPj Z j!g j � \+Y.��U!g j!\ ^h\+Y�k�k�Y �e´�ke£�k'��zO_wiXk��zZx6k@²D_wfpxjn('���� � l � � o � � � � l � � � r kn Q k(£(_wnp¡cxjaeiX�el*kj� � k � � j � ][`PvA��Y�^<j���Y[v � g j�bdU!g�i�Y[g w!^ ���_tYuoXkJ�'aeaXk��00 � l � � R � � l � � � l � n kn!n k'� _whj]^WZfp|yWZfG�X²Dkj��B Y[v�j ��][t ]�g Y[^ j!k�v�U!W)\+j!k�U!g�^h`-v �qU ]hY[^*j���Y[v*k�`PZ*bdY�vDi�Y[g w!^ �C¯Iac��WZa�YGk&��_tYpoCk*C&� � l � � � � �o R ot� o Q�p k

Page 44: ALGEBRAIC VARIETIES, K-GROUPS AND THE HASSE PRINCIPLE

p!p ´1£(¯�����¯������\kJv��<������V � �^����¯IV � �n p k'� _waenubezy�c¥ek �3¥ekj�,� v�j!`�x-Y w Y(-Dv�U!`�Y[vDY�W:U!vy\ W+X-Z�!Y[W)\�,[`�Y<w Y�^ �!v�j `�xPY[^DU g ��!Y�b[vy\ ,�`PY�^�g \ k !Y�U \ v�Y�^D^h`Pv�`-k ]dj v x�^w Y k�j!Z bqv�Y[^ �^¥ek^£�WZxjaeW���ae|yW�r{k ��_tYuoXk'��� � l � �Pl � � l[Q � �!R kn!o k'��WZfpfuWy�Q¥@k �6²Dk^_wa i��U_tYpWy�C¥ekj�0� j�j[w v�Yhw!`�][W)\+j k j ��U�bdY�g \ U!k ��U!vy\ Y[W)\ Y[^ �J�'aeaXk^qw� ��_tYpoCk1010 � l � r � � � p � Q �o l � kn r k'��o@_t�ª_wfpW���xjz�oX�@¯��eWZY'_wh6kj� �fg ��Y�b[v�U!\ ] ^d`Pv �yU�]dY�^ �J� ���`��fp_waenph�_tYuxjqyaenO� l � r � kn � k'��o@_tYu y���^kj��� v�j�i2k�\+W Y � v�j!`�x�^ � � vy\ W+X-Z*Y[W)\ ] � U!k�w � Yhj!Z*Y[W)vyt � ��aeae_whjn�qw� ��_tYuoXk1�cYpb iexjWZnG����qyh6k r � �

²³fuxjaezZW�Ypqya�¤(aex �Qke²³fuWZnpnG� ²³fuxjaezZWZYuqyaX� l � � Q kn � k'��fuxjaex �y_wnO�n\kj� � g � Y�bqv�U!\+] � ��W X�Ydj vyt �X��WZzZqyaei � iXkC²³fuqy|yfpWZnpn�xja ��_tYuoXkj�Q��qyh6k � R ��¸�xjfpo(5_wbenpWZfG�C¸�qyn�YpqyaX�l � � r kn � k �C_wfuoexjaX� �JbXkj��9 !Y[v�j k xPU!\ vy\+k��TU k�w ,�`PU!^h\ ]yXPU v�U ]�W)Y�vy^ �1��_tYuoXk^¤��e� £&¯I ��Ck�4 � l � � Q � �^aeqek�n � p � l ��o R n kK � T�������� ���(M��GR��� R��������XK���N�T������ � �!�" ���# R$�$%^R � N��jR�& # �'�������QT' � Z U \ g:U w w!v�Y[^h^ � |yqyae Zqyd`_tY Q!R!R!Q)( }c_wo q�qek WZn