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Algebra

Mattia Natali

7 luglio 2011

Indice

1 Relazioni 31.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Grafo d’incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Matrice d’incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Intersezione e unione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Prodotto tra relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Grafo d’incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Matrice d’incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Proprietà del prodotto di relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 Proprietà associativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Non commutativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Relazione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Relazione identica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Relazioni binarie 62.1 Proprietà seriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Grafo incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Matrice d’incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Proprietà riflessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Proprietà simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Proprietà antisimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Proprietà transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Proprietà ereditate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6.1 Ereditarietà con operazioni tra relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Insiemi di proprietà (Chiusure) 93.1 Osservazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Esempio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Creazione delle chiusure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Chiusura riflessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Chiusura simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Chiusura transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.4 Altre chiusure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Matrici d’incidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.1 Esempio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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Algebra Logica e Algebra Mattia Natali

4 Relazioni d’equivalenza 124.1 Classe di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Partizione di un insieme A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Relazione d’ordine 145.1 Diagramma di Hasse: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Massimo minimo di un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Funzioni 176.1 Funzioni iniettive e suriettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.1.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Funzioni e relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Cardinalità 217.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8 Leggi di composizione 228.1 Proprietà delle operazioni binarie su un insieme A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.1.1 Esistenza dell’elemento neutro (o identità) in A rispetto a ∗ . . . . . . . . . . 238.1.2 Esistenza di uno zero in A rispetto a ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.1.3 Esistenza dell’elemento inverso rispetto a ∗ di un elemento x ∈ A . . . . . . 23

9 Struttura algebrica 239.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.1.1 Semigruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.1.2 Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.1.3 Gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.1.4 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.1.5 Struttura algebrica ad anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.1.6 Anello privo di divisori dello zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.1.7 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.1.8 Reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269.1.9 Sottostrutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.2 Criteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.2.1 Criterio di caratterizzazione di sottogruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.2.2 Criterio di caratterizzazione dei sottoanelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.3 Relazioni di congruenza con le operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.3.1 Operazione indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.3.2 Struttura quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.3.3 Aritmetica modulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.4 Strutture simili e omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.4.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.4.2 Proposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.4.3 I° teorema di fattorizzazione degli omorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10Complementi sulle strutture algebriche 3110.1Sottogruppo normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.2Omomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2.1Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.2.2Sottoanello ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.2.3Somma diretta di strutture algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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1 Relazioni

1.1 Definizioni

1.1.1 Prodotto cartesiano

Si chiama prodotto cartesiano degli n insiemi A1, A2, . . . , An, l’insieme

A1 ×A2 × · · · ×An = a1, a2, . . . , an | ai ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n

1.1.2 Relazione

Si chiama relazione R (n-aria o di arità n) un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesianoA1, A2, . . . , An.

• Se R = ∅ si definisce relazione vuota.

• Con R = A1 ×A2 × · · · ×An si chiama relazione universale ω.

Un esempio di relazione può essere R = (a, c) , (a, d) , (b, e), solitamente una relazione è uninsieme di coppie (relazioni binarie).

1.1.3 Cardinalità

Numero di elementi in un dato insieme. Esempio: |A1| = 10.

1.1.4 Grafo d’incidenza

È un oggetto matematico in cui abbiamo dei vertici, avendo

A1 = a, b, cA2 = x, y, z, wR = (a, x) , (a,w) , (b, x) , (b, y) , (b, z)

si pongono gli elementi di A1 sinistra e quelli di A2 a destra, poi con le frecce si legano i varielementi degli insiemi come definito dalla relazione R.

a //

x

b

::

//

$$

y

c z

w

1.1.5 Matrice d’incidenza

La matrice d’incidenza è definita in questo modo:

MR =

1 0 0 11 1 1 00 0 0 0

come righe abbiamo gli elementi di A1 mentre nelle colonne abbiamo gli elementi A2, se unacoppia di elementi i, j sono in relazione mettiamo un 1 nella casella ai,j.

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1.2 Intersezione e unione

Siano MT ,MR matrici d’incidenza definite in questo modo

MT =

1 0 0 00 1 1 01 0 0 0

MR =

1 0 0 11 1 1 00 0 0 0

per calcolare le intersezioni R ∩ T avremo

MR∩T =

1 0 0 00 1 1 00 0 0 0

basta calcolare il prodotto elemento per elemento di MR con MT .

Per l’unione R ∪ T facciamo la somma “binaria” (1 + 1 = 1) tra gli elementi.

MR∪T = MR +′MT =

1 0 0 11 1 1 01 0 0 0

identifichiamo +′ con somma binaria.

1.3 Prodotto tra relazioni

1.3.1 Grafo d’incidenza

Siano

A1 = a, b, cA2 = x, y, z, w

R ⊆ A1 ×A2, T ⊆ A2 ×A3

R · T = (a1, a3) |∃a2 ∈ A2, (a1, a2) ∈ R e (a2, a3) ∈ T ⊆ A1 ×A3

Aggiungiamo anche A3 = h, k e sia

R = (a, x) , (a,w) , (b, x) , (b, y) , (b, z) ⊆ A1 ×A2

T = (x, h) , (z, h) , (w, k) ⊆ A2 ×A3

Per determinare il prodotto tra le relazioni R · T in un grafo d’incidenza devo vedere le coppieche mi permettono di arrivare alla “fine” del percorso;

a //

x // h

b

::

//

$$

y k

c z

CC

w

?G

un esempio di percorso sarà (l’ho evidenziato nel grafo d’incidenza):

(a,w) ∈ R ∧ (w, k) ∈ T ⇒ (a, k) ∈ R · T

continuando in questo modo la nostra relazione finale sarà

R · T = (a, h) , (a, k) , (b, h)

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Scriviamo le matrici d’incidenza.

MR =

1 0 0 11 1 1 00 0 0 0

MT =

1 00 01 00 1

con MR matrice che ha come righe gli elementi di A1, come colonne A2 e MT ha come righe glielementi di A2 e come colonne gli elementi di A3. Il prodotto tra queste matrici sarà

MR·T = MR ·′MT =

1 11 00 0

facciamo in pratica il prodotto righe per colonne “binario” ossia se il risultato è ≥1 poniamo 1.

1.4 Proprietà del prodotto di relazioni

Le proprietà che vengono soddisfatte dal prodotto di relazioni sono:

1.4.1 Proprietà associativa

Consideriamo 4 insiemi A1,, A2, A3, A4 e tre relazioni R ⊆ A1 × A2, T ⊂ A2 × A3, S ⊆ A3 × A4 èassociativo:

(R · T ) · S = R · (T · S)

Proviamo la doppia inclusione:

1. (R · T ) · S ⊆ R · (T · S)

2. R · (T · S) ⊆ (R · T ) · S

Dimostrazione. Punto (1)Sia (a1, a4) ∈ (R · T )︸︷︷︸

⊆A1×A3

· S︸︷︷︸⊆A3×A4

, allora esiste a3 ∈ A3 tale che (a1,a3) ∈ R︸︷︷︸A1×A2

· T︸︷︷︸A2×A3

e (a3, a4) ∈ S.

Segue che esiste a2 ∈ A2 tale che (a1,a2) ∈ R, (a2,a3) ∈ R · T . Quindi (a1, a2) ∈ R, (a2, a4) ∈ T ·S, cioè(a1, a4) ∈ R · (T · S) e così (R · T ) · S ⊆ R · (T · S)

1.4.2 Non commutativo

R · T 6= T ·R

però ci sono alcuni casi in cui valeR · T = T ·R

in questo caso le relazioni si chiamano permutabili.

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1.5 Relazione inversa

Sia A1, A2 insiemi e sia R ⊆ A1 ×A2. Sia inoltre R−1 ⊆ A2 ×A1 che viene definita in questo modo

R−1 = (a2, a1) | (a1, a2) ∈ R

in pratica basta scambiare le coppie.Per esempio se R = (a, x) , (a,w) , (b, x) , (b, y) , (b, z) avremo

R−1 = (x, a) , (w, a) , (x, b) , (y, b) , (z, b)

Nel grafo d’incidenza invertiamo il senso delle frecce mentre per la matrice d’incidenza bastafare la trasposta.

MR =

1 0 0 11 1 1 00 0 0 0

MR−1 = (MR)T

=

1 1 00 1 00 1 01 0 0

1.6 Relazione identica

La relazione identicaIA1

= (a1, a1) |a1 ∈ A1 ⊆ A1 ×A1

questa relazione identica funge come elemento neutro, ossia come 1 nei numeri reali, infatti

IA1 ·R = R

se scambiamo l’ordine dobbiamo stare attenti all’insieme che stiamo considerando

R︸︷︷︸A1×A2

· IA2︸︷︷︸A2×A2

= R

attenzione però che

R ·R−1 6= IA1

R−1 ·R 6= IA2

infatti per esempio

MR·R−1 =

1 1 01 1 00 0 0

6=1 0 0

0 1 00 0 1

= MIA1

2 Relazioni binarie

Noi siamo interessati a questo tipo di relazioni.Sia A insieme e R relazione binaria su A se R ⊆ A × A, ossia avremo delle relazioni che

lavorano sugli elementi dello stesso insieme. Alcune relazioni note sono:

• Relazione vuota: ∅.

• Relazione identica: IA.

• Relazione universale: ωA sono tutte le possibili coppie (A×A).

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Sia n ∈ N, definiamo potenza n-esima di R:

Rn = R ·R · . . . ·R (n-volte)

se n = 0 −→ R0 = IA.Siano n,m ∈ N0

1. Rn+m = Rn ·Rm

2. (Rn)m

= Rn·m

Osservazione: se n è negativo le relazioni precedenti possono non valere!Sia n ∈ Z\N0 ossia se n < 0

Rn = R−1 ·R.−1 · . . . ·R−1 (−n-volte)

2.1 Proprietà seriale

Sia R ⊆ A×A, R = (a, b) , (a, c) , (b, c) la proprietà seriale significa che

∀x ∈ A ∃y ∈ A | (x, y) ∈ R

2.1.1 Grafo incidenza

In termini di grafo d’incidenza significa che da ogni vertice deve uscire almeno una freccia.Se un vertice ha solo frecce che “entrano” la relazione non è seriale. Sia A = a, b, c e R =(a, b) , (a, c) , (b, c) in questo caso R non è seriale (dal vertice c non esce nessuna freccia).

a''

b

zzc


Affinchè sia seriale su ogni riga della matrice deve essere almeno 1. Con R definito come primaabbiamo

MR =

0 1 10 0 10 0 0

quindi R non è seriale.

Osservazione: la matrice identica è una relazione seriale.

2.2 Proprietà riflessiva

∀x ∈ A (x, x) ∈ R

Grafo d’incidenza: una relazione è riflessiva se ogni elemento ha un “anello”, ossia la frecciaentra ed esce dallo stesso elemento. Basta anche solo 1 elemento senza un anello per dire chela relazione non è riflessiva.

Per quanto riguarda la matrice d’incidenza dobbiamo avere tutti 1 sulla diagonale principale.Osservazione: la matrice identità IA è riflessiva.

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2.3 Proprietà simmetrica

∀x, y ∈ A ((x, y) ∈ R⇒ (y, x) ∈ R)

ogni volta che (x, y) ∈ R deve appartenere anche la coppia (x, y) ∈ R.Nel grafo d’incidenza dobbiamo avere la doppia freccia per le coppie che vi sono nella rela-

zione. In altre parole se abbiamo un arco che va da x a y dobbiamo avere anche l’arco che vada y a x.

Dalla matrice d’incidenza possiamo verificare se gode della proprietà simmetrica se anchela matrice è simmetrica.

Se abbiamo un insieme non finito, in generale, possiamo verificare che la relazione siasimmetrica verificando che R−1 ⊆ R.

La matrice vuota ∅ è simmetrica (infatti è una matrice con tutti gli elementi pari a 0).

2.4 Proprietà antisimmetrica

∀x, y ∈ A ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R⇒ x = y)

Per verificare ciò possiamo verificare che R ∩ R−1 ⊆ IA, ossia possiamo fare il prodotto tra ledue matrici e verificare che gli unici 1 sono solo sulla diagonale principale ossia otteniamo unamatrice identità.

Un altro metodo è verificare se nella posizione ai,j = 1 allora in aj,i = 0, mentre possiamoavere ai,j = aj,i = 0. In altre parole non possiamo avere ai,j = aj,i = 1 con j 6= i. La diagonaleprincipale non ci da nessun problema, possiamo avere sia 1 che 0.

Altro metodo ancora è sommare la matrice con la sua trasposta: se otteniamo una ma-trice con tutti i 2 presenti sulla diagonale principale allora è antisimmetrica, al contrario, seotteniamo dei 2 fuori dalla diagonale principale allora non è antisimmetrica.

Dal grafo d’incidenza se abbiamo un arco che va da a a b non dobbiamo avere l’arco opposto,ossia che va da b ad a, ma possiamo avere gli autoanelli.

Osservazione: possono esistere relazioni che possono essere sia non simmetriche che nonantisimmetriche.

2.5 Proprietà transitiva

∀x, y, z ∈ A ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R⇒ (x, z) ∈ R)

Nel grafo d’incidenza se abbiamo un arco che va da a a b e un altro che va da b a c e infineabbiamo anche un arco che parte da a a c allora la relazione è transitiva, questo deve succedereper ogni terna presente nella relazione.

Per quanto riguarda le matrici, per esempio se abbiamo

MR =

0 1 10 0 10 0 0

è transitiva perchè se ai,j = 1 e aj,k = 1 allora anche ai,k = 1. Se questo non accade la relazionenon è transitiva. Un metodo più veloce consiste nel guardare il quadrato della matrice, cioè seio riesco a dimostrare che R2 ⊆ R allora R è transitiva.

Facciamo un esempio:

MR2 = MR·R = MR ·MR =

0 0 10 0 00 0 0

=⇒ R2 ⊆ R

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per fare il prodotto, facciamo il prodotto riga per colonna e mettiamo 1 se otteniamo x≥1.Siccome l’unico 1 che abbiamo ottenuto è un elemento che apparteneva già ad R allora significache la relazione gode della proprietà transitiva.

Osservazioni:

• La relazione vuota è transitiva.

• La relazione identità è transitiva.

• La relazione universale è transitiva.

2.6 Proprietà ereditate

Sia A insieme, R, V, S ⊆ A×A, V ⊆ R ⊆ S: vedi tabella 1.

R V SSeriale No Sì

Riflessiva No SìSimmetrica No No

Antisimmetrica Sì NoTransitiva No No

Tabella 1: Ereditarietà delle proprietà

2.6.1 Ereditarietà con operazioni tra relazioni

R ⊆ A×A, T ⊆ A×A: vedi tabella 2.

R, T R ∩ T R ∪ T R · TSeriali No Sì Sì

Riflessive Sì Sì SìSimmetriche Sì Sì No

Antisimmetriche Sì No NoTransitive Sì No No

Tabella 2: Proprietà ereditate dalle operazioni tra relazioni

3 Insiemi di proprietà (Chiusure)

Sia A insieme, R ⊆ A × A. P insieme di proprietà che A può soddisfare esempio P =propr. riflessiva, prop. simmetrica. Sia T ⊆ A × A una relazione, la definiamo chiusura diR rispetto a P (o P -chiusura di R) se soddisfa le seguenti proprietà:

1. R ⊆ T .

2. T soddisfa tutte le proprietà di P .

3. Se S ⊆ A×A tale che R ⊆ S e S soddisfa le proprietà di P allora T ⊆ S. Ossia T è la minimarelazione binaria che soddisfa le due proprietà qua sopra.

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In altre parole la P -chiusura di R, se esiste, è la minima chiusura che contiene R e ha tutte leproprietà in P .

La P -chiusura se esiste è unica.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano S e T due P -chiusure di R distinte. R ⊆ S,S soddisfa le proprietà di P (⇒ S ⊆ T ). R ⊆ T , T soddisfa le prioprietà di P (⇒ T ⊆ S). Da quisegue S = T per il punto 3, il che è assurdo.

3.1 Osservazione:

Se:

1. Esiste almeno una relazione contenente R che soddisfa tutte le proprietà di P .

2. L’intersezione di tutte le relazioni che soddisfano le proprietà di P soddisfa ancora tutte leproprietà di P .

Allora esiste la P -chiusura di R.

X =S ⊆ A×A | R ⊆ S, S soddisfa le proprietà di P

P -chiusura di R: ⋂

S∈XS

In generale non è detto che si verifichi il punto 2. Per esempio la proprietà seriale non lasoddisfa. Lo stesso discorso vale per la proprietà antisimmetrica (nella tabella 2 sembrerebbedi sì, ma la tabella parte dal presupposto che entrambe le relazioni siano antisimmetriche).

3.1.1 Esempio:

Sia A = a, b, R = (a, b), P =Proprietà seriale

. Affinchè T sia una chiusura dobbiamo avere

che

T = (a, b) , (b, a) ⊇ R T 6⊆ SS = (a, b) , (b, b) ⊇ R S 6⊆ T

quindi non riusciamo a creare l’insieme T -chiusura rispetto alla proprietà seriale.

3.2 Creazione delle chiusure

Ricorda che è molto importante l’ordine con cui sono scritte le proprietà.

3.2.1 Chiusura riflessiva

Vogliamo la minima relazione che soddisfa la seguente proprietà, in altre parole aggiugo lecoppie che ci mancano. In questo caso per soddisfare la proprietà riflessiva abbiamo bisognodella matrice identità: R ∪ IA.

3.2.2 Chiusura simmetrica

Per esempio abbiamo una relazione R = . . . , (a, b) , . . . e ci manca la coppia (b, a), per ottenerela minima relazione per la proprietà simmetrica facciamo R ∪R−1 (ricordo che R−1 = RT ).

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3.2.3 Chiusura transitiva

Dobbiamo fare l’unione di potenze di R, ossia⋃n∈N

Rn

significa che n > 0. La formula significa R1 ∪R2 ∪ . . . ∪Rn ∪ . . . .

Dimostrazione. T =⋃n∈NR

n. Abbiamo che:

• R ⊆ R ∪R2 ∪ . . . ⊆ T .

• Siano a1, a2, a3 ∈ A tale che (a1, a2) ∈ T ,(a2, a3) ∈ T .

Quindi la nostra tesi è che (a1, a3) ∈ T . Allora esistono h, k ∈ N tale che (a1, a2) ∈ Rh, (a2, a3) ∈ Rkquindi (a1, a3) ∈ Rh · Rk. Per il prodotto tra le relazioni valgono le proprietà delle potenze ossiaRh · Rk = Rh+k quindi (a1, a3) ∈ Rh+k ⊆ T . I punti 1 e 2 della T -chiusura sono soddisfatti, orapassiamo al punto 3 ossia che è la minima relazione che soddisfa queste proprietà.

Sia S ⊆ A×A tale che S è transitiva e R ⊆ S, la nostra tesi è che T ⊆ S.

R ⊆ ST ⊆ V ⇒ R · T ⊆ S · V

R ⊆ SR ⊆ S ⇒ R ·R ⊆ S · S ⇒ R2 ⊆ S2 ⊆ S

⇒ R2 ⊆ SR ⊆ S

⇒ R2 ·R ⊆ S · S⇒ R3 ⊆ S2 ⊆ S⇒ R3 ⊆ S

questo vale ∀n ∈ N, Rn ⊆ S. Quindi tutto quello che ho scritto significa che

⇒ T =⋃n∈N

Rn ⊆ S

e che quindi anche il punto 3 è soddisfatto.

3.2.4 Altre chiusure

• Chiusura riflessiva e simmetrica: R ∪ IA ∪R−1

• Chiusura riflessiva e transitiva:⋃n∈N (R ∪ IA)

n oppure possiamo scriverlo anche nelseguente modo:

⋃n∈N∪0R

n con R0 = IA.

• Chiusura simmetrica e transitiva:⋃n∈N

(R ∪R−1

)n• Chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva:

⋃n∈N∪0

(R ∪R−1

)noppure possiamo

scriverlo così⋃n∈N

(R ∪R−1 ∪ IA

)n.

11


3.3 Matrici d’incidenza

3.3.1 Esempio:

Sia A = a, b, c, d, R = (a, a) , (a, b) , (b, d) , (c, d) la matrice d’incidenza è

MR =

1 1 0 00 0 0 10 0 0 10 0 0 0

• Chiusura riflessiva di R: la chiusura riflessiva significa fare l’unione con IA ossia

MR1=

1 1 0 00 1 0 10 0 1 10 0 0 1

• Chiusura simmetrica di R: facciamo una chiusura simmetrica di R, rendiamo simmetri-

ca la matrice

MR2 =

1 1 0 01 0 0 10 0 0 10 1 1 0

• Chiusura transitiva: bisogna fare il prodotto binario riga per colonna

MR2 =

1 1 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

per fare in fretta nel prodotto adotta questa tecnica: in questo caso abbiamo nella primariga un 1 in prima, seconda e quarta colonna; ora guardo le colonne e verifico se in prima,seconda o quarta riga vedo degli 1, se la risposta è affermativa pongo un 1 nella primariga nella colonna in cui ho visto l’1. Così faccio per la seconda, terza e quarta riga: ma inquesto caso non trovo più nessun 1 e quindi ho finito.

MR3 =

1 1 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

notiamo che MR2 = MR3 , significa che stiamo unendo sempre lo stesso insieme, quindinon abbiamo bisogno di andare avanti “all’infinito”. Quindi

T =⋃n∈N

Rn = R ∪R2

4 Relazioni d’equivalenza

A insieme, R ⊆ A×A. R è una relazione d’equivalenza se soddisfa:

1. Riflessiva.

12


2. Simmetrica.

3. Transitiva.

Esempio: relazione di congruenza R ⊆ Z× Z modulo n con n > 1.

∀a, b ∈ Z (a, b) ∈ R se e solo se n | a− ba ≡ b (mod n) se e solo se n | a− b

il simbolo n|a − b significa che n divide a − b. Possiamo definire la stessa cosa anche in questomodo:

∀h, k ∈ Z h | k se e solo se ∃z ∈ Z k = h · z

1. Riflessiva: sia a ∈ Z. Tesi: a ≡ a (mod n)

n | 0 = a− a⇒ n | a− a⇒ a ≡ a (mod n)

2. Simmetrica: siano a, b ∈ Z tale che a ≡ b (mod n). Tesi: b ≡ a (mod n).

n | a− b ⇒ ∃z ∈ Z tale che a− b = z · n⇒

⇒ ∃z ∈ Z tale che b− a =

z′︷︸︸︷(−z) ·n⇒

⇒ ∃z′ ∈ Z tale che b− a = z′ · n⇒ b ≡ a (mod n)

3. Transitività: guarda dispense.

Un esempio più normale è la relazione di uguaglianza sull’insieme dei numeri naturali N.

4.1 Classe di equivalenza

Sia A insieme, ρ ⊆ A× A relazione d’equivalenza. Chiamiamo classe di equivalenza (rispetto aρ) avente come rappresentante a, o più semplicemente ρ-classe di a, l’insieme

[a]ρ = b ∈ A | (a, b) ∈ ρ ∀a ∈ A

Esempio: Fissiamo n = 2. ∀a, b ∈ Z abbiamo a ≡ b (mod 2) se e solo se 2 | a − b se e solo se∃z ∈ Z a − b = 2 · z. Indichiamo con [0]2 le classi dei numeri pari e [1]2 per i numeri dispari.L’insieme delle ρ-classi di A si dice insieme quoziente di A rispetto a ρ e si indica

A/ρ =

[a]ρ | a ∈ A

nel nostro caso l’insieme quoziente di Z rispetto a 2 sarà: Z/2 = [0]2 , [1]2 .

4.2 Partizione di un insieme A

Sia dato l’insieme Bi | i ∈ I ∀i ∈ I tale che Bi ⊆ A, esso è una partizione se

1.⋃i∈I Bi = A.

2. Se Bi ∩ Bj 6= ∅ allora Bi = Bj. Se un elemento appartiene ad una certa classe non puòappartenere ad una classe diversa.

Possiamo notare che data una relazione d’equivalenza ρ su un insieme A, le ρ-classi di A sonouna partizione di A perchè l’unione di tutte le varie classi formano A e l’intersezione di qualsiasiclasse genera l’insieme vuoto, la partizione così creata prende il nome di partizione indottada ρ.

13


5 Relazione d’ordine

Sia A insieme, R ⊆ A×A, R è una relazione d’ordine se è

1. Riflessiva.

2. Antisimmetrica.

3. Transitiva.

x, y sono confrontabili rispetto a R se:

(x, y) ∈ R XOR (y, x) ∈ R

Si dice relazione d’ordine totale se tutte le coppie di elementi di A sono confrontabili. Ingenerale R viene definito insieme parzialmente ordinato (poset = partially ordered set), seinvece la relazione è totale si parla di insieme totalmente ordinato.

Esempi:

• Numeri reali (R,≤) sappiamo che sex ≤ yy ≤ x

∣∣∣∣⇒ x = y soddisfa la proprietà antisimmetrica,

riflessiva e soddisfa anche la proprietà transitiva quindi è una relazione d’ordine. È anchetotale perchè tutte le sue coppie sono confrontabili.

• Inclusione d’ordine (⊆): A insieme, P (A) = B|B ⊆ A insieme delle parti di A, verifichiamoche l’inclusione debole ⊆ è una relazione d’ordine su P (A). Dimostriamo la proprietàriflessiva e antisimmetrica

X ⊆ XX ⊆ YY ⊆ X

∣∣∣∣∣∣⇒ X = Y

la proprietà transitivaX ⊆ YY ⊆ Z

∣∣∣∣⇒ X ⊆ Z

Ma in questo caso non è totale perchè:

A = a, b, cX = a, b ∈ P (A)

Y = b, c ∈ P (A)

X 6⊆ Y e Y 6⊆ X

quindi X e Y non sono confrontabili.

• Relazione di divisibilità in N

∀x, y ∈ N x|y se e solo se ∃k ∈ N : y = Kx

Essa soddisfa la proprietà riflessiva: k = 1 x|x. Soddisfa la proprietà antisimmetrica:

x|y ⇒ ∃k1 ∈ N y = k1xy|x⇒ ∃k2 ∈ N x = k2y

⇒ y = k1k2y ⇒ k1k2 = 1⇒ k1 = k2 = 1⇒ y = x

soddisfa anche la proprietà transitiva

x|y ⇒ ∃k1 ∈ N : y = k1xy|z ⇒ ∃k2 ∈ N : z = k2y = k2k1︸︷︷︸

k′

x ⇒ ∃k′ ∈ N : z = k′x⇒ x|z

Non è una relazione totale perchè per esempio 2 non divide 3 e 3 non divide 2 (2 - 3, 3 - 2).

14


• Relazione di divisibilità in Z:

∀x, y ∈ Z x|y se e solo se ∃k ∈ Z y = Kx

Essa soddisfa la proprietà riflessiva: k = 1 x|x. Non soddisfa la proprietà antisimmetrica:

x|y ⇒ ∃k1 ∈ Z : y = k1xy|x⇒ ∃k2 ∈ Z : x = k2y

⇒ y = k1k2y ⇒ k1k2 = 1⇒ k1 = k2 = 1 ∨ k1 = k2 = −1 6⇒ x = y

perchè non riesco a dimostrare che x = y, quindi non è una relazione d’ordine.

• Il < oppure ⊂ non sono relazioni d’ordine perchè non soddisfano la proprietà riflessiva acausa dei vincoli troppo stretti. In alcuni libri, affinchè sia una relazione d’ordine, non èneccessario che debbano soddisfare la proprietà riflessiva, ma questo porta a degli effetticollaterali (per esempio anche l’insieme vuoto ∅ diventa una relazione d’ordine).

NB: per identificare che R è una relazione d’ordine (x, y) ∈ R possiamo scrivere x ≤ y oppurey ≥ x (nota che x è il primo elemento e y è il secondo in entrambi i casi).

Siccome la relazione d’ordine contiene la proprietà antisimmetrica, in generale non riuscia-mo a creare una sua chiusura perchè la chiusura della proprietà antisimmetrica non esiste.Quindi solitamente faccio la chiusura per la proprietà simmetrica e transitiva, se poi noto chela relazione ottenuta soddisfa anche la proprietà antisimmetrica allora sono riuscito a creare lamia chiusura, altrimenti non esiste.

5.1 Diagramma di Hasse:

Si dà per scontato che ci siano gli autoanelli (perchè soddisfa la proprietà simmetrica). Non c’ènessun arco che va avanti e torna indietro per la proprietà antisimmetrica, ma si assume cheogni arco vada dal vertice che sta più in basso a quello che sta più in alto nel disegno. Quindiscriviamo

y

x

Poi sex≤yy≤z ⇒ x≤z z

y

x

Esempio: A = 2, 3, 4, 6, 12, 13, ∀x, y ∈ A con (x ≤ y se e solo se x|y) abbiamo che 2 ≤ 2, 2 ≤ 4,2 ≤ 6, 2 ≤ 12, 3 ≤ 3, 3 ≤ 6, 3 ≤ 12, 4 ≤ 4, 4 ≤ 12, 6 ≤ 6, 6 ≤ 12.

12 13

4 6

2 3

La matrice sarà

M≤ =

1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 00 0 1 0 1 00 0 0 1 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

15


per crearla immagina che le righe e le colonne siano rappresentate dai numeri e verifica sesono divisibili. Affinchè sia totale se abbiamo un 1 nella posizione ai,j dobbiamo avere 0 nellaposizione aj,i e viceversa.

5.2 Massimo minimo di un insieme

Sia A insieme, ≤ relazione d’ordine su A con B ⊆ A, m ∈ A.

• m ∈ A, m è minimo di A rispetto a ≤ se

∀x ∈ A m≤x (m,x) ∈ ≤

• m è massimo di A rispetto a ≤ se∀x ∈ A x≤m

questi elementi possono anche non esistere. Nell’esempio del diagramma di Hasse ve-diamo che non c’è un numero sopra tutti o sotto tutti. Se dall’insieme A precedenteeliminassimo l’elemento 13 avremmo come diagramma di Hasse

12

4 6

2 3

e in questo caso 12 è un massimo.

• m è elemento minimale di A rispetto a ≤ se

∀x ∈ A (x≤m⇒ x = m)

nel diagramma di Hasse vediamo gli elementi più in basso, sempre nel caso precedentel’insieme dei numeri minimali sono M1 = 2, 3, 13 c’è anche il 13 perchè è un elementoisolato; in altre parole per ogni a ∈ A si ha o a non confrontabile con m o m ≤ a.

• Analogo discorso per gli elementi massimali che li definiamo in questo modo: m elementomassimale di A rispetto a ≤ se

∀x ∈ A (m≤x⇒ x = m)

quindi non ci devono essere elementi sopra gli elementi massimali (gli elementi più inalto) quindi M2 = 12, 13, ricorda che devi prendere anche gli elementi non confrontabili.

Sia ora B un sottoinsieme dell’insieme parzialmente ordinato A.

• m minorante di B rispetto a ≤ se:

∀x ∈ B m≤x

• m maggiorante di B rispetto a ≤ se

∀x ∈ B x≤m

Esempio: abbiamo A = 2, 3, 4, 6, 12 e B = 4, 12. Abbiamo come maggioranti C1 = 12 eminoranti D1 = 2, 4 (nei minoranti di B non compare il 3 perchè non è confrontabile con glielementi di B). Ossia dobbiamo vedere quelli che stanno sopra e quelli che stanno sotto inentrambi diagrammi di Hasse degli insiemi A e B, inoltre gli elementi che andiamo a sceglieredevono essere confrontabili con tutti gli elementi di B. Non è necessario che il maggiorante ominorante appartenga a B.

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• L’estremo inferiore di B (inf B) è massimo (se esiste) dell’insieme dei minoranti.

• L’estremo superiore di B (supB) è minimo (se esiste) dell’insieme dei maggioranti.

(A,≤) reticolo se∀x, y ∈ A (∃ inf x, y ∧ ∃ sup x, y)

esempio di reticolo

12

4 6

2

6 Funzioni

Sia A,B insiemi f ⊆ A×B funzione se

∀x ∈ A ∃!y ∈ B (x, y) ∈ f

se sappiamo che è una funzione possiamo scriverla con la notazione f : A→ B oppure f (x) = y.

f (A) = f (x) | x ∈ A

∀y ∈ B f−1 (y) = x ∈ A | f (x) = yl’unico elemento b associato ad a dalla relazione f viene indicato con f(a) e chiamato immagi-ne di a mediante f , l’elemento a viene invece detto controimmagine di b.

Supponiamo che A,B insiemi finiti così possiamo a scrivere il grafo e la matrice d’incidenza:

MR =

0 1 0 1 01 0 0 0 01 1 0 0 0

ma questa non è una funzione perchè per ogni riga ci deve essere uno e un solo 1 per defini-zione. Ad esempio sarà una funzione la matrice

Mf =

0 1 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 0

f ⊆ Rf funzione

Il grafo d’incidenza da ogni vertice deve uscire una e una sola freccia.Prodotto tra due funzioni: sia A,B,C insiemi, f : A → B, g : B → C il prodotto tra due

funzioni è una funzionef · g ⊆ A× C f · g : A→ C

definita da f ·g = g (f (x)) per ogni a ∈ A. In generale non è commutativo ed è invece associativo.Per dimostrare che, in generale, due funzioni sono uguali (h = k), dobbiamo verificare che

∀x ∈ X h (x) = k (x) cioè l’immagine dell’elemento x è la stessa in entrambe le funzioni.

• Relazione Identica è definita

IA = (x, x) | x ∈ AiA : A→ AiB : B → B

iA · f = f = f · iB

• Relazione inversa: sia f : A → B la relazione inversa è f−1 ⊆ B × A, ma in generale nonè sempre detto che esista.

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6.1 Funzioni iniettive e suriettive

• f iniettiva se∀x1, x2 ∈ A (f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2)

questo significa che ogni elemento b ∈ B deve avere al più una controimmagine in A. Lainiettività si può anche scrivere così:

∀x1, x2 ∈ A (x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2))

Esempio: vediamo se la funzione f è iniettiva

Mf =

1 0 0 00 0 1 01 0 0 0

affinchè sia tale dobbiamo avere al più un 1 su ogni colonna e su ogni riga un solo 1.Nel grafo d’incidenza dobbiamo avere al più una freccia che entra nei vertici (e da ognielemento di A deve uscire uno e un solo arco).NB: prima verifica che la funzione sia effettivamente tale!

• f suriettiva ogni elemento di B deve avere almeno una controimmagine di A ossia

∀y ∈ B ∃x ∈ A f (x) = y f (A) = B

Esempio: la matrice

Mf =

1 0 0 01 0 0 00 1 0 0

essa non è suriettiva perchè la terza e quarta colonna non ha nessuna controimmagine.Ma con questa matrice non riusciremo mai ad avere una funzione suriettiva perchè avrem-mo massimo 3 controimmagini (su 4 necessarie). Per avere la suriettività come minimodobbiamo avere |A| ≥ |B| in altre parole il numero di righe deve essere maggiore o ugualedelle colonne (gli elementi di A devono essere maggiori o uguali di B). Per esempio questaè una funzione suriettiva:

Mf =

1 00 11 0

Per quanto riguarda il grafo di incidenza se ad ogni vertice che rappresenta un elementodi B arriva almeno un arco.

• f è biunivoca (o biiettiva) se f è iniettiva e suriettiva. La matrice d’incidenza avrà su ogniriga e su ogni colonna uno e un solo 1. Il grafo d’incidenza, da ogni vertice di A uscirà unae una sola freccia, in ogni vertice di B entrerà una e una sola freccia.

6.1.1 Proprietà

Sia f : A→ B, g : B → C due funzioni.

1. Se f, g sono iniettive allora f · g è iniettiva anch’essa.

2. Se f, g suriettive ⇒ f · g suriettiva.

3. Idem se fossero biunivoche. In generale non possiamo dire il contrario.

18


4. f · g iniettiva ⇒ f iniettiva.

5. f · g suriettiva⇒ g suriettiva.

6. f · g biunivoca⇒ f iniettiva e g suriettiva.

Dimostrazione. (Punto 1) Siano a1, a2 ∈ A tale che f ·g (a1) = f ·g (a2) la tesi è a1 = a2 ⇒ g (f (a1)) =g (f (a2))⇒ f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2 C.V.D.

6.2 Funzione inversa

Sia g : B → A funzione inversa se si verificano i seguenti fatti: f ·g = iA e g ·f = iB. La relazioneinversa f−1 di una funzione f : A→ B è una funzione se e solo se f è biunivoca.

Una funzione h è definita inversa destra di f se

h : B → A tale che f · h = iA

Una funzione k è inversa sinistra di f se

k : B → A tale che k · f = iB

per verificare se una funzione è inversa destra o sinistra ci sono dei teoremi:

Teorema 1. f ammette inversa destra se e solo se f iniettiva.f ammette inversa sinistra se e solo se f suriettiva.

Dimostrazione. Prima parte.

(⇒) ∃h : B → A tale che f · h = iA. Noi sappiamo che iA è iniettiva e quindi, per laproprietà 4, anche f lo è.

(⇐) “Idea” supponiamo di avere A = a, b, c , B = 1, 2, 3, 4, 5 e abbiamo f : A → Biniettiva

af // 1

b // 2

c // 3

4

5

costruiamo una sua inversa destra ampliando la relazione inversa di f e la chia-meremo h:

a ooh

1

b oo 2

c oo 3

4

YY

5

OO

per gli elementi di b ∈ B che non avevano una controimmagine nella funzione fabbiamo scelto ad arbitrio c ∈ A. Quindi vediamo che h è una funzione ed è inversadestra perchè ∀x ∈ A, f · h (x) = iA (x) = x cioè f · h = iA.

19


Teorema 2. Se f ammette inversa destra e inversa sinistra allora queste coincidono.

Dimostrazione. Ipotesi: ∃k : B → A, k · f = iB e ∃h : B → A, f · h = iA tesi k = h.

k = k · iA = k · (f · h) = (k · f) · h = iB · h = h

Abbiamo usato per la dimostrazione l’associatività del prodotto di funzioni.

Teorema 3. f ammette l’inversa se e solo se f è biunivoca. In tal caso la funzione inversa èunica f−1.

6.3 Funzioni e relazioni di equivalenza

Se ρ è una relazione di equivalenza avevamo visto che X/ρ partizione di X, però non aveva-mo detto che vale anche il viceversa, ossia che ad ogni partizione è associata una relazioned’equivalenza.

Sia f : A → B, l’insiemef−1 (b) |b ∈ B

l’avevamo definito come controimmagine; possiamo

notare inoltre che f−1 (b) = a ∈ A|f (a) = b è una partizione di A, quindi è l’insieme delle classidi equivalenza di una relazione di equivalenza su A che chiamiamo ker f .

Definiamo ker f in questo modo:

∀x, y (x, y) ∈ ker f se e solo se f (x) = f (y)

Sia ρ relazione di equivalenza di A, chiameremo proiezione canonica πρ : A → A/ρ in cui∀x ∈ A, πρ (x) = [x]ρ ossia è la funzione che associa a ogni elemento la sua classe d’equivalenza.

Teorema 4. (1° teorema di fattorizzazione delle applicazioni)f : A → B prendiamo la proiezione canonica riferita a ker f , ossia πker f : A → A/ker f. Esiste

un’unica funzione g : A/ker f → B tale che f = πker f · g, inoltre g è iniettiva.

Af //

πker f

B

A/ker f

g

>>

Dimostrazione. g : A/ker f → B, ∀[x] ∈ A/ker f g ([a]) = f (a), dobbiamo far vedere che è una funzione(per ogni elemento di partenza esiste un’unica immagine ed esiste almeno una). Supponiamoche [a1] = [a2] ossia la stessa classe la scriviamo con due rappresentanti diversi. Calcoliamog ([a1]) siccome le due classi sono uguali significa che (a1, a2) ∈ ker f ma per come è definitaker f sappiamo che f (a1) = f (a2) quindi possiamo concludere che g ([a1]) = g ([a2]) e quindi nondipende dal rappresentante, quindi la funzione è ben posta.

∀a ∈ A πker f · g (a) = g (πker f (a)) = g ([a]) = f (a)

Osserviamo che come conseguenza del teorema di fattorizzazione si ottiene che f (A) è incorrispondenza biunivoca con A/ker f.

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7 Cardinalità

• Se |A| = |B| hanno la stessa cardinalità allora esiste una funzione biunivoca f : A→ B.

• Se |A| ≤ |B| significa che esiste una funzione iniettiva da A a B, ossia esiste una corrispon-denza biunivoca tra A e un sottoinsieme di B.

• Se |A| < |B| allora esiste la funzione iniettiva da A a B ma non esiste nessuna funzionebiunivoca con B.

Teorema 5. Teorema di Cantor: se A insieme, P (A) insieme delle parti di A allora |A| < |P (A)|(ossia non esisterà una funzione biunivoca).

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che |A| ≤ |B| e |A| 6= |B| affinchè sia |A| < |B|.

• h : A→ P (A) ∀x ∈ A, h (x) = x,

∀x, y x 6= y ⇒ x 6= y ⇒ h (x) 6= h (y)

abbiamo dimostrato che è iniettiva.

• Ora dimostriamo che non è biunivoca: supponiamo per assurdo che |A (x)| = |P (A)|, cioè:

∃g : A→ P (A)

funzione biunivoca con l’insieme B definito in questo modo B︸︷︷︸⊆A

=

x ∈ A | x /∈ g (x)︸︷︷︸⊆A

∈P (A), poichè B ∈ P (A), B ammette una controimmagine x ∈ A tale che g (x) = B perchè lafunzione, essendo biunivoca, è anche suriettiva. Si possono presentare due casi:

1. x ∈ g (x)⇒ x ∈ B, ma allora segue, per la definizione dell’insieme B, che x /∈ g (x) il cheè assurdo.

2. x /∈ g (x)⇒ x ∈ B = g (x)⇒ x ∈ g (x) il che è assurdo

Quindi abbiamo dimostrato la tesi per assurdo ossia @g : A→ P (A) biunivoca.

7.1 Definizioni

• Diciamo che l’insieme A è finito ed ha cardinalità n se ha la stessa cardinalità di 1, 2, . . . , n.Diciamo che A è infinito se non è finito, ovvero se non ha cardinalità n per alcun n interopositivo. Una caratterizzazione degli insiemi infiniti è la seguente:

Un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca conun suo sottoinsieme proprio.

• Un insieme infinito ha la potenza del numerabile se ha la stessa cardinalità di N, hala potenza del continuo se ha la stessa cardinalità di R. Ricordiamo che Z e Q sononumerabili.

21


8 Leggi di composizione

Consideriamo n ∈ N insiemi: A1, A2, . . . , An, A insiemi. La funzione ω : A1×A2×. . .×An → A si chia-ma legge di composizione n-aria (o di arità n) di A1, A2, . . . , An a valori in A. ∀ (x1, x2, . . . , xn) ∈A1×A2× . . .×An, abbiamo che a = ω (x1, x2, . . . , xn) è il risultato ed è unico perchè abbiamo dettoche ω è una funzione.

Se A1 = A2 = . . . = An = A ossia se tutti gli insiemi sono uguali, ω : A×A× . . .×A︸︷︷︸n volte

→ A si

chiama legge di composizione n-aria interna su A oppure più semplicemente operazione.

• Se n = 2 operazione binaria.

• Se n = 1 operazione unaria.

Esempi:

• Sia ω : Z → Z, ∀x ∈ Z, ω (x) = −x che ω2 : Z × Z → Z, ω (x, y) = x + y sono delle leggi dicomposizione interna. Se sostituissi Z con N la prima operazione non sarebbe più unalegge di composizione interna perchè potrei uscire dall’insieme N.

• Consideriamo l’insieme A = a, b, c, abbiamo la legge di composizione binaria ∗ : A×A→ A.∗ (a, b) = c, ora utiliziamo la notazione infissa che siamo soliti usare: a∗b = c. La nostra legge

di composizione è definita in questo modo:a ∗ a = a b ∗ a = a c ∗ a = ba ∗ b = c b ∗ b = b c ∗ b = aa ∗ c = a b ∗ c = c c ∗ c = a

, ma possiamo

usare la tavola di composizione scritta in questo modo

* a b ca a c ab a b cc b a a

Tabella 3: Tavola di composizione

8.1 Proprietà delle operazioni binarie su un insieme A

∗ : A×A→ A,

• ∗ è commutativa: ∀x, y ∈ A x ∗ y = y ∗ x, dalla tavola di composizione 3 guardiamo se èsimmetrica per verificare che sia commutativa.

• ∗ associativa: ∀x, y, z ∈ A x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z = x ∗ y ∗ z. Se n ∈ N definisco la potenzan-esima in questo modo: xn = x ∗ x ∗ . . . ∗ x︸︷︷︸

n volte

. Se m,n ∈ N allora:

1. xn ∗ xm = xn+m

2. (xn)m

= xn·m

22


8.1.1 Esistenza dell’elemento neutro (o identità) in A rispetto a ∗

∃e ∈ A ∀x ∈ A x ∗ e = x = e ∗ x

significa che dà sempre lo stesso numero se moltiplicato a destra o a sinistra. Se invece valesolo quando è a destra si dice elemento neutro a destra, il viceversa si chiama elemento neutroa sinistra. Se invece esistono entrambi allora devono essere uguali.

Se siamo certi dell’esistenza dell’elemento neutro possiamo definire l’esponente uguale a0: ∀x ∈ A x0 = e. Se esiste l’elemento neutro possiamo verificare nella tavola di composizionese c’è una riga o una colonna che si ripetono uguali in corrispondenza dello stesso elemento.Nella tabella 3 possiamo vedere che esiste l’elemento neutro a sinistra (2^ riga uguale aglielementi dell’operazione).

8.1.2 Esistenza di uno zero in A rispetto a ∗

∃z ∈ A ∀x ∈ A z ∗ x = z = x ∗ z

se vale la prima uguaglianza abbiamo uno zero a sinistra, se abbiamo solo la seconda ugua-glianza abbiamo uno zero a destra. Se invece li abbiamo entrambi allora sono uguali. Dallatavola di composizione vediamo se abbiamo una riga o colonna che si ripete sempre lo stes-so elemento, se è una riga allora abbiamo uno zero a sinistra se era una colonna a ripetersiabbiamo uno zero a destra.

8.1.3 Esistenza dell’elemento inverso rispetto a ∗ di un elemento x ∈ A

Si dice che x è invertibile se∃x ∈ A x ∗ x = e = x ∗ x

questo vale solo se l’elemento è invertibile ∀n ∈ Z\ (N ∪ 0) possiamo definire xn = x ∗ x ∗ . . . ∗ x−n volte. Se si ha solo x∗x = e, x si dice elemento inverso a sinistra, se invece si ha solo x∗x = e,x si dice elemento inverso a destra. Se esiste inverso destro e inverso sinistro e la funzione èassociativa allora le inverse coincidono.

9 Struttura algebrica

Una struttura algebrica è una coppia ordinata di elementi, la indicheremo con (A,Ω) oppure <A,Ω >, A è un insieme e viene chiamato sostegno della struttura algebrica; Ω è un insiemedi leggi di composizioni interne. Potrei avere una o due leggi di composizione o operazioni, main generale Ω contiene un numero finito di leggi di composizione.

La struttura algebrica è finita se il sostegno della struttura algebrica è di cardinalità finita.

9.1 Definizioni

9.1.1 Semigruppo

Il semigruppo è una struttura algebrica (A, ·) in cui l’operazione · è binaria ed associativa ossia

∀a, b, c ∈ A a · (b · c) = (a · b) · c

Esempi di semigruppo:

• Insieme delle matrici M (n× n,N) semigruppo rispetto a ·, ossia la moltiplicazione fra ma-trici.

23


• Semigruppo libero: Σ alfabeto(

ins. finitonon vuoto

), indichiamo w parola su Σ, e indichiamo con

Σ+ → insieme di tutte le parole su Σ. Concatenazione è definita

w1, w2 ∈ Σ+ w1 · w2 = w1w2

Per esempio se abbiamo Σ = a, b, c, w1 = abbca, w2 = bc, w1 ·w2 = abbcabc. (Σ+, ·) semigruppolibero.

9.1.2 Monoide

Una struttura algebrica (A, ·) si chiama monoide se è un semigruppo che ammette elementoneutro rispetto all’operazione binaria ·, significa quindi che

∃e ∈ A ∀a ∈ A (a · e = e · a = a)

ricordati che devi verificare anche la proprietà associativa (affinchè sia un semigruppo).Esempi:

• L’insieme delle matrici M (n× n,Z) oppure Q o R, l’elemento neutro è[1 00 1

]la matrice

identità.

• Σ alfabeto ε 6∈ Σ con ε parola vuota. Σ∗ = Σ+∪ε non cambia la parola, quindi è l’elementoneutro. Quindi (Σ∗, ·) si chiama monoide libero.

9.1.3 Gruppo

Il gruppo è un monoide (A, ·) in cui ogni elemento ammette inverso rispetto a ·. Ossia è uninsieme A con una legge di composizione binaria · associativa cha ammette elemento neutro einverso.

Esempi:

• Insieme delle matrici A ∈M (n× n,R) tali che detA 6= 0.

• f : A→ A biunivoche.

Si definisce abeliano se soddisfa la proprietà commutativa ossia

∀a, b ∈ A a+ b = b+ a

Proposizione. Esistono altre definizioni di gruppo, sia (A, ·) struttura algebrica tale che · èassociativa. Sono equivalenti:

1. (A, ·) gruppo.

2.∃e ∈ A ∀a ∈ A e · a = a∀a ∈ A ∃b ∈ A b · a = e

oppure∃e ∈ A ∀a ∈ A a · e = a∀a ∈ A ∃b ∈ A a · b = e

.

3. ∀a, b ∈ Aa · x = bx · a = b

ammettono ciascuna una ed una sola soluzione.

24


9.1.4 Notazioni

A volte si usa per la legge di composizione la notazione additiva a+ b, in tal caso l’elementoneutro è chiamato 0, l’inverso di a è chiamato opposto di a ed indicato col simbolo −a e lapotenza n-esima di a è indicata con na (na = a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸

n-volte

).

Con la notazione moltiplicativa l’elemento inverso viene indicato con a−1 e l’elementoneutro invece lo indicheremo con 1. La potenza n-esima nella notazione moltiplicativa vienedefinito come an = a · a · . . . · a︸︷︷︸

n-volte

.

9.1.5 Struttura algebrica ad anello

Passiamo ora alle strutture algebriche con due leggi di composizione binarie.Anello: (A,+, ·) se soddisfa le seguenti proprietà:

1. (A,+) è un gruppo abeliano detto gruppo additivo dell’anello.

2. (A, ·) semigruppo si chiama semigruppo moltiplicativo dell’anello, dobbiamo verificareche vale la proprietà associativa.

3. Devono valere le proprietà distributive di · rispetto a +:

∀a, b, c ∈ A a · (b+ c) = a · b+ a · c(a+ b) · c = a · c+ b · c

Se vale la proprietà commutativa anche per il prodotto (per l’addizione deve valere per forza)si chiama anello commutativo. Anello unitario se il semigruppo della moltiplicazione è unmonoide.

Esempi:

• Insieme delle matrici (M (n× n,Z) ,+, ·) anello.

• (Z,+, ·) anello commutativo unitario.

Proposizione. In un anello (A,+, ·) si ha:

1. ∀a ∈ A a · 0 = 0 · a = 0.

2. ∀a, b ∈ A a · (−b) = (−a) · b = − (a · b)

Dimostrazione. Siano a, b ∈ A

1.a · b = a · (b+ 0) = a · b+ a · 0

a · b = (a · b) + 0⇒ a · b + 0 = a · b + a · 0 aggiungiamo l’opposto ad entrambi i

membri, quindi avremo

=0︷︸︸︷− (a · b) + a · b+0 =

=0︷︸︸︷− (a · b) + a · b+a · 0

0 + 0 = 0 + a · 00 = a · 0

analogamente0 · a = 0

ed effettivamente, in base alla definizione di zero (∀a ∈ A z·a = a·z = z) abbiamo verificatoche è uno zero.

25


2. Dimostriamo il secondo punto

0 = a · 0 = a · (b+ (−b)) = a · b+ a · (−b)⇒ − (a · b) = a · (−b)

e quindi analogamente si dimostra che

− (a · b) = (−a) · b

9.1.6 Anello privo di divisori dello zero

Sia (A,+, ·) anello si definisce privo di divisori dello zero se non esistono a, b ∈ A tale chea 6= 0, b 6= 0 e a · b = 0.

In un anello (A,+, ·) valgono le leggi di cancellazione se:

∀a, b, c ∈ A, a 6= 0 (a · b = a · c⇒ b = c)

Proposizione. (A,+, ·) è un anello privo di divisori dello zero se e solo se in esso valgono leleggi di cancellazione.

Dimostrazione. Dimostriamo (⇒) siano a, b, c ∈ A, a 6= 0 tale che a · b = a · c tesi b = c.

a · b+ (−a · c) = a · c+ (−a · c)︸︷︷︸=0

a · b+ (−a · c) = 0

a · (b+ (−c)) = 0 ⇒︸︷︷︸a6=0

b+ (−c) = 0⇒ b = c

Ora dimostriamo (⇐). Siano a, b ∈ A tali che a · b = 0. Supponiamo che a 6= 0, la mia tesi è cheb = 0. Siccome valgono le leggi di cancellazione possiamo scrivere

a · b = a · 0⇒ b = 0

9.1.7 Corpo

Un corpo è un anello in cui tutti gli elementi diversi da 0 formano un gruppo rispetto a ·.Sia (A,+, ·) anello. Se (A\ 0 , ·) è un gruppo allora (A,+, ·) è un corpo.Un corpo in cui · gode della proprietà commutativa di dice campo. In altre parole se

(A\ 0 , ·) gruppo abeliano allora (A,+, ·) è campo.

Teorema. Ogni corpo finito è un campo.

• Corpo dei quaternioni: vedi dispense.

9.1.8 Reticolo

Si dice reticolo un insieme A con due operazioni binarie ∧ e ∨, dette rispettivamente inter-sezione ed unione che godono entrambe delle proprietà commutativa ed associativa e per lequali valgano le leggi di assorbimento, ossia:

∀a, b ∈ A a ∧ (a ∨ b) = a, a ∨ (a ∧ b) = a

26


9.1.9 Sottostrutture

• Sia (A,Ω) struttura algebrica. Dato un insieme non vuoto H ⊆ A, H si definisce sotto-struttura se (H,Ω) struttura algebrica dello stesso tipo di (A,Ω).

• (A, ·) semigruppo, (H, ·) è sottosemigruppo per verificare devo dimostrare che

∀x, y ∈ H x · y ∈ H

• (H, ·) è sottomonoide se

∀x, y ∈ H x · y ∈ He ∈ H

• (A, ·) gruppo, H ⊆ A, e elemento neutro (H, ·) sottogruppo se

1. ∀x, y ∈ H x · y ∈ H;

2. e ∈ H;

3. ∀x ∈ H x−1 ∈ H.

• (A,+, ·) anello, H ⊆ A, 0, (H,+, ·) sottoanello se

1. ∀x, y ∈ H x+ y ∈ H;

2. 0 ∈ H;

3. ∀x ∈ H − x ∈ H;

4. ∀x, y ∈ H x · y ∈ H mi garantisce che (H, ·) è un sottogruppo. Le prime tre invece che(H,+) è un gruppo abeliano.

9.2 Criteri

9.2.1 Criterio di caratterizzazione di sottogruppi

Sia (A, ·) gruppo, H ⊆ A, diciamo che H è un sottogruppo di A se e solo se

∀x, y ∈ H x · y ∈ H e x−1 ∈ H

C’è una versione ancora più compatta: H è un sottogruppo di A se e solo se

∀x, y ∈ H x · y−1 ∈ H

9.2.2 Criterio di caratterizzazione dei sottoanelli

(A,+, ·) anello, H ⊆ A, H sottoanello di A se e solo se

∀x, y ∈ H x− y ∈ H e x · y ∈ H

27


9.3 Relazioni di congruenza con le operazioni

A insieme, ω operazione su A di arità n. Sia ρ ⊆ A × A, ρ relazione d’equivalenza su A. Larelazione ρ è compatibile con ω se e solo se

∀a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn ∈ A((a1, b1) ∈ ρ, (a2, b2) ∈ ρ, . . . , (an, bn) ∈ ρ⇒ (ω (a1, a2, . . . , an) , ω (b1, b2, . . . , bn)) ∈ ρ)

Esempio: (A, ·) struttura algebrica con · operazione binaria, ρ relazione d’equivalenza su A:ρ è compatibile con · se e solo se

∀a1, b1, a2, b2 ∈ A ((a1, b1) ∈ ρ, (a2, b2) ∈ ρ⇒ (a1 · a2, b1 · b2) ∈ ρ)

stavolta abbiamo usato la notazione infissa.Data una struttura algebrica (A,Ω), ρ è una relazione di congruenza su A se e solo se ρ è

compatibile con tutte le operazioni di Ω.Esempio: (Z,+, ·) anello commutativo unitario (è commutativo ed esiste l’elemento neutro).

La relazione di congruenza modulo 3 viene definita in questo modo:

∀x, y ∈ Z (x ≡ y (mod 3) sse 3|x− y)

oppure∀x, y ∈ Z x ≡ y (mod 3) sse ∃k ∈ Z x− y = 3 · k

siano n,m, z, s ∈ Z tale che n ≡ m (mod 3), r ≡ s (mod 3); allora esistono h, k ∈ Z tale che

n−m = 3k

r − s = 3h (1)

tesi per dimostrare che è effettivamente una relazione di congruenza:

n+ r ≡ m+ s (mod 3)

n · r ≡ m · s (mod 3)

se sommiamo membro a membro la (1) otteniamo

n−m+ r − s = 3k + 3h⇒ (n+ r)− (m+ s) = 3

k + h︸︷︷︸∈Z

⇒ n+ r ≡ m+ s (mod 3)

cioè abbiamo verificato che(n+ r,m+ s) ∈ ρ

Ora verifichiamo che è anche una congruenza rispetto al prodotto (non lo scrivo, ma il procedi-mento è identico).

9.3.1 Operazione indotta

A insieme, ω operazione di arità n su A, ρ relazione d’equivalenza su A compatibile con ω. ω′ èun’operazione indotta da ω su A se

ω′ : A/ρ× A/ρ× · · · × A/ρ︸︷︷︸n-volte

→ A/ρ

∀a1, a2, . . . , an ∈ A ω′(

[a1]ρ , [a2]ρ , . . . , [an]ρ

)= [ω (a1, a2, . . . , an)]ρ

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Esempio: sia A insieme, ∗ operazione binaria, ρ relazione d’equivalenza su A compatibile con∗. ∗′ è un operazione indotta

∗′ : A/ρ× A/ρ→ A/ρ

∀a1, a2 ∈ A [a1]ρ ∗′ [a2]ρ = [a1 ∗ a2]ρ

insomma abbiamo il rappresentante del prodotto e non dipende dalla scelta del rappresentan-te.

La definizione di ω′ è ben posta, ossia ω′(

[a1]ρ , [a2]ρ , . . . , [an]ρ

)non dipende dai rappresentanti

scelti per le ρ-classi [a1]ρ , [a2]ρ , . . . , [an]ρ.

9.3.2 Struttura quoziente

Sia (A,Ω) struttura algebrica, ρ relazione di congruenza su A. Si definisce struttura quozien-te: (A/ρ,Ω′) avente come sostegno l’insieme quoziente di A rispetto a ρ e come insieme dioperazioni Ω′ l’insieme delle operazioni indotte dalle operazioni di Ω.

Esempio: (Z,+, ·) anello commutativo unitario, ≡ relazione di congruenza di modulo n ∈ N.Otteniamo la struttura quoziente

(Zn, +, ·

)se poniamo

∀x, y ∈ Z→ [x]n + [y]n = [x+ y]n

e[x]n · [y]n = [x · y]n

(è un anello commutativo unitario). In questo caso abbiamo posto sopra le operazioni il cap-pello per indicare che sono operazioni su classi, ma d’ora in poi non useremo questa notazioneper non appesantire troppo la trattazione.

9.3.3 Aritmetica modulare

Sia a, b, c ∈ Z

[a]n ·X + [b]n = [c]n

X è una classe che ∈ Z. Sapendo che esiste l’opposto di ogni classe:

[a]n ·X +[b]n −

[b]n = [c]n − [b]n[a]n ·X = [c− b]n

[a]n è invertibile (e quindi ammette una ed una solo soluzione) se e solo se MCD (a, n) = 1.

9.4 Strutture simili e omomorfismi

(A1,Ω1) , (A2,Ω2) sono strutture algebriche simili se esiste una funzione biunivoca τ : Ω1 → Ω2

tale che ω1 e τ (ω1) hanno la stessa arità per ogni ω1 ∈ Ω1

(Z,+, ·)→(Z, +, ·

)Definizione: (A1,Ω1) , (A2,Ω2) struttura algebrica simile, f : A1 → A2 f è un omomorfismo

di (A1,Ω1) in (A2,Ω2) se e solo se per ogni ω1 ∈ Ω1 di arità n, ω2 = τ (ω1)

∀a1, a2, . . . , an ∈ A1 f (ω1 (a1, a2, . . . , an)) = ω2 (f (a1) , f (a2, ) , . . . , f (an))

Nelle operazioni binarie abbiamo che (A1, ∗) , (A2, ) sono strutture algebriche simili e f : A1 →A2 omomorfismo se e solo se

∀a1, a2 ∈ A1 f (a1 ∗ a2) = f (a1) f (a2)

29


9.4.1 Definizioni

• Monomorfismo: omomorfismo iniettivo.

• Epimorfismo: omomorfismo suriettivo.

• Isomorfismo: omomorfismo biettivo.

Esempio: (M (n× n,R) , ·) , (R, ·) f : M (n× n,R)→ R epimorfismo.

9.4.2 Proposizioni

• Sia (A1,Ω1) , (A2,Ω2) , (A3,Ω3) struttura algebrica.

f : A1 → A2 omomorfismo

g : A2 → A3 omomorfismo

f · g : A1 → A3 omomorfismo

• Se f isomorfismo di (A1,Ω1) in (A2,Ω2) allora f−1 è isomorfismo di (A2,Ω2) in (A1,Ω1).

• Siano (A1, ·, e1), (A2, ∗, e2) gruppi, e1, e2 elementi neutri e f omomorfismo di (A1, ·) in (A2, ∗):

1. f (e1) = e2;

2. ∀x ∈ A1 f(x−1

)= (f (x))

−1.

Dimostrazione.

1. Sia x ∈ A, e2 ∗ f (x) = f (x) = f (e1 · x) = f (e1) ∗ f (x)⇒ e2 = f (e1)

2. Sia x ∈ A1.

e2 = f (x) ∗ (f (x))

−1=

= f (e1) = f(x · x−1

)=f (x) ∗ f

(x−1

)quindi avremo che

(f (x))−1

= f(x−1

)

• Sia f omomorfismo di (A1,Ω1) in (A2,Ω2), ker f = (x, y) ∈ A1 ×A1|f (x) = f (y) è una relazio-ne di congruenza di (A1,Ω1).

Dimostrazione. Per dimostrare utilizziamo una definizione meno generale: siano (A1, ∗) , (A2, )strutture algebriche simili, f omomorfismo di (A1, ∗) in (A2, ) ker f relazione di congruenza.

Siano (a1, b1) , (a2, b2) ∈ ker f la nostra tesi è:

(a1 ∗ a2, b1 ∗ b2) ∈ ker f

Ora dimostriamo

f (a1 ∗ a2) = f (a1) f (a2) = f (b1) f (b2)

= f (b1 ∗ b2) ⇒ (a1 ∗ a2, b1 ∗ b2) ∈ ker f

• Sia ρ relazione di congruenza di (A,Ω), la struttura (A,Ω) e una sua struttura quoziente(A/ρ,Ω′) sono sempre simili. La proiezione canonica πρ : A1 → A1/ρ è un epimorfismo di(A,Ω) su (A/ρ,Ω′) cioè è un omomorfismo suriettivo, inoltre si ha che kerπρ = ρ.

30


9.4.3 I° teorema di fattorizzazione degli omorfismi

Siano (A1,Ω1) , (A2,Ω2) strutture algebriche simili, f omomorfismo di (A1,Ω1) in (A2,Ω2), ρ = ker f ,πρ proiezione canonica, allora esiste un unico omomorfismo g di (A1/ρ,Ω′1) in (A2,Ω2) tale chef = πρ · g.

(A1,Ω1)f //

πρ

(A2,Ω2)

(A1/ρ,Ω′1)

g

99

f = πρ · g

inoltre

1. g è monomorfismo.

2. f è un epimorfismo se e solo se g è un isomorfismo.

10 Complementi sulle strutture algebriche

10.1 Sottogruppo normale

• (A, ·) gruppo, H è un sottogruppo di A, H è sottogruppo normale di A se e solo se:

∀a ∈ A,∀h ∈ H a−1 · h · a ∈ H

a−1 · h · a si chiama coniugato di h mediante a;

a−1 ·H · a =a−1 · h · a|h ∈ H

a−1 ·H · a si chiama coniugato del sottogruppo H.

• Se il gruppo di partenza è abeliano i suoi sottogruppi sono normali:

a−1 · h · a = a−1 · a︸︷︷︸e

·h = h ∈ H

• Sia (A, ·) gruppo, ρ relazione di congruenza di A, e elemento neutro. La classe [e]ρ dell’e-lemento neutro è sottogruppo normale di (A, ·). Nella dimostrazione in classe abbiamodimostrato che: ∀h ∈ [e]ρ h−1 ∈ [e]ρ e anche ∀h, k ∈ [e]ρ h · k ∈ [e]ρ.

• Sia (A, ·) gruppo, H sottogruppo di A, a ∈ A un elemento. Chiamiamo laterale sinistro diH in (A, ·), avente come rappresentante a l’insieme

a ·H = a · h|h ∈ H

Analogamente definiamo laterale destro di H in (A, ·) avente rappresentante a:

H · a = h · a|h ∈ H

se H è normale allora H · a = a ·H e viceversa, i laterali coincidono.

• (A, ·) gruppo, ρ relazione di congruenza su A. Allora le classi di congruenza rispetto a ρsono laterali del sottogruppo [e]ρ.

∀a, b ∈ A b ∈ [a]ρ sse ∃h ∈ [e]ρ tale che b = h · a

31


• Proposizione: (A, ·) gruppo, e elemento neutro,H sottogruppo di A, sia ρH ⊆ A × A unarelazione binaria definita in questo modo

∀a, b ∈ A(aρHb sse a · b−1 ∈ H

)allora ρH è una relazione di equivalenza tale che

1. [e]ρH è il sottogruppo H.

2. La ρ-classe di un generico a ∈ A è un laterale destro diH, avente come rappresentantel’elemento a.

3. Tutte le ρ-classi hanno la stessa cardinalità di H.

10.2 Omomorfismi

Siano (A1, ·) , (A2, ∗) gruppi, f è un omomorfismo di (A1, ·) in (A2, ∗). e1 elemento neutro di (A1, ·)e e2 elemento neutro di (A2, ∗).

Consideriamo la controimmagine (non c’entra l’inversa) f−1 (e2) = x ∈ A1|f (x) = e2 = : Nf .Avevamo già visto che e1 ∈ Nf , perchè f (e1) = e2 (vedi §9.4.2). Ricordiamo inoltre che

ker f = (x, y) ∈ A1 ×A1|f (x) = f (y)

possiamo allora dire che l’insieme Nf = [e1]ker. Inoltre notiamo che Nf = [e1]ker è un sottogrupponormale e viene chiamato nucleo dell’omomorfismo f .

Teorema. (Teorema di omorfismo per gruppi)Siano (A1, ·) gruppo e (A2, ∗) struttura algebrica, sia f un omomorfismo di (A1, ·) nella seconda

struttura algebrica (A2, ∗), chiamiamo T : = f (A1) ⊆ A2. Abbiamo che:

1. (T, ∗) è un gruppo;

2. Nf è un sottogruppo normale di (A1, ·);

3. (A1/Nf , ·) isomorfo a (T, ∗). Inoltre (T, ∗) è un immagine epimorfa di (A1, ·). Con la notazione(A1/Nf , ·) intendiamo

∀a, b ∈ A1 (a, b) ∈ fH sse a · b−1 ∈ Hcon H sottogruppo. Se H è un sottogruppo normale abbiamo che A1/ρH = A/H. In conclu-sione studiare (T, ∗) oppure (A1/Nf , ·) è la stessa cosa.

10.2.1 Esempio

(Z,+) è un gruppo abeliano, quindi se voglio studiare tutte le immagini per epimorfismo bastaguardare tutti i sottogruppi normali del gruppo (Z,+). Siccome è un gruppo ed è abeliano tuttii sottogruppi devono esse normali perchè, come avevamo già detto a−1ha ∈ H.

• I sottogruppi banali sono: (Z,+),(0 ,+).

• I sottogruppi non banali si scrivono tutti in questo modo:

Hn = n · h|h ∈ Z n ∈ N, n > 1

Ora scriviamo tutti i quozienti dei sottogruppi normali.

•(Z/Hn, +

)isomorfo a

(Zn, +

);

• Se abbiamo invece(Z/Z, +

)è isomorfo a (0 ,+);

• (Z/0,+′) isomorfo a (Zn,+).

32


10.2.2 Sottoanello ideale

Consideriamo l’anello (A,+, ·) anello, I sottoanello di (A,+, ·). I è un sottoanello ideale se esolo se

∀a ∈ A,∀b ∈ I a · b ∈ Ib · a ∈ I

se in una prova d’esame ci viene chiesto di dimostrare che è un sottoanello ideale dobbiamomostrare prima che è un sottoanello, poi che è ideale. Per verificare che è un sottoanellodobbiamo controllare che

1. ∀a, b ∈ I a− b ∈ I

2. ∀a, b ∈ I a · b ∈ I oppure verificare che ∀a ∈ A,∀b ∈ I a · b ∈ Ib · a ∈ I con questo ultimo requisito

verifichiamo direttamente che è un sottoanello ideale.

Se ρ è una congruenza di (A,+, ·) allora [0]ρ è un ideale I di (A,+, ·), la generica ρ-classedell’elemento a ∈ A è del tipo

I + a = i+ a|i ∈ I

questo si chiama laterale dell’ideale I avente rappresentante a. (I,+) è un sottogrupponormale di (A,+).

Se I ideale di (a,+, ·) possiamo scrivere questa relazione

∀a, b ∈ A (a, b) ∈ ρI sse a− b ∈ I

si dimostra che ρI è una relazione di congruenza tale che I è la classe dello zero e le classi dicongruenza di tutti gli altri elementi sono laterali dell’ideale I.

Se∀a, b ∈ A (I + a) + (I + b) = I + (a+ b)

possiamo anche definire il prodotto delle classi

∀a, b ∈ A (I + a) · (I + b) = I + (a · b)

quindi abbiamo un insieme quoziente, possiamo definire una struttura quoziente. La strutturaquoziente la indicavamo in questo modo

(A/ρI , +, ·

)ma per alleggerire la notazione scrivere-

mo in modo analogo(A/I, +, ·

). Anche nel caso degli anelli ideali possiamo ottenere tutte le

immagini per epimorfismo dell’anello di partenza (credo che abbia detto questo).

10.2.3 Somma diretta di strutture algebriche

(A1,Ω1) , (A2,Ω2) strutture algebriche simili. Chiamiamo somma diretta delle due strutturela struttura (A1 ×A2,Ω). Per ogni ω1 ∈ Ω di arità n, posto ω2 = τ (ω1) ∈ Ω2, definiamo ω ∈ Ω nelseguente modo:

∀a11, a12, . . . , an ∈ A1

∀a21, a22, . . . , a2n ∈ A2ω ((a11, a21) , (a12, a22) , . . . , (a1n, a2n)) = (ω1 (a11, a12, . . . , a1n) , ω1 (a21, a22, . . . , a2n))

(A1,+, ·)

τ))

(A2,+′, ·′)

33

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