algebra liniowa i geometria

WYK LADY ALGEBRY LINIOWEJ Z GEOMETRIA

Pawe l G. Walczak

Wydzia l Matematyki, Uniwersytet Lodzki

Wstep

Niniejszy tekst zawiera notatki autora do wyk ladu przedmiotu Algebra liniowaz geometria dla studentw pierwszego roku keirunku ”matematyka” w Uniwersyte-cie Lodzkim. Notatki maja charakter nieformalny, sa dalekie od doskona losci, niepokrywaja w ca losci materia lu prezentowanego w sali wyk ladowej. Moga wiec bycpomocne w nauce pod warunkiem krytyczznego ich czytania, porownywania z no-tatkami w lasnymi i ksiazkami polecanymi przez wyk ladowce na poczatku roku aka-demickiego. Wszelkie uwagi krytyczne pochodzace od S luchaczy sa mile widziane imoga pos luzyc ulepszeniu ponizszych notatek. Autor zyczy wszystkim S luchaczomwyk ladu przyjemnosci ze studiowania matematyki i powodzenia na egzaminach.

Typeset by AMS-TEX

1

2 PAWE L G. WALCZAK

Rozdzia l 1. Struktury algebraiczne

1. Dzia lania. Dla dowolnego zbioru A dzia laniem wewnetrznym w A nazywamydowolna funkcje · : A × A → A. Dzia lanie takie nazywamy lacznym, gdy dladowolnych elementow a, b, c ∈ A zachodzi rownosc

(1) a · (b · c) = (a · b) · c.

Dzia lanie to nazywamy przemiennym, gdy dla dowolnych a, b ∈ A spe lniony jestwarunek

(2) a · b = b · a.

Element e zbioru A nazywamy lewostronnie (odpowiednio, prawostronnie) neutral-nym, jezeli dla dowolnego a ∈ A zachodzi rownosc

(3) e · a = a (odpowiednio, a · e = e).

Element e nazywamy neutralnym, gdy jest jednoczesnie lewostronnie i prawostron-nie neutralnym.

Jezeli dzia lanie posiada element neutralny, a, b ∈ A i spe lniony jest warunek

(4) a · b = e (odpowiednio, b · a = e),

to b nazywamy elementem prawostronnie (odpowiednio, lewostronnie) odwrotnymdo a. Element jednoczesnie prawo- i lewostronnie odwrotny nazywamy po prostuodwrotnym lub (zw laszcza przy addytywnym (+) oznaczeniu dzia lania) przeciwnym.

Twierdzenie 1. Dla dowolnego dzia lania w A istnieje w A co najwyzej jeden el-ement neutralny. Jezeli dzia lanie jest laczne i element neutralny istnieje, to kazdyelement a ∈ A posiada co najwyzej jeden element odwrotny.

Dowod. Przypuscmy, ze e1 i e2 sa dwoma elementami neutralnymi. Z warunku (3)wynika od razu, ze

e1 = e1 · e2 = e2.

(Pierwsza rownosc wynika z lewostroonej neutralnosci e1, druga - z prawostronnejneutralnosci e2.) Podobnie, jezeli b1 i b2 sa odwrotne do a, to

b1 = b1 · e = b1 · (a · b2) = (b1 · a) · b2 = e · b2 = b2. �

Element odwrotny do a oznacza sie zwykle przez a−1 w przypadku symbo-liki multiplikatywnej (·) lub przez −a w przypadku symboliki addytywnej (+).Powyzsze twierdzenie uzasadnia poprawnosc takiego oznaczenia dla dzia lania lacznego.

Przyk lady. Dodawanie i mnozenie sa przemiennymi i lacznymi dzia laniami we-wnetrznymi w zbiorach liczb rzeczywistych R, liczb wymiernych Q, liczb ca lkowitychZ i liczb naturalnych N. Ponadto dzia lania te sa wykonalne w zbiorach liczb postaci

Typeset by AMS-TEX

WYK LADY ALGEBRY LINIOWEJ Z GEOMETRIA 3

a + b√p, gdzie a i b sa dowolnymi liczbami ca lkowitymi, a p - ustalona liczba

naturalna. Oczywiscie, liczba 0 jest elementem neutralnym dodawania, a liczba1 elementem neutralnym mnozenia. Liczba −a jest elementem przeciwnym do awzgledem dodawania, a liczba 1

a (a 6= 0) elementem odwrotnym do a wzgledemmnozenia.

Dla dowolnej liczby naturalnej q > 1 mozna okreslic w zbiorze Zq = {0, 1, . . . , q −1} dzia lania dodawania i mnozenia modulo q (oznaczone tak jak zwyk le dodawaniei mnozenie, ale istotnie od nich rozne) w nastepujacy sposob:

a + b = reszta z dzielenia sumy a + b przez q,

a · b = reszta z dzielenia iloczynu ab przez q.

Dzia lania te sa przemienne i laczne, a 0 i 1 sa ich elementami neutralnymi.W zbiorze Rn = R × . . .R (n = 2, 3, . . . ) n- elementowych ciagow liczb rzeczy-

wistych mozna okreslic dodawanie + wzorem

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Jest ono laczne i przemienne, a ciag 0 = (0, . . .0) jest jego elementem neutralnym.Ciag liczb przeciwnych (−x1, . . . ,−xn) jest elementem przeciwnym do (x1, . . . , xn).

Dla n = 2 elementy zbioru C = R2 nazywamy liczbami zespolonymi. W zbiorzeC mozna okreslic mnozenie · wzorem

(5) (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).

Tak okreslone dzia lanie jest przemienne i laczne (sprawdzic !). Przy utozsamieniuliczb rzeczywistych x z parami postaci (x, 0) liczba 1 = (1, 0) okazuje sie byc ele-mentem neutralnym mnozenia podobnie jak 0 = (0, 0) jest elementem neutralnymdodawania liczb zespolonych. Liczba zespolona i = (0, 1) nazywana jest jednostkaurojona i spe lnia warunek i2 = i · i = −1. Przy takim oznaczeniu kazda liczbezespolona z = (x, y) mozna zapisac w postaci sumy z = x + yi. W takiej sytuacjix jest czescia rzeczywista, a y - czescia urojona liczby zespolonej z. Liczbe rzeczy-wista |z| =

√

x2 + y2 nazywa sie modu lem liczby z. Dla dowolnego z = x+yi liczbez = x− yi nazywamy sprzezona do z. Oczywiscie, z = z, |z| = |z| oraz z · z = |z|2dla dowolnego z. Wynika stad, ze jesli z 6= 0, to liczba

z

|z|2 =

(

x

x2 + y2,− y

x2 + y2

)

jest elementem odwrotnym do z wzgledem mnozenia.Dla dowolnego zbioru A sk ladanie przekszta lcen ◦ jest lacznym ale na ogo l

nieprzemiennym dzia laniem wewnetrznym w zbiorze wszystkich funkcji f : A →A. Poniewaz z lozenie funkcji roznowartosciowych jest funkcja roznowartosciowa,a zlozenie funkcji przekszta lcajacych A na A przekszta lca A na A, to dzia lanieto jest wykonalne w zbiorze SA wszystkich bijekcji zbioru A. Przekszta lcenietozsamosciowe idA (idA(x) = x dla kazdego x ∈ A) jest elementem neutralnym tegodzia lania. Funkcja odwrotna f−1 jest elementem odwrotnym do bijekcji f . Czytel-nik bez trudu znajdzie przyk lady przekszta lcen posiadajacych elementy lewo- lubprawostronnie odwrotne, a nie posiadajacych elementu odwrotnego.

4 PAWE L G. WALCZAK

W przypadku zbioru wyposazonego w dwa dzia lania, powiedzmy + i ·, moznabadac zwiazki miedzy nimi. Na przyk lad, dzia lanie · nazywamy rozdzielnym wzgle-dem dzia lania +, gdy dla dowolnych argumentow a, b i c spe lniony jest warunek

(6) (a + b) · c = a · c + b · c.

Mnozenie liczb (rzeczywistych, ca lkowitych, zespolonych itp.) jest rozdzielne wzgle-dem ich dodawania. Podobnie, mnozenie modulo q jest rozdzielne wzgledem do-dawania modulo q dla dowolnego q.

Dla dowolnych dwu zbiorow P i A przekszta lcenie iloczynu kartezjanskiego P×Aw A nazywa sie it dzia laniem zewnetrznym w A. Przyk ladem takiego dzia lania mozebyc przekszta lcenie · : R× Rn → Rn dane wzorem

a · (x1, . . . , xn) = (ax1, . . . , axn).

2. Przeglad struktur algebraicznych. Przez strukture algebraiczna rozumiemyuk lad z lozony ze zbioru A i skonczonego zbioru dzia lan (wewnetrznych lub zewnetrznych)w A. Omowimy tu siedem podstawowych struktur algebraicznych.

Zbior wyposazony w jedno dzia lanie laczne nazywamy po lgrupa.Po lgrupe nazywamy grupa jezeli posiada element neutralny, a kazdy jej element

posiada element odwrotny. Jezeli dzia lanie w grupie jest przemienne, to grupenazywamy przemienna lub abelowa.

Trojke (A,+, ·) z lozona ze zbioru A i dwu dzia lan wewnetrznych, dodawania imnozenia, nazywamy pierscieniem jezeli para (A,+) stanowi grupe przemienna, amnozenie jest dzia laniem lacznym i rozdzielnym wzgledem dodawania. Pierscien Anazywamy przemiennym, gdy przemienne jest mnozenie w A.

Cia lem nazywamy pierscien przemienny z jednoscia (tj. z elementem neutral-nym mnozenia), w ktorym kazdy niezerowy (tj. rozny od elementu neutralnegododawania) element posiada element odwrotny wzgledem mnozenia.

Modu lem nad pierscieniem F nazywamy uk lad (A,+, ·), w ktorym para (A,+)jest grupa przemienna, a · : F × A→ A jest dzia laniem zewnetrznym rozdzielnymwzgledem dodawania w A (x·(a+b) = x·a+x·b dla dowolnych a, b ∈ A i dowolnegox ∈ F ) i wzgledem dodawania w F ((x+ y) · a = x · a+ y · a dla dowolnych x, y ∈ Fi dowolnegoa ∈ A) oraz spe lniajacym warunek

x · (y · a) = (xy) · a

dla dowolnych x, y ∈ F i a ∈ A.Modu l nad cia lem F nazywamy przestrzenia wektorowa, jezeli dla kazdego jego

elementu a zachodzi rownosc1 · a = a,

gdzie 1 jest jednoscia cia la F .Wreszcie, algebra nazywamy przestrzen wektorowa wyposazona w jeszcze jedno

wewnetrzne dzia lanie · laczne, rozdzielne wzgledem dodawania i spe lniajace warunek

a · (xb) = (xa) · b = x(a · b)

dla dowolnych x ∈ F i a, b ∈ A.


Przyk lady. Liczby ca lkowite (z dodawaniem i mnozeniem) tworza pierscien. Liczbywymierne, rzeczywiste i zespolone tworza cia la. Liczby zespolone o module 1oraz liczby wymierne lub rzeczywiste dodatnie z mnozeniem tworza grupy. ZbiorRn z dodawaniem i mnozeniem przez liczby rzeczywiste okreslonymi w paragrafiepoprzednim tworzy przestrzen wektorowa nad cia lem R. Podobnie okreslone dzia laniaprzekszta lcaja Qn i Cn w przestrzenie wektorowe nad Q i C, odpowiednio. Dladowolnego q > 1 zbior Zq z dzia laniami wczesniej okreslonymi jest pierscieniem.Pierscien ten jest cia lem wtedy i tylko wtedy, gdy q jest liczba pierwsza (udowodnic!).

3. Relacje rownowaznosci i struktury ilorazowe. Za lozmy, ze R jest relacjarownowaznosci (tj., relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia) w zbiorze A. Relacjataka jest zgodna z dzia laniem wewnetrznym · w A, gdy dla dowolych a, a′, b, b′ ∈ Aspe lniony jest warunek

(1) aRa′ ∧ bRb′ =⇒ (a · b)R(a′ · b′).

Podobnie, jesli · : F ×A→ A jest dzia laniem zewnetrznym, to relacja R jest z nimzgodna, gdy dla dowolnych a, a′ ∈ A i x ∈ F spe lniony jest warunek

(2) aRa′ =⇒ (x · a)R(x · a′).

Dzia lania zgodne z relacja R wyznaczaja dzia lania tego samego typu w zbiorze A/Rklas abstrakcji:

(3) [a] · [b] = [a · b]

w przypadku dzia lania zewnetrznego oraz

(4) x · [a] = [x · a]

w przypadku dzia lania zewnetrznego.Jezeli zbior A jest wyposazony w strukture algebraiczna, ktorej wszystkie dzia lania

sa zgodne z relacja R, to mowimy, ze relacja ta jest zgodna ze struktura alge-braiczna. W takiej sytuacji struktura na A wyznacza podobna (tj. z lozona z takiejsamej liczby dzia lan takiego samego typu) strukture algebraiczna na A/R. Struk-ture taka nazywamy ilorazowa.

Przyk lady. Dla dowolnej liczby naturalnej q > 1, relacja R okreslona w zbiorze Z

przy pomocy warunku

(5) aRb⇐⇒ 1

q(a− b) ∈ Z

jest relcja rownowaznosci zgodna z dodawaniem i mnozeniem. Dodawanie i mnozeniewyznaczaja wiec odpowiednie dzia lania z zbiorze Z/R. Zbior ten mozna w natu-ralny sposob przekszta lcic wzajemnie jednoznacznie na Zq :

(6) [a] 7→ reszta z dzielenia liczby a przez q.

Przekszta lcenie to wyznacza izomorfizm (w sensie wprowadzonym w nastepnymparagrafie) struktury ilorazowej w Z/R i wprowadzonej wczesniej struktury alge-braicznej w Zq.

6 PAWE L G. WALCZAK

Relacja ≡ okreslona w zbiorze Z× (Z \ {0}) warunkiem

(7) (a, b) ≡ (a′, b′)⇐⇒ ab′ − ba′ = 0

jest zgodna z mnozeniem ∗ okreslonym wzorem

(8) (a, b) ∗ (a′b′) = (aa′, bb′).

Jej klasy abstrakcji nazywamy liczbami wymiernymi, a z (8) wynika, ze regu lamnozenia liczb wymiernych ”licznik razy licznik” i ”mianownik razy mianownik”jest poprawna. Czytelnik sprobuje znalezc wzor okreslajacy dodawanie par liczbca lkowitych prowadzace do zwyk lego dodawania liczb wymiernych.

4. Homomorfizmy i izomorfizmy struktur algebraicznych.

Majac dwie struktury algebraiczne tego samego typu na zbiorach A i B orazprzekszta lcenie h : A → B mozemy szukac zwiazkow pomiedzy wykonywaniemdzia lan na elementach zbioru A, a wykonywaniem odpowiednich dzia lan w B naich obrazach danych poprzez h. Dzia lania ·

Aw A i ·

Bw B nazywamy h- zgodnymi,

gdy dla dowolnych elementow a i b zbioru A zachodzi rownosc

(1) h(a) ·Bh(b) = h(a ·

Ab).

Jezeli wszystkie dzia lania struktury na A sa h-zgodne z odpowiednimi dzia laniamistruktury na B i h przekszta lca elementy neutralne dzia lan w A na elementy neu-tralne odpowiednich dzia lan w B oraz - dla kazdego a ∈ A - elementy odwrotne doa wzgledem dzia lan w A na elementy odwrotne do h(a) wzgledem odpowiednichdzia lan w B, to mowimy, ze h jest homomorfizmem struktur algebraicznych. Jezelihomomorfizm h jest bijekcja, to nazywamy go izomorfizmem. W tym przypadkuprzekszta lcenie odwrotne h−1 jest rowniez homomorfizmem (udowodnic !).

Izomorfizmy struktur algebraicznych zachowuja wszystkie w lasnosci algebraiczne(np., lacznosc czy przemiennosc) dzia lan strukturalnych. Dlatego struktury izomor-ficzne (tj. takie, ze istnieje izomorfizm jednej z nich na druga) sa z algebraicznegopunktu widzenia nierozroznialne i uznajemy je za identyczne.

Przyk lady. Odwzorowanie tozsamosciowe x 7→ x wyznacza homomorfizmy dwu-dzia laniowych struktur algebraicznych (z dodawaniem i mnozeniem) na zbiorachZ, Q, R. Podobnie, odwzorowanie R ∋ x 7→ (x, 0) ∈ C jest homomorfizmemodpowiednich struktur danych przez dodawanie i mnozenie liczb rzeczywistych izespolonych. Dla dowolnej struktury algebraicznej na zbiorze A i zgodnej z niarelacji rownowaznosci R naturalne rzutowanie A ∋ x 7→ [x] ∈ A/R jest homomor-fizmem struktury na A na strukture ilorazowa w A/R.


Rozdzia l 2. Grupy

1. Podstawowe pojecia. Przypomnijmy, ze grupa nazywamy pare (G, ·), wktorej G jest zbiorem, a · dzia laniem lacznym w G, posiadajacym element neu-tralny (jednosc grupy) e i takim, ze hazdy element g ∈ G posiada element odwrotnyg−1. Jezeli dzia lanie grupowe jest przemienne, to grupe nazywamy przemienna lubabelowa.

Przyk lady. Zbiory Z, Q, R, C z dodawaniem stanowia grupy przemienne. ZbiorZq z dodawaniem modulo q jest grupa przemienna. Podobnie, grupy przemiennetworza zbiory Q \ {0}, R \ {0}, C \ {0}, Q+, R+ i {z ∈ C; |z| = 1} z mnozeniem.Bijekcje dowolnego, ustalonego zbioru X ze sk ladaniem przekszta lcen tworza grupe,na ogo l nieprzemienna. W szczegolnosci, grupe stanowia permutacje n-elementowe.Grupe te nazywamy grupa symetryczna i oznaczamy symbolem Sn. Grupa Sn

jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1 lub n = 2. W tym pierwszymprzypadku, grupa jest trywialna: sk lada sie z samego elementu neutralnego e zdzia laniem okreslonym w jedyny mozliwy sposob: e · e = e.

Jezeli G jest grupa skonczona, to liczbe jej elementow nazywamy jej rzedem.Np., rzad grupy Sn wynosi n!.

Jeeli A jest takim podzbiorem grupy G, ze kazdy element g ∈ G mozna przed-stawic w postaci

(1) ak11 · . . . · akl

l

dla pewnych a1, . . . al ∈ A oraz k1, . . . kl ∈ Z, to mowimy, ze zbior A generuje grupeG. Na przyk lad, grupy (Z,+) i (Zq,+) sa generowane przez jeden element, liczbe1. Grupy takie nazywamy cyklicznymi.

Jezeli element a generuje grupe cykliczna G i wszystkie potegi ak, k ∈ Z, sa roznemiedzy soba, to G jest grupa nieskonczona izomorficzna z (Z,+). Izomorfizm moze

byc okrelony wzorem

(2) G ∋ ak 7→ k ∈ Z.

Jezeli dwie rozne potegi elementu a sa rowne, to pewna potega a jest rownajednoci e. Jezeli q jest najmniejsza liczba naturalna taka, ze aq = e, to G ={e, a, a2, . . . , aq−1} jest grupa skonczona rzedu q izomorficzna z (Zq,+). Tak wiec,grupy addytywne Z i Zq , q = 1, 2 . . . , sa jedynymi, z dok ladnoscia do izomorfizmu,grupami cyklicznymi. Waznym przyk ladem skonczonej grupy cyklicznej jest grupapierwiastkow stopnia q z jednosci: {z ∈ C; zq = 1} z mnozeniem.

Grupe nazywamy skonczenie generowana, jezeli istnieje zbior skoncznony ja gene-rujacy. Prostym przyk ladem takiej grupy jest (Zn,+). Generatorami sa np. ele-menty ei = (δ1i , . . . , δ

ni ), i = 1, . . . , n. (Tu i w dalszym ciagu przyjmujemy, ze

δji = 0, gdy i 6= j oraz δji = 1, gdy i = j. Tak okreslony symbol δji nazy-wamy symbolem (lub ”delta”) Kroneckera. Ogolniej, dla dowolnego zbioru A ist-nieje pewna grupa abelowa G generowana przez A: G = {g : A → Z; g(x) =0 dla prawie wszystkich x} z dzia laniem okreslonym wzorem (g1g2)(x) = g1(x) +g2(x), x ∈ A, jest grupa przemienna z elementem neutralnym e, e(x) = 0 dla

N. H. Abel (1802 - 1829) - matamatyk norweski.L. Kronecker (1823 - 1891) - urodzony w Legnicy matematyk niemiecki

8 PAWE L G. WALCZAK

kazdego x ∈ X . Zbior A mozna utozsamic z podzbiorem zbioru G z lozonym zwszystkich funkcji x, x ∈ X , danych wzorami: x(x) = 1, x(y) = 0, gdy y 6= x.Tak skonstruowana grupe G nazywamy abelowa grupa wolna generowana przez A.Grupa ta jest skonczenie generowana wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbioremskonczonym.

Podobnie, dla dowolnej rodziny {Gi; i ∈ I} grup abelowych mozna skonstruowacich sume prosta G =

∑

iGi = {f : I → ∪iGi; ∀if(i) ∈ Gi ∧ f(i) = 0 dla prawiewszystkich i} z dzia laniem (f1f2)(i) = f1(i) + f2(i), i ∈ I. Suma ta jest tez grupaabelowa.

Sumy (iloczyny) proste i grupy wolne moga byc rozwazane w pe lnej kategoriigrup (niekoniecznie abelowych), ale jest to znacznie trudniejsze (por., S. Lang,Algebra, PWN).

2. Homomorfizmy grup. Zgodnie z ogolna definicja homomorfizmu strukturalgebraicznych, homomorfizmem grupy (G, ·) w grupe (H, ·) jest przekszta lcenieh : G→ H spe lniajace warunek

(1) h(g · g′) = h(g) · h(g′) (g, g′ ∈ G)

oraz

(2) h(g−1) = h(g)−1 (g ∈ G).

Przekszta lcenie takie przekszta lca jednosc grupy G na jednosc grupy H. Istotnie,

h(e) = h(e · e−1) = h(e) · h(e−1) = h(e) · h(e)−1 = e′,

gdy e jest jednoscia grupy G, a e′ jednoscia H.Warunki (1) i (2) mozna zastapic rownowaznym im warunkiem

(3) h(g · g′−1) = h(g) · h(g′)−1 (g, g′ ∈ G).

Homomorfizm h : G → H nazywamy monomorfizmem (odp., epimorfizmem),gdy h jest roznowartosciowe (odp., gdy h(G) = H). Homomorfizm grup jest wiecizomorfizmem, gdy jest jednoczesnie mono- i epimorfizmem. Izomorfizm grupy Gna siebie nazywamy automorfizmem. Przypomnijmy, ze grupy izomorficzne majate same w lasnosci algebraiczne: obie sa przemienne lub nie, obie sa skonczeniegenerowane lub nie itp.

Z definicji wynika od razu, ze z lozenie homomorfizmow grup jest homomor-fizmem, z lozenie monomorfizmow (epimorfizmow, izomorfizmow) jest monomor-fizmem (epimorfizmem, izomorfizmem). Automorfizmem dowolnej grupy G jestodwzorowanie tozsamosciowe idG. Przekszta lcenie odwrotne do izomorfizmu jesttez izomorfizmem. Wynika stad, ze wszystkie automorfizmy grupy G z dzia laniemsk ladania przekszta lcen tworza grupe Aut(G).

Przyk lad. Dla dowolnego elementu g grupy G rozwazmy odwzorowanie

(4) Ad(g) : G→ G, Ad(g)(h) = ghg−1.

Odwzorowanie to jest automorfizmem grupy G: g(hh′−1)g−1 = (ghg−1)·(gh′g−1)−1,

h = Ad(g)(g−1hg), jezeli ghg−1 = gh′g−1, to h = g−1(ghg−1)g = g−1(gh′g−1)g =


h′. Z ostatniej implikacji wynika tez, ze Ad(g)−1 = Ad(g−1). Podobnie, latwosprawdzic, ze Ad(gg′) = Ad(g) ◦Ad(g′). Przyporzadkowanie

G ∋ g 7→ Ad(g) ∈ Aut(G)

jest wiec homomorfizmem grup. Mozna latwo wykazac, ze jest ono monomorfizmem.Automorfizmy postaci Ad(g) nazywa sie wewnetrznymi. Tworza one podgrupe (wsensie nastepnego paragrafu) grupy Aut(G).

3. Podgrupy, grupy ilorazowe. Niepusty podzbior H grupy (G, ·) nazywamy

podgrupa, gdy dla dowolnych elementow g, g′ ∈ H iloczyn g · g′−1nalezy do H.

Jezeli H jest podgrupa i g, g′ ∈ H, to e = g · g−1 ∈ H, g−1 = e · g−1 ∈ H orazg · g−1 = g · (g−1)−1 ∈ H. Wynika stad, ze zbior H z dzia laniem grupowym w Gograniczonym do H × H jest grupa. Mowiac ”podgrupa” mamy na mysli zawszegrupe otrzymana w ten sposob.

Zauwazmy, ze jezeli H jest podgrupa grupy G, to odwzorowanie

(1) idH : H → G, H ∋ x 7→ x,

jest monomorfizmem grup.Dla dowolnego podzbioru A grupy G i elemntu g ∈ G wprowadzmy oznaczenia

nastepujace:

(2) gA = {ga; a ∈ A} i Ag = {ag; a ∈ A}.

Jezeli G jest grupa abelowa, to oczywiscie gA = Ag dla wszystkich A i g. WarunekgA = Ag jest tez zawsze rownowazny warunkowi A = gAg−1. Jezeli A jest pod-grupa, to zbiory postaci (2) nazywamy odpowiednio lewymi i prawymi warstwami(elementu g wzgledem podgrupy A).

Twierdzenie 1. (Lagrange’a) Rzad kazdej podgrupy grupy skonczonej G jest dziel-nikiem rzedu grupy G. �

Dowod. Niech H = {a1, . . . , ak} bedzie podgrupa grupy skonczonej G. Zbiory (lewewarstwy) aH (a ∈ G) sa parami roz laczne, rownoliczne i daja w sumie G. Jezeli pjest liczba warstw, to G zawiera dok ladnie kp elementow. �

Podgrupe H grupy G nazywamy niezmiennicza, gdy warunek

(3) gHg−1 = H

jest spe lniony dla wszystkich g ∈ G. Widac od razu, ze kazda podgrupa grupyabelowej jest niezmiennicza.

Przyk lady. Jezeli m ≤ n, to elementy grupy symetrycznej Sm mozna utozsamic ztakimi permutacjami σ ∈ Sn, ktore zachowuja elementy m+ 1, . . . , n: σ(k) = k dlak = m + 1, . . . , n. W ten sposob Sm staje sie (izomorficzna z) podgrupa grupy Sn.Jest ona (sprawdzic !) podgrupa niezmiennicza.

Dla dowolnego homomorfizmu grup h : G→ H zbiory

(4) ker (h) = {g ∈ G; h(g) = e} i im (h) = {h(g); g ∈ G}

J. L. Lagrange (1736 - 1812) - jeden z najwybitniejszych matematykow francuskich

10 PAWE L G. WALCZAK

sa podgrupami, odpowiednio, grup G i H, co wynika bezposrednio z przyjetychokreslen. Podgrupe ker (h) nazywamy jadrem homomorfizmu, podgrupe im (h) -jego obrazem. Z implikacji

h(g) = e =⇒ h(aga−1) = h(a)h(g)h(a−1) = h(a)h(a)−1 = e

wynika, ze jadro dowolnego homomorfizmu jest podgrupa niezmiennicza. Obrazhomomorfizmu niezmienniczy byc nie musi. Z okreslenia jadra wynika latwo, ze ho-momorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jego jadro jest podgrupatrywialna, z lozona z samej jednosci.

Grupa izometrii p laszczyzny jest nie-niezmiennicza podgrupa grupy wszystkichbijekcji p laszczyzny.

Dla dowolnej podgrupy H grupy G zbior NH = {g ∈ G; gHg−1 = H jest pod-grupa G. Jest to najwieksza podgrupa o tej w lasnosci, ze H jest jej podgrupanormalna. Nazywamy ja normalizatorem podgrupy H.

Dla dowolnej podgrupy H grupy G relacja

(5) g ≡ h⇐⇒ gh−1 ∈ H

jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, jest wiec relacja rownowaznosci w G. Jejklasami abstrakcji sa zbiory postaci gH, g ∈ G.

Twierdzenie 2. Relacja (5) jest zgodna z dzia laniem grupowym w G wtedy i tylkowtedy, gdy H jest podgrupa niezmiennicza.

Dowod. Za lozmy najpierw, ze H jest podgrupa niezmiennicza i wezmy cztery ele-

menty g, g′, h, h′ ∈ G takie, ze g ≡ g′ i h ≡ h′. Wtedy gg′−1 ∈ H oraz hh′1 ∈ H, a

wiec i

gh(g′h′)−1 = ghh′−1g′

−1= g(hh′−1

)g−1(gg′−1

) ∈ (gHg−1)H = H,

tj. gh ≡ g′h′, co oznacz, ze relacja ≡ jest zgodna z dzia laniem grupowym.Odwrotnie, jesli relacja (5) jest zgodna z dzia laniem, g ∈ G i h ∈ H, to h ≡ e,

gh ≡ g, a wiec ghg−1 ∈ H, tj.

(6) gHg−1 ⊂ H.

Z (6) wynika tez, ze H = g−1(gHg−1)g ⊂ g−1Hg dla dowolnego g ∈ G. Zastepujacg przez g−1 otrzymujemy relacje

(7) gHg−1 ⊂ H,

ktora w po laczeniu z (6) daje rownosc (3) dowodzaca, ze H jest podgrupa niezmi-ennicza. �

Powyzsze twierdzenie dowodzi, ze dla podgrupy niezmienniczej H zbior G/H =G/ ≡ klas abstrakcji relacji (5) posiada naturalna strukture grupy z dzia laniemdanym wzorem

(8) [g] · [h] = [gh],

elementem neutralnym [e] = H i elementem odwrotnym do [g] rownym [g−1].Otrzymana w ten sposob grupe nazywamy ilorazowa.


Twierdzenie 3. Dla dowolnego epimorfizmu grup f : G → H, grupa ilorazowaG/ ker (f) jest izomorficzna z H.

Dowod. Z definicji jadra wynika, ze przekszta lcenie

(9) G/ ker (f) ∋ [g] 7→ f(g) ∈ H

jest dobrze okreslone. Z okreslenia dzia lania w grupie ilorazowej wynika, ze jestono homomorfizmem. Jest ono epimorfizmem, bo f by lo takim. Wreszcie, jezelif(g) = f(h), to gh−1 ∈ ker (f), g ≡ h i [g] = [h], a zatem odwzorowanie (9) jestmonomorfizmem. �

Wniosek. Dla dowolnego homomorfizmu grup f : G→ H, grupy im (f) i G/ ker (f)sa izomorficzne. �

Przyk lad. Dla dowolnej grupy G zbior G0 wszystkich skonczonych produktow ele-mentow postaci

(10) aba−1b−1 (a, b ∈ G)

jest podgrupa. Jest ona normalna: element

(11) x(aba−1b−1)x−1 = ((xa)b(xa)−1b−1)(bxb−1x−1)

jest produktem dwu elementow postaci (10). Podgrupe te nazywa sie komutatoremgrupy G. Grupa ilorazowa G/G0 jest przemienna:

(12) [a] · [b][a]−1[b]−1 = [aba−1b−1] = [e],

poniewaz aba−1b−1 ∈ G0.


Rozdzia l 3. Pierscienie i cia la

1. Pierscienie, podpierscienie, idea ly. Przypomnijmy, ze pierscieniem nazy-wamy trojke (A, ·,+) z lozona ze zbioru A i dwu dzia lan wewnetrznych · i + spe lniajacychnastepujace warunki:

(1) ∀a, b, c ∈ A : a + (b + c) = (a + b) + c,(2) ∀a, b ∈ A : a + b = b + a,(3) ∃e ∈ A : ∀a ∈ A : a + e = a,(4) ∀a ∈ A : ∃b ∈ A : a + b = e,(5) ∀a, b, c ∈ A : a · (b · c) = (a · b) · c,(6) ∀a, b, c ∈ A : a · (b + c) = a · b + a · c.

Element a pierscienia A nazywamy dzielnikiem zera, gdy a 6= 0 i istnieje nieze-rowy element b ∈ A taki, ze

(1) a · b = 0.

Pierscien nazywamy przemiennym, gdy przemienne jest mnozenie ·. Jezeli istniejew A element neutralny mnozenia, to A nazywamy pierscieniem z jedynka. (Trady-cyjnie, element neutralny dodawania + oznaczamy symbolem 0, element neutralnymnozenia · - symbolem 1.) Przemienny pierscien z jedynka, a bez dzielnikow zeranazywamy ca lkowitym.

Przyk lady. Pierscien Z jest ca lkowity. Pierscien wielomianow o wspo lczynnikach wdowolnym pierscieniu ca lkowitym jest ca lkowity. Wynika stad, ze pierscien wielo-mianow n-zmiennych o wspo lczynnikach w pierscieniu ca lkowitym jest ca lkowitydla dowolnego n = 1, 2, . . . . Pierscien Zq jest ca lkowity wtedy i tylko wtedy, gdy qjest liczba pierwsza: Jezeli q = mn, m > 1 i n > 1, to liczmy m i n sa dzielnikamizera w Zq.

Dla dowolnego pierscienia A i zbioru X zbior wszystkich funkcji f : X → A zdzia laniami okreslonymi wzorami

(2) (f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x) (x ∈ X),

jest pierscieniem. Pierscien funkcji jest przemienny wtedy i tylko wtedy, gdy przemi-enny jest pierscien A. Elementem neutralnym dodawania jest funkcja sta la rowna0. Jezeli A ma jedynke 1, to funkcja sta la rowna 1 jest jedynka pierscienia funkcji.Podobnie, pierscien funkcji ma dzielniki zera wtedy i tylko wtedy, gdy istniejadzielniki zera w A. Zatem, pierscien funkcji jest ca lkowity wtedy i tylko wtedy, gdyca lkowity jest pierscien A.

Zbior B ⊂ A nazywamy podpierscieniem pierscienia A, gdy dzia lania + i · sawykonalne w B, 0 ∈ B oraz −a ∈ B dla dowolnego a ∈ B. Podpierscien B zdiza laniami + i · ograniczonymi do B × B jest pierscieniem. Zbior I nazywamyidea lem (odpowiednio, idea lem lewostronnym lub prawostronnym, gdy jest pod-pierscieniem oraz iloczyny a · b i b · a (odpowiednio, a · b lub b · a) naleza do I dla

Typeset by AMS-TEX


wszystkich a ∈ A i b ∈ I. I jest wiec idea lem wtedy i tylko wtedy, gdy jest jed-noczesnie idea lem lewo- i prawostronnym. Idea l I nazywamy maksymalnym, jezelikazdy idea l I ′ zawierajacy I jest rowny I lub A:

(3) I ⊂ I ′ =⇒ (I ′ = I ∨ I ′ = A).

Przyk lady. Zbior qZ liczb podzielnych przez dana, ustalona liczbe naturalna q jestidea lem pierscienia Z. Idea l qZ jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy q jestliczba pierwsza. Zbior jednoelementowy I = {0} jest idea lem dowolnego pierscienia.W pierscieniu funkcji f : X toA zbior IY = {f : X → A; f |Y ≡ 0} jest idea lem dladowolnego zbioru Y ⊂ X . Idea l IY jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy Y jestzbiorem jednopunktowym. Dla dowolnej liczby naturalnej k, idea l pierscienia wielo-mianow nad pierscieniem A tworza wszystkie wielomiany (a0, a1, . . . ), dla ktorycha0 = a1 = · · · = ak = 0. Idea l ten jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy k = 0.

2. Cia la. Przypomnijmy, ze cia lem nazywamy pierscien A z jednocia 1 6= 0,w ktorym kazdy niezerowy element a posiada element odwrotny a−1 wzgledemmnozenia ·: a · a−1 = a−1 · a = 1. Z okreslenia wynika latwo, ze cia lo nie posiadadzielnikow zera: Jezeli a · b = 0 i b 6= 0, to 0 = (a · b) · b−1 = a · (b · b−1) = a · 1 = a.

Najmniejsza liczbe naturalna m > 1, dla jakiej istnieje element niezerowy a ∈ Ataki, ze

(1) ma = a + a + · · ·+ a(m sk ladnikow) = 0

nazywamy charakterystyka cia la A. Jezeli liczba taka nie istnieje, to A nazy-wamy cia lem o charakterystyce 0 lub cia lem bez charakterystyki. Zauwazmy, ze

jeli rownosc (1) zachodzi dla pewnego a = 0, to mb = 0 dla kazdego b ∈ A.Rzeczywiscie, z lacznosci mnozenia i rozdzielnosci mnozenia wzgledem dodawaniawynika, ze

(2) mb = (mb · a) · a−1 = (b · (ma)) · a−1 = 0 · a−1 = 0.

Przyk lady. Cia la Q, R i C maja charakterystyke zero. Kazde cia lo o charakterystycezero jest nieskonczone. Jezeli q ∈ N jest liczba pierwsza, to cia lo Zq ma charak-terystyke q.

Kazdemu wielomianowi (a0, a1, a2, . . . ) o wspo lczynnikach w pierscieniu (w szcze-golnosci, ciele) A mozna przyporzadkowac funkcje wielomianowa

(3) A ∋ x 7→ a0 + a1 · x + a2 · x2 + . . . .

Na ogo l przyporzadkowanie to nie jest roznowartosciowe. Np., funkcja wielomi-anowa x 7→ x + x2 nad cia lem Z2 jest tozsamosciowo rowna zeru. Jezeli jednakA jest cia lem o charakterystyce zero, to przyporzadkowanie (3) ustala wzajemniejednoznaczna odpowiedniosc miedzy wielomianami (”ciagami wspo lczynnikow”), afunkcjami wielomianowymi.

Odnotujmy, ze jedynymi idea lami dowolnego cia la A sa zbiory {0} i A. Istotnie,jezeli a jest niezerowym elementem idea lu I i b ∈ A, to ba ∈ I i b = b−1(ba) ∈ I.

Podpierscien B cia la A jest podcia lem (tj., jest cia lem z dzia laniami z A ogranic-zonymi do B × B), gdy 1 ∈ B oraz a−1 ∈ B dla kazdego a ∈ B. W ten sposobzbiory Q i R sa podcia lami cia la C, a rowniez Q jest podcia lem cia la R.


3. Cia lo u lamkow.

Niech A bedzie dowolnym pierscieniem ca lkowitym, B = A× (A \ {0}). Zdefini-ujmy w B relacje ≡ w nastepujacy sposob:

(1) (a, b) ≡ (a′, b′) ⇐⇒ ab′ − ba′ = 0.

Relacja ≡ jest oczywiscie zwrotna i symetryczna. Jest tez przechodnia: Jezeli(a, b) ≡ (a′, b′) i (a′, b′) ≡ (a′′, b′′), to ab′ − ba′ = 0 i a′b′′ − b′a′′ = 0, a wiec

(2) (ab′′ − ba′′)b′ = (ab′ − ba′)b′′ + (a′b′′ − b′a′′)b = 0,

a poniewaz A nie ma dzielnikow zera i b′ 6= 0, wiec ab′′−ba′′ = 0, tj, (a, b) ≡ (a′′, b′′).Relacja ≡ jest wiec rownowaznoscia i mozna brac pod uwage zbior A/ ≡ jej klasabstrakcji. Co wiecej, relacja ta jest zgodna z okreslonymi nastepujaco dzia laniamidodawania i mnozenia w B:

(3) (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd), (a, b) · (c, d) = (ac, bd).

Rzeczywiscie, jezeli (a′, b′) ≡ (a, b) i (c′, d′) ≡ (c, d), to

(4) (ad + bc)b′d′ − bd(a′d′ + b′c′) = dd′(ab′ − ba′) + bb′(cd′ − dc′) = 0

oraz

(5) acb′d′ − a′c′bd = cd′(ab′ − ba′) + a′b(cd′ − dc′) = 0.

Zgodnie z ogolnymi rozwazaniami Rozdzia lu I, dzia lania (3) indukuja odpowiedniedzia lania dodawania i mnozenia w zbiorze A/ ≡.

Twierdzenie. Zbior A/ ≡ z dzia laniami indukowanymi przez dzia lania (3) w Ajest cia lem.

Tak otrzymane cia lo nazywamy cia lem u lamkow pierscienia A. Cia lo liczb wymier-nych jest cia lem u lamkow pierscienia Z.

Dowod. Wiekszosc wymaganych w lasnosci dzia lan jest niemal oczywista. Jest tezjasne, ze klasy abstrakcji [(0, 1)] i [(1, 1)] sa elementami neutralnymi dodawania imnozenia. Wykazemy

(i) lacznosc dodawania,(ii) rozdzielnosc mnozenia wzgledem dodawania,

(iii) istnienie elementow odwrotnych.

Ad. (i). Niech (ai, bi) ∈ B dla i = 1, 2, 3. Wtedy [(a1, b1)] + [(a2, b2)] =[(a1b2 + a2b1, b1b2] oraz [(a2, b2)] + [(a3, b3)] = [(a2b3 + a3b2, b2b3)], skad

(6) ([(a1, b1)] + [(a2, b2)]) + [(a3, b3)] = [((a1b2 + a2b1)b3 + b1b2a3, b1b2b3)]

oraz

(7) [(a1, b1)] + ([(a2, b2)] + [(a3, b3)]) = [(a1b2b3 + b1(a2b3 + b2a3), b1b2b3].

Widac od razu, ze prawe strony w (6) i (7) sa rowne.


Ad. (ii) Dla tych samych elementow (ai, bi) mamy

(8) ([(a1, b1) + (a2, b2)]) · [(a3, b3)] = [((a1b2 + a2b1)a3, b1b2b3))],

oraz

([(a1, b1)] · [(a3, b3)] + [(a2, b2)] · [(a3, b3)] = [(a1a3, b1b3)] + [(a2a3, b2b3)]

= [(a1a3b2b3 + a2a3b1b3, b1b2b23)].(9)

Teraz wyniki dzia la, w (8) i (9) sa rowne poniewaz

(a1b2 + a2b1)a3b1b2b23 − (a1a3b2b3 + a2a3b1b3)b1b2b3 = 0.

Ad(iii) Jezeli z 6= 0 w A/ ≡, to z = [(a, b)] dla pewnych a, b ∈ A roznych od zera(a 6= 0 i b 6= 0). Klasa [(b, a)] jest dobrze okreslona (sprawdzic !) i

[(a, b)] · [(b, a)] = [(ab, ab)] = [(1, 1)].

Zatem z−1 = [(b, a)] jest elementem odwrotnym do z. �

4. Pierwiastki wielomianow.

Za lozmy, ze A jest pierscieniem ca lkowitym i nieskonczonym. Wtedy wielomi-any pozostaja we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniosci z funkcjami wielomi-anowymi:

(1) (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . . ) ←→n∑

i=1

aixi,

bedziemy je wiec utozsamiac.Element c ∈ A nazywamy pierwiastkiem wielomianu

(2) W (x) =n∑

i=1

aixi,

gdy W (x) = 0. Z rownosci

(3) xk − ck = (x− c)(xk−1 + cxk−2 + · · ·+ ck−1)

wynika, ze dla dowolnego c ∈ A istnieje wielmomian W1 stopnia o 1 nizszego odstopnia W , dla ktorego

(4) W (x)−W (c) = (x− c) ·W1(x) (x ∈ A).

Wynika stadze c jest pierwiatkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy

(5) W (x) = (x− c) ·W1(x) (x ∈ A)

dla pewnego wielomianu W1, tj. gdy W jest podzielny przez jednomian x−c. Jezeliwielomian W jest podzielny przez (x− c)p, a nie jest podzielny przez (x− c)p+1, toliczbe p ∈ N nazywamy krotnoscia pierwiastka c. Z powyzszych obserwacji wynikanastepujace twierdzenie:


Twierdzenie 1. Wielomian stopnia n ma co najwyzej n pierwiastkow (liczonychtyle razy ile wynosi ich krotnosc. �

Przyk lady. Istnieja wielomiany nie posiadajace pierwiastkow (np., x2+1 nad cia lemR). Jezeli liczba wymierna przedstawiona jako u lamek nieskracalny p/q jest pier-wiaskiem wielomianu o wspo lczynnikach ca lkowitych, to q jest dzielnikiem wspo lczynnikaprz najwyzszej potedze, podczas gdy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego. (Dajeto algorytm pozwalajacy znalezc wszystkie pierwiastki wymierne takiego wielomi-anu.) Jezeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu W o wspo lczynnikachrzeczywistych, to z jest tez pierwiastkiem W . Istnieja algorytmy (wzory Cardanoi metoda Ferrariego) pozwalajace znajdywac pierwiastki wielomianow stopnia 3 i4. Udowodniono (w pierwszej po lowie XIX wieku), ze dla wielomianow wyzszychstopni algorytmow takich nie ma.

Cia lo A nazywamy algebraicznie zupe lnym, gdy kazdy wielomian W stopnia do-datniego o wspo lczynnikach w A posiada pierwiastek. Jezeli A jest cia lem zupe lnym,to kazdy wielomian W o wspo lczynikach w A posiada dok ladnie tyle (z uwzglednienimkrotnosci) pierwiastkow ie wynosi jego stopien.

Twierdzenie 2. (zasadnicze twierdzenie algebry) Cia lo C liczb zespolonych jestalgebraicznie zupe lne.

Szkic dowodu. Dla dowolnego r ≥ 0 obrazem okregu {z; |z| = r} danym przezwielomian W stopnia n jest pewna krzywa zamknieta cr. Jezeli W nie ma pier-wiastkow, to krzywa ta nie przechodzi przez 0, a wiec mozna obliczyc przyrost argu-mentu wzd luz cr. Przyrost ten jest wielokrotnoscia kata 2π. Z ciag losci funkcji Wwynika, ze przyrost ten jest sta ly w kazdym takim przedziale [r1, r2], dla ktorego Wnie przyjuje wartosci 0 w zbiorze {z; r1 ≤ |z| ≤ r2}. Jesli W nie ma pierwiastkow,to przyrost ten jest stale rowny 0, bo jest rowny 0 dla r = 0. Z drugiej strony,jesli r jest dostatecznie duze i W (z) = zn · f(z), to |f(z)− 1| ≤ 1

2i |argf(z)| ≤ π

3,

gdy |z| = r. Zatem przyrost argumentu dla W wzd luz cr jest taki sam jak dlawielomianu zn, a wiec wynosi 2nπ. Stad n = 0, co naleza lo udowodnic. �

Wynika stad, ze kazdy wielomian nad cia lem C mozna roz lozyc na czynniki stop-nia 1. Wczesniejsza obserwacja dotyczaca pierwiastkow zespolonych wielomianowrzeczywistych pokazuje, ze kazdy wielomian o wspo lczynnikach rzeczywistych monaprzedstawic jako iloczyn czynnikow liniowych i kwadratowych (wielomianow stopni1 i 2).

5. Wielomiany wielu zmiennych..

Dla dowolnego pierscienia A oznaczmy przez A[x] pierscien wielomianow (jed-nej zmiennej) o wspo lczynnikach w A. Elementy pierscienia A[x1, x2] := A[x1][x2]nazywamy wielomianami dwu zmiennych. S ca one wielomianami (jednej zmiennej)o wspo lczynnikach w A[x]. Ogolnie, wielomiany o wspo lczynnikach w pierscieniuA[x1, . . . , xn] wielomianow n zmiennych tworza pierscien A[x1, . . . , xnxn+1] wielo-mianow n+ 1 zmiennych. Wielomiany n zmiennych wyznaczaja odpowiadajace imfunkcje wielomianowe postaci

(1) W (x1, . . . , xn) =

m1∑

i1=0

· · ·mn∑

in=0

ai1,...,inxi11 · . . . · xin

n (x1, . . . , xn ∈ A),

gdzie ai1,...,in ∈ A sa wspo lczynnikami wielomianu W . Jezeli am1,...,mn6= 0, to

liczbe m = m1 + · · ·+ mn nazywamy stopniem wielomianu (1).


Jednym z wazniejszych zadan algebry jest rozwiazywanie uk ladow rownan alge-braicznych postaci

(2) W1(x1, . . . xn) = · · · = Wk(x1, . . . , xn) = 0,

gdzie Wj sa wielomianami wielu zmiennych. Do uk ladow tej postaci powrocimypozniej. Zauwazmy tylko, ze uk lady (2) sa tym latwiejsze do rozwiazania im nizszesa stopnie wielomianow Wj . Obnizanie stopni wielomianow jest stosunkowo prostew przypadku, gdy sa one symetryczne, tj. gdy ich wspo lczynniki ai1,...,in spe lniajawarunek

(3) aiτ(1),...,iτ(n)= ai1,...,in

dla dowolnej permutacji τ ∈ Sn. Przyk ladami takich wielomianow sa tzw. elemen-tarne wielomiany symetryczne σ1, . . . , σn okreslone wzorami

(4) σj(x1, . . . , xn) =∑

i1<···<ij

xi1 · . . . · xij .

Np., dla n = 2 mamy

σ1(x, y) = x + y, σ2(x, y) = xy,

zas dla n = 3

σ1 = x + y + z, σ2 = xy + xz + yz, σ3 = xyz.

Przy rozwiazywaniu algebraicznych uk ladow symetrycznych istotna role odgrywafakt nastepujacy:

Twierdzenie. Dla kazdego wielomianu symetrycznego W (n zmiennych) istniejedok ladnie jeden wielomian P (n zmiennych) taki, ze

(5) W (x1, . . . , xn) = P (σ1(x1, . . . , xn), . . . , σn(x1, . . . , xn))

dla wszystkich x1, . . . , xn. �

Dowod tego twierdzenia pomijamy.

Przyk lady. Dla dwu i trzech zmiennych mamy np.

x2 + y2 = σ21 − 2σ2, x2 + y2 + z2 = σ2

1 − 2σ2,

x3 + y3 = σ31 − 3σ1 · σ2.

Ogolniej, dla dowolnego n, x1, . . . , xn i t ∈ C mamy

(6) (1 + tx1)(1 + tx2) · . . . · (1 + txn) =n∑

j=0

tjσj(x1, . . . , xn).


W szczegolnosci,

n∑

m=0

σm(x21, . . . , x

2n) = (1 + x2

1) · . . . · (1 + x2n)

= [(1 + ix1) · . . . · (1 + ixn)] · [(1− ix1) · . . . · (1− ixn)]

=

n∑

j=0

ijσj(x1, . . . , xn)

·(

n∑

k=0

(−i)kσk(x1, . . . , xn)

)

=

2n∑

l=0

∑

j+k=l

(−1)k ij+k(σjσk)(x1, . . . , xn)

=

n∑

m=0

∑

j+k=2m

(−1)(k+m)(σjσk)(x1, . . . , xn).

Stad

σm(x21, . . . , x

2n) = (σ2

m + 2m∑

k=1

(−1)kσm−kσm+k)(x1, . . . xn).

Na przyk lad,

x21 + · · ·+ x2

n = σ1(x21, . . . , x

2n) = σ2

1 + (−1)(1+2)σ0σ2

= σ21 − 2σ2 = (x1 + · · ·+ xn)2 − 2(x1x2 + · · ·+ xn−1xn).

Ogolnie, jesli τk =∑n

k=1 xki , to spe lnione sa tzw. tozsamosci Girarda-Newtona:

τk − τk−1σ1 + · · ·+ (−1)k−1τ1σk−1 + (−1)kkσk = 0, k = 1, . . . , n

pozwalajace wyrazic funkcje τk w zaleznosci od σj i odwrotnie (zob. np.: D G.Mead, Newton identities, American Mathematical Monthly, 99 (1992), 749 – 751):

τk = det

σ1 1 0 . . . 0 02σ2 σ1 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .

(k − 1)σk−1 σk−2 σk−3 . . . σ1 1kσk σk−1 σk−2 . . . σ2 σ1

oraz

σk =1

k!· det

τ1 1 0 . . . 0 0τ2 τ1 2 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .τk−1 τk−2 τk−3 . . . τ1 k − 1τk τk−1 τk−2 . . . τ2 τ1


Rozdzia l 4. Przestrzenie wektorowe

1. Definicja i przyk lady.

Przypomnijmy, ze przestrzenia wektorowa (lub przestrzenia liniowa) nad cia lemF nazywamy uk lad (V,+, ·), gdzie + jest dzia laniem wewnetrznym w zbiorze V ,zas · : F × V → V - dzia laniem zewnetrznym, przy czym spe lnione sa nastepujacewarunki:

(1) ∀u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w,(2) ∀v, w ∈ V : v + w = w + v,(3) ∃θ ∈ V : ∀v ∈ V : θ + v = v + θ = v,(4) ∀v ∈ V : ∃ − v ∈ V : v + (−v) = (−v) + v = θ,(5) ∀a ∈ F : ∀v, w ∈ V : a · (v + w) = a · v + a · w,(6) ∀a, b ∈ F : ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v,(7) ∀a, b ∈ F : ∀v ∈ V : (ab) · v = a · (b · v),(8) ∀v ∈ V : 1 · v = v.

Elementy przestrzeni wektorowej nazywamy wektorami, −v nazywamy wektoremprzeciwnym do v, wektor θ nazywamy zerowym. Powyzsze w lasnosci dzia lan wek-torowych sa zgodne z ”obrazkowa” intuicja, gdzie dwa wektory (”strza lki”) uznajesie za identyczne, gdy sa rownoleg le, zgodnie skierowane i maja te sama d lugosc.Np., przemiennosc (2) dodawania wektorow widac na rysunku rownoleg loboku zjedna przekatna.

Przyk lady. Fn = F ×· · ·×F (n czynnikow) jest przestrzenia wektorowa dla dowol-nego n = 1, 2, . . . . Zbior wszystkich funkcji f : X → F , gdzie X jest ustalonymzbiorem, stanowi przestrzen wektorowa. Zbior wszystkich funkcji ciag lych f :X → R, gdzie X jest przestrzenia metryczna stanowi przestrzen wektorowa. ZbiorM(m,n) wszystkich macierzy postaci

(1) A = [aij ] =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

o wyrazach aij ∈ F (m i n sa tu ustalonymi liczbami naturalnymi okreslajacymiodpowiednio liczbe wierszy i kolumn macierzy) stanowi przestrzen wektorowa zdodawaniem i mnozeniem ”wyraz po wyrazie”:

(2) [aij] + [bij] = [aij + bij ], c · [aij] = [c · aij ].

2. Baza i wymiar.

Wektory v1, . . . , vn przestrzeni wektorowej V nad F nazywamy liniowo zaleznymi,gdy istnieja nieznikajace jednoczesnie (

∑

a2i > 0) wspo lczynniki x1, . . . , xn ∈ F , dlaktorych liniowa kombinacja x1v1 + · · ·+ xnvn jest wektorem zerowym. Wektory tesa liniowo niezalezne, gdy nie sa liniowo zalezne, tj. gdy

(1)∑

xivi = θ ⇒ x1 = · · · = xn = 0.

Z powyzszej definicji wynika latwo, ze dopisanie wektora do wektorow liniowozaleznych pozostawia je liniowo zaleznymi, podczas gdy usuniecie wektora sposrod


wektorow liniowo niezaleznych pozostawia je niezaleznymi. Dowolny (byc mozenieskonczony) podzbior W przestrzeni V jest liniowo niezalezny, gdy kazdy skon-czony podzbior zbioru W sk lada sie z wektorow liniowo niezaleznych.

Przyk lady. Wektory v = (a, b) i w = (c, d) przestrzeni R2 sa liniowo niezaleznewtedy i tylko wtedy, gdy ad− bc 6= 0. Wektory ei = (δ1i , . . . δ

ni ) przestrzeni Rn sa

liniowo niezalezne. Ogolnie, wektory vi = (ai1, . . . , ain), i = 1, . . . , m, przestrzeniRn sa liniowo niezalezne wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiazaniem uk ladurownan liniowych

(2) ai1x1 + . . . ainxn = 0, i = 1, . . . , m,

o niewiadomych x1, . . . , xn jest uk lad x1 = . . . xn = 0. Dowolny zbior wektorowzawierajacy wektor zerowy jest liniowo zalezny. W przestrzeni wielomianow nad(na przyk lad) R wielomiany

(3) x 7→ xn, n = 0, 1, 2, . . . ,

tworza nieskonczony zbior liniowo niezalezny. Podobnie, w przestrzeni wielomianowtrygonometrycznych (nad R) funkcje

(4) x 7→ sinnx, x 7→ cosnx, n = 0, 1, 2, . . . ,

sa liniowo niezalezne. W przestrzeni wszystkich funkcji f : X → R niezalezne safunkcje δa (a ∈ A ⊂ X) zwane delta Diraca i okreslone wzorem

δa(x) =

{

1, gdy x = a,

0, gdy a 6= x ∈ X.

Wektory liniowo niezalezne v1, . . . vn tworza baze przestrzeni wektorowej V , gdykazdy wektor v ∈ V mozna przedstawic jako ich liniowa kombinacje:

(5) ∀v ∈ V : ∃x1, . . . xn ∈ F : v =∑

xivi.

Z liniowej niezaleznosci wektorow bazy wynika, ze przedstawienie wektora v wpostaci ich liniowej kombinacji jest jednoznaczne. Ponadto, baza jest maksymaknymuk ladem wektorow liniowo niezaleznych: Jezeli wektory v1, . . . vn tworza baze iv ∈ V , to wektory v, v1, . . . vn sa liniowo zalezne. (Istotnie, jezeli przedstawimy vw postaci (5), to (−1) · v + x1v1 + · · · + xnvn = θ i −1 6= 0.) Jest tez odwrotnie:kazdy maksymalny uk lad v1, . . . vn liniowo niezalezny jest baza. (Rzeczywiscie,jezeli v ∈ V , to uk lad v, v1, . . . , vn jest liniowo zalezny, a wiec xv +

∑

xivi = θdla pewnych nieznikajacych jednoczesnie wspø lczynnikow x, x1, . . . , xn. Poniewazwektory v1, . . . , vn sa liniowo niezalezne, wiec x 6= 0 i

(6) v = −x1

xv1 + · · · − xn

xvn

jest liniowa kombinacja wektorow v1, . . . , vn.)Nie kazda przestrzen wektorowa posiada baze. Jezeli przestrzen V posiada baze

v1, . . . vn, to liczb ce n (liczbe elementow bazy) nazywamy wymiarem przestrzeniV i oznaczamy symbolem dimV (dimension = wymiar (ang., franc.)). Tak wiec,dimFn = n i dimM(m,n) = mn dla dowolnych m i n. Przestrzen nie posiadajacabazy nazywamy nieskonczeniewymiarowa. Sa takimi np. przestrzen wszystkichfunkcji rzeczywistych okreslonych na dowolnym zbiorze nieskonczonym, przestrzenwszystkich wielomianow lub wielomianow trygonometrycznych nad R.

Powyzsza definicja wymiaru wymaga sprawdzenia jej poprawnosci:


Twierdzenie. Jezeli v = {v1, . . . vm} i w = {w1, . . .wn} sa bazami tej samejprzestrzeni V , to m = n.

Dowod. Przypuscmy, ze m > n. Wiemy, ze v1 jest liniowa kombinacja wektorowbazy v: v1 = a11w1 + · · ·+ a1nwn. Poniewaz v1 6= θ, wiec np. a1n 6= 0. Wtedy

(7) wn =1

a1nv1 −

a11a1n

w1 − · · · −a1,n−1

a1nwn−1,

a wiec kazdy wektor przestrzeni V jest liniowa kobinacja wektorow v1, w1, . . . , wn−1.W szczegolnosci,

(8) v2 = b21v1 + a21w1 + · · ·+ a2,n−1wn−1.

Poniewz wektory v1, v2 sa liniowo niezalezne, wiec jeden ze wspo lczynnikow a2j,np. a2,n−1, jest rozny od zera. Wtedy kazdy wektor przestrzeni V mozna przed-stawic jako liniowa kombinacje wektorow v1, v2, w1, . . . , wn−2. Kontynuujac topostepowanie (i korzystajac z zasady indukcji) dochodzimy do wniosku , ze kazdywektor przestrzeni V jest liniowa kombinacja wektorow v1, . . . , vn. Przedstawiajacw tej postaci wektor vm+1 dochodzimy do wniosku, ze wektory v1, . . . , vm+1 saliniowo zalezne. Sprzecznosc. �

Przestrzen wektorowa V skonczonego wymiaru posiada wiele baz. Wezmy dwie,v = (v1, . . . , vn) i w = (w1, . . . , wn). Dla kazdego i ≤ n wektor wi jest liniowakombinacja wektorow bazy v,

(9) wi = ai1v1 + · · ·+ ainvn,

przy czym wspo lczynniki aij sa wyznaczone jednoznacznie. Wspo lczynniki te tworzamacierz kwadratowa A = [aij] ∈ M(n, n) zwana macierza przejscia od bazy v dow. Jezeli u = (u1, . . . un) jest trzecia baza tej przestrzeni, B = [bjk] jest macierzaprzejscia od w do u, a C = [cik] macierza przejscia od v do u, to macierz A, B i Csa ze soba zwiazane warunkiem

(10) cik =n∑

j=1

aijbjk, i, k = 1, . . . , n.

W tej sytuacji mowimy, ze macierz C jest iloczynem macierzy A i B:

(11) C = A ·B.

Z okreslenia mnozenia macierzy wynika latwo (sprawdzic !), ze jest ono dzia laniem lacznym, a macierz jednostkowa I = [δij ] (macierz przejscia od bazy v do v) jest jegoelementem neutralnym. Nie kazda macierz A ∈M(n, n) posiada element odwrotny.Macierze odwracalne tworza grupe GL(n) zwanna grupa liniowa.

3. Przekszta lcenia liniowe.

Przekszta lcenie f : V → W przestrzeni wektorowej V w przestrzen wektorowaW (nad tym samym cia lem F ) nazywamy liniowym, gdy dla dowolnych v, w ∈ V ia, b ∈ F spe lniony jest warunek

(1) f(av + bw) = af(v) + bf(w).


Warunek ten rownowazny jest koniunkcji dwu nastepujacych:

(2) f(v + w) = f(v) + f(w), f(av) = af(v).

Kazde przkszta lcenie liniowe spe lnia tez warunki

(3) f(θ) = θ i f(−v) = −f(v).

Podobnie jak dla grup, roznowartosciowe przekszta lcenei liniowe nazywamy mono-morfizmem, przekszta lcenie liniowe przestrzeni V na W nazywamy epimorfizmem,przekszta lcenie liniowe bedace jednoczesnie monomorfizmem i epimorfizmem nazy-wamy izomorfizmem. Przekszta lcenie takie jest odwracalne, przy czym przek-szta lcenie odwrotne jest tez liniowe. Przekszta lcenia liniowe przestrzeni liniowejw siebie nazywamy endomorfizmami.

Z okreslen wynika latwo, ze z lozenie przekszta lcen liniowych (odp., monomor-fizmow, epimorfizmow, izomorfizmow czy endomorfizmow) jest przekszta lceniemliniowym (odp., mono-, epi-, izo- czy endo-morfizmem). Istotnie, jezeli f : U → Vi g : V →W sa liniowe, a, b ∈ F i v, w ∈ U , to

(g ◦ f)(av + bw) = g(f(av + bw)) = g(af(v) + bf(w))

= ag(f(v)) + bg(f(w)) = a(g ◦ f)(v) + b(g ◦ f)(w).(4)

Przyk lady. Kazde przekszta lcenie liniowe f : F → F jest postaci

(5) f(x) = ax (x ∈ F ),

gdzie a = f(1). Jezeli f : Fm → Fn jest liniowe, v = (v1, . . . vm) jest bazaprzestrzeni V , w = (w1, . . .wn) jest baza przestrzeni W i f(vi) = ai1w1+· · ·+ainwn

dla i ≤ m, to dla dowolnego v = x1v1 + xmvm mamy

(6) f(v) =m∑

i=1

n∑

j=1

xiaijwj .

Odwrotnie, kazde przekszta lcenie okreslone wzorem (6) dla dowolnej macierzy A =[aij ] jest liniowe. Dla ustalonych baz v i w mamy wiec wzajemnie jednoznacznaodpowiedniosc f ↔ A miedzy przekszta lceniami liniowymi V → W , a macierzamiA ∈ M(m,n). Poniewaz przekszta lcenia liniowe mozna w naturalny sposob do-dawac i mnozyc przez skalary, wiec zbior L(V,W ) wszystkich przekszta lce n lin-iowych V → W stanowi przestrzen liniowa. Jezeli dimV = m i dimW = n, toprzestrzen ta jest izomorficzna z M(m,n).

W szczegolnosci, przekszta lcenie liniowe Rm → Rm odpowiadajace macierzyλI jest podobienstwem o skali |λ|. Dla λ = −1 otrzymujemy symetrie o srodku(0, . . . , 0). Dla m = 2, v = w = (e1, e2) przekszta lcenie o macierzy

(7)

[

cosα sinα− sinα cosα

]

jest obrotem o kat α.


Z lozeniu g ◦ f przekszta lcen liniowych f : U → V i g : V → W o macierzachA = [aij] ∈ M(m,n) i B = [bjk] ∈ M(n, p)] w bazach u, v i w przestrzeni U , V iW odpowiada macierz

(8) C = A ·B = [cik] =

∑

j

aijbjk

nazywana - jak poprzednio - iloczynem macierzy A i B. Zauwazmy, ze iloczynten jest okreslony wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest rowna liczbie wierszymacierzy B. Mowimy krotko, ze elementami macierzy C = A·B sa iloczyny wierszymacierzy A przez kolumny macierzy B. Zauwazmy wreszcie, ze jezeli A ∈M(m,n),B ∈M(n, p) i C ∈M(p, r), to AB ∈M(m, p), BC ∈M(n, r) oraz

(9) (AB)C = A(BC) ∈ M(m, r).

4. Podprzestrzenie, przestrzenie ilorazowe.

Podzbior W przestrzeni wektorowej V nazywamy podprzestrzenia, gdy dla dowol-nych v, w ∈W i dowolnych skalarow a, b liniowa kombinacja av + bw nalezy do W(rownowaznie, gdy v+w ∈W i av ∈W o ile v, w ∈W i a jest skalarem). Zbior W zdzia laniami dodawania wektorow i mnozenia wektorow przez skalary ograniczonymido elementow z W jest przestrzenia wektorowa.

Przyk lady. Dla dowolnego niepustego podzbioru A ⊂ V zbior wszystkich liniowychkombinacji wektorow z A jest najmniejsza podprzestrzenia przestrzeni V zaw-ierajaca A. Nazywamy ja podprzestrzenia generowana przez A i oznaczamy sym-bolem Lin(A). Jezeli zbior A jest sk’nczony, A = {v1, . . . , vk}, a wektory vj saliniowo niezalezne, to dim Lin(A) = k.

Jezeli W1 i W2 sa podprzestrzeniami przestrzeni V , to podprzestrzen W =Lin(W1 ∪W2) nazywamy suma podprzestrzeni Wi i piszemy W = W1 +W2. Czescwspolna podprzestrzeni W1 i W2 jest tez podprzestrzenia. Jezeli W1∩W2 = {0}, toprzestrzen W nazywamy suma prosta podprzestrzeni Wi i piszemy W = W1 ⊕W2.Jezeli dim Wi = ki, to dim (W1 ⊕W2) = k1 + k2. Ogolniej, dim (W1 + W2) =k1 + k2 − k, gdzie k = dim W1 ∩W2.

Dla dowolnego przekszta lcenia liniowego f : V →W zbiory ker(f) = f−1({0}) ⊂V i im(f) = f(V ) ⊂ W sa podprzestrzeniami zwanymi, odpowiednio, jadrem iobrazem przekszta lcenia f . Z przyjetych okreslen wynika, ze f jest epimorfizmem,gdy im(f) = W , a monomorfizmem, gdy ker(f) = {0}.

Jeeli W jest podprzestrzenia V , to relacja

(1) v ≡ w ⇔ v − w ∈W

jest rownowaznoscia zgodna z dzia laniami w V . Zgodnie z ogolna teoria strukturalgebraicznych wzory

(2) [v] + [w] = [v + w], a[v] = [av] (v, w ∈ V, a ∈ F )

sa dobrze okreslone i nadaja zbiorowi V/ ≡ strukture przestrzeni wektorowej nazy-wanej przestrzenia ilorazowa i oznaczanej symbolem V/W .


Twierdzenie 1. Jezeli dimV = n i dimW = m, to dim V/W = n−m.

Dowod. Wybierzmy baze v1, . . . , vn przestrzeni V tak, by v1, . . . vm ∈ W . Klasy[vm+1], . . . , [vn] tworza baze przestrzeni ilorazowej: Poniewaz [vi] = θ dla i ≤m, wiec kazdy element przestrzeni V/W jest ich liniowa kombinacja, a poniewazrownosc

(3) am+1[vm+1] + · · ·+ an[vn] = [am+1vm+1 + · · ·+ anvn] = θ

zachodzi wtedy, gdy am+1vm+1 + anvn ∈W , a wiec gdy am+1 = · · · = an = 0, wiesa one liniowo niezalezne. �

Twierdzenie 2. Dla dowolnego przekszta lcenia liniowego f : V → W przestrzenieim(f) i V/ker(f) sa izomorficzne.

Dowod. Podobnie jak w przypadku grup izomorfizmem jest przyporzadkowanie

(4) V/U ∋ [v] 7→ f(v)

(U =ker(f)) jest pozadanym izomorfizmem. �


Rozdzia l 5. Uk lady rownan liniowych

1. Wyznacznik.

Niech A = [aij , i, j ≤ n] bedzie macierza kwadratowa o elementach z cia laF . Przypomnijmy, ze dla dowolnej permutacji σ ∈ Sn sgn(σ) (znak permutacji)wynosi (−1)k, gdzie k jest liczba wszystkich inwersji w ciagu (σ(1), . . . , σ(k)). Wyz-nacznikiem macierzy A nazywamy liczbe

(1) detA = |A| =∑

σ∈Sn

sgnσ · a1σ(1)a2σ(2) · . . . · anσ(n).

Na przyk lad, dla n = 2 mamy detA = a11a22 − a12a21.Obliczanie wyznacznikow wyzszych stopni wymaga poznania ich w lasnosci.

Twierdzenie 1. (i) Wyznacznik macierzy A⊤ transponowanej (A⊤ = [aji], gdyA = [aij]) jest rowny detA. (ii) Jezeli macierz B powstaje z A przez zamianekolumn lub wierszy, to detB = − detA. (iii) Jezeli dwie kolumny (lub dwa wiersze)macierzy A sa rowne, to detA = 0. (iv) Jezeli jedna z kolumn lub jeden z wierszymacierzy A sk lada sie z samych zer, to detA = 0. (v) Jezeli macierz B powstajea A przez dodanie do jednej z kolumn (odp., wierszy) kombinacji liniowej innychkolumn (odp., wierszy) to detB = detA.

Dowod. (i) Poniewaz sgnσ = sgnσ−1, wiec

detA⊤ =∑

σ∈Sn

sgnσaσ(1)1 . . . aσ(n)n

=∑

σ∈Sn

sgn(σ−1)a1σ−1(1) . . . anσ−1(n) = detA.(2)

(ii) Przeprowadzimy dowod w przypadku, gdy B = [bij ] powstaje z A = [aij ]przez zamiane dwu pierwszych kolumn, tj. gdy b1j = a2j, b2j = a1j i bij = aijdla i > 2, i = 1, . . . , n. Oznaczmy przez τ transpozycje (1, 2, . . . , n) 7→ (2, 1, . . . n) izauwazmy, ze przyporzadkowanie σ 7→ τ ◦ σ jest bijekcja zbioru Sn na siebie oraz,ze sgn(τ ◦ σ) = −sgnσ dla wszystkich permutacji σ ∈ Sn. Zatem

detB =∑

σ∈Sn

sgnσa2σ(1)a1σ(2)a3σ(3) . . . anσ(n)

= −∑

σ∈Sn

sgn(τ ◦ σ)a1τ(σ(1))a2τ(σ(2)) . . . anτ(σ(n)) = − detA.(3)

(iii) Teza wynika z (ii) i stad, ze przestawienie identycznych kolumn (wierszy)nie zmienia macierzy.

(iv) Jezeli jedna z kolumn sk lada sie z zer, to kazdy ze sk ladnikow sumy (1)zeruje sie.

(v) Jezeli np. b1i = a1i + xa2i dla i = 1, . . . , n, to

detB =∑

σ∈Sn

sgnσ · (a1σ(1) + xa2σ(1))a2σ(2) · . . . · anσ(n)

=∑

σ∈Sn

sgnσ · a1σ(1)a2σ(2) · . . . · anσ(n)

+ x∑

σ∈Sn

sgnσ · a2σ(1)a2σ(2) · . . . · anσ(n) = detA,(4)


poniewaz druga z ostatnich sum rowna jest wyznacznikowi macierz o dwu jed-nakowych kolumnach. �

Nastepne twierdzenie daje metode sprowadzania obliczania wyznacznikow stop-nia n do obliczania wyznacznikow stopnia n−1 metoda tzw. rozwiniecia Laplace’a.

Twierdzenie 2. Dla dowolnego i = 1, 2, . . . n i dowolnej macierzy kwadratowej Astopnia n zachodzi rownosc

(5) detA =

n∑

j=1

(−1)i+jaijAij ,

gdzie Aij jest wyznacznikiem macierzy powsta lej a A poprzez skreslenie i-tej kolumnyi j-ego wiersza.

Wyznaczniki Aij (podobnie jak i wynaczniki macierzy otrzymanych z A poprzez

skrelenie pewnej liczby kolumn i wierszy) nazywamy minorami macierzy A.

Dowod. Z twierdzenia 1 wynika, ze wystarczy przeprowadzic dowod dla i = n. Dlakazdego j = 1, . . . , n oznaczmy przez Σj zbior wszystkich permutacji σ ∈ Sn, dlaktorych σ(n) = j. Wtedy

(6) detA =

n∑

j=1

anj ·∑

σ∈Σj

sgnσ · a1σ(1) · . . . · an−1,σ(n−1) =

n∑

j=1

(−1)n+janjAnj .

Ostatnia rownosc otrzymujemy z okreslenia wyznacznika Anj poprzez porownanieznaku permutacji σ ze znakiem odpowiedniej permutacji (n− 1)-elementowej. �

Uwaga. Z ostatnich dwu twierdzen wynika, ze rowniez

(7) detA =n∑

i=1

(−1)i+jaijAij

dla j = 1, . . . , n.

Twierdzenie 3. Dla dowolnych macierzy A ∈M(m), B ∈ M(n) i C ∈ M(m,n)wyznacznik macierzy

(8)

[

A C0 B

]

wynosi detA · detB.

(Zerem oznaczylismy tu macierz z M(n,m) o wzystkich wyrazach zerowych.)

Dowod. Przeprowadzimy indukcje ze wzgledu na n.Dla n = 1 odpowiednia rownosc wynika z twierdzenia 2 poprzez rozwiniecie

wzd luz ostatniego wiersza.

P.S. Laplace (1749–1827) - matematyk, fizyk i astronom francuski.


Przypuscmy, ze nasza rownosc jest spe lniona dla macierzy B z M(n − 1) iwezmy macierz B ∈ M(n) oraz dokonajmy rozwniniecia wyznacznika macierzy(8) wzgledem ostatniego wiersza. Otrzymamy sume postaci

(9)

n+m∑

j=n+1

(−1)n+m+ibn,j−mDj ,

gdzie Di jest wyznacznikiem macierzy postaci (8) otrzymanej przez skreslenie os-tatniego wiersza i (n + j)-tej kolumny. Z za lozenia indukcyjnego wynika, ze Dj =detA ·Bn,j, gdzie Bn,j jest odpowiednim minorem macierzy B. Zatem wyznacznikmacierzy (8) wynosi

m∑

i=1

(−1)n+ibnjBnj · detA = detB · detA.

Indukcja konczy dowod. �

Ostatnie twierdzenie z tej serii pokazuje, ze funkcja det :M(n)→ F jest homo-morfizmem po lgrup.

Twierdzenie 4. Dla dowolnych macierzy A,B ∈M(n) zachodzi rownosc

(10) det(A ·B) = detA · detB.

Dowod. Utworzmy macierz

(11) D =

[

A −I0 B

]

.

Z poprzedniego twierdzenia wynika, ze

(12) detD = detA · detB.

Mnozac kolumny o numerach n + 1, . . . , 2n najpierw przez elementy pierwszejkolumny i dodajac otrzymane iloczyny do pierwszej kolumny, potem przez ele-menty drugiej kolumny i dodajac iloczyny do drugiej kolumny itd. stwierdzamy,ze

detD = det

[

0 −IA ·B B

]

.

Przestawiajac kolumny (i-ta z (n + i)-ta dla i = 1, . . . , n) otrzymujemy, ze

detD = (−1)n det

[

−I 0B A ·B

]

= (−1)n det(−I) det(A ·B) = (−1)2n det(A ·B) = det(A ·B).(13)

Porownujac (12) z (13) dostajemy (10). �


Wniosek. Macierz A ∈M(n) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy detA 6= 0.

Dowod. Jezeli A jest macierza odwracalna, to

(14) detA · detA−1 = det(A ·A−1) = det I = 1,

skad wynika ze detA 6= 0 (oraz, ze det(A−1) = (detA)−1). Odwrotnie, jezelidetA 6= 0, to macierz B = [bij ] o wyrazach

(15) bij = (−1)i+j 1

detAAji,

gdzie - jak poprzednio - Aij jest minorem macierzy A otrzymanym przez skresleniei-tego wiersza i j-tej kolumny, jest odwrotna do A. Rzeczywiscie, ze wzoru (5)(rozwiniecie Laplace’a) wynika, ze

∑

j aijbji = 1, a jezeli i 6= k, to∑

j aijbjk =

(detA)−1 · detC = 0, gdzie C jest macierza otrzymana z A poprzez zastapieniek-tego wiersza i-tym. Zatem istotnie A ·B = I. Podobnie, B ·A = I. �

2. Uk lady Cramera.

Rozwazmy uk lad n rownan liniowych z n niewiadomymi:

(1)

a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1

. . .

an1x1 + · · ·+ annxn = bn.

Uk lad (1) nazywamy uk ladem Cramera, gdy wyznacznik macierzy wspo lczynnikowA = [aij] jest rozny od zera. Uk lad (1) mozna zapisac w postaci ”wektorowej”:

(2) A ·X = B,

gdzie X = (x1, . . . , xn) i B = (b1, . . . bn) ∈ Fn. Z ”lacznosci” mnozenia macierzywynika od razu, ze uk lad Cramera (2) ma dok ladnie jedno rozwiazanie

(3) X = A−1 ·B.

Ze wzorow okreslajacych wyrazy macierzy odwrotnej i z rozwiniecia Laplace’awynika od razu, ze wzoor (3) mozna przedstawic w postaci

(4) xj =detAj

detA, (j = 1, . . . , n),

gdzie Ai jest macierza otrzymana z A poprzez zastapienie j-tej kolumny kolumnawyrazow wolnych b1, . . . , bn. Wzory (4) nosza nazwe wzorow Cramera. Ze wzorowtych wynika, ze jeeli uk lad Cramera jest jednorodny (b1 = · · · = bn = 0), tojedynym jego rozwiazaniem jest x1 = · · · = xn = 0. Innymi s lowy, jezeli detA 6= 0,to kolumny (odp., wiersze) macierzy A sa liniowo niezalezne. Odwrotnie, jezelikolumny (wiersze) macierzy A sa liniowo niezalezne, to odwzorowanie liniowe odpo-wiadajace macierzy A jest izomorfizmem, jest wiec odwracalne, odwracalna jest tezmacierz A i detA 6= 0. Powyzsze rozumowanie dowodzi nastepujacego twierdzenia:

Twierdzenie. Macierz kwadratowa A ma niezerowy wyznacznik wtedy i tylko wt-edy, gdy jej kolumny (wiersze) sa wektorami liniowo niezaleznymi. �


3. Rzad macierzy prostokatnej.

Rzedem rz(A) dowolnej macierzy prostokatnej A = [aij ∈ M(m,n) nazywamymaksymalny stopien jej niezerowego minora. Oczywiscie, rz(A) ≤ min{m,n}. Zw lasnosci wyznacznika wynika od razu, ze

(1) rz(A⊤) = rz(A)

oraz, ze rzad macierzy nie ulega zmianie, jezeli do jednej z kolumn (jednego zwierszy) dodamy liniowa kombinacje pozosta lych kolumn (wierszy). Operacja takapozwala stosunkowo latwo wyznaczac rzedy macierzy poprzez ”wyzerowanie” maksy-malnej liczby wierszy lub kolumn. Z ostatniego twierdzenia wynika tez, ze rz(A)jest rowny maksymalnej liczbie liniowo niezaleznych kolumn (wierszy) macierzy A.

Przyk lad. Jezeli

A =

[

3 −1 2−6 7 −4

]

,

to rz(A) = 2, bo kolumny (3,−6) i (−1, 7) sa liniowo niezalezne:

det

[

3 −1−6 7

]

6= 0.

Z powyzszej definicji i twierdzenia o wyznaczniku iloczynu macierzy wynika, ze

(2) rz(AB) ≤ rz(A) · rz(B)

o ile tylko iloczyn macierzy A i B jest okreslony. Ponadto, jezeli A (odp., B) jestmacierza kwadratowa nieosobliwa (detA 6= 0), to

(3) rz(AB) = rz(B) (odp.,rz(AB) = rz(A)).

4. Ogolne uk lady rownan liniowych.

Rozwazmy ogolny uk lad rownan liniowych postaci

(1)

a11x1 + · · ·+ a1mxm = b1

. . .

an1x1 + · · ·+ anmxm = bn.

Jest to uk lad n rownan z m niewiadomymi o prostokatnej macierzy wspo lczynnikowA = [aij, i ≤ n, j ≤ m]. Tak jak poprzednio, mozna go zapisac w postaci wektorowej

(2) A ·X = B.

Oznaczmy przez Ad tzw. macierz do laczona uk ladu (1) (lub (2)), tj. macierzpowsta la z A poprzez dopisanie kolumny wyrazow wolnych B = (b1, . . . , bn).


Twierdzenie. (Kroneckera - Capellego) Uk lad (1) posiada rozwiazanie wtedy itylko wtedy, gdy

(3) rz(A) = rz(Ad).

Dowod. Uk lad (1) posiada rozwianie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor B jest lin-iowa kombinacja kolumn A1, . . . , Am macierzy A, co ma miejsce wtedy i tylkowtedy, gdy maksymalna liczba liniowo niezaleznych wektorow uk ladu A1, . . . An

(rowna rzedowi macierzy A) pokrywa sie z maksymalna liczba liniowo niezaleznychwektorow uk ladu A1, . . . , An, B (rowna rzedowi macierzy Ad). �

Jezeli uk lad (1) jest jednorodny (b1 = · · · = bn = 0), to dowolna kombinacjaliniowa rozwiazan, jest rozwiazaniem uk ladu (1), a wiec rozwiazania tworza pod-przestrzen wektorowa przestrzeni Fm. Podprzestrzen ta jest jadrem przekszta lcenia

(4) f : Fm ∋ X 7→ A ·X ∈ Fn.

Kolumny macierzy A naleza do obrazu im (f), a kazdy element tego obrazu jest ichliniowa kombinacja. Wynika stad, ze dim im (f) =rz (A). Z twierdzenia o zwiazkujadra przekszta lcenia liniowego z jego obrazem wynika, ze dim ker (f) = m−rz(A).Stad

Twierdzenie 2. Rozwiazania uk ladu jednorodnego

(5)

a11x1 + · · ·+ a1mxm = 0

. . .

an1x1 + · · ·+ anmxm = 0,

tworza przestrzen wektorowa wymiaru m− rz(A). �

Wreszcie, jezeli (x1, . . . , xm) jest jednym z rozwiazan uk ladu (niejednorodnego)(1), to kazde inne jego rozwiazanie mozna otrzymac dodajac don dowolne rozwiazanieuk ladu jednorodnego (5). Uzywajac terminologii z nastepnego rozdzia lu mozemypowiedziec, ze rozwiazania uk ladu (1) tworza przestrzen afiniczna wymiaru m −rz(A).


Rozdzia l 6. Przestrzenie afiniczne

1. Pojecia podstawowe.

Przestrzenia afiniczna nazywamy uk lad (E, V,−→· ), gdzie E jest zbiorem punktow,V jest przestrzenia wektorowa, a ”strza lka” funkcja E×E → V spe lniajaca nastepu-jace warunki:

(1) ∀A,B,C ∈ E :−→AB +

−→BC =

−→AC,

(2) ∀A,B ∈ E :−→AB = θ ⇔ A = B,

(3) ∀A ∈ E : ∀v ∈ V ∃B ∈ E−→AB = v.

Wymiar przestrzeni wektorowej V uwazamy za wymiar przestrzeni afinicznej.Z powyzszych warunkow wynika od razu, ze

(1) ∀A,B ∈ E :−→BA = −−→AB,

(2) ∀A,B,C ∈ E : (−→AB =

−→AC ⇒ B = C.

Dla dowolnych punktow A,B ∈ E zbior

(1) AB = {X ∈ E; ∃t ∈ [0, 1] :−→AX = t

−→AB}

nazywamy odcinkiem (o koncach A i B). Oczywiscie, AB = BA. Jezeli A ∈ E iv ∈ V , to zbior

(2) l = {X ∈ E; ∃t ∈ R :−→AX = tv}

nazywamy prosta o wektorze kierunkowym v. Podobnie, zbior postaci

(3) {X ∈ E; ∃t ∈ [0,+∞) :−→AX = tv}

nazywamy po lprosta. Rownanie

(4)−→AX = tv (t ∈ R)

nazywa sie rownaniem wektorowym prostej (2).Ogolniej, dla dowolnej podprzestrzeni W ⊂ V i dowolnego punktu A ∈ E zbior

(4) E′ = {X ∈ E;−→AX ∈W}

nazywamy podprzestrzenia afiniczna przestrzeni E. Zbior ten wraz z W i funkcja”strza lka” ograniczona do E′ × E′ jest przestrzenia afiniczna. Dwie (rozne) pod-przestrzenie afiniczne odpowiadajace tej samej podprzestrzeni W nazywamy rowno-leg lymi.

Zgodnie z powyzszymi okresleniami prosta jest jednowymiarowa podprzestrzeniaafiniczna. Latwo widac, ze czesc wspolna podprzestrzeni afinicznych jest taka pod-przestrzenia. Np., czesc wspolna dwu roznych nierownoleg lych p laszczyzn (tj. pod-przestrzeni dwuwymiarowych) w przestrzeni trojwymiarowej jest prosta.

Dwie podprzestrzenie afiniczne odpowiadajace dwu podprzestrzeniom wektoro-wym, z kto rych jedna jest podprzestrzenia drugiej, nazywa sie rownoleg lymi. Dwieproste sa rownoleg le, gdy maja ten sam wektor kierunkowy. Jezeli dwie pod-przestrzenie afiniczne sa rownoleg le, to albo jedna zawiera sie w drugiej, albo saroz laczne (udowodnic !).


2. Zbiory wypuk le.

Podzbior X przestrzeni afninicznej E nazywamy wypuk lym, gdy dla dowolnychpunktow A,B ∈ X odcinek AB zawiera sie w X . Z definicji wynika od razu, zeczesc wspolna dowolnej rodziny zbiorow wypuk lych jest zbiorem wypuk lym. Wszczegolnosci czesc wspolna Xc wszystkich zbiorow wypuk lych zawierajacych danyzbior X nazywa sie otoczka wypuk la zbioru X . Xc jest najmniejsza figura wypuk lazawierajaca X .

Punkty A0, A1, . . . , Ak przestrzeni afinicznej E nazywamy afinicznie niezaleznymi,gdy wektory

(1)−−−→A0A1, . . . ,

−−−→A0Ak

sa liniowo niezalezne. (Zwrocmy uwage na to, ze afiniczna niezaleznosc punktow niezalezy od wyboru wspolnego poczatku wektorow (1).) Jezeli punkty A0, . . . , Ak saafinicznie niezalezne to otoczke wypuk la △{A0, A1, . . .Ak} zbioru {A0, A1, . . . , Ak}nazywamy sympleksem k-wymiarowym o wierzcho lkach A0, A1, . . .Ak.

Sympleks 0-wymiarowy jest zbiorem jednopunktowym, sympleks 1-wymiarowy -odcinkiem. Sympleks 2-wymiarowy nazywamy trojkatem, sympleks 3- wymiarowy- czworoscianem. Sympleksy postaci △{Ai0 , . . . , Ail} (i1 < · · · < il, l ≤ k) nazy-

wamy scianami sympleksu △{A0, A1, . . .Ak}. Sciany 0-wymiarowe pokrywaja siewiec z wierzcho lkami sympleksu.

Twierdzenie. X ∈ △{A0, A1, . . .Ak} wtedy i tylko wtedy, gdy

(2)−−→A0X =

k∑

i=1

ti−−−→A0Ai

dla pewnych liczb ti ≥ 0 takich, ze∑

ti ≤ 1.

Dowod. (Indukcja ze wzg ledu na k.) Dla k = 0 twierdzenie jest oczywiste, a dlak = 1 wynika bezposrednio z definicji odcinka.

Przypuscmy, ze twierdzenie jest prawdziwe dla sympleksow (k−1)- wymiarowychi wezmy dowolne afinicznie niezalezne punkty A0, A1, . . . , Ak. Latwo zauwazyc, zeX ∈ △{A0, A1, . . .Ak} wtedy i tylko wtedy, gdy X ∈ A0Y dla pewnego punktu Ysympleksu △A1 . . . Ak. Z za lozenia indukcyjnego wynika, ze

(3)−−→A1Y =

k∑

i=2

si−−−→A1Ai

dla pewnych liczb s1 ≥ 0, przy czym∑

si ≤ 1. Z (3) i rownosci

(4)−−→A0X = t

−−→A0Y (0 ≤ t ≤ 1)

wynika ze

−−→A0X = t

−−−→A0A1 + t

−−→A1Y = t

−−−→A0A1 +

k∑

i=2

tsi−−−→A1Ak

= t−−−→A0A1 +

k∑

i=2

tsi(−−−→A1A0 +

−−−→A0Ak)

= t(1−k∑

i=2

si)−−−→A0A1 +

k∑

i=2

tsi−−−→A0Ai.(5)


Widac od razu, ze wspo lczynniki ostatniej kombinacji liniowej sa nieujemne, a ichsuma nie przekracza 1. Odwrotnie, jezeli wspo lczynniki ostatniej kombinacji sanieujemne i ich suma nie przekracza 1, to to samo mozna powiedziec o liczbachsi. �

Skonczony zbior S = {s1, . . . , sm} sympleksow nazywamy kompleksem symplic-jalnym, gdy wszystkie sciany sympleksow z S naleza do S, a czesc wspolna dwusympleksow z S jest ich wspolna sciana (lub zbiorem pustym). Np., komplek-sem symplicjalnym jest zbior wszystkich scian danego sympleksu. Kompleks sym-plicjalny S nazywamy triangulacja zbioru X , gdy ∪S = X . Zbior X nazywamywieloscianem, gdy posiada triangulacje.

Uwaga. Jezeli X jest wieloscianem, a S jego triangulacja zawierajaca bi-symplek-sow i-wymiarowych, to liczbe

(6) χ(X) =∑

(−1)ibi

nazywamy charakterystyka Eulera wieloscianu X . Liczba ta nie zalezy od wyborutriangulacji S i opisuje w pewien sposob ”topologie” wieloscianu X . (Przyk lady !)

3. Przekszta lcenia afiniczne.

Niech E = (P, V,−→· ) i E′ = (P ′, V ′−→· ) beda przestrzeniami afinicznymi, f :P → P ′. Przekszta lcenie f nazywamy afinicznym, jezeli dla pewnego punktu A ∈ Pistnieje przekszta lcenie liniowe L : V → V ′ takie, ze dla dowolnego X ∈ P spe lnionyjest warunek

(1)−−→A′X ′ = L(

−→AX),

gdzie A′ = f(A) i X ′ = f(X). (Mozna wykazac, ze istnienie takiego L jestniezalezne od wyboru punktu A.)

Z okreslenia i odpowiednich w lasnosci przekszta lcen liniowych wynika, ze z lozenieprzekszta lcen afinicznych jest afiniczne i przekszta lcenie odwrotne do afinicznego(o ile istnieje) jest afiniczne. Wynika stad, ze roznowartosciowe przekszta lceniaafiniczne przestrzeni E na siebie tworza grupe. Grupe te nazywamy grupa afinicznaprzestrzeni E i oznaczamy symbolem Aff(E).

Przyk lady. Dla dowolnej liczby t 6= 0 przekszta lcenie okreslone warunkiem

(2)−−→AX ′ = t · −→AX

nazywamy jednok ladnoscia o skali t i srodku A. Jednok ladnosc o skali -1 nazy-wamy symetria srodkowa. Przekszta lcenie afiniczne odpowiadajace przekszta lceniuliniowemu L = idE nazywamy translacja lub przesunieciem (rownoleg lym) o wektor

v =−−→AA′ (tu wektor v nie zalezy od A).

Przekszta lcenia afiniczne zachowuja ”strukture afiniczna” przestrzeni: przek-szta lcaja proste w proste, odcinki na odcinki, figury wypuk le na figury wypuk le,wielosciany na wielosciany.


Twierdzenie. Jezeli dimE = n, to grupa Aff(E) jest izomorficzna z iloczynemRn ×GL(n) z dzia laniem okreslonym wzorem

(3) (x,A) · (y, B) = (x + A · y, A ·B).

Dowod. Latwo sprawdzic, ze dzia lanie (3) jest laczne, para (0, I) jest jego ele-mentem neutralnym, a para (−A−1 · x,A−1) – elementem odwrotnym do (x,A).

Ustalmy punkt Q przestrzeni E i baze v1, . . . , vn stowarzyszonej z E przestrzeniwektorowej V . Kazdemu przekszta lceniu f ∈ Aff(E) przyporzadkujmy taka pare

(x,A), ze x = (x1, . . . , xn),−−→QQ′ =

∑

xivi, zas A jest macierza przekszta lcenialiniowego L spe lniajacego warunek (1). Wystarczy pokazac, ze przyporzadkowanieto jest homomorfizmem grup.

Wezmy w tym celu drugie przekszta lcenie afiniczne g i odpowiadajaca mu pare(y, B). B jest macierza pewnego przekszta lcenia liniowego L′, takiego, ze

(4)−−−→Q′′X ′′ = L′(

−−→QX)

dla dowolnego punktu X . (Tu X ′′ = g(X).)Po lozmy X ′′′ = f(g(X)) dla dowolnego X . Wtedy

(5)−−−−→Q′′′X ′′′ = L(

−−−→Q′′X ′′ = L(L′(

−−→QX))

oraz

(6)−−−→QQ′′′ =

−−→QQ′ +

−−−→Q′Q′′′ =

−−→QQ′ + L(

−−→QQ′′).

Przedstawiajac wektory w (6) w bazie v1, . . . , vn i pamietajac o tym, ze przek-szta lceniu L ◦L′ odpowiada macierz A ·B wnioskujemy z (5) i (6), ze z lozeniu f ◦ gprzyporzadkowana zosta la para (x + A · y, A ·B).

Ponadto, jezeli K jest przekszta lceniem liniowym odpowiadajacym przekszta lce-niu f−1, i X = f−1(X), to

L(K(−−→QX)) = L(

−−→QX) =

−−→QX,

a wiec L ◦K = id i w ten sam sposob K ◦ L = id, tj. K = L−1. Wreszcie,

L(−→QQ) =

−−→Q′Q = −

−−→QQ′,

skad −→QQ = −L−1(

−−→QQ′).

Ostatnie obserwacje dowodza, ze przekszta lceniu f−1 przyporzadkowujemy pare(−A−1 · x,A−1). �

4. Geometria afiniczna.

Zgodnie ze s lynnym programem z Erlangen F. Kleina (1872), geometria jestnauka o niezmiennikach grup przkszta lcen. W szczegolnosci, geometria afinicznajest nauka o niezmiennikach grupy przekszta lcen afinicznych. Do niezmiennikow ta-kich nalezy m. in. wspo lliniowosc punktow, wypuk losc, w lasnosc ”lezenia miedzy”,czy stosunek podzia lu (mowimy, ze punkt X dzieli pare punktow (A,B) w sto-

sunku x, gdy punkty A,B,X sa wspo lliniowe i−→XA = x · −−→XB). Znaczna czesc

geometrii elementarnej moze byc opisana w terminach geometrii afinicznej, geome-tria ta nie pozwala jednak mierzyc odleg losci punktow, katow czy pol figur. Dlategozachodzi potrzeba wprowadzenia dodatkowej struktury umozliwiajacej takie ”po-miary’. Jednym z moz.liwych podejsc do tego problemu jest wprowadzenie tzw.iloczynu skalarnego (Rozdzia l7).


Rozdzia l 7. Przestrzenie euklidesowe

1. Formy dwuliniowe.

Dla dowolnej przestrzeni wektorowej V nad cia lem F odwzorowanie g : V ×V →F spe lniajace warunki

(1) g(au + bv, w) = ag(u, w) + bg(v, w), g(u, av + bw) = ag(u, v) + bg(u, w)

dla dowolnych wektorow u, v, w ∈ V i dowolnych skalarow a, b ∈ F nazywamyforma dwuliniowa na V . Forme g nazywamy symetryczna, gdy

(2) ∀v, w ∈ V : g(v, w) = g(w, v).

Forme symetryczna g nazywamy niezdegenerowana, gdy rownosc g(v, w) = 0 dlawszystkich w ∈ V implikuje warunek v = θ. Dla formy niezdegenerowanej g naprzestrzeni V skonczonego wymiaru przyporzadkowanie

(3) V ∋ v 7→ g(v, ·) : V → F

ustala izomorfizm przestrzeni V z przestrzenia V ∗ wszystkich odwzorowan liniowychf : V → F . (Przestrzen V ∗ nazywa sie dualna lub sprzezona do V .)

Jezeli v = {v1, . . . , vn} jest baza przestrzeni V , to kazda forma dwuliniowa g naV daje sie opisac przy pomocy macierzy kwadratowej A = [aij] o wyrazach aij =g(vi, vj). Forma g jest symetryczna, gdy symetryczna jest macierz A: A = A⊤.Forma g jest niezdegenerowana, gdy macierz A jest nieosobliwa: detA 6= 0. Jezeliw = {w1, . . . , wn} jest inna baza przestrzeni V , C jest macierza przejscia od bazyv do w: wk =

∑

ckivi, zas B jest macierza formy g w bazie w:bij = g(wi, wj), tomacierze A,B i C sa zwiazane relacja

(4) B = C ·A · C⊤.

.Forme symetryczna g na przestrzeni V nad cia lem R nazywamy okreslona do-

datnio (odp. ujemnie, nieujemnie lub niedodatnio), gdy dla dowolnego 0 6= v ∈ Vmamy g(v, v) > 0 (odp., < 0, ≥ 0 lub ≤ 0). Oczywiscie, forma okreslona do-datnio jest okreslona nieujemnie, a g jest okreslona dodatnio wtedy i tylko wt-edy, gdy forma −g jest okreslona ujemnie. Ponadto, forma okreslona dodatnio lubujemnie jest niezdegenerowana. Forme symetryczna, dodatnio okreslona nazywamyiloczynem skalarnym na przestrzeni V .

Nastepujace twierdzenie daje kryterium dodatniej okreslonosci w terminach ma-cierzy.

Twierdzenie 1. (Sylwestera) Forma symetryczna g o macierzy A jest okreslonadodatnio wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory g lowne Mk postaci Mk =det[aij , i, j ≤ k] sa dodatnie.

Dowod. Przeprowadzimy indukcje ze wzgledu na wymiar n przestrzeni V .Dla n = 1 twierdzenie jest oczywiste: Forma g jest dodatnio okreslona wtedy i

tylko wtedy gdy g(v1, v1) > 0.Przypuscmy, ze twierdzenie jest prawdziwe dla przestrzeni wymiaru ¡ n i wezmy

forme dwuliniowa symetryczna g na przestrzeni V wymiaru n. Oznaczmy przez W


podprzestrzen przestrzeni V generowana przez wektory v1, . . . , vn−1 bazy v1, . . . , vnprzestrzeni V . Wybierzmy wektor w /∈ W taki, ze g(vi, w) = 0 dla i = 1, . . . , n −1. (Istnienie takiego wektora wynika z teorii uk ladow rownan liniowych.) Latwozauwazyc, ze forma g jest dodatnio okreslona na V wyedy i tylko wtedy, gdy jestdodatnio okrelona na W i g(w,w) > 0. Z za lozenia indukcyjnego wynika, ze forma g

jest dodatnio okrelona na W wtedy i tylko wtedy, gdy Mk > 0 dla k = 1, . . . , n−1.Pozostaje wykazac, ze jezeli minory M1, . . . ,Mn−1 sa dodatnie, to g(w,w) > 0wtedy i tylko wtedy, gdy detA > 0.

Jezeli B jest macierza formy g w bazie v1, . . . , vn−1, w, to detB = g(w,w)·Mn−1,a z (4) wynika, ze detB > 0 ⇔ detA > 0. Powiazanie powyzszych obserwacjiprowadzi do wniosku, ze twierdzenie jest prawdziwe dla form na przestrzeniach nwymiarowych.


Wniosek. Forma g o macierzy A jest okreslona ujemnie wtedy i tylko wtedy, gdy(−1)kMk > 0 dla k = 1, . . . , n. �

2. D lugosc wektora, kat, prostopad losc.

Niech V bedzie przestrzenia wektorowa nad R z iloczynem skalarnym g = 〈·, ·〉.Dla dowolnego v ∈ V liczbe

(1) |v‖ =√

〈v, v〉

nazywamy d lugoscia wektora v. Z dodatniej okreslonosci iloczynu g wynika, zewyroznik

(2) 4(〈v, w〉2 − ‖v‖2‖w‖2)

trojmianu kwadratowego

(3) 〈v + xw, v + xw〉 = ‖v‖2 + 2〈v, w〉+ x2‖w‖2

jest niedodatni, a wiec spe lniona jest tzw. nierownosc Schwarza

(4) |〈v, w〉| ≤ ‖v‖ · ‖w‖,

przy czym rownosc w (4) jest mozliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wyroznik (2) jestrowny zeru, co ma miejsce wtedy, gdy rownanie v + xw = θ ma rozwiazanie, tj.gdy wektory v i w sa liniowo zalezne.

Z nierownosci (4) wynika od razu tzw. nierownosc trojkata:

(5) |v + w| ≤ |v|+ |w|.

Z nierownosci (4) wynika tez, ze iloraz 〈v, w〉/(|v| · |w|) lezy w przedziale (−1, 1),co umozliwia zdefiniowanie go jako cosinus kata miedzy wektorami v i w:

(5) cos∡(v, w) =〈v, w〉|v| · |w| .

Wektory v i w sa liniowo zalezne, gdy cos∡(v, w) = ±1, tj. gdy ∡(v, w) = 0 lubπ. Jezeli 〈v, w〉 = 0, to ∡(v, w) = 1

2π i wektory v, w nazywamy prostopad lymi lubortogonalnymi. Piszemy wtedy, ze v⊥w.


Jezeli v 6= θ, to zbior v⊥ wszystkich wektorow prostopad lych do v tworzy pod-przestrzen przestrzeni V , przy czym dim v⊥ = dimV − 1, gdy V jest przestrzeniaskonczeniewymiarowa. Ogolniej, jezeli W jest podprzestrzenia przestrzeni V , tozbior

(6) W⊥ = {v ∈ V ; ∀w ∈W : v⊥w}

nazywamy ortogonalnym dope lnieniem podprzestrzeni W . W⊥ jest rowniez pod-przestrzenia przestrzeni V , przy czym

(7) dimW + dimW⊥ = dimV

w przypadku przestrzeni skonczonego wymiaru.Baze {v1, . . . vn} przestrzeni wektorowej V (z iloczynem skalarnym) nazywamy

ortonormalna, gdy

(8) 〈vi, vj〉 = δij

dla wszystkich i, j = 1, . . . , n. Elementy bazy ortonormalnej sa wektorami jednos-tkowymi wzajemnie do siebie prostopad lymi. Ponizsze twierdznie dowodzi istnieniabaz ortonormalnych. Zastosowana w dowodzie metoda konstrukcji zwana jest or-togonalizacja Schmidta.

Twierdzenie 1. Dla dowolnej bazy {v1, . . . , vn} przestrzeni V (z iloczynem skalarnym)istnieje taka baza ortonormalna {w1, . . .wn}, ze wj (j = 1, . . . , n) jest liniowa kom-binacja wektorow v1, . . . , vj.

Dowod. Niech w1 = v1/|v1|. Przypuscmy, ze dla pewnego j ≥ 1 skonstruowalismywektory w1, . . . , wj jednostkowe, wzajemnie prostopad le i takie, ze wi jest liniowakombinacja wektorow v1, . . . , vi dla i = 1, . . . , j. Niech

w′j+1 = vj+1 −

j∑

i=1

〈vj+1, wi〉wi.

Z liniowej niezaleznosci wektorow bazy {vi} wynika, ze w′j+1 6= θ, a ponadto widac

latwo, ze 〈w′j+1, wi〉 = 0 dla i ≤ j. Przyjmijmy

wj+1 = w′j+1/|w′

j+1|.

Konstruujac w ten sposob wektory w1, . . . , wn otrzymujemy poszukiwana bazeortonormalna. �

Przyk lady. Dla iloczynu skalarnego w Rn danego wzorem 〈x, y〉 =∑

xiyi, gdyx = (x1, . . . , xn) i y = (y1, . . . , yn), {e1, . . . , en}, gdzie ei = (δ1i, . . . , δni), jestbaza ortonormalna. W przypadku n = 2, wektory v1 = cosαe1 + sinαe2 i v2 =− sinαe1 + cosαe2 tworza baze ortonormalna przestrzeni R2. Ogolniej, jezeli v ={v1, . . . , vn} jest baza ortonormalna i A jest macierza przejscia od bazy w ={w1, . . . , wn}, to w jest baza ortonormalna wtedy i tylko wtedy, gdy A ∈O(n),tj. gdy A · A⊤ = I. (Widac od razu, ze O(n) jest podgrupa grupy GL(n). Jejelementy nazywa sie macierzami ortogonalnymi.)


3. Przestrzen euklidesowa.

Przestrzenia euklidesowaa nazywamy przestrzen afiniczna, ktorej przetrzen wek-torowa jest wyposaz.ona w iloczyn skalarny, jest to wiec czworka E = (P, V,−→· , g),gdzie (P, V,−→· ) jest przestrzenia afiniczna, zas g jest iloczynem skalarnym w przest-rzeni V . Dla dowolnych punktow A,B przestrzeni euklidesowej, d lugosc AB =

|−→AB‖ wektora−→AB nazywamy odleg loscia punktow A,B. Przestrzen euklidesowa z

tak okreslona odleg loscia punktow jest przestrzenia metryczna:

(1) ∀A,B : AB ≥ 0 i AB = 0⇔ A = B,(2) ∀A,B : AB = BA,(3) ∀A,B,C : AB + BC ≥ AC.

Pojecia kata miedzy wektorami, prostopad losci wektorow itp. prowadza w nat-uralny sposob do kata miedzy prostymi, prostopdad losci prostych i - ogolniej -podprzestrzeni.

Przekszta lcenia zachowujace odleg losc punktow (a wiec i iloczyn skalarny wek-torow) nazywamy izometriami. Sa one przekszta lceniami afinicznymi, co widac latwo z dyskusji nierownosci Schwarza. Izometrie sa oczywiscie przekszta lceniamiodwracalnymi i tworza grupe przekszta lcen. W przypadku skonczeniewymiarowym(dimV = n) i przy wyborze bazy ortonormalnej odpowiadaja one podgrupie Rn×O(n)grupy Rn× GL(n) przekszta lcen afinicznych. (W szczegolnosci, izometriami satranslacje.) Poniewaz kazda skonczeniewymiarowa przestrzen z iloczynem skalarnymposiada baze ortonormalna, to kazda n-wymiarowa przestrzen euklidesowa jestizometryczna z przestrzenia Rn z iloczynem skalarnym z ostatniego przyk ladu. Wdalszym ciagu rozdzia lu ograniczymy sie do tej standardowej przestrzeni.

4. Zbiory algebraiczne.

Zbior X ⊂ Fn, gdzie F jest cia lem (w dalszym ciagu ograniczymy sie do przy-padku F = R choc przypadek F = C jest rownie - a moze nawet bardziej - intere-sujacy), nazywamy algebraicznym, gdy istnieja wielomiany n zmiennych P1, . . . , Pk

takie, ze

(1) x ∈ X ⇔ P1(x) = · · · = Pk(x) = 0.

Zbiory algebraiczne sa domkniete, a wszystkie wielomiany P znikajace na danymzbiorze X tworza idea l pierscienia wielomianow n zmiennych. Ogolny opis zbiorowalgebraicznych jest zadaniem trudnym stanowiacym przedmiot tzw. geometrii al-gebraicznej. Tutaj ograniczymy sie do klasyfikacji zbiorow algebraicznych opisy-wanych wielomianami stopnia 1 i (dla n = 2 i 3) 2.

A. Zbiory liniowe. Dla danego uk ladu L1, . . . , Lk (k < n) funkcji postaci Li(x) =〈ai, x〉 + bi, gdzie ai ∈ Rn i bi ∈ R, zbior X = L−1(0) ∩ · · · ∩ L−1(0) jestpodprzestrzenia afiniczna przestrzeni Rn. Wymiar tej podprzestrzeni wynosi naogo l n − l, gdzie l jest maksymalna liczba liniowo niezaleznych elementow zbioru{a1, . . . , ak}. (Innymi s lowy, l jest rzedem macierzy A = [a1, . . . , ak].) Wektory aisa prostopad le do podprzestrzeni X .

W szczegolnosci, gdy k = n − 1 i wektory a1, . . . , ak sa liniowo nieza lezne, touk lad rownan

(2) L1 = · · · = Lk = 0

opisuje prosta w Rn. Uk lad ten tradycyjnie nazywa sie rownaniem ogolnym prostej.Dla n = 2 (tj., na p laszczyznie) uk lad ten jest rzeczywiscie pojedynczym rownaniem


postaci

(3) ax + by + c = 0,

gdzie a2 + b2 > 0. Wektor (a, b) jest prostopad ly do prostej opisanej rownaniem(3), a parametr c jest wyznaczony przez wspo lrzedne dowlnego punktu tej prostej.Proste o rownaniach (3) z tymi samymi (ogolniej, proporcjonalnymi) wspo lczynnikamiprzy zmiennych x i y sa rownoleg le, a proste o rownaniach

(4) aix + biy + ci = 0, i = 1, 2,

sa prostopad le, gdy a1a2 + b1b2 = 0.Podobnie, dla n = 3 rownanie

(5) ax + by + cz + d = 0,

gdzie a2+b2+c2 > 0, opisuje p laszczyzne w przestrzeni (trojwymiarowej) prostopad lado wektora (a, b, c). Dwie takie p laszczyzny sa rownoleg le, gdy wspo lczynnikiprzy x, y i z sa proporcjonalne, a sa prostopad le, gdy iloczyn skalarny wektorowz lozonych z tych wspo lcznynnikow jest rowny zeru.

W literaturze klasycznej mozna znalezc wiele specjalnych rownan prostych ip laszczyzn (np. rownanie odcinkowe) majacych pewne szczegolne znaczenie ge-ometryczne.

B. Krzywe stozkowe.Dla dowolnych dwu punktow F1 i F2 i liczby dodatniej a > c = 1

2F1F2, zbior

wszystkich punktow P spe lniajacych warunek PF1 +PF2 = 2a nazywamy elipsa oosi wielkiej 2a i ogniskach F1, F2. Jezeli punkty F1 i F2 maja wspo lrzedne (−c, 0) i(c, 0), to nasza elipsa opisana jest rownaniem

(6)x2

a2+

y2

b2= 1,

gdzie b2 = a2 − c2. Ponadto, punkty elipsy maja te w lasnosc, ze stosunek ich od-leg losci od ognisk do odleg losci od odpowiadajacych im prostych zwanych kierown-

icami (ich rownania w omawianym powyzej przypadku maja postac x = ±a2

c )jest sta ly i wynosi e = c/a. Liczbe e ∈ (0, 1) nazywamy mimosrodem elipsy. Wszczegolnym przypadku F1 = F2 = F (c = 0) elipsa jest okregiem o srodku F ipromieniu a.

Podobnie, wszystkie punkty P spe lniajace warunek |PF1 − PF2| = 2a (a < c)tworza hiperbole o osi rzeczywistej 2a i ogniskach F1, F2. Jezeli - jak poprzednio -ogniskami sa punkty (±c, 0), to hiperbola dana jest rownaniem

(7)x2

a2+

y2

b2= 1,

gdzie b2 = c2−b2. (Liczbe b nazywa sie czasem po losia urojona hiperboli.) Podobniejak w przypadku elipsy, stosunek odleg losci punktow hiperboli od kierownic x =

±a2

cjest sta ly i rowny mimosrodowi e = c/a > 1.


Na koniec, zbior wszystkich punktow rownooddalonych (e = 1) od punktu Fi prostej k (F /∈ k) nazywamy parabola o ognisku F i kierownicy k. Jezeli F =(p/2, 0), zas prosta k dana jest rownaniem x = −p/2, to parabole opisuje rownanie

(8) y2 = 2px.

Liczbe p nazywa sie parametrem paraboli.Wszystkie te krzywe (elips ce, hiperbole i parabole) mozna przedstawic jako

przekroje powierzchni stozkowej o rownaniu

x2 + y2 − z2 = 0

p laszczyznami nieprzecodzacymi przez wierzcho lek stozka (x = y = z = 0) inierownoleg lymi do osi stozka (x = y = 0). Na przekroju latwo (!) pokazac geom-etryczna interpretacje ognisk, kierownic i innych pojec wspomnianych powyzej.

C. Powierzchnie drugiego stopnia. Powierzchnia stozkowa wspomniana powyzejjest opisana rownaniem drugiego stopnia. Oto lista wszystkich ”niezdegenerowanych”powierzchni w R3 opisywanych takimi rownaniami:

(1) walec eliptyczny: x2

a2 + y2

b2= 1,

(2) walec hiperbliczny: x2

a2 − y2

b2= 1,

(3) walec paraboliczny: y2 − 2px = 0,

(4) powierzchnia stozkowa: x2

a2 + y2

b2− z2 = 0,

(5) elipsoida: x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1,

(6) hiperboloida jednopow lokowa: x2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 1, (uwaga: rownanie to monaprzedstawic w postaci

(x

a− z

c)(x

a+

z

c) = (1− y

b)(1 +

y

b)

wskazujacej na to, ze przez kazdey punkt tej powierzchni przechodza dwieproste ca lkowiczie w niej zawarte !)

(7) hiperboloida dwupow lokowa: x2

a2 − y2

b2 − z2

c2 = 1,

(8) paraboloida eliptyczna: x2

a2 + y2

b2 − 2pz = 0,

(9) paraboloida hiperboliczna: x2

a2 − y2

b2− 2pz = 0.

Ponadto, rownania drugiego stopnia w R3 moga przedstawiac ”powierzchnie zde-generowane”, np. ”podwojna p laszczyzne” (x2 = 0), pare p laszczyzn przecinajacychsie (x2 − y2 = 0) itd.

5. Objetosc rownoleg loscianu.

Rownoleg loscianem rozpietym na wektorach liniowo niezaleznych v1, . . . vk przestrzeniafinicznej E nazywamy zbior

R = {X ;−−→PX =

k∑

i=1

tivi, 0 ≤ ti ≤ 1}.

W szczegolnosci, R jest odcinkiem, gdy k = 1, rownoleg lobokiem, gdzy k = 2, itd.Z analizy wiadomo, ze objetosci figur w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

oblicza sie przyblizajac te figury sumami mnogosciowymi rownoleg loscianow, a ichobjetosci sumami objetosci tych rownoleg loscianow. Zatem, kluczowym zagadnie-niem dotyczacym objetosci figur geometrycznych jest znalezienie wzoru wyrazajacegoobjetosc nazsego zbioru R.


Twierdzenie. Kwadrat objetosci |R| rownoleg loscianu R jest rowny wyznacznikowiGrama wyznaczonego prze wektory v1, . . . , vk, tzn.

|R|2 = det[〈vi, vj〉; i, j ≤ k].

Uwaga. Zauwazmy, ze wyznacznik Grama G(v1, . . . vk) = det[〈vi, vj〉] jest zawszenieujemny, a zeruje sie wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v1, . . . , vk sa liniowozalezne. To pierwsze stwierdzenie wynika z ponizszego dowodu, a to drugie stad,ze znikanie wzyznacznika jest rownowazne liniowej zaleznosci jego kolumn. Jeslikolumny wyznacznika G(v1, . . . , vk) sa liniowo zalezne to np. 〈vk, vi〉 =

∑

j<k xj〈vj , vi〉dla wszystkich i ≤ k i pewnych xj ∈ R. Wtedy vk −

∑

j xjvj ⊥ Lin(v1, . . . , vk), a

poniewaz oczywiscie vk −∑

j xjvj ∈ Lin(v1, . . . , vk), wiec vk −∑

j xjvj = 0.

Dowod. Przeprowadzimy indukcje wzgledem wymiaru k rownoleg loscianu R.1. Dla k = 1, |R|2 = |v|2 = 〈v, v〉, a wiec dowodzona rownosc jest spe lniona. Dla

k = 2,

|R|2 = |v1|2|v2|2 sin2∢(v1, v2) = |v1|2|v2|2(1− cos2 ∢(v1, v2)) = |v1|2|v2|2−〈v1, v2〉2

i znow dowodzona rownosc jest spe lniona.2. Przypuscmy, ze dowodzona rownosc jest spe lniona dla rownoleg loscianow

rozpietych na j < k wektorach. Oznaczmy przez R′ podstawe rownoleg loscianu R,tj. rownoleg loscian rozpiety na wektorach v1, . . . vk−1. Wtedy

|R| = |R′| · h,

gdzie h jest wysokoscia rownoleg loscianu R, tj. d lugoscia sk ladowej v⊥k wektora vkprostopad lej do hiperp laszczyzny Lin{v1, . . . , vk−1}. Poniewaz

v⊥k = vk −k−1∑

j=1

xjvj ,

gdzie x1, . . . , xk−1 spe lniaja uk lad rownan

k−1∑

j=1

xj〈vi, vj〉 = 〈vk, vi〉,

wiec

h2 = |vk|2 − 2∑

j

xj〈vk, vj〉+∑

i,j

xixj〈vi, vj〉 = 〈vk, vk〉 −∑

j

xj〈vk, vj〉.

Oznaczmy przez G wyznacznik Gramma wektorow v1, . . . , vk, przez Gj jego mi-nor otrzymany przez skreslenie k-tego wiersza i j-tej kolumny, przez G′ wyznacznikGrama wektorow v1, . . . , vk−1, a przez G′

j wyznacznik otrzymany z G′ przez zastapieniewyrazow j-tej kolumny iloczynami 〈vi, vk〉. Wtedy, na mocy wzorow Crammera,

G′ · xj = G′j ,


a na mocy w lasnosci wyznacznikow,

G′j = (−1)k+j−1Gj .

Ponadto, za lozenie indukcyjne implikuje rownosc

|R′|2 = G′.

Zatem, korzystajac z rozwiniecia Laplace’a dla wyznacznika G otrzymujemy

|R|2 = G′〈vk, vk〉 −k−1∑

j=1

(−1)k+j−1〈vk, vj〉 ·Gj = G.



Rozdzia l 8. Teoria spektralna

1. Wartosci i wektory w lasne. Niech f : V → V bedzie endomorfizmemprzestrzeni wektorowej V . Niezerowy wektor v ∈ V nazywamy wektorem w lasnymendomorfizmu f , gdy

f(v) = λ · v

dla pewnego skalara λ. Skalar λ nazywamy wtedy wartoscia w lasna endomorfizmuf (odpowiadajaca wektorowi v). Zbior Spec(f) wszystkich wartosci w lasnych en-domorfizmu f nazywamy jego spektrum. Oczywiscie, zbior wszystkich wektoroww lasnych odpowidajacych tej samej wartosci w lasnej λ tworzy (po do laczeniu donwektora zerowego) podprzestrzen Eλ przestrzeni V .

Na przyk lad, Spec(id) = {1}, obrot o kat α ∈ (0, π) na p laszczyznie ma pustespektrum, a wartosciami w lasnymi endomorfizmu f : R2 → R2 o macierzy

(

2 11 1

)

sa liczby λ1,2 = 0, 5 · (3±√

5). Istotnie, z teorii uk ladow rownan liniowych wynikaod razu nastepujace

Twierdzenie 1. Liczba λ jest wartoscia w lasna endomorfizmu f o macierzy Awtedy i tylko wtedy, gdy

(1) det(A− λI) = 0. �

Latwo zuwa.zyc, .ze rozwiazania powy.zszego rownania nie zaleza od wyborubazy w jakiej przedstawilismy f . Istotnie, je.zeli B jest macierza endomorfizmu fw innej bazie, to B = CAC−1 dla pewnej macierzy nieosobliwej C. Wtedy

det(B − λI) = det[C(A− λI)C−1] = det(A− λI).

Dlatego, wartosci w lasne endomorfizmu f jak i pewne funkcje z nich utworzonesa niezmiennikami endomorfizmu. Sa nimi np. elementarne funkcje symetrycznewartosci w lasnych, w szczegolnosci ich suma - slad endomorfizmu. Slad tr(f) endo-morfizmu jest okreslony dobrze nawet wtedy, gdy wartosci w lasne nie istnieja:

tr(f) = a11 + · · ·+ ann,

gdy A = [aij ] jest macierza f w dowolnej bazie v1, . . . , vn. Podobnie, niezmi-ennikiem endomorfizmu jest jego wyznacznik det f = detA, ktory pokrywa sie ziloczynem wwszystkich wartosci w lasnych (o ile istnieja).

Rownanie (1) jest rownaniem algebraicznym stopnia n = dimV , a wiec posiadazawsze rozwiazania, jesli V jest przestrzenia wektorowa nad cia lem algebraiczniezupe lnym. W szczegolnoci ma to miejsce dla cia la liczb zespolonych:

Twierdzenie 2. Ka.zdy endomorfizm dowolnej zespolonej przestrzeni liniowej posi-ada przynajmniej jedna wartosc w lasna (i wektor w lasny). �

Na przyk lad, wspomniany wczesniej obrot p laszczyzny R2 ≈ C mozna trak-towac jako mnozenie przez zespolona liczbe eiα, ktora jest oczywiscie jego zespolona


wartoscia w lasna. Ogolniej, ka.zdy endomorfizm n- wymiarowej przestrzeni ze-spolonej V mo.zna traktowac jako endomorfizm odpowiadajacej jej 2n-wymiarowejprzestrzeni rzeczywistej. Odwrotnie, je.zeli V jest przestrzenia wektorowa nad R,to sume prosta V ⊕V mo.zna wyposazyc w naturaly sposob w strukture zespolonejprzestrzeni wektorowej przyjmujac, ze

(a + ib)(v, w) = (av − bw, aw + bv).

Tak otrzymana przestrzen zespolona nazywana jest kompleksyfikacja przestrzenirzeczywistej V i oznaczana sybolem VC. Piszemy v + iw zamiast (v, w) ∈ VC.

Dowolny endomorfizm f przestrzeni V wyznacza w naturalny sposb swoja kom-pleksyfikacje fC : VC → VC:

fC(v + iw) = f(v) + if(w).

fC jest przekszta lceniem C-liniowym (sprawdzic !), jest wiec endomorfizmem ze-spolonej przestrzeni wektorowej VC. Jego spektrum nazywamy spektrum zespolonymendomorfizmu rzeczywistego f . Kazda zespolona przestrzen wektorowa wymiaru nmoze byc traktowana jako 2n-wymiarowa przestrzen rzeczywista, a kazdy jej ze-spolony endomorfizm f jest tez endomorfizmem rzeczywsitym i moze byc skom-pleksyfikowany. Wtedy Spec(fC = Spec(f) (⊂ C), a wiec definicja powyzsza nieprowadzi do nieporozumien.

2. Endomorfizmy samosprzezone.

Jezeli rzeczywista przestrzen wektorowa V jest wyposazona w iloczyn skalarnyg, to dla kazdego endomorfizmu f tej przestrzeni warunek

g(f(v), w) = g(v, f∗(w))

wyznacza nowy jej endomorfizm f∗. Nazywamy go endomorfizmem sprzezonym dof , a f endomorfizmem samosprzezonym, gdy f∗ = f . Jezeli A = [aij ] jest macierzaendomorfizmu f w pewnej bazie ortonormalnej, to macierz transponowana A⊤ jestmacierza endomorfizmu f∗. Zatem, f jest samosprzazony wtedy i tylko wtedy,gdy jego macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest symetryczna (A⊤ = A). Latwo sprawdzic, ze warunek ten jest niezalezny od wyboru bazy ortonormalnej:Jesli B jest macierza f w innej bazie ortonormalnej, to B = CAC−1 dla pewnejmacierzy ortogonalnej C; poniewaz C−1 = C⊤, wiec B⊤ = (CAC⊤)⊤ = CA⊤C⊤ =CAC−1 = B. Jesli v jest wektorem w lasnym endomorfizmu samosprzezonego f ,to przestrzen W = Lin(v)⊥ jest f -niezmiennicza, tzn. f(W ) ⊂ W i poszukiwaniewektorow i wartosci w lasnych mozna prowadzic indukcyjnie.

Podobnie, w przypadku zespolonym, jezeli h jest tzw. iloczynem hermitowskimna przestrzeni V (nad C), tzn. h : V × V → C, h jest C-liniowe ze wzgledu na

pierwsza zmienna, h(v, w) = h(w, v) i h(v, v) > 0 gdy v 6= 0, to endomorfizmemsprzezonym do f : V → V nazywamy taki endomorfiznm f∗, ze

h(f(v), w) = h(v, f∗(w))

dla wszystkich v i w z V . Jesli f∗ = f , to f nazywamy endomorfizmem samo-sprzezonym lub hermitowskim. Wiekszosc pojec geometrii euklidesowej (ortogo-nalnosc wektorow, baza ortogonalna i ortonormalna itd.) przenosi sie automaty-cznie z przypadku euklidesowego. Podobnie, w przpadku hermitowskim zachodzitwierdzenie Schmidta o ortogonalizacji. W szczegolnosci, ortogonalne uzupe lnienieW⊥ podprzestrzeni W ⊂ V okresla sie przy pomocy warunku

v ∈W⊥ ⇔ (∀w ∈W ) h(v, w) = 0.

Oczywiscie, dimW + dimW⊥ = dimV .


Twierdzenie spektralne. (przypadek zespolony) Jezeli V jest skonczenie wymi-arowa zespolona przestrzenia wektorowa z iloczynem hermitowskim h, zas f : V →V jest endomorfizmem hermitowskim, to istnieje w V baza ortonormalna z lozona zwektorow w lasnych f .

Dowod. Na mocy wczesniejszego twierdzenia istnieje wektor w lasny v1 endomor-fizmu f . Niech w1 = h(v1, v1)−1/2v1. Wtedy w1 jest jednostkowym (h(w1, w1) = 1)wektorem w lasnym f . Przypuscmy, ze mamy wektory w lasne w1, . . .wk (k <n = dimV ) takie, ze h(wi, wj) = δij dla wszystkich i, j ≤ k. Niech W =Lin(w1, . . . , wk). Wtedy, W jest przestrzenia f -niezmiennicza (tzn. f(W ) ⊂ W ),a wiec jej ortogonalne uzupe lnienie W⊥ jest tez f niezmiennicze. f |W⊥ jest wiecendomorfizmem zespolonej przestrzeni wektorowej W⊥ i dimW⊥ > 0. Istniejewiec wektor w lasny vk+1 ∈ W⊥. Niech wk+1 = h(vk+1, vk+1)−1/2vk+1. Wektoryw lasne w1, . . . , wk+1 tworza uk lad ortonormalny (tj. h(wi, wj) = δij dla wszystkichi, j ≤ k + 1. Indukcja konczy dowod. �

Poprzez kompleksyfikacje przestrzeni i endomorfizmu rzeczywistego oraz zas-tosowanie stosownego iloczynu hermitowskiego mozna udowodnic (patrz (!) np. S.Lang, Algebra, PWN) nastepujace

Twierdzenie spektralne. (przypadek rzeczywisty) Jezeli V jest skonczenie wymi-arowa rzeczywista przestrzenia wektorowa z iloczynem skalarnym g, zas f : V → Vjest endomorfizmem samosprzezonym, to istnieje w V baza ortonormalna z lozona zwektorow w lasnych f . �

algebra liniowa i geometria

Documents