algebr˘a liniar˘a ¸si elemente de geometrie euclidian˘aneculae/curs algebra si geometrie.pdf ·...

Universitatea de Vest din Timisoara

Facultatea de Fizica

Algebra liniara

si

elemente de geometrie euclidiana

Adrian NECULAE

- Curs pentru uzul studentilor -

Timisoara - 2010

Tipografia Universitatii de Vest din Timisoara

Cuprins

Introducere 5

Notiuni introductive 7Multimi, relatii binare si aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Legi de compozitie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Structuri algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Permutari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 Spatii vectoriale 331.1 Spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3 Dependenta si independenta liniara . . . . . . . . . . . . . . . 361.4 Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial . . . . . . . . . . . . 37

1.4.1 Descompunerea unui vector ın raport cu o baza . . . . 391.4.2 Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea

bazei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.5 Omomorfisme de spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6 Spatii vectoriale euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.6.1 Produs scalar. Spatii vectoriale euclidiene . . . . . . . 411.6.2 Norma euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.6.3 Unghiul dintre doi vectori . . . . . . . . . . . . . . . . 441.6.4 Distanta dintre doi vectori . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.7 Ortogonalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.1 Baza ortogonala. Baza ortonormata . . . . . . . . . . . 451.7.2 Proiectie ortogonala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.7.3 Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea

bazelor ortonormate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1

2 CUPRINS

1.8 Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . 511.9 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Operatori liniari 612.1 Definitii si proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2 Operatii cu operatori liniari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3 Nucleul si imaginea unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . 642.4 Matricea unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5 Endomorfisme particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.6 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.6.1 Definitii si proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.6.2 Polinom caracteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6.3 Forma diagonala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6.4 Forma Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.7 Operatori liniari pe spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . 772.8 Izometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.9 Spectrul endomorfismelor pe spatii euclidiene . . . . . . . . . . 832.10 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Forme liniare, biliniare, patratice si multiliniare 953.1 Forme liniare. Dualul unui spatiu vectorial . . . . . . . . . . . 953.2 Covarianta si contravarianta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.2.1 Transformari covariante si transformari contravariante 973.2.2 Componente covariante si contravariante ale unui vector100

3.3 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.4.1 Consideratii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.4.2 Reducerea formelor patratice la expresia canonica . . . 1063.4.3 Signatura unei forme patratice reale . . . . . . . . . . . 112

3.5 Forme multiliniare (p - liniare). Tensori . . . . . . . . . . . . . 1133.5.1 Forme p - liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5.2 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.6 Elemente de algebra tensoriala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4 Geometrie analitica euclidiana ın plan si ın spatiu 1254.1 Elemente de algebra vectoriala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1.1 Reper cartezian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.1.2 Vectori. Operatii cu vectori . . . . . . . . . . . . . . . 1274.1.3 Schimbare de reper cartezian . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1.4 Vectori si pseudovectori . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

CUPRINS 3

4.2 Geometrie ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2.1 Dreapta ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2.2 Cerc. Elipsa. Hiperbola. Parabola . . . . . . . . . . . . 1404.2.3 Conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.3 Geometrie ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.3.1 Dreapta ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.3.2 Planul ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.3.3 Sfera. Elipsoid. Hiperboloid. Paraboloid . . . . . . . . 1514.3.4 Cuadrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.4 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4 CUPRINS

Notiuni introductive

In cadrul acestui capitol cu caracter recapitulativ, sunt prezentate sinteticprincipalele notiuni predate pe parcursul orelor de algebra ın anii de liceu sicare stau la baza notiunilor noi introduse ın lucrarea de fata. Din motive despatiu, prezentarea se rezuma doar la enunturi si scurte observatii, cititoriiinteresati de o tratare mai detaliata a acestor subiecte avand la dispozitie unvast material bibliografic ın domeniu.

Multimi, relatii binare si aplicatii

Multimi

Notiunile de elemente si respectiv multime de elemente sunt notiuni fun-damentale, care nu se definesc cu ajutorul altor notiuni mai generale. Omultime se descrie cu ajutorul proprietatii caracteristice elementelor ei (sinumai lor!) sau prin indicarea elementelor ei.

Definitie: Multimea care nu contine niciun element se numeste multimeavida si se noteaza cu Ø.

Principalele relatii care pot exista ıntre doua multimi sunt:

Definitie: Se spune ca multimea A este egala sau identica cu multimeaB daca orice element din A se gaseste ın B si reciproc (A = B).

Daca A 6= B, atunci exista cel putin un element diferit ıntre cele douamultimi.

Definitie: Se spune ca multimea A este o submultime a multimii B, sauca este inclusa ın multimea B si se noteaza A ⊂ B, daca orice element almultimii A se gaseste si ın multimea B.

Multimea vida poate fi considerata ca o submultime a oricarei multimi.

Incluziunea reciproca a doua multimi, A si B, este echivalenta cu egali-

7

8 Notiuni introductive

tatea lor:A ⊂ B si B ⊂ A ⇔ A = B.

Relatii binare

Definitie: Se numeste produs cartezian al multimii A cu multimea Bansamblul perechilor ordonate (x, y), cu x din A si y din B:

A × B = {(x, y | x ∈ A, y ∈ B)} .

In mod similar se poate defini si produsul cartezian al unui numar finitde multimi:

Definitie: Se numeste produs cartezian al multimilor A1,A2, . . . , An mul-timea sistemelor ordonate (x1, x2, . . . , xn) cu x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, . . . , xn ∈ An.Aceasta multime se noteaza A1 ×A2 × . . .×An. Produsul cartezian A×A×. . . × A de n ori se mai noteaza cu An.

Definitie: Se numeste relatie binara sau corespondenta de la multimeaA la multimea B un triplet R = {G,A, B}, unde G este o submultime aprodusului cartezian A × B. G se numeste graficul relatiei binare, A senumeste multimea de pornire, iar B multimea de sosire.

Daca A = B, o relatie R = {G,A, A}, unde G ⊂ A × A, se numesterelatie binara ın multimea A si se noteaza R = {G, A}.

Principalele tipuri de relatii binare ıntr-o multime sunt definite prin enun-turile de mai jos:

Definitie: O relatie binara R ıntr-o multime A se numeste reflexiva dacaorice element al multimii este ın acea relatie cu el ınsusi:

∀ x ∈ A : xRx.

Daca aceasta proprietate nu este satisfacuta, relatia binara se numeste an-

tireflexiva.

Definitie: O relatie binara R ıntr-o multime A se numeste simetricadaca din faptul ca este verificata de perechea (x, y) rezulta ca este verificatasi pentru perechea (y, x):

xRy ⇒ yRx.

O relatie binara R ın multimea A se numeste antisimetrica daca ea nu poate

fi verificata simultan pentru perechile (x, y) si (y, x) decat daca x = y:

(xRy, yRx) ⇒ x = y.

9

Definitie: O relatie binara R ıntr-o multime A se numeste tranzitivadaca din faptul ca este verificata pentru perechile (x, y) si (y, z) rezulta caeste verificata si pentru perechea (x, z):

(xRy, yRz) ⇒ xRz.

In raport cu aceste enunturi, se mai pot defini si alte tipuri particulare de

relatii binare:

O relatie binara R ıntr-o multime A se numeste de echivalenta daca esteın acelasi timp reflexiva, simetrica si tranzitiva.

O relatie binara R ıntr-o multime A se numeste de preordine daca este ınacelasi timp reflexiva si tranzitiva.

O relatie binara R ıntr-o multime A se numeste de ordine daca este ınacelasi timp reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

Aplicatii

Aplicatiile (numite sı relatii functionale, functii, reprezentari, transformari,corespondente univoce sau operatori) reprezinta o clasa foarte importanta derelatii binare. Ele se definesc ın modul urmator:

Definitie: Se numeste aplicatie a multimii A ın multimea B o corespon-denta f = {F, A,B} care asociaza fiecarui element x din A un element unicdeterminat y din B. Multimea F ⊂ A × B se numeste graficul aplicatiei f.Pentru o aplicatie f se foloseste notatia:

f : A → B.

Elementul y din B care corespunde prin f unui element x dat din A senumeste imaginea lui x prin f sau valoarea aplicatiei f ın elementul x si senoteaza de obicei cu y = f(x). Elementul x se numeste imaginea inversa,contraimaginea sau sursa lui y. Multimea A se numeste multimea, campulsau domeniul de definitie al aplicatiei f . Multimea tuturor imaginilor f(x)obtinute cand x parcurge multimea A este o submultime a lui B si se numesteimaginea lui A prin f, multimea valorilor lui f, sau imaginea lui f. Ea senoteaza cu f(A) sau Imf . Avem deci:

f(A) = {y ∈ B | y = f(x), x ∈ A}.

Principalele tipuri particulare de aplicatii sunt descrise ın urmatoareledefinitii:


Definitie: O aplicatie f : A → B se numeste surjectiva sau surjectiedaca imaginea multimii A prin f coincide cu multimea B:

f(A) = B sau ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : y = f(x).

Definitie: O aplicatie f : A → B se numeste injectiva sau injectie dacaimaginile oricaror doua elemente distincte din A sunt elemente distincte ınB:

∀ x1, x2 ∈ A, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),

adica orice element y din B are cel mult o contraimagine x din A.

Definitie: O aplicatie f : A → B se numeste bijectiva, bijectie saucorespondenta biunivoca daca orice element y din B este imaginea unui ele-ment si numai unul x din A:

∀ y ∈ B, ∃∗x ∈ A : y = f(x).

Cu alte cuvinte, o aplicatie este bijectiva daca este ın acelasi timp surjectivasi injectiva.

Oricarei aplicatii bijective i se poate asocia ın mod unic o aplicatie, deasemenea bijectiva, numita aplicatia inversa, definita dupa cum urmeaza:

Definitie: Se numeste aplicatie inversa a aplicatiei bijective f : A → Baplicatia f−1 : B → A definita prin conditia ca fiecarui element y ∈ B sa ıicorespunda acel element x ∈ A care este contraimaginea lui y prin f , deci:

∀ y ∈ B, f−1(y) = x ⇔ y = f(x).

Legi de compozitie interne

Definitie: Se numeste lege de compozitie interna sau operatie interna pemultimea A o aplicatie a multimii A × A ın A.

Aceasta operatie asociaza fiecarei perechi ordonate (x, y) de elemente dinA × A un element z unic determinat din A, numit compusul lui x cu y.

Exemple clasice de legi de compozitie interna sunt adunarea, notata cu”+”, pentru care x si y se numesc termeni iar compusul lor z se numestesuma si ınmultirea, notata cu ”·”, pentru care x si y se numesc factori iarcompusul lor z se numeste produs.

Legile de compozitie definite mai sus se numesc binare, dar conceptulpoate fi extins la aplicatii ale multimii A×A× . . .×A de n ori ın A, numitelegi de compozitie n-are.

11

Tipuri particulare de legi de compozitie interne

Definitie: O lege de compozitie ”◦” ın multimea A se numeste asociativadaca:

∀ x, y, z ∈ A : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z).

Definitie: O lege de compozitie ”◦” ın multimea A se numeste comutativadaca:

∀ x, y ∈ A : x ◦ y = y ◦ x.

Element regulat, element neutru si element simetric

Definitie: Se spune ca un element a ∈ A este regulat sau simplificabil fatade legea de compozitie ”◦” daca:

∀ x, y ∈ A :

{a ◦ x = a ◦ y ⇒ x = y,x ◦ a = y ◦ a ⇒ x = y.

Daca este ındeplinita numai prima conditie, elementul a se zice regulat lastanga, iar daca este ındeplinita numai a doua conditie, a se zice regulat ladreapta.

Definitie: Se spune ca un element e al unei multimi A este neutru pentrulegea de compozitie ”◦” daca:

∀ x ∈ A : x ◦ e = e ◦ x = x.

Se poate demonstra ca daca o lege de compozitie admite element neutru,acesta este unic.

Pentru operatia de adunare, elementul neutru se numeste element nulsi se noteaza de obicei cu ”0”, iar pentru operatia de ınmultire se numesteelement unitate si se noteaza de obicei cu ”1”.

Definitie: Se spune ca un element a∗ ∈ A este element simetric pentruelementul a ∈ A fata de o lege de compozitie ”◦” definita pe A si care are unelement neutru e daca:

a ◦ a∗ = a∗ ◦ a = e.

Daca operatia ”◦” este o adunare, a∗ se noteaza cu ”−a” si se numesteopusul lui a.

Daca operatia ”◦” este o ınmultire, a∗ se noteaza cu ”a−1” si se numesteinversul lui a.

Se poate arata ca daca a∗ este element simetric pentru a, atunci si a esteelement simetric pentru a∗, iar daca o lege de compozitie pe A este asociativa,atunci orice element din A are cel mult un simetric.


Omomorfisme

Definitie: Fie A si B doua multimi dotate respectiv cu legile de compo-zitie ”◦” si ”?”. O aplicatie h : A → B se numeste omomorfism pentru legile”◦” si ”?” daca si numai daca imaginea compusului a doua elemente oarecaredin A este egala cu compusul imaginilor corespunzatoare ın B:

∀ x1, x2 ∈ A : h(x1 ◦ x2) = h(x1) ? h(x2).

Un omomorfism bijectiv se numeste izomorfism.

Definitie: O aplicatie h : A → A se numeste endomorfism pentru o lege”◦” data pe A daca si numai daca satisface conditia:

∀ x1, x2 ∈ A : h(x1 ◦ x2) = h(x1) ◦ h(x2).

Un endomorfism bijectiv se numeste automorfism.

Structuri algebrice

Inainte de a defini notiunea de spatiu vectorial, care reprezinta elementulcentral al acestui curs, ne propunem sa reamintim cateva tipuri de structurialgebrice mai simple cum ar semigrupul, monoidul, grupul, corpul si campul.

Prin structura algebrica se ıntelege o multime nevida pe care s-au definitun numar finit de legi de compozitie si de relatii, ımpreuna cu proprietatilelor. O lege de compozitie poate fi o relatie binara, ternara,..., n-ara, ın functiede numarul de elemente din domeniul de definitie pe care le relationeaza. Incea mai mare parte a acestui curs ne vom referi la legi de compozitie binare.La randul lor, acestea pot fi interne (care au fost prezentate ın sectiuneaanterioara) sau externe. Acestea din urma se definesc ın modul urmator:

Definitie: Se numeste lege de compozitie externa sau operatie externa pemultimea nevida M fata de multimea nevida N o aplicatie a multimii N×Mın M . Multimea N se numeste domeniu de operatori.

Semigrup

Definitie: O structura algebrica formata dintr-o multime nevida S sio lege de compozitie interna binara ”?” definita peste tot pe S care esteasociativa se numeste semigrup.

13

Monoid

Definitie: O structura algebrica formata dintr-o multime nevida S sio lege de compozitie interna binara ”?” definita peste tot pe S care esteasociativa si are element neutru se numeste semigrup.

Altfel spus, un monoid este un semigrup cu element neutru.

Grup

Definitie: O multime nevida G ımpreuna cu o operatie binara ”?” pe Gpoarta numele de grup daca sunt satisfacute conditiile:

(1) ∀ g1, g2, g3 ∈ G : g1 ? (g2 ? g3) = (g1 ? g2) ? g3 (asociativitate),(2) ∀ g ∈ G, ∃ e ∈ G : e ? g = g ? e = g (element neutru),(3) ∀ g ∈ G,∃ g∗ ∈ G : g ? g∗ = g∗ ? g = e (element simetric).

Daca mai este satisfacuta si conditia suplimentara:

(4) ∀ g1, g2 ∈ G : g1 ? g2 = g2 ? g1 (comutativitate), grupul G se numeste

comutativ sau abelian.

Un grup se noteaza fie prin (G, ?), fie mai simplu doar prin G, caz ın careoperatia binara este subınteleasa.

Daca operatia ”?” este o adunare, grupul se numeste grup aditiv si senoteaza (G, +), iar daca operatia ”?” este o ınmultire, grupul se numestegrup multiplicativ si se noteaza (G, ·).

Exemple:

• (R,+), (Q\{0}, ·) sunt grupuri;

• (N,+), (Q, ·) nu sunt grupuri;

Definitie: Fie (G, ?) un grup. O submultime nevida H a lui G se numestesubgrup al lui G daca sunt satisfacute conditiile:

(1) ∀ g1, g2 ∈ H : g1 ? g2 ∈ H,(2) ∀ g ∈ H : g∗ ∈ H,

sau, ıntr-o forma mai compacta, daca ∀ g1, g2 ∈ H : g1 ? g∗2 ∈ H.

Putem de asemenea spune ca H este un subgrup al lui G daca si numaidaca H este grup ın raport cu operatia ”?”.

Definitie: Fie (G1, ?) si (G2, ◦) doua grupuri. O functie f : G1 → G2

care satisface conditia:

f(g1 ? g2) = f(g1) ◦ f(g2) , ∀ g1, g2 ∈ G1


se numeste omomorfism de grupuri. Un omomorfism de grupuri bijectiv senumeste izomorfism de grupuri.

In cazul particular G1 = G2 si ? = ◦ ın loc de omomorfism folosimdenumirea de endomorfism, iar ın loc de izomorfism pe cea de automorfism.

Corp

Inainte de a defini structura algebrica de corp, amintim ce se ıntelege prinlegi de compozitie distributive.

Definitie: Fie doua legi de compozitie interne, ”?” si ”◦”, definite pestetot pe o multime nevida A. Se spune ca legea de compozitie ”?” este dis-tributiva fata de legea ”◦” daca:

∀ x, y, z ∈ A :

{x ? (y ◦ z) = (x ? y) ◦ (x ? z),(y ◦ z) ? x = (y ? x) ◦ (z ? x).

Cele doua conditii exprima distributivitatea legii ”?” fata de legea ”◦” lastanga si respectiv la dreapta. Daca legea ”?” este comutativa, atunci dis-tributivitatea la stanga este echivalenta cu cea la dreapta.

Definitie: O multime K ımpreuna cu doua legi de compozitie internedefinite pe produsul cartezian K × K si cu valori ın K, numite adunare sirespectiv ınmultire, care satisfac conditiile:I. Adunarea determina pe K o structura de grup comutativ:

(I.1) ∀ a, b, c ∈ K : a + (b + c) = (a + b) + c,(I.2) ∀ a ∈ K, ∃ 0 ∈ K : 0 + a = a + 0 = a,(I.3) ∀ a ∈ K,∃ − a ∈ K : a + (−a) = (−a) + a = 0,(I.4) ∀ a, b ∈ K : a + b = b + a;

II. Inmultirea determina pe K\{0} o structura de grup:(II.1) ∀ a, b, c ∈ K : a · (b · c) = (a · b) · c,(II.2) ∀ a ∈ K, ∃ 1 ∈ K : 1 · a = a · 1 = a,(II.3) ∀ a ∈ K,∃ a−1 ∈ K : a · a−1 = a−1 · a = 1;

III. Inmultirea este distributiva fata de adunare:∀ a, b, c ∈ K : a · (b + c) = a · b + a · c,

se numeste corp. Un corp pentru care si ınmultirea este comutativa, adica:(II.4) ∀ a, b ∈ K : a · b = b · a,

se numeste camp sau corp comutativ.

Un corp se noteaza (K; +, ·), sau mai simplu K.

Daca cele doua operatii, ”+” si ”·” satisfac numai conditiile (I.1)-(I.4),(II.1) si (III), se spune ca ele definesc pe K o structura de inel.

15

Daca, ın plus, ınmultirea satisface si conditia (II.2), inelul se zice cuelement unitate, iar daca satisface conditia (II.4) inelul se zice comutativ.

Observatie: Notiunile de subcorpuri si respectiv de corpuri omomorfe se de-finesc ın mod absolut analog ca si ın cazul grupurilor.

In cadrul acestui curs vom folosi ın special campul numerelor reale R sicampul numerelor complexe C.

Permutari

Fie A multimea primelor n numere naturale, adica A = {1, 2, ..., n}.Definitie: O functie bijectiva σ : A → A se numeste permutare sau

substitutie de gradul n.

Multimea tuturor permutarilor de gradul n se noteaza cu Sn. Numarulelementelor acestei multimi este egal cu n!.

De obicei, o permutare σ de ordinul n se reprezinta sub forma tablouluiurmator:

σ =

(1 2 3 . . . n

σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)

)

,

adica un tablou ın care pe linia a doua se scot ın evidenta toate valorilefunctiei σ. Fiind vorba de o functie bijectiva, toate aceste valori sunt distincteıntre ele si reprezinta tot numerele de la 1 la n, eventual ın alta ordine.

O reprezentare mai simpla a unei permutari consta ın scrierea directa asecventei

σ(1)σ(2) . . . σ(n).

O permutare remarcabila este permutarea identica, notata:

e =

(1 2 3 . . . n1 2 3 . . . n

)

sau e = 123 . . . n.

Definitie: Permutarea ın care toate elementele raman neschimbate ınafara de doua, care se schimba unul cu celalalt, se numeste transpozitie.

Definitie: O pereche ordonata (i, j) de elemente din A se numeste in-versiune a permutarii σ daca avem σ(i) > σ(j).

Numarul de inversiuni ale permutarii σ se noteaza cu m(σ).

Definitie: Numarul ε(σ) = (−1)m(σ) se numeste signatura sau semnulpermutarii σ.


Permutarile se clasifica ın pare sau impare ın functie de paritatea numa-rului de transpozitii necesare pentru a aduce permutarea la forma permutariiidentice.

O regula foarte simplu de aplicat ın determinarea semnului unei permutarieste sugerata ın exemplu urmator:

Pentru a determina daca secventa 612453 este o permutare para sau im-para a lui 123456, scriem cele doua secvente una sub celalta si unim prin liniicontinue cifrele corespunzatoare de pe cele doua randuri, ca ın figura de maijos:

Observam ca ıntre linii exista sapte intersectii, ceea ce arata ca sunt nece-sare sapte transpozitii pentru a obtine permutarea identica. In consecinta,secventa studiata este o permutare impara si signatura sa este −1.

Matrice

Definitii si notatii

Definitie: Se numeste matrice de tipul m×n sau matrice de dimensiuni msi n peste un camp K un tablou dreptunghiular A format din m×n elementedin K situate pe m linii si n coloane:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

= (aij) , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

unde (aij) este elementul matricei situat pe linia i si coloana j. Un astfel detablou se mai numeste si matrice cu m linii si n coloane.

Cazuri particulare de matrice:

- Daca n = 1, o matrice de tipul m× 1 se numeste matrice coloana si estede forma:

A =

a11

a21

..am1

.

17

- Daca m = 1, o matrice de tipul 1 × n se numeste matrice linie si estede forma:

A = (a11, a12, ..., a1n) .

- Daca m = n, o matrice de tipul n × n se numeste matrice patratica deordinul n.

Daca

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

este o matrice patratica de ordinul n, sistemul ordonat de elemente (a11, a22, ...., ann) se numeste diagonala principala a matricei A, iar sistemul ordonat deelemente (a1n, a2n−1, ..., an1) se numeste diagonala secundara a matricei.

O matrice patratica A se numeste triunghiulara daca toate elementelesituate dedesubtul sau deasupra diagonalei principale sunt nule.

O matrice patratica A se numeste diagonala daca toate elementele eisunt nule, cu exceptia posibila a celor de pe diagonala principala. Matriceadiagonala de ordin n care are toate elementele de pe diagonala principalaegale cu unitatea se numeste matricea unitate de ordinul n si se noteaza In.Sub forma mai compacta putem scrie In = (δij) , 1 ≤ i, j ≤ n,, unde δij estesimbolul lui Kronecker.

Multimea tuturor matricelor cu m linii si n coloane avand elemente dincampul K se noteaza cu Mm×n(K). Doua matrice A si B din Mm×n(K) sezic egale daca sunt identice, adica elementele corespunzatoare sunt egale:

A = B ⇔ aij = bij ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Operatii cu matrice

a) Adunarea matricelor

Fie A = (aij) si B = (bij) doua matrice din Mm×n(K).

Definitie: Se numeste suma matricelor A si B, matricea C = (cij) dinMm×n(K) notata A + B, data de regula:

cij = aij + bij ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Numim matrice nula de tipul m × n matricea notata O care are toateelementele egale cu 0.


Numim opusa matricei A = (aij) matricea notata −A, definita prinrelatia:

−A = (−aij).

Este usor de verificat ca adunarea matricelor are urmatoarele proprietati:comutativitate, asociativitate, are element neutru matricea nula O si oricematrice A are element opus matricea −A.

Operatia de scadere a doua matrice A,B ∈ Mm×n(K) nu este altcevadecat adunarea dintre A si opusul matricei B.

b) Inmultirea cu scalari a matricelor

Fie A = (aij) o matrice din Mm×n(K) si a un scalar din K.

Definitie: Matricea B = (bij) ∈ Mm×n(K) ale carei elemente sunt datede egalitatile:

bij = a · aij ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

se numeste produsul dintre scalarul a si matricea A si se noteaza B = a · A.

c) Inmultirea matricelor

Fie doua matrice A = (aij) ∈ Mm×n(K) si B = (bij) ∈ Mn×p(K).

Definitie: Se numeste produsul matricelor A si B, matricea C = (cij)din Mm×p(K), notata A · B, data de regula:

cij =n∑

k=1

aik · bkj ∀ 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.

adica pentru a obtine elementul din matricea A ·B de pe linia i si coloana j,se face suma produselor elementelor corespunzatoare de pe linia i a matriceiA cu cele de pe coloana j a matricei B. Mai pe scurt, dar mai putin riguros,putem spune ca ”se ınmultesc liniile cu coloanele”.

Este important sa subliniem faptul ca ınmultirea matricelor nu este defini-ta pe multimea tuturor matricelor, ea fiind posibila doar atunci cand numarulcoloanelor primei matrice este egal cu numarul liniilor celei de a doua.

Dintre proprietatile acestei operatii amintim faptul ca ınmultirea esteasociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C , ∀ A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×p(K), C ∈ Mp×q(K),

19

este distributiva la dreapta si la stanga fata de adunare:

A · (B + C) = (A · B) + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C,

∀ A ∈ Mm×n(K), B, C ∈ Mn×p(K)

si are element neutru (matricea unitate, In).

Pentru orice matrice A = (aij) ∈ Mm×n(K) se pot verifica egalitatile:

Im · A = A, respectiv A · In = A.

Transpusa unei matrice

Fie A = (aij) o matrice din Mm×n(K).

Definitie: Matricea tA = (takl) ∈ Mn×m(K) ale carei elemente sunt datede egalitatile:

takl = alk ∀ 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m,

se numeste transpusa matricei A.

Se observa ca transpusa unei matrice se obtine inversand liniile cu coloa-nele acesteia. In particular, ın cazul matricelor patratice, diagonala princi-pala a matricei initiale este aceeasi cu cea a matricei transpuse.

In raport cu operatia de transpunere, se pot defini urmatoarele tipuriparticulare de matrice patratice:

- O matrice patratica A se numeste simetrica daca satisface conditia:

A = tA.

- O matrice patratica A se numeste antisimetrica daca satisface conditia:

A = −tA.

De asemenea, se poate arata ca transpusa unui produs de matrice esteegala cu produsul transpuselor luate ın ordine inversa:

t(A · B) = tB · tA.

Aceasta proprietate se poate generaliza si pentru produsul dintre n matrice.

Determinanti

Determinantul este un numar asociat unei matrice patratice. Unei matricepatratice de ordinul n i se poate asocia un determinant de ordinul n. Cazurileparticulare cele mai des ıntalnite sunt determinantii de ordinul doi si respectivtrei.


Determinanti de ordinul doi si trei

Fie o matrice patratica de ordinul doi:

A =

(a11 a12

a21 a22

)

.

Definitie: Numarul

det A =

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a12a21

se numeste determinantul de ordinul doi asociat matricei A. Produsele a11a22

si a12a21 se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

Fie matricea patratica de ordinul trei:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

Definitie: Numarul

det A =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

=

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32,

se numeste determinantul matricei de ordinul trei. Produsele de cate treielemente ale matricei A care apar ın aceasta expresie se numesc termeniideterminantului de ordinul trei.

O metoda simpla pentru calculul determinantului de ordinul trei este datade regula lui Sarrus. Se formeaza un tablou scriind mai ıntai liniile matriceiA si apoi scriind ınca odata primele linii ale lui A. Obtinem astfel un tabloucu cinci linii si trei coloane:

din care se pot identifica cu usurinta termenii din dezvoltarea determiantului:termenii cu semnul ”+” sunt cei care se obtin din ınmultirea elementelor de

21

pe diagonala principala a matricei A si respectiv de pe cele doua ”diagonale”paralele cu ea (trasate cu linie continua), iar termenii cu semnul ”-” sunt ceicare se obtin din ınmultirea elementelor de pe diagonala secundara a matriceiA si respectiv de pe cele doua ”diagonale” paralele cu aceasta (trasate cu liniepunctata).

Determinantul unei matrice patratice de ordinul n

Definitiile de mai sus pot fi extinse pentru cazul unei matrice patratice deordinul n. Fie o astfel de matrice:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

Definitie: Numarul

det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣

=∑

σ∈Sn

ε(σ)a1σ1a1σ2

...a1σn

se numeste determinantul de ordinul n asociat matricei A. Sn este multimeatuturor celor n! substitutii σ ale multimii {1, 2, ..., n}, iar ε(σ) este signaturasubstitutiei σ.

Proprietatile determinantilor

Principalele proprietati ale determinantilor sunt urmatoarele:

- Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei trans-puse, adica daca A ∈ Mn(K), atunci det A = det tA. In consecinta, valoareadeterminantului nu se modifica daca se schimba ıntre ele liniile si coloaneleunei matrice patratice.

- Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,atunci determinantul matricei este nul.

- Daca ıntr-o matrice se schimba ıntre ele doua linii (sau coloane), seobtine o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului ma-tricei initiale.

- Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice, atunci determinan-tul sau este nul.


- Daca toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice suntınmultite cu un scalar a, obtinem o matrice al carei determinant este egal cua ınmultit cu determinantul matricei initiale.

- Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrice sunt propor-tionale, atucni determinantul matricei este nul.

- Fie A = (ai,j), 1 ≤ i, j ≤ n o matrice patratica de ordinul n. Pre-supunem ca elementele liniei i sunt de forma: aij = a′

ij + a′′ij, ∀ 1 ≤ j ≤ n.

Daca A′, respectiv A′′, sunt matricele care se obtin din A ınlocuind elementelede pe linia i cu elementele a′

ij, respectiv a′′ij, 1 ≤ j ≤ n, atunci:

det A = det A′ + det A′′.

- daca o linie (sau coloana) a unei matrice patratice este o combinatieliniara de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei estezero.

- Daca la o linie (sau coloana) a matricei patratice A adunam elementelealtei linii (sau coloane) ınmultite cu acelasi scalar, atunci aceasta matrice areacelasi determinant ca si matricea A.

Interpretarea geometrica a determinantului de ordinultrei

Fie trei vectori necoplanari, ~u, ~v, ~t, avand originea comuna ın punctul 0, asacum este prezentat ın figura de mai jos.

Volumul paralelipipedului constrit cu acesti vectori este egal cu valoareaabsoluta a produsului mixt (~u×~v)·~t. Daca notam cu ux, uy, uz componentelescalare ale vectorului ~u, vx, vy, vz componentele scalare ale vectorului ~v sirespectiv tx, ty, tz componentele scalare ale vectorului ~t, tinand cont de

23

formula determinantului de ordinul trei putem scrie:

(~u × ~v) · ~t =

∣∣∣∣∣∣

tx ty tzux uy uz

vx vy vz

∣∣∣∣∣∣

,

deci volumul paralelipipedului construit cu ajutorul celor trei vectori esteegal cu valoarea absoluta a determinantului care contine ca elemente com-ponentele scalare ale celor trei vectori.

Calculul determinantilor

Utilizarea formulei de calcul pentru determiantul de ordinul n este destulde dificila si de aceea, din punct de vedere practic se prefera o metoda careconsta ın reducerea succesiva cu o unitate a ordinului determinantului. Incele ce urmeaza, descriem pe scurt aceasta metoda.

Fie det A un determinant de ordinul n:

D = det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣

Determinatul de ordinul n − 1 care se obtine suprimand linia i si coloana jdin acest determinant se numeste minorul elementului aij si se noteaza cudij. Numarul:

Dij = (−1)i+jdij

se numeste complementul algebric al elementului aij ın determinatul d. Evi-dent, unui determinant de ordinul n i se pot asocia n2 minori de ordinuln−1 si tot atatia complementi algebrici. Pentru calculul determinantului deordinul n prin reducerea ordinului cu o unitate, se foloseste una dintre celedoua teoreme enuntate mai jos:

Teorema: Fie D = |aij|, 1 ≤ i, j ≤ n un determinant de ordinul n.Atunci, pentru orice 1 ≤ i ≤ n are loc egalitatea:

D = ai1Di1 + ai2Di2 + . . . + ainDin.

Aceasta egalitate se numeste dezvoltarea determinantului D dupa linia i.

Teorema: Fie D = |aij|, 1 ≤ i, j ≤ n un determinant de ordinul n.Atunci, pentru orice 1 ≤ j ≤ n are loc egalitatea:

D = a1jD1j + a2jD2j + ... + anjDnj.


Aceasta egalitate se numeste dezvoltarea determinantului D dupa coloana j.

Folosirea acestei teoreme se face ın mod succesiv, pana se ajunge la de-terminanti de ordinul trei.

Rangul unei matrice

Fie o matrice A ∈ Mm×n(K).

Definitie: Daca ın matricea A alegem k linii, i1, i2, ..., ik si k coloane,j1, j2, ..., jk, elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloaneformeaza o matrice patratica de ordinul k, al carui determinant de numesteminor de ordin k al matricei A.

Definitie: Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rangA = r dacaA are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai maredecat r (daca exista) sunt nuli.

Se poate arata ca rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egalcu rangul fiecarei matrice.

Daca matricea A este nula, spunem ca ea are rangul 0.

Inversa unei matrice nesingulare

Inainte de a arata cum se calculeaza inversa unei matrice, amintim conditiileın care aceasta operatie este posibila.

Definitie: O matrice patratica se zice singulara, neregulata sau degene-rata daca determinantul sau este nul, si se numeste nesingulara, regulata saunedegenerata daca determinantul sau este nenul.

Definitie: Fie A o matrice patratica de ordinul n. Se spune ca A esteinversabila daca exista o matrice B patratica de ordinul n astfel ıncat:

A · B = B · A = In,

unde In este matricea unitate de ordinul n. Matricea B se numeste inversamaticei A.

Inversa unei matrice A se noteaza de obicei cu A−1 si se poate arata cadaca aceasta exista, atunci este unica.

Calculul inversei unei matrice are la baza urmatoarea teorema:

Teorema: Fie A o matrice patratica de ordinul n cu elemente din campulK (R sau C). Matricea A este inversabila daca si numai daca A este nesin-gulara, adica daca detA este nenul.

25

Pentru o matrice A de forma:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...an1 an2 ... ann

,

definim o matrice ajutatoare:

A∗ =

A11 A21 ... An1

A12 A22 ... An2

... ... ... ...A1n A2n ... Ann

,

al carei element Aji apartinand liniei j si coloanei i este complementul alge-bric al elementului aij din matricea A. Aceasta matrice se numeste matriceaadjuncta matricei A.

Inversa matricei nesingulare A se obtine ımpartind elementele matriceiadjuncte A∗ prin D = det A, deci:

A−1 =1

det AA∗.

Este usor de verificat ca daca A este inversabila atunci si A−1 este in-versabila si avem (A−1)−1 = A.

Sisteme de ecuatii liniare

Notiuni generale

In continuare vom reaminti principalele elemente legate de sistemele de ecu-atii algebrice de gradul ıntai cu mai multe necunoscute, numite si sisteme deecuatii liniare.

Definitie: Se numeste sistem de m ecuatii cu n necunoscute peste campulK un ansamblu de m relatii de forma:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b0

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b1

...........................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

(1)

care se scriu sub forma condensata:n∑

j=1

aijxj = bi, 1 ≤ i ≤ m,


unde xj ∈ K se numesc necunoscutele sistemului, iar aij, bi ∈ K sunt coefici-entii necunoscutelor si respectiv termenii liberi ai sistemului.

Matricea

A =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...am1 am2 ... amn

se numeste matricea sistemului, iar matricea:

A =

a11 a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

... ... ... ... ...am1 am2 ... amn bm

se numeste matricea largita (extinsa, sau completa) a sistemului.

Folosind notatiile:

X =

x1

x2...

xn

si B =

b1

b2...

bm

sistemul (1) se poate scrie sub forma matriceala:

A · X = B.

Sistemul se zice neomogen daca cel putin un termen liber este diferit dezero si omogen daca toti termenii liberi sunt nuli.

Definitie: Se numeste solutie a sistemului (1) orice ansamblu ordonatformat din n elemente α1, α2, ..., αn din K cu proprietatea ca ınlocuind ınmembrul stang al sistemului x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn si efectuandcalculele, se obtin elementele corespunzatoare din membrul drept.

Definitie: Un sistem de ecuatii liniare se numeste compatibil daca arecel putin o solutie si incompatibil ın caz contrar.

Problema fundamentala care se pune ın legatura cu un sistem de ecuatiiliniare este stabilirea faptului daca sistemul este compatibil sau nu, iar ıncazul ın care este compatibil, sa se spuna daca este determinat sau nu si apoisa se gaseasca toate solutiile sale.

27

Sisteme Cramer

Un caz particular de sisteme liniare sunt asa numitele sisteme Cramer.

Definitie: Se numeste sistem Cramer un sistem liniar de n ecuatii cun necunoscute pentru care matricea A a sistemului este nesingulara, adicaD = det A 6= 0.

Solutiile unui astfel de sistem se calculeaza pe baza urmatoarei teoreme:

Teorema (Regula lui Cramer): Orice sistem Cramer este compatibilsi are solutie unica data de formulele:

x1 =D1

D, x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D,

unde prin Di, 1 ≤ i ≤ n, am notat determinantul matricei obtinute dinmatricea sistemului prin ınlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi.

In concluzie, un sistem de n ecuatii cu n necunoscute al carui determinanteste nenul este ıntotdeauna compatibil determinat, iar solutia sa este datade formulele lui Cramer.

Sisteme de m ecuatii liniare cu n necunoscute

In continuare vom trata cazul unui sistem oarecare de ecuatii liniare, fara aimpune ca numarul necunoscutelor sa fie egal cu numarul ecuatiilor. Rezul-tatele prezentate sunt valabile si ın cazul ın care numarul ecuatiilor este egalcu cel al necunoscutelor, iar determinantul sistemului este nul.

Problema compatibilitatii unui sistem liniar se rezolva cu ajutorul unuicriteriu de compatibilitate dat de teorema urmatoare:

Teorema lui Kronecker-Capelli: Un sistem de ecuatii liniare (1) estecompatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului A este egal curangul matricei extinse A.

Din punct de vedere practic, utilizarea acestei teoreme implica ın primulrand calculul rangului matricei A. Aceasta ınseamna gasirea unui minornenul d al lui A, astfel ıncat toti minorii care ıl contin pe d sa fie nuli. Oriceminor de acest fel se numeste minor principal. Apoi trebuie verificat ca oriceminor al matricei A care contine pe d si nu este minor al lui A este de aseme-nea nul. Un astfel de minor, obtinut prin bordarea unui minor principal cuelementele corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi si cu cele ale uneiadintre liniile ramase se numeste minor caracteristic. Pe baza acestor notiuni,se poate enunta o teorema echivalenta teoremei lui Kronecker-Capelli:


Teorema lui Rouche-Frobenius: Un sistem de ecuatii liniare (1) estecompatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

Cele doua teoreme sunt criterii de compatibilitate, dar nu spun nimicreferitor la gasirea proriuzisa a solutiilor. Pentru aceasta, se procedeaza ınmodul urmator:

Pentru a fixa ideile, presupunem ca rangul minorului principal al sistemu-lui este r si ca facem o rearanjare a sistemului de ecuatii astfel ıncat minorulformat din coeficientii primelor r necunoscute sa fie cel principal. In acestcaz, necunoscutele x1, x2, ..., xr se numesc necunoscute principale iar cele-lalte n − r se numesc necunoscute secundare. Se pastreaza din sistemul (1)doar ecuatiile care corespund liniilor minorului principal. In aceste ecuatiise trec ın membrul drept termenii care contin necunoscutele secundare si seobtine un sistem liniar de r ecuatii cu r necunoscute (cele principale). Seatribuie valori arbitrare necunoscutelor secundare si se calculeaza cu ajutorulformulelor lui Cramer valorile necunoscutelor principale ın functie de acestiparametri ai problemei. Pentru ca sistemul compatibil (1) sa aiba solutieunica, este necesar si suficient ca rangul matricei sistemului sa fie egal cunumarul necunoscutelor.

Sisteme de ecuatii liniare omogene

Definitie: Un sistem de ecuatii liniare se numeste omogen daca termenulliber al fiecarei ecuatii este nul (adica fiecare ecuatie este omogena).

Forma generala a unui astfel de sistem este urmatoarea:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0...........................................am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

(2)

sau sub forma condensata:

n∑

j=1

aijxj = 0, 1 ≤ i ≤ m.

Referitor la aceste sisteme putem face urmatoarele observatii:

- Un sistem omogen este ıntotdeauna compatibil, deoarece admite ıntot-deauna solutia banala (nula) x1 = x2 = ... = xn = 0.

- Un sistem omogen de n ecuatii cu n necunoscute are solutii nenule dacasi numai daca determinantul sau este nul.

29

- Daca rangul matricei sistemului omogen, r, este egal cu numarul ne-cunoscutelor, n, atunci solutia nula este singura solutie a sistemului.

- Daca r < n, sau daca sistemul omogen are numarul ecuatiilor mai micdecat cel al necunoscutelor, atunci el are si solutii nenule. Pentru gasireaacestora se procedeaza ca si ın cazul sistemelor arbitrare.

Probleme

1. Fie matricele

A =

−1 2 10 3 1

−2 0 −1

si B =

2 0 11 3 21 1 1

.

Sa se calculeze:

a) tA, A2, tB, B2;

b) t(A + B), A + B, A2 − B2;

c) A · B − B · A, tB − A.

2. Fie matricea A ∈ M2(Q), A =

(1 −12 −2

)

. Sa se determine toate

matricele X ∈ M2(Q) astfel ıncat A · X = X · A.

3. Sa se determine x, y, z, u, v, w daca este satisfacuta relatia matriceala:

2

(x −2y 3z

−3 2 −1

)

+ 3

(1 −2 2u v −3w

)

=

(5 −2 183 −5 −11

)

.

4. Sa se rezolve ecuatia matriceala:

X2 =

(1 12

−4 1

)

.

5. Sa se calculeze determinantii de ordinul doi:

a)

∣∣∣∣

−1 15 −1

∣∣∣∣

,

∣∣∣∣

a b−a b

∣∣∣∣

,

∣∣∣∣

cos α − sin αsin α cos α

∣∣∣∣;

b)

∣∣∣∣

sin α cos αsin β cos β

∣∣∣∣

,

∣∣∣∣

√2 +

√3 2 −

√5

2 +√

5√

2 −√

3

∣∣∣∣,

unde a, b, α, β sunt numere reale.


6. Sa se calculeze determinantii de ordinul trei:∣∣∣∣∣∣

0 1 7−2 1 −1

3 2 1

∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣

0 1 11 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣

a b bb a bb b a

∣∣∣∣∣∣

.

7. Sa se calculeze determinantii:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 0 01 2 1 00 1 2 10 0 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

;

b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −1 43 1 −4 52 0 1 −16 −5 4 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 5 0 −11 0 3 73 −1 0 52 6 −4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 2 4 5−1 4 1 2

0 2 1 −24 3 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

.

8. Fie matricele A =

(3 51 2

)

si B =

(1 −13 2

)

. Sa se calculeze ma-

tricele X si Y care sunt solutii ale ecuatiilor matriceale A · X = B sirespectiv Y · A = B. Verificati daca ınmultirea matricelor este comu-tativa.

9. Sa se calculeze, daca este posibil, inversele matricelor:

1 2 10 3 21 0 1

,

1 2 4−3 3 −10−2 5 −6

,

1 2 −1 43 1 4 −52 0 1 −16 −5 4 −4

;

10. Calculati inversa matricei de mai jos. Discutie dupa parametrul α.

1 α 00 1 23 1 1

.

11. Sa se calculeze rangurile matricelor:

a)

(2 56 15

)

,

(1 26 5

)

,

(2 02 0

)

.

b)

1 2 2 44 5 8 103 1 6 2

,

1 −2 32 1 24 2 43 −6 9

,

1 3 −1−1 3 0

2 1 3

.

31

12. Calculati rangul matricelor

(−1 3

2 α

)

,

1 2 −1−1 3 0

2 α 3

,

2 α −2 24 −1 2α 52 10 −12 1

,

pentru diferite valori ale lui α ∈ C.

13. Sa se rezolve sistemele de ecuatii liniare:

a)

x1 + x2 + x3 = 62x1 − x2 + x3 = 3x1 + x2 − x3 = 0

; b)

2x1 − x2 + x3 − x4 = 12x1 − x2 − 3x4 = 23x1 − x3 + x4 = −32x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = −6

.

14. Verificati compatibilitatea urmatorului sistem de ecuatii liniare:

x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 6

.

15. Sa se calculeze solutiile sistemului:

x1 + 2x2 = 16x1 − 8x2 = 15x1 + 2x2 = 3

.

16. Sa se rezolve sistemul:

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 03x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 2

.

17. Sa se rezolve sistemul de mai jos si sa se discute ın functie de valorileparametrilor α, β ∈ C:

x1 + αx2 + 2x3 = 12x1 + 2x2 + x3 = −1x1 + x2 − x3 = β

.

18. Sa se rezolve sistemul omogen:


x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 03x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 04x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 03x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0

.

19. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii cu ajutorul regulii luiCramer:

a)

x1 + x2 − x3 = 03x1 − 2x2 + 2x3 = 52x1 + 3x2 − 2x3 = 2

; b)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 = 0

.

20. Sa se determine α, β si γ astfel ıncat sistemele de ecuatii liniare de maijos sa fie compatibile, iar matricea sistemului sa aiba rangul doi:

a)

2x1 − x2 + x3 − x4 = 1x1 + x2 + αx3 + x4 = −1x1 − x2 + x3 + βx4 = γ

; b)

2x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = −1x1 + 9x2 + αx3 + 3x4 = 35x1 − 6x2 + 10x3 + βx4 = γ

.

21. Sa se rezolve sistemele liniare urmatoare. Discutie dupa parametriireali α, β, γ, λ.

a)

2x1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 54x1 − 2x2 + 5x3 + 6x4 = 76x1 − 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9λx1 − 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11

; b)

αx1 + x2 + x3 = 1x1 + βx2 + x3 = 1x1 + x2 + γx3 = 1

.

22. Sa se determine α astfel ıncat sistemul urmator sa aiba solutii nenulesi ın acest caz sa se rezolve:

x1 − 2x2 + x3 − x4 = 02x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 0x1 + x2 + x3 + x4 = 02x1 + (α − 1)x2 + 2x3 + αx4 = 0

.

Capitolul 1

Spatii vectoriale

Avand la baza notiunile prezentate anterior ın subcapitolul recapitulativ con-sacrat structurilor algebrice, vom introduce ın continuare notiunea de spatiuvectorial sau spatiu liniar, care reprezinta obiectul fundamental de studiu alalgebrei liniare.

1.1 Spatii vectoriale

Fie K un camp de elemente notate a, b, c, k, l, ..., cu 0 elementul nul si 1elementul unitate si V o multime oarecare ale carei elemente le notam cu~v, ~w, ~x, ~y, ~z...

Definitia 1.1.1: Spunem ca doua legi de compozitie definite peste totpe V , una interna, numita adunare si a doua externa fata de K, numitaınmultire cu elemente din K, determina pe V o structura de spatiu vectorialpeste campul K daca:I. Adunarea determina pe V o structura de grup comutativ, adica:

(1) ∀ ~x, ~y, ~z ∈ V : ~x + (~y + ~z) = (~x + ~y) + ~z,(2) ∀ ~x ∈ V, ∃ ~0 ∈ V : ~x +~0 = ~0 + ~x = ~x,(3) ∀ ~x ∈ V, ∃ − ~x ∈ V : ~x + (−~x) = (−~x) + ~x = ~0,(4) ∀ ~x, ~y ∈ V : ~x + ~y = ~y + ~x;

II. Inmultirea cu elemente din K satisface conditiile:(1) ∀ k, l ∈ K,∀ ~x ∈ V : k(l~x) = (kl)~x,(2) ∀ k, l ∈ K,∀ ~x ∈ V : (k + l)~x = k~x + l~x,(3) ∀ k ∈ K,∀ ~x, ~y ∈ V : k(~x + ~y) = k~x + k~y,(4) ∀ ~x ∈ V : 1~x = ~x.

Multimea V dotata cu aceste proprietati se numeste spatiu vectorial sauspatiu liniar peste campul K. Elementele lui V se numesc vectori, iar cele alecampului K se numesc scalari.

33

34 Capitolul 1. Spatii vectoriale

In cazul particular K = R, V se numeste spatiu vectorial real, iar pentruK = C, V se numeste spatiu vectorial complex.

Exemple de spatii vectoriale:

• Multimea numerelor reale R ımpreuna cu operatia de adunare pe R sicu ınmultirea cu numere rationale Q formeaza un spatiu vectorial pestecampul Q.

• Multimea V a vectorilor liberi, ımpreuna cu operatiile de adunare ge-ometrica a vectorilor (regula paralelogramului) si de ınmultire a unuivector cu un numar real formeaza o structura de spatiu vectorial pesteR.

• Multimea Mm×n(K) a matricelor de tip m × n cu elemente dintr-uncamp K, ımpreuna cu operatiile de adunare a matricelor si ınmultire aunei matrice cu un scalar din K formeaza un spatiu vectorial peste K.

• Produsul cartezian Kn = K×K× ...×K (de n ori) pe care se definesteadunarea a doua elemente ~x = (x1, x2, ....., xn), ~y = (y1, y2, ....., yn) dinKn si ınmultirea cu un scalar k ∈ K prin relatiile:

~x + ~y = (x1 + y1, x2 + y2, ....., xn + yn)

k~x = (kx1, kx2, ....., kxn)

formeaza o structura numita spatiu vectorial artimetic cu n dimensiuni.

Verificarea proprietatilor acestor structuri o lasam drept exercitiu cititorilor.

Din proprietatile spatiului vectorial V peste campul K se pot deduce ur-matoarele consecinte:

(c1) ∀ ~x ∈ V : 0~x = ~0,(c2) ∀ k ∈ K : k~0 = ~0,(c3) ∀ ~x ∈ V : (−1)~x = −~x.

Pentru a demonstra relatia (c1) scriem pe baza axiomelor II din definitiaspatiului vectorial urmatorul sir de egalitati:

~x + 0~x = 1~x + 0~x = (1 + 0)~x = 1~x = ~x

Tinand seama de faptul ca V este un grup aditiv si deci elementul neutru ~0este unic, obtinem 0~x = ~0.

Celelalte consecinte se demonstreaza analog si le lasam drept exercitiucititorilor.

1.2. Subspatii vectoriale 35

1.2 Subspatii vectoriale

Fie V un spatiu vectorial peste campul K.

Definitia 1.2.1: O submultime S a lui V se numeste subspatiu vectorialal lui V daca sunt satisfacute conditiile:

(1) ∀ ~x, ~y ∈ S : ~x + ~y ∈ S,(2) ∀ k ∈ K, ∀ ~x ∈ S : k~x ∈ S.

Aceste conditii pot fi ınlocuite prin conditia echivalenta:

∀ k, l ∈ K, ∀ ~x, ~y ∈ S : k~x + l~y ∈ S.

Multimile {~0} si V sunt si ele subspatii vectoriale ale lui V . Ele se numescsubspatii improprii, iar orice alt subspatiu vectorial al lui V se numestesubspatiu propriu.

Definitia 1.2.2: Fie V un spatiu vectorial peste campul K si S o sub-multime nevida a sa. Un vector ~v ∈ V de forma

~v =

p∑

i=1

ki~vi, unde ~vi ∈ S, ki ∈ K, (1.1)

se numeste combinatie liniara finita de elemente din S.

Teorema 1.2.1: Daca S este o submultime nevida a lui V , atuncimultimea tuturor combinatiilor liniare finite de elemente din S este un sub-spatiu vectorial al lui V . Acest subspatiu se numeste subspatiul generat desubmultimea S sau acoperirea liniara a lui S si se noteaza cu L(S).

Demonstratie: Suma a doua combinatii liniare finite de elemente din Seste o combinatie liniara finita de elemente din S. Produsul dintre un scalark ∈ K si o combinatie liniara finita de elemente din S este o combinatieliniara finita de elemente din S.

Teorema 1.2.2: Daca S1 si S2 sunt doua subspatii ale spatiului vectorialV , atunci:

(1) multimea S1 + S2 = {~v = ~v1 + ~v2 | ~v1 ∈ S1, ~v2 ∈ S2}, numita sumadintre S1 si S2, este un subspatiu vectorial al lui V ;

(2) multimea S1 ∩ S2 = {~v | ~v ∈ S1 si ~v ∈ S2}, numita intersectia dintreS1 si S2, este un subspatiu vectorial al lui V ;

(3) multimea S1 ∪S2 = {~v | ~v ∈ S1 sau ~v ∈ S2}, numita reuniunea dintreS1 si S2, nu este un subspatiu vectorial al lui V ;

Demonstratii:

(1) Fie ~u,~v ∈ S1 + S2, adica ~u = ~u1 + ~u2, ~v = ~v1 + ~v2, unde ~u1, ~v1 ∈ S1

si ~u2, ~v2 ∈ S2. Deoarece ~u1 + ~v1 ∈ S1 si ~u2 + ~v2 ∈ S2, rezulta ca vectorul~u + ~v = (~u1 + ~v1) + (~u2 + ~v2) apartine lui S1 + S2.


Fie k ∈ K. Deoarece k~u1 ∈ S1 si k~u2 ∈ S2, rezulta ca vectorul k~u =k~u1 + k~u2 apartine lui S1 + S2.

(2) Fie ~u,~v ∈ S1 ∩ S2, adica ~u,~v ∈ S1 si ~u,~v ∈ S2. S1 si S2 sunt subspatiivectoriale, deci, ∀ k, l ∈ K, avem k~u+ l~v ∈ S1 si k~u+ l~v ∈ S2, si ın consecintarezulta k~u + l~v ∈ S1 ∩ S2.

(3) Fie ~v1 ∈ S1 si ~v1 6∈ S2, respectiv ~v2 6∈ S1 si ~v2 ∈ S2. Rezulta ca~v1 + ~v2 6∈ S1 si ~v1 + ~v2 6∈ S2, deci ~v1 + ~v2 6∈ S1 ∪ S2.

Definitia 1.2.3: Doua subspatii S1 si S2 ale lui V se zic independentesau disjuncte daca nu au ın comun decat vectorul nul, adica S1 ∩ S2 = {~0}.

Teorema 1.2.3: Fie S1 si S2 doua subspatii vectoriale ale lui V si unvector ~v ∈ S1 +S2. Descompunerea ~v = ~v1 +~v2, ~v1 ∈ S1, ~v2 ∈ S2, este unicadaca si numai daca cele doua subspatii sunt independente.

Demonstratie: Fie ~v = ~v1+~v2 = ~v′1+~v′

2, Deoarece ~v1, ~v′1 ∈ S1 si ~v2, ~v

′2 ∈ S2,

vectorul ~u = ~v1−~v′1 = ~v′

2−~v2 este continut ın S1∩S2. De aceea, S1∩S2 = {~0}implica ~v1 = ~v′

1 si ~v2 = ~v′2, adica unicitatea descompunerii.

Reciproc, unicitatea implica S1 ∩ S2 = {~0}, deoarece ın caz contrar oricevector nenul ~v ∈ S1 ∩ S2 ar avea cel putin doua descompuneri: ~v = ~v + ~0 =~0 + ~v.

Definitia 1.2.4: Fie S1 si S2 doua subspatii vectoriale ale lui V . DacaS1 ∩ S2 = {~0}, atunci suma S1 + S2 se numeste suma directa si se noteazaS1 ⊕ S2. Daca ın plus S1 ⊕ S2 = V , atunci S1 si S2 se numesc subspatiisuplimentare.

Evident, notiunile de suma si suma directa definite mai sus pentru cazula doua subspatii vectoriale se pot extinde pentru un numar finit de subspatiivectoriale.

1.3 Dependenta si independenta liniara

Fie V un spatiu vectorial peste campul K si S o submultime de elemente dinspatiul V .

Definitia 1.3.1: Multimea S se numeste liniar dependenta daca exista omultime finita de elemente distincte din S, ~v1, ~v2, ..., ~vp si scalarii k1, k2, ..., kp,

cel putin unul diferit de zero, astfel ıncatp∑

i=1

ki~vi = ~0.

Multimea S se zice liniar independenta daca nu este liniar dependenta,adica daca pentru orice alegere a vectorilor ~vi ∈ S si a scalarilor ki ∈ K

relatiap∑

i=1

ki~vi = ~0 implica k1 = k2 = ... = kp = 0.

1.4. Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial 37

Este important de observat faptul ca orice multime de vectori care continevectorul nul este liniar dependenta.

Desi liniar dependenta si liniar independenta sunt proprietati specificeunor multimi de vectori, adeseori se foloseste terminologia de vectori liniardependenti, respectiv vectori liniar independenti.

Teorema 1.3.1: Fie S = {~v1, ~v2, ..., ~vp} ∈ V o multime liniar indepen-denta si L(S) acoperirea ei liniara. Orice multime de p+1 elemente din L(S)este liniar dependenta.

Demonstratie: Fie ~ui =p∑

j=1

aij~vj, i = 1, 2, ..., p + 1, aij ∈ K, vectori

arbitrari care apartin lui L(S). Relatia k1~u1 + k2~u2 + ... + kp+1~up+1 = ~0

conduce la egalitateap∑

j=1

(p+1∑

i=1

kiaij)~vj = ~0 si, ıntrucat vectorii ~vj, j = 1, 2, ..., p

sunt liniar independenti, rezulta k1a1j + k2a2j + ... + kp+1ap+1j = 0, j =1, 2, ..., p. Acest sistem omogen cu p ecuatii si p + 1 necunoscute admite sisolutii nebanale, deci vectorii ~ui sunt liniar dependenti.

Multimea S poate fi o multime finita sau infinita. Conceptele de liniardependenta si respectiv liniar independenta pot fi extinse la sisteme infinitede vectori conform definitiei de mai jos:

Definitia 1.3.2: Un sistem infinit de vectori din V se numeste liniarindependent daca orice subsistem finit al sau este liniar independent. In cazcontrar, sistemul se numeste liniar dependent.

De exemplu, ın spatiul functiilor f : R → R, sistemul de functii 1, x, x2, ..., xn, ... este liniar independent, deoarece orice relatie de forma:

ki1xi1 + ki2x

i2 + ... + kipxip = 0, ∀ x ∈ R ,

unde i1 < i2 < ... < ip are loc numai daca ki1 = ki2 = ... = kip = 0, adica orice

subsistem finit este liniar independent. In schimb, sistemul 0, x, x2, ..., xn, ...este liniar dependent, deoarece contine functia zero.

1.4 Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial


Definitia 1.4.1: O multime B de vectori din V se numeste baza pentruV daca satisface conditiile:

(1) B este liniar independenta,(2) B este un sistem de generatori pentru V .


Se poate demonstra, utilizand axioma alegerii, ca orice spatiu vectorial diferitde {~0} admite o baza. Cei interesati pot gasi detaliile acestei demonstratiiın referinta bibliografica C. Udriste si colaboratorii, 1982.

Spatiul vectorial V se numeste finit dimensional daca are o baza finitasau daca V = {~0}. In caz contrar, V se numeste infinit dimensional.

Teorema 1.4.1: Fie V un spatiu vectorial finit dimensional. Oricaredoua baze ale lui V contin acelasi numar de elemente.

Demonstratie: Fie B si B′ doua baze ale lui V . Notam cu n numarulvectorilor din B si cu m numarul vectorilor din B′. Daca B este liniarindependenta si genereaza spatiul vectorial V , conform teoremei 1.3.1 avemm ≤ n. Aplicand acelasi rationament pentru baza B′ obtinem restrictian ≤ m, deci ın concluzie n = m.

Definitia 1.4.2: Spunem ca un spatiu vectorial V de dimensiune finitaare dimensiunea n ∈ N (notat dim V = n), daca ın el exista o baza formatadin n vectori.Un astfel de spatiu se numeste spatiu n-dimensional si se noteaza Vn.

Daca V = {~0}, atunci dim V = 0.

De asemenea, daca ın spatiul vectorial V exista o baza infinita, spunemca V are dimensiune infinita.

In multe cazuri se utilizeaza termenul de baza canonica, baza normala saubaza standard, care reprezinta baza cu forma cea mai simpla si are o deosebitaimportanta practica ın procesul de calcul. In general, prin forma canonica aunui obiect matematic sau a unei expresii matematice se ıntelege forma ceamai simpla la care poate fi adus, respectiv adusa.

Teorema 1.4.2: Pentru orice spatiu vectorial n-dimensional Vn suntadevarate urmatoarele afirmatii:

(1) O multime de vectori liniar independenti din Vn este o submultime aunei baze din Vn.

(2) Orice multime formata din n vectori liniar independenti este o bazaa lui Vn.

Demonstratie: Propozitiile (1) si (2) se demonstreaza cu usurinta pe bazadefinitiilor conceptelor de baza si liniar independenta.

Teorema 1.4.3: Daca S1 si S2 sunt doua subspatii ale spatiului vectorialVn, atunci:

dim S1 + dim S2 = dim(S1 + S2) + dim(S1 ∩ S2). (1.2)

Aceasta teorema, numita teorema dimensiunii sau teorema lui Grass-mann, este deosebit de importanta pentru aplicatii. Din motive de spatiu nu

1.4. Baza si dimensiunea unui spatiu vectorial 39

vom prezenta aici demonstratia ei; cititorii interesati o pot gasi ın bibliogafiaacestui curs (V. Cruceanu, 1973, pag. 57).

Amintim aici doua consecinte importante ale acestei teoreme:

• Daca S1 ∩S2 = {~0}, atunci dim S1 +dim S2 = dim(S1 +S2) si reciproc.

• Daca dim S1 + dim S2 > n, atunci S1 ∩ S2 6= {~0}.

1.4.1 Descompunerea unui vector ın raport cu o baza

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional si fie B = {~b1,~b2, ...,~bn} o baza ınacest spatiu.

Teorema 1.4.4: Orice vector ~x ∈ Vn admite o exprimare unica de forma:

~x =n∑

i=1

xi~bi (1.3)

numita descompunerea lui ~x dupa vectorii bazei B .

Demonstratie: Deoarece Vn = L(B), orice vector ~x ∈ Vn poate fi scris

ca o combinatie liniara de vectorii bazei: ~x =n∑

i=1

xi~bi. Daca presupunem ca

vectorul ~x ar admite si o alta exprimare ~x =n∑

i=1

x′i~bi, prin scadere obtinem

~0 =n∑

i=1

(xi − x′i)~bi. Deoarece vectorii ~bi sunt liniar independenti, rezulta ca

xi − x′i = 0 sau xi = x′

i, i = 1, 2, ..., n.

Scalarii xi se numesc coordonatele (componentele) vectorului ~x ın raportcu baza B, iar bijectia b : Vn → Kn definita prin ~x → (x1, x2, ..., xn) senumeste sistem de coordonate pe Vn definit de baza B.

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional si B = {~b1,~b2, ...,~bn} o baza ınacest spatiu. Daca ~v1, ~v2, ..., ~vp ∈ Vn, atunci putem scrie:

~v1 =n∑

i=1

ai1~bi, ~v2 =

n∑

i=1

ai2~bi, ..., ~vp =

n∑

i=1

aip~bi.

Acestor relatii li se poate atasa matricea:

A =

a11 a12 ... a1p

a21 a22 ... a2p

... ... ... ...an1 an2 ... anp

(1.4)


numita matricea de trecere de la vectorii ~b1,~b2, ...,~bn la vectorii ~v1, ~v2, ..., ~vp.Vectorii ~v1, ~v2, ..., ~vp pot fi identificati cu coloanele matricei A, care contincoordonatele acestor vectori ın raport cu baza B.

Teorema 1.4.5: Rangul matricei A este egal cu numarul maxim al vec-torilor coloana liniar independenti.

Demonstratia acestei teoreme se bazeaza pe proprietatile determinantilor.Din motive de spatiu nu o prezentam aici, dar ea poate fi gasita in bibliogafiacursului (C. Udriste si colaboratorii, 1982, pag.25).

Consecinta: Fie B = {~b1,~b2, ...,~bn} o baza ın spatiul vectorial Vn.

Multimea B′ = {~b′j =n∑

i=1

sij~bi, j = 1, 2, ..., n} este o alta baza a lui Vn

daca si numai daca det (sij) 6= 0. In acest caz, matricea patratica:

S =

s11 s12 ... s1n

s21 s22 ... s2n

... ... ... ...sn1 sn2 ... snn

(1.5)

ale carei coloane contin coordonatele vectorilor bazei B′ ın raport cu baza Bse numeste matricea de trecere de la baza B la baza B′.

1.4.2 Transformarea coordonatelor unui vector la schim-barea bazei

Fie B = {~b1,~b2, ...,~bn} si B′ = {~b′1,~b′2, ...,~b′n} doua baze distincte ın spatiulvectorial Vn si S = (sij) matricea de trecere de la baza B la baza B′. Dacanotam cu xi, respectiv x′

i, i = 1, 2, ..., n, coordonatele unui vector ~x ın raportcu cele doua baze, putem exprima vectorul ~x dupa cum urmeaza:

~x =n∑

i=1

xi~bi =

n∑

j=1

x′j~b′j

si prelucrand termenul din dreapta rezulta:

~x =n∑

j=1

x′j

(n∑

i=1

sij~bi

)

=n∑

i=1

(n∑

j=1

sijx′j

)

~bi.

Prin identificare termen cu termen obtinem:

xi =n∑

j=1

sijx′j, i = 1, 2, ..., n. (1.6)

1.5. Omomorfisme de spatii vectoriale 41

Formula (1.6) descrie transformarea coordonatelor unui vector la o schimbarea bazei.

Aceeasi relatie se poate scrie si sub forma matriceala:

X = SX ′ , (1.7)

unde am notat cu X si X ′ matricele coloana X= t(x1, x2, ..., xn), respectivX ′= t(x′

1, x′2, ..., x

′n).

1.5 Omomorfisme de spatii vectoriale

Definitia 1.5.1: Fie V si W doua spatii vectoriale peste campul K. Oaplicatie T : V → W care satisface conditiile:

(1) T(~x + ~y) = T(~x) + T(~y), ∀ ~x, ~y ∈ V ,(2) T(k~x) = kT(~x), ∀ k ∈ K, ∀ ~x ∈ V ,

se numeste omomorfism de spatii vectoriale, operator liniar sau transformareliniara. Aceasta categorie de aplicatii va fi studiata ın detaliu ın Capitolul 2al acestui curs.

Daca, ın plus, aplicatia T este si bijectiva, ea se numeste izomorfism despatii vectoriale.

In ıncheiere mai amintim, fara demonstratie, urmatoarea teorema:

Teorema 1.5.1: Doua spatii vectoriale V si W peste campul K, dedimensiuni finite, sunt izomorfe daca si numai daca au aceeasi dimensiune.

1.6 Spatii vectoriale euclidiene

In continuare vom introduce o noua notiune fundamentala legata de spatiilevectoriale: produsul scalar. Cu ajutorul acesteia se pot defini notiunile delungime, unghi, ortogonalitate, etc...

1.6.1 Produs scalar. Spatii vectoriale euclidiene

Fie V un spatiu vectorial complex.

Definitia 1.6.1: O aplicatie ( , ) : V × V → C care este ınzestrata cuproprietatile:

(1) (~x, ~y) = (~y, ~x),(2) (~x, ~y + ~z) = (~x, ~y) + (~x, ~z),(3) (k~x, ~y) = k (~x, ~y),


(4) (~x, ~x) ≥ 0; (~x, ~x) = 0 ⇔ ~x = ~0,

∀ k ∈ C, ∀ ~x, ~y, ~z ∈ V se numeste produs scalar pe V. Prin simbolul ” ” amreprezentat operatia de conjugare complexa.

Prin calcul direct se poate demonstra imediat ca axiomele de mai sus auurmatoarele consecinte:

(5) (~x, k~y) = k (~x, ~y),(6) (~x + ~y, ~z) = (~x, ~z) + (~y, ~z).

Teorema 1.6.1: Daca spatiul vectorial complex V este dotat cu unprodus scalar, atunci este satisfacuta inegalitatea Cauchy-Schwarz:

|(~x, ~y)|2 ≤ (~x, ~x) (~y, ~y) , (1.8)

egalitatea avand loc daca si numai daca vectorii ~x si ~y sunt liniar dependenti.

Demonstratie: Pentru cazul banal ~x = ~0 sau ~y = ~0 demonstratia esteevidenta. Daca vectorii sunt nenuli, consideram combinatia liniara k~x + l~y,unde scalarii complecsi k si l au valori pe care le vom preciza ulterior. Dinproprietatile produsului scalar avem:

0 ≤ (k~x + l~y, k~x + l~y) = kk(~x, ~x) + kl(~x, ~y) + kl(~y, ~x) + ll(~y, ~y)

cu egalitate doar daca k~x + l~y = ~0. Daca alegem k = (~y, ~y), k va fi real siprin simplificare cu k inegalitatea devine:

(~x, ~x)(~y, ~y) + l(~x, ~y) + l(~x, ~y) + ll ≥ 0 .

Alegand l = −(~x, ~y) si implicit l = −(~y, ~x), inegalitatea devine:

(~x, ~x)(~y, ~y) ≥ (~x, ~y)(~y, ~x) = |(~x, ~y)|2

In cazul particular ın care V este un spatiu vectorial real, ın definitiaprecedenta C se ınlocuieste cu R, operatia de conjugare complexa din axioma(1) si consecinta (5) ısi pierde sensul, iar inegalitatea Cauchy-Schwarz devine:

(~x, ~y)2 ≤ (~x, ~x) (~y, ~y) . (1.9)

Definitia 1.6.2: Un spatiu vectorial (real sau complex) pe care s-a definitun produs scalar se numeste spatiu vectorial euclidian (real sau complex).

Iata si cateva exemple de spatii vectoriale euclidiene canonice:

• Spatiul vectorial aritmetic Rn pe care se defineste produsul scalar prinfunctia reala:

(~x, ~y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn ,

unde ~x = (x1, x2, ..., xn), ~y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn.

1.6. Spatii vectoriale euclidiene 43

• Analog, Cn este spatiu vectorial euclidian ın raport cu aplicatia definitaprin:

(~x, ~y) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn.

• Spatiul vectorial real al tuturor functiilor cu valori reale, continue peintervalul [a, b], pe care se defineste un produs scalar prin relatia:

(f, g) =

b∫

a

f(x)g(x)dx.

1.6.2 Norma euclidiana

Definitia 1.6.3: Fie V un spatiu vectorial peste campul C. Aplicatia|| || : V → R+ se numeste norma pe V , daca satisface axiomele:

(1) ||~x|| > 0, daca ~x 6= ~0; ||~0|| = 0,(2) ||k~x|| = |k| ||~x||,(3) ||~x + ~y|| ≤ ||~x|| + ||~y|| (inegalitatea triunghiului),

oricare ar fi vectorii ~x, ~y ∈ V si scalarul k ∈ C.

Teorema 1.6.2: Fie V un spatiu vectorial euclidian peste campul C.Aplicatia || || : V → R+ definita prin ||~x|| =

√

(~x, ~x) este o norma pe V .

Norma definita cu ajutorul unui produs scalar se numeste norma euclidiana.

In cazul vectorilor geometrici, ın locul denumirii de norma se mai folosestedenumirea de lungime a vectorului.

Demonstratie: Pe un spatiu vectorial euclidian complex V , inegalitatea(~x, ~x) ≥ 0 implica ||~x|| ≥ 0, cu egalitate daca si numai daca ~x = ~0. Deasemenea, pentru k ∈ C si ~x ∈ V este valabil sirul de egalitati:

||k~x|| =√

(k~x, k~x) =

√

kk(~x, ~x) =√

|k|2(~x, ~x) = |k|√

(~x, ~x) = |k| ||~x|| .

Pentru a demonstra proprietatea (3), tinem cont de relatia:

(~x, ~y) + (~x, ~y) = 2Re(~x, ~y) ≤ 2|(~x, ~y)|.

Folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz si relatia de definitie a normei euclidi-ene putem scrie:

||~x + ~y||2 = (~x + ~y, ~x + ~y) = (~x, ~x) + (~x, ~y) + (~x, ~y) + (~y, ~y) ≤

≤ ||~x||2 + 2||~x|| ||~y|| + ||~y||2 = (||~x|| + ||~y||)2 .


Pe baza primelor doua proprietati ale normei, putem scrie oricare element~x din V sub forma ~x = ||~x||~e, unde ||~e|| = 1. Vectorul ~e cu aceasta proprietatese numeste versor. Evident, versorul asociat oricarui vector nenul poate ficalculat prin formula:

~e =1

||~x|| ~x. (1.10)

Remarca: Un spatiu vectorial dotat cu o norma se numeste spatiu vec-torial normat. Un spatiu vectorial normat ın care norma provine dintr-unprodus scalar se numeste spatiu prehilbertian. Daca ın plus spatiul prehilber-tian mai este si complet (adica orice sir Cauchy de elemente din spatiu esteun sir convergent), acesta se numeste spatiu Hilbert.

1.6.3 Unghiul dintre doi vectori

Fie V un spatiu vectorial real. Pe submultimea V \{~0}, inegalitatea Cauchy-Schwarz, |(~x, ~y)| ≤ ||~x|| ||~y||, se poate transcrie sub forma:

−1 ≤ (~x, ~y)

||~x|| ||~y|| ≤ 1.

Pornind de la aceasta observatie, putem da urmatoarea definitie:

Definitia 1.6.4: Fie V un spatiu vectorial euclidian real si ~x, ~y doi vectorinenuli din V . Numarul θ ∈ [0, π] definit prin egalitatea:

cos θ =(~x, ~y)

||~x|| ||~y|| (1.11)

se numeste unghiul dintre vectorii ~x si ~y.

1.6.4 Distanta dintre doi vectori

Definitia 1.6.5: Fie V un spatiu vectorial campul K. O functie realad : V × V → R+ care satisface axiomele:

(1) d(~x, ~y) > 0; d(~x, ~y) = 0 ⇔ ~x = ~y,(2) d(~x, ~y) = d(~y, ~x),(3) d(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y),

∀ ~x, ~y, ~z ∈ V , se numeste distanta sau metrica pe V .

Teorema 1.6.3: Fie V un spatiu vectorial normat. Functia reala definitaprin relatia d(~x, ~y) = ||~x − ~y|| este o distanta (metrica) pe V .

1.7. Ortogonalitate 45

Demonstratie: Teorema 1.6.3 se poate demonstra similar cu teorema 1.6.2,de aceea o lasam ca exercitiu cititorilor.

Daca norma este euclidiana, atunci distanta definita cu ajutorul ei se numestedistanta euclidiana.

Remarca: O multime oarecare ınzestrata cu o functie distanta (metrica)se numeste spatiu metric. Teorema enuntata mai sus arata ca orice spatiuvectorial normat este un spatiu metric.

1.7 Ortogonalitate

Ortogonalitatea este una dintre cele mai importante relatii dintre elementeleunui spatiu vectorial euclidian. Pornind de la ortogonalitatea dintre doi vec-tori, se poate defini ortogonalitatea unei multimi de vectori, ceea ce conducela notiunile fundamentale de baza ortogonala si respectiv baza ortonormata.De asemenea, relatia de ortogonalitatea poate exista ıntre un vector si unsubspatiu vectorial euclidian sau ıntre doua subspatii vectoriale euclidiene.

1.7.1 Baza ortogonala. Baza ortonormata

Definitia 1.7.1: Fie V un spatiu vectorial euclidian. Doi vectori din Vse numesc ortogonali daca produsul lor scalar este nul. O submultime S ⊂ Vse numeste ortogonala daca vectorii sai sunt ortogonali doi cate doi, adica(~x, ~y) = 0, ∀ ~x, ~y ∈ S, ~x 6= ~y. O multime ortogonala se numeste ortonormatadaca fiecare element al sau are norma egala cu unitatea.

O proprietate foarte importanta a multimilor ortogonale este data deteorema urmatoare:

Teorema 1.7.1: Orice multime ortogonala, finita sau infinita, dintr-unspatiu vectorial euclidian V , formata din elemente nenule este liniar inde-pendenta. Daca dimensiunea lui V este n, atunci orice multime ortogonalacare contine n elemente nenule este o baza a lui V .

Observatie: O astfel de baza se numeste baza ortogonala a spatiuluivectorial euclidian V .

Demonstratie: Consideram o multime ortogonala S ⊂ V \{~0} si o com-binatie liniara finita de elemente din S, k1~v1 + k2~v2 + ... + kp~vp. Ipotezak1~v1 + k2~v2 + ... + kp~vp = ~0 implica, pe baza proprietatilor produsului scalar,pentru fiecare j fixat:

k1(~v1, ~vj) + k2(~v2, ~vj) + ... + kp(~vp, ~vj) = 0 .


Punand pe rand j = 1, 2, ..., p si tinand cont de ortogonalitate, obtinemk1(~v1, ~v1) = 0, k2(~v2, ~v2) = 0,...,kp(~vp, ~vp) = 0. Din ipoteza ~vj 6= ~0 rezultaca (~vj, ~vj) > 0 si deci k1 = k2 = ... = kp = 0, adica multimea S este liniarindependenta. Ultima parte a teoremei este o consecinta imediata a teoremei1.4.2(2).Extinderea demonstratiei la multimi infinite se face ın mod natural, pe bazadefinitiei 1.3.2.

Pentru studiul spatiilor euclidiene este comod sa se lucreze cu baze or-tonormate. Conform definitiei 1.7.1, o baza E = {~e1, ~e2, ..., ~en} ⊂ Vn esteortonormata daca vectorii sai sunt unitari si ortogonali doi cate doi, adica:

(~ei, ~ej) = δij =

{1 daca i = j0 daca i 6= j

(1.12)

Simbolul δij se numeste simbolul lui Kronecker.

Fie V un spatiu vectorial euclidian peste un camp K si S o submultime a sa.

Definitia 1.7.2: Un element al lui V se zice ortogonal lui S daca esteortogonal pe fiecare element din S. Multimea tuturor vectorilor ortogonalilui S se numeste ”S ortogonal” si se noteaza cu S⊥.

Teorema 1.7.2: Conditia necesara si suficienta ca un vector ~v sa fie or-togonal pe subspatiul L(S) generat de o multime S este ca el sa fie ortogonalpe S.

Demonstratie: Daca ~x este ortogonal pe L(S), atunci el este ortogonal pefiecare vector din L(S) si deci si pe orice vector din S. Reciproc, daca ~x esteortogonal pe S si consideram un vector ~y ∈ L(S), atunci acesta se exprimasub forma ~y = k1~v1 + k2~v2 + ...+ kp~vp unde ~v1, ~v2, ..., ~vp ∈ S, k1, k2, ..., kp ∈ K

si deci

(~y, ~x) = (k1~v1 +k2~v2 + ...+kp~vp, ~x) = k1(~v1, ~x)+k2(~v2, ~x)+ ...+kp(~vp, ~x) = 0 .

Prin urmare ~x este ortogonal pe ~y si cum ~y este un vector oarecare din L(S)rezulta ca ~x este ortogonal pe L(S). Din aceasta teorema rezulta urmatoareaconsecinta:

Consecinta: Un vector este ortogonal pe un subspatiu daca si numaidaca este ortogonal pe o baza a acestuia.

Teorema 1.7.3: Multimea S⊥ a vectorilor din V ortogonali pe o sub-multime S ⊂ V este un subspatiu al lui V .

Demonstratie: Fie ~v1, ~v2 ∈ S⊥ si k1, k2 ∈ K. Pentru orice vector ~x ∈ Vavem (~v1, ~x) = 0 si (~v2, ~x) = 0, deci putem scrie (k1~v1 + k2~v2, ~x) = 0, adicak1~v1 + k2~v2 ∈ S⊥.


Deci S⊥ este subspatiu vectorial al lui V , indiferent daca S este sau nusubspatiu al lui V . In cazul ın care S este un subspatiu vectorial al lui V ,S⊥ se numeste complementul ortogonal al lui S.

Notiunea de ortogonalitate se poate extinde si pentru subspatii vectoriale.

Definitia 1.7.3: Se spune ca submultimea S1 ⊂ V este ortogonala pesubmultimea S2 ⊂ V daca orice vector din S1 este ortogonal pe S2, adica pefiecare vector din S2.

Aceasta definitie are si doua consecinte importante:

Consecinta 1: Conditia necesara si suficienta ca subspatiile L(S1) siL(S2) sa fie ortogonale este ca multimile S1 si S2 sa fie ortogonale.

Consecinta 2: Doua subspatii sunt ortogonale daca si numai daca obaza a unuia din ele este ortogonala pe o baza a celuilalt.

Subliniem faptul ca un subspatiu vectorial S ⊂ V si complementul sauortogonal S⊥ sunt doua spatii ortogonale si deci independente, dar ın generalnu sunt suplimentare. Intre ele exista legatura data de teorema urmatoare:

Teorema 1.7.4: Daca V este un spatiu vectorial euclidian si Sn esteun subspatiu n-dimensional al lui V , atunci descompunerea V = Sn ⊕ S⊥

n

este unica. In consecinta, orice vector ~v ∈ V , poate fi descompus sub forma~v = ~w ⊕ ~w⊥, unde ~w ∈ Sn si ~w⊥ ∈ S⊥

n . In plus, este satisfacuta si teoremalui Pitagora:

||~v||2 = ||~w||2 + ||~w⊥||2. (1.13)

Demonstratie: Fie E = {~e1, ~e2, ..., ~en} o baza ortonormata a lui Sn. Vec-

torul ~w =n∑

i=1

(~v,~ei)~ei apartine subspatiului vectorial Sn.

Notand ~w⊥ = ~v − ~w, rezulta:

(~w⊥, ~w) = (~v, ~w)−(~w, ~w) =

(

~v,

n∑

i=1

(~v,~ei)~ei

)

−(

n∑

i=1

(~v,~ei)~ei,

n∑

j=1

(~v,~ej)~ej

)

=

=n∑

i=1

(~v,~ei)2 −

n∑

i=1

n∑

j=1

(~v,~ei)(~v,~ej)(~ei, ~ej) =

=n∑

i=1

(~v,~ei)2 −

n∑

i=1

n∑

j=1

(~v,~ei)(~v,~ej)δij = 0

si deci ~w⊥ ∈ S⊥n . Deoarece exprimarea ~v = ~w + ~w⊥ este unica, putem scrie

V = Sn ⊕ S⊥n .


Teorema lui Pitagora se demonstreaza imediat, pe baza sirului de egalitatide mai jos:

||~v||2 = (~v,~v)2 = (~w + ~w⊥, ~w + ~w⊥) =

= (~w, ~w) + 2(~w, ~w⊥) + (~w⊥, ~w⊥) = ||~w||2 + ||~w⊥||2 .

1.7.2 Proiectie ortogonala

Definitia 1.7.4: Fie V un spatiu vectorial euclidian. Vectorul(~x, ~y)

(~y, ~y)~y,

unde ~x, ~y ∈ V, ~y 6= ~0, se numeste proiectia ortogonala a vectorului ~x pe

vectorul ~y, iar numarul(~x, ~y)

(~y, ~y)se numeste marimea algebrica a proiectiei lui

~x pe ~y.

Teorema 1.7.5: Fie spatiul vectorial euclidian Vn. Daca B = {~b1,~b2, ..

..,~bn} este o baza ortogonala a lui Vn si ~x =n∑

i=1

xi~bi ∈ Vn reprezinta descom-

punerea unui vector ~x ∈ Vn ın raport cu aceasta baza, atunci coordonatele

acestui vector se calculeaza cu formula: xi =(~x,~bi)

(~bi,~bi).

In particular, daca E = {~e1, ~e2, ..., ~en} este o baza ortonormata ın Vn, atuncicoordonatele se calculeaza cu formula xi = (~x,~ei).

Demonstratie: Consideram un vector oarecare ~x ∈ Vn si ıl exprimam ın

functie de vectorii bazei B: ~x =n∑

j=1

xj~bj. Inmultind scalar la dreapta cu

vectorul ~bi, i = 1, 2..., n, si tinand cont de ortogonalitate obtinem:

(~x,~bi) =n∑

j=1

xj(~bj,~bi) = xi(~bi,~bi) .

Prin identificare termen cu termen gasim:

xi =(~x,~bi)

(~bi,~bi)(1.14)

adica coordonata xi este marimea algebrica a proiectiei lui ~x pe vectorul ~bi.Daca baza este ortonormata, (~ei, ~ei) = 1 si rezulta xi = (~x,~ei). Prin ur-

mare, oricare ar fi vectorul ~x ∈ Vn, el se scrie ın raport cu o baza ortonormata,ın mod unic, sub forma:

~x =n∑

i=1

(~x,~ei)~ei . (1.15)


Coordonatele xi = (~x,~ei), i = 1, 2, ..., n ale vectorului ~x se numesc coor-donate euclidiene.

Remarca: Deoarece exista o analogie ıntre descompunerea unui vectorıntr-o baza ortogonala sau ortonormata si dezvoltarea unei functii ın serieFourier, marimea algebrica a proiectiei unui vector ~x pe un vector ~y se mainumeste si coeficient Fourier al lui ~x ın raport cu ~y.

Teorema 1.7.6: Daca Vn este un spatiu vectorial euclidian complex n-dimensional si E = {~e1, ~e2, ..., ~en} este o baza ortonormata a acestuia, atunciprodusul scalar dintre doi vectori ~x, ~y ∈ Vn se scrie:

(~x, ~y) =n∑

j=1

xjyj ,

unde s-au folosit notatiile xj = (~x,~ej), yj = (~y,~ej).

In particular, norma unui vector ~x ∈ Vn se scrie

||~x||2 =n∑

j=1

|xj|2 .

Demonstratie: Fie ~x, ~y ∈ Vn. Descompunerea acestor vectori ın raport

cu baza ortonormata E este ~x =n∑

j=1

xj~ej, respectiv ~y =n∑

k=1

yk~ek, iar ıntre

vectorii bazei avem relatia (~ej, ~ek) = δjk. Calculand produsul scalar al celordoi vectori obtinem:

(~x, ~y) =

(n∑

j=1

xj~ej,

n∑

k=1

yk~ek

)

=n∑

j=1

n∑

k=1

xjyk(~ej, ~ek) =

=n∑

j=1

n∑

k=1

xjykδjk =n∑

j=1

xjyj .

Notiunea de proiectie a unui vector pe un alt vector poate fi extinsa lanotiunea de proiectie a unui vector pe un subspatiu vectorial.

Definitia 1.7.5: Fie V un spatiu vectorial euclidian, Sn ⊂ V un sub-spatiu vectorial si B = {~b1,~b2, ...,~bn} o baza ortogonala a lui Sn. Numimproiectia unui vector ~v ∈ V pe subspatiul Sn vectorul:

~w =n∑

i=1

(~v,~bi)

(~bi,~bi)~bi . (1.16)


Daca E = {~e1, ~e2, ..., ~en} este o baza ortonormata a lui Sn, numim proiectiaunui vector ~v ∈ V pe subspatiul Sn vectorul:

~w =n∑

i=1

(~v,~ei)~ei . (1.17)

1.7.3 Transformarea coordonatelor unui vector la schim-barea bazelor ortonormate

Fie Vn un spatiu vectorial euclidian si E = {~e1, ~e2, ..., ~en}, respectiv E ′ ={~e ′

1 , ~e ′2 , ..., ~e ′

n} doua baze ortonormate ın acest spatiu. Daca relatia de trecere

de la vectorii bazei E la vectorii bazei E ′ este ~e ′j =

n∑

i=1

sij~ei si tinem cont de

ortonormalitatea bazelor, putem scrie:

(~e ′i , ~e ′

j ) =

(n∑

k=1

ski~ek,

n∑

l=1

slj~el

)

=n∑

k=1

n∑

l=1

skislj(~ek, ~el) =

=n∑

k=1

n∑

l=1

skisljδkl =n∑

k=1

skiskj = δij. (1.18)

Daca notam S = (sij) matricea de trecere de la baza veche, E, la cea noua,E ′, relatia de mai sus se poate scrie matriceal:

tSS = In , (1.19)

unde In este matricea unitate de ordinul n, ceea ce arata faptul ca matriceaS este ortogonala.

Reciproc, daca E ′ = {~e ′1 , ~e ′

2 , ..., ~e ′n} este un sistem de vectori din Vn care se

exprima ın raport cu vectorii bazei ortonormate E prin relatiile ~e ′j =

n∑

i=1

sij~ei,

unde matricea de trecere S = (sij) este ortogonala, atunci relatia matricealade definitie a ortogonalitatii, tSS = In, se scrie pe componente:

δij =n∑

k=1

skiskj =n∑

k=1

n∑

l=1

skisljδkl =

=n∑

k=1

n∑

l=1

skislj(~ek, ~el) =

(n∑

k=1

ski~ek,

n∑

l=1

slj~el

)

= (~e ′i , ~e ′

j ) (1.20)

deci E ′ este o baza ortonormata ın Vn. Calculele de mai sus reprezinta defapt demonstratia urmatoarei teoreme:

1.8. Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt 51

Teorema 1.7.7: Conditia necesara si suficienta ca un sistem de vectoriE ′ = {~e ′

1 , ~e ′2 , ..., ~e ′

n} sa constituie o baza ortonormata ın Vn este ca matriceade trecere de la o baza ortonormata data E la sistemul de vectori E ′ sa fieortogonala.

Consecinta: La o schimbare ortogonala de baza ın spatiul Vn, coordo-natele xi ale unui vector oarecare ~x fata de baza E se exprima ın functie decoordonatele ın noua baza, x′

i, prin relatia:

xi =n∑

j=1

sijx′j (1.21)

sau matriceal

X = SX ′ (1.22)

unde matricea S = (sij) este ortogonala. Cu X si respectiv X ′ am notatmatricele coloana t(x1, x2, ..., xn), respectiv t(x′

1, x′2, ..., x

′n).

1.8 Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt

In acest subcapitol ne propunem sa aratam ca din orice multime liniar inde-pendenta de vectori dintr-un spatiu vectorial euclidian V se poate construio multime ortonormata (multime ortogonala ale carei elemente au normaegala cu unitatea). Unul dintre procedeele prin care se realizeaza acest lucrueste metoda Gram-Schmidt, prezentata ın cele ce urmeaza sub forma uneiteoreme. Demonstratia acestei teoreme reprezinta de fapt o modalitate deconstruire a unei multimi ortonormate pornind de la o multime liniar inde-pendenta.

Teorema 1.8.1: Daca V este un spatiu vectorial euclidian cu dimen-siunea n, iar {~v1, ~v2,..., ~vn} este un sistem de vectori liniar independentidin V , atunci exista o baza ortonormata {~e1, ~e2, ..., ~en} astfel ıncat multimile{~v1, ~v2, ..., ~vk} si {~e1, ~e2, ..., ~ek} genereaza acelasi subspatiu Uk ⊂ V pentrufiecare k = 1, 2, ..., n.

Demonstratie: Vom realiza constructia multimii ortonormate ın douaetape: ın prima etapa vom construi o multime ortogonala, iar ın cea dea doua normam elementele acestei multimi la unitate.

(1) Multimea ortogonala {~w1, ~w2, ..., ~wn} se construieste din multimea {~v1, ~v2,..., ~vn} dupa urmatorul algoritm:

(1.a) Se ia pentru ınceput ~w1 = ~v1.


(1.b) Se alege ~w2 = ~v2 + k ~w1. Vectorul ~w2 este nenul, deoarece ~v1 si ~v2

sunt liniar independenti. Scalarul necunoscut k se determina din conditia ca~w2 sa fie ortogonal lui ~w1:

0 = (~w2, ~w1) = (~v2 + k ~w1, ~w1)

Rezulta k = − (~v2, ~w1)

(~w1, ~w1)si ınlocuind aceasta valoare putem scrie:

~w2 = ~v2 −(~v2, ~w1)

(~w1, ~w1)~w1 ,

adica vectorul ~w2 se obtine scazand din ~v2 proiectia lui ~v2 pe ~w1.

(1.c) In mod analog, vectorul ~w3 este definit prin relatia ~w3 = ~v3 +k1 ~w1 +k2 ~w2. Acesta este nenul ca urmare a faptului ca ~v1, ~v2 si ~v3 sunt liniarindependenti. Scalarii k1 si k2 sunt determinati din conditiile ca ~w3 sa fieortogonal lui ~w1 si lui ~w2, adica:

0 = (~w3, ~w1) = (~v3, ~w1) + k1(~w1, ~w1)

0 = (~w3, ~w2) = (~v3, ~w2) + k2(~w2, ~w2)

Gasim astfel:

k1 = − (~v3, ~w1)

(~w1, ~w1), k2 = − (~v3, ~w2)

(~w2, ~w2)

si deci

~w3 = ~v3 −(~v3, ~w1)

(~w1, ~w1)~w1 −

(~v3, ~w2)

(~w2, ~w2)~w2 ,

adica vectorul ~w3 se obtine scazand din ~v3 proiectiile lui ~v3 pe ~w1 si pe ~w2.

(1.d) Repetam schema precedenta pana obtinem o multime de n vectoriortogonali {~w1, ~w2, ..., ~wn}.(2) Multimea ortonormata {~e1, ~e2, ..., ~en} se construieste prin normarea launitate a vectorilor din multimea {~w1, ~w2, ..., ~wn} calculand:

~ei =~wi

||~wi||, i = 1, 2, ..., n.

Este usor de aratat ca Uk = L({~v1, ~v2, ..., ~vk}) = L({~e1, ~e2, ..., ~ek}).Exemplu de calcul:

Sa se construiasca o baza ortonormata ın subspatiul generat de vectorii~v1 = (1, 0, 3), ~v2 = (2, 1, 1), ~v3 = (1, 2, 3) si ~v4 = (2,−1, 1) din R3.

1.8. Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt 53

Inainte de construirea bazei, determinam dimensiunea subspatiului generatde cei patru vectori. Se verifica usor ca, de exemplu, vectorii ~v1, ~v2 si ~v3 suntliniar independenti, deci dimensiunea subspatiului este 3.

Incepem constructia alegand ~w1 = ~v1 = (1, 0, 3).Cel de al doilea vector al bazei ortogonale are forma ~w2 = ~v2 + k ~w1. Dinconditia de ortogonalitate ıntre ~w1 si ~w2 se determina valoarea scalarului k:

k = − (~v2, ~w1)

(~w1, ~w1)= −1

2,

si ınlocuind aceasta valoare obtinem:

~w2 =1

2(3, 2,−1).

Cel de al treilea vector al bazei ortogonale se cauta de forma ~w3 = ~v3 +k1 ~w1 + k2 ~w2. Din conditiile de ortogonalitate a lui ~w3 pe ~w1 si respectiv pe~w2 obtinem:

k1 = − (~v3, ~w1)

(~w1, ~w1)= −1 , k2 = − (~v3, ~w2)

(~w2, ~w2)= −4

7.

Inlocuind valorile celor doi scalari rezulta:

~w3 =2

7(−3, 5, 1).

Prin normarea la unitate a vectorilor ~w1, ~w2 si ~w3 obtinem cei trei vectoriai bazei ortonormate:

~e1 =1√10

(1, 0, 3) , ~e2 =1√14

(3, 2,−1) , ~e3 =1√35

(−3, 5, 1).

Teorema 1.8.1 poate fi generalizata pentru spatii vectoriale infinit dimen-sionale:

Teorema 1.8.2: Fie V este un spatiu vectorial euclidian, {~v1, ~v2, ...} ⊂V o multime finita sau infinita si L({~v1, ~v2, ..., ~vk}) subspatiul generat deprimii k vectori. Atunci exista o multime {~w1, ~w2, ...} ⊂ V cu urmatoareleproprietati, pentru fiecare k ∈ N:

1) Vectorul ~wk este ortogonal pe L({~v1, ~v2, ..., ~vk−1}),2) L({~w1, ~w2, ..., ~wk}) = L({~v1, ~v2, ..., ~vk}),3) ~w1, ~w2, ... sunt unic determinati, abstractie facand de un factor scalar.


Demonstratie: Fara a intra ın detalii, dam doar cateva elemente care con-duc la demonstrarea acestei teoreme. Prin metoda de ortogonalizare prezen-tata anterior, se construiesc vectorii urmatori:

~w1 = ~v1, ... , ~wr+1 = ~vr+1 −r∑

i=1

(~vr+1, ~wi)

(~wi, ~wi)~wi; r = 1, 2, ..., k − 1 .

Acesti vectori obtinuti scazand din vectorul ~vr+1 proiectiile sale pe vectorii~w1, ~w2, ..., ~wr sunt ortogonali doi cate doi pentru fiecare k ∈ N si cu ei sepoate construi multimea (sau daca este cazul, baza) ortonormata:

{~w1

||~w1||,

~w2

||~w2||, ...

}

.

1.9 Probleme

1. Pe multimea R a numerelor reale definim legea de compozitie ”?” astfel:

x ? y = x + y − xy , ∀ x, y ∈ R.

Sa se arate ca aceasta lege de compozitie este asociativa, comutativa siare element neutru. Sa se determine elementele simetrizabile.

2. Sa se rezolve aceleasi cerinte ca la exercitiul anterior pentru legea decompozitie ”◦” definita prin:

x ◦ y =1

2(x + y − xy + 1) , ∀ x, y ∈ R.

3. Pe multimea R a numerelor reale definim legea de compozitie ”?” prinrelatia:

x ? y = ax + by + c , ∀ x, y ∈ R, unde a, b, c ∈ R.

Sa se determine a, b, c, astfel ıncat legea sa fie comutativa si asociativa.

4. Sa se arate ca multimea tuturor numerelor reale de forma a + b√

2, cua si b rationale, este un grup comutativ fata de operatiile de adunaresi ınmultire obisnuite.

5. Fie K un camp oarecare si n un numar natural diferit de zero. Con-sideram produsul cartezian Kn = K×K×....×K (de n ori), adica ansam-blul sistemelor ordonate (x1, x2, ....., xn) de cate n elemente din K si

1.9. Probleme 55

definim pentru orice elemente ~x = (x1, x2, ....., xn), ~y = (y1, y2, ....., yn)din Kn si orice k ∈ K operatiile:

~x + ~y = (x1 + y1, x2 + y2, ....., xn + yn)

k · ~x = (kx1, kx2, ....., kxn)

Sa se arate ca operatiile de adunare a doua elemente din Kn si deınmultire a unui element din Kn cu un element din K astfel definite de-termina pe Kn o structura de spatiu vectorial peste K (Spatiul vectorialaritmetic cu n dimensiuni peste K).

6. Fie V multimea segmentelor orientate cu originea ıntr-un punct O dinspatiul obisnuit. Numim suma a doua segmente ~v si ~w ∈ V segmentulorientat din V reprezentat de diagonala paralelogramului construit cuele, avand originea ın O, iar produsul unui numar real a cu un segment~v ∈ V segmentul din V coliniar cu ~v, a carui lungime este egala cu valoa-rea absoluta a lui a ınmultita cu lungimea lui ~v si care are acelasi sensca ~v sau sens contrar, dupa cum a este pozitiv sau respectiv negativ.

Sa se arate ca cele doua operatii definesc pe V o structura de spatiuvectorial peste R.

7. Fie P n multimea polinoamelor p : R → R de grad mai mic sau egal cun. Sa se arate ca operatiile de adunare a doua polinoame si de ınmultirea unui polinom cu un numar real definesc pe P n o structura de spatiuvectorial peste R.

8. Sa se arate ca multimea Mm×n(K) a matricelor cu m linii si n coloaneavand elemente din campul K ımpreuna cu operatiile de adunare amatricelor si de ınmultire dintre un scalar si o matrice determina ostructura de tip spatiu vectorial.

9. Demonstrati ca multimea solutiilor unui sistem liniar omogen de mecuatii cu n necunoscute, cu coeficienti din K, ın raport cu adunarea dinKn si ınmultirea cu un scalar k ∈ K definita pentru ~x = (x1, x2, ....., xn)prin relatia k~x = (kx1, kx2, ....., kxn) determina o structura de tipspatiu vectorial.

10. Fie multimea R3 = R × R × R pe care definim operatiile:

(1) ~x + ~y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) , ∀ ~x, ~y ∈ R3;

(2) k~x = (kx1, 0, kx3) , ∀ k ∈ R, ∀ ~x ∈ R3;

(3) k~x = (kx1, kx2, x3) , ∀ k ∈ R, ∀ ~x ∈ R3.


Formeaza R3 un spatiu vectorial real fata de operatiile (1) si (2)? Darfata de (1) si (3)?

11. Fie x0 ∈ R fixat. Pe R se definesc operatiile:

x ⊕ y = x + y − x0, ∀ x, y ∈ R,

a ¯ x = a · x + (1 − a) · x0, ∀ x ∈ R, ∀ a ∈ R.

Sa se arate ca operatiile definite mai sus induc pe multimea numerelorreale o structura de spatiu vectorial.

12. Sa se stabileasca daca vectorul ~v = (1,−2, 0, 3) este o combinatie liniaraa vectorilor ~u1 = (3, 9,−4,−2), ~u2 = (2, 3, 0,−1), ~u3 = (2,−1, 2, 1).

13. Sa se studieze dependenta liniara a urmatoarelor sisteme de vectori dinR3:

S1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1,−1, 1)},S2 = {(1, 1, 0), (2, 3, 1), (0, 1, 2)},S3 = {(0, 1, 1), (1,−2, 1), (2,−2, 4)},S4 = {(1,−1, 1), (1, 1,−a), (a, a, 1)} , a ∈ R.

14. Fie B = {~v1, ~v2, ~v3} trei vectori liberi necoplanari si ~a = α~v1−2~v2+3~v3,~b = −2~v1 + α~v2 − 3~v3, ~c = −3~v2 + 3~v3, ~d = 2~v1 − (λ + µ)~v2 + (λ− µ)~v3.

a) Sa se determine valorile parametrului α pentru care vectorii ~a,~b,~csunt coplanari. Pentru valorile determinate, sa se exprime unul dintrecei trei vectori cu ajutorul celorlalti doi.

b) Sa se determine valorile parametrilor λ si µ astfel ca pentru α = 1,

~a si ~d sa fie doi vectori coliniari.

15. Sa se cerceteze care dintre urmatoarele submultimi ale lui C∞(R) suntliniar dependente, respectiv liniar independente:

{1, cos(2x), cos2(x)

},

{ex, e−x, cosh(x)

},

{ex, xex, ..., xn−1ex

}.

16. Fie K[X] spatiul vectorial al tuturor polinoamelor de nedeterminata X.Sa se arate ca {1, X,X2, ..., Xn, ...} este o multime liniar independenta.

17. Sa se determine o baza si dimensiunea spatiului vectorial generat devectorii: ~a1 = (1, 1, 0), ~a2 = (2, 0, 1), ~a3 = (3, 1, 5), ~a4 = (0,−2, 1).

1.9. Probleme 57

18. Sa se stabileasca dimensiunea subspatiului A ⊂ M2×3(R)

A =

{(x 0 yu v 0

)

, y = u − 3v; x, y, u, v ∈ R

}

si sa se gaseasca o baza.

19. Sa se determine coordonatele vectorului ~x = (0, 0, 1, 1) ın baza formata

de vectorii ~b1 = (1, 1, 0, 1), ~b2 = (2, 1, 3, 1), ~b3 = (1, 1, 0, 0) si ~b4 =(0, 1,−1,−1).

20. Sa se determine λ ∈ R astfel ıncat vectorul ~x = (3, λ, 2) sa apartinaspatiului generat de vectorii ~a1 = (1, 1, 0) si ~a2 = (2, 0, 1).

21. Fie subspatiile W si U generate de vectorii ~w1 = (2, 3, 11, 5), ~w2 =(1, 1, 5, 2), ~w3 = (0, 1, 1, 1) si respectiv ~u1 = (2, 1, 3, 2), ~u2 = (1, 1, 3, 4),~u3 = (5, 2, 6, 2). Sa se arate ca aceste subspatii sunt suplimentaresi sa se gaseasca descompunerea vectorului ~v = (2, 0, 0, 3) pe acestesubspatii.

22. Sa se gaseasca o baza a sumei si o baza a intersectiei subspatiilorvectoriale W si U generate de vectorii ~w1 = (1, 2, 1), ~w2 = (2, 3, 1),~w3 = (3, 1, 1), si respectiv ~u1 = (0, 4, 1), ~u2 = (1, 0,−2), ~u3 = (1, 0, 3).

23. Fie subspatiile W si U generate de vectorii ~w1 = (1, 5), ~w2 = (−2,−10),~w3 = (3, 15) si respectiv ~u1 = (−1,−4), ~u2 = (−1, 2), ~u3 = (2, 0). Sase construiasca subspatiile W + U si respectiv W ∩ U .

24. Fie X si Y subspatiile generate de vectorii ~x1 = (1, 1, 1), ~x2 = (0, 3, 1),~x3 = (2,−1, 1) si respectiv ~y1 = (1,−2, 4), ~y2 = (−2, 4,−8).

a) Sa se arate ca X si Y sunt subspatii suplimentare.

b) Sa se determine descompunerea vectorului ~v = (5,−7, 13) pe acestesubspatii.

25. Fie S1 = {~v1 = (1, 1, 0), ~v2 = (1,−1,−1), ~v3 = (1, 3, 1)} si S2 = {~u1 =(9,−1,−5), ~u2 = (7,−1,−4)} doua sisteme de vectori din R3. Sa searate ca S1 si S2 genereaza acelasi subspatiu ın R3.

26. Fie urmatoarele sisteme de vectori din R4:

S1 = {~u1 = (2, 1, 0, 1), ~u2 = (1, 2, 1, 0), ~u3 = (1,−1,−1, 1)},S2 = {~v1 = (0, 1, 2, 0), ~v2 = (1, 1, 0, 2), ~v3 = (1, 0,−2, 2)}.Sa se verifice daca U1 ⊕ U2 = R4, unde U1 = L(S1) si U2 = L(S2) suntsubspatiile din R4 generate de sistemele de vectori S1 si S2.


27. Sa se arate ca vectorii ~b1 = (1, 0, 1), ~b2 = (1,−2, 1), ~b3 = (0, 1,−1)formeaza o baza ın R3. Sa se determine matricea de trecere de la aceastabaza la baza canonica a lui R3, ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1),si apoi sa se determine coordonatele vectorului ~x = ~e1 +~e2 +~e3 ın bazaformata de vectorii ~b1,~b2,~b3.

28. Sa se arate ca B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)} ⊂ R4

este o baza. Stiind ca matricea de trecere de la o alta baza din R4,B′ = {~v1, ~v2, ~v3, ~v4}, la baza B este:

TB′B =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

,

sa se determine baza B′.

29. Sa se determine coordonatele vectorului ~u ∈ R3 ın baza canonica, dacaın baza B1 = {~f1 = (1, 1, 1), ~f2 = (1, 1, 0), ~f3 = (1, 0, 0)} are coordo-natele (1, 2, 3).

30. Sa se determine coordonatele vectorului ~v ∈ R3 ın baza B1 de laexercitiul anterior, daca ın baza B2 = {~g1 = (1,−1, 1), ~g2 = (3, 2, 1),~g3 = (0, 1, 0)} are coordonatele (3, 1, 4).

31. Sa se verifice daca ın spatiul vectorial R3 un produs scalar poate fidefinit prin egalitatea:

〈~x, ~y〉 = 10x1y1 + 3x1y2 + 3x2y1 + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + x3y3 ;

∀ ~x = (x1, x2, x3), ~y = (y1, y2, y3) ∈ R3.

32. a) Sa se arate ca aplicatiile ( , ): Rn[X] × Rn[X] → R definite prinformulele:

(1.) (p, q)=n∑

j=0

ajbj si

(2.) (p, q)=n∑

j=0

(j!)2ajbj,

unde p =n∑

j=0

ajXj si q =

n∑

j=0

bjXj, sunt produse scalare.

b) Sa se calculeze unghiul dintre polinoamele p si q fata de produsulscalar (1.), respectiv (2.), unde p = 4 + X2 si q = 2 − 3X − 2X2.

1.9. Probleme 59

33. Sa se calculeze unghiul si distanta dintre vectorii ~v1, ~v2 ∈ R3

(1.) ~v1 = (1, 0, 2), ~v2 = (−1, 1, 1);

(2.) ~v1 = (10, 5, 1), ~v2 = (−1, 0, 10);

(3.) ~v1 = (1, 4, 4), ~v2 = (3, 2, 4).

34. Fie P2 spatiul vectorial al functiilor reale de grad cel mult doi ınzestratcu produsul scalar ( , ): P2 × P2 → R definit prin:

(p, q) = a0b0 + 2a1b1 + a2b2,

unde p(x) = a0 + a1x + a2x2 si q(x) = b0 + b1x + b2x

2.

In acest spatiu se considera vectorii p1(x) = 2 + x + 5x2, p2(x) =2 + x− x2, p3(x) = 4 + x + 5x2 si p4(x) = 3 + 3x + 5x2. Sa se gaseascaun vector p0 echidistant acestora si sa se calculeze aceasta distanta.

35. Fie spatiul euclidian real C0([0, 4]) ın care produsul scalar este definitprin relatia:

(f, g) =

4∫

0

f(x)g(x)dx.

Sa se verifice inegalitatea lui Cauchy-Schwarz si sa se calculeze d(f, g)si ||g|| pentru:

f(x) = 1 , g(x) =

{x , x ∈ [0, 2]

4 − x , x ∈ (2, 4].

36. Fie spatiul vectorial euclidian R3. Sa se gaseasca o baza ortonormatapentru subspatiul generat de vectorii:

~x1 = (1, 1,−1), ~x2 = (3,−1,−1), ~x3 = (0,−1, 1).

37. Fie spatiul vectorial euclidian R4. Sa se gaseasca o baza ortonormatapentru subspatiul generat de vectorii:

~x1 = (0, 1, 1, 0), ~x2 = (0, 4, 0, 1), ~x3 = (1,−1, 1, 0), ~x4 = (1, 3, 0, 1).

38. Fie spatiul vectorial euclidian C0([0, 1]) ın care produsul scalar estedefinit prin formula:

(f, g) =

1∫

0

f(x)g(x)dx.

Sa se ortonormeze multimea {2, 2 + x, (2 + x)2, (2 + x)3} de elementedin acest spatiu euclidian.


39. Sa se ortonormeze urmatoarele multimi de vectori, considerand operatiade produs scalar definita ın mod canonic pentru:

(1.) ~v1 = (1,−2, 2), ~v2 = (−1, 0, 1), ~v3 = (5,−3, 7);

(2.) ~f1 = (1, 1, 1, 1), ~f2 = (3, 3,−1,−1), ~f3 = (−2, 0, 6, 8);

si respectiv produsul scalar definit la exercitiul 38 pentru:

(3.) p1 = 1 + X, p2 = 1 − X + X2, p3 = X + 2X2;

(4.) p1 = X2, p2 = X, p3 = 1.

40. Fie spatiul vectorial euclidian al functiilor polinomiale f(t) pe care s-adefinit produsul scalar:

(f, g) =

1∫

−1

f(t)g(t)dt .

Sa se aplice metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt pentru elementele{1, t, t2, t3} din P 3(t). Se vor obtine astfel primele patru polinoameLegendre, care apar ın studiul ecuatiilor diferentiale.

41. Verificati ca ın spatiul euclidian al functiilor reale de o singura variabilape care s-a definit produsul scalar:

(f, g) =

π∫

−π

f(t)g(t)dt ,

multimile de functii {1, sin x, sin 2x, ..., sin nx, ...} si {1, cos x, cos 2x, ...., cos nx, ...} formeaza multimi ortogonale. Subliniem ca acestea suntexact functiile care apar ın dezvoltarea ın serie Fourier a unei functii.

42. In spatiul euclidian canonic R3, fie vectorul ~v = (14,−3,−6) si sub-multimea S = {~a1, ~a2, ~a3}, unde ~a1 = (0, 1, 0), ~a2 = (1, 0, 1) si ~a3 =(2, 2, 2). Sa se gaseasca proiectia ~w a vectorului ~v pe L(S) si vectorul~w⊥.

Capitolul 2

Operatori liniari

Acest capitol este consacrat studiului operatorilor liniari (numiti si trans-formari liniare). Aceste obiecte matematice reprezinta de fapt functii (apli-catii) care formalizeaza o relatie dintre doua spatii vectoriale ce conservaoperatiile de adunare si ınmultire.

2.1 Definitii si proprietati

Fie V si W doua spatii vectoriale peste acelasi camp K.

Definitia 2.1.1: O aplicatie T : V → W cu proprietatile:

(1) T(~u + ~v) = T(~u) + T(~v), ∀ ~u,~v ∈ V ,(2) T(k~v) = kT(~v), ∀ k ∈ K, ∀ ~v ∈ V ,

se numeste operator liniar, transformare liniara sau omomorfism de spatiivectoriale.

Un caz particular ıl constituie situatia ın care campul K este privit caspatiu vectorial aritmetic cu dimensiunea 1 peste K. In acest caz, transfor-marea liniara f : V → K se numeste forma liniara.

Teorema 2.1.1: Functia T : V → W este un operator liniar daca sinumai daca

T(k~u + l~v) = kT(~u) + lT(~v), ∀ k, l ∈ K, ∀ ~u,~v ∈ V .

Demonstratie: Daca presupunem ca T : V → W este un operator liniar,atunci conform definitiei 2.1.1 avem

T(k~u + l~v) = T(k~u) + T(l~v) = kT(~u) + lT(~v)

si deci conditia din teorema este satisfacuta.

61

62 Capitolul 2. Operatori liniari

Reciproc, daca ın conditia din teorema impunem k = l = 1 obtinemproprietatea (1) din definitia 2.1.1, iar impunand l = 0 obtinem proprietatea(2) din aceeasi definitie.

Teorema 2.1.1 este de fapt o alta modalitate, mai compacta, de a definiun operator liniar.

O serie de proprietati fundamentale ale operatorilor liniari sunt descriseprin intermediul teoremei urmatoare:

Teorema 2.1.2: Pentru orice operator liniar T : V → W sunt satisfacuteurmatoarele proprietati:

(1) T(~0V ) = ~0W si T(−~v) = −T(~v), ∀ ~v ∈ V , unde am notat cu ~0V vectorulnul din spatiul vectorial V si cu ~0W vectorul nul din spatiul vectorial W ;

(2) Daca U este un subspatiu vectorial al lui V , atunci T(U) este unsubspatiu vectorial al lui W .

(3) Daca vectorii ~v1, ~v2, . . . , ~vp ∈ V sunt liniar dependenti, atunci si vec-torii T(~v1), T(~v2), . . . , T(~vp) sunt liniar dependenti.

Demonstratie:

(1): Folosind proprietatea (b) din definitia 2.1.1 si particularizand k = 0obtinem pentru orice vector ~x ∈ V :

T(~0) = T(0~x) = 0T(~x) = ~0 .

Punand ın aceeasi relatie k = −1 obtinem cea de a doua proprietate.

(2): Fie ~u,~v ∈ T(U) si k.l ∈ K. Existenta elementelor ~x, ~y ∈ V astfel ıncat~u = T(~x) si ~v = T(~y), ımpreuna cu liniaritatea lui T implica sirul de egalitatiurmator:

k~u + l~v = kT(~x) + lT(~y) = T(k~x + l~y) ∈ T(U) ,

deci T(U) este un subspatiu vectorial al lui W .

(3): Din liniar dependenta vectorilor ~v1, ~v2, . . . , ~vp ∈ V rezulta ca exista celputin un scalar nenul ki ∈ K astfel ıncat egalitatea

k1~v1 + k2~v2 + . . . + kp~vp = ~0

sa fie satisfacuta. Aplicand operatorul liniar T pe cei doi membri ai egalitatiisi tinand cont de proprietatile lui, rezulta ca exista cel putin un scalar nenulki ∈ K astfel ıncat:

T(k1~v1 + k2~v2 + . . . + kp~vp) = k1T(~v1) + k2T(~v2) + . . . + kpT(~vp) = ~0 ,

adica vectorii T(~v1), T(~v2), . . . , T(~vp) sunt liniar dependenti.

2.2. Operatii cu operatori liniari 63

2.2 Operatii cu operatori liniari

Multimea tuturor operatorilor liniari definiti pe V si cu valori ın W o vomnota ın continuare cu L(V,W ).

Elementele multimii L(V, V ) se numesc endomorfisme ale lui V .

Pentru elemente ale multimii L(V, W ) putem defini egalitatea, adunareasi ınmultirea operatorilor liniari cu scalari din campul K la fel ca si la functii.Daca T1, T2 ∈ L(V, W ), avem relatiile umatoare:

Egalitatea: T1 = T2 ⇔ T1(~x) = T2(~x), ∀ ~x ∈ V .

Adunarea: (T1 + T2)(~x) = T1(~x) + T2(~x), ∀ ~x ∈ V .

Inmultirea cu scalari: (kT)(~x) = kT(~x), ∀ k ∈ K, ∀ ~x ∈ V .

Se poate verifica imediat ca suma a doi operatori liniari, precum si pro-dusul dintre un operator liniar si un scalar sunt tot operatori liniari.

De asemenea, se poate demonstra cu usurinta ca multimea L(V, W ) esteun spatiu vectorial peste campul K ın raport cu operatiile de adunare siınmultire cu scalari mai sus definite.

In particular, spatiul vectorial L(V, K) al tuturor formelor liniare definitepe V si cu valori ın K se numeste dualul lui V.

Compunerea a doi operatori liniari, definita ca si la functii, se numesteınmultire sau produs si are ca rezultat tot un operator liniar. Evident, com-punerea nu este comutativa, dar este asociativa. Compunerea poate fi com-binata cu operatiile algebrice de adunare si ınmultire cu scalari dupa cumurmeaza:

Daca T1, T2, T3 sunt operatori liniari pentru care operatiile suma T1 + T2

si produs T1T3 si T2T3 au sens, atunci ∀ k, l ∈ K,

(kT1 + lT2)T3 = kT1T3 + lT2T3 ;

Daca T1, T2, T3 sunt operatori liniari pentru care operatiile suma T1 + T2

si produs T3T1 si T3T2 au sens, atunci ∀ k, l ∈ K,

T3(kT1 + lT2) = kT3T1 + lT3T2

Fie T un endomorfism al lui V . Pentru un astfel de operator putem definiprin inductie puterile sale naturale:

T0 = I, T

n = TTn−1, n = 1, 2, ...

unde I este operatorul identitate.


Fie T : V → W un operator liniar bijectiv (deci inversabil). Inversulacestuia, T−1 : W → V este tot un operator liniar.

Daca consideram doi operatori liniari, T1 : U → V si T2 : V → W , caresunt si bijectivi, atunci T2T1 : U → W este tot un operator liniar bijectiv siavem (T2T1)

−1 = T−11 T

−12 .

Asa cum am aratat si ın subcapitolul 1.5, un operator liniar bijectiv senumeste izomorfism de spatii vectoriale.

2.3 Nucleul si imaginea unui operator liniar

Fie V si W doua spatii vectoriale peste campul K si T : V → W un operatorliniar.

Definitia 2.3.1: Multimea

Ker(T) = {~x | ~x ∈ V, T(~x) = ~0} ⊂ V,

se numeste nucleul lui T.Multimea Im(T) = T(V ) ⊂ W se numeste imaginea lui V prin T.

Principalele proprietati ale nucleului si imaginii unui operator liniar suntdate ın teoremele urmatoare:

Teorema 2.3.1: Daca T : V → W este un operator liniar, atunci:

(1) Nucleul lui T este un subspatiu vectorial al lui V ;(2) Imaginea lui V prin T este un subspatiu vectorial al lui W .

Demonstratie: Pentru doi vectori ~x, ~y ∈ Ker(T) avem confom definitieinucleului unui operator liniar T(~x) = ~0 si T(~y) = ~0. Din liniaritatea lui T

rezultaT(k~x + l~y) = kT(~x) + lT(~y) = ~0 , ∀ k, l ∈ K

si deci k~x + l~y ∈ Ker(T), ∀ k, l ∈ K.

In mod asemanator se demonstreaza si cea de a doua parte a teoremei.

Teorema 2.3.2: Daca T : V → W este un operator liniar, atunciurmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1) T este injectiv;(2) T : V → T(V ) este inversabil;(3) Ker(T)=~0.

Demonstratie: Echivalenta primelor doua afirmatii este evidenta, deoa-rece identificarea domeniului de valori al operatorului T cu T(V ) asigurasurjectivitatea.

2.3. Nucleul si imaginea unui operator liniar 65

Pentru a verifica echivalenta afirmatiilor (1) si (3) presupunem pentruınceput ca Ker(T) = {~0}. Egalitatea T(~x) = T(~y) implica, datorita liniaritatiilui T, egalitatea T(~x−~y) = ~0, adica ~x−~y ∈ Ker(T). In consecinta, ~x−~y = ~0,adica ~x = ~y si deci T este injectiv.

Daca presupunem injectivitatea lui T, aceasta proprietate, ımpreuna cuconditia T(~0) = ~0, implica Ker(T) = {~0}.

Teorema 2.3.3: Daca spatiul vectorial V este finit dimensional, atuncisi spatiul vectorial Im(T) este finit dimensional si avem:

dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V .

Dimensiunea nucleului lui T se numeste defectul lui T, iar dimensiuneaimaginii lui V prin T se numeste rangul lui T.

Demonstratie: Notam n = dim V si p = dim Ker(T). Cazul particularp = 0 ıl lasam ca exercitiu pentru cititor. Daca p ≥ 1, alegem o baza{~v1, . . . , ~vp, ~vp+1, . . . , ~vn} ın V astfel ıncat {~v1, . . . , ~vp} sa fie baza ın Ker(T).

Pentru orice ~y ∈ Im(T) exista un ~x =n∑

i=1

xi~vi ∈ V astfel ıncat

~y = T(~x) = T

(n∑

i=1

xi~vi

)

=n∑

i=1

xiT(~vi) = xp+1T(~vp+1) + . . . + xnT(~vn) ,

deoarece T(~v1) = . . . = T(~vp) = ~0. Rezulta deci ca vectorii T(~vp+1), . . . , T(~vn)genereaza spatiul vectorial Im(T).

Pentru a verifica liniar independenta acestor vectori, pornim de la egali-tatea

kp+1T(~vp+1) + . . . + knT(~vn) = ~0

din care rezultaT(kp+1~vp+1 + . . . + kn~vn) = ~0

adica kp+1~vp+1 + . . .+kn~vn ∈ Ker(T) sau kp+1~vp+1 + . . .+kn~vn = k1~v1 + . . .+kp~vp; liniar independenta bazei din V implica k1 = . . . = kp = kp+1 = . . . =kn = 0.

In concluzie, spatiul vectorial Im(T) este finit dimensional si dim Im(T) =dim V − dim Ker(T).

Teorema 2.3.4: Fie V un spatiu vectorial n-dimensional si T : V → Wun operator liniar. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(1) T este injectiv;(2) Daca ~v1, ~v2, . . . , ~vp ∈ V sunt vectori liniar independentı, atunci si

vectorii T(~v1), T(~v2), . . . , T(~vp) ∈ T(V ) ⊂ W sunt liniar independenti;


(3) dim T(V ) = n;

(4) Daca {~v1, ~v2, . . . , ~vn} este o baza pentru V , atunci {T(~v1), T(~v2), ....,T(~vn)} este o baza pentru T(V ).

Demonstratie: Pentru a demonstra aceasta teorema, vom demonstra sirulde implicatii (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4).

Presupunem ca operatorul T este injectiv si fie vectorii liniari indepen-denti ~v1, . . . , ~vp ∈ V . Relatia k1T(~v1) + . . . + kpT(~vp) = ~0 implica T(k1~v1 +. . . + kp~vp) = ~0, adica k1~v1 + . . . + kp~vp ∈ Ker(T) = {~0}. Din egalitateak1~v1 + . . . + kp~vp = ~0 rezulta k1 = . . . = kp = 0, ceea ce demonstreazaimplicatia (1) ⇒ (2).

Daca presupunem ca (2) este adevarata pentru orice p ≤ n si vectorii{~v1, . . . , ~vn} formeaza o baza in V , atunci vectorii T(~v1), . . . , T(~vn) sunt liniarindependenti. In consecinta, dim T(V ) ≥ n. Pe de alta parte, teorema 2.3.3arata ca dim T(V ) ≤ n, deci rezulta dim T(V ) = n, adica (2) ⇒ (3).

Sa presupunem ca (3) este adevarata si ca vectorii {~v1, . . . , ~vn} formeaza

o baza ın V . Pentru orice vector ~y ∈ T(V ) exista un vector ~x =n∑

i=1

xi~vi ∈ V

astfel ıncat ~y = T(~x) =n∑

i=1

xiT(~vi), deci vectorii {T(~v1), . . . , T(~vn)} genereaza

spatiul vectorial T(V ). Aceasta, ımpreuna cu conditia dim T(V ) = n, implicafaptul ca sistemul de vectori {T(~v1), . . . , T(~vn)} este o baza a lui T(V ), adica(3) ⇒ (4).

Daca afirmatia (4) este adevarata, atunci T(~x) = ~0 implica ~x = ~0 si deciKer(T) = {~0}, adica (4) ⇒ (1).

Teorema 2.3.5: Un operator liniar injectiv T : Vn → Wn este bijectiv.

Demonstratie: Datorita conditiei de injectivitate, avem Ker(T) = {~0} sideci dim Ker(T) = 0. Aplicand teorema 2.3.3 obtinem dim Im(T) = dim V =n. Deoarece Im(T) ⊂ Wn, aceasta implica Im(T) = Wn, deci T este surjectivsi ın consecinta este bijectiv.

2.4 Matricea unui operator liniar

Fie Vn si Wm doua spatii vectoriale finit dimensionale peste campul K siT : Vn → Wm un operator liniar.

Teorema 2.4.1: Daca {~v1, ~v2, . . . , ~vn} este o baza pentru Vn si {~w1, ~w2, ...., ~wm} este o baza pentru Wm, atunci exista o matrice si numai una T = (tij)

cu m linii si n coloane, astfel ıncat T(~vj) =m∑

i=1

tij ~wi.

2.4. Matricea unui operator liniar 67

In plus, daca vectorul ~x =n∑

j=1

xj~vj are imaginea ~y = T(~x) =m∑

i=1

yi ~wi, atunci

yi =n∑

j=1

tijxj, i = 1, 2, . . . , m.

Matricea T se numeste matricea asociata operatorului T ın raport cuperechea de baze considerate.

Daca facem notatiile X = t(x1, x2, . . . , xn), Y = t(y1, y2, . . . , ym) obtinemrelatia matriceala Y = TX.

Pentru a demonstra aceasta teorema este necesara ın prealabil prezentareasi demonstrarea unei teoreme ajutatoare:

Teorema 2.4.2: Fie Vn si Wm doua spatii vectoriale peste campul K,{~b1,~b2, . . . ,~bn} o baza ın Vn si ~w1, ~w2, . . . , ~wn o multime de n vectori arbitraridin Wm.

(1) Exista un operator liniar unic T : Vn → Wm care satisface relatiaT(~vi) = ~wi, i = 1, 2, . . . , n;

(2) Daca vectorii ~w1, ~w2, . . . , ~wn sunt liniar independenti, atunci opera-

torul liniar T determinat de conditiile T(~bi) = ~wi, i = 1, 2, . . . , n este injectiv.

Demonstratie:

(1) Pentru orice vector ~x ∈ Vn avem ~x =n∑

i=1

xi~bi. Regula care asociaza

fiecarui vector ~x imaginea T(~x) =n∑

i=1

xi ~wi defineste o functie T : Vn → Wm

cu proprietatea T(~bi) = ~wi, i = 1, 2, . . . , n.Pentru a demonstra ca T este un operator liniar consideram un alt vector

din Vn, ~y =n∑

i=1

yi~bi. Se observa ca k~x + l~y =

n∑

i=1

(kxi + lyi)~bi ∈ Vn, ∀ k, l ∈ K

si T(k~x + l~y) =n∑

i=1

(kxi + lyi)~wi = kn∑

i=1

xi ~wi + ln∑

i=1

yi ~wi = kT(~x) + lT(~y).

Unicitatea lui T se demonstreaza prin reducere la absurd.

(2) Fie ~x =n∑

i=1

xi~bi, ~y =

n∑

i=1

yi~bi doi vectori oarecare din Vn. Ipotezele

T(~bi) = ~wi, i = 1, 2, . . . , n si T(~x) = T(~y) implican∑

i=1

(xi−yi)~wi = ~0. Aceasta,

ımpreuna cu liniar independenta vectorilor ~w1, ~w2, . . . , ~wn conduce la egali-tatea xi = yi, adica ~x = ~y.

Teorema 2.4.2 arata ca operatorul T este determinat ın mod unic de valo-rile T(~vj) ∈ Wm. Pe de alta parte, fiecarui vector T(~vj) cu j fixat, i se ataseazacoordonatele sale (t1j, t2j, . . . , tmj) ın raport cu baza {~w1, ~w2, . . . , ~wm}. Con-

form relatiei T(~vj) =m∑

i=1

tij ~wi , j = 1, 2, . . . , n, matricea T = (tij) ale carei


coloane au drept elemente coordonatele vectorilor T(~v1), T(~v2), . . . , T(~vn) ınraport cu baza {~w1, ~w2, . . . , ~wm} este unic determinata.

Pentru un vector ~x =n∑

j=1

xj~vj ∈ Vn putem scrie:

T(~x) =n∑

j=1

xjT(~vj) =n∑

j=1

xj

(m∑

i=1

tij ~wi

)

=m∑

i=1

(n∑

j=1

tijxj

)

~wi .

Deoarece ~y = T(~x) =n∑

i=1

yi ~wi, prin identificare gasim

yi =n∑

j=1

tijxj , i = 1, 2, . . . , n ,

adica exact ceea ce enunta teorema 2.4.1.

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional peste campul K si T : Vn → Vn

un operator liniar (endomorfism). Atunci cand se aleg baze diferite ın Vn,forma matricei asociate endomorfismului T se va modifca. Legatura ıntrematricele asociate unui endomorfism ın doua baze diferite si matricea detrecere de la baza veche la cea noua este descrisa ın teorema urmatoare.

Teorema 2.4.3: Matricele A si B, patratice de ordinul n, avand elementedin K, reprezinta acelasi operator liniar T : Vn → Vn daca si numai dacaexista o matrice nesingulara S, astfel ıncat sa fie valabila egalitatea matricealaB = S−1AS. Matricea S reprezinta chiar matricea de trecere de la baza vechela cea noua.

Demonstratie: Fie {~v1, ~v2, . . . , ~vn} si {~v′1, ~v

′2, . . . , ~v

′n} doua baze ın Vn si

notam cu S = (sij) matricea de trecere de la prima baza la cea de a doua.Legatura dintre vectorii celor doua baze este data de relatia

~v′j =

n∑

i=1

sij~vi , j = 1, 2, . . . , n.

Daca T : Vn → Vn este un endomorfism si notam cu A = (aij) matriceaatasata lui T ın raport cu prima baza si respectiv cu B = (bij) matriceaatasata lui T ın raport cu cea de a doua baza, putem scrie relatiile de definitieale elementelor acestor matrice:

T(~vj) =n∑

i=1

aij~vi , j = 1, 2, . . . , n

2.5. Endomorfisme particulare 69

si respectiv

T(~v′j) =

n∑

i=1

bij~v′i , j = 1, 2, . . . , n.

Din seria de egalitati:

T(~v′j) =

n∑

i=1

bij~v′i =

n∑

i=1

bij

(n∑

k=1

ski~vk

)

=n∑

k=1

(n∑

i=1

skibij

)

~vk ,

T(~v′j) = T

(n∑

i=1

sij~vi

)

=n∑

i=1

sijT(~vi) =n∑

i=1

sij

(n∑

k=1

aki~vk

)

=

=n∑

k=1

(n∑

i=1

akisij

)

~vk ,

rezulta can∑

i=1

skibij =n∑

i=1

akisij,

ceea ce se poate scrie matriceal sub forma SB = AS, sau B = S−1AS.

Matricele A,B ∈ Mn×n(K) care satisfac conditiile teoremei de mai sus senumesc matrice asemenea. Deoarece matricea de trecere de la o baza la altaeste nesingulara, matricele A si B au acelasi rang, iar acest numar se numesterangul endomorfismului T. De asemenea, se poate defini determinantul unuiendomorfism ca fiind determinantul matricei asociate acelui endomorfism ınraport cu o baza fixata.

2.5 Endomorfisme particulare

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional peste campul K si L(Vn, Vn) multi-mea tuturor endomorfismelor definite pe Vn.

Definitia 2.5.1: Endomorfismul T ∈ L(Vn, Vn) se numeste:a) automorfism daca este bijectiv;b) proiectie daca T2 = T;c) structura produs sau involutie daca T2 = I, unde I este operatorul

identitate;d) structura complexa daca T2 = −I;e) endomorfism nilpotent de indice p daca Tp = O, unde p = 2, 3, ..., iar

O este operatorul nul (zero).


Daca T este matricea asociata endomorfismului T ın raport cu o bazadata, atunci putem reformula definitia anterioara ın termeni de matrice aso-ciate:

Definitia 2.5.2: Endomorfismul T ∈ L(Vn, Vn) se numeste:a) automorfism daca matricea T este inversabila;b) proiectie daca T 2 = T ;c) structura produs sau involutie daca T 2 = In, unde In este matricea

unitate de ordinul n;d) structura complexa daca T 2 = −In;e) endomorfism nilpotent de indice p daca T p = On, unde p = 2, 3, . . . ,

iar On este matricea nula de ordinul n.

2.6 Valori si vectori proprii

2.6.1 Definitii si proprietati

Fie V un spatiu vectorial peste campul K (R sau C) si T : V → V unendomorfism pe V .

Definitia 2.6.1: Un vector ~x ∈ V \{~0} se numeste vector propriu alendomorfismului T : V → V daca exista λ ∈ K astfel ıncat T~x = λ~x.Scalarul λ se numeste valoarea proprie a lui T corespunzatoare lui ~x.

Multimea tuturor valorilor proprii ale endomorfismului T poarta numelede spectrul lui T.

Ecuatia T~x = λ~x care defineste un vector propriu este echivalenta cuconditia ~x ∈ Ker(T − λI), ~x 6= 0, unde I este endomorfismul identitate.

Este de asemenea usor de verificat faptul ca daca ~x este un vector propriual lui T, atunci si vectorul k~x, ∀ k ∈ K\{0} este si el vector propriu alaceluiasi endomorfism.

Doua proprietati importante ale valorilor si vectorilor proprii sunt datede teorema urmatoare:

Teorema 2.6.1: Fie V un spatiu vectorial peste campul K si T un en-domorfism pe V .

(1) Unui vector propriu al lui T ıi corespunde o singura valoare proprie.(2) Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte sunt liniar

independenti.

Demonstratie:

(1) Fie ~x un vector propriu corespunzator valorii proprii λ, deci T~x = λ~x.Daca ar exista λ′ ∈ K, λ′ 6= λ, astfel ıncat T~x = λ′~x, atunci λ~x = λ′~x.

2.6. Valori si vectori proprii 71

Rezulta ca (λ − λ′)~x = ~0 si deci ~x = ~0, ceea ce este fals.

(2) Vom demonstra aceasta afirmatie prin inductie. Fie ~x1, . . . , ~xp vectoriiproprii ai lui T corespunzatori valorilor proprii distincte λ1, . . . , λp.

In cazul p = 1, proprietatea este evidenta deoarece vectorul propriu estediferit de vectorul nul.

Presupunem afirmatia adevarata pentru p−1 vectori si o vom demonstrapentru p vectori.

Din ecuatia

k1~x1 + k2~x2 + . . . + kp−1~xp−1 + kp~xp = ~0, cu ki ∈ K, i = 1, 2, . . . , p,

rezulta caT(k1~x1 + k2~x2 + . . . + kp−1~xp−1 + kp~xp) = ~0,

si decik1λ1~x1 + k2λ2~x2 + . . . + kp−1λp−1~xp−1 + kpλp~xp = ~0.

Scazand din aceasta ultima relatie pe prima ınmultita cu scalarul λp obtinem:

k1(λ1 − λp)~x1 + k2(λ2 − λp)~x2 + . . . + kp−1(λp−1 − λp)~xp−1 = ~0.

Tinand cont ca primii p − 1 vectori sunt liniar independenti si ca valorileproprii sunt distincte, obtinem k1 = k2 = . . . = kp−1 = 0. Rezulta deci cakp~xp = ~0, si ın consecinta kp = 0.

Subliniem faptul ca reciproca afirmatiei (1) din teorema 2.6.1 nu estevalabila. Vom vedea ca unei valori proprii pot sa ıi corespunda mai multivectori proprii.

Definitia 2.6.2: Multimea S(λ) = {k~x | T~x = λ~x, k ∈ K} se numestesubspatiul propriu atasat valorii proprii λ.

Lasam ca exercitiu cititorului sa demonstreze faptul ca multimea S(λ)este un subspatiu vectorial al lui V .

De asemenea, se poate arata ca acest subspatiu vectorial (finit sau infinitdimensional) este invariant fata de T, adica T(S(λ)) ⊆ S(λ):

Pentru orice vectori ~x, ~y ∈ S(λ) si orice scalari k, l ∈ K, avem T(l~x+l~y) =kT(~x) + lT(~y) = kλ~x + lλ~y = λ(k~x + l~y), deci vectorul k~x + l~y apartinesubspatiului S(λ). Rezulta ca T(S(λ)) ⊆ S(λ).

Teorema 2.6.2: Subspatiile proprii corespunzatoare la valori proprii dis-tincte sunt disjuncte.

Demonstratie: Fie valorile proprii distincte λ1 si λ2 si respectiv cele douasubspatii proprii ale lor, S(λ1) si S(λ2). Daca ar exista un vector nenul~x ∈ S(λ1) ∩ S(λ2), ar rezulta ca T~x = λ1~x si T~x = λ2~x, deci (λ1 − λ2)~x = ~0,adica ~x = ~0, ceea ce este absurd. In consecinta S(λ1) ∩ S(λ2) = {~0}.


2.6.2 Polinom caracteristic

Fie T = (tij) o matrice patratica de ordinul n si X = (xj) o matrice coloanacu n elemente din K (R sau C). Daca exista un scalar λ ∈ K astfel ıncatTX = λX, atunci X se numeste vector propriu si λ se numeste valoareproprie pentru matricea T .

Ecuatia matriceala (T − λI)X = 0, unde I este matricea unitate deordinul n, este echivalenta cu sistemul liniar omogen urmator:

(t11 − λ)x1 + t12x2 + . . . + t1nxn = 0t21x1 + (t22 − λ)x2 + . . . + t2nxn = 0.........................................................tn1x1 + tn2x2 + . . . + (tnn − λ)xn = 0

,

care are solutii nebanale daca si numai daca

P (λ) = det(T − λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

t11 − λ t12 ... t1n

t21 t22 − λ ... t2n

... ... ... ...tn1 tn2 ... tnn − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

Definitia 2.6.3: Polinomul P (λ) = det(T − λI) se numeste polinomulcaracteristic al matricei T , iar ecuatia P (λ) = det(T − λI) = 0, λ ∈ K senumeste ecuatia caracteristica a matricei T .

O proprietate importanta referitoare la polinomul caracteristic este datade teorema urmatoare:

Teorema 2.6.3: Doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristic.

Demonstratie: Fie T1 si T2 doua matrice asemenea, adica T2 = S−1T1S,unde S este o matrice nesingulara. Atunci, det(T2 − λI) = det(S−1T1S −λI) = det(S−1(T1 − λI)S)) = det(S−1) det(T1 − λI) det S = det(T1 − λI).

Valorile proprii ale matricei T sunt solutiile ecuatiei caracteristice. Elesunt ın numar de n, dar nu sunt ıntotdeauna toate distincte si, ın plus, nuıntotdeauna sunt reale. Un caz particular ın care toate valorile proprii suntreale este descris de teorema urmatoare:

Teorema 2.6.4: Fie T o matrice reala (T coincide cu conjugata sa com-plexa, T ) si simetrica (T coincide cu transpusa ei, tT ). Valorile proprii aleunei matrice reale si simetrice sunt reale.

Demonstratie: Din conjugarea complexa a ecuatiei matriceale (1) TX =λX obtinem (2) TX = λX. Inmultim ecuatia (1) la stanga cu tX si (2) lastanga cu tX. Prin transpunerea relatiei tX · (1) si tinand cont de simetria


matricei T obtinem ın partea stanga a egalitatii exact acelasi termen ca siın relatia tX · (2). De aici rezulta ca (λ − λ)tXX = 0. Deoarece tXX 6= 0,rezulta ca λ = λ, adica λ ∈ R.

Fie Vn un spatiu vectorial finit dimensional peste campul K si T : Vn → Vn

un endomorfism. Fie ~x un vector propriu al lui T si λ valoarea proprie aso-ciata. Daca fixam o baza ın Vn si notam cu T matricea asociata endomorfis-mului T, respectiv cu X matricea coloana asociata vectorului ~x (care continecoordonatele vectorului ın baza aleasa), relatia T~x = λ~x este echivalenta cuecuatia matriceala TX = λX.

Daca notam cu P (λ) = det(T − λI) polinomul caracteristic al matriceiT , pe baza celor prezentate mai sus este evident ca valorile proprii ale endo-morfismului T sunt radacinile lui P (λ) ın K, iar vectorii proprii ai lui T suntsolutiile ecuatiei matriceale (T − λI)X = 0. Pe de alta parte, teorema 2.6.3arata ca polinomul P (λ) = det(T − λI) este invariant fata de o schimbare abazei din Vn, adica coeficientii lui P (λ) depind de T si nu de reprezentareamatriceala particulara a lui T.

Definitia 2.6.4: Fie T : Vn → Vn un endomorfism si T matricea asociatalui ın raport cu o baza fixata ın Vn. Polinomul P (λ) = det(T−λI) se numestepolinomul caracteristic al endomorfismului T.

Endomorfismul T : Vn → Vn are cel mult n valori proprii distincte. DacaT are exact n valori proprii distincte, atunci, pe baza teoremei 2.6.1(2), sepoate demonstra ca vectorii proprii corespunzatori determina o baza a lui Vn

si matricea T atasata lui T ın raport cu aceasta baza este o matrice diagonala,avand ca elemente pe diagonala valorile proprii ale lui T.

Deoarece matricea oricarui endomorfism T : Vn → Vn depinde de alegereabazei ın Vn, prezinta interes cazul ın care se poate gasi o baza a lui Vn ınraport cu care matricea endomorfismului sa aiba o forma cat mai simpla.In continuare vom prezenta doua astfel de cazuri, forma diagonala si formaJordan.

2.6.3 Forma diagonala

Definitia 2.6.5: Un endomorfism T : Vn → Vn se numeste diagonalizabildaca exista o baza {~b1,~b2, . . . ,~bn} astfel ıncat matricea lui ın aceasta baza safie diagonala.

Toate matricele asemenea care corespund endomorfismului T se numescmatrice diagonalizabile.

Conditiile ın care un endomorfism este diagonalizabil sunt prezentate ınteoremele urmatoare.


Teorema 2.6.5: Un endomorfism T : Vn → Vn este diagonalizabil dacasi numai daca exista o baza a spatiului Vn formata din vectorii proprii aiendomorfismului.

Demonstratie: Daca endomorfismul T este diagonalizabil, atunci existao baza {~b1,~b2, . . . ,~bn} a spatiului vectorial Vn fata de care matricea lui estediagonala:

T =

t11 0 ... 00 t22 ... 0... ... ... ...0 0 ... tnn

,

deci T~bi = tii~bi, i = 1, 2, . . . , n, ceea ce ınseamna ca vectorii~bi, i = 1, 2, . . . , nsunt vectorii proprii ai endomorfismului T.

Reciproc, daca {~b1,~b2, . . . ,~bn} este o baza ın Vn formata din vectorii pro-prii ai lui T, atunci matricea lui T ın aceasta baza este:

T =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn

.

Evident, unele dintre valorile proprii λi pot fi egale ıntre ele.

Teorema 2.6.6: Dimensiunea unui subspatiu propriu al endomorfismuluiT : Vn → Vn este cel mult egala cu ordinul de multiplicitate al valorii propriicorespunzatoare subspatiului.

Demonstratie: Fie λ0 o valoare proprie multipla cu ordinul de multiplici-tate m si S(λ0) subspatiul propriu corespunzator. Notam dim S(λ0) = p ≤ n.

Fie {~b1, . . . ,~bp} ⊂ S(λ0) o baza ın subspatiul propriu. Completam aceasta

baza pana la o baza ın Vn de forma {~b1, . . . ,~bp, ~fp+1, . . . , ~fn}. Deoarece vec-

torii proprii ~bi, i = 1, . . . , p sunt vectorii proprii corespunzatori valorii λ0,

avem T~b1 = λ0~bi, , i = 1, . . . , p si respectiv T ~fj =

p∑

k=1

tkj~bk +

n∑

k=p+1

tkj~fk, j =

p + 1, . . . , n. Matricea lui T ın aceasta baza este:

T =

λ0 0 ... 0 t1p+1 ... t1n

0 λ0 ... 0 t2p+1 ... t2n

... ... ... ... ... ... ...0 0 ... λ0 tpp+1 ... tpn

... ... ... ... ... ... ...0 0 ... 0 tnp+1 ... tnn

si ın consecinta polinomul caracteristic al lui T are forma:

P (λ) = det(T − λI) = (λ0 − λ)p∆(λ),


unde ∆(λ) este un determinant de ordinul n − p.In concluzie, ∆(λ0) = 0 implica p¡m, iar ∆(λ0) 6= 0 implica p = m, deci

avem p ≤ m.

Teorema 2.6.7: Un endomorfism T : Vn → Vn este diagonalizabil daca sinumai daca polinomul sau caracteristic are toate radacinile ın campul pestecare este definit Vn si dimensiunea fiecarui subspatiu propriu este egala cuordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzatoare.

Demonstratie: Pentru ınceput, admitem ca T : Vn → Vn este diagonali-zabil. Rezulta deci ca exista o baza {~b1, . . . ,~bn} ın Vn formata din vectoriiproprii ai lui T, fata de care matricea lui T este diagonala.

Fie P (λ) = (λ − λ1)m1 · (λ − λ2)

m2 · . . . (λ − λp)mp , adica λi, i = 1, . . . , p

sunt valorile proprii ale lui T avand multiplicitatile mi, cup∑

i=1

mi = n. Fara

a afecta generalitatea, putem presupune ca primii m1 vectori din baza consi-derata corespund lui λ1, urmatorii m2 lui λ2 si asa mai departe. In concluzie,vectorii {~b1, . . . ,~bm1

} ⊂ S(λ1) apartin subspatiului propriu corespunzatorvalorii proprii λ1, ceea ce ınseamna ca numarul lor, m1, este mai mic saucel mult egal cu dim S(λ1). Pe de alta parte, conform teoremei 2.6.6, avemdim S(λ1) ≤ m1, deci obtinem din cele doua inegalitati ca dim S(λ1) = m1.Analog se demonstreaza ca dim S(λi) = mi, i = 2, . . . , p.

Pentru a demonstra reciproca, admitem ca dim S(λi) = mi, i = 1, . . . , p.

Fie B = {~b1, . . . ,~bm1,~bm1+1, . . . ,~bm2

, . . . ,~bmp−1+1, . . . ,~bmp, },

n∑

i=1

mi = n o

multime de vectori din Vn astfel ıncat primii m1 vectori sa constituie o bazaın S(λ1) si asa mai departe. Utilizand inductia dupa p se dovedeste ca Beste o baza a lui Vn. Fata de aceasta baza, matricea endomorfismului T esteo matrice diagonala de forma

T =

λ1 0 ... 0...

...

0 λ1 ... 0...

... 0... ... ... ...

0 0 ... λ1...

...... ... ... ... .... ... ... ... ...

...... λp 0 ... 0

0...

... 0 λp ... 0... ... ... ...

...... 0 0 ... λp

.

Ca o consecinta a acestei teoreme, rezulta ca daca T : Vn → Vn estediagonalizabil, atunci Vn = S(λ1) ⊕ S(λ2) ⊕ . . . ⊕ S(λp).


Etapele care trebuiesc parcurse pentru diagonalizarea unui endomorfismT : Vn → Vn sunt urmatoarele:

(1) Se fixeaza o baza ın Vn (de obicei cea canonica) si se determina ma-tricea T = (tij) a lui T ın baza respectiva;

(2) Se determina valorile proprii ale lui T calculand solutiile ın K aleecuatiei caracterisitce P (λ) = 0;

(3) Pentru a verifica diagonalizabilitatea endomorfismului, se poate uti-liza urmatorul test: daca exista p ≤ n valori proprii distincte λ1, . . . , λp

cu ordinele de multiplicitate m1, . . . ,mp, se calculeaza rangul matricelorT − λiI, i = 1, . . . , p. Daca rang(T − λiI) = n − mi, i = 1, . . . , p, atuncidim S(λi) = dim Ker(T − λiI) este numarul de solutii independente ale sis-temului omogen (T − λiI)X = 0 si conform teoremei 2.6.7 T este diagonali-zabil.

(4) Se rezolva cele p sisteme omogene (T − λiI)X = 0. Un sistem funda-mental de solutii pentru un asemenea sistem reprezinta coordonatele vecto-rilor proprii corespunzatori valorii proprii λi.

(5) Matricea lui T ın raport cu baza formata din vectorii proprii ai lui T

are pe diagonala elementele λ1, . . . , λ1, . . . , λp, . . . , λp, adica valorile proprii.

(6) Pentru verificarea rezultatului obtinut se poate face urmatorul calcul:notam cu T ′ ∈ Mn×n(K) matricea diagonala atasata lui T ın raport cu bazaformata din vectorii proprii ai lui T. Daca S ∈ Mn×n(K) este matricea alecarei coloane contin coordonatele vectorilor proprii care alcatuiesc noua bazaa lui Vn, adica matricea de trecere de la baza initiala din Vn (baza canonicaın Rn) la baza formata din vectorii proprii, atunci conform teoremei 2.4.3avem T ′ = S−1TS.

2.6.4 Forma Jordan

Fie Vn un spatiu vectorial peste campul K (R sau C) si T : Vn → Vn unendomorfism. In unele situatii, matricea T a endomorfismului T nu poate fidiagonalizata ın conditiile date de teoremele 2.6.5 si 2.6.7. Una dintre formelerelativ simple si utile ın aplicatii, care se poate obtine atunci cand nu esteposibila diagonalizarea este forma Jordan.

Definitia 2.6.6: Fie un scalar λ ∈ K. Matricele de tipul:

(λ) ,

(λ 10 λ

)

,

λ 1 00 λ 10 0 λ

, . . . ,

λ 1 0 ... 00 λ 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 10 0 0 ... λ

,

2.7. Operatori liniari pe spatii euclidiene 77

se numesc celule Jordan de ordinul 1, 2, 3,..., respectiv n atasate scalaruluiλ.

Definitia 2.6.7: Spunem ca endomorfismul T : Vn → Vn este adus laforma Jordan daca exista o baza ın Vn fata de care matricea:

J =

J1 0 ... 00 J2 ... 0... ... ... ...0 0 ... Js

sa reprezinte endomorfismul T, unde Ji sunt celule Jordan atasate valorilorproprii λi, i = 1, 2, . . . , s ale endomorfismului T.

O celula Jordan de ordinul p atasata unei valori proprii λ, care areordinul de multiplicitate s ≥ p, corespunde vectorilor liniar independenti~v1, ~v2, . . . , ~vp astfel ıncat T~v1 = λ~v1, T~v2 = ~v1 + λ~v2, . . . , T~vp = ~vp−1 + λ~v1.Vectorul ~v1 este vector propriu, iar vectorii ~v2, . . . , ~vp se numesc vectori prin-cipali.

Din motive de spatiu, nu aprofundam acest subiect ın aceasta lucrare.Amintim doar, fara a da si demonstratiile, doua teoreme care constituie cri-terii de aducere a endomorfismelor la forma Jordan, similare celor referitoarela aducerea la forma diagonala, prezentate anterior (teoremele 2.6.5 si 2.6.7).

Teorema 2.6.8: Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional peste campulK (R sau C). Daca T : Vn → Vn este un endomorfism si λ1, . . . , λp sunt

valorile proprii distincte ale lui T cu multiplicitatile m1, . . . , mp,p∑

k=1

mk = n,

atunci exista p subspatii vectoriale Vj ⊂ Vn, j = 1, . . . , p, invariante fata de T,de dimensiuni mj, j = 1, . . . , p, astfel ıncat Vn = V1⊕V2⊕. . .⊕Vp, iar restrictiaendomorfismului T pe subspatiul Vj este T|Vj

= Nj +λjIj, j = 1, . . . , p, undeNj sunt endomorfisme nilpotente de diferite ordine.

Teorema 2.6.9 (Teorema Jordan): Fie Vn un spatiu vectorial cu di-mensiunea n peste campul K (R sau C). Daca endomorfismul T : Vn → Vn

are valori proprii ın K si daca suma multiplicitatilor acestor valori proprii esten, atunci exista o baza ın Vn fata de care matricea lui T are forma Jordan.

2.7 Operatori liniari pe spatii euclidiene

Fie V si W doua spatii vectoriale euclidiene complexe si T : V → W unoperator liniar.


Definitia 2.7.1: Operatorul liniar T∗ : W → V definit prin relatia:

(~x, T~y) = (T∗~x, ~y), ∀ ~x ∈ W, ∀ ~y ∈ V,

se numeste adjunctul lui T.

Un endomorfism T : V → V se numeste:

(1) hermitian daca T = T∗;(2) antihermitian daca T = −T∗.

Teorema 2.7.1: Endomorfismul T : V → V este hermitian daca si numaidaca produsul scalar (~x, T~x) este real pentru orice ~x ∈ V .

Demonstratie: Daca T = T∗, atunci putem scrie:

(~x, T~x) = (T~x, ~x) = (~x,T~x),

deci (~x, T~x) este real pentru orice ~x ∈ V .Reciproc, daca (~x,T~x) este real, atunci

(~x,T~x) = (~x, T~x) = (T∗~x, ~x) = (~x, T∗~x)

si de aici rezulta ca (~x, (T − T∗)~x) = 0, ∀ ~x ∈ V , deci T = T∗.

Teorema 2.7.2: Fie doua endomorfisme hermitiene, T1 si T2, definite peV si doi scalari k, l ∈ R. Atunci sunt valabile urmatoarele afirmatii:

(1) operatorul kT1 + lT2 este hermitian;(2) daca T1 este inversabil, atunci si T

−11 este hermitian;

(3) operatorul T1T2 este hermitian daca si numai daca T1T2 = T2T1.

Demonstratie:Afirmatia (1) rezulta imediat, daca tinem cont ca (T1 + T2)

∗ = T∗1 + T∗

2 si(kT1)

∗ = kT∗1 , respectiv (lT2)

∗ = lT∗2 .

(2) este adevarata deoarece (T−11 )∗ = (T∗

1)−1 = T

−11

Pentru a demonstra afirmatia (3), pentru ınceput presupunem ca T1T2

este hermitian, si ın acest caz (T1T2)∗ = T1T2. Pe de alta parte, avem

(T1T2)∗ = T∗

2T∗1 = T2T1, deoarece T1 si T2 sunt hermitieni. Deci T1T2 = T2T1.

Reciproca este evidenta.

Definitia 2.7.2: Un operator liniar T : V → W se numeste unitar dacapastreaza produsul scalar, adica

(T~x, T~y) = (~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V.

Teorema 2.7.3: Operatorul liniar T : V → W este unitar daca si numaidaca ||T~x|| = ||~x||, ∀ ~x ∈ V .

2.7. Operatori liniari pe spatii euclidiene 79

Demonstratie: Daca operatorul liniar T este unitar, atunci (T~x, T~y) =(~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V . In particular, pentru ~y = ~x avem (T~x,T~x) = (~x, ~x), adica||T~x||2 = ||~x||2, deci ||T~x|| = ||~x||.

Reciproc, daca ||T~x|| = ||~x||, ∀ ~x ∈ V , pe baza egalitatilor:

(~x, ~y) =1

4

[||~x + ~y||2 − ||~x − ~y||2 + i||~x + i~y||2 − i||~x − i~y||2

]

si respectiv:

(T~x,T~y) =1

4

[||T(~x + ~y)||2 − ||T(~x − ~y)||2 + i||T(~x + i~y)||2 − i||T(~x − i~y)||2

]

= (~x, ~y)

se observa ca T este un operator liniar.

Aceasta teorema constituie o modalitate echivalenta de a defini un ope-rator unitar.

O alta conditie pe care trebuie sa o satisfaca un operator unitar T esteTT∗ = T∗T = I, unde I este operatorul identitate.

Acest lucru se demonstreaza imediat, pornind de la relatiile de definitieale operatorilor adjunct, respectiv unitar:

(T~x, T~y) = (T∗T~x, ~y) = (~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V,

deci T∗T = I. In mod analog se demonstreaza ca TT∗ = I.

Teorema 2.7.4: Orice operator liniar unitar, T : V → W , este injectiv.

Demonstratie: Conform teoremei 2.7.4, daca operatorul T este unitar,atunci ||T~x|| = ||~x||, deci (T~x, T~x) = (~x, ~x) si daca T~x = ~0, rezulta ca(T~x,T~x) = 0, adica (~x, ~x) = 0, ceea ce implica ~x = ~0. Rezulta Ker(T) = {~0}si pe baza teoremei 2.3.2 rezulta ca operatorul T este injectiv.

Presupunem ca V si W sunt n-dimensionale si ca ın fiecare s-a fixat cateo baza ortonormata. Daca operatorului liniar T : V → W i se ataseazamatricea T , atunci matricea T ∗ = tT , atasata operatorului T∗, se numesteadjuncta matricei T .

Daca T = tT , atunci matricea patratica T se numeste hermitica, iar dacaT = −tT , atunci matricea patratica T se numeste antihermitica. O matricepatratica cu proprietatea T tT = I, unde I este matricea unitate, se numestematrice unitara.

Teorema 2.7.5: Un endomorfism T : Vn → Vn este hermitian daca sinumai daca matricea lui ıntr-o baza ortonormata este hermitica.


Demonstratie: Fie T : Vn → Vn un endomorfism hermitian si o bazaortonormata {~e1, . . . , ~en} ⊂ Vn ın raport cu care matricea operatorului T este

T = (tij). Inmultind scalar relatia T~ej =n∑

k=1

tkj~ek cu vectorul ~ei obtinem

(T~ej, ~ei) =n∑

k=1

tkj(~ek, ~ei) = tij

si analog obtinem (T∗~ej, ~ei) = tij.Pe de alta parte avem:

(T∗~ej, ~ei) = (~ej, T~ei) = (T~ei, ~ej) = tji,

deci t∗ij = tji. Deoarece T∗ = T, rezulta tij = tji, adica T = tT .

Reciproc, daca T = tT , putem scrie

(~x, T~x) =

(n∑

j=1

xj~ej,

n∑

j=1

xjT~ej

)

=n∑

j=1

|xj|2(~ej, T~ej) =

=n∑

j=1

|xj|2(

~ej,

n∑

k=1

tkj~ek

)

=n∑

j=1

n∑

k=1

|xj|2tkj (~ej, ~ek) =

=n∑

j=1

n∑

k=1

|xj|2tjk (~ej, ~ek) =n∑

j=1

|xj|2tjj = (~x,T~x),

adica (~x,T~x) ∈ R si deci T este hermitian.

Enunturi asemenea teoremei 2.7.5 se pot da si referitor la endomorfismeleantihermitiene sau unitare. In general, putem spune ca proprietatile unuiendomorfism sunt descrise de matricea sa cu conditia esentiala ca aceastasa fie scrisa ın raport cu o baza ortonormata.

Sa presupunem ın continuare ca V si W sunt doua spatii euclidiene realesi fie T : V → W un operator liniar.

Definitia 2.7.3: Operatorul liniar T∗ : W → V definit prin relatia:

(~x, T~y) = (T∗~x, ~y), ∀ ~x ∈ W, ∀ ~y ∈ V,

se numeste transpusul lui T.

Un endomorfism T : V → V se numeste:

(1) simetric daca T = T∗;(2) antisimetric daca T = −T∗.

2.8. Izometrii 81

Definitia 2.7.4: Un operator liniar T : V → W se numeste ortogonaldaca pastreaza produsul scalar, adica

(T~x, T~y) = (~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V.

sau daca

||T~x|| = ||~x||, ∀ ~x ∈ V.

Daca spatiile vectoriale euclidiene V si W sunt finit dimensionale si ınfiecare dintre ele s-a fixat cate o baza ortonormata, atunci operatorului T :V → W i se ataseaza ın raport cu aceste baze matricea T , iar operatoru-lui T∗ i se ataseaza matricea tT . Unui endomorfism simetric ıi corespun-de o matrice simetrica, iar unui endomorfism antisimetric ıi corespunde omatrice antisimetrica. Unui endomorfism ortogonal ıi corespunde o matriceortogonala.

Se observa ca operatorii simetrici, respectiv antisimetrici, au proprietatianaloage proprietatilor operatorilor hermitieni, respectiv antihermitieni. O-peratorii ortogonali au proprietati analoage proprietatilor operatorilor uni-tari.

2.8 Izometrii

Fie V un spatiu euclidian real. Se poate verifica cu usurinta ca operatoriiortogonali T, definiti pe V , pastreaza distanta euclidiana si au drept punctfix originea, adica T(~0) = ~0.

Introducem o alta functie definita pe V care pastreaza distanta euclidiana.

Definitia 2.8.1: Aplicatia T : V → V , definita prin relatia T~x = ~x +~a, ~a ∈ V, ~a fixat, se numeste translatia de vector ~a.

Teorema 2.8.1:(1) Daca T1 este translatia de vector ~a1 si T2 este translatia de vector ~a2,

atunci T1T2 = T2T1 este translatia de vector ~a1 + ~a2.(2) Daca T este translatia de vector ~a, atunci T−1 exista si este translatia

de vector −~a.

Demonstratie:(1) Daca T1 este translatia de vector ~a1 si T2 este translatia de vector ~a2,

atunci compunerea celor doi operatori, T1T2 este translatia de vector ~a1 +~a2.Analog, T2T1 este translatia de vector ~a2 +~a1 si din comutativitatea adunariivectorilor rezulta ca T1T2 = T2T1.

(2) Demonstratia este imediata, tinand cont ca TT−1 = I pe V .


Subliniem ca translatia nu este un operator liniar, doarece nu satis-face conditia T(~0) = ~0 doar daca ~a = ~0. Translatia de vector ~0 este chiaroperatorul identitate pe V .

Teorema 2.8.2: Operatorul de translatie pastreaza distanta euclidiana,adica

d(T~x, T~y) = d(~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V.

Demonstratie: Pentru a demonstra aceasta teorema, scriem urmatorul sirde egalitati:

d(T(~x), T(~y)) = ||(~x + ~a) − (~y + ~a)|| = ||~x − ~y|| = d(~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V.

Definitia 2.8.2: O aplicatie surjectiva F : V → V care pastreazadistanta euclidiana, adica d(F~x,F~y) = d(~x, ~y), ∀ ~x, ~y ∈ V se numeste izome-trie.

Din cele prezentate mai sus, este evident ca operatorii ortogonali si trans-latiile sunt izometrii. De asemenea, se poate demonstra cu usurinta ca pro-dusul a doua izometrii este o izometrie.

Teorema 2.8.3: O izometrie F : V → V cu proprietatea F(~0) = ~0 esteun operator ortogonal.

Demonstratie: Pentru ınceput demonstram ca operatorul F pastreazanorma euclidiana:

||F(~x)|| = ||F(~x) −~0|| = d(F(~x),~0) =

= d(F(~x),F(~0)) = d(~x,~0) = ||~x −~0|| = ||~x||, ∀ ~x ∈ V.

In continuare aratam ca F pastreaza produsul scalar pentru orice vectori~x, ~y ∈ V ;

d(F(~x),F(~y)) = d(~x, ~y) ⇔ ||F(~x) − F(~y)|| = ||~x − ~y|| ⇔

⇔ (F(~x) − F(~y), F(~x) − F(~y)) = (~x − ~y, ~x − ~y) ⇔ (F(~x),F(~y)) = (~x, ~y).

Mai ramane sa aratam ca orice izometrie care pastreaza produsul scalareste un operator liniar. Aditivitatea rezulta din sirul de relatii matematiceurmator:

(F(~x + ~y), F(~z)) = (~x + ~y, ~z) = (~x, ~z) + (~y, ~z) =

= (F(~x), F(~z)) + (F(~y), F(~z)) = (F(~x) + F(~y), F(~z)),

de unde rezulta ca

(F(~x + ~y) − F(~x) − F(~y), F(~z)) = 0, ∀ F(~z),

2.9. Spectrul endomorfismelor pe spatii euclidiene 83

deci F(~x + ~y) − F(~x) − F(~y) = ~0, adica F este aditiva.

Omogenitatea se demonstreaza dupa cum urmeaza:

(F(k~x), F(~y)) = (k~x, ~y) = k(~x, ~y) = k(F(~x), F(~y)) = (kF(~x), F(~y))

de unde rezulta ca

(F(k~x) − kF(~x), F(~y)) = 0, ∀ F(~y),

deci F(k~x) − kF(~x) = ~0, adica F este omogena.

Teorema 2.8.4: Orice izometrie poate fi scrisa ca si compunerea dintreo translatie si un operator ortogonal, adica daca F este o izometrie, atunciexista o translatie T si un operator ortogonal R astfel ıncat F = TR.

Demonstratie: Fie T translatia prin F(~0) si T−1 translatia prin −F(~0).Aplicatia T−1F este o izometrie care pastreaza vectorul ~0. Conform teoremei2.8.3, izometria T−1F este un operator ortogonal, pe care ıl notam cu R. Deciavem T−1F = R, sau F = TR.

Fie spatiul vectorial euclidian Vn, o baza ortonormata {~e1, . . . , ~en} ⊂ Vn

si R un operator ortogonal pe Vn. Se poate demonstra ca si multimea devectori {R(~e1), . . . , R(~en)} ⊂ Vn este o baza ortonormata si reciproc, daca ınVn sunt date doua baze ortonormate, atunci exista o singura transformareortogonala care ne duce de la una dintre aceste baze la cealalta.

Definitia 2.8.3: Fie F = TR o izometrie ın spatiul n-dimensional V .Daca det R = 1, atunci F se numeste izometrie pozitiva, iar daca det R = −1,atunci F se numeste izometrie negativa.

Un exemplu foarte des ıntalnit de operator ortogonal este operatorul derotatie. Rotatia si translatia sunt doua operatii binecunoscute ın geometrie,care pastreaza distanta dintre doua puncte din spatiu. In Capitolul 4 al aces-tui curs vom utiliza aceste doua tipuri de izometrii pentru aducerea ecuatiilorconicelor si cuadricelor la forma canonica.

2.9 Spectrul endomorfismelor pe spatii eucli-

diene

In cele ce urmeaza, prezentam cateva proprietati referitoare la valorile sivectorii proprii ai endomorfismelor pe spatii euclidiene.

Fie V un spatiu euclidian peste campul K (R sau C), T : V → V unendomorfism, λ o valoare proprie a lui T si ~x un vector propriu atasat lui λ.


In aceste conditii, valoarea proprie λ se calculeaza cu formula:

λ =(T~x, ~x)

(~x, ~x).

Teorema 2.9.1: Fie V un spatiu euclidian complex si fie T : V → Vun endomorfism hermitian. In aceste conditii, sunt adevarate urmatoareleafirmatii:

(1) Valorile proprii ale lui T sunt reale;(2) La valori proprii distincte corespund vectori proprii ortogonali;(3) Daca dim V = n, atunci endomorfismul hermitian T : Vn → Vn admite

exact n vectori proprii, ortogonali doi cate doi.

Demonstratie:(1) Pe baza sirului de egalitati

λ =(T~x, ~x)

(~x, ~x)=

(~x, T~x)

(~x, ~x)=

(T~x, ~x)

(~x, ~x)= λ

rezulta ca afirmatia este adevarata.

(2) Fie λ1 6= λ2 doua valori proprii ale lui T si ~v1, ~v2 vectorii proprii core-spunzatori. Atunci (T~v1, ~v2) = (λ1~v1, ~v2) = λ1(~v1, ~v2) si respectiv (T~v1, ~v2) =(~v1,T~v2) = (~v1, λ2~v2) = λ2(~v1, ~v2).Scazand cele doua relatii obtinem (λ1 − λ2)(~v1, ~v2) = 0. Deoarece λ1 6= λ2,rezulta ca (~v1, ~v2) = 0, deci vectorii ~v1 si ~v2 sunt ortogonali.

(3) Daca dim V = n, atunci polinomul caracteristic P (λ) admite cel putino radacina λ1, eventual multipla de ordinul n, iar acestei valori proprii ıicorespunde cel putin un vector propriu ~v1.

Fie S1 = S(λ1)⊥ subspatiul ortogonal suplimentar ın V al subspatiului

propriu S(λ1). Atunci V = S(λ1)⊕S1 si dim S1 = dim V −dim S(λ1) = n−1.Fie de asemenea T|S1

restrictia lui T la subspatiul S1 si fie ~y0 ∈ T|S1(S1).

Atunci exista ~x0 ∈ S1 astfel ıncat ~y0 = T|S1(~x0) = T~x0. Deci

(~v1, ~y0) = (~v1, T~x0) = (T~v1, ~x0) = (λ1~v1, ~x0) = λ1(~v1, ~x0) = 0,

de unde rezulta ca ~y0 este ortogonal pe ~v1, adica ~y0 ∈ S1 sau T|S1(S1) ⊂ S1.

Vectorii proprii ai endomorfismului T|S1satisfac egalitatile

T|S1~x = T~x = λ1~x,

ceea ce ınseamna ca sunt ın acelasi timp vectori proprii ai lui T. Din aceeasiegalitate rezulta ca valorile proprii ale endomorfismului T|S1

sunt si valori

2.9. Spectrul endomorfismelor pe spatii euclidiene 85

proprii ale endomorfismului T, deci polinomul caracteristic P1(λ) al endo-morfismului T|S1

divide polinomul caracteristic P (λ) al lui T.

Fie λ2 o radacina a lui P1(λ) (λ2 poate fi egal cu λ1 sau nu) si ~v2 vectorulpropriu corespunzator: T|S1

~v2 = T~v2 = λ2~v2. In calitate de vector propriu alendomorfismului T|S1

: S1 → S1, putem lua ~v2 ∈ S1, deci ~v2 este ortogonalpe ~v1. Deoarece ~v2 este vector propriu si pentru T, am determinat doi vectoriproprii ai lui T care sunt ortogonali.

Aceasi procedura se continua pana la constructia restrictiei T|Sn−1la

subspatiul Sn−1 ⊂ Sn−2 ⊂ . . . ⊂ S2 ⊂ S1, cu dim Sn−1 = 1. Polinomulcaracteristic al lui T|Sn−1

are gradul ıntai si deci singurei valori proprii a luiT|Sn−1

ıi corespunde un vector propriu ~vn ∈ Sn−1, care datorita sirului de in-cluziuni de mai sus este ortogonal pe toti vectorii proprii construiti anterior.In concluzie, am obtinut exact n vectori proprii ai lui T, ortogonali doi catedoi.

Consecinta: Datorita proprietatii (3) din teorema 2.9.1, orice endomor-fism hermitian este diagonalizabil.

Observatii:

(1) In mod asemanator se poate arata ca valorile proprii ale unui endo-morfism antihermitian sunt pur imaginare sau nule, iar valorile proprii auaceleasi proprietati ca si ın cazul unui endomorfism hermitian.

(2) Pe spatii euclidiene reale, valorile proprii ale unui endomorfism si-metric sunt reale, iar valorile proprii ale unui endomorfism antisimetric suntnule. Daca Vn este un spatiu euclidian real n-dimensional, iar T : Vn → Vn

este simetric, atunci T are n vectori proprii care constituie o baza ortogo-nala a lui Vn. Aceasta proprietate nu este adevarata pentru un endomorfismantisimetric.

Teorema 2.9.2: Fie V un spatiu euclidian complex (respectiv real) si fieT : V → V un endomorfism unitar (respectiv ortogonal). In aceste conditii,sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

(1) Daca exista, valorile proprii ale lui T au modulul egal cu unitatea;

(2) La valori proprii distincte corespund vectori proprii ortogonali;

(3) Daca V este complex si dim V = n, atunci endomorfismul T : Vn → Vn

admite exact n vectori proprii, ortogonali doi cate doi.

Demonstratie: (1) Fie λ ∈ C o valoare proprie pentru endomorfismulunitar T : V → V si ~x ∈ V \{~0} vectorul propriu corespunzator lui λ. Inaceste conditii avem:

(T~x, T~x) = (λ~x, λ~x) = λλ(~x, ~x)


si respectiv, datorita unitaritatii lui T

(T~x,T~x) = (~x, ~x),

unde λ este conjugatul complex al lui λ. Scazand cele doua relatii, rezulta:

(λλ − 1)(~x, ~x) = 0.

Deoarece vectorul ~x este nenul, rezulta ca λλ − 1 = 0, sau |λ|2 = 1, adica|λ| = 1.

(2) Fie λ1 6= λ2 doua valori proprii ale lui T si ~x1, ~x2 vectorii propriicorespunzatori. Atunci

(T~x1, T~x2) = (~x1, ~x2)

si respectiv(T~x1, T~x2) = (λ1~x1, λ2~x2) = λ1λ2(~x1, ~x2).

Scazand cele doua relatii obtinem (λ1λ2−1)(~x1, ~x2) = 0. Deoarece λ1λ2 6= 1,rezulta ca (~x1, ~x2) = 0, deci vectorii ~x1 si ~x2 sunt ortogonali.

(3) Aceasta proprietate se demonstreaza analog proprietatii (3) a teoremei2.9.1, cu deosebirea ca egalitatea

(~v1, ~y0) = (~v1, T~x0) = (T~v1, ~x0) = λ1(~v1, ~x0)

se ınlocuieste prin

(~v1, ~y0) = (~v1, T~x0) =

(1

λ1

T~v1, T~x0

)

=1

λ1

(~v1, ~x0) = 0,

deoarece ~x0 ∈ S1.

2.10 Probleme

1. Sa se cerceteze care dintre functiile T : R3 → R3 definite prin:

a) T(~x) = ~a, ~a ∈ R3 fixat;

b) T(~x) = ~x + ~a, ~a ∈ R3 fixat;

c) T(~x) = λ~x, λ ∈ R;

d) T(~x) = (x1, x2, x23), ~x = (x1, x2, x3);

e) T(~x) = (x3, x1, x2), ~x = (x1, x2, x3);

f) T(~x) = (x3, x1, x2 + k), k ∈ R∗;

h) T(~x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 − x2 + 3x3, 4x1 + 7x2 + 8x3);

sunt operatori liniari.

2.10. Probleme 87

2. Sa se determine Ker(T) si dimensiunea acestui spatiu vectorial pentruaplicatia liniara T : R2 → R3, T(x1, x2) = (x1, x2, x1 + x2). Gasitimatricea operatorului ın raport cu baza canonica a lui R2.

3. Calculati dimensiunile spatiilor vectoriale Ker(T) si Im(T) pentru en-domorfismul T : R3 → R3 definit prin:

T(~x) = (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3), ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Gasiti matricea operatorului ın raport cu baza canonica a lui R3.

4. Sa se arate ca operatorul de derivare D : C1(R) → C0(R) este unoperator liniar. Sa se determine Ker(D).

5. Sa se cerceteze care dintre aplicatiile definite mai jos sunt operatoriliniari si ın cazurile afirmative sa se determine nucleul, imaginea simatricea asociata ın raport cu baza canonica a spatiilor respective:

a) f : R3 → R3 ; f(~x) = k~x, ~x ∈ R3, k ∈ R, k 6= 0;

b) f : R2 → R2 ; f(~x) = (x1 cos θ − x2 sin θ, x1 sin θ + x2 cos θ),~x = (x1, x2) ∈ R2, θ ∈ [0, π] dat;

c) f : Rn → Rn ; f(~x) = (x1, x1 + x2, ..., x1 + x2 + ... + xn),~x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn;

d) f : Rn → Rn ; f(~x) = (xn, xn−1, ..., x2, x1 +k), ~x ∈ Rn, k ∈ R\{0};e) f : R3 → R3 ; f(~x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 − x2 + 3x3, 2x1 + 3x2 +2x3), ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

6. Fie f : R3 → R3 un endomorfism astfel ıncat f(1, 0, 0) = (3, 1, 0),f(0, 0, 1) = (1, 2, 0) si Kerf = {(λ, λ, λ) | λ ∈ R}. Sa se determine Imfsi o baza pentru Imf .

7. Sa se scrie matricele transformarii liniare f : R3 → R3, f(x, y, z) =(x − y + z, y + z, x − z) relativ la baza canonica si relativ la baza

B1 = {~b1 = (1, 1, 1),~b2 = (0, 1, 1),~b3 = (0, 0, 1)}.

8. Daca f1, f2 : R3 → R3 sunt doua aplicatii liniare bijective, ale carormatrice scrise ın raport cu baza canonica a lui R3 sunt:

F1 =

3 1 00 2 11 2 3

si F2 =

−1 4 20 4 10 0 5


atunci:

a) sa se determine imaginea lui ~x = (0, 1,−1) prin f1, f−11 , f2 si f−1

2 ;

b) sa se determine imaginea lui ~y = (1, 3,−2) prin f1 +f2 si (f1 +f2)−1;

c) sa se determine imaginea lui ~z = (1, 2, 0) prin f1f2 si f2f1, unde f1f2

este produsul endomorfismelor f1 si f2.

9. Fie matricea A =

2 1 31 0 m2 2 4

cu m ∈ R.

a) Sa se determine operatorul liniar f : R3 → R3 care are matriceaasociata ın raport cu baza canonica chiar matricea A;

b) Sa se determine Kerf , Imf , rangul si defectul lui f ;

c) Sa se determine pentru ce valori ale lui m, f este un izomorfism.

10. Fie f1, f2 : R4 → R4 operatori liniari definiti prin relatiile:

f1(~x) = (x4, x2, x3, x1),

f2(~x) = (x1 + x2 + x3 + x4, 0, 0, 0),

unde ~x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.

a) Sa se determine Ker(f1 + f2) si Im(f1 + f2);

b) Sa se gaseasca matricea operatorului f1 + f2 ın raport cu bazacanonica a lui R4;

c) Sa se afle matricea operatorului f1f2 ın aceeasi baza;

d) Sa se expliciteze matricele transformarilor f1 + f2 si f1f2 ın raport

cu baza determinata de vectorii ~b1 = (1,−1, 2, 3), ~b2 = (2, 1, 1, 0), ~b3 =

(3,−2, 0, 0) si ~b4 = (4, 0, 0, 0).

11. Sa se determine matricele operatorilor liniari T1, T2,T3 : R3 → R3 ınraport cu baza formata din vectorii ~f1 = (1, 2, 3), ~f2 = (2, 1, 3), ~f3 =(1, 1, 1), cunoscand ca:

T1 =

3 2 0−1 0 0

0 0 0

, T2 =

−1 2 −3−2 2 −6−2 2 −6

, T3 =

1 −1 23 −3 62 −2 4

sunt matricele transformarilor respective ın raport cu baza canonica alui R3.

12. Sa se arate ca operatorii liniari asociati matricelor:

2.10. Probleme 89

T1 =

27 18 27−21 −14 −21−12 −8 −12

si T2 =

1 0 00 1 00 0 0

scrise ın raport cu baza canonica a lui R3, sunt proiectii.

13. Sa se arate ca endomorfismul T : R3 → R3 definit ın raport cu bazacanonica a lui R3 prin matricea:

A =

1 1 −1−3 −3 3−2 −2 2

este un endomorfism nilpotent de indice 2.

14. Sa se arate ca matricea A =

0 1 00 0 10 0 0

este o matrice nilpotenta de

indice 3.

15. Fie V un spatiu vectorial real tridimensional si B = {~b1,~b2,~b3} o bazaa lui V . Fie aplicatia liniara f : V \{~0} → V definita ın asa fel ıncat

f(~b1) = ~b2, f(~b2) = ~b3 si f(~b3) = ~b1. Sa se determine α ∈ R si vectorii~x ∈ V \{~0} astfel ıncat f(~x) = α~x.

16. Calculati valorile si vectorii proprii pentru endomorfismul care estereprezentat prin matricea:

A =

1 0 2 −10 1 4 −22 −1 0 12 −1 −1 2

17. Aceeasi problema pentru endomorfismul A : R3 → R3 care ın raportcu baza canonica a lui R3 are matricea:

A =

4 0 00 0 10 −1 2

18. Verificati daca endomorfismul A : R3 → R3 definit prin matricea

A =

−3 −7 −52 4 31 2 2

este diagonalizabil sau nu.


19. Calculati valorile si vectorii proprii pentru endomorfismul A : R3 → R3

definit prin matricea

A =

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

si diagonalizati aceasta matrice.

20. Sa se calculeze valorile si vectorii proprii pentru endomorfismele repre-zentate prin matricele de mai jos si sa se aduca la forma diagonala dacaacest lucru este posibil:

A1 =

1 0 32 1 23 0 1

, A2 =

1 0 00 0 10 1 0

.

21. Fie spatiul euclidian complex C3 si A : C3 → C3 endomorfismulreprezentat ın baza canonica a lui C3 prin matricea:

A =

3 −i 0i 3 00 0 4

Sa se arate ca A este hermitian si sa se determine o baza ın C3 fata decare matricea endomorfismului sa aiba forma diagonala.

22. Sa se determine valorile si vectorii proprii pentru matricea simetrica:

A =

1 0 −10 1 −2

−1 −2 0

.

23. Sa se scrie polinomul caracteristic si apoi sa se determine valorile sivectorii proprii pentru matricea:

A =

1 0 01 1 00 0 1

.

24. Sa se determine valorile proprii si vectorii proprii pentru endomorfis-mele f1, f2 : R3 → R3, cunoscand ca matricele asociate lor ın bazacanonica a lui R3 sunt:

2.10. Probleme 91

F1 =

1 2 10 −1 −10 0 2

, F2 =

0 1 01 1 10 1 0

.

25. Fie endomorfismul f : Un → Un, unde Un este un spatiu vectorialn-dimensional peste campul R, definit prin matricea A asociata lui fıntr-o baza a spatiului Un. Sa se determine o baza ın care f are formadiagonala atunci cand este posibil, pentru cazurile:

n=3:

A1 =

1 0 32 1 23 0 1

, A2 =

2 −1 11 2 −11 −1 2

, A3 =

1 −2 −1−1 1 1

1 0 −1

.

n=4:

A4 =

0 1 0 03 0 2 00 2 0 30 0 1 0

, A5 =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

.

26. Fie f : C3 → C3 un endomorfism definit prin matricea A asociata ıntr-obaza a spatiului C3. Sa se determine baza formata din vectorii proprii(cand este posibil) si sa se scrie forma diagonala ın aceasta baza, ıncazurile:

A1 =

0 1 2−1 0 −2−2 2 0

, A2 =

2 4 −40 5 −3

−1 3 1

.

27. Sa se determine valorile proprii ale matricei:

A =

1 x u1 y v1 z t

,

stiind ca vectorii ~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (1, 0, 1) si ~v3 = (1,−1, 0) suntvectori proprii pentru matricea A.


28. Sa se calculeze valorile si vectorii proprii pentru matricele:

A =

1 5 01 1 −10 1 1

, B =

1 1 01 2 10 1 1

, C =

2 −1 0 0−1 2 −1 0

0 −1 2 −10 0 −1 2

.

D =

0 0 11 0 00 1 0

, E =

0 1 1−1 0 −1−1 1 0

, F =

0 0 0 −10 0 −1 00 1 0 01 0 0 0

.

29. Fie T : R3 → R3 endomorfismul care transforma vectorii ~v1 = (0, 0, 1),~v2 = (0, 1, 1), ~v3 = (1, 1, 1) ın vectorii ~w1 = (1, 2, 1), ~w2 = (7,−1, 4),~w3 = (3, 1, 2). Sa se determine matricea lui T∗ (transpusa lui T), ınbaza ortonormata ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1).

30. Fie T : R3 → R3 endomorfismul definit prin matricea:

T =

− cos θ 0 sin θ0 1 0

sin θ 0 cos θ

ın baza canonica. Sa se verifice daca endomorfismul T este ortogonal,sa se determine valorile proprii si vectorii proprii si apoi sa se diagona-lizeze matricea corespunzatoare endomorfismului.

31. Fie endomorfismul A : R4 → R4 reprezentat ın baza canonica a lui R4

prin matricea:

A =

0 0 −1 0

1

20 0 −

√3

20 1 0 0√3

20 0

1

2

Sa se arate ca endomorfismul A este ortogonal si sa se calculeze valorilesi vectorii proprii pentru A.

32. Sa se arate ca operatorul liniar T : R4 → R4 care transforma vectorii~u1 = (2, 2, 2, 2), ~u2 = (2, 0, 2, 2), ~u3 = (2, 2, 0, 2), ~u4 = (2, 2, 2, 0) ınvectorii ~v1 = (4, 0, 0, 0), ~v2 = (3,−1, 1, 1), ~v3 = (3, 1,−1, 1), ~v4 =(3, 1, 1,−1) este un operator ortogonal.

2.10. Probleme 93

33. Sa se arate ca operatorul liniar T : R4 → R4 definit prin matriceaatasata ın baza canonica a lui R4

M =

1 0 0 00 cos α − sin α 00 sin α cos α 00 0 0 1

, α ∈ R ,

este ortogonal.

34. Sa se verifice care dintre matricele de mai jos sunt matrice ortogonalesau unitare:

A =

1

2

1

2

−√

2

21

2

1

2

√2

2√2

2

−√

2

20

,

B =1

3

2 2 −12 −1 2

−1 2 2

, C =

i 2 2 − 2i0 −i −1 − i0 0 i

.

35. Sa se arate ca operatorul liniar f : C2 → C2 cu matricea:

A =

(− sin2 α + i cos2 α (1 + i) sin α cos α(1 + i) sin α cos α − cos2 α + i sin2 α

)

, α ∈ R ,

ın baza canonica a lui C2 este unitar.

36. Sa se arate ca aplicatia liniara f : R2 → R2 a carei matrice ın raport

cu baza B = {~b1 = (1, 0),~b2 = (1, 1)} este B=

(−1 0

2 3

)

este simetri-

ca, cu toate ca matricea B nu este simetrica. Se considera R2 spatiueuclidian canonic.

37. Fie f : R4 → R4 endomorfismul care ın baza canonica a lui R4 arematricea:

M =

1√2

0 01√2

01√2

− 1√2

0

01√2

1√2

0

1√2

0 0 − 1√2

.


a) Sa se arate ca singurele valori proprii reale ale lui f sunt ±1.

b) Sa se diagonalizeze matricea, daca acest lucru este posibil.

38. Fie operatorul f : C2 → C2 definit prin relatia f(x, y) = (x cos α −y sin α, x sin α + y cos α), α ∈ [0, π] - fixat si C2 considerat spatiu eu-clidian complex ın raport cu produsul scalar canonic. Se cere:

a) Sa se arate ca f este un operator liniar;

b) Sa se arate ca f este unitar;

c) Sa se determine valorile si vectorii proprii.

39. Fie T : C2 → C2 endomorfismul definit prin matricea

A =

(3 + 2i 2 − 2i1 − i 3 + 4i

)

ın baza canonica a lui C2. Sa se arate ca exista T1, T2 doua endomor-fisme hermitiene, astfel ıncat T = T1 + iT2.

40. Fie f : R3 → R3, f(~x) = (x1 cos θ + x3 sin θ − 1, x2 + 1,−x1 sin θ +

x3 cos θ − 1) , ∀ ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3, θ ∈(

0,π

4

]

fixat. Considerand

R3 ca spatiu euclidian canonic sa se arate ca f este o izometrie pe R3.

Capitolul 3

Forme liniare, biliniare, patratice simultiliniare

3.1 Forme liniare. Dualul unui spatiu vecto-

rial

Pentru ınceput reamintim o notiune pe care am introdus-o ın capitolul ante-rior, cea de forma liniara, urmand ca ın cadrul acestui capitol sa generalizamaceasta notiune.


Definitia 3.1.1: Se numeste forma (functionala) liniara pe spatiul vec-torial V o aplicatie f : V → K care satisface conditiile:

(1) f(~x + ~y) = f(~x) + f(~y), ∀ ~x, ~y ∈ V ,

(2) f(k~x) = kf(~x), ∀ k ∈ K, ∀ ~x ∈ V .

Deoarece campul K poate fi considerat ca spatiu vectorial cu o singura di-mensiune peste K, din definitia 3.1.1 rezulta ca o forma liniara pe V este defapt un operator liniar definit pe spatiul vectorial V si cu valori ın spatiulvectorial K. In consecinta, toate proprietatile operatorilor liniari sunt vala-bile si pentru formele liniare si, ın particular, operatiile de adunare a douaforme liniare si de ınmultire a unei forme liniare cu un element din K deter-mina pe multimea V ∗ a tuturor formelor liniare definite pe V o structura despatiu vectorial peste campul K.

Definitia 3.1.2: Spatiul vectorial V ∗ al tuturor formelor liniare definitepe V se numeste spatiul vectorial dual (adjunct, conjugat) spatiului vectorialV .

Teorema 3.1.1: Spatiul vectorial V ∗, dual unui spatiu V de dimensiune

95

96 Capitolul 3. Forme liniare, biliniare, patratice si multiliniare

finita, este de asemenea de dimensiune finita si dim V ∗ = dim V .

Demonstratie: Daca consideram ın spatiul vectorial V de dimensiune n

o baza B = {~b1,~b2, . . . ,~bn}, pentru un vector oarecare ~x =n∑

i=1

xi~bi din acest

spatiu avem:

f(~x) = f

(n∑

i=1

xi~bi

)

=n∑

i=1

xif(~bi) . (3.1)

Daca facem notatia ai = f(~bi), i = 1, 2, . . . , n, relatia (3.1) devine:

f(~x) =n∑

i=1

aixi . (3.2)

Introducand matricele A = (a1, a2, . . . , an) si X = t(x1, x2, . . . , xn), formaliniara f se poate scrie matriceal:

f(~x) = AX . (3.3)

Fie formele liniare f1, f2,. . . , fn definite prin conditiile:

f 1(~b1) = 1, f 1(~b2) = 0, . . . , f 1(~bn) = 0

f 2(~b1) = 0, f 2(~b2) = 1, . . . , f 2(~bn) = 0 (3.4)

.........................................................

fn(~b1) = 0, fn(~b2) = 0, . . . , fn(~bn) = 1

sau, pe scurt:f i(~bj) = δi

j . (3.5)

Aceste forme sunt liniar independente, dupa cum se observa din urmatorulsir de egalitati:

(n∑

i=1

αifi

)

(~bj) =n∑

i=1

αifi(~bj) =

n∑

i=1

αiδij = αj = 0 , (3.6)

unde prin 0 ıntelegem forma liniara nula.

Deoarece V ∗ are dimensiunea n, rezulta ca formele liniare {f 1, f 2, . . . , fn}constituie o baza pentru acest spatiu vectorial.

Definitia 3.1.3: Baza B∗ = {f 1, f 2, . . . , fn} a spatiului dual V ∗ definita

prin relatiile (3.4) se numeste duala (adjuncta, conjugata) bazei B = {~b1,~b2, ..

..,~bn} din V . Bazele B si B∗ se zic baze reciproce.

3.2. Covarianta si contravarianta 97

Deoarece f i(~x) = xi, putem scrie pentru orice f ∈ V ∗ si ~x ∈ V :

f(~x) =n∑

i=1

aifi(~x) (3.7)

Elementele a1, a2, . . . , an se numesc coordonatele formei f ın raport cu bazaB∗ = {f 1, f 2, . . . , fn}.

Faptul ca elementele bazei duale sunt numerotate cu indici superiori nueste ıntamplator. Semnificatia acestei conventii de notare este explicata ınsubcapitolul urmator.

3.2 Covarianta si contravarianta

3.2.1 Transformari covariante si transformari contra-variante

Notiunile de covarianta si contravarianta, utilizate ın algebra multiliniarasi ın analiza tensoriala, descriu modul ın care anumite marimi geometricesau fizice se modifica la trecerea de la un sistem de coordonate la altul (laschimbarea bazei). Aceste notiuni au fost folosite pentru prima data dematematicianul englez J.J. Sylvester ın anul 1853, ın studiul teoriei algebricea invariantei.

Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n peste campul K si doua baze,B = {~b1,~b2, . . . ,~bn}, respectiv B′ = {~b′1,~b′2, . . . ,~b′n}, ın acest spatiu. Legaturadintre elementele celor doua baze este data de sistemul de ecuatii:

~b′j =n∑

i=1

sij~bi j = 1, 2, . . . , n. (3.8)

Un vector oarecare ~x din V se va exprima ın mod unic ın raport cuelementele bazei B sub forma:

~x =n∑

i=1

xi~bi

unde xi sunt componentele lui ~x ın baza B.

Acelasi vector se va exprima ın mod unic si ın raport cu elementele bazeiB′ sub forma:

~x =n∑

j=1

x′j~b′j


si deoarece acest vector este invariant ın raport cu alegerea bazelor, se obtinelegatura dintre coordonatele lui ~x ın cele doua baze (calcul descris ın sub-capitolul 1.4.2):

xi =n∑

j=1

sijx

′j, i = 1, 2, . . . , n,

relatie care se poate scrie sub forma matriceala:

X = SX ′ ,

unde am notat cu X si X ′ matricele coloana X= t(x1, x2, . . . , xn), respectivX ′= t(x′1, x′2, . . . , x′n) si cu S = (si

j) matricea de trecere de la baza B labaza B′.

Transformarea inversa este descrisa de relatia matriceala:

X ′ = S−1X ,

deci se poate spune despre coordonatele vectorului ~x ca se transforma ın modinvers fata de schimbarea de baza, sau ca aceste componente se transformacontravariant la o modificare a bazei. In consecinta, elementele spatiuluivectorial V se numesc vectori contravarianti sau simplu vectori.

Exemple de vectori contravarianti sunt vectorul de pozitie care descrieun obiect ın raport cu un observator, orice derivata ın raport cu timpula acestui vector (vectorii viteza, acceleratie), vectorul deplasare, impulsul,campul electric, forta, etc. In conventia de notatie Einstein, pe care dealtfelam si utilizat-o mai inainte, componentele contravariante se scriu cu indicesuperior.

Fie B∗ = {f 1, f 2, . . . , fn} baza reciproca (duala) bazei B. Daca facemın V schimbarea de baza (3.8), obtinem ın spatiul vectorial dual V ∗ o bazareciproca noii baze, B′∗ = {f ′1, f ′2, . . . , f ′n}, ale carei elemente sunt legatede elementele bazei B∗ prin sistemul de ecuatii:

f ′i =n∑

j=1

tijfj, i = 1, 2, . . . , n. (3.9)

Din conditia de reciprocitate ıntre bazele B′ si B′∗ rezulta seria de egalitatiurmatoare:

δij = f ′i(~b′j) =

(n∑

k=1

tikfk

)

~b′i =n∑

k=1

tikfk

(n∑

l=1

slj~bl

)

=


=n∑

k=1

tik

(n∑

l=1

sljδ

kl

)

=n∑

k=1

tikskj , (3.10)

ceea ce matriceal se poate scrie sub forma:

In = TS

ceea ce implica faptul ca matricea T =(tij

)este inversa matricei S =

(si

j

).

O forma liniara oarecare f poate fi scrisa ın modul urmator:

f =n∑

j=1

a′jf

′j =n∑

j=1

a′j

(n∑

i=1

tjifi

)

=n∑

i=1

(n∑

j=1

tjia′j

)

f i , (3.11)

Comparand relatiile (3.7) si (3.11) obtinem:

ai =n∑

j=1

tjia′j (i = 1, 2, . . . , n) (3.12)

si putem scrie:

a′j =

n∑

i=1

sijai , (3.13)

deci coordonatele formei f se transforma la fel ca si vectorii bazei noi dinspatiul V . Se spune ca aceste coordonate (componente) se transforma co-variant la o schimbare de baza, iar elementele spatiului dual V ∗ se numescvectori duali, vectori covarianti sau covectori.

Vectorii duali apar atunci cand se aplica operatorul gradient unei functii.In notatia Einstein, componentele covariante au indici inferiori.

In fizica, vectorii au adesea unitati de masura corespunzatoare distanteisau distantei ınmultita cu o alta unitate de masura (asa cum apare de exem-plu la viteza, etc.), pe cand covectorii au unitati de masura de tip inversuldistantei sau inversul distantei ınmultit cu alte unitati.

Diferenta dintre covarianta si contravarianta este foarte importanta ıncalculul cu tensori, care au adesea, dupa cum vom vedea ın subcapitolul3.5.2, varianta mixta (covarianta si contravarianta). Aceasta ınseamna catensorii au atat componente covariante cat si contravariante, iar ın notatiaEinstein coordonatele unui tensor vor avea atat indici inferiori cat si indicisuperiori.


3.2.2 Componente covariante si contravariante ale unuivector

Intr-un spatiu vectorial euclidian V , diferenta dintre vectorii contravarianti sicei covarianti este minima, deoarece produsul scalar permite covectorilor safie identificati cu vectorii. Intr-adevar, un vector oarecare ~x ∈ V determinaın mod unic un covector f din spatiul V ∗ prin intermediul relatiei:

f(~x) = (~x, ~y), ∀ ~y ∈ V.

Reciproc, fiecare covector f determina, prin aceeasi relatie, ın mod unic unvector ~x. datorita acestei identificari a vectorilor cu covectori, se poate vorbidespre componente covariante si contravariante ale unui vector, nefiind vorbadecat de reprezentari ale aceluiasi vector utilizand baze reciproce.

Fiind date bazele B = {~b1,~b2, . . . ,~bn} ın Vn si reciproca sa B∗ = {f1, f 2,. . . , fn}, orice vector ~x ∈ V poate fi scris ın doua moduri, ın raport cu acestebaze:

~x =n∑

i=1

xi~bi =n∑

i=1

xifi,

unde xi sunt componentele contravariante ale vectorului ~x ın baza B, iar xi

sunt componentele covariante ale lui ~x ın baza B∗.

Pentru a exemplifica cele prezentate mai sus, consideram spatiul eucli-dian R3, ın care produsul scalar este cel canonic. In acest spatiu vectorial,produsul scalar permite covectorilor sa fie identificati cu vectorii. Fie o baza{~b1,~b2,~b3} a lui R3, formata din vectori nu neaparat ortogonali sau de normaunitate. Vectorii bazei contravariante se determina ın mod explicit pe bazaacestor vectori si au expresiile:

~b1 =~b2 ×~b3

~b1 · (~b2 ×~b3); ~b2 =

~b3 ×~b1

~b2 · (~b3 ×~b1); ~b3 =

~b1 ×~b2

~b3 · (~b1 ×~b2);

Se verifica imediat ca vectorii astfel definiti verifica relatiile:

~bi ·~bj = δij.

Coordonatele contravariante ale unui vector oarecare ~x se obtin prin produsulscalar al lui ~x cu vectorii bazei contravariante:

x1 = ~x ·~b1; x2 = ~x ·~b2; x3 = ~x ·~b3.

In mod analog, componentele covariante ale lui ~x se obtin prin produsulscalar dintre acest vector si vectorii bazei covariante:

x1 = ~x ·~b1; x2 = ~x ·~b2; x3 = ~x ·~b3.


Deci vectorul ~x poate fi exprimat ın doua moduri (reciproce):

~x = xi~bi = x1

~b1 + x2~b2 + x3

~b3

si respectiv~x = xi~bi = x1~b1 + x2~b2 + x3~b3.

Combinand cele doua relatii, obtinem:

~x = (~x ·~bi)~bi = (~x ·~bi)~bi

iar componentele vectorului ~x ın cele doua baze se pot scrie:

xi = ~x ·~bi = (xj~bj) ·~bi = (~bj ·~bi)xj

si respectivxi = ~x ·~bi = (xj

~bj) ·~bi = (~bj ·~bi)xj.

In exemplul de mai sus, indicii de covarianta ai coordonatelor, vectorilor sitensorilor sunt indici inferiori. Este important de observat faptul ca dacavectorii bazei contravariante sunt ortonormali, atunci ei sunt echivalenti cuvectorii bazei covariante, deci nu mai este nevoie sa se faca distinctie ıntrecoordonatele covariante si cele contravariante, si toti indicii vor fi scrisi caindici inferiori.

Observatie: De multe ori, ın domeniul fizicii adjectivul covariant esteutilizat informal ca un sinonim pentru invariant. De exemplu, ecuatia Schro-dinger nu ısi pastreaza forma la schimbarea de coordonate din relativitatearestransa. S-ar putea astfel spune ca ecuatia Schrodinger nu este covari-anta. Pe de alta parte, ecuatiile Klein-Gordon si Dirac ısi pastreaza forma laaceasta schimbare de coordonate. Astfel, ele ar putea fi numite covariante.Totusi, este mai riguros sa se spuna ca ecuatiile Klein-Gordon si Dirac suntinvariante, pe cand ecuatia Schrodinger nu este invarianta. Pentru a eliminaorice ambiguitate, trebuie indicata si transformarea ın raport cu care esteevaluata invarianta. Continuand exemplul de mai sus, nici ecuatia Klein-Gordon, nici ecuatia Dirac, nu sunt universal invariante la schimbarile decoordonate (vezi de exemplu cazul relativitatii generale), astfel ca descriereaneambigua a acestora este ca ele sunt invariante ın raport cu transformarilede coordonate specifice relativitatii restranse.


3.3 Forme biliniare


Definitia 3.3.1: O aplicatie B : V × V → K se numeste forma biliniarasau tensor covariant de ordinul doi pe V daca:

(1) B(k~x + l~y, ~z) = kB(~x, ~z) + lB(~y, ~z), ∀ ~x, ~y, ~z ∈ V , si ∀ k, l ∈ K,(2) B(~x, k~y + l~z) = kB(~x, ~y) + lB(~x, ~z), ∀ ~x, ~y, ~z ∈ V , si ∀ k, l ∈ K,

adica o forma biliniara este o functie de doua variabile vectoriale, liniara ınraport cu fiecare dintre acestea.

Se poate verifica cu usurinta ca produsul scalar definit pe un spatiu vec-torial real este o forma biliniara, ın timp ce produsul scalar definit pe unspatiu vectorial complex nu este forma biliniara.

Fie B(V, K) multimea tuturor formelor biliniare definite pe V . Operatiilede adunare a formelor biliniare si ınmultirea cu elemente din K se definescca si la functii:

(B1 +B2)(~x, ~y) = B1(~x, ~y)+B2(~x, ~y) , ∀ B1, B2 ∈ B(V, K), ∀ ~x, ~y ∈ V ,

(kB1)(~x, ~y) = kB1(~x, ~y) , ∀ B1 ∈ B(V, K), ∀ k ∈ K , ∀ ~x, ~y ∈ V ,

In raport cu aceste operatii, multimea B(V, K) este un spatiu vectorial pestecampul K.

Definitia 3.3.2: Forma biliniara B : V × V → K se numeste simetricadaca B(~x, ~y) = B(~y, ~x), ∀ ~x, ~y ∈ V . Daca B(~x, ~y) = −B(~y, ~x), B se numesteforma biliniara antisimetrica.

Fie Vn un spatiu vectorial n-dimensional peste campul K ın care con-

sideram o baza B = {~b1,~b2, . . . ,~bn}. Pentru doi vectori ~x =n∑

i=1

xi~bi si

~y =n∑

j=1

yj~bj din Vn, o forma biliniara B : Vn × Vn → K poate fi scrisa

sub forma

B(~x, ~y) = B

(n∑

i=1

xi~bi,

n∑

j=1

yj~bj

)

=n∑

i=1

n∑

j=1

xiyjB(~bi,~bj) , (3.14)

ceea ce arata ca forma biliniara este unic determinata daca se cunosc cele n2

valori ale ei B(~bi,~bj), i, j = 1, 2, . . . , n pentru vectorii bazei B. Daca notam

bij = B(~bi,~bj) ∈ K, egalitatea de mai sus se scrie:

B(~x, ~y) =n∑

i=1

n∑

j=1

bijxiyj , (3.15)

3.3. Forme biliniare 103

relatie numita expresia analitica a formei biliniare ın raport cu baza consi-derata.

Matricea B = (bij) ∈ Mn×n(K) care contine elementele bij = B(~bi,~bj) se

numeste matricea formei biliniare B ın raport cu baza B = {~b1,~b2, . . . ,~bn}.Daca introducem matricele coloana X = t(x1, x2, . . . , xn) si Y = t(y1, y2,

. . . , yn) atasate vectorilor ~x si respectiv ~y, expresia analitica a formei biliniarepoate fi scrisa sub forma matriceala:

B(~x, ~y) = tXBY . (3.16)

Daca matricea B este nesingulara ( respectiv singulara), atunci forma bili-niara B se numeste nedegenerata (respectiv degenerata). In general. rangulmatricei B se numeste rangul formei biliniare B.

Teorema 3.3.1: O forma bilniara B : Vn × Vn → K este simetrica (res-pectiv antisimetrica) daca si numai daca matricea ei ıntr-o baza a spatiuluivectorial Vn este simetrica (respectiv antisimetrica).

Demonstratie: Daca presupunem ca B este o forma biliniara simetrica siB = (bij) este matricea formei biliniare ıntr-o baza a lui Vn, este valabil sirulde egalitati:

bij = B(~bi,~bj) = B(~bj,~bi) = bji ,

deci B = tB. Reciproc, daca presupunem ca exista o baza ın Vn astfel ıncatmatricea formei B sa fie simetrica, atunci pentru orice vectori ~x, ~y ∈ Vn

putem scrie:

B(~y, ~x) =n∑

i=1

n∑

j=1

bijyixj =n∑

j=1

n∑

i=1

bjixiyj =n∑

i=1

n∑

j=1

bijxiyj = B(~x, ~y) .

Teorema 3.3.2: Daca S = (sij) ∈ Mn×n(K) este matricea de trecere de

la o baza {~b1,~b2 ...,~bn} la o alta baza {~b′1,~b′2, . . . ,~b′n} din Vn, iar B si respectivB′ sunt matricele formei biliniare B : Vn × Vn → K ın raport cu cele douabaze, atunci:

B′ = tSBS .

Demonstratie: In noua baza, cei doi vectori din Vn se scriu pe componente

sub forma ~x =n∑

i=1

x′i~b′i si ~y =

n∑

j=1

y′j~b′j. Facand notatiile X ′ = (x′

1, x′2, . . . , x

′n),

Y ′ = (y′1, y

′2, . . . , y

′n), B′ = (b′ij), unde b′ij = B(~b′i,

~b′j) , i, j = 1, 2, . . . , n, formabiliniara B se poate scrie sub forma matriceala:

B(~x, ~y) = tX ′B′Y ′ .


Pe de alta parte, matricele coloana X, Y , X ′ si Y ′, care contin coordonatelevectorilor ~x si ~y ın cele doua baze, sunt legate prin egalitatile X = SX ′ siY = SY ′, astfel ıncat putem scrie:

B(~x, ~y) = tXBY = t(SX ′)B(SY ′) = tX ′(tSBS)Y ′.

De aici rezulta ca tX ′B′Y ′ = tX ′(tSBS)Y ′, deci B′ = tSBS.

Ca o extindere pentru forme biliniare a definitiei nucleului unui operatorliniar, putem da urmatoarea definitie:

Definitia 3.3.3: Fie B : V × V → K o forma biliniara simetrica.Multimea

Ker B = {~x ∈ V | B(~x, ~y) = 0 , ∀ ~y ∈ V }se numeste nucleul formei biliniare B.

3.4 Forme patratice

3.4.1 Consideratii generale

Fie V un spatiu vectorial peste campul K si B : V ×V → K o forma biliniarasimetrica.

Definitia 3.4.1: O aplicatie P : V → K definita prin relatia P(~x) =B(~x, ~x), ∀ ~x ∈ V se numeste forma patratica asociata formei biliniare sime-trice B.B se numeste forma polara sau forma dedublata a lui P.

De exemplu, forma patratica asociata produsului scalar real este patratulnormei euclidiene: P = (~x, ~x) = ||~x||2, ∀ ~x ∈ V .

Reciproc, atunci cand se cunoaste forma patratica P, se poate calculaforma biliniara dedublata B:

P(~x + ~y) = B(~x + ~y, ~x + ~y) = B(~x, ~x) + B(~x, ~y) + B(~y, ~x) + B(~y, ~y) =

= B(~x, ~x) + 2B(~x, ~y) + B(~y, ~y)

de unde rezulta:

B(~x, ~y) =1

2[P(~x + ~y) − P(~x) − P(~y)] (3.17)

Sa consideram o baza B = {~b1,~b2, ...,~bn} ın spatiul vectorial n-dimensio-

nal Vn. Pentru un vector oarecare ~x ∈ Vn, ~x =n∑

i=1

xi~bi, expresia analitica a

3.4. Forme patratice 105

formei patratice este:

P(~x) = B(~x, ~x) =n∑

i=1

n∑

j=1

bijxixj , (3.18)

relatie care se poate scrie sub forma matriceala:

P(~x) = B(~x, ~x) = tXBX , (3.19)

unde am notat bij = B(~bi,~bj), i, j = 1, 2, . . . , n si X = t(x1, x2, . . . , xn).

Se observa ca matricea si rangul matricei formei patratice P coincid cu ma-tricea si respectiv rangul formei biliniare B asociate lui P.

Fie B : V × V → K o forma biliniara simetrica si P forma patraticaasociata.

Definitia 3.4.2: Vectorii ~x, ~y ∈ V se numesc ortogonali ın raport cu B

daca B(~x, ~y) = 0.

Definitia 3.4.3: Daca U ⊂ V este un subspatiu vectorial al lui V ,multimea U⊥ = {~y ∈ V | B(~x, ~y) = 0, ∀ ~x ∈ U} se numeste complementulortogonal al lui U ın V fata de forma biliniara B.

Definitia 3.4.4: Fie B : Vn×Vn → K o forma biliniara simetrica. O baza{~b1,~b2, ...,~bn} ⊂ Vn se numeste baza ortogonala ın raport cu forma biliniara

B daca B(~bi,~bj) = 0 pentru i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n, adica vectorii ei suntortogonali doi cate doi fata de forma B.

In raport cu o baza ortogonala, matricea formei biliniare este diagonala:

B =

b11 0 0 . . . 00 b22 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . bnn

si notand bii = bi, i = 1, 2, . . . , n, expresiile analitice ale formei biliniare B sirespectiv ale formei patratice asociate P devin:

B(~x, ~y) =n∑

i=1

bixiyi (3.20)

si respectiv

P(~x) =n∑

i=1

bix2i (3.21)

Aceste expresii se numesc expresii canonice ale formei biliniare B si respectivale formei patratice asociate P.


3.4.2 Reducerea formelor patratice la expresia canoni-ca

Prin reducerea unei forme patratice (sau a unei forme biliniare) le expresiacanonica ıntelegem de fapt gasirea unei baze ortogonale ın care aceasta sa sepoata scrie ca ın relatia (3.21) (respectiv (3.20)).

In cele ce urmeaza vom prezenta o serie de teoreme care stau la baza unormetode de aducere la expresia canonica a formelor patratice. Din motivede spatiu, nu prezentam demonstratiile acestor teoreme, cititorul interesatputandu-le gasi ın referinta bibliografica C. Udriste si colaboratorii, 1982.Am ales ca aplicarea metodelor de aducere la expresia canonica sa se facapentru aceeasi forma patratica, pentru a le putea compara mai usor si atrage cateva concluzii importante privind avantajele si dezavantajele fiecareimetode ın parte.

O prima teorema care asigura existenta unei baze ortogonale pentru oriceforma patratica reala este urmatoarea:

Teorema 3.4.1: Daca P : Vn → R este o forma patratica pe spatiul Vn,atunci exista ın Vn o baza ortogonala ın raport cu P, adica o baza ın care P

sa aiba expresia canonica.Pe baza acestei teoreme de existenta, prezentam ın continuare alte trei

teoreme, care descriu ın fapt tot atatea metode de aducere a unei formepatratice la expresia canonica.

Teorema 3.4.2 (Metoda Gauss): Fie P : Vn → C o forma patratica pe

spatiul vectorial complex Vn. Atunci se poate construi o baza {~b1,~b2, . . . ,~bn}ın Vn ortogonala ın raport cu P, fata de care P(~x) sa se reduca la expresiacanonica.

Modul ın care se construieste baza ortogonala ıl prezentam cu ajutorulurmatorului exemplu de calcul.

Exemplu de calcul:

Fie forma patratica P : R3 → R, avand ın baza canonica a spatiuluivectorial R3 expresia:

P(~x) = x21 + 7x2

2 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3 (3.22)

unde ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3.

Sa se aduca forma patratica la expresia canonica si sa se gaseasca bazaortogonala corespunzatoare.

Primul pas al metodei Gauss consta ın eliminarea termenilor micsti dinexpresia formei patratice prin includerea lor ın termeni patratici construiti


folosind artificii de calcul. O varianta de astfel de manipulare matematica aformei patratice este urmatoarea:

P(~x) = x21 + 7x2

2 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3 =

= (x1 − 4x2 − 8x3)2 − 16x2

2 − 64x23 − 64x2x3 + 7x2

2 + x23 − 8x2x3 =

= (x1 − 4x2 − 8x3)2 − 9x2

2 − 63x23 − 72x2x3 =

(x1 − 4x2 − 8x3)2 − 1

9(9x2 + 36x3)

2 + 144x23 − 63x2

3 =

= (x1 − 4x2 − 8x3)2 − 1

9(9x2 + 36x3)

2 + 81x23 =

= x′12 − 1

9x′

22+ 81x′

32

, (3.23)

unde x′1 = x1 − 4x2 − 8x3, x′

2 = 9x2 + 36x3 si x′3 = x3 sunt coordonatele

vectorului ~x ın baza ortogonala pe care pentru moment nu o cunoastem, darurmeaza sa o determinam.

Am obtinut astfel o expresie canonica pentru forma patratica reala P(~x) princonstruirea a doua expresii patratice. Subliniem faptul ca pentru o formapatratica definita pe un spatiu n-dimensional este necesara construirea a celmult n − 1 termeni patratici pentru a obtine expresia canonica.

Pentru determinarea bazei ortogonale, ne propunem sa gasim matriceade trecere de la vechea baza (cea canonica, ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0),~e3 = (0, 0, 1) ın R3, pentru exemplul prezentat mai sus) la cea noua (adicala baza ortogonala ın raport cu forma patratica P). Relatia matriceala caredescrie schimbarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei este, con-form relatiei (1.7), X = SX ′, unde X = t(x1, x2, x3), X ′ = t(x′

1, x′2, x

′3) si S

este matricea de trecere de la vechea baza la cea noua.

Sistemul de ecuatii care exprima schimbarile de variabila facute mai sus

x′1 = x1 − 4x2 − 8x3

x′2 = 9x2 + 36x3

x′3 = x3

poate fi scris sub forma matriceala X ′ = CX, iar prin comparatie cu relatia(1.7) se observa ca matricea C este chiar inversa matricei S. Deci, odataidentificata matricea C, prin inversarea ei (evident, daca matricea este nesin-gulara!) obtinem matricea S. In cazul nostru avem:

C =

1 −4 −80 9 360 0 1


In general, matricea S se determina prin inversarea matricei C, dar ın cazulde fata este foarte usor sa gasim prin calcul direct legaturile inverse ıntrecoordonatele vechi si cele noi:

x3 = x′3

x2 =1

9x′

2 − 4x′3

x1 = x′1 +

4

9x′

2 − 8x′3

si astfel matricea de trecere de la vechea baza la cea noua este:

S =

1 4/9 −80 1/9 −40 0 1

.

Pe baza relatiei (1.5) de definitie a matricei de trecere S, identificam imediatvectorii bazei ortogonale:

~f1 = (1, 0, 0) = ~e1, ~f2 = (4

9,1

9, 0) =

4

9~e1 +

1

9~e2,

~f3 = (−8,−4, 1) = −8~e1 − 4~e2 + ~e3. (3.24)

Observatie: Rationamentul de construire a termenilor patratici prezen-tat mai sus este valabil daca ın expresia analitica a formei patratice P(~x) =n∑

i=1

bijxixj cel putin unul dintre termenii diagonali bii, i = 1, 2, . . . , n, este

nenul. Daca toti termenii bii = 0, i = 1, 2, . . . , n, si forma patratica nu esteidentic nula, atunci exista cel putin un element bij 6= 0 pentru i 6= j. Facandtransformarea de coordonate xi = x′

i + x′j, xj = x′

i − x′j, xk = x′

k, k 6= i, j,expresia formei patratice va contine cel putin un termen diagonal nenul,deoarece xixj = x′

i2 −x′

j2 si vom putea aplica procedura deja prezentata mai

sus.

Daca consideram forma patratica P : R3 → R, avand ın baza canonica aspatiului vectorial R3 expresia:

P(~x) = x1x2 − 2x1x3 + x2x3

unde ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3, dupa schimbarile de coordonate: x1 = x′1 + x′

2,x2 = x′

1 − x′2, x3 = x′

3, obtinem:

P(~x) = x′12 − x′

22 − x′

1x′3 − 3x′

2x′3 .


Lasam aducerea acestei forme patratice la expresia canonica drept exercitiupentru cititor.

Teorema 3.4.3 (Metoda transformarilor ortogonale): Fie Vn unspatiu vectorial euclidian. Daca P : Vn → R este o forma patratica reala,atunci exista o baza {~f1, ~f2, . . . , ~fn} ın Vn fata de care expresia canonica aformei este:

P(~x) =n∑

i=1

λix′i

2

unde λ1, λ2, . . . , λn sunt valorile proprii ale matricei formei, fiecare valoareproprie fiind scrisa de atatea ori cat este multiplicitatea sa, iar x′

i, i =1, 2, . . . , n, sunt coordonatele vectorului ~x ın aceasta baza.

Baza cautata este formata din vectorii proprii ortonormati ai matriceiformei.

Exemplu de calcul: Vom folosi metoda transformarilor ortogonale pen-tru a aduce la expresia canonica forma patratica (3.22) ca si ın exemplulanterior.

Matricea formei patratice P(~x) ın baza canonica este:

B =

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

,

unde facem observatia ca data fiind simetria matricei (corespunde unei formebiliniare simetrice), avem pentru termenii nediagonali bij = bji, i 6= j siın plus valoarea fiecaruia dintre acesti termeni este egala cu jumatate dincoeficientul termenului xixj al expresiei analitice a formei patratice.

Pentru calculul valorilor proprii, rezolvam ecuatia caracteristica P (λ) =det(B − λI3) = 0:

∣∣∣∣∣∣

1 − λ −4 −8−4 7 − λ −4−8 −4 1 − λ

∣∣∣∣∣∣

= (1 − λ)2(7 − λ) − 256 − 64(7 − λ) − 32(1 − λ) =

= −λ3 + 9λ2 + 81λ − 729 = −λ2(λ − 9) + 81(λ − 9) =

= −(λ2 − 81)(λ − 9) = −(λ + 9)(λ − 9)(λ − 9) = −(λ + 9)(λ − 9)2 = 0 .

Solutiile ecuatiei sunt: λ1 = −9 si λ2 = λ3 = 9 si, conform teoremei 3.4.3,expresia canonica a formei patratice este:

P(~x) = −9x′12+ 9x′

22+ 9x′

32. (3.25)


Vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii calculate se obtin dupametoda prezentata ın paragraful 2.6: ~X(1) = (2, 1, 2), ~X(2) = (−1, 0, 1) si

respectiv ~X(3) = (−1, 2, 0).

Deoarece vectorii proprii ~X(2)) si ~X(3), care corespund valorii proprii dubleλ2,3 = 9, nu sunt ortogonali unul pe celalalt, aplicam procedeul de ortogo-

nalizare Gram-Schmidt si obtinem ~X ′(3) =

(

−1

2, 2,−1

2

)

.

Prin normarea la unitate a vectorilor ~X(1), ~X(2) si ~X ′(3) obtinem bazaortonormata care este chiar baza ortogonala ın raport cu care P(~x) are ex-presia canonica (3.25):

~f1 =

(2

3,1

3,2

3

)

, ~f2 =

(

− 1√2, 0,

1√2

)

, ~f3 =

(

− 1

3√

2,

4

3√

2,− 1

3√

2

)

(3.26)

Teorema 3.4.4 (Metoda Jacobi): Fie P : Vn → R o forma patratica

si B = (bij) matricea ei ın baza {~b1,~b2, . . . ,~bn} din Vn. Daca determinantii:

∆1 = b11, ∆2 =

∣∣∣∣

b11 b12

b21 b22

∣∣∣∣, . . . , ∆n = det B ,

sunt toti nenuli, exista o baza {~f1, ~f2, . . . , ~fn} ın Vn fata de care expresiaformei patratice P devine:

P(~x) =n∑

i=1

∆i−1

∆i

x′i

2,

unde x′i, i = 1, 2, . . . , n, sunt coordonatele vectorului ~x ın aceasta baza. Se

considera ∆0 = 1.

Vectorii bazei ortogonale se cauta sub forma ~f1 = c11~b1, ~f2 = c21

~b1+c22~b2,

. . . , ~fn = cn1~b1 + cn2

~b2 + . . . + cnn~bn, astfel ıncat sa fie satisfacute conditiile

B(~fi,~bj) = 0, 1 ≤ j < i ≤ n, si B(~fi,~bi) = 1, i = 1, 2, . . . , n, unde B estepolara formei patratice P.

Exemplu de calcul: Vom folosi metoda Jacobi pentru a aduce la ex-presia canonica tot forma patratica (3.22).

Matricea formei patratice P(~x) ın baza canonica este:

B =

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

,


si determinantii care intervin ın enuntul teoremei Jacobi au valorile:

∆1 =∣∣ 1

∣∣ = 1 6= 0 , ∆2 =

∣∣∣∣

1 −4−4 7

∣∣∣∣= −9 6= 0 ,

∆3 =

∣∣∣∣∣∣

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

∣∣∣∣∣∣

= −729 6= 0 .

Deoarece toti determinantii sunt nenuli, putem scrie, conform teoremei 3.4.4,expresia canonica a formei patratice:

P(~x) =3∑

i=1

∆i−1

∆i

x′i

2= x′

12 − 1

9x′

22+

1

81x′

32

. (3.27)

Vectorii bazei ortonormate se cauta de forma: ~f1 = c11~b1, ~f2 = c21

~b1 +c22

~b2, ~f3 = c31~b1 + c32

~b2 + c33~b3. Pentru calculul coeficientilor cij, 1 ≤ j <

i ≤ 3 trebuie ın primul rand sa construim forma dedublata B(~x, ~y) a formeipatratice P(~x). Acest lucru se poate realiza cu ajutorul formulei (3.17), sau,mai simplu, pe baza matricei formei patratice, care este identica cu cea aformei dedublate. Obtinem expresia:

B(~x, ~y) = x1y1+7x2y2+x3y3−4x1y2−4x2y1−8x1y3−8x3y1−4x2y3−4x3y2 .

Din conditia B(~f1,~b1) = 1 obtinem c11 = 1.

Din conditiile B(~f2,~b1) = 0 si respectiv B(~f2,~b2) = 1 obtinem c21 = −4

9si

c22 = −1

9.

Analog, din conditiile B(~f3,~b1) = B(~f3,~b2) = 0 si respectiv B(~f3,~b3) = 1,

obtinem c31 = − 8

81, c32 = − 4

81si c33 =

1

81.

Vectorii bazei ortogonale sunt:

~f1 = (1, 0, 0), ~f2 =

(

−4

9,−1

9, 0

)

, ~f2 =

(

− 8

81,− 4

81,

1

81

)

. (3.28)

Aceasta a treia metoda este cea mai rapida ın ceea ce priveste obtinereaexpresiei canonice, dar are dezavantajele unor criterii de aplicabilitate mairestrictive si a unei metode nu tocmai simple de calcul al vectorilor bazeiortogonale.

In concluzie, putem spune ca prin trei metode diferite de calcul am obtinuttrei expresii canonice si trei baze ortogonale diferite, ceea ce era de asteptat,


deoarece nici una dintre teoremele enuntate mai sus nu face referire la uni-citatea expresiei canonice sau a bazei ortogonale. Exista totusi un elementcare ramane nemodificat, indiferent de expresia canonica si baza ortogonalaa unei anumite forme patratice. Vom prezenta acest element ın subcapitolulurmator.

3.4.3 Signatura unei forme patratice reale

Definitia 3.4.5: Fie expresia canonica P(~x) =n∑

i=1

bix2i a unei forme pa-

tratice P : Vn → R, ın care p coeficienti sunt strict pozitivi, q sunt strictnegativi si d = n − p − q sunt nuli. Tripletul (p, q, d) se numeste signaturaformei patratice P.

Teorema 3.4.5 (Legea de inertie): Signatura unei forme patraticeeste invarianta la schimbarea bazei fata de care are o expresie canonica.

Nu vom prezenta aici demonstratia aceastei teoreme (pentru detaliiledemonstratiei a se vedea referinta bibliografica C. Udriste si colaboratorii,1982, dar ın sprijinul valabilitatii ei facem observatia ca ın cazul celor treimetode diferite de aducere la expresia canonica a formei patratice prezentateanterior, s-a obtinut mereu aceeasi signatura si anume (2,1,0).

Definitia 3.4.6: O forma patratica P : Vn → R se numeste pozitiv(respectiv negativ) definita daca P(~x) > 0 (respectiv P(~x) < 0) pentru oricevector ~x nenul din Vn.

Definitia poate fi extinsa si la o forma biliniara simetrica, daca formapatratica asociata acesteia are proprietatile enuntate mai sus.

Prezentam ın continuare, fara demonstratie, o teorema care ne arata ınce conditii o forma patratica este pozitiv, respectiv negativ, definita.

Teorema 3.4.6 (Criteriul lui Sylvester): Daca sunt ındeplinite condi-tiile enuntate ın cadrul metodei Jacobi (teorema 3.4.4), atunci forma patraticaP : Vn → R este pozitiv definita daca si numai daca ∆i > 0, i = 1, 2, . . . , n sieste negativ definita daca si numai daca (−1)i∆i > 0, i = 1, 2, . . . , n.

Observatie: Daca exista vectorii ~v1, astfel ıncat P(~v1) > 0, si respectiv~v2, astfel ıncat P(~v2) < 0, spunem ca forma patratica P este nedefinita.

3.5. Forme multiliniare (p - liniare). Tensori 113

3.5 Forme multiliniare (p - liniare). Tensori

Notiunile de forma liniara si biliniara pot fi generalizate, conducand la noti-unile de forma p - liniara si respectiv de tensor.

3.5.1 Forme p - liniare

Definitia 3.5.1: Se numeste forma (functionala) p - liniara pe spatiulvectorial V peste campul K o aplicatie M : V × V × . . . × V

︸︷︷︸

p ori

→ K care este

liniara ın raport cu fiecare argument, adica:

(1) M(~v1, ~v2, . . . , ~vi + ~wi, . . . , ~vp) = M(~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vp)+

+ M(~v1, ~v2, . . . , ~wi, . . . , ~vp) ,

(2) M(~v1, ~v2, . . . , k~vi, . . . , ~vp) = kM(~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vp)

oricare ar fi ~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vp, ~wi ∈ V , i = 1, 2, . . . p si k ∈ K.

Conditiile (1) si (2) sunt echivalente cu conditia unica:

M(~v1, ~v2, . . . , k~vi + l ~wi, . . . , ~vp) =

kM(~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vp) + lM(~v1, ~v2, . . . , ~wi, . . . , ~vp),

oricare ar fi ~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vp, ~wi ∈ V , i = 1, 2, . . . , p si k, l ∈ K.

Se pot defini, ca si la formele liniare si biliniare, operatiile de adunare adoua forme p - liniare si de ınmultire a unei astfel de forme cu un elementdin K si este usor de demonstrat ca aceste operatii determina pe multimeaformelor p - liniare definite pe V o structura de spatiu vectorial peste campulK.

Definitia 3.5.2: Forma p - liniara M se numeste simetrica daca:

M(~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vj, . . . , ~vp) = M(~v1, ~v2, . . . , ~vj, . . . , ~vi, . . . , ~vp) ,

oricare ar fi ~v1, ~v2, . . . , ~vp ∈ V si i, j = 1, 2, . . . , p, adica prin permutarea adoua argumente oarecare, valoarea formei nu se schimba.

Forma p - liniara M se numeste antisimetrica daca:

M(~v1, ~v2, . . . , ~vi, . . . , ~vj, . . . , ~vp) = −M(~v1, ~v2, . . . , ~vj, . . . , ~vi, . . . , ~vp),

oricare ar fi ~v1, ~v2, . . . , ~vp ∈ V si i, j = 1, 2, . . . , p, adica prin permutarea adoua argumente oarecare, valoarea formei trece ın opusa ei.


3.5.2 Tensori

Tensorii sunt entitati geometrice introduse ın matematica si ın fizica pentrua extinde notiunile de scalari, vectori (ın sens geometric) si respectiv ma-trice. Multe marimi fizice sunt privite ın mod natural nu ca si vectori ci casi corespondente dintre un set de vectori si un altul. Un exemplu este ten-sorul deformatiilor din mecanica corpurilor deformabile, care exprima modulın care se modifica componentele unui segment ın procesul de deformare.Din punct de vedere istoric, tensorii au fost imaginati pentru prima data laınceputul anilor 1890 de catre Bernhard Riemann si Elwin Bruno Christoffel,iar apoi au fost dezvoltati, dupa circa zece ani, de catre Tullio Levi-Civita siGregorio Ricci-Curbastro.

Deoarece exprima o relatie ıntre vectori, tensorii sunt independenti dealegerea sistemului de coordonate. Este posibil sa descriem un tensor prinexaminarea sa ın raport cu o baza (ın matematica) sau cu un sistem dereferinta (ın fizica). Marimea rezultata este un sir de valori numerice (scalari)numite coordonate sau componente ale tensorului. Modul cum aceste compo-nente se comporta la schimbarea bazei ne arata covarianta sau contravariantaacestuia. Ordinul (sau gradul) tensorului este dimensiunea sirului de ele-mente necesare pentru a-l reprezenta. Astfel, un tensor de ordinul zero esteun scalar, un tensor de ordinul unu este un vector (reprezentat printr-un sirunidimensional format din coordonatele sale), un tensor de ordinul doi poatefi reprezentat printr-o matrice patratica si asa mai departe. In general, or-dinul unui tensor este dat de numarul de indici necesari pentru a specifica oanumita componenta a tensorului.

De cele mai multe ori, tensorii ıntalniti ın fizica sunt de ordinul doi (ten-sorii deformatiilor si tensiunilor din mecanica mediilor continue, permitivi-tatea si susceptibilitatea electrica ın medii anizotrope, tensorul electromag-netic (Faraday), etc.), dar exista si exceptii importante (de exemplu ın opticaneliniara apar tensori de ordinul trei).

Revenind la definitia 3.5.1, o forma p - liniara pe un spatiu vectorial Vse mai numeste si tensor covariant de ordinul p. O definitie mai generala anotiunii de tensor este urmatoarea:

Definitia 3.5.3: Se numeste tensor de p ori covariant si de q ori con-travariant pe V o aplicatie p + q - liniara

T : V × V × . . . × V︸︷︷︸

p ori

×V ∗ × V ∗ × . . . × V ∗︸︷︷︸

q ori

→ K ,

unde V ∗ este spatiul dual lui V . Ordinul unui astfel de tensor este p + q.

3.5. Forme multiliniare (p - liniare). Tensori 115

Daca V este un spatiu vectorial de dimensiune n si alegem doua baze re-ciproce, B = {~b1,~b2, . . . ,~bn} ın V , respectiv B∗ = {f1, f 2, . . . , fn} ın V ∗, oricetensor T de p ori covariant si de q ori contravariant pe V are o reprezentareunica de forma:

T = Ti1...iqj1...jp

~bi1 × . . . ×~biq × f j1 × . . . × f jp

unde pentru simplitatea scrierii am folosit conventia de notatie Einstein.Scalarii T

i1...iqj1...jp

reprezinta componentele tensorului ın raport cu bazele con-siderate.

Observatie: In fizica, cel mai adesea un tensor este reprezentat prin com-ponentele sale, asa cum vectorii sunt reprezentati prin coordonatele lor ın ra-port cu un sistem de referinta. Evident, la schimbarea sistemului de referinta,componentele se vor transforma covariant si/sau contravariant, dupa caz.

Proprietatile de simetrie, respectiv antisimetrie, precum si operatiile fun-damentale cu tensori se definesc ın raport cu componentele acestora.

Un tensor se numeste simetric ın raport cu doi indici covarianti saucontravarianti daca componentele acestuia raman nemodificate la permutareaacestor indici. De exemplu, daca T ijk

pq = T jikpq , tensorul este simetric ın indicii

i si j.Daca un tensor este simetric ın raport cu oricare doi indici covarianti si

contravarianti, el se numeste total simetric.

Un tensor se numeste antisimetric ın raport cu doi indici covarianti saucontravarianti daca componentele acestuia ısi schimba semnul la permutareaacestor indici. De exemplu, daca T ijk

pq = −T jikpq , tensorul este antisimetric ın

indicii i si j.Daca un tensor este antisimetric ın raport cu oricare doi indici covarianti

si contravarianti, el se numeste total antisimetric.

Operatiile fundamentale care se pot efectua cu tensori sunt: adunarea,scaderea, ınmultirea si contractia.

Adunarea a doi sau mai multi tensori de acelasi ordin si de acelasi tip(acelasi numar de indici covarianti si acelasi numar de indici contravarianti)este de asemenea un tensor de acelasi ordin si tip. Astfel, daca Aijk

pq si Bijkpq

sunt componentele a doi tensori de ordin cinci (de doua ori covarianti si de treiori contravarianti), atunci Cijk

pq = Aijkpq + Bijk

pq sunt componentele unui tensorde acelasi ordin si tip. Adunarea tensorilor este comutativa si asociativa.

Scaderea tensorilor se defineste ın mod analog adunarii, fiind vorba de oadunare cu al doilea tensor avand componentele cu semn schimbat.

Inmultirea a doi tensori are drept rezultat un tensor al carui ordin este


suma ordinelor tensorilor initiali. Aceasta operatie, numita si produs exte-rior, consta ın ınmultirea termen cu termen a componentelor tensorilor. Deexemplu, Aij

p Bkq = Cijk

pq este produsul exterior dintre Aijp si Bk

q .

Contractia este o operatie specifica tensorilor. Daca un indice covariantsi unul contravariant sunt egali, rezultatul (conform conventiei de sumareEinstein) este o suma dupa acest indice egal. Aceasta suma este un tensoravand ordinul cu doua unitati mai mic decat tensorul initial. Acest procesde reducere a ordinului tensorului se numeste contractie. De exemplu, ıntensorul de componente Aijk

pq , de ordin cinci, daca punem k = q, obtinem

Aijkpk = Aij

p , adica un tensor de ordinul trei. Mai departe, daca punem si

j = p, obtinem Aijj = Ai, un tensor de ordinul unu.

3.6 Elemente de algebra tensoriala

Adesea, utilizarea tensorilor si a conventiei de sumare Einstein permite scrie-rea de o maniera mai compacta si deci mai eleganta a unor relatii matematice.In acest subcapitol, vom prezenta doi tensori, simbolul Kronecker (delta)si simbolul Levi-Civita (tensorul permutarilor), care sunt folositi frecventın practica de calcul, iar apoi vom arata cateva posibilitati de utilizare aacestora. Exemplele se refera ın majoritatea cazurilor la spatiul euclidiantridimensional, cel mai des ıntalnit ın aplicatii, dar pe baza lor cititorulpoate realiza cu usurinta extinderea la alte spatii vectoriale, mai abstracte,ıntalnite ın fizica (de exemplu ecuatiile tensoriale din relativitatea restransasi generala).

Simbolul Kronecker este un tensor de ordinul doi utilizat des ın reprezen-tarea marimilor matematice sau fizice. El poate fi definit ın forma covarianta,contravarianta sau mixta (cu indici superiori si/sau cu indici inferiori):

δij = δij =

{1, daca i = j0, daca i 6= j

unde indicii i si j iau valorile 1, 2, 3 ın spatiul euclidian tridimensional, sau1, 2, . . . , N ıntr-un spatiu vectorial de dimensiune N .

Simbolul Levi-Civita este un tensor de ordinul trei, care se defineste subforma:

εijk = εijk =

1, daca ijk este permutare para a sirului 123−1, daca ijk este permutare impara a sirului 1230, ın rest

3.6. Elemente de algebra tensoriala 117

Intre componentele acestui tensor exista legaturile:

εijk = −εikj = εjki, pentru i, j, k = 1, 2, 3,

deoarece sirul ikj se obtine printr-un numar impar de transpozitii ale siruluiijk, iar jki se obtine printr-un numar par de transpozitii ale lui ijk, si lafiecare transpozitie apare o schimbare de semn a simbolului Levi-Civita.Relatiile sunt valabile indiferent de valorile numerice pe care le iau indiciii, j, k.

O relatie care leaga simbolul Levi-Civita de simbolul Kronecker, utila ınsimplificarea unor expresii tensoriale, este asa numita identitate ε − δ, careın forma covarianta se scrie:

εijkεilm = δjlδkm − δjmδkl,

unde i este indicele de sumare iar indicii j, k, l, m sunt indici liberi.

Ambii tensori pot fi generalizati, obtinandu-se tensori cu ordine supe-rioare. Simbolul Kronecker generalizat este definit de un determinant deordinul N , care descrie componentele unui tensor de ordinul 2N :

δij...kmn...p =

∣∣∣∣∣∣∣∣

δim δi

n . . . δip

δjm δj

n . . . δjp

. . . . . . . . . . . .δkm δk

n . . . δkp

∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Definitia simbolului Levi-Civita poate fi generalizata ın modul urmator:

εij...l = εij...l =

1, daca ij . . . l este permutare para a sirului 12 . . . N−1, daca ij . . . l este permutare impara a sirului 12 . . . N0, ın rest

ın acest caz fiind vorba despre un tensor de ordinul N .

Pe parcursul acestei lucrari, simbolul Kronecker a fost utilizat de maimulte ori, motiv pentru care ın continuare prezentam doar cateva exemplede utilizare a calcului cu indici ın expresii care contin simbolul Levi-Civita.

Determinantul unei matrice patratice de ordinul N , A = (aij), se poatereprezenta folosind simbolul Levi-Civita:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1N

a21 a22 . . . a2N

. . . . . . . . . . . .aN1 aN2 . . . aNN

∣∣∣∣∣∣∣∣

= εij...ka1ia2j · · · aNk


unde εij...k este tensor de ordin N . Lasam drept exercitiu verificarera relatiilor

corespunzatoare determinantului de ordin doi:

|A| =

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= εija1ia2j,

unde indicii de sumare i si j iau valorile 1 sau 2 si tensorul εij are ordinuldoi, si respectiv determinantului de ordin trei:

|A| =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

= εijka1ia2ja3k.

unde indicii de sumare i, j, k iau valorile 1,2,3 si tensorul εijk are ordinul trei.

Intr-un sistem de coordonate cartezian de versori (~e1, ~e2, ~e3), produsul

scalar dintre doi vectori ~A si ~B, care au componentele (A1, A2, A3), respectiv(B1, B2, B3), se scrie, folosind conventia de sumare Einstein:

~A · ~B = AiBi

unde indicele de sumare i ia valorile 1,2,3.Produsul vectorial dintre aceiasi doi vectori se scrie, pe baza formulei de

calcul a determinantului:

~A × ~B =

∣∣∣∣∣∣

~e1 ~e2 ~e3

A1 A2 A3

B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣

= εijk~eiAjBk = εijkAjBk~ei,

deci rezultatul este un vector ~C = Ci~ei de componente Ci = εijkAjBk.Sumarea se face dupa toti cei trei indici i, j, k, care iau valorile 1,2,3.

Produsul mixt ~A · ( ~B × ~C) se exprima la fel de simplu, folosind relatiilescrise mai sus:

~A · ( ~B × ~C) = AiεijkBjCk = εijkAiBjCk

unde i, j, k iau valorile 1,2,3.Pe baza formulei obtinute, se observa ca produsul mixt poate fi scris sub

forma unui determinant de ordinul trei:

~A · ( ~B × ~C) = εijkAiBjCk =

∣∣∣∣∣∣

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

∣∣∣∣∣∣

.

3.6. Elemente de algebra tensoriala 119

Interpretarea geometrica a produsului mixt este ca valoarea sa absoluta poatefi asociata cu volumul paralelipipedului format din cei trei vectori, cu conditiaca ei sa nu fie coplanari.

Aceleasi conventii si simboluri pot fi utilizate si ın calcule cu operatoridiferentiali, cum ar de exemplu fi operatorul diferential de ordinul unu ∇(nabla), care ın coordonate carteziene are expresia:

∇ =∂

∂xi~ei.

Gradientul unui camp scalar Φ se scrie:

gradΦ = ∇Φ =∂Φ

∂xi~ei,

deci este un camp vectorial avand componentele∂Φ

∂xi, indicele i luand valorile

1,2,3.

Divergenta unui camp vectorial ~A este un camp scalar care poate fi scris,folosind conventia de sumare, sub forma:

div ~A = ∇ · ~A =∂Ai

∂xi,

unde i este indicele de sumare si ia valorile 1,2,3.

Rotorul unui camp vectorial ~A este un camp vectorial care ın coordonatecarteziene se scrie:

rot ~A = ∇× ~A = εijk

∂Aj

∂xk~ei,

unde εijk este simbolul Levi-Civita si indicii de sumare i, j, k iau valorile 1,2,3.


3.7 Probleme

1. Fie A : R3 × R3 → R, A(~x, ~y) = x1y1 + x2y2 − x3y3 ın raport cu bazacanonica a lui R3 si U = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x2 − x3 = 0} un subspatiuın R3.

a) Sa se arate ca A este o forma biliniara simetrica.

b) Sa se determine forma patratica asociata.

c) Sa se determine rangul formei pe R3.

d) Sa se determine U⊥ = {~y ∈ R3 | A(~x, ~y) = 0, ∀ ~x ∈ U}, numitcomplementul ortogonal al lui U ın raport cu forma biliniara A.

2. Sa se determine forma biliniara corespunzatoare si matricea atasata ıncazul ın care se cunosc formele patratice Q : Rn → R pentru exempleleurmatoare:

a) Q(~x) = −3x21, (n = 1);

b) Q(~x) = −18x1x2 + 9x22, (n = 2);

c) Q(~x) = x21 + 4x1x2 + 4x1x3 + 5x2

2 + 12x2x3 + 7x23, (n = 3);

d) Q(~x) = 2x21 − 6x1x2 − 3x2

2, (n = 3).

3. Fie formele patratice Q : R3 → R scrise ın baza canonica E = {~e1, ..

.., ~en} a lui Rn. Sa se scrie aceste forme ın baza F = {~f1, . . . , ~fn} ıncazurile:

a) Q(~x) = 25x21 − 14x1x2 + 2x2

2,~f1 = ~e1 + ~e2, ~f2 = −~e1 + ~e2, (n = 2);

b) Q(~x) = 3x21 + 10x1x2 + 9x2

2,~f1 = 2~e1 − ~e2, ~f2 = ~e1 − ~e2, (n = 2);

c) Q(~x) = x21 +4x1x2 +4x1x3 −x2

3,~f1 = ~e1 +~e2 +~e3, ~f2 = 2~e1 −~e2 +~e3,

~f3 = −~e1 + 2~e2 − 3~e3, (n = 3);

d) Q(~x) = x21 + 2x1x2 − x1x3 − x2

2 + 2x2x3 + x23,

~f1 = 2~e1 − ~e3, ~f2 =

−~e1 + 2~e2 − ~e3, ~f3 = −~e2 + ~e3, (n = 3).

4. Fie forma biliniara A : R3 × R3 → R definita prin expresia:

A(~x, ~y) = 2x1y1 + 3x1y2 − x1y3 + x2y2 + 3x2y3 − x3y2 + 2x3y3

unde ~x = (x1, x2, x3) si ~y = (y1, y2, y3) ın baza canonica a lui R3. Sa sedetermine matricea formei ın baza canonica si apoi matricea formei ınbaza B = {~b1 = (1, 1, 1),~b2 = (1, 1, 0),~b3 = (1, 0, 0)}.

3.7. Probleme 121

5. Sa se determine matricea formei biliniare A : R3 × R3 → R ın ba-za canonica, daca ın baza B = {~b1 = (1, 0, 1),~b2 = (0, 1, 0),~b3 =(−1, 0, 1)} are expresia:

A(~x, ~y) = x1y1 + x1y3 − x2y2 + x3y1 − x3y2 + x3y3.

6. Sa se scrie forma biliniara corespunzatoare matricei:

A =

1 2 −1−1 2 3

3 0 1

.

7. Fie forma patratica Q : R4 → R care ın baza canonica are expresia:

Q(~x) = x21 + x1x2 + x1x3 + x2

4, ~x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.

a) Sa se scrie matricea formei biliniare asociate si sa se explicitezeaceasta.

b) Sa se reduca Q la expresia canonica si sa se determine signaturaacesteia.

8. Se da matricea:

A =

3 0 1 10 −5 0 01 0 0 01 0 0 0

∈ M4(R).

a) Sa se scrie forma patratica Q : R4 → R care are pe A ca matriceasociata ın raport cu baza canonica a lui R4;

b) Sa se reduca la expresia canonica;

c) Sa se precizeze signatura formei.

9. Se da forma patratica Q : R4 → R

Q(~x) = 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4, ~x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

ın baza canonica a lui R4.

a) Sa se scrie matriceal si sa se determine rangul formei;

b) Sa se reduca la expresia canonica si sa se determine matricea detrecere la baza ın care se obtine forma canonica.


10. Fie Q(~x) : R3 → R forma patratica definita prin Q(~x) = 5x21 + 6x2

2 +4x2

3−4x1x2−4x1x3 ın baza canonica a lui R3. Utilizand metoda valorilorsi vectorilor proprii (metoda transformarilor ortogonale), metoda luiGauss si metoda lui Jacobi sa se reduca la forma canonica si apoi sa severifice teorema de inertie.

11. Sa se reduca la expresia canonica prin metoda lui Gauss formele patra-tice Q(~x) : Rn → R definite ın baza canonica prin relatiile urmatoare:

a) Q(~x) = 4x21 + 4x1x2 + 5x2

2, (n = 2),

b) Q(~x) = x21 − x1x2 − x2

2, (n = 2),

c) Q(~x) = 2x1x2 − x21 − 2x2

2, (n = 2),

d) Q(~x) = x1x2 − 2x1x3 + x2x3, (n = 3),

e) Q(~x) = 9x21 + 6x2

2 + 6x23 + 12x1x2 − 10x1x3 − 2x2x3, (n = 3).

Sa se determine signatura lor si sa se verifice daca sunt pozitiv definite.

12. Utilizand metoda lui Jacobi sa se determine expresia canonica si bazaortogonala corespunzatoare pentru formele patratice Q(~x) : Rn → R

definite ın baza canonica prin relatiile urmatoare:

a) Q(~x) = x21 + 8x2

2 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, (n = 3);

b) Q(~x) = x21 + 7x2

2 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3, (n = 3);

c) Q(~x) = x21 +x2

2 +4x23 +4x2

4 +4x1x3 +2x1x4 +2x2x3 +2x2x4 +6x3x4,(n = 4).

13. Folosind metoda transformarilor ortogonale sa se reduca la expresiacanonica formele patratice Q(~x) : Rn → R definite ın baza canonicaprin relatiile de mai jos, indicand baza ortonormata a spatiului ın carese obtine aceasta:

a) Q(~x) = x21 + 7x2

2 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3, (n = 3);

b) Q(~x) = −x21 + x2

2 − 5x23 + 6x1x3 + 4x2x3, (n = 3);

c) Q(~x) = 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4, (n = 4).

14. Sa se determine valorile parametrului λ ∈ R pentru care formele pa-tratice Q(~x) : Rn → R de mai jos sunt pozitiv sau negativ definite:

a) Q(~x) = λx21 − 4x1x2 + (λ + 3)x2

2, (n = 2);

b) Q(~x) = −9x21 + 6λx1x2 − x2

2, (n = 2);

c) Q(~x) = λx21 + 8x2

2 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, (n = 3);

d) Q(~x) = (4 − λ)x21 + (4 − λ)x2

2 − (2 + λ)x23 + 4x1x2 − 8x1x3 + 8x2x3,

(n = 3).

3.7. Probleme 123

15. Aratati ca eijk = −eikj = ejki, pentru i, j, k = 1, 2, 3.

16. Aratati ca ~A × ~B = − ~B × ~A.

17. Verificati identitatea vectoriala:

~A · ( ~B × ~C) = ~B · (~C × ~A).

18. Verificati identitatea vectoriala:

( ~A × ~B) × (~C × ~D) = ~C( ~D · ( ~A × ~B)) − ~D(~C · ( ~A × ~B)).

19. Verificati daca ın coordonate carteziene este valabila identitatea vecto-riala:

rot (f ~A) = ∇× (f ~A) = (∇f) × ~A + f(∇× ~A).

20. Demonstrati indentitatea vectoriala:

∇ · ( ~A + ~B) = ∇ · ~A + ∇ · ~B.

21. Demonstrati ca ın coordonate carteziene este adevarata identitatea vec-toriala:

( ~A · ∇)f = ~A · ∇f.

22. Verificati daca ın coordonate carteziene este valabila identitatea vecto-riala:

∇× ( ~A × ~B) = ~A(∇ · ~B) − ~B(∇ · ~A) + ( ~B · ∇) ~A − ( ~A · ∇) ~B.

23. Demonstrati ca ın coordonate carteziene este adevarata identitatea vec-toriala:

∇× (∇× ~A) = ∇(∇ · ~A) −∇2 ~A.

Capitolul 4

Geometrie analitica euclidiana ın plansi ın spatiu

Geometria euclidiana este cea mai veche formalizare a geometriei si ın acelasitimp cea mai folosita ın viata de zi cu zi. Ea este un ansamblu de leme,corolare, teoreme si demonstratii, bazate pe patru notiuni fundamentale:punct, dreapta, plan si spatiu. Cele cinci axiome fundamentale ale sale aufost enuntate, ınca din secolul IV ı.H., de Euclid ın cartea sa Elementele,dupa cum urmeaza:

1. Prin oricare doua puncte neconfundate trece o dreapta si numai una;

2. Orice segment de dreapta poate fi extins la infinit (sub forma uneidrepte);

3. Dat fiind un segment de dreapta, se poate construi un cerc cu centrulla unul din capetele segmentului si care are segmentul drept raza;

4. Toate unghiurile drepte sunt congruente;

5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singura paralelala acea dreapta.

In geometria euclidiana, trei puncte necoliniare determina un plan si nu-mai unul, iar patru puncte necoplanare determina un spatiu.

Incepand cu secolul al XVIII-lea s-au dezvoltat alte formalizari ale geome-triei care nu accepta una sau mai multe dintre axiomele lui Euclid. Acesteapoarta numele colectiv de geometrii neeuclidiene. In teoria relativitatii gene-ralizate a lui Einstein se arata ca geometria spatiului-timp nu este euclidiana.De exemplu, daca se construieste un triunghi din trei raze de lumina, datoritagravitatiei, suma unghiurilor interioare nu va fi ın general egala cu 180o. Uncamp gravitational relativ slab, cum ar fi cel al Pamantului sau al Soare-lui se reprezinta ın mod corect printr-o metrica care este doar ıntr-o primaaproximatie, dar nu exact, metrica euclidiana.

125

126 Capitolul 4. Geometrie analitica euclidiana ın plan si ın spatiu

In acest capitol vom trata doar aspecte ale geometriei euclidiene, ın caremetrica este cea definita ın capitolul 2 al acestei lucrari si distanta dintredoua puncte reprezinta lungimea segmentului de dreapta care uneste acestedoua puncte.

4.1 Elemente de algebra vectoriala

4.1.1 Reper cartezian

Un sistem cartezian de coordonate, sau reper cartezian, este format dintr-un punct fix, notat cu O, numit origine, si un triplet ordonat de drepte,numite axe, perpendiculare doua cate doua. De obicei axele se noteaza cuOx, Oy si respectiv Oz. Orientarea fiecarei axe este descrisa cu ajutorulcate unui versor. Notatiile obisnuite pentru versori sunt ~i, ~j si respectiv ~k(Figura 4.1). Cei trei versori formeaza o baza ortonormata ın spatiul vectorialtridimensional al vectorilor liberi, V3.

Figura 4.1

Un punct oarecare, M , din spatiul euclidian cu trei dimensiuni E3 estedescris ın raport cu reperul cartezian {O,~i,~j,~k} (sau mai simplu, Oxyz) cu

ajutorul vectorului de pozitie ~r =−−→OM sau, tinand cont de descompunerea

vectorului ~r ın raport cu baza {~i,~j,~k}:

~r = x~i + y~j + z~k,

prin tripleta (x, y, z) ∈ R3, unde x, y si z sunt coordonatele euclidiene ale lui~r ın raport cu baza mentionata.

Coordonata x se numeste abscisa, y se numeste ordonata si z se numestecota punctului M .

Axele de coordonate Ox, Oy si Oz au sensul dat de orientarea versorilorcorespunzatori, si pot fi descrise analitic dupa cum urmeaza:

Ox - multimea punctelor din spatiu caracterizate prin y = 0 si z = 0;

Oy - multimea punctelor din spatiu caracterizate prin x = 0 si z = 0;

Oz - multimea punctelor din spatiu caracterizate prin x = 0 si y = 0.

Planele de coordonate xOy, yOz si zOx sunt descrise analitic astfel:

xOy - multimea punctelor din spatiu caracterizate prin z = 0;

yOz - multimea punctelor din spatiu caracterizate prin x = 0;

zOx - multimea punctelor din spatiu caracterizate prin y = 0.

Figura 4.2

4.1. Elemente de algebra vectoriala 127

4.1.2 Vectori. Operatii cu vectori

In matematica elementara, fizica si inginerie, prin vector se ıntelege de regulaun obiect geometric caracterizat prin lungime (sau amplitudine), directie,sens si punct de aplicatie. Denumirea sa provine din cuvantul latin vector,care ınsemna purtator. Uneori, un astfel de obiect geometric mai este numitsi vector liber, vector polar, vector euclidian, vector geometric, vector spatialsau vector real.

Un vector liber se reprezinta printr-un segment de dreapta orientat (osageata) care uneste punctul initial (originea sau punctul de aplicatie) A, cu

punctul final (extremitatea sau varful) B, si se noteaza−→AB (Figura 4.3).

Figura 4.3In functie de vectorii de pozitie ai punctelor A si B, ~rA = xA

~i+yA~j +zA

~k,

respectiv ~rB = xB~i + yB

~j + zB~k, putem exprima vectorul

−→AB astfel:

−→AB =

−−→OB −−→

OA = (xB − xA)~i + (yB − yA)~j + (zB − zA)~k.

Lungimea (norma) acestui vector este:

||−→AB|| =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2.

In raport cu vectorii liberi se pot defini o serie de operatii matematice,dupa cum vom vedea ın continuare. Toate aceste proprietati algebrice nearata de fapt ca acestia nu reprezinta decat un caz particular de ceea ceam numit vector pe parcursul acestui curs, adica un element al unui spatiuvectorial.

Adunarea

Fie V multimea vectorilor liberi din spatiu.Adunarea a doi vectori liberi din V se defineste cu ajutorul regulii tri-

unghiului sau paralelogramului, care este generalizata, ın cazul adunarii maimultor vectori (n ≥ 3), de regula poligonului. Suma dintre doi vectori,

~a = ax~i + ay

~j + az~k si ~b = bx

~i + by~j + bz

~k este un vector ~c, coplanar cu ~a si~b, care se exprima analitic sub forma:

~c = ~a +~b = (ax + bx)~i + (ay + by)~j + (az + bz)~k,

iar generalizarea acestei expresii pentru cazul ınsumarii mai multor vectorieste imediata.

Este usor de aratat ca operatia de adunare este o lege de compozitieinterna corect definita pe V (vectorul suma nu depinde de alegerea originiireperului) si induce pe multimea vectorilor liberi o structura de grup abelian.


Diferenta dintre doi vectori, ~a si ~b, nu o vom discuta ın detaliu, operatiade scadere neınsemnand altceva decat adunarea dintre vectorii ~a si −~b.

Inmultirea cu un scalar real

Operatia de ınmultire a unui vector liber cu un scalar real este o lege decompozitie externa, definita pe R× V3, cu valori ın V3. Rezultatul ınmultiriivectorului ~a = lax

~i + ay~j + az

~k cu un scalar real nenul l este un vector:

l~a = ax~i + lay

~j + laz~k

adica un vector coliniar cu ~a. Sensul vectorului l~a este acelasi cu sensul lui~a daca l > 0 si opus lui ~a daca l < 0. Lungimea vectorului rezultat este datade produsul dintre modulul scalarului l si lungimea (norma) vectorului ~a.

Este usor de verificat ca ınmultirea vectorilor liberi cu scalari din R sat-isface toate cele patru axiome ale ınmultirii cu scalari a elementelor dintr-unspatiu vectorial, enumerate ın definitia 1.1.1(II).

Pe baza proprietatilor adunarii vectorilor liberi si ale ınmultirii acestoracu scalari reali, se arata ca multimea V ımpreuna cu aceste doua operatiialgebrice formeaza o structura de spatiu vectorial peste campul numerelorreale. Lasam ca exercitiu cititorului sa demonstreze, folosind notiunile desubspatiu vectorial, dependenta si independenta liniara, baza si dimensiune,prezentate ın capitolul 1 al acestei lucrari, urmatoarele teoreme si consencinteimportante pentru aplicatiile geometrice,

Teorema 4.1.1: Multimea vectorilor coliniari cu un vector nenul ~a ∈ Veste un spatiu vectorial unidimensional.

Teorema 4.1.2: Trei vectori diferiti, ~a,~b,~c ∈ V sunt coplanari daca sinumai daca ei sunt liniar independenti.

Consecinta: Multimea tuturor vectorilor coplanari cu doi vectori necol-iniari ~a,~b ∈ V este un spatiu vectorial bidimensional.

Teorema 4.1.3: Spatiul vectorial real al vectorilor liberi are dimensiunean = 3 si se noteaza de obicei cu V3.

Produsul scalar

Produsul scalar pe V3 se defineste ca o aplicatie pe V3 × V3 cu valori ın R

astfel:

~a ·~b =

{

||~a|| ||~b|| cos ϕ daca ~a,~b 6= ~0

0 daca ~a = ~0 si/sau ~b = ~0


unde ϕ ∈ [0, π] este unghiul dintre cei doi vectori.

Aplicatia astfel definita verifica toate axiomele definitiei 1.6.1, deci spatiulvectorial V3 pe care s-a definit acest produs scalar este un spatiu vectorialeuclidian tridimensional, care se noteaza de obicei cu E3.

Definitia de mai sus permite calcularea unghiului dintre doi vectori prinrelatia:

cos ϕ =axbx + ayby + azbz

||~a||||~b||,

unde (ax, ay, az), (bx, by, bz) sunt coordonatele euclidiene ale vectorilor ~a si ~b

ın raport cu baza ortonormata {~i,~j,~k}.Vectorii ~a si ~b sunt ortogonali (perpendiculari unul pe celalalt), daca si

numai daca axbx + ayby + azbz = 0.

Produsul vectorial

Fie doi vectori nenuli ~a si ~b din E3 si notam cu ϕ ∈ [0, π] unghiul dintreacestia.

Produsul vectorial dintre vectorii ~a si ~b este o aplicatie biliniara definitape V3 × V3 cu valori ın V3 descrisa de relatia:

~a ×~b =

{

||~a|| ||~b|| sin ϕ~e daca ~a,~b sunt necoliniari~0 daca ~a,~b sunt coliniari

unde ~e este un versor perpendicular pe ~a si ~b, avand sensul dat de regulaburghiului drept.

Pornind de la aceasta definitie, se pot obtine unele rezultate importanteın geometria ın plan:

Folosind notatiile din Figura xx, aria paralelogramului care are dreptlaturi vectorii ~a si ~b este:

Ariaparalelogram = baza × ınaltimea = a × h = ab sin ϕ

unde, pentru simplitate, am notat lungimile vectorilor ~a si ~b cu a si respectivb.

Figura xxDe aici rezulta imediat formula pentru calcularea ariei paralelogramului

cu ajutorul produsului vectorial:

Ariaparalelogram = ||~a ×~b||.


O consecinta imediata a acestei expresii este faptul ca aria triunghiuluicare are drept laturi vectorii ~a si ~b poate fi calculata cu formula:

Ariatriunghi =1

2Ariaparalelogram =

1

2||~a ×~b||.

De asemenea, ınaltimea h a triunghiului poate fi calculata cu formula:

h =2Ariatriunghi

a=

||~a ×~b||a

.

Produsul mixt

Fiind dati vectorii liberi ~a,~b,~c, numarul ~a · (~b×~c) se numeste produsul mixtal acestor vectori. Daca cei trei vectori sunt necoplanari, atunci produsulmixt reprezinta volumul paralelipipedului ce se poate construi cu ajutorulcelor trei vectori cand acestia au originea comuna. Conform notatiilor dinFigura yy, putem scrie:

~a · (~b × ~c) = ~a · ~d = ||~a|| ||~b|| cos ϕ = ±Volumparalelipiped

Figura yyProdusul mixt se poate scrie sub forma de determinant:

~a · (~b × ~c) =

∣∣∣∣∣∣

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣

.

In consecinta, produsul mixt ıntre trei vectori coplanari este nul, decicalcularea produsului mixt poate fi folosita ca test privind coplanaritateavectorilor.

Observatie: Cu ajutorul produsului mixt putem defini notiunile de bazapozitiv si respectiv negativ definita. Spunem ca trei vectori ~a,~b,~c formeaza obaza pozitiv, respectiv negativ, definita daca produsul mixt ~a · (~b × ~c) estepozitiv, respectiv negativ. Este usor de verificat ca baza ortonormata formatadin vectorii ~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) este orientata pozitiv.

Tot cu ajutorul produsului mixt se poate calcula si volumul tetraedruluicare are drept laturi vectorii ~a,~b,~c:

Volumtetredru =1

3Aria bazei × ınaltimea =

1

6~a · (~b × ~c).

Inatimea tetraedrului este:

h = 3Volumtetredru

Aria bazei= 6

~a · (~b × ~c)

||~b × ~c||.


4.1.3 Schimbare de reper cartezian

In acest subcapitol vor fi studiate efectele pe care le au diferitele tipuri detransformari ale reperelor carteziene. Transformarile ıntalnite ın geometriesunt incluse ın categoria izometriilor, adica sunt transformari care se re-alizeaza cu pastrarea distantei dintre doua puncte din spatiu. Izometri-ile de baza sunt rotatia, simetria ın raport cu un plan, simetria ın raportcu un punct si translatia. Dupa cum vom vedea ın continuare, rotatia sisimetriile sunt transformari ortogonale (aplicatii descrise cu ajutorul unormatrice ortogonale). O izometrie este descrisa cu ajutorul reperelor initial

R = {O,~i,~j,~k} si respectiv final R′ = {O′,~i′,~j′, ~k′}. O izometrie se numeste

pozitiva (sau deplasare) daca baza {~i′,~j′, ~k′} este orientata pozitiv si negativa

(sau antideplasare) daca baza {~i′,~j′, ~k′} este orientata negativ. Principaleleizometrii pozitive sunt translatiile si rotatiile, iar principalele izometrii neg-ative sunt simetria ın raport cu un plan si simetria ın raport cu un punct.

Translatia

Prin translatia unui reper Oxyz se ıntelege deplasarea originii si sistemuluide axe astfel ıncat axele noului reper O′x′y′z′ sa ramana paralele cu axelevechiului reper si cu acelasi sens (Figura zz).

Figura zz

Atunci cand reperul cartezian Oxyz este supus unei translatii T cu vec-torul ~a = (ax, ay, az), elementele sale constitutive sufera urmatoarele trans-formari:

O′ = T(O) = (ax, ay, az), ~i′ = T(~i) =~i, ~j′ = T(~j) = ~j, ~k′ = T(~k) = ~k.

Pentru a gasi legaturile ıntre coordonatele x, y, z ale unui punct oarecareM ın raport cu reperul Oxyz si coordonatele x′, y′, z′ ale aceluiasi punct ınraport cu reperul translatat O′x′y′z′ pornim de la relatia vectoriala:

−−→OM =

−−→OO′ +

−−→O′M

care, scrisa pe coordonate devine:

x~i + y~j + z~k = ax~i + ay

~j + az~k + x′~i + y′~j + z′~k

de unde rezulta:

x = x′ + ax, y = y′ + ay, z = z′ + az.


Aceste relatii se pot scrie sub forma matriceala:

xyz

=

1 0 00 1 00 0 1

x′

y′

z′

+

ax

ay

az

,

sau

x′

y′

z′

=

1 0 00 1 00 0 1

xyz

−

ax

ay

az

.

Deoarece determinantul matricei care descrie translatia are valoarea 1, rezul-ta ca aceasta transformare este o izometrie pozitiva.

Ca si caz particular prezentam cazul translatiei ın planul xOy cu un vector~a = (ax, ay).

Legatura dintre coordonatele unui punct oarecare exprimate ın raport cucele doua repere este data de relatiile:

x = x′ + ax, y = y′ + ay,

care se scriu matriceal:(

xy

)

=

(1 00 1

)(x′

y′

)

+

(ax

ay

)

,

Simetria

Ca si exemple de simetrii, vom prezenta ın continuare simetria ın raport cuun plan (xOy) si simetria ın raport cu un punct particular, originea reperului,O. In ambele cazuri, originea reperului ramane fixa, doar versorii suferindmodificari.

a) Simetria ın raport cu planul xOy

In cazul simetriei (reflexiei) fata de planul xOy (Figura 11), elementelereperului initial sufera urmatoarele transformari:

O′ = S1(O) = O, ~i′ = S1(~i) =~i, ~j′ = S1(~j) = ~j, ~k′ = S1(~k) = −~k.

Figura 11Legatura dintre coordonatele x, y, z ale unui punct oarecare M ın raport

cu reperul Oxyz si coordonatele x′, y′, z′ ale aceluiasi punct ın raport cureperul translatat Ox′y′z′ este data de relatia vectoriala:

x~i + y~j + z~k = x′~i + y′~j − z′~k


de unde rezulta:x = x′, y = y′, z = −z′.

Matriceal se poate scrie:

xyz

=

1 0 00 1 00 0 −1

x′

y′

z′

sau

x′

y′

z′

=

1 0 00 1 00 0 −1

xyz

.

Determinantul matricei care descrie acest tip de simetrie are valoarea -1,deci transformarea este o izometrie negativa.

b) Simetria ın raport cu originea reperului

Acest tip de simetrie este reprezentat ın Figura 22.Figura 22Elementele reperului initial sufera urmatoarele transformari:

O′ = S2(O) = O, ~i′ = S2(~i) = −~i, ~j′ = S2(~j) = −~j, ~k′ = S2(~k) = −~k.

Legatura dintre coordonatele x, y, z ale unui punct oarecare M ın raportcu reperul Oxyz si coordonatele x′, y′, z′ ale aceluiasi punct ın raport cureperul translatat Ox′y′z′ este data de relatia vectoriala:

x~i + y~j + z~k = −x′~i − y′~j − z′~k

de unde rezulta:x = −x′, y = −y′, z = −z′,

iar sub forma matriceala se poate scrie:

xyz

=

−1 0 00 −1 00 0 −1

x′

y′

z′

.

Transformarea inversa este descrisa de aceeası matrice. Ca si ın cazulanterior, determinantul matricei care descrie simetria are valoarea -1, decitransformarea este o izometrie negativa.

Rotatia

Rotatia reprezinta o transformare ın care originea ramane fixa, doar axelede coordonate rotindu-se ın jurul acestui punct fix. In esenta, o astfel detransformare este echivalenta cu trecerea de la baza ortonormata {~i,~j,~k} la

o alta baza ortonormata {~i′,~j′, ~k′} din V3 (Figura 33).Figura 33


Versorii noului reper se pot expriam ın functie de cei ai vechiului reperconform ecuatiei (1.15):

~i′ = R(~i) = (~i′ ·~i)~i + (~i′ ·~j)~j + (~i′ · ~k)~k,

~j′ = R(~j) = (~j′ ·~i)~i + (~j′ ·~j)~j + (~j′ · ~k)~k,

~k′ = R(~k) = (~k′ ·~i)~i + (~k′ ·~j)~j + (~k′ · ~k)~k.

Daca notam a11 = ~i′ ·~i, a21 = ~i′ · ~j, a31 = ~i′ · ~k, a12 = ~j′ ·~i, a22 = ~j′ · ~j,a32 = ~j′ · ~k, a13 = ~k′ ·~i, a23 = ~k′ · ~j, a33 = ~k′ · ~k, rotatia va fi descrisa dematricea:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

,

care reprezinta matricea de trecere de la baza {~i,~j,~k} la baza {~i′,~j′, ~k′}.Matricea A este ortogonala, deoarece~i′,~j′, ~k′ sunt versori reciproc ortogonali(coordonatele lor sunt cosinusuri directoare), deci A tA = I3 sau tA = A−1.

Transformarea coordonatelor unui punct oarecare M din spatiu atuncicand se roteste reperul este descrisa tot cu ajutorul matricei A:

xyz

= A

x′

y′

z′

,

iar transformarea inversa se realizeaza cu transpusa acesteia:

x′

y′

z′

= tA

xyz

.

O izometrie care pasteaza originea se mai numeste si transformare ortog-onala. Izometria este pozitiva daca det A = 1 (rotatie sau rotatie proprie) sieste negativa daca det A = −1 (roatatie si simetrie sau rotatie improprie).

Din motive de spatiu nu detaliem calculul general al elementelor matriceiA. Folosind notatiile din Figura 33, matricea are forma:

A =

cos θ cosψ − cos φ sinψ + sinφ sin θ cos ψ sinφ sinψ + cos φ sin θ cos ψ

cos θ sinψ cos φ cos ψ + sinφ sin θ sinψ − sinφ cos ψ + cosφ sin θ sinψ

− sin θ sinφ cos θ cos φ cos θ

In cazul particular al unei rotatii de unghi θ ın jurul axei Oz (Figura 44)obtinem urmatoarele rezultate:

~i′ = R(~i) =~i cos θ +~j sin θ,


~j′ = R(~j) = −~i sin θ +~j cos θ,

~k′ = R(~k) = ~k.

Transformarea coordonatelor unui punct oarecare M din spatiu atuncicand reperul se roteste cu unghiul θ este descrisa de relatiile:

x = x′ cos θ − y′ sin θ,

x = x′ sin θ + y′ sin θ,

z = z′

Matriceal, putem scrie:

xyz

= Rz

x′

y′

z′

,

unde matricea care descrie rotatia ın jurul axei Oz are forma:

Rz =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

.

In mod analog se pot obtine matricele care descriu rotatia reperului ınjurul axelor Ox si respectiv Oy:

Rx =

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

, Ry =

cos θ 0 sin θ0 1 0

− sin θ 0 cos θ

.

Se verifica imediat ca det Rx = det Ry = det Rz = 1.

O rotatie ın planul xOy, de unghi θ, ın jurul originii este caracterizataprin relatiile:

x = x′ cos θ − y′ sin θ,

x = x′ sin θ + y′ sin θ,

iar ın cazul unei roto-translatii ın acelasi plan xOy, adica atunci cand pelanga rotatie mai avem si o translatie de vector ~a = (ax, ay), relatiile devin:

x = x′ cos θ − y′ sin θ + ax,

x = x′ sin θ + y′ sin θ + ay.

Scrierea matricelor care descriu aceste transformari o lasam ca exercitiucititorului.


4.1.4 Vectori si pseudovectori

Vectorii joaca un rol fundamental ın fizica: viteza si acceleratia unui obiectın miscare, precum si fortele care actioneaza asupra acestuia se descriu toatecu ajutorul vectorilor. exista ınsa si alte numeroase marimi fizice care potfi gandite ca vectori, pot fi reprezentate printr-o sageata avand o anumitalungime, directie si sens, iar reprezentarea lor depinde alegerea sistemului decoordonate utilizat la descrierea lor. Dupa cum am mai aratat, vectorii setransforma contravariant sau, uneori contravariant. Exista ınsa obiecte geo-metrice similare vectorilor care se transforma ca si vectorii contravarianti, cuexceptia cazului cand ele sunt reflectate ıntr-o oglinda (schimbare de orientarea spatiului) si ele sufera o rasturnare si o schimbare de semn. Astfel de obiectegeometrice care ısi schimba semnul cand se schimba orientarea spatiului senumesc pseudovectori sau vetori axiali. Este important de retinut ca unpseudovector (dupa cum sugereaza si numele) nu este un obiect geometric ınsensul uzual, deci ın particular nu trebuie considerat ca o ”sageata” reala ınspatiu, deoarece directia sa se inverseaza la o transformare improprie a axelorde coordonate (cum ar fi simetria ın raport cu originea). Pseudovectorii aparcel mai adesea ca rezultatul unui produs vectorial ıntre doi vectori obisnuiti(polari).

In mod analog vectorilor si pseudovectorilor, obiectele zero-dimensionalepot fi ımpartite ın scalari si pseudoscalari - ultimii fiind invarianti la rotatiidar schimbandu-si semnul la o reflexie. De asmenea, putem extinde notiuneala obiecte cu doi sau mai multi indici (inferiori), adica sa vorbim despretensori si pseudotensori.

Exemple de pseudovectori sunt viteza unghiulara, campul magnetic, mo-mentul de torsiune (cuplul fortelor) si ın general orice produs vectroila dintredoi vectori reali.

Daca conducem o masina si privim inainte, fiecare dintre roti are un vectorviteza unghiulara orientat catre stanga (Figura 55).

Figura 55

Daca privim imaginea ıntr-o oglinda care inverseaza partea stanga cucea dreapta a masinii, vectorul viteza unghiulara reflectat este orientat catredreapta, dar ın realitate acest vector este ın continuare orientat catre stanga,ceea ce corespunde semnului ”-”.

O spira strabatuta de curent creaza ın jurul ei un camp magnetic. Dacaspira este reflectata ıntr-o oglinda (linia punctata ın Figura 66), campul mag-netic generat nu este reflectat ın oglinda: el este refelctat si inversat! Vectorulde pozitie si curentul sunt vectori polari, iar campul magnetic este un pseu-dovector.

Figura 66

4.2. Geometrie ın plan 137

De multe ori, diferenta dintre vectori si pseudovectori este ignorata, darea devine foarte importanta ın studiul proprietatilor de simetrie, cum ar fide exemplu, ın fizica, paritatea.

4.2 Geometrie ın plan

In acest subcapitol prezentam cteva elemente de geometrie euclidiana ın plan,presupunand ca fiind cunoscute notiunile elementare de punct, dreapta, per-pendicularitate, etc. Vom presupune ca spatiul vectorial V2 este raportat labaza ortonormata {~i,~j}, iar E2 la reperul cartezian {O;~i,~j}.

4.2.1 Dreapta ın plan

Dreapta ın plan se defineste ca fiind multimea punctelor M(x, y) din planulxOy care verifica ecuatia:

ax + by + c = 0,

unde cel putin unul dintre parametrii reali a si b este nenul. Relatia de maisus se numeste ecuatia generala a dreptei. O formulare echivalenta este asanumita ecuatie explicita a dreptei:

y = −a

bx − c

b,

unde raportul a/b se numeste coeficientul unghiular al dreptei, iar raportulc/b se numeste termen liber.

Descrierea dunei drepte ın plan se poate ın trei moduri: dreapta de ter-minata de un punct si un vector nenul, dreapta determinata de doua punctesi dreapta orientata.

Dreapta determinata de un punct si un vector nenul

Fie un punct M0(x0, y0) din planul xOy si un vector nenul ~a = ax~i + ay

~j,numit vector director al dreptei Figura aa.

Figura aaDeoarece vectorul de pozitie al punctului M0, ~r0 = x0

~i+y0~j este coplanar

cu ~a, putem scrie, pentru un vector oarecare ~r din planul xOy:

(~r − ~r0) × ~a = ~0,

ceea ce este echivalent cu relatia:

~r = ~r0 + t~a, t ∈ R.


Putem scrie ecuatiile parametrice ale dreptei, ın raport cu parametrul real t:

x = x0 + axt, y = y0 + ayt.

Ecuatia carteziana a dreptei este:

x − x0

ax

=y − y0

ay

.

Dreapta determinata de doua puncte

Doua puncte din plan, M1(x1, y1) si M2(x2, y2) determina o dreapta si numai

una. Ecuatia dreptei determinate de punctul M1(x1, y1) si vectorul−−−−→M1M2

este:x − x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

,

formula care reprezinta ecuatia carteziana a dreptei.Ecuatia unei drepte ın plan se poate scrie si sub forma de determinant,

astfel: ∣∣∣∣∣∣

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣

= 0

Dreapta orientata

Fie D o dreapta ın plan. Pe ea se pot stabili doua sensuri de parcurs, carese noteaza ın mod conventional cu ”+” si ”-”. Dreapta D pe care s-a alesun sens de parcurs se numeste dreapta orientata. Daca notam cu ~a vectoruldirector al unei drepte D, se considera sensul pozitiv, notat cu ”+”, pe Dsensul vectorului director ~a.

Daca M0 este un punct oarecare de pe dreapta D, atunci multimea

D′ = {M | −−−→M0M = k~a, k ≥ 0},

se numeste partea pozitiva a lui D, iar multimea

D′′ = {M | −−−→M0M = s~a, s ≤ 0},

se numeste partea negativa a lui D.Axele de coordonate Ox si Oy sunt exemple de drepte orientate. Daca O este

originea si ~i,~j sunt versorii reperului cartezian ın plan, atunci {M | −−−→M0M =

k~i, k ≥ 0} este semiaxa pozitiva Ox, iar {M | −−−→M0M = k~i, k ≤ 0} estesemiaxa pozitiva Ox.


Vectorului director nenul ~a i se poate atasa versorul:

~e =~a

||~a|| ,

numit versor director sau directie orientata. Cu ajutorul acestuia, dreaptaD se poate exprima sub forma:

D = {M | −−−→M0M = t~e, t ∈ R}.

Unghiurile dintre ~e si axele de coordonate se numesc unghiuri directoare.Versorul ~e se exprima ın raport cu baza ortonormata {~i,~j} astfel:

~e = (~e ·~i)~i + (~e ·~j)~j = cos α~i + cos β~j

unde cos α si cos β se numesc cosinusuri directoare. Deoarece ~e este un versor,ıntre cele doua cosinusuri directoare avem relatia:

cos2 α + cos2 β = 1.

Unghiul dintre doua drepte ın plan

Fie doua drepte, Da si Db, orientate prin vectorii directori ~a si respectiv ~b.Unghiul ϕ dintre aceste doua drepte poate fi calculat prin formulele:

cos ϕ =~a ·~b

||~a|| ||~b||sau sin ϕ =

||~a ×~b||||~a|| ||~b||

.

Cele doua drepte sunt perpendiculare daca si numai daca ~a ·~b = 0 si suntparalele daca si numai daca ~a ×~b = ~0.

Distanta de la un punct la o dreapta

Fie o dreapta D si un punct oarecare A, situate ın planul xOy (Figura xx)Figura xxDistanta de la punctul A la dreapta D este:

d(A; D) = ||−−→M0A|| sin ϕ =||~a ×−−→

M0A||||~a|| .

Daca A are coordonatele (x0, y0) si dreapta D este descrisa de ecuatiagenerala ax + by + c = 0, relatia de mai sus devine:

d(A; D) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.


4.2.2 Cerc. Elipsa. Hiperbola. Parabola

In aceasta sectiune prezenta principalele figuri geometrice ın plan.

Cercul

Cercul de centru M0(x0, y0) si de raza R (Figura xx) reprezinta locul geo-metric al punctelor din plan egal departate de centru cu distanta R:

C = {M | d(M0; M) = ||−−−→M0M || = R}.

Figura xxEcuatia carteziana a cercului, scrisa sub forma de patrate, are forma:

(x − x0)2 + (y − y0)

2 − R2 = 0,

cu forma particularax2 + y2 − R2 = 0

pentru cazul cercului cu centrul ın origine.Ecuatia generala a cercului este:

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0,

cu restrictia a2 + b2 − c2 > 0.

Punctele de intersectie dintre o dreapta si un cerc se determina calculandsolutiile sistemului format din ecuatiile generale ale dreptei si cercului. Sepot ıntalni trei situatii distincte:

a) sistemul nu are solutii, deci nu avem punct/puncte de intersectie; ınacest caz, spunem ca dreapta si cercul sunt exterioare;

b) sistemul are o singura solutie, deci avem un punct de intersectie; ınacest caz, spunem ca dreapta si cercul sunt tangente.

c) sistemul are doua solutii distincte, deci avem doua puncte de intersectie;ın acest caz, spunem ca dreapta si cercul sunt secante.

Elipsa

Elipsa reprezinta locul geometric al punctelor din plan pentru care sumadistantelor la doua puncte fixe, numite focare, este constanta:

E = {M | d(M ; F ) + d(M ; F ′) = 2a)},

unde F , respectiv F ′, sunt cele doua focare ale elipsei si a este un parametrureal pozitiv.


Ecuatia carteziana unei elipse cu centrul ın punctul M0(x0, y0) este:

(x − x0)2

a2

2

+(y − y0)

2

b2− 1 = 0.

Forma particulara a acestei ecuatii, ın cazul ın care centrul elipsei este situatın origine (Figura xx), este:

x2

a2

2

+y2

b2− 1 = 0.

Figura xxPozitia focarelor depinde de parametrul real pozitiv c, legat de parametrii

reali pozitivi a si b. Pentru cazul prezentat ın figura xx, cand focarele suntsituate pe axe Ox, legatura ıntre acesti parametri este c2 = a2 − b2, a > b.In cazul b > a, legatura dintre parametrii devine c2 = b2 − a2 si este vorbadespre o elipsa cu focarele situate pe axa Oy.

Hiperbola

Hiperbola reprezinta locul geometric al punctelor din plan pentru care mod-ululul diferentei dintre distantele pana la doua puncte fixe, numite focare,este constanta:

H = {M | |d(M,F ) − d(m; F ′)| = 2a)},unde F , respectiv F ′, sunt cele doua focare ale elipsei si a este un parametrureal pozitiv.

Ecuatia carteziana unei hiperbole cu centrul ın punctul M0(x0, y0) este:

(x − x0)2

a2

2

− (y − y0)2

b2− 1 = 0.

Forma particulara a acestei ecuatii, ın cazul ın care centrul hiperbolei estesituat ın origine (Figura xx), este:

x2

a2

2

− y2

b2− 1 = 0.

Figura xxPozitia focarelor depinde de parametrul real pozitiv c, legat de parametrii

reali pozitivi a si b prin relatia c2 = a2 + b2. In cazul prezentat ın figura xx,focarele si varfurile hiperbolei sunt situate pe axe Ox.

Ecuatia

−x2

a2

2

+y2

b2− 1 = 0

descrie o hiperbola cu focarele si varfurile situate pe axa Oy.


Parabola

Parabola reprezinta locul geometric al punctelor din plan pentru care distantapana la un punct fix F , numit focar, este egala cu distanta pana la o dreaptafixa D, numita dreapta directoare:

P = {M | d(M ; F ) = d(M ; D)}.

Ecuatia carteziana unei parabole cu varful ın punctul M0(x0, y0) este:

(y − y0)2 = 2p(x − x0),

unde p este un numar real nenul, numit parametrul parabolei.Forma particulara a acestei ecuatii, ın cazul ın care varful parabolei este

situat ın origine (Figura xx), este:

y2 = 2px.

Figura xxPozitia focarului si dreptei directoare depinde de parametrul real p. Pen-

tru cazul prezentat ın figura xx, cand focarul sunt situat pe axe Ox si arecoordonatele (p/2, 0), iar dreapta directoare este paralela cu axa Oy si taieaxa Ox ın punctul (−p/2, 0).

Ecuatiax2 = 2py

descrie o parabola cu focarul si varful situate pe axa Oy si dreapta directoareparalela cu axa Ox.

Din punct de vedere al elementelor de simetrie al figurilor geometriceprezentate mai sus observam ca cercul, elipsa si hiperbola au atat centru desimetrie cat si axe de simetrie (Ox si Oy, iar ın cazul cercului avem chiar oinfinitate de axe de simetrie), pe cand parabola nu are centru de simetrie, ınschimb are un varf si o axa de simetrie (axa Ox pentru cazul prezentat ınFigura xx).

Problema intersectiei dintre o dreapta si o elipsa, o hiperpola sau oparabola, se discuta ın mod analog cazului intersectiei dintre o dreapta siun cerc.

4.2.3 Conice

Notiuni generale

Multimea punctelor M din plan ale caror coordonate verifica conditia:

Γ = {M(x, y) | (x, y ∈ R2), a11x2 +2a12xy +a22y

2 +2a10x+2a20y +a00 = 0},


unde cel putin unul dintre coeficientii a11, a12, a22 este nenul, formeaza ocurba numita conica sau curba algebrica de ordinul al doilea.

Se poate demonstra ca orice conica este congruenta cu una dintre mul-timile urmatoare: cerc, elipsa, hiperbola, parabola, pereche de drepte (con-curente, paralele sau confundate), multime care contine un singur punct saumultimea vida. Primele patru multimi au fost tratate anterior. Lasam dreptexercitiu cititorului sa scrie ecuatiile corespunzatoare celorlate multimi. Pen-tru aducerea unei conice la una dintre formele pomenite mai sus, vom folosi ometoda inspirata din teoria formelor patratice (aducerea acestora la expresiacanonica prin metoda transformarilor ortogonale).

Informatii importante pot fi obtinute prin analiza unor marimi algebricecare nu se modifica la trecerea de la reperul ınitial la cel canonic. Acestemarimi, numite invarianti metrici ai conicei, sunt urmatoarele:

∆ =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a10

a21 a22 a20

a01 a02 a00

∣∣∣∣∣∣

, δ =

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣, I = a11 + a22,

unde a12 = a21, a10 = a01, a20 = a02.

Din motive de spatiu nu vom demonstra invarianta acestor marimi si nicilegatura dintre ele si proprietatile conicelor, ci enumera doar principalele con-cluzii pe care le putem trage din analiza lor. ∆ permite clasificare conicelordupa tipul lor, ın degenerate (∆ = 0) si nedegenerate (∆ 6= 0), iar δ permiteclasificare conicelor dupa genul lor, ın eliptice (δ > 0), hiperbolice (δ < 0) siparabolice (δ = 0).

a1) Daca ∆ = 0 si δ > 0, conica este degenerata ıntr-un punct;

a2) Daca ∆ = 0 si δ = 0, conica este degenerata ın doua drepte paralelesau confundate, sau ın multimea vida;

a3) Daca ∆ = 0 si δ < 0, conica este degenerata ın doua drepte con-curente. In plus, daca I = 0, cele doua drepte sunt perpendiculare;

b1) Daca ∆ 6= 0 si δ > 0, conica este o elipsa pentru I∆ < 0 sau multimeavida pentru I∆ > 0;

b2) Daca ∆ 6= 0 si δ = 0, conica este o parabola;

b3) Daca ∆ 6= 0 si δ < 0, conica este o hiperbola, iar daca ın plus avemsi I = 0, este o hiperbola echilatera;

De asemenea, daca δ 6= 0, conica are centru de simetrie, iar daca δ = 0,conica nu are centru de simetrie.

EXEMPLE conice degenerate ????


Reducerea la forma canonica

La reducerea unei conice

Γ : a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0

la forma canonica putem ıntalni doua situatii:

(I) - daca a12 = 0, reducerea la expresia canonica se face printr-o simplatranslatie;

(II) - daca a12 6= 0, termenul mixt se elimina printr-o rotatie a reperului,operatie ce reprezinta de fapt o transformare ortogonala, asa cum am ıntalnitla aducerea formelor patratice le expresia canonica. Dupa rotatie, daca estecazul, se realizeaza o translatie a originii noului reper pentru a obtine expresiacanonica.

Iata pe scurt pasii care trebuie parcursi ıntr-un astfel de calcul:

Pornind de la forma patratica a11x2 + 2a12xy + a22y

2, scriem matriceaasociata:

A =

(a11 a12

a21 a22

)

si apoi rezolva ecuatia caracteristica:

det(A − λI2) =

∣∣∣∣

a11 − λ a12

a21 a22 − λ

∣∣∣∣.

Dupa determinarea valorilor proprii λ1, λ2, care sunt distincte daca a12 6=0, calculam cei doi vectori proprii corespunzatori (ei vor fi ortogonali) si ınormam la unitate, obtinand astfel versorii care descriu orientarea nouluireper. Notam cu R matricea care contine pe coloane coordonatele celordoi versori. Determinatul acesei matrice este ±1 si putem considera ca eareprezinta o rotatie, deoarece ın cazul ın care det R = −1, putem renumerotacele doua valori proprii si astfel coloanele matricei se inverseaza, rezultanddet R = 1. In reperul cartezian rotit forma patratica are expresia canonicaλ1x

′2 + λ2y′2, unde legatura dintre vechile coordonate x, y si cele noi x′, y′

este data de relatia: (xy

)

= R

(x′

y′

)

.

Ecuatia conicei ın reperul cu axele Ox′, Oy′ devine:

λ1x′2 + λ2y

′2 + 2a′10x

′ + 2a′20y

′ + a′00 = 0,

iar punand aceasta expresie sub forma unei sume de patrate obtinem:

λ1(x′ + . . .)2 + λ2(y

′ + . . .)2 + a′′ = 0.


Dupa schimbarea de variabile x′′ = x′ + . . ., respectiv y′′ = y′ + . . ., care dinpunct de vedere geometric corespunde unei translatii a reperului, obtinemecuatia canonica a conicei:

λ1(x′′2 + λ2(y

′′2 + a′′ = 0.

Prezentam ın continuare un exemplu de calcul.

Sa se reduca conica

5x2 + 12xy + 10y2 − 6x + 4y − 1 = 0

la expresia canonica, indicand si reperul canonic.

Forma patratica corespunzatoare conicei este 5x2 + 12xy + 10y2, iar ma-tricea asociata se scrie:

A =

(5 66 10

)

.

Rezolvand ecuatia caracteristica:

det(A − λI2) =

∣∣∣∣

5 − λ 66 10 − λ

∣∣∣∣= 0

obtinem valorile proprii λ1 = 14 si λ2 = 1. Cei doi vectori proprii cores-punzatori, normati la unitate, sunt versorii care descriu orientarea nouluireper:

~i′ =1√13

(2, 3) si ~j′ =1√13

(−3, 2).

Matricea R care contine pe coloane coordonatele celor doi versori este:

R =1√13

(2 −33 2

)

.

Determinatul acesei matrice este 1, deci ea reprezinta o rotatie. Legaturadintre vechile coordonate x, y si cele noi x′, y′ este data de relatia:

(xy

)

=1√13

(2 −33 2

)(x′

y′

)

,

sau sub forma de ecuatii:

x =1√13

(2x′ − 3y′) , y =1√13

(3x′ + 2y′).

Ecuatia conicei ın reperul cu axele Ox′, Oy′ devine:

14x′2 + y′2 + 2√

13y′ − 1 = 0,



14x′2 + (y′ +√

13)2 − 14 = 0.

Dupa schimbarea de variabile x′′ = x′, respectiv y′′ = y′ +√

13, obtinemecuatia canonica a conicei:

x′′2 +y′′2

14− 1 = 0,

de unde rezulta ca este vorba de o elipsa cu centrul ın punctul O′(0,−√

13)si axele de coordonate descrise de versorii~i′,~j′. Parametrii elipsei sunt a = 1si respectiv b =

√14, iar focarele sale sunt situate pe axa Oy′.

4.3 Geometrie ın spatiu

In cele ce urmeaza vom presupune ca spatiul vectorial V3 este raportat labaza ortonormata {~i,~j,~k}, iar E3 la reperul cartezian {O;~i,~j,~k}.

4.3.1 Dreapta ın spatiu

O dreapta ın spatiu poate fi determinata de un punct si un vector nenul, dedoua puncte, sau de intersectia a doua plane. Primele doua modalitati suntanaloage celor folosite pentru descrierea dreptei ın plan.

Extinzand definitiile de la subcapitolul anterior la spatiul tridimensional,putem spune ca dreapta determinata de un punct fixat M0(x0, y0, z0) si deun vector nenul ~a = (ax, ay, az) ∈ V3, este formata din punctele M(x, y, z),

de vector de pozitie ~r = x~i + y~j + z~k, pentru care este satisfacuta ecuatiavectoriala:

(~r − ~r0) × ~a = ~0,

unde ~r0 = x0~i + y0

~j + z0~k este vectorul de pozitie al punctului M0.

Vectorul ~r − ~r0 este coliniar cu vectorul director ~a, deci putem scrie:

~r = ~r0 + t~a, t ∈ R.

Ecuatiile parametrice ale dreptei ın spatiu, ın raport cu parametrul real t,sunt:

x = x0 + axt, y = y0 + ayt, z = z0 + azt,

iar ecuatia carteziana a dreptei este:

x − x0

ax

=y − y0

ay

=z − z0

az

.

4.3. Geometrie ın spatiu 147

Dreapta determinata de doua puncte din spatiu, M1(x1, y1, z1) si M2(x2, y2, z2)se scrie prin analogie cu cazul plan:

x − x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

=z − z1

z2 − z1

,

formula care reprezinta ecuatia carteziana a dreptei ın spatiu.

Notiunile de dreapta orientata si unghiul ıntre doua drepte ın spatiu sedefinesc exact ca si ın cazul plan.

4.3.2 Planul ın spatiu

Un plan ın spatiu poate fi determinat prin trei puncte necoliniare, douadrepte paralele, o dreapta si un punct exterior dreptei, un punct si un vectornormal la plan.

Planul determinat de un punct si un vector normal nenul

Fie un punct ın spatiu M0(x0, y0, z0) si o dreapta D, de directie ~n care treceprin acest punct. Planul P , perpendicular pe D ın punctul M0 este unicdeterminat. Dreapta D de numeste normala la plan, iar vectorul nenul ~n =(nx, ny, nz) se numeste vectorul normal al planului. Pentru un punct oarecare

din plan, M(x, y, z), conditia de ortogonalitate dintre vectorii−−−→M0M = (x −

x0)~i + (y − y0)~j + (z − z0)~k si ~n se scrie:

(x − x0)nx + (y − y0)ny + (z − z0)nz = 0,

si aceasta relatie reprezinta ecuatia carteziana a planului ce trece prin M0 sieste perpendicular pe ~n.

Ecuatiaax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 6= 0,

se numeste ecuatia generala a unui planın R3.

Iata si cateva exemple de plane particulare:1) Planul xOy are ecuatia z = 0 si normala (0, 0, 1), iar orice plan paralel

cu planul xOy are ecuatia z = ct.2) Ecuatia unui plan perpendicular pe planul xOy este ax + by + d = 0

Relatii analoage se pot scrie pentru planele yOz si zOx.

3) Ecuatia planului care trece prin axa Ox este by + cz = 0.

Relatii analoage se pot scrie pentru axele Oy si Oz.

4) Ecuatia planului care trece prin origine este ax + by + cz = 0.


Planul determinat de trei puncte necoliniare

Fie trei puncte necolinaire ın spatiu, M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2),M3(x3, y3, z3).Acestea determina ın mod unic un plan, iar din conditia ca cele trei punctesa fie ın acelasi plan obtinem sistemul de ecuatii:

axi + byi + czi + d = 0, i = 1, 2, 3.

Acest sistem liniar neomogen, avand necunoscutele a, b, c, d, are solutii nebanaledaca: ∣

∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

ceea ce reprezinta chiar ecuatia carteziana a planului.

Casi caz particula, amintim ecuatia planului prin taieturi (Figuar zz). Ease obtine ınlocuind coordonatele punctelor A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) ınecuatia de mai sus, rezultand:

x

a+

y

b+

z

c− 1 = 0.

Figura zz

Planul determnat de un punct si doi vectori necoliniari

Fie un punct M0(x0, y0, z0) si doi vectori necoliniari, ~u = (u1, u2, u3) si ~v =(v1, v2, v3). Aceste trei elemente descriu ın mod unic un plan ın spatiu. Unpunct oarecare, M(x, y, z), apartine planului daca si numai daca putem scrierelatıa vectoriala: −−−→

M0M = r~u + s~v,

care se scrie pe componente:

x = x0 + ru1 + sv1,

y = y0 + ru2 + sv2,

z = z0 + ru3 + sv3.

Aceste relatii reprezinta ecuatiile parametrice ale planului P, scrise ın raportde parametrii reali r si s.


O formulare echivalenta se obtine impunand conditia de coplanaritate a

vectorilor−−−→M0M,~u,~v ( produsul lor mixt sa fie nul):

−−−→M0M · (~u × ~v) =

∣∣∣∣∣∣

x − x0 y − y0 z − z0

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣

= 0.

Ecuatiile normalei la plan care trec prin punctul M0 sunt:

x − x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c.

Plan orientat

Un plan pentru care s-a ales sensul normalei se numeste plan orientat.Odata cu alegerea sensului normalei se alege ın mod implicit si una din-

tre cele doua fete ale planului, precum si sensul rotatiei ın acest plan. Inmod normal, orientarea planului se alege astfel ıncat sa fie coerenta cu cea aspatiului, dictata de orientarea celor trei versori. Evident, planele de coor-donate xOy, yOz, zOx sunt plane orientate.

Semispatii

Un plan de ecuatie f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0 separa spatiul ın douasubmultimi convexe (Figura..):

I = {(x, y, z) | f(x, y, z) ≥ 0}, II = {(x, y, z) | f(x, y, z) ≤ 0}.

Aceste submultimi se numesc semispatii ınchise, iar ıntre ele exista relatiileI ∩ II = P si respectiv I ∪ II = R3.

Intersectia si reuniunea a doua plane

Fie doua plane P1 si P2, de ecuatii a1x + b1y + c1z + d1 = 0, respectiva2x+b2y+c2z+d2 = 0. Daca ele nu sunt paralele sau confundate, intersectiacelor doua plane este o dreapta D, descrisa de sistemul de ecuatii:

{a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0

Acest sistem este simplu nedeterminat si admite o infinitate simpla de solutiicare reprezinta tocmai punctele dreptei D.

Reuniunea celor doua plane, P! si P2, este multimea:

L = {(x, y, z) | (a1x + b1y + c1z + d1)(a2x + b2y + c2z + d2) = 0}.


Unghiul dintre doua plane orientate

Doua plane neparalele si neconfundate se intersecteaza dupa o dreapta Dsi formeaza un unghi diedru. Unghiul diedru dintre planele P1 si P2 estemasurat prin unghiul plan care se obtine sectionand planele P1 si P2 cu unplan P3 perpendicular pe D (Figura zz).

Figura zzPrin definitie, unghiul diedru dintre cele doua plane este unghiul dintre

normalele acestora, ~n1 = (nx1, ny1, nz1) si respectiv ~n2 = (nx1, ny1, nz1):

cos ϕ =~n1 · ~n2

||~n1|| ||~n1||,

a1a2 + b1b2 + c1c2√

a21 + b2

1 + c21

√

a22 + b2

2 + c22

, ϕ ∈ [0, π].

In particular, cele doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca~n1 · ~n2 = 0, sau ın functie de coordonate, a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

Planele sunt paralele daca si numai daca vectorii normali sunt coliniari,adica ~n1 × ~n2 = ~0. Daca avem (a1, b1, c1, d1) = k(a2, b2, c2, d2), k ∈ R\{0},atunci cele doua plane sunt confundate.

Distanta de la un punct la o dreapta si de la un punct la un plan

Distanta de la un punct la o dreapta se calculeaza dupaaceasi formula ca siın plan, singura diferenta fiind aceea ca vectorii care intervin ın calcul sunttridimensionali.

Distanta de la un punct M0(x0, y0, z − 0), exterior planului, la planul Pde ecuatie ax + by + cz + d = 0 este prin definitie, lungimea segmentului celeaga punctul M0 de proiectia sa pe planul P (Figura ).

Figura + deducere????

d(M0; P ) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2.

Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat

Unghiul dintre o dreapta orientata D si un plan orientat P este definit cafiind unghiul dintre dreapta D si proiectia ei pe plan, D′. Cosinusul unghiuluicomplemetar celui dorit este:

cos(π

2− ϕ

)

=~n · ~a

||~n|| ||~a|| ,

de unde rezulta

sin ϕ =al + bm + cn√

a2 + b2 + c2√

l2 + m2 + n2.


Dreapta este paralela cu planul daca si numai daca ~n·~a = 0, sau ın functiede coordonate, al+ bm+ cn = 0 si este perpendiculara pe plan daca si numaidaca ~n × ~a = ~0, sau (a, b, c) = k(l,m, n), k ∈ R\{0}.

perpendiculara comuna?????

4.3.3 Sfera. Elipsoid. Hiperboloid. Paraboloid

In aceasta sectiune reamintim principalele figuri geometrice definite pe unspatiu punctual euclidian real tridimensional E3, raportat la un reper cartezian{O,~i,~j,~k}.

Sfera

Sfera de centru C(x0, y0, z0) si de raza R (Figura xx) reprezinta locul geo-metric al punctelor M(x, y, z) din spatiu egal departate de centru cu distantaR:

S = {M | d(C; M) = ||−−→CM || = R}.Figura xxEcuatia carteziana implicita a sferei cu centrul ın punctul C, scrisa sub

forma de patrate, are forma:

(x − x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 − R2 = 0, (x, y, z) ∈ R3

cu forma particulara

x2 + y2 + z2 − R2 = 0

pentru cazul cercului cu centrul ın origine.Ecuatia carteziana generala a sferei este:

x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0,

cu restrictia a2 + b2 + c2 − d > 0.

Elipsoidul

Multimea punctelor M(x, y, z) din spatiu ale caror coordonate satisfac ecuatia:

x2

a2

2

+y2

b2+

z2

c2− 1 = 0, a, b, c, > 0

formeaza o suprafata numita elipsoid (Figura..).Figura xx


Aceasta suprafata este simetrica fata de planele de coordonate (numiteplane principale ale elipsoidului) si fata de axele de coordonate (numite ax-ele elipsoidului), iar originea este centru de simetrie (se numeste si centrulelipsoidului). Punctele ın care axele de coordonate intersecteaza suprafataelipsoidului se numesc varfuri, iar numerele reale a, b, c se numesc semiaxe.

Forma acestei ecuatii, ın cazul ın care elipsa are centrul ın punctul C(x0, y0, z0),este:

(x − x0)2

a2

2

+(y − y0)

2

b2+

(z − z0)2

c2− 1 = 0, a, b, c, > 0

Intersectia elipsoidului cu orice plan paralel cu unul dintre planele decoordonate reprezinta o elipsa.

Hiperboloidul


x2

a2

2

+y2

b2− z2

c2− 1 = 0, a, b, c, > 0

formeaza o suprafata numita hiperboloid cu o panza (Figura..).

Figura xx

Aceasta suprafata are patru varfuri si aceleasi simetrii ca si elipsoidul.

Intersectia hiperbolidului cu o panza cu orice plan paralel cu cu planul decoordonate xOy reprezinta o elipsa, iar intersectiile cu planele yOz sau zOxsunt hiperbole.

In cazul ın care hiperboloidul are centrul ın punctul C(x0, y0, z0), ecuatiadevine:

(x − x0)2

a2

2

+(y − y0)

2

b2− (z − z0)

2

c2− 1 = 0.

Multimea punctelor M(x, y, z) din spatiu ale caror coordonate satisfacecuatia:

x2

a2

2

+y2

b2− z2

c2+ 1 = 0, a, b, c, > 0

formeaza o suprafata numita hiperboloid cu doua panze (Figura..).

Figura xx

Aceasta suprafata are doua varfuri si aceleasi simetrii ca si hiperbolidulcu o panza.


Intersectiile cu planele yOz sau zOx sunt hiperbole, iar Intersectia cuun plan paralel cu cu planul de coordonate xOy reprezinta o elipsa (pentruz > |c|) sau multimea nula (pentru −c < z < c).

In cazul ın care hiperboloidul are centrul ın punctul C(x0, y0, z0), ecuatiadevine:

(x − x0)2

a2

2

+(y − y0)

2

b2− (z − z0)

2

c2+ 1 = 0.

FORME echivalente???

Paraboloidul


z =x2

a2

2

+y2

b2, a, b > 0

formeaza o suprafata numita paraboloid eliptic (Figura..).Figura xxIntersectiile suprafetei cu planele yOz sau zOx, numite plane princi-

pale, sunt parabole. Axa Oz este axa de simetrie (axa principala) si inter-secteaza suprafata ın origine, care este singurul varf al parabolidului eliptic.Intersectiile cu un plan paralelel cu planul xOy sunt elipse pentru z > 0 saumultimea nula’, pentru z < 0.

In cazul ın care parabolidul eliptic are centrul ın punctul C(x0, y0, z0),ecuatia devine:

z − z0 =(x − x0)

2

a2

2

+(y − y0)

2

b2.

Multimea punctelor M(x, y, z) din spatiu ale caror coordonate satisfacecuatia:

z =x2

a2

2

− y2

b2, a, b > 0

formeaza o suprafata numita paraboloid hiperbolic sau sa (Figura..).Figura xxAceasta suprafata are aceleasi simetrii ca si paraboloidul eliptic.

In cazul ın care paraboloidul hiperbolic are centrul ın punctul C(x0, y0, z0),ecuatia devine:

z − z0 =(x − x0)

2

a2

2

− (y − y0)2

b2.

FORME echivalente???


4.3.4 Cuadrice

Notiuni generale

Multimea punctelor M(x, y, z) din spatiu ale caror coordonate verifica con-ditia:

Σ = {M(x, y, z) | (x, y, z ∈ R3), a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy+

+2a13xz + 2a23yz + 2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0},unde cel putin unul dintre coeficientii a11, a22, a33, a12, a13, a23 este nenul,formeaza o suprafata numita cuadrica sau suprafata algebrica de ordinul aldoilea.

Prin trecerea de la repreul cartezian {O,~i,~j,~k}, la un altul adecvat, orien-tat pozitiv (numit reper canonic sau natural), ın care suprafata are forma ceamai simpla posibila (ecuatie canonica) se poate demonstra ca orice cuadricaeste congruenta cu una dintre multimile urmatoare: sfera, elipsoid, hiper-boloid cu o panza sau cu doua panze, paraboloid eliptic sau hiperbolic, con,cilindru eliptic, hiperbolic sau parabolic, pereche de drepte secante, perechede plane paralele sau confundate, dreapta, un punct sau multimea vida.

Invariantii metrici ai cuadricei, sunt urmatorii:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a10

a21 a22 a23 a20

a31 a32 a33 a30

a01 a02 a03 a00

∣∣∣∣∣∣∣∣

, δ =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a12

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

,

J =

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣, I = a11 + a22 + a33,

unde aij = aji, i 6= j, i, j = 0, 1, 2, 3.

Invariantul ∆ permite clasificare conicelor dupa tipul lor, ın nedegenerate,daca ∆ 6= 0 (sfera, elipsoidul, hiperboloizi, paraboloizi), si degenerate, daca∆ = 0 (con, cilindri, perchi de plane, etc.).

discutie dupa δ????EXEMPLE cuadrice degenerate ????

Reducerea la forma canonica

Ca si ın cazul conicelor, la reducerea unei cuadrice la expresia canonica putemıntalni doua situatii:

(I) - daca a12 = a13 = a23 = 0, reducerea la expresia canonica se faceprintr-o simpla translatie;


(II) - daca cel putin unul dintre coeficientii a12, a13, a23 este nenul, ter-menul mixt sau termenii micsti se elimina printr-o rotatie a reperului. Duparotatie, daca este cazul, se realizeaza o translatie a originii noului reper pen-tru a obtine expresia canonica a cuadricei.

Pasii care trebuie parcursi ıntr-un astfel de calcul sunt identici cu ceiprezentati ın cazul conicelor si nu ıi mai reluam. Pentru fixarea notiunilor,prezentam doar un exemplu de calcul.

Sa se reduca cuadrica

x2 + 3y2 + 4yz − 6x + 8y + 8 = 0

la expresia canonica, indicand si reperul canonic corespunzator.

Forma patratica corespunzatoare cuadricei este x2+3y2+4yz, iar matriceaasociata se scrie:

A =

1 0 00 3 20 2 0

.

Rezolvand ecuatia caracteristica:

det(A − λI2) =

∣∣∣∣∣∣

1 − λ 0 00 3 − λ 20 2 0 − λ

∣∣∣∣∣∣

= 0

obtinem valorile proprii λ1 = 1, λ2 = −1 si λ3 = 4. Cei trei vectori proprii co-respunzatori, normati la unitate, sunt versorii care descriu orientarea nouluireper:

~i′ = (1, 0, 0),~j′ =1√5(0, 1,−2) si ~k′ =

1√5(0, 2, 1).

Matricea R care contine pe coloane coordonatele celor trei versori este:

R =

1 0 00 1√

52√5

0 −2√5

1√5

.

Determinatul acesei matrice este 1, deci ea reprezinta o rotatie. Legaturadintre vechile coordonate x, y, z si cele noi x′, y′, z′ este data de relatia:

(xy

)

=1√13

(2 −33 2

)(x′

y′

)

,

sau sub forma de ecuatii:

x = x′ , y =1√5(y′ + 2z′) , z =

1√5(−2y′ + z′).


Ecuatia cuadricei ın reperul cu axele Ox′, Oy′, Oz′ este:

x′2 − y′2 + 4z′2 − 6x′ +8√5y +

16√5z + 8 = 0,


(x′ − 3)2 − (y′ − 4√5)2 + 4(z′ +

2√5)2 − 1 = 0.

Dupa schimbarile de variabila x′′ = x′ − 3,y′′ = y′ − 4√5, z′′ = z′ + 2√

5,

obtinem ecuatia canonica a conicei:

x′′2 − y′′2 +z′′2

14

− 1 = 0,

care reprezinta un hiperboloid cu o panza, avand centrul ın punctul O′(3, 4√5,− 2√

5)

si axele de coordonate descrise de versorii ~i′,~j′, ~k′.Intersectia dintre o dreapta si o cuadrica sau dintre un plan si o cuadrica!!!!!


Spatiu Minkowski:Un exemplu important este spatiul Minkowski, important ın ıntelegerea

relativitatii restranse ???, unde avem o generalizare a notiunii de lungimecare permite ca vectori nenuli sa aibe lungime zero.

Contravarianta si covarianta vectorilor:In fizica, ca si ın matematica, un vector este caracterizat prin coordonatele

sale, care depind de alegerea bazei sau a reperului. Atunci cand baza setransforma, de exemplu prin rotatie sau deformare, componenetele vectoruluise transforma de asemenea. Vectorul ınsusi nu se schimba

In physics, as well as mathematics, a vector is often identified with atuple, or list of numbers, which depend on some auxiliary coordinate systemor reference frame. When the coordinates are transformed, for example byrotation or stretching, then the components of the vector also transform.The vector itself has not changed, but the reference frame has, so the com-ponents of the vector (or measurements taken with respect to the referenceframe) must change to compensate. The vector is called covariant or con-travariant depending on how the transformation of the vectors componentsis related to the transformation of coordinates. In general, contravariant vec-tors are ”regular vectors” with units of distance (such as a displacement) ordistance times some other unit (such as velocity or acceleration); covariantvectors, on the other hand, have units of one-over-distance such as gradient.If you change units (a special case of a change of coordinates) from metersto milimeters, a scale factor of 1/1000, a displacement of 1 m becomes 1000mma contravariant change in numerical value. In contrast, a gradient of 1K/m becomes 0.001 K/mma covariant change in value. See covariance andcontravariance of vectors. Tensors are another type of quantity that behavein this way; in fact a vector is a special type of tensor.

An alternative characterization of Euclidean vectors, especially in physics,describes them as lists of quantities which behave in a certain way under acoordinate transformation. A contravariant vector is required to have com-ponents that ”transform like the coordinates” under changes of coordinatessuch as rotation and dilation. The vector itself does not change under theseoperations; instead, the components of the vector make a change that cancelsthe change in the spatial axes, in the same way that co-ordinates change. Inother words, if the reference axes were rotated in one direction, the compo-nent representation of the vector would rotate in exactly the opposite way.Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the compo-nents of the vector, like the co-ordinates, would reduce in an exactly com-pensating way. Mathematically, if the coordinate system undergoes a trans-formation described by an invertible matrix M, so that a coordinate vectorx is transformed to x = Mx, then a contravariant vector v must be similarly


transformed via v = Mv. This important requirement is what distinguishesa contravariant vector from any other triple of physically meaningful quanti-ties. For example, if v consists of the x, y, and z-components of velocity, thenv is a contravariant vector: if the coordinates of space are stretched, rotated,or twisted, then the components of the velocity transform in the same way.On the other hand, for instance, a triple consisting of the length, width, andheight of a rectangular box could make up the three components of an ab-stract vector, but this vector would not be contravariant, since rotating thebox does not change the boxs length, width, and height. Examples of con-travariant vectors include displacement, velocity, electric field, momentum,force, and acceleration.

In the language of differential geometry, the requirement that the compo-nents of a vector transform according to the same matrix of the coordinatetransition is equivalent to defining a contravariant vector to be a tensor ofcontravariant rank one. Alternatively, a contravariant vector is defined to bea tangent vector, and the rules for transforming a contravariant vector followfrom the chain rule.

4.4. Probleme 159

4.4 Probleme

1. Se dau vectorii ~a =~i−α~j + 3~k, ~b = α~i−~j +~k, si ~c = 3~i +~j −~k. Sa sedetermine α ∈ R astfel ıncat ~a, ~b si ~c sa fie coplanari.

2. Fiind dati vectorii ~OA = ~j − 3~k, ~AC = 4~i + 7~j si ~BC = 4~i + 8~j − 8~k,sa se gaseasca vectorul de pozitie al punctelor B si respectiv C si sa secalculeze lungimea ınaltimii AA′ a triunghiului ABC.

3. Sa se determine perimetrul si masura unghiurilor triunghiului determi-nat de punctele A(1, 2, 1), B(2, 1, 3) si C(3, 1, 4).

4. Sa se calculeze aria si lungimile ınatimilor pentru triunghiul ABC de-terminat de punctele A(0, 2, 3), B(2, 1, 1) si C(3, 1, 2).

5. Sa se calculeze lungimile laturilor tetraedrului, perimetrul, ariile fetelor,volumul tetraedrului, lungimile ınaltimilor fetelor si lungimea ınaltimiitetraedrului ABCD descris de punctele A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(2, 1, 4)si D(2, 1, 2).

6. Sa se stabileasca tipul conicei:

x2 − y2 + 4x − 6y − 5 = 0.

7. Sa se reduca ecuatia

3x2 − 4xy − 2x + 4y − 3 = 0

la forma canonica si sa se construiasca conica corespunzatoare.

8. Se dau conicele de ecuatie carteziana generala:

1) 4xy + 3y2 + 16x + 12y − 36 = 0;

2) 9x2 − 4xy + 6y2 + 16x − 8y − 2 = 0;

3) x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.

a) Sa se determine natura si genul conicei;

b) Sa se reduca la forma canonica indicand si reperul canonic.

9. Sa se determine natura, ecuatia canonica si sa se construiasca coniceledate prin ecuatiile carteziene urmatoare:

1) 7x2 + 7y2 + 6x − 2y − 10 = 0;

2) 9x2 − 16y2 − 6x + 8y − 144 = 0;

3) 2x2 − 4xy + 5y2 + 8x − 2y + 9 = 0.


10. Fie familia de conice (Γλ) de ecuatie:

(Γλ) : x2 + 2λxy + y2 − 2x − 4y + 1 = 0, λ ∈ R.

a) Sa se discute natura si genul conicelor (Γλ).

b) In cazul λ = 1 sa se scrie ecuatia canonica.

11. Sa se stabileasca tipul conicei:

−x2 + 4y2 + 2x − 8y + 7 = 0.


4x2 + y2 + 4xy − 2x + 4y − 3 = 0

la forma canonica si sa se construiasca conica corespunzatoare.


x2 + y2 + 5z2 − 6xy + 2xz − 2yz − 4x + 8y − 12z + 14 = 0

la forma canonica si sa se construiasca cuadrica corespunzatoare.

14. Sa se determine natura, reperul canonic si tipul cuadricelor date prinecuatiile carteziene urmatoare:

1) x2 − y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2xz − 5x − 1 = 0;

2) 36x2 + y2 + 4z2 + 72x + 6y − 40z + 109 = 0;

3) 2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x − 5 = 0.

15. Se dau cuadricele de ecuatie carteziana generala:

1) 2x2 + 2y2 + 2z2 − 4xy + 4yz − 1 = 0;

2) 4y2 − 3z2 + 4xy − 4xz + 8yz = 0;

3) x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz + 20y + 20z − 10 = 0.

a) Sa se determine natura si genul cuadricei;

b) Sa se reduca la forma canonica indicand si reperul canonic.

16. Fie forma patratica Q : R4 → R,

Q(x, y, z, t) = t2 − 2tx + 2xy + 2yz + 2xz, ∀ (x, y, z, t) ∈ R4.

a) Sa se reduca Q la forma canonica prin metoda transformarilor or-togonale.

b) Sa se studieze natura cuadricelor Q(x, y, z, 0) = λ, λ ∈ R.

algebr˘a liniar˘a ¸si elemente de geometrie euclidian˘aneculae/curs algebra si geometrie.pdf ·...

Documents